Luận Văn thạc sĩ PHÉP BIẾN HÌNH VỚI VAI TRÒ CÔNG CỤ GIẢI TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Phạm Chí Chơn (2015)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Chí Chơn

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI VAI TRÒ CÔNG CỤ
GIẢI TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Chí Chơn

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI VAI TRÒ CÔNG CỤ
GIẢI TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐOÀN HỮU HẢI

Thành phố Hồ Chí Minh - 2015

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến:
- TS. Đoàn Hữu Hải, người thầy tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành
luận văn và đồng thời động viên tôi vượt qua khó khăn trong cuộc sống gia đình.
- PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên
Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Vũ Thị Như Hương, TS. Nguyễn Chí
Thành, TS. Nguyễn Thị Nga đã trực tiếp giảng dạy, giải đáp thắc mắc trong
những ngày làm quen với Didactic toán.
Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành luận văn này nhưng không tránh khỏi sai sót.
Kính mong sự đóng góp của bạn bè và quý thầy cô để luận văn hoàn chỉnh hơn.
Một lần nữa em chân thành cảm ơn quí thầy cô.

Phạm Chí Chơn


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1
1. Đặt vấn đề .........................................................................................................1
2. Khung lý thuyết tham chiếu ..............................................................................2
2.1. Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức ........................................3
2.2 Quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O .............................................3
2.3. Tổ chức toán học ........................................................................................3
3. Phát biểu lại câu hỏi nghiên cứu. ......................................................................4
4. Phương pháp nghiên cứu. .................................................................................4
5. Tổ chức luận văn ...............................................................................................5
Chương 1. MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ PHÉP BIẾN HÌNH ...............6
1.1. Quan điểm của một số nhà toán học ở thế kỷ 15-19 về phép biến hình ........6
1.2.Ý kiến của một số nhà giáo, nhà nghiên cứu dạy học toán ở Việt Nam.........9
Chương 2. QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN HÌNH TRONG VAI
TRÒ CÔNG CỤ GIẢI TOÁN ...................................................................................17

2.1. Phép biến hình trong SGK lớp 8 giai đoạn hiện hành .................................17
2.1.1. Đối xứng trục ........................................................................................18
2.1.2. Khái niệm đối xứng tâm .......................................................................21
2.2. Phép biến hình trong SGK 10 giai đoạn CLHN ..........................................23
2.2.1. Phép đối xứng trục ................................................................................24
2.2.2. Phép đối xứng tâm ................................................................................26
2.2.3. Phép tịnh tiến ........................................................................................27
2.2.4. Phép dời hình ........................................................................................28
2.2.5. Phép vị tự ..............................................................................................28
2.2.6. Phép đồng dạng .....................................................................................29
2.2.7. Kết luận .................................................................................................36
2.3. Phép biến hình trong SGK 11 giai đoạn hiện hành. ....................................36
2.3.1. Phép tịnh tiến ........................................................................................38


2.3.2. Phép quay ..............................................................................................39
2.3.3. Phép dời hình ........................................................................................40
2.3.4. Phép vị tự ..............................................................................................41
2.3.5. Phép đồng dạng .....................................................................................41
2.4. Sự khác biệt trong hai bộ SGK CLHN, SGK hiện hành .............................47
2.5. Kết luận rút ra từ sự phân tích thể chế I2 với PBH công cụ giải toán .........48
2. 6. Thực tế giảng dạy phép biến hình ở trường phổ thông ...............................49
2.6.1. Quá trình khảo sát .................................................................................49
2.6.2. Phân tích các câu hỏi ............................................................................51
2.6.3. Kết quả khảo sát ....................................................................................52
Chương 3: THỰC NGHIỆM ......................................................................................56
3.1. Giới thiệu thực nghiệm ................................................................................56
3.1.1. Hình thức thực nghiệm .........................................................................56
3.1.2. Câu hỏi thực nghiệm .............................................................................57
3.2. Phân tích apriori các bài toán .......................................................................59

3.2.1. Bài toán 1 ..............................................................................................59
3.2.2. Bài toán số 2 .........................................................................................60
3.2.3. Bài toán số 3 .........................................................................................61
3.3. Phân tích aposteriori các bài toán ................................................................ 63
3.3.1. Phân tích aposteriori thực nghiệm 1 .....................................................63
3.3.2. Phân tích aposteriori thực nghiệm 2 .....................................................66
KẾT LUẬN ..................................................................................................................68
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................69


DANH MỤC VIẾT TẮT
Từ viết tắt

Tên đầy đủ

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

KNV

Kiểu nhiệm vụ

PBH

Phép biến hình

PDH

Phép dời hình

PĐD

Phép đồng dạng

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên


1
MỞ ĐẦU
1. Đặt vấn đề
Khái niệm “phép biến hình” (PBH) được giảng dạy trong chương trình chính
thức trên nhiều quốc gia trên thế giới, trong đó đáng chú ý là tại những nước có nền
giáo dục tiên tiến. Trong chương trình toán học phổ thông ở Việt Nam hiện nay, khái
niệm PBH xuất hiện ở đầu lớp 11. Tuy nhiên, trước khi chính thức được trình bày
trong chương trình toán lớp 11 thì khái niệm này cũng đã được giới thiệu sơ lược

