Tiểu luận môn học Lý thuyết đàn hồi

Lý thuyết đàn hồi
Lời nói đầu
Cơ học vật rắn biến dạng là một ngành học lớn, nghiên cứu sự làm việc của vật
rắn về mặt cơ học như trạng thái ứng suất, trạng thái chuyển vị và biến dạng…dưới
các tác dụng bên ngoài (tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức…
Do các đối tượng nghiên cứu, đều kiện làm việc và mức độ yêu cầu nghiên cứu
khác nhau nên trong quá trình phát triển, ngành học lớn này chia thành nhiều môn học
riêng như sau:
* Sức bền vật liệu và cơ học kết cấu: (đàn hồi ứng dụng trong kỹ thuật):
Chủ yếu nghiên cứu thanh và hệ thanh. Trong quá trình tính toán đã đưa ra các
giả thiết để đơn giản việc nghiên cứu từ đó có những kết quả tiện lợi trong vấn đề tính
toán.
* Lý thuyết đàn hồi : Nghiên cứu các vật rắn đàn hồi có hình dạng bất kỳ.
* Các lý thuyết khác :
- Lý thuyết dẻo: Nghiên cứu sự làm việc của vật liệu ở giai đoạn biến dạng dẻo,
sự hình thành biến dạng dẻo và các ứng suất tương ứng.
- Lý thuyết từ biến: Nghiên cứu sự biến đổi theo thời gian của ứng suất và biến
dạng của kết cấu dưới tác dụng của ngoại lực ban đầu (kể cả trường hợp ngoại lực
không thay đổi theo thời gian).
- Lý thuyết lưu biến (Nghiên cứu về sự chảy của vật chất): Nghiên cứu những
định luật chung về sự phát sinh và phát triển của biến dạng theo thời gian của vật chất
do những nguyên nhân khác nhau trong những điều kiện nhiệt động và hóa lý khác
nhau.
Nhìn chung các môn học này đều có đối tượng và phương pháp nghiên cứu
khác nhau nhưng mang tính tương đối. Trong thực tế ranh giới giữa các môn học này
nhiều khi bị xóa bỏ và xâm nhập lẫn nhau.
Lý Thuyết Đàn Hồi giải các bài toán liên quan đến việc xác định ứng suất và
biến dạng, xuất hiện trong vật thể đàn hồi, dưới tác dụng của lực ngoài. Đây cũng
1

Lý thuyết đàn hồi
chính là vấn đề đã giải quyết trong môn học sức bền vật liệu. Tuy nhiên, trong giáo
trình sức bền vật liệu, nhiều giả thiết tính toán cụ thể khác nhau đã được sử dụng,
nhằm thu được những lời giải gần đúng cho các bài toán riêng biệt và do đó, chỉ áp
dụng được cho chính các bài toán này thôi. Lý Thuyết Đàn Hồi đặt ra mục tiêu là tìm
những lời giải chính xác, dựa trên các giả thiết chung về tính chất của vật thể khảo sát
mà không phụ thuộc gì vào hình dáng vật thể cũng như tính riêng biệt của tải trọng tác
dụng lên vật thể. . .
Vật thể khảo sát trong Lý Thuyết Đàn Hồi được giả thiết là có tính liên tục, tức,
vật thể khảo sát luôn điền đầy không gian mà nó chiếm chỗ, trước cũng như sau khi bị
biến dạng. Ta coi là trong mỗi thể tích bất kỳ, dù nhỏ đến đâu, cũng chứa vô số các
phân tử và tác dụng của phần vật thể bị cắt bỏ lên phần khảo sát có thể đánh giá bằng
trị số trung bình của sự thay đổi lực tương tác giữa các phần vật thể nằm về hai phía
của mặt cắt. Các chuyển vị là những hàm liên tục của toạ độ các điểm. Tính
chất liên tục cho phép ứng dụng giải tích các đại lượng vô cùng bé vào việc nghiên
cứu biến dạng của vật thể đàn hồi. Sai số liên quan đến việc sử dụng tính chất nói trên
là có thể bỏ qua trong các bài toán thực tế, vì nó chỉ đáng kể khi xác định ứng suất
trên các diện tích với kích thước cỡ của khoảng cách phân tử và khi xác định các
chuyển vị của các điểm mà khoảng cách giữa chúng cũng vào cỡ khoảng cách giữa các
phân tử.
Ngoài ra, cũng còn phải giả thiết rằng, có thể áp dụng các định luật của của tĩnh
học và động lực học cho các phân tố nhỏ tuỳ ý, từ vật thể khảo sát. Các vật thể đàn
hồi, là đối tượng nghiên cứu của môn học, còn có nhiều tính chất khác mà ta sẽ đề
cập đến sau này khi thiết lập các phương trình cơ bản của Lý thuyết đàn hồi.

