Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm khoảng trong dạy học Toán ở bậc phổ thông

BỘ GIÁO DỤ C VÀ ĐÀO TẠ O
TRƯ Ờ NG ĐẠ I HỌ C SƯ PHẠ M TP. HỒ CHÍ MINH

Dư ơ ng Thị Lan Phư ơ ng

LUẬ N VĂN THẠ C SĨ GIÁO DỤ C HỌ C

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010


BỘ GIÁO DỤ C VÀ ĐÀO TẠ O
TRƯ Ờ NG ĐẠ I HỌ C SƯ PHẠ M TP. HỒ CHÍ MINH

Dư ơ ng Thị Lan Phư ơ ng

Chuyên ngành: Lý luậ n và phư ơ ng pháp dạ y họ c môn Toán
Mã số : 60 14 10

LUẬ N VĂN THẠ C SĨ GIÁO DỤ C HỌ C
NGƯ Ờ I HƯ Ớ NG DẪ N KHOA HỌ C:

TS. LÊ THÁI BẢ O THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010


LỜ I CẢ M Ơ N
Lờ i đầ u tiên, tôi xin bày tỏ lòng biế t ơ n sâu sắ c đế n TS. Lê Thái Bả o Thiên
Trung, ngư ờ i đã tậ n tình hư ớ ng dẫ n và giúp đỡ tôi hoàn thành luậ n văn này.
Tôi xin trân trọ ng cả m ơ n PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiế n,
TS. Lê Thái Bả o Thiên Trung, TS. Trầ n Lư ơ ng Công Khanh đã hế t lòng giả ng dạ y,

truyề n thụ nhữ ng kiế n thứ c cơ bả n và rấ t thú vị về didactic toán, cung cấ p cho
chúng tôi nhữ ng công cụ cầ n thiế t và hiệ u quả để thự c hiệ n việ c nghiên cứ u. Tôi
cũng xin chân thành cả m ơ n PGS.TS. Annie Bessot, PGS.TS. Claude Comiti, TS.
Alain Birebent đã nhiệ t tình giả i đáp nhữ ng thắ c mắ c và truyề n đạ t cho chúng tôi
nhữ ng kiế n thứ c Didactic quý báu.
Tôi cũ ng xin gở i lờ i cả m ơ n chân thành tớ i:
- Ban lãnh đạ o và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trư ờ ng ĐHSP TP.HCM
đã tạ o điề u kiệ n thuậ n lợ i cho chúng tôi đư ợ c họ c tậ p, nghiên cứ u trong suố t khóa
họ c.
- Tậ p thể lớ p Didactic Toán K18 đã cùng tôi chia sẻ nhữ ng niề m vui, nhữ ng thử
thách trong họ c tậ p và nghiên cứ u. Đặ c biệ t là các bạ n Tạ Thị Hoàng Hiệ p, Hoàng
Nguyên Lý, Phan Thị Hư ơ ng Loan, Lê Thị Huỳ nh Liên.
- Lớ p trư ở ng Đinh Quố c Khánh đã giúp đỡ tôi rấ t nhiề u trong việ c tìm tài liệ u
tham khả o.
- Ban giám hiệ u các trư ờ ng THPT Nguyễ n Thái Họ c (Khánh Hòa) và THPT
Trư ờ ng Chinh (TP Hồ Chí Minh) và bạ n Phan Thị Hư ơ ng Loan đã tạ o điề u kiệ n
thuậ n lợ i, giúp đỡ tôi tiế n hành nhữ ng thự c nghiệ m củ a luậ n văn.
Sau cùng, tôi xin cả m ơ n nhữ ng ngư ờ i thân yêu trong gia đình đã luôn độ ng
viên và nâng đỡ tôi về mọ i mặ t.
Dư ơ ng Thị Lan Phư ơ ng


MỤ C LỤ C
Trang
Trang phụ bìa
Lờ i cả m ơ n
Mụ c lụ c
Danh mụ c các chữ viế t tắ t
Danh mụ c các bả ng
MỞ ĐẦ U ......................................................................................................................... 1