thông qua những tình huống cụ thể ở bậc trung học cơ sở.
Là một giáo viên toán sau gần 10 năm trực tiếp tham gia giảng dạy ở bậc trung
học phổ thông, tôi nhận thấy học sinh gặp khá nhiều khó khăn trong việc tiếp cận khái
niệm phép biến hình: từ việc hiểu bản chất khái niệm đến việc vận dụng khái niệm;
đặc biệt, việc khai thác và sử dụng PBH như là một công cụ để giải các bài toán rất ít
khi xuất hiện. Điều này có vẻ như một hiện tượng dị biệt, không bình thường, trước
một thực tế khác, đó là các ý kiến, kinh nghiệm của nhiều nhà giáo, nhà nghiên cứu
cho rằng PBH có thể là một công cụ hữu hiệu đối với việc giải quyết các dạng bài toán
khác nhau trong chương trình toán bậc phổ thông. Có thể giải thích hiện tượng này
như thế nào? Đây là câu hỏi đã làm tôi trăn trở rất nhiều trong những năm gần đây,
không dừng lại ở đó mới đây tôi đã thử thực hiện một trắc nghiệm nhỏ bằng cách yêu
cầu học sinh lớp 12 giải bài toán sau:
Cho góc xOy, Oz là tia phân giác. Trên tia Ox lấy các điểm A, B. Gọi A’
và B’ là hai điểm lần lượt đối xứng với A, B qua Oz. Chứng minh rằng
(Hình 0.1)
x
B
A
z
O
A'
B'

Hình 0.1

y


2
Khi nêu bài toán này, chúng tôi đã chủ động tạo điều kiện thuận lợi cho việc

chọn phương án sử dụng PBH để giải bằng cách bổ sung 2 gợi ý: thứ nhất là dùng
ngôn ngữ BH để phát biểu nội dung bài toán và thứ hai, khuyến khích học sinh giải
bằng những cách khác nhau.
Kết quả nhận được thật bất ngờ: trong số 41 học sinh tham gia có 12 em không
cho lời giải; 28 em dùng phương pháp tổng hợp để giải và cho kết quả đúng; chỉ có 01
học sinh sử dụng công cụ PBH để giải bài toán.
Kết quả này, một mặt giúp tôi củng cố thêm nhận định đã nêu ra ở trên về thực
trạng học sinh vận dụng PBH để giải các bài toán trong chương trình phổ thông và mặt
khác lại đặt ra vấn đề “tại sao một công cụ tiềm năng” như thế lại không phát huy
được tác dụng của nó trong quá trình dạy học toán nói chung, đặc biệt trong việc giải
các bài toán? Liệu đây có phải là hiện tượng diễn ra phổ biến hay chỉ trong phạm vi
cục bộ, có tính địa phương?
Mong muốn tìm câu trả lời cho các câu hỏi này đã dẫn chúng tôi đến lựa chọn
quyết định sẽ thực hiện một nghiên cứu về “phép biến hình với vai trò công cụ giải
toán ở trường phổ thông”.
Thực hiện nghiên cứu này, chúng tôi dự kiến đặt ra và tìm hướng giải quyết các
câu hỏi sau đây:
Q1’: Vai trò công cụ của PBH trong việc giải các bài toán thể hiện như thế nào
trong các công trình nghiên cứu trước đây?
Q2’: Trong chương trình và sách giáo khoa toán bậc phổ thông ở Việt Nam,
khái niệm PBH được đưa vào như thế nào? Mức độ quan tâm đến việc khai thác vai
trò công cụ giải toán của PBH?
Q3’: Công cụ PBH được học sinh vận dụng để giải các bài toán như thế nào?
2. Khung lý thuyết tham chiếu
Đi tìm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi đã nêu ra. Chúng tôi đặt nghiên
cứu của mình trong khuôn khổ của lý thuyết Didactic toán, trong đó: Những khái niệm
cơ bản của lý thuyết nhân học trong dạy học như Quan hệ thể chế, Quan hệ cá nhân


3

đối với một đối tượng trí thức hay Tổ chức toán học sẽ được vận dụng. Ngoài ra, để
triển khai nghiên cứu thực nghiệm, chúng tôi cũng sẽ vận dụng các khái niệm như
Phân tích apriori, Phân tích aposteriori, Biến didactic, Biến tình huống v.v.
Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ
tính thỏa đáng của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết phục vụ nghiên cứu của mình.
2.1. Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức
Một đối tượng tri thức O là một cái gì đó tồn tại, ít nhất đối với một cá nhân.
Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với một đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X,O), là
tập hợp những tác động qua lại mà X có với O. R(X,O) cho biết X nghĩ gì về O, X
hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao. Trong nghiên cứu này, đối tượng tri thức O là
khái niệm Phép biến hình xét trên phương diện công cụ giải các bài toán trong chương
trình phồ thông.
2.2 Quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O
Một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn phải ở trong ít nhất một
thể chế. Từ đó, việc thiết lập hay biến đổi quan hệ cá nhân R(X,O) phải được đặt trong
một thể chế I nào đó mà trong đó có sự tồn tại của X. Chevallard đã dùng thuật ngữ
quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O) để chỉ tập hợp các ràng buộc mà thể
chế I có với tri thức O. Đồng thời, quan hệ thể chế R(I, O) cho biết O xuất hiện khi
nào, ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I.
Trong luận văn của mình, chúng tôi một mặt sẽ làm rõ các mối quan hệ R(I,O)
và R(X,O) đồng thời làm rõ quan hệ giữa R(I,O) và R(X,O). Để làm rõ quan hệ này,
lại cần đến một công cụ khác, đó là Tổ chức toán học.
2.3. Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần thiết
xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan
điểm này, Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie.


