Luận văn thạc sĩ: MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC KHÁI NIỆM VECTƠ Ở HÌNH HỌC LỚP 10 Đoàn Công Thành (2015)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đoàn Công Thành

MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC
KHÁI NIỆM VECTƠ Ở HÌNH HỌC LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đoàn Công Thành

MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC
KHÁI NIỆM VECTƠ Ở HÌNH HỌC LỚP 10

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến cô Nguyễn
Thị Nga, người đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi rất nhiều
trong suốt quá trình nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn cô Lê Thị Hoài Châu, cô Vũ Như Thư
Hương, thầy Lê Văn Tiến, thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, thầy Trần Lương
Công Khanh những người đã tận tâm, nhiệt tình giảng dạy chúng tôi trong
suốt khóa học. Tôi xin cảm ơn tất cả Thầy, Cô trong tổ bộ môn Phương
pháp dạy học môn toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, các Thầy, Cô ở
Pháp, đã góp ý, tư vấn, để chúng tôi có được hướng đi tốt trong nghiên cứu
của mình.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí
Minh, các anh chị chuyên viên phòng sau đại học đã tạo thuận lợi cho
chúng tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Cảm ơn tất cả các bạn trong khóa 24 lớp cao học ngành lí luận và
phương pháp dạy học bộ môn toán đã giúp đỡ, chia sẻ những khó khăn,
kinh nghiệm trong thời gian học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, xin cảm ơn Ban giám hiệu, các đồng nghiệp, các em học
sinh của trường THPT Trần Khai Nguyên đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi rất
nhiều trong suốt quá trình làm luận văn.
ĐOÀN CÔNG THÀNH


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
DANH MỤC CÁC BẢNG
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

MỞ ĐẦU…………………. ........................................................................................ 1
Chương 1. TỔNG QUAN MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ MÔ HÌNH
HÓA TOÁN HỌC ....................................................................... 9
1.1. Mô hình hóa toán học ....................................................................................... 9
1.1.1. Các khái niệm cơ bản ................................................................................. 9
1.1.2. Mô hình hóa toán học ............................................................................... 11
1.1.3. Quá trình mô hình hóa toán học ................................................................ 11
1.1.4. Mô hình hóa trong dạy học toán ............................................................... 14
1.1.5. Mô hình hóa và áp dụng toán .................................................................... 16
1.1.6. Mô hình hóa và toán học hoá .................................................................... 17
1.1.7. Lợi ích và khó khăn của mô hình hóa trong dạy học toán ......................... 18
1.2. Kết luận .......................................................................................................... 21
Chương 2. MÔ HÌNH HÓA ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM VECTƠ VÀ CÁC PHÉP
TOÁN VECTƠ TRONG DẠY HỌC Ở VIỆT NAM VÀ MỸ 23
2.1. Mô hình hóa trong Hình học 10 ở Việt Nam ................................................... 24
2.1.1. Định nghĩa vectơ và các phép toán vectơ .................................................. 24
2.1.2. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến vectơ và các phép toán vectơ ................ 30
2.1.3. Kết luận phân tích sách giáo khoa Hình học lớp 10 ở Việt Nam ............... 35
2.2. Vectơ và các phép toán vectơ trong Vật lí cấp trung học ở Việt Nam.............. 36
2.2.1. Vectơ và các phép toán vectơ trong sách giáo khoa Vật lí 10 .................... 36
2.2.2. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến vectơ và các phép toán vectơ trong sách
giáo khoa Vật lí 10 ................................................................................... 40


2.2.3. Kết luận phân tích sách giáo khoa Vật lí bậc trung học ở Việt Nam .......... 42
2.3. Mô hình hóa trong giáo trình Toán Mỹ ........................................................... 43
2.3.1. Định nghĩa vectơ và các phép toán vectơ .................................................. 43
2.3.2. Kiểu nhiệm vụ liên quan đến vectơ và các phép toán vectơ ...................... 48
2.3.3. Kết luận phân tích giáo trình Toán Mỹ ..................................................... 56
2.4. Kết luận .......................................................................................................... 57

Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ......................................................... 61
3.1. Thực nghiệm 1 ................................................................................................ 61
3.1.1. Pha 1 ........................................................................................................ 62
3.1.2. Pha 2 ........................................................................................................ 76
3.1.3. Kết luận. ................................................................................................... 85
3.2. Thực nghiệm 2 ................................................................................................ 85
3.2.1. Giới thiệu thực nghiệm ............................................................................. 85
3.2.2. Sự lựa chọn của đồ án............................................................................... 86
3.2.3. Phân tích tiên nghiệm ............................................................................... 87
3.2.4. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................. 110
3.2.5. Kết luận .................................................................................................. 125
3.3. Kết luận ........................................................................................................ 126
KẾT LUẬN……….. ………………………………………………………………..127
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
ĐHSP