Chư ơ ng 1: ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M
KHOẢ NG
1.1. Khái niệ m khoả ng ..................................................................................................... 5
1.2. Nhữ ng tính chấ t đặ c trư ng cơ bả n củ a khái niệ m khoả ng......................................... 8
1.2.1. Tính sắ p thứ tự liên tụ c (đủ ).......................................................................... 8
1.2.2. Lự c lư ợ ng củ a khoả ng ................................................................................ 10
1.2.3. Tính chấ t mở , đóng củ a khái niệ m khoả ng
trong tôpô trên tậ p số thự c R...................................................................... 13
1.3. Kế t luậ n .................................................................................................................. 17
Chư ơ ng 2: KHÁI NIỆ M KHOẢ NG Ở CẤ P ĐỘ TRI THỨ C CẦ N
GIẢ NG DẠ Y
2.1. Khái niệ m khoả ng trong mộ t bộ sách giáo khoa Úc ............................................... 20
2.1.1. Thờ i điể m chư a có đị nh nghĩ a chínhố ng kê số lư ợ ng các chiế n lư ợ c cho câu hỏ i 2b................................. 95
Bả ng 3.4 - Thố ng kê số lư ợ ng các chiế n lư ợ c cho câu hỏ i 3................................... 98
Bả ng 3.5 - Thố ng kê số lư ợ ng các chiế n lư ợ c cho câu hỏ i 4a................................. 99
Bả ng 3.6 - Thố ng kê số lư ợ ng các chiế n lư ợ c cho câu hỏ i 4b................................. 99


MỞ ĐẦ U

-1-

MỞ

ĐẦ U

1. Nhữ ng ghi nhậ n ban đầ u và câu hỏ i xuấ t phát
Trong dạ y họ c bấ t phư ơ ng trình, đôi lầ n chúng tôi bắ t gặ p hiệ n tư ợ ng mộ t vài họ c
sinh trả lờ i tậ p nghiệ m chỉ liệ t kê các số nguyên, hay có khi họ thử lạ i nghiệ m bằ ng
cách chỉ lấ y các số nguyên thuộ c tậ p nghiệ m thay vào bấ t phư ơ ng trình.

Và trong dạ y họ c về các phép toán tậ p hợ p trên khoả ng, chúng tôi cũ ng bắ t gặ p
mộ t vài họ c sinh lấ y giao và hợ p hay hiệ u củ a các khoả ng chỉ gồ m các số nguyên.
Nhữ ng hiệ n tư ợ ng đó khiế n chúng tôi thắ c mắ c: Sai lầ m kiể u này là do đâu?
Chúng xuấ t hiệ n ngẫ u nhiên hay bị mộ t tác độ ng nào đó chi phố i?
Rõ ràng, tậ p nghiệ m củ a bấ t phư ơ ng trình thư ờ ng là các khoả ng. Và khái niệ m
khoả ng đư ợ c đư a vào dạ y trong chư ơ ng “mệ nh đề - tậ p hợ p” là chư ơ ng mở đầ u củ a đạ i
số 10. Thự c tế nhữ ng năm qua cho thấ y giáo viên chỉ coi trọ ng việ c tìm hợ p, giao, hiệ u
củ a khoả ng (tứ c thự c hiệ n các phép toán tậ p hợ p trên khoả ng). Tạ i sao lạ i như vậ y?
Khái niệ m khoả ng đư ợ c đặ t vào dạ y trong mộ t chư ơ ng rấ t quan trọ ng. Thậ t vậ y,
có lờ i nhậ n đị nh như sau: “Các chư ơ ng tiế p theo củ a sách giáo khoa sẽ đư ợ c trình bày
thố ng nhấ t theo ngôn ngữ mệ nh đề và tậ p hợ p. Như vậ y, nộ i dung củ a chư ơ ng I là rấ t
cơ bả n và cầ n thiế t để họ c sinh họ c tậ p tiế p các chư ơ ng sau củ a Đạ i số 10 nói riêng,
để họ c tậ p và ứ ng dụ ng Toán nói chung” [3, tr.32]. Và đúng như lờ i nhậ n đị nh này, ta
thấ y khái niệ m khoả ng có mặ t trong nhiề u đị nh nghĩ a; đị nh lý; bài toán quan trọ ng ở
trung họ c phổ thông. Từ nhữ ng bài toán về tậ p hợ p đế n bài toán tìm tậ p xác đị nh củ a
hàm số . Rồ i mở rộ ng hơ n trong các khái niệ m củ a giả i tích như giớ i hạ n hàm số trên
mộ t khoả ng; hàm số liên tụ c trên mộ t khoả ng; đạ o hàm củ a hàm số trên mộ t khoả ng và
tích phân củ a hàm số ...Hay nhữ ng bài toán tìm giá trị lớ n nhấ t nhỏ nhấ t củ a hàm số
trên mộ t khoả ng; bài toán chứ ng minh phư ơ ng trình có nghiệ m trên khoả ng… Như vậ y
việ c nắ m vữ ng khái niệ m khoả ng là rấ t cầ n thiế t.