4
Theo Chevallard, một praxeologie gồm 4 thành phần (T,

kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật cho phép giải quyết T,
là lý thuyết giải thích cho công nghệ

), trong đó T là

công nghệ giải thích cho kỹ thuật ,

Một praxeologie mà các thành phần đều

mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học.
3. Phát biểu lại câu hỏi nghiên cứu
Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi đã phát biểu lại các câu
hỏi ban đầu như sau:
Q1: Vai trò công cụ của PBH trong việc giải các bài toán thể hiện như thế nào
trong các công trình nghiên cứu trước đây?
Q2: Khái PBH được trình bày trong SGK phổ thông như thế nào? Mối quan hệ
thể chế với khái niệm này được xây dựng và tiến triển ra sao từ phương diện giải toán?
Những tổ chức toán học nào gắn liền với nó?
Q3: Mối quan hệ thể chế có ảnh hưởng như thế nào đối với mối quan hệ cá
nhân học sinh của khái niệm PBH với vai trò công cụ giải các bài toán trong chương
trình phổ thông?
Mục đích nghiên cứu của đề tài là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi trên.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để đáp ứng câu hỏi Q1 chúng tôi tìm hiểu những đặc trưng về công cụ giải toán
của PBH ở giai đoạn lịch sử qua quan điểm của các nhà toán học để lại. Bên cạnh đó,
chúng tôi tổng hợp những nhận định của những tác giả trong các giáo trình bậc Đại
học về ưu điểm nổi bậc của nó trong khi vận dụng vào việc giải quyết các bài toán
trong chương trình phổ thông.
Với câu hỏi Q2 chúng tôi tiến hành phân tích chương trình, SGK, SGV, SBT
liên quan đến PBH để làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng PBH, đặc biệt về

phương diện công cụ giải toán. Ngoài ra, chúng tôi cũng sẽ tiến hành phỏng vấn một
số đồng nghiệp về chủ đề đang nghiên cứu. Trên cơ sở đó, hình thành và phát biểu giả
thuyết nghiên cứu cho đề tài.


5
Để trả lời câu hỏi Q3 chúng tôi sẽ triển khai một nghiên cứu thực nghiệm dựa
trên đối tượng học sinh đã học xong nội dung PBH ở trường phổ thông để kiểm chứng
giả thuyết nghiên cứu về mối quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng tri thức được
nghiên cứu.
Để đạt được mục tiêu đề ra, phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi chọn đã
được cụ thể hóa bằng sơ đồ sau:
Nghiên cứu khoa học luận PBH bằng
cách tổng kết các công trình đã có để
xem vai trò công cụ của nó ở cấp độ tri
thức khoa học.

Phân tích chương trình, SGK, SGV,
SBT để làm rõ mối quan hệ thể chế
dạy học PBH từ phương diện công cụ.

Thực nghiệm

5. Tổ chức luận văn
Luận văn này được cấu trúc gồm 3 chương ngoài phẩn Mở đầu và Kết luận.
Chương 1: Một số kết quả nghiên cứu về phép biến hình.
Chương 2: Quan hệ thể chế với phép biến hình với vai trò công cụ giải toán.
Chương 3: Thực nghiệm.

6
Chương 1
MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ PHÉP BIẾN HÌNH
Mục đích chương này, là chúng tôi muốn tìm hiểu quan điểm của các nhà toán
học về PBH ở giai đoạn lịch sử. Bên cạnh đó, chúng tôi tổng hợp một số công trình đã
được công bố của các tác giả trong nướcvề PBH từ công cụ giải toán.
Các kết quả dưới đây được lấy chủ yếu từ cuốn sách “ Phương pháp dạy học
hình học ở trường phổ thông” của tác giả Lê Thị Hoài Châu, ký hiệu [A].
1. 1. Quan điểm của một số nhà toán học ở thế kỷ 15-19 về PBH
Vào thế kỷ XV các họa sĩ thời phục hưng như Durer, Lesonard de Vinci,
Brunelleschi biểu diễn các đối tượng không gian lên mặt phẳng sao cho có thể tạo
thành hình vẽ “trung thành” nhất của thực tế. Họ giải thích tấm bảng vẽ như một lát cắt
phẳng, trong suốt của “hình nón nhìn” tức là hình nón được xác định bởi các tia sáng
nối liền mắt với các điểm khác nhau của đối tượng mà người ta muốn biểu diễn.
Thoạt tiên, chúng chỉ giới hạn ở phạm vi nghệ thuật, sau đó phép chiếu được
đưa vào hình học nhờ công trình của Girad Desargues (1591 – 1661), một kiến trúc sư
người Pháp. Theo Desargues, phép phối cảnh không chỉ cho phép tạo ra một hình từ
một hình khác mà còn mang tính chất hình ban đầu vào những hình nhận được.
Nghiên cứu của Desargues liên quan chủ yếu đến các đường coonic, những đường này
được xem là giao của mặt phẳng với hình nón tròn xoay nhờ phép chiếu của đường
tròn lên những mặt phẳng không song song.
Elip, Parabol, hyperbol với ông không chỉ là hình phối cảnh của một đường tròn. Chúng
là giao của hình nón được tạo thành bởi các tia sáng đi từ mắt đến đường tròn với mặt
phẳng bức tranh. Người ta chuyển từ đường này đến đường kia bằng cách làm cho mặt
phẳng bức tranh quay quanh một trục. Các đường cônic chỉ là những đường tròn biến
dạng” (trích theo Thienard 1994 tr16).

Girad Desargues tưởng tượng là phép chiếu này chuyển một số tính chất hình
học của đường tròn vào các đường cônic ảnh, do đó mà các tính chất của đường cônic
có thể được suy ra (không cần phép chứng minh mới) từ tính chất của đường tròn.

7
Như vậy, các PBH đã được Desargues sử dụng ngầm ẩn như một công cụ đặt
tương ứng các điểm của đường tròn với các điểm của đường cônic hay tính chất bất
biến của phép chiếu.
Tiếp theo, Passcal (1623 – 1662) đã sử dụng lại phép chiếu của Desargues để
trình bày lại cuốn sách về các đường cônic của ông. Pascal đã kế thừa tưởng tượng của
Desargues, cho phép ông thiết lập giữa hai hình một tương ứng “ mọi điểm của đường
tròn chiếu ảnh của nó lên mặt phẳng bức tranh”.
Pascal đã tưởng tượng mỗi điểm của đường cônic là ảnh của một điểm thuộc
đường tròn qua phép chiếu. Ta thấy ngay từ gốc, phép biến hình xuất hiện như một
công cụ để chứng minh hay dựng hình. Tuy nhiên, PBH chỉ xét trong ngữ cảnh các
đường cônic, và cũng chỉ có duy nhất phép chiếu được sử dụng.
Newton (1642 – 1727) cũng sử dụng phép biến hình vào mục đích nghiên cứu
các đường cônic. Vấn đề xác định một số quỹ đạo buộc Newton phải giải một lớp bài
toán liên quan đến các đường cônic. Khó khăn gặp phải khi giải nhiều bài toán cần giải
quyết trên một hình đơn giản hơn nhận được từ hình ban đầu qua một phép biến hình.
Phép biến hình được ông sử dụng như một phương pháp để biến đổi các hình thành
những hình đơn giản hơn thuộc hình cùng loại. Từ đó, Newton đã đưa ra một quy trình
dựng một hình thuộc cùng loại với hình ban đầu nhưng đơn giản hơn. Ở quy trình này,
ông mô tả tường minh phép biến hình thông qua việc dựng từng điểm: với mỗi điểm G
của hình thứ nhất dựng một điểm g tương ứng của nó. Từ cách dựng điểm ảnh như thế,
làm thế nào để sinh ra hình thái thứ hai.
Điều này có nghĩa phép biến hình được sử dụng như một phương pháp biến đổi
hình này thành hình kia cùng loại. Đây cũng là công cụ để xác định ảnh khi biết tạo
ảnh di chuyển theo một quỹ đạo xác định qua phép chiếu nào đó.
Từ kết quả tổng hợp trên cho thấy, đến thế kỷ XVII, XVIII phép biến hình đã
được sử dụng như một công cụ ngầm ẩn để giải toán: chứng minh, dựng hình, quỹ tích,
nhưng vẫn chưa được chính thức là đối tượng nghiên cứu toán học.

8
Vào cuối thế kỉ 18 PBH chính thức trở thành đối tượng nghiên cứu hình học 1và
nó đã mang lại cho hình học phương pháp mới có hiệu quả trong việc giải nhiều bài
toán. Ta có thể thấy điều đó qua nghiên cứu của Poncelet (1788 – 1867), Chasles
(1793 – 1880), Mobius (1790 – 1866),…Các nhà toán học này muốn phát triển một
hình học thuần túy, độc lập với hình học giải tích, nhưng khắc phục nhược điểm của
phương pháp tổng hợp. Theo họ, phương pháp mới này không phải dựa vào hình vẽ,
phải lập luận trên những đại lượng đã được tách khỏi những giá trị số của chúng, tức là
hình học xạ ảnh được hình thành. Poncelet đã nghiên cứu các tính chất xạ ảnh của
hình, tức là những tính chất được bảo toàn qua phép chiếu, ông còn xem PBH còn tổng
quát hơn phép chiếu. Phép biến hình xuất hiện như một tương ứng giữa hai hình
phẳng, biến một điểm hình thứ nhất thành một điểm của hình thứ hai.
Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp, hình là một tập hợp điểm nào đó. Bởi
vậy, phép đặt tương ứng mỗi điểm của mặt phẳng với một điểm duy nhất theo quy tắc
dựng hình nào đó, hình thành các tính chất của PBH. Dựa vào các tính chất của nó,
cho phép lựa chọn một phương pháp mới bằng cách vận dụng PBH để giải quyết các
bài toán quỹ tích, dựng hình, chứng minh,….
Kết luận rút ra từ việc phân tích lịch sử.
- Đối với các họa sĩ thì PBH được xuất hiện ngầm ẩn qua phép phối cảnh hay
phép chiếu từ không gian lên mặt phẳng.
- Đối với các nhà toán học, phép biến hình là công cụ giải toán hình học nhờ
vào tính bất biến của một hình hay phép biến đổi hình phức tạp thành hình đơn giản
hơn.
- Như vậy, có thể vận dụng tính chất của PBH một cách có hiệu quả vào giải
quyết ba dạng toán trong hình học sơ cấp: chứng minh, dựng hình, quỹ tích.
Qua nhận định của các nhà toán học, nhà nghiên cứu đã làm nổi bật những tính
chất đặc trưng của phép biến hình trong những tình huống toán học khác nhau. Đây có

1

PBH trở thành vị trí trung tâm của các nhà nghiên cứu trong việc xây dựng các lý thuyết hình học


9
thể coi là những cơ sở để hình thành các phương pháp mới cho phép giải các bài toán
trong chương phổ thông bằng cách sử dụng công cụ phép biến hình.
1.2. Ý kiến của một số nhà giáo, nhà nghiên cứu dạy học toán VN
Câu hỏi đặt ra cho chúng tôi là: PBH dưới góc nhìn của một số tác giả như thế
nào, từ phương diện giải toán ở trường phổ thông?
Để tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu thể chế chúng tôi chỉ tập
trung nghiên cứu vai trò của PBH trong việc giải các bài toán sơ cấp trong mặt phẳng.
Nhằm để nghiên cứu cách vận dụng PBH làm công cụ hữu dụng trong giải toán
ở hình học sơ cấp. Do đó, chúng tôi tổng hợp một số công trình hiện có của một vài tác
giả. Bên cạnh đó, chúng tôi phân tích đào sâu trong từng dạng toán và tìm ra một số kỹ
thuật tương ứng khi vận dụng PBH mang lại hiệu quả hơn.
Tìm hiểu về vấn đề này chúng tôi tiếp tục tổng hợp từ cuốn sách [A] và tác giả
Nguyễn Mộng Hy “Các phép biến hình trong mặt phẳng” được ký hiệu [B], tác giả
Đào Tam giáo trình “Hình học sơ cấp” ký hiệu [C], tác giả Nguyễn Đăng Phất “ phép
biến hình trong mặt phẳng” ký hiệu [D].
Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu trong [A] đã khẳng “Các phép biến hình còn
mang lại công cụ hiệu quả cho giải toán hình học, đặc biệt là bài toán dựng hình, tìm
quỹ tích… Có nhiều bài toán sử dụng phương pháp tổng hợp rất khó khăn nhưng có
thể tìm ra cách giải ngắn gọn nhờ PBH”.
Trích dẫn từ [A] tr.186 một ví dụ:
Cho tam giác ABC với đường cao AH. Trên các cạnh AB, AC dựng các hình
vuông ABDE và ACFG nằm về phía ngoài tam giác. Chứng minh rằng đường cao AH
đi qua trung điểm M của EG.
G

Theo tác giả nếu M là trung điểm của AH

M
E

và EG thì cần phải tạo ra một tam giác nhận AM
làm một đường trung bình. Tam giác đó phải có
cạnh EG, một cạnh xuất phát từ đỉnh E chứa A

F
A
D
B'
B

H

Hình 1.1

C


10
và nhận A làm trung điểm. Suy ra cách dựng đỉnh thứ ba B’ của tam giác này: kéo dài
EA, lấy B’ sao cho A là trung điểm EB’. Vấn đề còn lại chứng minh
đều này đúng thì ta có

, vì nếu

và từ đó ta suy ra AM là đường trung bình tam giác

tam giác EAG.
Vấn đề tìm cách chứng minh

bằng phương pháp tổng hợp không hề

đơn giản. Nhưng nếu sử dụng phép quay tâm A góc

A'

quay 90o biến B thành B’ và C thành G thì ta có

G

ngay kết quả (hình 1.1).
M

Đây được xem là minh chứng cụ thể về việc
vận dụng phép quay làm công cụ để giải toán. Nếu
như sử dụng phương pháp tổng hợp thì khó khăn ở

F

E
2'

A

D

1
1

B

chỗ ta phải dựng thêm yếu tố phụ, tức là dựng thêm

2

B'
H

Hình 1.2

C

hình bình hành AGA’E, muốn chứng minh AH đi
qua trung điểm M của EG, có nghĩa là M phải là tâm hình bình hành AGA’E. Vấn đề
còn lại là khẳng định A’, A, H thẳng hàng, hay là ̂

̂.

Nghiên cứu việc khai thác có hiệu quả phép quay, ta thấy ngay thế mạnh của nó
là chứng minh, dựng hình (vuông góc, tam giác đều, sự bằng nhau của đoạn thẳng).
Một điều thuận lợi khác nếu một phần của hình vẽ được tạo thành bởi các đa giác đều
và việc chọn tâm quay thường nằm ở tâm đa giác đều hoặc là đỉnh các đa giác đều đó,
góc quay là các số đo đặc biệt. Đối với bài này có lẽ rất dễ nhận ra là hai hình vuông
ABDE, ACFG có chung đỉnh A, do đó một phép quay tâm A góc quay 90o luôn được
đặt ra hàng đầu.

Một cách tổng quát để chứng minh góc của hai đường thẳng a, b bằng , người
ta chứng minh một trong hai đường thẳng kia qua phép quay Q(

. Việc chọn tâm

O phụ thuộc vào từng giả thiết cụ thể.
Cùng quan điểm với Lê Thị Hoài Châu, tác giả Đào Tam trong cuốn sách “giáo
trình hình học sơ cấp” với khẳng định:


11
Phép biến hình là công cụ đắc lực để giải quyết các lớp thuộc nhiều dạng khác nhau. Các
lớp bài toán “ chứng minh: hai hình bằng nhau, đồng dạng nhau, sự vuông góc, song
song, đồng quy, dựng hình, quỹ tích, cực trị, tỉ số đoạn thẳng, các diện tích,…”.

Chẳng hạn lấy ví dụ: Hãy dựng tam giác ABC

B

biết AB = c, AC = b và đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A
chia góc ̂ thành hai phần sao cho ̂

̂

c

M

trong đó c, b hằng số cho trước.
Theo tác giả nếu

được dựng thỏa mãn các

I
b

C

A

điều kiện đã nêu trong bài toán. Hai điểm A, C dễ dàng

c
B'

dựng được và AC = b. Điểm B cần dựng cách A một

Hình 1.3

khoảng c. Nếu như trực tiếp xác lập điều kiện thứ hai
của B không thể thực hiện được bằng phương pháp tổng hợp bình thường. Trong
trường hợp này phép đối xứng trục tỏ ra rất hữu hiệu.
Một nhận định của tác giả trong sách giáo viên Toán 11 nâng cao “phép biến
hình là một ứng dụng đẹp trong chứng minh bài toán về đường thẳng Ơle: trọng tâm
G, trực tâm H, tâm O đường tròn ngoại tiếp của tam giác nằm trên một đường thẳng”.
Có lẽ tác giả gián tiếp khẳng định rằng tính hiệu quả và nhanh gọn với tính chất
của ảnh và tạo ảnh qua một phép biến hình nào đó, có thể vận dụng nó trong bài toán
chứng minh ba điểm thẳng hàng qua nhận định như sau:
Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng nhờ công cụ PBH ta có thể chứng minh
chúng là ảnh của ba điểm thẳng hàng đã biết qua một PBH nào đó, hoặc chứng

minh có một điểm là ảnh của một điểm thứ hai qua phép vị tự nhận điểm thứ ba
làm tâm, Lê Thị Hoài Châu.

Cách giải:

A

Với phép vị tự tâm G tỉ số -2 biến tam giác ABC
thành tam giác A’B’C’ cho nên trực tâm O của tam giác.
A’B’C’ là ảnh của H qua phép vị tự tâm G tỉ số -2 dẫn đến
ba điểm O, G, H thẳng hàng.

B'

C'
H

B

O
G
A'

Hình 1.5

C


12
Cũng đồng quan điểm trên, tác giả Nguyễn Đăng Phất trong [D] nhận định“ có

thể giải quyết bài toán nhanh gọn nhờ phép biến hình”.
Chẳng hạn như ví dụ: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn O cho
trước. Từ các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA ta
vẽ các đường thẳng đi qua và vuông góc với cạnh đối diện tương ứng. Chứng minh
các đường thẳng này đồng quy.
A

M

Cách giải:

B

Với tứ giác MNPQ là hình bình hành có tâm I,
các đường thẳng cần chứng minh lần lượt là ảnh của

N
Q

bốn đường thẳng MO, NO, PO, QO qua phép đối

C

xứng tâm I. Do đó các đường thẳng này đồng quy.
Muốn chứng minh sự đồng quy của ba đường
thẳng có thể tìm một phép biến hình thích hợp

O

I

P
D

Hình 1.6

nhận chúng làm ảnh của các đường thẳng đồng quy đã biết, hoặc tìm một phép vị tự có ba
cặp điểm tạo ảnh - ảnh thuộc ba đường thẳng đang xét, Lê Thị Hoài Châu.

- Như vậy, các tác giả đã khẳng định rằng PBH đã đem lại một công cụ hữu
hiệu vì nó có thể giảm bớt những khó khăn2 trong giải toán, bởi lẽ nó cho ta kết quả
nhanh và gọn nhất 3 nếu chúng ta biết cách khai thác kỹ thuật nó vào những dạng toán
khác nhau và các chủ đề khác nhau.
- Với tính chất bất biến của PBH cho phép chúng ta khai thác trong chứng minh
các dạng toán: đồng quy, thẳng hàng,… Ngoài ra vấn đề chứng minh sự song song
(vuông góc) của hai đường thẳng ta có thể tìm phép tịnh tiến hay phép vị tự (phép
quay 90o) biến đường đường này thành đường kia. Để chứng minh hai hình (H) và
(H’) bằng nhau (đồng dạng nhau) ta chỉ ra rằng có phép dời hình (phép đồng dạng tỉ số
k) biến hình (H) thành hình (H’).
Ngoài dạng toán chứng minh, ta có thể khai thác PBH để giải các bài toán quỹ
tích nhờ mối quan hệ của ảnh và tạo ảnh thông qua PBH F, tìm hiểu thận trọng hơn về
2
3

Không phụ thuộc quá nhiều vào hình vẽ.
Áp dụng kết quả của phương phương tổng hợp và phương pháp vectơ.


13
vấn đề này chúng tôi nghiên cứu tất cả các bài toán quỹ tích (chủ yếu kết quả) trong

hai quyển sách [B], [C], [D], nhóm sinh viên DHSPTPHCM. Từ đó chúng tôi đi đến
một kết luận rằng: Để tìm quỹ tích bằng công cụ PBH chúng ta phải chỉ ra rằng “Tồn
tại một phép biến hình F biến điểm M thành N hay F(M) = N, mà quỹ tích điểm M
hoàn toàn xác định, từ đó suy ra quỹ tích điểm N cần tìm. Nếu việc xác định PBH F
đôi chút gặp khó khăn thì ta tiến hành thực nghiệm bằng cách dựng một số hữu hạn
điểm lưu động N để dự đoán đường cong (C),(C’) từ đó suy ra tồn tại PBH biến (C)
thành (C’)”. Vì PBH là phép biến đổi 1-1 nên chỉ cần làm phần thuận là đủ.
Đặc biệt đáng chú ý, có thể khai thác hiệu quả với lớp bài toán dựng hình, bởi
vì theo quan điểm tập hợp, thì hình là tập hợp điểm. Bởi vậy, việc sử dụng hình học
nào đó ta quy về dựng một số điểm hữu hạn để xác định, có nghĩa là đủ tạo được hình
đó. Chẳng hạn, như muốn dựng hình H người ta đi đến dựng các điểm của nó, thông
thường một điểm thuộc giao của hai đường, trong hai đường dùng để xác định điểm
phải dựng thường thì một đường đã có sẵn trong dữ kiện bài toán, còn đường thứ hai là
quỹ tích của điểm có tính chất hình học đặc trưng nào đó và được suy ra từ một đường
đã cho trong bài toán bởi phép biến hình. Phép biến hình này được được phát hiện nhờ
vào phân tích cụ thể bài toán. Cho nên giải bằng công cụ PBH vào các bài toán dựng
hình được tiến hành bốn bước: Phân tích  Dựng hình  Chứng minh  Biện luận.
Câu hỏi đặt ra: Làm thế nào để nhận biết một bài toán nào đó có khả năng giải
được bằng phương pháp biến hình? Làm sao biết sử dụng PBH nào trong khi giải bài
toán?
Theo tác giả trong [D] “Để có thể giải một bài bằng phương pháp PBH, trước
hết ta phải nhận ra được dấu hiệu lớp bài toán có khả năng vận dụng phương pháp
này. Đương nhiên không phải bài toán nào cũng giải được bằng phương pháp biến
hình”.
Như vậy, trước tiên là nhận dạng có khả năng sử dụng nó, sau đó phân tích nội
dung bài toán để tìm ra yếu tố nào trong đó có mối liên hệ đáng chú ý đến một PBH cụ
thế nào đó. Sau đó vận dụng tính chất của phép biến hình này để tìm ra lời giải của bài
toán đang xét.

14
Khi giải một bài toán bằng công cụ phép biến hình thì khâu khó nhất là lựa chọn PBH có
thể sử dụng. Chính khâu này sẽ phát triển tư duy logic, tư duy hàm cho học sinh. Xuất
phát từ yêu cầu bài toán ta sẽ tìm ra những yếu tố nào có thể là ảnh và tạo ảnh của nhau
qua phép biến hình? Phép biến hình có những bất biến gì? Chúng quan hệ gì với yêu cầu
bài toán? Những yếu tố đó giúp chúng ta tìm ra PBH trong khi giải toán.
Lê Thị Hoài Châu.
A

Xét ví dụ: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,

D

R). B, C cố định trên đường tròn và A chạy trên nó. Tìm tập
H

hợp trực tâm H của tam giác ABC.
Theo tác giả, từ những yếu tố cố định B, C có thể tìm

O
C
I

B

ra yếu tố cố định nào khác để tìm ra mối liên hệ giữa A, H.
Hình 1.7

Trả lời cho câu hỏi này dẫn đến vẽ đường kính BD ( hoặc CD,
AD) và lấy trung điểm đoạn thẳng BC.

Các yếu tố mới có mối liên hệ gì với A và H không? Rõ ràng A thay đổi dẫn
đến D thay đổi mà D trên đường tròn (O, R) nên còn có thể tìm mối liên hệ giữa ảnh –
tạo ảnh giữa H và D. Cứ phân tích như vậy sẽ dẫn đến chỗ sử dụng phép tịnh tiến
vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

A

Ta vẽ thêm đường kính BD, tứ giác AHCD là hình bình
hành và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Vậy H là ảnh của A qua phép tịnh
H

tiến vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Vì A chạy trên đường tròn nên H cũng chạy
trên đường tròn.

O
C

B

I

Nếu chúng ta vẽ đường kính AA’ thì ta có I là tâm hình
bình hành BDCH cho nên phép đối xứng tâm I biến H thành

A'

Hình 1.8

A’ mà A’ thuộc đường tròn thì H cũng thuộc đường tròn.
Ngoài ra I là trung điểm AH nên kéo dài AH, cắt đường tròn tại A” thì còn
chứng minh được H đối xứng A” qua trục BC từ đó có thêm cách thứ ba.


15

Như vậy, để xác định phép biến hình F, trong đó F(M)=N ta thường dựa
trên những nhận xét như sau:
- Nếu các đường thẳng NM luôn đi qua điểm cố định thì phép biến hình F
có điểm bất động, khi đó F không thể là tịnh tiến hay đối xứng trượt.
- Nếu N và M là hai điểm đối xứng nhau qua điểm cố định hay đường
thẳng cố định thì phép biến hình F cần tìm là một phép đối xứng tâm hoặc một
phép đối xứng trục.
- Nếu N, M các đều điểm O cố định ̂ không đổi, ta nghĩ đến phép
quay liên hệ N với M.
- Nếu vecto ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không đổi ta nghĩ đến phép tịnh tiến.
- Nếu vecto ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ có phương không đổi, thì ta có thể là phép đối xứng trục
hay phép đối xứng trượt.
- Nếu đường thẳng NM luôn đi qua một điểm cố định, ta hãy xét độ dài
NM:
 Nếu NM thay đổi, thì từ đó ta xét tích hoặc tỉ số các đoạn thẳng
ON, OM, và F có thể là phép vị tự hay phép nghịch đảo.
 Nếu dịch chuyển N, M kéo theo dịch chuyển tam giác đồng dạng có
trong hình, thì F có thể là phép đồng dạng.
* Kết luận từ kết quả tổng hợp các công trình nghiên cứu đã được công bố.
- Qua nhận định của một số tác giả thì phép biến hình (nếu thuận lợi) nó sẽ
mang lại công cụ hiệu quả (giảm bớt những khó khăn, cho kết quả nhanh gọn) bằng

cách sử dụng các tính chất dựa trên quy tắc ảnh và tạo ảnh của phép biến hình nào đó,
cho phép giải quyết các dạng toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau: quỹ tích, dựng
hình, chứng minh,…


16
- Việc chọn từng PBH để sử dụng dựa vào yếu tố ảnh – tạo ảnh để xác định nó.
Phép biến hình này được phát hiện dựa vào việc phân tích nội dung cụ thể từng bài.
Tóm lại, qua việc tổng hợp các kết quả nghiên cứu của các tác giả (là chuyên
gia, giảng viên nhà nghiên cứu) cho phép làm rõ vai trò, tầm quan trọng và đặc biệt là
một số ưu thế của công cụ biến hình trong việc giải quyết các bài toán trong chương
trình toán phổ thông.
Với tiềm năng là như vậy, liệu rằng trong thể chế dạy học môn toán ở trường
phổ thông VN, vai trò và những ưu thế của công cụ biến hình có được quan tâm khai
thác? Thực tế nó được vận hành như thế nào?
Chúng ta sẽ tìm hiểu vấn đề này ở chương sau.


17
Chương 2
QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN HÌNH TRONG VAI TRÒ
CÔNG CỤ GIẢI TOÁN
Mục đích của chương này là nhằm phân tích chương trình và sách giáo khoa để
tìm câu trả lời cho câu hỏi mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 1: Trong thể chế dạy
học môn toán ở trường phổ thông VN hiện nay, vai trò và những ưu thế của công cụ
biến hình được quan tâm khai thác như thế nào?
Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích chương trình và các sách giáo khoa toán ở hai
giai đoạn khác nhau: giai đoạn thực hiện chương trình chỉnh lý hợp nhất (CLHN) và
giai đoạn triển khai chương trình hiện hành. Ở giai đoạn thực hiện chương trình chỉnh
lý hợp nhất (CLHN) thì khái niệm PBH được giới thiệu trước nội dung phương pháp

tọa độ (PPTĐ) trong mặt phẳng còn ở giai đoạn hiện hành thì thứ tự này được thay đổi
ngược lại.
 CLHN: Vectơ  PBH  PPTĐ trong mặt phẳng.
 GĐHH: Vectơ  PPTĐ trong mặt phẳng  PBH.
Câu hỏi đặt ra: Có sự khác biệt nào giữa hai giai đoạn này?
Câu hỏi này, sẽ được trả lời sau phần phân tích hai bộ SGK lớp 10 CLHN và
bộ SGK 11 GĐHH với khái niệm PBH.
Vì mục đích luận văn, nên chúng tôi chỉ phân tích PBH trong SGK trung học cơ
sở giai đoạn hiện hành với các tác giả biên soạn, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tô
Hân (Chủ biên), cùng với một số tác giả: Vũ Hữu Bình, TRần Đình Châu, Ngô Hữu
Dũng, Phạm Gia Đức, Nguyễn Duy Thuận, được xuất bản năm 2002.
2.1. Phép biến hình trong SGK lớp 8 giai đoạn hiện hành
Trong SGK lớp 8, khái niệm PBH được trình bày trong chương 1, tập trung chỉ
hai bài “Đối xứng trục, đối xứng tâm” sau khi học sinh đã được làm quen với việc gấp
hình, phóng to thu nhỏ, di chuyển hình, vẽ hình ở cấp tiểu học, điều này giúp cho học
sinh có “biểu tượng” ban đầu về phép dời hình và phép đồng dạng.


18
2.1.1. Đối xứng trục
Mục tiêu của bài:
- Hiểu định nghĩa, nhận biết hai điểm đối xứng qua một đường thẳng.
- Nhận biết được hình có trục đối xứng.
- Biết chứng minh hai điểm đối xứng qua trục.
SGK nêu định nghĩa ĐXT như sau: “Hai điểm được gọi là đối xứng qua trục d
nếu d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó”. Có thể thấy, khái
niệm ĐXT được giới thiệu bằng cách mô tả dựa vào một khái niệm đường thẳng trung
trực của đoạn thẳng đã biết ở lớp 7. Quan điểm trình bày này được giải thích trong
sách giáo viên (SGV) như sau: “SGK không xây dựng đối xứng trục theo quan điểm
biến hình mà chỉ xét hai hình đối xứng nhau qua một đường thẳng”, với lý do là học

sinh chưa được học ánh xạ.
Tiếp theo, các tác giả đưa vào tính chất (a) “Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác)
đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau”. Tính chất này được
thừa nhận mà không chứng minh.
d
A

A'

B

B'
C'

C

Hình 2.3

Thông qua hình ảnh minh họa (hình 2.4), SGK cũng đưa vào tính chất (b):
“Nếu A, B và C là 3 điểm thẳng hàng thì các điểm A’, B’ và C’ lần lượt đối xứng với
A, B và C qua trục đối xứng d cũng thẳnng hàng”.
C

B

A

d

A'

C'

Hình 2.4
2.42.2

B'


19
Với tính chất (a) học sinh có thể áp dụng PBH để chứng minh ngay: hai đoạn
thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai tam giác bằng nhau, còn chứng minh ba điểm
thẳng hàng có thể sử dụng tính chất (b). Tuy nhiên, SGK không có một hoạt động hay
bài tập để củng cố hai tính chất này.
Trong SGV gợi ý chứng minh tính chất bảo toàn như sau:
d

d
A

A

A'

A'

1

B

1

2

K

B'

Hình 2.1

Ta có: KB = KB’, KA = KA’, ̂

B'

̂ . Do đó

2

K

B

Hình 2.2

. Suy

ra AB = A’B’. Với cách chứng minh này học sinh sẽ được củng cố thêm qua việc
chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Như vậy, tính chất bảo toàn khoảng cách hai điểm được suy ra từ chứng minh
hai tam giác bằng nhau, lần lượt chứa hai cạnh nối liền hai điểm đó. Có thể nói,
phương pháp tổng hợp là công cụ để xây dựng phương pháp biến hình ở cấp học này,

tức là việc áp dụng phương pháp biến hình để chứng minh hai cạnh bằng nhau, hai tam
giác bằng nhau, hai góc bằng nhau là hệ quả của phương pháp tổng hợp. Hay nói cách
khác việc chứng minh hai tam giác bằng nhau thông qua các trường hợp bằng nhau
được học sinh củng cố thêm qua bài này. Điều này cũng lý giải một phần, tại sao trong
41 học sinh có 28 em chọn phương pháp tổng hợp để chứng minh hai tam giác bằng
nhau và chỉ có 1 em sử dụng ĐXT để giải.
Tiếp tục tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt ra đầu chương, chúng tôi phân tích thêm
xem trong SGK và SBT liệu có bổ sung các bài tập vận dụng PBH đê giải?
Bên cạnh các bài tập nhằm củng cố khái niệm ĐXT (thực hiện mục tiêu của
chương trình) như “Tìm hình H’ đối xứng trục qua hình H”, “Xác định trục đối xứng