1. Lý thuyết tổng quát của trạng thái ứng suất và biến dạng tại một điểm trong môi
trường liên tục
2

Lý thuyết đàn hồi
Trong hệ tọa độ Decartes cho 1 vật thể chịu tác dụng của ngoại lực, bao gồm:
* Lực thể tích: Là lực phân bố trong không gian của vật thể, được đặc trưng bởi
cường độ f và là lực trong một đơn vị thể tích, có hình chiếu lên 3 trục tọa độ x, y, z là:
fx , fy , fz .
* Lực diện tích (lực bề mặt): Là lực tác dụng trên một phần hay trên toàn bộ bề
mặt giới hạn của vật thể, được đặc trưng bởi cường độ f * và là lực trên một đơn vị diện
*
tích, có hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z là f *x , f y , f *z .
Dưới những tác dụng này, vật thể nằm ở trạng thái cân bằng tĩnh hoặc động nên
những phần tử vật chất của vật thể cũng nằm ở trạng thái cân bằng tương ứng. Tưởng
tượng dùng họ những mặt phẳng vuông góc với các trục toạ độ và cách nhau những
đoạn vi phân dx, dy, dz cắt qua vật thể (hình vẽ 2.1) ta sẽ nhận được :
a
y

dx

dx

dy

a

Phần tử loại 1

dy

b

b

Phần tử loại 2

(Hình 2.1)
x

M(x,y,z)

z

* Những phần tử hình hộp có sáu mặt cắt ở bên trong vật thể gọi là phần tử loại
1.
* Những phần tử có ít nhất một mặt là bề mặt ngoài của vật thể gọi là phần tử
loại 2, trong trường hợp tổng quát, phần tử loại 2 là một khối tứ diện.
Điều kiện cân bằng của vật thể được đảm bảo thông qua điều kiện cân bằng
của tất cả các phần tử loại 1 và loại 2.

y

* Phương trình vi phân cân bằng :

∂τ

dz

τxy
xy
P(x,y+dy,z)
Trước tiên ta khảo sát sự cân bằng của các phần tử loại 1 lấy tại điểm M(x,y,z)

τ xy +

dx

∂ σx x
σ trục
N(x+dx,y,z)
x + toạ độ :dx
- Ngoại lực là lực thể
tích
f
có
hình
chiếu
lên
các
∂ τ xzf , f , f
τ
∂
x
Q(x,y,z+dz)
τ xz +
dx
dy

a. Lực tác dụng lên phầnσtử
x :

x

y

z

xz

∂x

- Nội lực là các ứng suất trên các dx
mặt của phần tử, các ứng suất này là các hàm

x
z

3


Lý thuyết đàn hồi
số liên tục của tọa độ điểm M(x,y,z).