MỞ ĐẦ U

-2-

Từ nhữ ng ghi nhậ n trên thôi thúc chúng tôi thự c hiệ n đề tài nghiên cứ u này vớ i
các câu hỏ i xuấ t phát như sau:
- Khái niệ m khoả ng đư ợ c sách giáo khoa trình bày ra sao? Việ c dạ y khái niệ m
khoả ng đã đư ợ c các noosphères tính đế n như thế nào?

- Khoả ng đư ợ c họ c sinh hiể u ra sao? Nhữ ng quan niệ m về khoả ng củ a họ c sinh
chính xác chư a? Chúng có ả nh hư ở ng đế n sự xây dự ng các kiế n thứ c toán sau này
ở họ c sinh không?
2. Mụ c đích nghiên cứ u và phạ m vi lý thuyế t tham chiế u
Mụ c đích tổ ng quát củ a luậ n văn là tìm câu trả lờ i cho nhữ ng câu hỏ i đặ t ra ở trên.
Để làm đư ợ c điề u đó, chúng tôi sẽ vậ n dụ ng các yế u tố công cụ củ a lý thuyế t
didactique Toán. Cụ thể , đó là mộ t số khái niệ m công cụ củ a lý thuyế t nhân chủ ng họ c
(chuyể n đổ i didactique, mố i quan hệ thể chế , mố i quan hệ cá nhân đố i vớ i mộ t tri thứ c)
và củ a lý thuyế t tình huố ng (khái niệ m hợ p đồ ng didactique).
Trong phạ m vi lý thuyế t nêu trên, các câu hỏ i nghiên cứ u củ a chúng tôi có thể
đư ợ c trình bày lạ i như sau:
Q1: Ở cấ p độ tri thứ c bác họ c, khái niệ m khoả ng đư ợ c đề cậ p như thế nào? Nó có
nhữ ng đặ c trư ng gì?
Q2: Mố i quan hệ thể chế vớ i khái niệ m khoả ng đã đư ợ c xây dự ng và tiế n triể n ra
sao trong thể chế dạ y họ c ở trư ờ ng phổ thông? Trong thể chế đó, khái niệ m
khoả ng có nhữ ng chênh lệ ch nào so vớ i khái niệ m khoả ng ở cấ p độ tri thứ c bác
họ c? Có nhữ ng điề u kiệ n và ràng buộ c nào củ a thể chế trên khái niệ m này?
Q3: Ở

họ c sinh THPT, quan hệ cá nhân nào vớ i đố i tư ợ ng khoả ng đư ợ c hình

thành? Họ có thể sử dụ ng khoả ng để giả i quyế t nhữ ng kiể u nhiệ m vụ nào? Nhữ ng
quy tắ c hợ p đồ ng didactic nào chi phố i quan niệ m củ a họ về khái niệ m khoả ng?


MỞ ĐẦ U

-3-

3. Phư ơ ng pháp và tổ chứ c nghiên cứ u

Phư ơ ng pháp nghiên cứ u mà chúng tôi áp dụ ng trong luậ n văn này là thự c hiệ n
đồ ng thờ i hai nghiên cứ u: Nghiên cứ u khoa họ c luậ n và nghiên cứ u thể chế . Nghiên
cứ u khoa họ c luậ n sẽ là cơ sở tham chiế u cho nghiên cứ u mố i quan hệ thể chế . Từ kế t
quả củ a hai nghiên cứ u này cho phép đề xuấ t các giả thuyế t nghiên cứ u. Sau đó, hợ p
thứ c hóa các giả thuyế t nghiên cứ u này bằ ng thự c nghiệ m.
Dự a vào phư ơ ng pháp nghiên cứ u nêu trên, chúng tôi tổ chứ c nghiên cứ u như
sau:
• Do thiế u tài liệ u tham khả o đặ c biệ t là các tư liệ u lị ch sử toán, chúng tôi không
thể tiế n hành mộ t nghiên cứ u khoa họ c luậ n đầ y đủ đư ợ c. Nên chúng tôi chỉ nghiên
cứ u tri thứ c khoa họ c thông qua phân tích mộ t số giáo trình toán ở bậ c đạ i họ c và mộ t
số tác phẩ m có đề cậ p tớ i khái niệ m khoả ng. Nghiên cứ u này nhằ m tìm hiể u cách trình
bày khái niệ m khoả ng ở cấ p độ tri thứ c bác họ c và rút ra nhữ ng đặ c trư ng củ a nó.
• Dự a vào phân tích trên, chúng tôi sẽ nghiên cứ u mố i quan hệ thể chế vớ i khái
niệ m khoả ng trong mộ t bộ SGK củ a Úc.
• Kế t quả phân tích tri thứ c khoa họ c và phân tích SGK củ a Úc đó sẽ là cơ sở
tham chiế u và đố i chiế u cho việ c phân tích mố i quan hệ thể chế vớ i khái niệ m khoả ng
ở Việ t Nam.
• Nhữ ng kế t quả đạ t đư ợ c ở trên cho phép đề ra nhữ ng câu hỏ i mớ i và các giả
thuyế t nghiên cứ u mà tính thích đáng củ a chúng sẽ đư ợ c kiể m chứ ng bằ ng thự c
nghiệ m.
• Xây dự ng tình huố ng thự c nghiệ m cho phép hợ p thứ c hóa giả thuyế tnghiên cứ u
và trả lờ i mộ t số câu hỏ i mớ i đặ t ra. Đồ ng thờ i thự c nghiệ m cũ ng cho phép nghiên cứ u
quan hệ cá nhân củ a họ c sinh vớ i đố i tư ợ ng khoả ng.