: Đại học sư phạm

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

KNV

: Kiểu nhiệm vụ

Nxb

: Nhà xuất bản

SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên

THCS

: Trung học cơ sở

THPT

: Trung học phổ thông

TP

: Thành phố

tr

: Trang


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Quy trình dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa gắn với hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn ...................................................................... 15
Bảng 2.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong Trần Thị Túy Phượng (2014) ............... 30
Bảng 2.2. Thống kê số lượng bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập Hình học 10
ban cơ bản và nâng cao .............................................................................. 31
Bảng 2.3. Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa và sách bài tập Vật lí 10
.................................................................................................................. 40
Bảng 2.4. Thống kê số lượng bài tập trong giáo trình Toán Mỹ.................................. 48
Bảng 3.1. Thống kê kết quả của học sinh khi thực hiện phiếu 1 ................................. 70
Bảng 3.2. Thống kê kết quả của các nhóm với bài toán 2, câu hỏi a) .......................... 73
Bảng 3.3. Thống kê bài làm của các nhóm ở bài toán 2, câu hỏi b) ............................ 74
Bảng 3.4. Thống kê bài làm của các nhóm ở bài toán 3, câu hỏi a)............................. 80
Bảng 3.5. Thống kê bài làm của các nhóm ở bài toán 4, câu hỏi 2.1) ......................... 82
Bảng 3.6. Thống kê bài làm của các nhóm ở bài toán 4, câu hỏi 2.2) ......................... 83
Bảng 3.7. Mục tiêu của các pha ................................................................................. 87
Bảng 3.8. Thống kê chiến lược của các nhóm khi giải quyết phiếu 1 ....................... 111
Bảng 3.9. Thống kê chiến lược của các nhóm khi giải quyết phiếu 2 ....................... 115
Bảng 3.10. Thống kê chiến lược của các nhóm khi giải quyết phiếu 3...................... 116
Bảng 3.11. Thống kê chiến lược của các nhóm khi giải quyết phiếu 5...................... 121
Bảng 3.12. Thống kê chiến lược của các nhóm khi giải quyết phiếu 6...................... 124


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Sơ đồ (phỏng theo) quá trình mô hình hóa của Coulange ............................ 12
Hình 1.2. Sơ đồ minh hoạ sự khác nhau của áp dụng toán và mô hình hóa của
Burkhardt .................................................................................................. 16

Hình 1.3. Sơ đồ quá trình toán học hoá theo PISA ..................................................... 18
Hình 3.1. Bài làm bài toán 1 của học sinh HS1 .......................................................... 71
Hình 3.2. Bài làm bài toán 1 của học sinh HS2 .......................................................... 72
Hình 3.3. Bài làm bài toán 1 của học sinh HS3 .......................................................... 72
Hình 3.4. Bài làm của nhóm 4 trong bài toán 2, câu a) ............................................... 73
Hình 3.5. Bài làm của nhóm 3 trong bài toán 2, câu b) ............................................... 74
Hình 3.6. Bài làm của nhóm 8 trong bài toán 2, câu b) ............................................... 75
Hình 3.7. Bài làm của nhóm 9 ở bài toán 2, câu b) .................................................... 75
Hình 3.8. Bài làm của nhóm 14 ở bài toán 2, câu b) ................................................... 76
Hình 3.9. Bài làm của nhóm 1 ở bài toán 3, câu hỏi a) ............................................... 81
Hình 3.10. Bài làm của nhóm 15 ở bài toán 3, câu hỏi a) ........................................... 81
Hình 3.11. Bài làm của nhóm 1 ở bài toán 4, câu hỏi 2.1) .......................................... 82
Hình 3.12. Bài làm của nhóm 2 ở bài toán 4, câu hỏi 2.2) .......................................... 84
Hình 3.13. Bài làm của nhóm 4 ở bài toán 4, câu hỏi 2.2) .......................................... 84
Hình 3.14. Màn hình Cabri cung cấp cho học sinh ở pha 1......................................... 89
Hình 3.15. Màn hình Cabri cung cấp cho học sinh ở pha 2......................................... 91
Hình 3.16. Mô hình toán học ở LG1 trong chiến lược Sphântíchlực ................................. 92
Hình 3.17. Mô hình toán học ở LG2 trong chiến lược Sphântíchlực ................................. 92
Hình 3.18. Mô hình toán trong chiến lược Sphântíchlực................................................... 93
Hình 3.19. Mô hình toán học ở lời giải trong chiến lược Stínhtay (pha 3) ...................... 95
Hình 3.20. Mô hình toán học ở lời giải trong chiến lược Scabri (pha 3) ........................ 96
Hình 3.21. Màn hình Cabri cung cấp cho học sinh ở pha 4......................................... 99
Hình 3.22. Mô hình toán học ở lời giải trong chiến lược Stínhtay (pha 4)...................... 99
Hình 3.23. Màn hình Cabri cung cấp cho học sinh ở pha 5....................................... 102
Hình 3.24. Mô hình toán học ở lời giải trong chiến lược Smôhình+tỉsố (pha 5) .............. 104


Hình 3.25. Mô hình toán học ở lời giải trong chiến lược Scôngthức+tỉsố (pha 5)............. 105
Hình 3.26. Mô hình toán học ở lời giải trong chiến lược Sgấpkhúc+môhình+tỉsố (pha 6) .... 108
Hình 3.27. Mô hình toán học ở lời giải trong chiến lược Sgấpkhúc+côngthức+tỉsố (pha 6)... 109

Hình 3.28. Mô hình của nhóm 1 (pha 1)................................................................... 112
Hình 3.29. Mô hình của nhóm 5 (pha 1)................................................................... 112
Hình 3.30. Mô hình của nhóm 3 (pha 2)................................................................... 114
Hình 3.31. Bài làm của nhóm 3 (pha 2) .................................................................... 114
Hình 3.32. Mô hình của nhóm 5 (pha 2)................................................................... 115
Hình 3.33. Bài làm của nhóm 2 (pha 3) .................................................................... 117
Hình 3.34. Bài làm của nhóm 7 (pha 4) .................................................................... 119
Hình 3.35. Bài làm của nhóm 5 (pha 4) .................................................................... 119
Hình 3.36. Mô hình của nhóm 1 (pha 5)................................................................... 121
Hình 3.37. Bài làm của nhóm 3 (pha 5) .................................................................... 122
Hình 3.38. Bài làm của nhóm 7 (pha 5) .................................................................... 123
Hình 3.39. Mô hình của nhóm 4 (pha 6)................................................................... 123
Hình 3.40. Bài làm của nhóm 4 (pha 6) .................................................................... 124


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Những ghi nhận ban đầu
Nghị quyết 29 - NQ/TƯ về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo:“Đổi
mới nội dung giáo dục theo hướng tinh giản, hiện đại, thiết thực, phù hợp với lứa tuổi,
trình độ và ngành nghề; tăng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn”. Theo tinh
thần của Bộ GD- ĐT thì không những đổi mới chương trình mà còn đổi mới về
phương pháp giảng dạy. Người giáo viên cần lựa chọn những kiến thức gần gũi có liên
quan, hoặc những tình huống thực tế trong cuộc sống để tích hợp vào bài giảng của
mình. Tránh việc nhồi nhét những kiến thức hàn lâm, khô khan không đem lại hứng
thú cho người học.
Từ những chủ trương của Bộ GD- ĐT, chúng tôi nhận thấy việc đưa những vấn
đề từ thực tế của cuộc sống vào trong môn học là một việc cần thiết đối với các môn

học nói chung và môn toán nói riêng.
Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa là những cách thức dạy học
có thể vận dụng để thực hiện chủ trương trên. Mô hình hóa toán học cho phép học sinh
hiểu được mối liên hệ giữa toán học với cuộc sống, môi trường xung quanh và các
môn khoa học khác, giúp cho việc học toán trở nên ý nghĩa hơn. Mô hình hóa toán học
trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán như một công cụ để giải quyết vấn đề
xuất hiện trong những tình huống ngoài toán, từ đó giúp các em thấy được tính hữu ích
của toán học trong thực tế.
Khái niệm vectơ là một trong những khái niệm có thể tạo vùng sống cho dạy
học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa. Thật vậy, vectơ được sử dụng trong
nhiều lĩnh vực như vật lí, kỹ thuật, tin học,… Trong cuộc sống vectơ được ứng dụng
để lên kế hoạch cho đường bay của máy bay, dùng để biểu diễn vận tốc và hướng đi
của những cơn bão. Trong toán học vectơ là một công cụ để biểu diễn dạng lượng giác
của số phức, là nền tảng để xây dựng phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng,
phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian,…


2

Mặt khác khái niệm vectơ được cung cấp vào đầu năm học của lớp 10, là lớp
học đầu cấp của cấp học trung học phổ thông. Bước vào một cấp học mới, có nhiều sự
thay đổi rất lớn từ môi trường học tập cho đến những yêu cầu về tư duy, cùng với
những khó khăn “sẵn có” của khái niệm này khiến cho người học không khỏi bỡ ngỡ.
Trong Lê Thị Hoài Châu (2004) đã chỉ ra những khó khăn mà học sinh sẽ phải
đối mặt khi học khái niệm vectơ, đó là:
Khó khăn trong việc vượt ra khỏi sự thống trị của mô hình mêtric để xem xét
một hình học được định hướng.
Khi đã vượt ra khỏi ảnh hưởng của mô hình mêtric thì lại có khó khăn trong
việc chiếm lĩnh hai đặc trưng định hướng của vectơ.
Khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số- hình học của các phép toán

vectơ.
[Lê Thị Hoài Châu (2004), tr.277]
Từ những ghi nhận trên chúng tôi có những câu hỏi xuất phát cho nghiên cứu
của mình như sau:
1) Vectơ được hình thành và phát triển như thế nào trong lịch sử? Sự xuất hiện của
nó gắn liền với những bài toán, vấn đề nào?
2) Trong chương trình toán cấp trung học phổ thông Việt Nam, vectơ được tiếp
cận như thế nào từ phương diện dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình
hóa?
1.2. Tổng quan các công trình có liên quan
Với những câu hỏi đã đặt ra định hướng cho việc nghiên cứu của mình, chúng
tôi tiến hành thu thập tài liệu và tìm thấy các công trình nghiên cứu có liên quan sau
đây:
 Liên quan đến vấn đề mô hình hóa
-

Phạm Anh Lý (2012), Nghiên cứu việc dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học
Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.


3

Tác giả đã trình bày tóm tắt các vấn đề liên quan đến mô hình hóa trong chương 1 “cơ
sở lí luận”, đồng thời phân tích thể chế dạy học ở bậc đại học và bậc trung học phổ
thông đối với khái niệm hệ phương trình tuyến tính trên quan điểm mô hình hóa
(chương 2), từ đó xây dựng đồ án dạy học bằng mô hình hóa với khái niệm hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn.
-

Nguyễn Thị Tân An (2014), Sử dụng Toán học hoá để phát triển các năng lực
hiểu biết định lượng của học sinh lớp 10, Luận án tiến sỹ, Trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh.

Trong luận án, tác giả đã thống kê một số kết quả nghiên cứu về mô hình hóa toán học
của một số tác giả trên thế giới, nghiên cứu lí thuyết về mô hình hóa toán học và
chương trình toán 10 nâng cao hiện nay, phân tích mối liên quan giữa quá trình toán
học hóa và các năng lực hiểu biết định lượng, tìm hiểu các nội dung toán lớp 10 để
thiết kế các tình huống toán học hóa tạo cơ hội thúc đẩy học sinh phát triển các năng
lực hiểu biết định lượng. Đồng thời xây dựng thang đánh giá giúp cho điểm các năng
lực hiểu biết định lượng của học sinh thông qua quá trình toán học hóa.
-

Nguyễn Thị Nga (2014), Dạy học mô hình hóa toán học ở bậc trung học, đề tài
khoa học công nghệ cấp trường, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí
Minh.

Trong công trình nghiên cứu này tác giả đã làm rõ cơ sở lí luận liên quan đến mô hình
hóa toán học, những khó khăn và trở ngại của dạy học mô hình hóa cũng như sự quan
tâm đến vấn đề dạy học mô hình hóa ở các nước khác nhau. Tiếp đó tác giả đã phân
tích và so sánh vấn đề mô hình hóa toán học trong dạy học chủ đề hàm số lượng giác ở
Việt Nam và Pháp.
 Liên quan đến lịch sử vectơ
-

Lê Thị Hoài Châu (2004), Phương pháp dạy- học hình học ở trường phổ thông,
NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.

Trong tác phẩm này, tác giả đã tóm tắt phần lịch sử và tri thức luận về khái niệm vectơ
và chỉ ra sự khó khăn của học sinh khi học về khái niệm vectơ từ luận án tiến sỹ của

mình.


4

 Liên quan đến phương diện đối tượng và công cụ của vectơ và các phép toán
vectơ
-

Đỗ Công Đoán (2002), Nghiên cứu didactic về tác động của những ràng buộc
thể chế đối với việc học vectơ của học sinh lớp 10, Luận văn thạc sĩ, Trường
Đại học Sư phạmThành phố Hồ Chí Minh.

Trong luận văn, tác giả đã phân tích mối quan hệ thể chế của khái niệm vectơ trong
các sách giáo khoa Toán năm 1990 và năm 2000. Tác giả đã chỉ ra những khó khăn do
sự trình bày của sách giáo khoa mang lại khi dạy và học khái niệm vectơ.
-

Hoàng Hữu Vinh (2002), Nghiên cứu didactic về hoạt động của công cụ vectơ
trong dạy học hình học ở lớp 10, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm
Thành phố Hồ Chí Minh.

Luận văn này đã chỉ ra được những ứng dụng của công cụ vectơ trong việc xây dựng
các kiến thức và giải toán hình học, cho thấy những điểm giống và khác nhau trong
cách trình bày của SGK năm 1990 và năm 2000. Đặc biệt, luận văn khẳng định
phương pháp sử dụng công cụ vectơ để giải toán không được khắc sâu trong học sinh
như phương pháp tổng hợp. Công cụ vectơ chỉ luôn sẵn sàng sử dụng ở một số rất ít
học sinh. Khi thực hiện các bước giải toán bằng công cụ vectơ, học sinh còn gặp sai
lầm khi biến đổi các biểu thức vectơ và khó khăn trong việc chọn các phép biến đổi
thích hợp để đạt được kết quả. Luận văn trên chỉ nghiên cứu vectơ trong chương trình

và SGK Hình học lớp 10 từ năm 2000 trở về trước.
-

Ngô Thị Hồng Hạnh (2010), Một nghiên cứu didactic về dạy học vectơ ở
trường phổ thông: vectơ hình học và vectơ vật lí, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại
học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.

Trong nghiên cứu này, tác giả đã phân tích mối quan hệ thể chế của khái niệm vectơ
với thể chế dạy học trung học phổ thông hiện hành, đồng thời tổng hợp từ các luận văn
trước về mối quan hệ thể chế của khái niệm vectơ trong thể chế dạy học chương trình
sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất. Kế tiếp tác giả phân tích mối quan hệ thể chế dạy
học Vật lí ở trường phổ thông theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành gắn với


5

các khái niệm Vật lí liên quan đến vectơ. Tác giả muốn nghiên cứu sự khó khăn của
học sinh khi sử dụng vectơ làm công cụ trong môn học Vật lí.
-

Đỗ Thị Hoàng Linh (2012), Nghiên cứu điều kiện sinh thái của tích vô hướng
trong giải toán hình học phẳng 10, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm
Thành phố Hồ Chí Minh.

Trong đó, tác giả đã phân tích, làm rõ về phương diện đối tượng của khái niệm tích vô
hướng của hai vectơ đồng thời phân tích những vai trò công cụ của nó trong môn hình
học lớp 10.
-

Trần Thị Thu Hiền (2013), Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng

trong chương trình trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh.

Trong luận văn của mình, tác giả muốn “đề cập đến vai trò là công cụ của khái niệm
tích vô hướng của hai vectơ trong cả chương trình trung học phổ thông nhằm làm rõ
hơn khái niệm này”. Tác giả đã phân tích mối quan hệ thể chế của khái niệm tích vô
hướng với thể chế dạy học môn Hình học 10 và khái niệm công trong thể chế dạy học
môn Vật lí lớp 10 hiện hành ở Việt Nam, để tìm ra mối liên hệ giữa chúng.
-

Trần Thị Túy Phượng (2014), Khái niệm vectơ trong dạy học Toán và Vật lí ở
trường phổ thông, Khoá luận tốt nghiệp, Trường Đại học Sư phạm Thành phố
Hồ Chí Minh.

Trong chương 1, tác giả đã tóm lược lịch sử hình thành và phát triển cùng với các đặc
trưng tri thức luận của khái niệm vectơ, đồng thời phân tích mối quan hệ thể chế của
thể chế dạy học lớp 10 môn Toán đối với khái niệm vectơ và phân tích sách giáo khoa
Vật lí 10 để chỉ ra sự nối tiếp hay ngắt quãng giữa hai phân môn liên quan đến vectơ.
Từ các công trình có liên quan ở trên cho thấy vấn đề mô hình hóa trong dạy
học vectơ ở hình học lớp 10 chưa được nghiên cứu sâu và chưa có một đồ án dạy học
khái niệm vectơ nào có liên quan đến mô hình hóa. Bên cạnh đó, cũng chưa có một
nghiên cứu nào phân tích một giáo trình toán viết bằng tiếng Anh để có một cái nhìn
so sách với việc ngiên cứu vấn đề mô hình hóa đối với khái niệm vectơ trong sách giáo
khoa Hình học 10 ở nước ta. Vì vậy chúng tôi chọn vấn đề mô hình hóa trong dạy học
khái niệm vectơ làm chủ đề cho nghiên cứu của mình. Ngoài ra, chúng tôi sẽ phân tích


6

một giáo trình Mỹ (Precalculus) để có một cái nhìn mới mẻ trong việc phân tích cách

tiếp cận khái niệm vectơ trong chương trình Hình học 10 và trong sách Vật lí ở Việt
Nam. Theo điều tra ban đầu, cách tiếp cận khái niệm vectơ trong giáo trình này rất
phong phú và được viết theo quan điểm mô hình hóa, học sinh phổ thông có thể chọn
học và được sử dụng trong nhiều trường ở Mỹ, hơn nữa giáo trình viết bằng tiếng Anh,
đó là điều thuận lợi để chúng tôi chọn giáo trình này.
2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu
trong khuôn khổ của lí thuyết didactic toán, mà cụ thể là thuyết nhân học trong
didactic toán (quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức didactic). Nhờ các tổ chức
toán học, chúng tôi có thể phân tích được sách Toán Mỹ, sách Toán và Vật lí của Việt
Nam đã cho học sinh tiếp cận như thế nào về khái niệm vectơ, chúng tôi đặc biệt chú
trọng việc tiếp cận theo quan điểm mô hình hóa. Ngoài ra chúng tôi sử dụng khái niệm
dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa vào luận văn, để chúng tôi có cơ sở
lí thuyết để xây dựng đồ án dạy học của mình. Xây dựng một đồ án dạy học, tất nhiên
chúng tôi cần sử dụng công cụ của lí thuyết tình huống (Đồ án didactic).
3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
3.1. Mục tiêu nghiên cứu
Xây dựng đồ án dạy học khái niệm vectơ và các phép toán vectơ gắn với mô
hình hóa toán học.
3.2. Câu hỏi nghiên cứu
Trong khuôn khổ phạm vi lí thuyết đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại câu hỏi
nghiên cứu của mình như sau:
CH1: Mô hình hóa là gì? Mô hình hóa toán học có những đặc trưng nào? Mô
hình hóa có những lợi ích gì trong việc dạy và học môn toán?
CH2: Đặc trưng của mối quan hệ thể chế dạy học Toán và Vật lí ở Việt nam
trong các tình huống mô hình hóa khái niệm vectơ là gì? Có những tổ chức toán học
nào liên quan đến khái niệm vectơ mà gắn liền với việc dạy học mô hình hóa? Trong


7

sách Toán Mỹ (Precalculus) quan điểm mô hình hóa trong việc dạy học khái niệm
vectơ được trình bày như thế nào?
CH3: Làm thế nào để xây dựng tiểu đồ án dạy học khái niệm vectơ cho học
sinh lớp 10 gắn với mô hình hóa toán học?
4. Giả thuyết nghiên cứu
GT1: Khi giải quyết các bài toán thực tế gắn với vectơ và các phép toán vectơ,
học sinh gặp khó khăn trong các bước chuyển từ bài toán thực tế sang mô hình toán
học và bước chuyển từ câu trả lời cho bài toán toán học thành câu trả lời cho bài toán
thực tế ban đầu.
GT2: Có thể xây dựng được những tình huống Vật lí và thực tiễn xoay quanh
khái niệm vectơ và các phép toán vectơ cho học sinh lớp 10 mà ở đó học sinh được
tham gia vào quá trình mô hình hóa toán học.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
Phân tích, tổng hợp một số công trình đã có để làm rõ phạm vi lí thuyết tham
chiếu của đề tài. Đặc biệt về vấn đề mô hình hóa.
5.2.Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Phương pháp phân tích: phân tích, tổng hợp một số công trình đã có làm cơ sở
so sánh hoặc sử dụng các kết quả nghiên cứu đã có; phân tích chương trình và
sách giáo khoa.
- Phương pháp thực nghiệm: Xây dựng tiểu đồ án dạy học và thực nghiệm trên
học sinh lớp 10.
6. Nội dung nghiên cứu
6.1. Nhiệm vụ nghiên cứu
6.1.1. Thực hiện một tổng hợp về mô hình hóa, từ các tài liệu sẵn có.
6.1.2. Phân tích giáo trình toán Precalculus.


8

6.1.3. Phân tích mối quan hệ thể chế dạy học Hình học lớp 10 và dạy học Vật
lí ở trung học Việt Nam đối với khái niệm vectơ và các phép toán
vectơ trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học.
6.1.4. Xây dựng tiểu đồ án nhằm dạy học vectơ theo hướng mô hình hóa.
6.2. Cấu trúc luận văn
Luận văn có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương.
MỞ ĐẦU
Trong phần này chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất
phát, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày lại câu hỏi nghiên cứu, mục tiêu nghiên cứu,
phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn.
Chương 1: Tổng quan về một số kết quả nghiên cứu về mô hình hóa toán
học.
Chúng tôi trình bày tóm tắt một số vấn đề về mô hình hóa từ các công trình
nghiên cứu khác.
Chương 2: Mô hình hóa đối với khái niệm vectơ trong dạy học ở Mỹ và
Việt Nam.
Chúng tôi trình bày phân tích mối quan hệ thể chế dạy học Hình học 10 và dạy
học Vật lí ở Việt Nam, phân tích sách giáo trình toán Mỹ (Precalculus) đối với khái
niệm vectơ theo quan điểm mô hình hóa.
Chương 3. Nghiên cứu thực nghiệm
Chúng tôi tiến hành 2 thực nghiệm trên học sinh lớp 10:
- Thực nghiệm 1 là một cuộc điều tra nhằm tìm hiểu sự khó khăn của học sinh
khi tiến hành mô hình hóa bài toán thực tế liên quan tới vectơ và các phép toán
vectơ.
- Thực nghiệm 2 là một tiến trình dạy học mô hình hóa gắn với vectơ và các phép
toán vectơ .
KẾT LUẬN

9

Chương 1. TỔNG QUAN MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
VỀ MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
Những cơ sở lí thuyết chúng tôi dùng để nghiên cứu trong luận văn này không
thể không nhắc tới các khái niệm cơ bản của thuyết nhân học trong didactic toán như
là quan hệ thể chế đối với một tri thức, quan hệ cá nhân…tuy nhiên các phần trên đã
được trình bày khá nhiều trong các luận văn, vì đó là những công cụ không thể thiếu
trong didactic toán. Do đó chúng tôi đã tham khảo và tổng kết các nội dung về mô
hình hóa trong toán học, đây là một trong những cơ sở lí thuyết phục vụ cho nghiên
cứu của chúng tôi trong suốt luận văn này.
Chúng tôi tóm tắt một số kết quả nghiên cứu về mô hình hóa toán học từ các tài
liệu: Nguyễn Thị Tân An (2014), Lê Thị Hoài Châu (2014), Nguyễn Thị Nga (2014).
1.1. Mô hình hóa toán học
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
Theo Nguyễn Thị Tân An (2014) chúng tôi trình bày tóm tắt một số khái niệm
cơ bản có liên quan đến mô hình hóa toán học sau đây:
-

“Thế giới toán học: là phần thế giới bao gồm các đối tượng, kí hiệu, quan hệ,
cấu trúc toán học (Blum và Niss, 1991, [11])”.

-

“Thế giới thực: là thuật ngữ được sử dụng để mô tả phần thế giới bên ngoài thế
giới toán học, đó có thể là một môn học, một ngành khoa học khác, một lĩnh
vực thực hành, một phạm vi liên quan đến cuộc sống cá nhân hoặc xã hội
(Blum và Niss, 1991, [11])”.

-

“Tình huống thực tế:là tình huống được đặt ra trong thế giới thực với các dữ
liệu thực”.
Như vậy ta có thể xem như chia thế giới đang sống thành hai phần, một phần

thuộc về toán học, phần còn lại thuộc về ngoài toán học, khi đó tình huống thực tế


10

thuộc phần còn lại. Nhưng trong luận văn này, chúng tôi chỉ xét những tình huống
thực tế mà có thể sử dụng toán học để mô tả và giải quyết nó.
Y. Chevallard (1984) và L. Coulange (1997) phân biệt ba định nghĩa khác nhau:
bài toán thực tiễn, bài toán phỏng thực tiễn và bài toán toán học (tham khảo Lê Văn
Tiến (2005)).
-

Bài toán thực tiễn: là bài toán thuộc phạm vi ngoài toán học, các dữ kiện, yêu
cầu, câu hỏi của nó từ tình huống thực tế. Trong luận văn chúng tôi dùng các
cụm từ “bài toán thực tiễn”, “bài toán thực tế” để cùng chỉ bài toán thuộc thế
giới ngoài toán học (thế giới thực).

-

Bài toán phỏng thực tiễn: là bài toán có dữ kiện, yêu cầu, câu hỏi… không phải
từ tình huống thực tế, mà nó chỉ mô phỏng lại. Có một sự sai biệt giữa bài toán
thực tiễn và bài toán phỏng thực tiễn. Bài toán phỏng thực tiễn thường có các
dữ kiện đã được lượt bỏ bớt, các dữ kiện bài toán có thể cho ra đáp số bài toán
“đẹp” hơn.
Việc phân biệt giữa bài toán thực tiễn và phỏng thực tiễn là cần thiết, đặc biệt

trong dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa. Tuy nhiên trong trường học,
người ta thường gọi hầu hết các bài toán phỏng thực tiễn bằng bài toán thực tiễn. Tham
khảo ví dụ bài toán đoán ngày sinh tháng đẻ sau đây:
Nếu muốn đoán biết ngày sinh tháng đẻ của một người bạn, em hãy đề nghị bạn đó,
nhân ngày sinh với 12, tháng đẻ với 31 rồi cho biết tổng của hai tích này.
Hãy tính ngày sinh tháng đẻ của bạn, nếu bạn ấy cho biết tổng của hai tích nói trên là
160. [Lê Văn Tiến, 2005, tr.93]

Rõ ràng trong cuộc sống, khó có thể xuất hiện tình huống hỏi tuổi như vậy. Có
chăng nó là một bài toán được đặt ra vì mục đích sư phạm nào đó.
-

Bài toán toán học: là bài toán có các dữ kiện, các yêu cầu,… đều được diễn tả
bằng kí hiệu, ngôn ngữ toán học. Bài toán toán học thuộc thế giới toán học.


11

1.1.2. Mô hình hóa toán học
Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa là sự chuyển đổi trừu tượng một
thực tiễn cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hay thế giới đã được quan
niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên.
Theo Lê Thị Hoài Châu (2014) và Nguyễn Thị Nga (2014). “Mô hình hóa toán
học là sự giải thích toán học cho một hệ thống ngoài toán học nhằm trả lời cho những
câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này”.
Như vậy, mô hình hóa toán học là một quá trình chuyển đổi một tình huống
ngoài toán học vào phạm vi toán học, mô hình toán học có thể được thể hiện thông qua
đồ thị, bảng biểu, phương trình, hệ thống các phương trình…
Một định nghĩa mô hình hóa toán học tương tự của Edwards và Hamson (2001):

Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề
toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh
giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể
chấp nhận. [Nguyễn Thị Tân An (2014)]

Theo đó, người thực hiện mô hình hóa toán học phải giải quyết vấn đề thực tế
trong “môi trường” toán học, từ đó lại đem trở về thực tế, đánh giá dựa vào ngữ cảnh
thực tế, đôi khi phải thiết lập lại, hoặc thay đổi mô hình nếu nó không phù hợp.
Để ngắn gọn, trong luận văn này, chúng tôi dùng cụm từ “mô hình hóa” thay
cho “mô hình hóa toán học”.
1.1.3. Quá trình mô hình hóa toán học
Quá trình mô hình hóa được nhiều tác giả biểu diễn dưới dạng sơ đồ, như là sơ
đồ của của Pollak (1979), của Blum và Leiß (2006) và của 4 tác giả Stillman,
Galbraith, Brown và Edwards (2007) (tham khảo Nguyễn Thị Tân An (2014)). Sơ đồ
của Coulange (1997) (tham khảo Lê Văn Tiến (2005)). Những sơ đồ của các tác giả


12

này có những nét riêng tuy nhiên vẫn có một sự tương đồng: từ tình huống thực tế
người mô hình hóa chuyển sang bài toán toán học, dùng ngôn ngữ, kí hiệu,… của toán
học để mô phỏng tình huống thực tế, rồi dùng những kiến thức toán học để giải quyết
bài toán trên, sau đó trở về trả lời cho bài toán thực tế. Các bước trên có thể lặp đi lặp
lại nếu việc mô phỏng tình huống thực tế bằng bài toán toán học chưa phù hợp.
Vì vậy chúng tôi chọn sơ đồ của Coulange (1997) trình bày trong luận văn. Sơ
đồ này đảm bảo đầy đủ các bước của việc mô hình hóa đồng thời đơn giản, rạch ròi, dễ
hiểu.

Hình 1.1. Sơ đồ (phỏng theo) quá trình mô hình hóa của Coulange
Quá trình mô hình hóa trải qua bốn bước (tham khảo Nguyễn Thị Nga (2014))

-

Bước 1: Chuyển hệ thống ngoài toán học thành một mô hình trung gian. Hay
rút gọn bài toán thực tiễn, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất,
những dữ kiện cốt lõi của bài toán thực tiễn, mà không làm thay đổi bản chất
của bài toán ban đầu. Mô hình này tiến triển từ từ qua việc mô hình hóa: một


13

mô hình trung gian có thể gần về ngữ nghĩa ít hoặc nhiều hơn so với tình huống
thực tế được xem xét hoặc so với mô hình toán học cần xây dựng.
-

Bước 2: Chuyển từ mô hình trung gian sang mô hình toán học. Lúc này mô
hình trung gian sẽ được biểu diễn dưới dạng ngôn ngữ toán học. Từ những dữ
kiện cốt lõi của bài toán thuộc mô hình trung gian, người thực hiện mô hình hóa
xác định các biến, tham số, yêu cầu của bài toán thuộc mô hình trung gian, biểu
diễn lại bằng ngôn ngữ, kí hiệu toán học nhưng không làm thay đổi bản chất
của bài toán ban đầu.

-

Bước 3: Hoạt động toán học trong mô hình toán học. Với mô hình toán học đã
xây dựng bước 2, người thực hiện mô hình hóa vận dụng các công cụ toán học
để giải quyết bài toán này. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc
xây dựng phương pháp giải cho phù hợp.

-

Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước 3. Sau khi
đã có câu trả lời từ bài toán toán học, người thực hiện mô hình hóa phải trở về
bài toán thực tiễn, từ câu trả lời của bài toán toán học chuyển thành câu trả lời
cho bài toán thực tiễn ban đầu sẽ xảy ra những khả năng sau:
+ Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế.
+ Mô hình và các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế. Những lí do
chính dẫn đến điều này là: tính chính xác của lời giải toán học, thuật toán, quy
trình; tính thỏa đáng của mô hình toán học đang xây dựng; mô hình trung gian
đã xây dựng chưa phản ánh đầy đủ vấn đề đang xét; các số liệu ban đầu không
phản ánh đúng thực tế. Trong trường hợp này, người thực hiện mô hình hóa
phải rà soát lại, thay đổi một hoặc nhiều bước để có mô hình phù hợp nhất.
Cần nhấn mạnh rằng, tính phổ dụng của khái niệm “thực tiễn”. Theo đó thực

tiễn không chỉ đơn thuần là những vấn đề trong cuộc sống đời thường, mà còn là
những vấn đề trong các ngành khoa học (Lí, Hoá, Sinh…) hay còn là những vấn đề
trong lịch sử toán học, thậm chí là trong nội tại toán học. Trong luận văn này, đặc biệt


14

là trong phần xây dựng đồ án, chúng tôi quan tâm đến việc mô hình hóa vectơ từ
những tình huống ngoài toán học nhằm làm rõ ý nghĩa thực tế của vectơ và các phép
toán vectơ.
1.1.4. Mô hình hóa trong dạy học toán
Những thập kỷ gần đây, vấn đề mô hình hóa đã được chú trọng trong việc dạy
học môn toán trong trường học. Việc dạy học toán không còn là việc cung cấp những
công thức, định lí, những kỹ năng một cách máy móc mà đặt ra trước mắt những vấn
đề gần gũi trong cuộc sống đòi hỏi người học xuất hiện nhu cầu giải quyết. Bàn về vai
trò của mô hình hóa trong dạy học toán, tác giả Lê Văn Tiến đã trình bày khái niệm
“dạy học mô hình hóa” và “dạy học bằng mô hình hóa”. Hai khái niệm này khác nhau

bởi tiến trình vận dụng quá trình mô hình hóa vào viêc dạy học tùy vào mục đích của
giáo viên.
Dạy học mô hình hóa là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học
của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực
tiễn.
Quy trình của dạy học mô hình hóa là:
[…]Dạy học tri thức toán học lí thuyết  vận dụng các tri thức này vào việc
giải các bài toán thực tiễn và do đó vào việc xây dựng mô hình của thực tiễn.

[Lê Văn Tiến (2005), tr.96]
Quy trình dạy học mô hình hóa đặt vận dụng tri thức vào giải quyết vấn đề thực
tiễn (thông qua mô hình hóa) làm trung tâm, vì vậy tri thức phải được truyền đạt trước,
các đặt trưng của tri thức đã được nghiên cứu xong, từ đó đem kiến thức này giải quyết
bài toán thực tiễn.
Quy trình này có lợi về mặt thời gian và sự phong phú về vấn đề thực tiễn vì
không mất thời gian để tiếp cận ban đầu cho tri thức, đồng thời có thể cung cấp nhiều
bài toán thực tiễn có thể vận dụng tri thức này để giải. Tuy nhiên quy trình này có hạn
chế là làm mất đi động cơ tìm kiếm kiến thức mới, tri thức lúc này vẫn được truyền thụ


15

một cách thụ động, về mặt sư phạm điều này không gây hứng thú cho người học. Mặt
khác tiến trình này đã không cho thấy được nghĩa hình thành của tri thức.
Tiến trình của dạy học bằng mô hình hóa, cho phép khắc phục những hạn chế
này:
Bài toán thực tiễn  Xây dựng mô hình hóa toán học  câu trả lời cho bài toán
thực tiễn  Tri thức cần giảng dạy  Vận dụng tri thức này vào giải các bài
toán thực tiễn. [Lê Văn Tiến (2005), tr.96]

Tri thức cần giảng dạy được đặt làm trọng tâm trong quy trình này. Bài toán
thực tiễn kích thích nhu cầu giải quyết vấn đề của người học. Trong quá trình giải
quyết vấn đề này, mô hình hóa đóng vai trò là công cụ. Khi gặp những vấn đề mới mẻ,
những kiến thức sẵn có, có thể đã trở nên không phù hợp, buộc người học thiết lập một
trạng thái cân bằng cao hơn về nhận thức khi đó nảy sinh tri thức cần giảng dạy. Với
quy trình này, nghĩa hình thành của tri thức có thể được giáo viên cung cấp ngay từ
đầu. Hơn nữa dạy học mô hình hóa cũng được thực hiện trong quy trình này. Có thể
nói, dạy học bằng mô hình hóa có cấp độ cao hơn và bao hàm dạy học mô hình hóa.
Ví dụ sau đây về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cho ta thấy sự khác nhau giữa
hai quy trình nêu trên. (tham khảo Lê Văn Tiến (2005), tr.96))
Bảng 1.1. Quy trình dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa gắn với hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạy học mô hình hóa

Dạy học bằng mô hình hóa
 Đặt yêu cầu giải bài toán thực tế
 Xây dựng mô hình hóa toán học
(mầm mống của hệ phương trình
bậc nhất 2 ẩn). Việc xây dựng mô
hình này nảy sinh từ nhu cầu giải
các bài toán đã cho
 Giải quyết bài toán toán học trong


16

mô hình này
 Định nghĩa hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn số

 Trình bày khái niệm hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn và phương

 Trình bày cách giải hệ phương trình

pháp giải (trong đó có phương pháp
đã dùng trong bước 3)

bậc nhất hai ẩn số
 Giải các bài toán luyện tập, trong đó
có các bài toán thực tiễn (có xây

 Giải các bài toán luyện tập, trong
đó có bài toán thực tiễn.

dựng mô hình)
1.1.5. Mô hình hóa và áp dụng toán
Mô hình hóa và áp dụng toán là hai khái niệm khác nhau trong dạy học toán,
tuy nhiên chúng có điểm tương đồng là thể hiện mối tương quan giữa toán học và thực
tế. Dưới đây, chúng tôi phân biệt sự khác nhau giữa hai khái niệm này.
Quá trình mô hình hóa là sự tác động qua lại theo hai chiều: từ thực tế đến toán
học, từ toán học cho ra câu trả lời cho thực tế. Áp dụng toán chỉ có một chiều từ toán
học tới thực tế. Nghĩa là từ một chủ đề toán học, áp dụng toán chỉ ra những lĩnh vực
khác nhau sử dụng nó, hay nói cách khác chủ đề toán này, ứng dụng ở đâu trong thực
tiễn.
Điểm khác biệt thứ hai thể hiện rõ qua sơ đồ sau (tham khảo Nguyễn Thị Tân
An (2014)):

Hình 1.2. Sơ đồ minh hoạ sự khác nhau của áp dụng toán và mô hình hóa của
Burkhardt