(Hình 2.2)
• Hai mặt vuông góc với trục x:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các thành phần ứng suất : σx , τxy , τxz
+ Mặt đi qua điểm N(x+dx,y,z): khai triển theo Taylor và bỏ qua các số hạng vô cùng
bé bậc cao có các thành phần ứng suất :

σ +
x

∂τ
∂σ
∂τ
dx ; τ +
dx; τ +
dx
∂x
∂x
∂x
xy

x

xy

xz

xz

Tương tự:
• Hai mặt vuông góc với trục y:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có ứng suất : σy , τyx , τyz
+ Mặt đi qua điểm P(x,y+dy,z) có các ứng suất :

σy +

∂σ y
∂τ
∂τ
dy ; τ yx + yx dy; τ yz + yz dy

∂y
∂y
∂y

• Hai mặt vuông góc với trục z:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các ứng suất σz , τzx , τzy
+ Mặt đi qua điểm Q(x,y,z+dz) có các ứng suất :

σz +

∂τ
∂σ z
∂τ
dz ; τzx + zx dz; τzy + zy dz
∂z
∂z
∂z
4


Lý thuyết đàn hồi
* MẶT CHÍNH - PHƯƠNG CHÍNH - ỨNG SUẤT CHÍNH
* Mặt chính là mặt trên đó có ứng suất tiếp bằng không;
* Phương chính là phương pháp tuyến của mặt chính.
* Ứng suất chính là ứng suất pháp trên mặt chính . Ký hiệu σ n .


Giả sử có phương chính n với

l = cos (n, x)

m = cos (n , y)
n = cos (n , z)

Trên mặt chính ứng suất toàn phần Pn sẽ có phương vuông góc với mặt chính
và có giá trị Pn = σ n .
Do đó hình chiếu Pnx, Pny, Pnz của Pn lên các trục x, y, z là :
Pnx = σn.l
Pny = σn.m

(2.9)

Pnz = σn.n
Thay (2.4) và (2.9) ta có hệ phương trình:

(σ x − σ n ) l + τ yx m

+ τ zx n = 0 

τ xy l + (σ y − σ tb ) m + τ xz n = 0 
τ zx l + τ yz m +
(σ z − σ tb )n = 0

(2.10)

Hệ (2.10) có nghiệm tầm thường của là l = m = n =0 không thỏa mãn điều
kiện

l2 + m2 + n2 = 1

(2.11).

Để hệ (2.10) có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ số phải
bằng không:

5


Lý thuyết đàn hồi

τ zx 
(σ x − σ n ) τ yx


Det  τ xy (σ y − σ n ) τ xz  = 0
 τ
τ yz (σ z − σ n )
zx


(2.12)

Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính σ n :

σ 3n − I1σ 2n + I 2 σ n − I3 = 0

(2.13)

I1 = σ x + σ y + σ z




Trong đó: I 2 = σ x σ y + σ y σ z + σ z σ x − ( τ xy + τ yz + τ zx )
 (2.14)
I 3 = σ x σ y σ z + 2τ xy τ yz τ zx − (σ x τ 2yz + σ y τ 2zx + σ z τ 2xy )
Các hệ số I1, I2 , I3 trong phương trình tìm ứng suất chính là những giá trị
không đổi khi ta xoay trục. Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất, bất biến thứ
hai và bất biến thứ ba của trạng thái ứng suất tại một điểm.
- Giải phương trình bậc 3 (2.13) ta nhận được ba giá trị ứng suất chính, các giá
trị này đều là thực, kí hiệu lần lượt là σ 1 ;σ 2 ;σ 3 và theo qui ước σ 1 > σ 2 > σ 3 .
- Phương chính : sau khi đã có các ứng suất chính σ 1 ;σ 2 ;σ 3 ứng với mỗi σ i sử
dụng hệ phương trình (2.10) và phương trình (2.11) để tìm cosin chỉ phương l i, mi, ni
của ứng suất chính σ i đó.
Kết quả ta có ba phương chính tương ứng với ba ứng suất chính σ 1 ;σ 2 ;σ 3 . Ba
phương này trực giao với nhau và lập thành một hệ trục tọa độ, ký hiệu các trục là
1,2,3.
Tenxơ ứng suất này được viết là :

σ 1 0 0 
Tσ = 0 σ 2 0 


0 0 σ 3 
Các bất biến của trạng thái ứng suất chính :
6


Lý thuyết đàn hồi

I1 = σ1 + σ 2 + σ 3



I 2 = σ1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 

I 3 = σ1 σ 2 σ 3

Tùy theo giá trị của các ứng suất chính, ta phân loại trạng thái ứng suất thành
trạng thái ứng suất đơn; trạng thái ứng suất phẳng và trạng thái ứng suất khối.
* Những bất biến của tenxơ ứng suất:
σI = σx + σy + σz = const
2
2
2
σII = σx . σy + σy . σz + σz . σx - τ xy - τ yz - τzx = const
2
2
2
σIII = σx σy σz + 2τxy τyz τzx - σx τ yz - σy τzx - σz τ xy = const

* Ứng suất tiếp lớn nhất
Ứng suất tiếp lớn nhất tác dụng trên mặt phân giác của góc giữa ứng suất chính lớn
nhất và nhỏ nhất.
1
τmax = (σ1 − σ3 )
2
Ứng suất pháp trên mặt ứng suất tiếp lớn nhất có giá trị:
1
στmax = (σ1 + σ3 )
2
1.2 Trạng thái biến dạng

* Tenxơ biến dạng nhỏ
Biến dạng của một phân tố hình hộp vô cùng nhỏ được phân tích thành sáu thành phần
biến dạng: ba thành phần biến dạng thẳng (sự dãn dài của các cạnh): εx , εy , εz và ba
thành phần biến dạng góc : γxy , γyz , γxz .
Trong trường hợp biến dạng vô cùng bé, tenxơ biến dạng được biễu diễn như sau:

7


Lý thuyết đàn hồi

 εx

1γ
 2 yx

 1 γ zx
2

1
γ xy
2
εy
1
γ zy
2

1 
γ xz
2 ÷

÷
1 ÷
γ yz
2 ÷
÷
εz ÷
÷


Tenxơ biến dạng đối xứng, để đơn giản ta biểu diễn dưới dạng:

 εx







1
γ xy
2
εy

1 
γ xz
2 ÷
÷
1 ÷
γ yz

2 ÷
÷
εz ÷
÷


Tại mỗi điểm của vật thể tồn tại ba hướng vuông góc với nhau: gọi là trục chính của
biến dạng, những thớ theo các hướng này chỉ thay đổi độ dài (biến dạng góc trượt theo
trục chính bằng không). Đối với vật liệu đẳng hướng, hướng của ứng suất chính và
biến dạng chính trùng nhau.
* Bất biến của tenxơ biến dạng:
εI = εx + εy + εz = const
εII = εx . εy + εy. εz + εz . εx -

1 2
( γ xy + γ 2yz + γ 2zx ) = const
4

1
1
2
2
2
εIII = εx . εy . εz + γ xy γ yz γ zx − ( ε x γ yz + ε y γ zx + ε z γ xy ) = const
4
4
1.3. Lý thuyết tổng quát về trường ứng suất và biến dạng trong môi trường liên
tục
1.3.1 Phương trình tĩnh học
Xét chuyển vị điểm M trong hệ Oxyz, các thành phần chuyển vị theo các trục x, y, z

lần lượt là u, v, w. Giả thiết chuyển vị rất nhỏ, các thành phần hình chiếu gia tốc có
∂2u ∂ 2v ∂ 2w
dạng: 2 ; 2 ; 2 .
∂t ∂t ∂t
Theo định luật II Newton:
8


Lý thuyết đàn hồi

∑X = m

∂2u
∂t 2

;

∑X = m

∂2v
∂t 2

∑X = m

;

∂2w
∂t 2

Chiếu lên trục Ox các ứng suất pháp và ứng suất tiếp song song với trục Ox. Khai triển

điều kiện cân bằng, ta có:
∂τxy 

∂σ x 

σ
+
dx
dydz
−
σ
dydz
+
τ
+
dy  dxdz − τ xy dxdz +
x
x
xy



∂x
∂
y


∂τxz 
∂ 2u


τ
+
dz
dydx
−
τ
dydx
+
X
ρ
dxdydz
=
ρ
dxdydz
xz
 xz ∂z

∂t 2
Với: ρ là trọng lượng riêng .
Tương tự, ta cũng khai triển phương trình động học trên các trục Oy, Oz. Rút gọn, ta
được các phương trình tĩnh học:
∂σ x ∂τxy ∂τxz
∂ 2u
+
+
+
ρ
X
=
ρ

 ∂x
∂y
∂z
∂t 2

∂2v
 ∂τyx ∂σ y ∂τ yz
+
+
+
ρ
Y
=
ρ

∂y
∂z
∂t 2
 ∂x
 ∂τ
∂τzy ∂σ z
∂2w
zx
+
+
+ ρZ = ρ 2

∂y
∂z
∂t

 ∂x
1.3.2. Liên hệ vi phân đối với độ dãn dài tỉ đối (ε) và góc trượt tỉ đối (γ)
Phương trình Côsi:
εx =

∂u
∂x

;

γ xy =

∂u ∂v
+
∂y ∂x

εy =

∂u
∂y

;

γ yz =

∂w ∂v
+
∂y ∂z

εz =

∂u
∂z

;

γ zx =

∂u ∂w
+
∂z ∂x

1.3.3 Phương trình liên tục của biến dạng

9


Lý thuyết đàn hồi
 ∂ 2ε x ∂ 2ε y ∂ 2 γ xy
 2 + 2 =
∂x
∂x∂y
 ∂y
 ∂ 2ε y ∂ 2ε
∂ 2 γ yz
z
 2 + 2 =
∂y
∂y∂z
 ∂z

 ∂ 2ε ∂ 2ε
2
 2z + 2x = ∂ γ xz
∂z
∂x∂z
 ∂x
  ∂γ
2
∂γ
 ∂  yz + ∂γ zx − xy ÷ = 2 ∂ ε z
 ∂z  ∂x
∂y
∂z 
∂x∂y

2
 ∂  ∂γ zx + ∂γ xy − ∂γ yz  = 2 ∂ ε x
÷
 ∂x  ∂y
∂z
∂x 
∂y∂z


 ∂  ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx 
∂ 2ε y
+
−
 
÷= 2

∂x
∂y 
∂z∂x
 ∂y  ∂z
1.4. Những phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi
Nhiệm vụ chủ yếu của lý thyết đàn hồi là tìm nghiệm chính xác nghĩa là tìm những
hàm ứng suất, chuyển vị và biến dạng sao cho mỗi điểm trong vật thể đều thỏa mãn
điều kiện cân bằng; liên tục và đối với những điểm bên ngoài thì nội lực cân bằng
ngoại lực tác động trên bề mặt của vật thể.
Để giải quyết bài toán đàn hồi cần các nhóm phương trình sau:
a) Các phương trình tĩnh học:
∂σ x ∂τxy ∂τxz
∂ 2u
+
+
+
ρ
X
=
0(hay
=
ρ
)
 ∂x
2
∂
y
∂
z
∂

t

 ∂τyx ∂σ y ∂τ yz
∂2v
+
+
+ ρY = 0(hay = ρ 2 )

∂
x
∂
y
∂
z
∂t

 ∂τ
∂τzy ∂σ z
∂2w
zx
+
+
+ ρZ = 0(hay = ρ 2 )

∂y
∂z
∂t
 ∂x

(A)

b) Các phương trình hình học:
10


Lý thuyết đàn hồi
εx =

∂u
∂x

;

γ xy =

∂u ∂v
+
∂y ∂x

εy =

∂u
∂y

;

γ yz =

∂w ∂v
+

∂y ∂z

εz =

∂u
∂z

;

γ zx =

∂u ∂w
+
∂z ∂x

(B)

c) Các phương trình vật lý:
σx = 2G εx + λθ

;

τxy = G γxy

σy = 2G εy + λθ

;

τyz = G γyz

σz = 2G εz + λθ

;

τzx = G γzx

(C)

Như vậy ta có 15 ẩn với 15 phương trình, vậy về mặt toán học bài toán có thể giải
được.
Từ các hệ (A), (B), (C) ta suy ra các hệ phương trình sau:
pxν = σx . cos(x,ν) + τxy . cos(y,ν) + τxz . cos(z,ν)
pyν = τyx . cos(x,ν) + σy . cos(y,ν) + τyz . cos(z,ν)

(D)

Pzν = τzx . cos(x,ν) + τzy . cos(y,ν) + σz . cos(z,ν)
Và:
 ∂ 2 ε x ∂ 2 ε y ∂ 2 γ xy
 2 + 2 =
∂x
∂x∂y
 ∂y
2
 ∂ ε y ∂ 2ε
∂ 2 γ yz
z
 2 + 2 =
∂y
∂y∂z

 ∂z
 ∂ 2ε ∂ 2ε
2
 2z + 2x = ∂ γ xz
∂z
∂x∂z
 ∂x
  ∂γ
2
∂γ
 ∂  yz + ∂γ zx − xy ÷ = 2 ∂ ε z
 ∂z  ∂x
∂y
∂z 
∂x∂y

2
 ∂  ∂γ zx + ∂γ xy − ∂γ yz  = 2 ∂ ε x
÷
 ∂x  ∂y
∂z
∂x 
∂y∂z
 
 ∂  ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx 
∂ 2ε y
+
−
 
÷= 2

∂
y
∂
z
∂
x
∂
y
∂z∂x




(E)

11


Lý thuyết đàn hồi
Nghiệm có 3 nhóm phương trình (A), (B), (C) được tìm theo 3 hướng chính:
+ Lấy chuyển vị làm ẩn số cơ bản.
+ Lấy ứng suất làm ẩn số cơ bản.
+ Phương pháp hỗn hợp: khi ẩn số vừa là chuyển vị, vừa là ứng suất.

GIẢI BÀI TẬP THEO LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Đề bài:
Cho Một dầm bê tông cốt thép hình hộp chữ nhật có chiều dài lớn (u z=0, biến dạng
phẳng), chiều cao h=0,8m, chiều rộng b=0,3m, vật liệu Bê tông cốt thép có mô đun
đàn hồi E=27.103kN/m2, hệ số poatxong µ=0,15. Dưới tác dụng của tải trọng phân bố
đều P=100kN/m2 và tựa trên nền nhẵn ( y x=0), tuyệt đối cứng (ux=0) ,như hình vẽ. Hãy

xác định trạng thái ứng suất và biến dạng.

12


Lý thuyết đàn hồi

1. Giải bài toán theo Lý thuyết đàn hồi:
Sử dụng phương pháp giải hàm ứng suất- chuyển vị
Các thành phần chuyển vị theo phương x và phương y được xác định theo phương
trình:
ux =

∂ 2ϕ
+ ay + b
∂ x∂ y


∂2
∂2 
u y =  2(1 − µ ) + (1 − 2 µ )  ϕ − ax + c
∂x
∂y 


(1)

(2)

Các thành phần ứng suất xác định theo công thức

E1
E (1 − µ ) ∂
µ ∂2
∂2
σx =
(exx + µ1.eyy ) =
. (
−
)ϕ
1 − µ12
(1 + µ ) ∂y 1 − µ ∂y 2 ∂x 2

(3)

E1
E (1 − µ ) ∂ ∂ 2 2 − µ ∂ 2
(
e
+
µ
.
e
)
=
. (
+
)ϕ
yy
1 xx
1 − µ12

(1 + µ ) ∂y ∂y 2 1 − µ ∂x 2

(4)

σy =

∂u x ∂u y
E1
E
∂ 
∂2
∂2 
τ yz = τ xz =
(
+
)=
. (1 − µ ) 2 − µ 2 )ϕ 
2(1 + µ1 ) ∂y
∂x
(1 + µ ) ∂x 
∂x
∂y


(5)

Cho hàm ϕ dưới dạng đa thức bậc ba:
ϕ = Ax 2 y + By 3

13

Lý thuyết đàn hồi
Trong đó A, B là những hằng số chưa biết:
Theo phương trình (1) đến (5) ta tìm ứng suất chuyển vị:
u x = 2Ax + ay + b
u y = 2 [ 2(1 − µ ) A + 3(1 − 2 µ ) B ] y − ax + c

σx =

2 E (1 − µ ) 3µ
(
B − A)
(1 + µ ) 1 − µ

σy =

2 E (1 − µ )
2−µ
(3B +
A)
(1 + µ )
1− µ

τxz= τyz=0
Điều kiện biên của bài toán:
Với x=0

ux = τxz = 0

Với x=h

σx = -P; τxz = 0

Với y= ± b

σy = τyz = 0

Cho thõa mãn các điều kiện này ta được :
A=

(1 − µ 2 ) p B = − 2 − µ A
;
3(1 − σ )
2E

Cuối cùng ta có:
Chuyển vị theo phương x:
ux = −

(1 − µ 2 ) p
.x
E

Chuyển vị theo phương y:
uy = −

µ (1 + µ ) p
.y
E

Các thành phần ứng suất:
σx= -p, σy = τyz = τxz = 0.
Thay các thông số của vật liệu : µ=0,15 ; E=27.103kN/m2 ; p=100kN/m2 ; h= 0,8m ;
b=0,3m vào ta có :
14


Lý thuyết đàn hồi
Chuyển vị :
ux = −

(1 − µ 2 ) p
(1 − 0,152 )100
.x = −
.0,8 = 2,896.10 −3 m = 2,896mm
E
27.103

µ (1 + µ 2 ) p
0,15(1 + 0,152 )100
uy = −
.y = −
.0,3 = 1,917.10−4 m = 0,192mm .
3
E
27.10

Ứng suất:
σx= p=100kN/m2.

2. Giải bài toán theo Lý thuyết sức bền vật liệu:
Để giải bài toán trên theo lý thuyết sức bền vật liệu thì ngoài các giả thiết cơ bản theo
lý thuyết đàn hồi, ta cần tuân thêm 2 giả thuyết sau:
-

Trong quá trình biến dạng các mặt cắt ngang luôn luôn phẳng và vuông góc với
trục thanh.

-

Trong qua trình biến dạng các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không đẩy
lên nhau.

Với giả thuyết trên trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại ứng suất pháp σx không có ứng suất
tiếp.
Ứng suất pháp σz:
σx =

Nx
= P = 100kN / m 2
F

Chuyển vị theo phương x:
ux =

N x .l P.h 100.0,8
=
=
= 2,963.10−3 m=2,963mm.
3

EF
E
27.10

Chuyển vị theo phương y:
u y = µ .u y = µ .

N z .l
P.b
100.0,3
=µ
= 0,15.
= 1, 666.10 −4 m=0,167mm
EF
E
27.103

NHẬN XÉT
1)Nguyên nhân do sự sai khác về kết quả giữa phương pháp tính theo lý thuyết đàn
hồi và sức bền vật liệu đó là:
15


Lý thuyết đàn hồi
+ Các công thức tính của sức bền vật liệu chỉ dựa vào giả thiết tiết diện phẳng và một
vaì giả thiết có tính đơn giản hóa.
+ Lý thuyết đàn hồi giải bài toán một cách chặt chẽ hơn với số lượng giả thiết ít nhất.
+ Việc tính toán trên Lý thuyết đàn hồi dựa vào ít giả thiết hơn, nhờ đó mà tìm được
kết quả chính xác gần với thực tế; tuy nhiên việc tính toán có phần phức tạp hơn Sức
bền vật liệu nhiều.

2)Khi giải bài toán phẳng, vật thể bị chịu nén dọc truc theo phương thẳng đứng thì
chúng ta rút ra được những nhận xét sau:
1. Chỉ tồn tại thành phấn ứng suất nén có giá trị độ lớn bằng tải trọng tác dụng lên
vật thể nhưng ngược chiều.
2. Thành phần ứng suất pháp tuyến theo phương trục y và trục z bằng không
3. Thành phần ứng suất tiếp theo phương x và y bằng không
4. Thành phần chuyển vị theo phương chịu tải trọng nó lớn hơn chuyển vị các
phương còn lại.
5. Độ lớn của chuyển vị nó phụ thuộc vào tải trọng tác dụng, mô đun đàn hồi và
hệ số nở hông của vật liệu.

16