MỞ ĐẦ U

-4-

Phư ơ ng pháp nghiên cứ u trên đư ợ c sơ đồ hoá như sau:

NGHIÊN CỨ U KHOA HỌ C

NGHIÊN CỨ U TRI THỨ C CẦ N

LUẬ N

GIẢ NG DẠ Y
Trong mộ t SGK củ a Úc

NGHIÊN CỨ U TRI THỨ C CẦ N
GIẢ NG DẠ Y
Thể chế dạ y họ c toán ở Việ t Nam

THỰ C NGHIỆ M

4.Cấ u trúc luậ n văn
Luậ n văn gồ m 5 phầ n:
Phầ n mở đầ u: Trong phầ n này, chúng tôi trình bày nhữ ng ghi nhậ n ban đầ u, lợ i
ích củ a đề tài nghiên cứ u, mụ c đích củ a đề tài, phạ m vi lý thuyế t tham chiế u, phư ơ ng
pháp và tổ chứ c nghiên cứ u, cấ u trúc củ a luậ n văn.
Chư ơ ng 1: Trình bày việ c phân tích khái niệ m khoả ng ở cấ p độ tri thứ c bác họ c
trong mộ t số giáo trình bậ c đạ i họ c để làm rõ các đặ c trư ng cơ bả n củ a khái niệ m
khoả ng.
Chư ơ ng 2: Mở đầ u là sự phân tích mộ t bộ SGK toán củ a Úc. Tiế p đó, chúng tôi
phân tích mố i quan hệ thể chế dạ y họ c toán ở trư ờ ng phổ thông Việ t Nam vớ i khái
niệ m khoả ng.
Chư ơ ng 3: Trình bày thự c nghiệ m nhằ m kiể m chứ ng tính thoả đáng củ a các giả
thuyế t mà chúng tôi đã đặ t ra ở cuố i chư ơ ng 2.
Phầ n kế t luậ n: Tóm lư ợ c lạ i nhữ ng kế t quả đạ t đư ợ c ở chư ơ ng 1, 2, 3 và đề xuấ t
mộ t số hư ớ ng nghiên cứ u có thể mở ra từ luậ n văn này.

CHƯ Ơ NG 1

-5-

Chư ơ ng 1
ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A
KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
Mụ c tiêu củ a chư ơ ng
Mụ c đích củ a chư ơ ng này là tìm câu trả lờ i cho câu hỏ i Q1 đã đư ợ c nêu ở
mở đầ u. Đó là: “Q1: Ở

phầ n

cấ p độ tri thứ c khoa họ c, khái niệ m khoả ng đư ợ c đề cậ p như

thế nào? Nó có nhữ ng đặ c trư ng gì?”
Vì thế , chúng tôi đã tìm hiể u và phân tích khái niệ m khoả ng ở cấ p độ tri thứ c
khoa họ c và từ đó chỉ ra nhữ ng đặ c trư ng cơ bả n củ a nó.
Chư ơ ng này đư ợ c trình bày dự a vào việ c tham khả o các nguồ n tài liệ u: [14]; [15];
[16]; [17]; [18]; [19]; [20]; [21]; [22]; [30]; [31].
1.1. Khái niệ m khoả ng
Đị nh nghĩ a tổ ng quát về khái niệ m khoả ng củ a mộ t tậ p bấ t kỳ đư ợ c nêu trong “Từ
điể n toán họ c thông dụ ng” củ a nhóm tác giả Ngô Thúc Lanh như sau:
“Mộ t bộ phậ n I củ a mộ t tậ p hợ p sắ p thứ tự E đư ợ c gọ i là mộ t khoả ng nế u vớ i mọ i
cặ p phầ n tử (x;y) củ a I, mọ i phầ n tử củ a E nằ m giữ a x và y đề u thuộ c I.
[…]Giả sử a và b là hai phầ n tử củ a mộ t tậ p hợ p sắ p thứ tự E sao cho a < b , ngư ờ i ta
phân biệ t bố n loạ i khoả ng có đầ u mút a và b : khoả ng mở

(a; b) = { x ∈ E / a < x < b} ,

khoả ng đóng [a; b] = { x ∈ E / a ≤ x ≤ b} , các khoả ng đóng mộ t phía và mở

mộ t phía

(a; b] = { x ∈ E / a < x ≤ b} và [a; b) = { x ∈ E / a ≤ x < b} .

Ngoài ra, các bộ phậ n (←; a) = { x ∈ E / x < a} ; (←; a] = { x ∈ E / x ≤ a} ;
(a; →) = { x ∈ E / a < x} ; [a; →) = { x ∈ E / a ≤ x} cũ ng là nhữ ng khoả ng.” [14, tr.353]

Theo đị nh nghĩ a tổ ng quát này, tùy vào tậ p sắ p thứ tự E, chẳ ng hạ n N, Z, Q hay
R, mà có nhữ ng khoả ng tư ơ ng ứ ng củ a tậ p đó.

Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG


CHƯ Ơ NG 1

-6-

Nghiên cứ u củ a chúng tôi chỉ giớ i hạ n trong khuôn khổ khái niệ m khoả ng củ a tậ p
số thự c R. Chú ý rằ ng, từ đây về sau, nế u nói đế n khoả ng mà không có chú thích gì
thêm thì chúng ta quy ư ớ c đó là khoả ng củ a R.
Và cũ ng cuố n từ điể n trên đề cậ p đế n khái niệ m khoả ng củ a R như sau:
“Mọ i khoả ng củ a R đề u thuộ c mộ t trong các kiể u trên đây. Vì R là mộ t bộ phậ n
củ a đư ờ ng thẳ ng thự c hoàn chỉ nh R = R ∪ { − ∞; +∞} , nên thay cho (←; a ) ;
(←; a ] ; (a; →) ; [a; →) ngư ờ i ta viế t theo thứ

tự

(−∞; a ) ; (−∞; a ] ; (a; +∞ ) ; [a; +∞) . Ngoài

ra, ta cũ ng xem […] R = (−∞; +∞) […]” [14, tr.353-354]
Các đị nh nghĩ a về khoả ng củ a R đư ợ c tìm thấ y trong các giáo trình toán bậ c đạ i
họ c thư ờ ng ở nhữ ng chư ơ ng như : chư ơ ng tậ p hợ p; chư ơ ng kiế n thứ c chuẩ n bị ; chư ơ ng
nhậ p môn; chư ơ ng số thự c. Từ đó, có thể thấ y vị trí củ a khái niệ m khoả ng là nằ m trong
phầ n tri thứ c cơ sở củ a toán họ c. Và đố i tư ợ ng khoả ng đư ợ c sử dụ ng trong nhiề u phầ n
tri thứ c toán củ a giả i tích, đạ i số , số họ c,…
Cụ thể hơ n, đị nh nghĩ a khái niệ m khoả ng củ a R đư ợ c trình bày trong mộ t giáo
trình củ a trư ờ ng đạ i họ c Khoa họ c Tự nhiên TP.Hồ Chí Mình như sau:
“Tậ p con I ⊂ R đư ợ c gọ i là mộ t khoả ng nế u vớ i mọ i x, y ∈ I , x ≤ y , ta có t ∈ I ,
vớ i mọ i x ≤ t ≤ y .
Khoả ng trong R có mộ t trong các dạ ng sau,
[a; b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b} (mà ta còn gọ i là khoả ng đóng hay đoạ n)
(a; b) = { x ∈ R / a < x < b} (mà ta còn gọ i là khoả ng mở )
[a; b) = { x ∈ R / a ≤ x < b} ,

(a; b] = { x ∈ R / a < x ≤ b} ,

[a; +∞) = {x ∈ R / a ≤ x} ,

(a; +∞ ) = {x ∈ R / a < x} ,

(−∞; b]={x ∈ R / x ≤ b} ,

(−∞; b) = { x ∈ R / x < b} .” (theo [16, tr.14] )

Theo trên, ngư ờ i ta đư a ra đị nh nghĩ a tổ ng quát về khái niệ m khoả ng củ a R là mộ t
tậ p con I củ a R vớ i đặ c trư ng các phầ n tử củ a I thỏ a: “mọ i x, y ∈ I , x ≤ y , ta có t ∈ I ,

Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG