LIÊN THÔNG FINSLER Hình học và Tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Duệ

LIÊN THÔNG FINSLER
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. KHU QUỐC ANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS. Khu Quốc
Anh, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội đã từng bước hướng dẫn, động viên và
giúp đỡ tôi làm quen với “Liên thông Finsler” để từng bước tiến tới nắm vững
lý thuyết về “Liên thông Finsler” và tự giải quyết bài toán của mình.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô trong hội đồng chấm luận
văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành
luận văn này một cách hoàn chỉnh.
Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy trong tổ hình học, Khoa Toán-Tin
Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ
chuyên môn và phương pháp làm việc đạt hiệu quả trong suốt quá trình học
cao học.
Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Tổ chức Hành Chánh,
Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học, Phòng Kế hoạch-Tài chính

Trường Đại Học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã động viên, giúp đỡ, tạo điều
kiện cho tôi hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn UBND Tỉnh Tây Ninh, Ban Giám Hiệu và tập
thể tổ toán Trường THPT Hoàng Văn Thụ đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
hoàn thành luận văn này.


MỤC LỤC
Trang phụ bìa .................................................................................................... 1
Lời cảm ơn ........................................................................................................ 2
Mục lục.............................................................................................................. 3
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 9

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................... 11
1.1. Không gian Tenxơ............................................................................ 11
1.1.1. Không gian vectơ thực n-chiều ................................................. 11
1.1.2. Không gian tenxơ kiểu (r,s) Vsr ................................................. 12
1.1.3. Trường vectơ tiếp xúc X trên đa tạp khả vi M .......................... 12
1.1.4. Trường vectơ song song S(u) .................................................... 13
1.1.5. Mệnh đề ..................................................................................... 14
1.2. Nhóm tuyến tính tổng quát G  GL(n, ) ........................................ 14
1.2.1. Phép tự đẳng cấu trong Lgg ........................................................ 14
1.2.2. Biểu diễn liên hợp của g ............................................................ 15
1.2.3. Tích Lie của các trường vectơ tiếp xúc ..................................... 15
1.2.4. Dạng vi phân trên đa tạp khả vi M ............................................ 16
1.3. Tác động của G lên Vsr ..................................................................... 17
1.3.1. Tác động của G lên không gian vectơ thực n-chiều.................. 17
1.3.2. Tác động của G lên không gian vectơ đối ngẫu ........................ 17

1.3.3. Tác động của G lên Vsr .............................................................. 18
1.3.4. Trường vectơ cơ bản V(A) trên Vsr ........................................... 18
1.3.5. Tác động  của L(G) lên Vsr .................................................... 19
1.3.6. Tính chất .................................................................................... 19
1.3.7. Ví dụ .......................................................................................... 19
1.4. Phân thớ các mục tiêu L(M)............................................................. 20
1.4.1. Định nghĩa phân thớ các mục tiêu L(M) ................................... 20
1.4.2. Biểu thức tọa độ trên không gian toàn phần L .......................... 20
1.4.3. Không gian con thẳng đứng Lvz ................................................. 21
1.4.4. Trường vectơ cơ bản Z(A) trên L ............................................. 21
1.5. Phân thớ Tenxơ tiếp xúc................................................................... 22
1.5.1. Phân thớ tenxơ tiếp xúc ............................................................. 22
1.5.2. Biểu thức tọa độ trên Tsr ............................................................ 23
1.5.3. Không gian con thẳng đứng trên Tsr .......................................... 23
1.5.4. Ánh xạ thừa nhận được. Ánh xạ liên kết ................................... 24
1.5.5. Nhận xét..................................................................................... 24
1.6. Trường Tenxơ................................................................................... 25
1.6.1. Trường tenxơ trên đa đạp khả vi M........................................... 25
1.6.2. Dạng cơ bản  trên L ................................................................ 27
1.6.3. Tính chất .................................................................................... 27
1.7. Liên thông tuyến tính ....................................................................... 28


1.7.1. Liên thông tuyến tính  trên đa tạp khả vi M........................... 28
1.7.2. Dạng liên thông  của  .......................................................... 29
1.7.3.Tính chất của  .......................................................................... 29
1.7.4. Đường cong nằm ngang............................................................. 29
1.7.5. Trường vectơ nằm ngang B(v) trên L........................................ 30
1.7.6. Tính chất của B(v) .................................................................... 30
1.7.7. Vi phân thuận biến. Đạo hàm thuận biến .................................. 31

1.7.8. Tích Lie của các trường vectơ tiếp xúc ..................................... 31
1.7.9. Liên thông liên kết với  .......................................................... 32
1.7.10. Tính chất của liên thông liên kết ............................................. 32
Chương 2: LIÊN THÔNG FINSLER ....................................................... 34

2.1. Phân thớ Finsler................................................................................ 34
2.1.1. Phân thớ Finsler F(M) ............................................................... 34
2.1.2. Không gian con thẳng đứng Fuv của Fu ..................................... 35
2.1.3. Trường vectơ cơ bản Z(A) trên F .............................................. 35
2.1.4. Mệnh đề 1 .................................................................................. 36
2.1.5. Nhận xét..................................................................................... 37
2.1.6. Không gian con tựa thẳng đứng Fuq ........................................... 37
2.1.7. Định nghĩa hàm  ..................................................................... 38
2.1.8. Mệnh đề 2 .................................................................................. 38
2.2. Các dạng Tenxơ Finsler.................................................................... 40


2.2.1. Trường tenxơ Finsler ................................................................. 40
2.2.2. Biểu thức tọa độ trên F .............................................................. 41
2.2.3. Định nghĩa ................................................................................. 42
2.2.4. Tính chất .................................................................................... 42
2.3. Liên thông thẳng đứng ..................................................................... 42
2.3.1. Không gian con thẳng đứng cảm sinh Fui .................................. 42
2.3.2. Trường vectơ cơ bản cảm sinh Y(v) trên F ............................... 43
2.3.3. Mệnh đề 1 .................................................................................. 43
2.3.4. Mệnh đề 2 .................................................................................. 44
2.3.5. Phân thớ Finsler con của F(M) .................................................. 45
2.3.6. Liên thông thẳng đứng  v trong F ............................................ 46
2.3.7. Liên thông dẹt thẳng đứng......................................................... 47
2.3.8. Trường vectơ v-cơ bản Bv (v) của  v ....................................... 47

2.3.9. Trường tenxơ Cartan C.............................................................. 48
2.4. Liên thông trong phân thớ Finsler.................................................... 49
2.4.1. Liên thông  trong phân thớ Finsler......................................... 49
2.4.2. Liên thông thẳng đứng liên kết  v ............................................ 50
2.4.3. Liên thông tầm thường t  trong F............................................ 50
2.4.4. Định lý ....................................................................................... 52
2.5. Liên thông phi tuyến và V-liên thông .............................................. 52
2.5.1. Liên thông phi tuyến N.............................................................. 52


2.5.2. Dạng v-cơ bản  v ...................................................................... 53
2.5.3. V-liên thông  V ........................................................................ 53
2.5.4. Dạng V-liên thông của  V ........................................................ 54
2.5.5. Trường vectơ V-cơ bản B(v) (v1 ) trên L.................................... 55
2.5.6. Liên thông phi tuyến N* ........................................................... 56
2.5.7. Liên thông phi tuyến liên kết với  V ........................................ 57
2.6. Liên thông Finsler ............................................................................ 57
2.6.1. Liên thông Finsler...................................................................... 57
2.6.2. Phần v-nằm ngang và h-nằm ngang của  ............................... 58





2.6.3. Cặp Finsler  h ,  v trong F(M) .............................................. 59
2.6.4. Định lý 1 .................................................................................... 59
2.6.5. Trường vectơ h-cơ bản Bh (v) ................................................... 61
2.6.6. Mệnh đề ..................................................................................... 62
2.6.7. Trường tenxơ lệch D của liên thông Finsler F  ....................... 63
2.6.8. V-liên thông liên kết  V của F  .............................................. 63

2.6.9. Định nghĩa bộ ba Finsler ........................................................... 64
2.6.10. Định lý 2 .................................................................................. 65
2.6.11. Dạng liên thông  của  ........................................................ 67
2.6.12. Liên thông Finsler tầm thường t F ........................................ 68
2.6.13. Định lý 4 .................................................................................. 68


2.7. Phép chuyển dời song song .............................................................. 70
2.7.1. Phân thớ tenxơ Finsler kiểu (r,s) trên đa tạp khả vi .................. 70
2.7.2. Định nghĩa 1 .............................................................................. 72
2.7.3. Mệnh đề 1 .................................................................................. 73
2.7.4. Định nghĩa 2 .............................................................................. 73
2.7.5. Định nghĩa 3 .............................................................................. 74
2.7.6. Định nghĩa 4 .............................................................................. 75
2.8. Các tham số liên thông ..................................................................... 75
KẾT LUẬN .................................................................................................... 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 82


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Hình học vi phân của các mặt trong không gian Ơclit ba chiều đã được
nghiên cứu từ nửa cuối thế kỷ XIX với những công trình nghiên cứu của
Gauss, Christoffel. Phép tính tenxơ đã được nghiên cứu vào những năm 1900
qua các công trình của Ricci và Levi-Civita. Để nghiên cứu sự biến thiên của
các trường vectơ, các trường tenxơ trên mặt nói riêng và trên đa tạp nói chung
người ta cần dựa vào phép tịnh tiến song song. Trong không gian afin phép
tịnh tiến song song được định nghĩa một cách trực quan và dễ dàng. Tuy
nhiên, trên các mặt nói riêng và trên các đa tạp khả vi nói chung việc định

nghĩa phép chuyển dời song song không hề đơn giản. Để giải quyết vấn đề
này thì lý thuyết liên thông ra đời. Người đầu tiên trình bày khái niệm chuyển
dời song song đối với các mặt là Levi-Civita (năm 1917). Đến năm 1918 qua
những công trình nghiên cứu của mình, nhà toán học Đức Paul Finsler (18941970) đã cho ra đời “Hình học Finsler” theo quan điểm của toán học cổ điển
và đến năm 1934 E.Cartan là người đầu tiên nghiên cứu hình học Finsler theo
quan điểm của toán học hiện đại. Hình học Finsler được xem như là sự mở
rộng của hình học Riemann. Ngay từ khi ra đời, hình học Finsler đã được
nhiều nhà toán học quan tâm như: E. Cartan, V. Barthel, H. Rund, S.S Chern,
M.Matsumoto,…và trở thành một hướng nghiên cứu quan trọng của hình học
vi phân hiện đại và phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay. Trong những năm
gần đây, metric Finsler đã được nghiên cứu và sử dụng rộng rãi chẳng những
trong hình học vi phân mà còn cả trong giải tích phức hiện đại, tôpô vi phân,
lý thuyết số,... Chọn đề tài về liên thông Finsler, một lĩnh vực của hình học
Finsler chúng tôi muốn tìm hiểu sâu hơn về hình học vi phân đã được học ở
đại học.


2. Mục đích

Luận văn này nghiên cứu và chứng minh một cách đầy đủ một số định
lý và mệnh đề chủ yếu về Liên thông Finsler.
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu

Trong luận văn này, tôi nghiên cứu 3 định nghĩa tương đương về liên
thông Finsler, một số định lý và mệnh đề chủ yếu nhất.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn

Kết quả của luận văn này tạo ra những cơ sở mở đầu để nghiên cứu về
Liên thông Finsler. Thông qua đó, nó giúp ta tìm hiểu sâu hơn về hình học vi
phân đã được học ở đại học.

5. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm có 2 chương
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Giới thiệu các khái niệm cơ bản về không gian tenxơ, nhóm tuyến tính
tổng quát G  GL (n , ) , phân thớ các mục tiêu L(M), phân thớ tenxơ tiếp
xúc, trường tenxơ, liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi.
Chương 2: Liên thông Finsler

Trình bày liên thông Finsler và đi đến kết luận: có 3 định
nghĩa tương đương về liên thông Finsler:
+ F   (, N )



+ F    h , v





+ F   V , N , v




Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. KHÔNG GIAN TENXƠ
1.1.1. Không gian vectơ thực n-chiều. Biểu thức tọa độ của vectơ

Gọi V là không gian vectơ thực n-chiều và e a a 1,2,,n là một cơ sở
n

của V, khi đó với mọi v V ta có v  v ae a ,v a  . Ứng với cơ sở e a 
a 1

n

của V ta thu được ánh xạ V 

 

,v  v a , do đó V được xem như là một

 

đa tạp khả vi n-chiều và tập v a được gọi là tọa độ của v đối với cơ sở e a  .
Ta ký hiệu V 1o hay V
của v * V

*

*

là không gian vectơ đối ngẫu của V. Giá trị





tại v V được biểu thị dưới dạng v ,v * 

và được gọi là tích

trong của v và v * . Không gian V ban đầu cũng được xem là không gian đối
ngẫu của V

*





sao cho với v V ta có ánh xạ tuyến tính V *  , v *  v ,v * .

Tập hợp n phần tử e a V * , a  1,2,, n là một cơ sở của V

*

, ký hiệu là

0, i  j
với e a được xác định bởi phương trình e a ,e b   ab  
,
1, i  j

e 



a



 

a,b  1,2,..., n . Khi đó, e a được gọi là cơ sở đối ngẫu với e a  . Theo cơ sở

e  ,

bất kỳ vectơ v * V

a

n

v  v ae a , v a 
*

a 1

e  .
a

*

được biểu thị duy nhất dưới dạng

. Do đó v a  được gọi là tọa độ của v * đối với cơ sở

1.1.2. Không gian tenxơ kiểu (r,s) V sr . Biểu thức tọa độ của các Tenxơ

Cho r, s là các số nguyên dương hoặc bằng 0 (r, s không đồng thời
bằng không), một tenxơ kiểu (r,s) w là một ánh xạ đa tuyến tính
*
w :V
V *   V * V


V 


r

s

. Khi đó, không gian tenxơ V sr là tập

hợp tất cả các tenxơ kiểu (r,s).

 

Cho cơ sở e a  của V và cơ sở đối ngẫu e a của V * , ta có n r  s
bs
r
 
phần tử e ab1
a V s , a s ,b s  1,2, , n được xác định bởi phương trình:

1

r





cr

bs
c1
b1
bs
c1
cr
e ab1
a e , ,e ,e d1 , ,e d s   a  ar  d  d .
1

r



1

1

s



bs
là cơ sở của V sr và được gọi là cơ sở được suy ra
Khi đó, tập e ab1
a
1

r

từ e a  . Ta có, V sr là không gian vectơ thực n r  s - chiều và với bất kỳ
ar b1bs
a1ar
w V sr được biểu thị duy nhất dạng w  w ba1
b e a a , w b b 
1

a,b



s

ar
đó, V sr là đa tạp khả vi n r  s -chiều và tập w ba1
b



1

s

1

r

1

s

. Do

 được gọi là tọa độ của w



bs
đối với cơ sở e ab1
a .
1

r

1.1.3. Trường vectơ tiếp xúc X trên đa tạp khả vi M

Gọi t  là nhóm các phép biến đổi một tham số trên đa tạp khả vi M.
Khi đó, một trường vectơ tiếp xúc X trên M được sinh ra từ t  bởi phương
trình:
X x (f ) 

d
 f .t (x )  d t (f .t (x )), x  M
dt
t 0


trong đó, f là một hàm trên M. Ngược lại, nhóm các phép biến đổi một tham
số t  được sinh ra một cách địa phương bởi trường vectơ tiếp xúc X sao
cho phương trình trên thỏa mãn.
1.1.4. Trường vectơ song song S(u)

Bây giờ, ta xét không gian vectơ thực m-chiều U. Với phép lấy tổng

 : U U  U ,

u1,u2   u1  u2

thì U được xem là nhóm Lie các phép

biến đổi của U và với bất kỳ điểm cố định u U , ánh xạ

 u :U  U , u1  u1  u cho ta nhóm các phép biến đổi một tham số  tu 
của U. Khi đó, trường vectơ tiếp xúc S(u) được cảm sinh từ  tu  gọi là
trường vectơ song song ứng với u U . Ta có:
S u  f  d t  f . tu  với f là một hàm trên U.

Ngoài ra, trường vectơ song song S(u) còn được biểu thị dưới dạng:
S (u )   u 


 


, u  u

u

 

trong đó, u  ,   1,2,, m là tọa độ tự nhiên của u đối với cơ sở e   của
không gian vectơ U.
Từ khái niệm trường vectơ song song ta có một phép đẳng cấu tuyến
tính:
S u :U  U u , u1  S (u1 )u

trong đó S (u1 )u là giá trị của trường S (u1 ) tại u.


Một cách tổng quát, cho P, Q, M là các đa tạp khả vi và

 : P  Q  M , ( p ,q )  pq là một ánh xạ khả vi. Khi đó, với bất kỳ điểm cố
định p  P ta thu được ánh xạ cố định bên trái p  của  như sau:
p

: Q  M , q  pq

Và với bất kỳ điểm cố định q Q , ta cũng thu được ánh xạ cố định bên phải

q của  như sau:

q : P  M , p  pq
1.1.5. Mệnh đề

Cho

ánh

xạ

khả

vi

 : M U ,

khi

đó

vi

phân

  : M x  U u , u   (x ) là một ánh xạ tuyến tính. Mặt khác, nếu xem  là
một hàm trên M lấy giá trị trong U thì từ vi phân ngoài d  : M x  U và
phép đẳng cấu tuyến tính S u :U  U u ta có    S u .d 
1.2. NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT

Ta ký hiệu nhóm tuyến tính tổng quát thực GL (n , )  G . Phần tử

 

g G là một cấu trúc khả vi thực không suy biến n 2 -chiều và tập g ba gọi

là tọa độ của g G .
1.2.1. Phép tự đẳng cấu trong Lg

Cho phép nhân  : G  G  G ,

 g 1 , g 2   g 1g 2

    thì tọa độ của g .g

của g 1, g 2 lần lượt là g 1ab , g 2ab

1

2

Nghĩa là, nếu tọa độ





là g1ac g 2cb . Ánh xạ

cố định trái g  , g G của  gọi là phép tịnh tiến trái và  g là phép tịnh tiến

phải. Bằng cách kết hợp cả hai phép tịnh tiến, ta có một phép tự đẳng cấu
trong Lg  g  .

g 1



.
g 1 g

.

1.2.2. Biểu diễn liên hợp của g

Gọi L(G) là đại số Lie của G. Mỗi phần tử A  L (G ) là một trường
vectơ bất biến trái trên G, nghĩa là

g

 A  A với g G . Giá trị của A tại

điểm g G được xác định bởi A g = g  Ae với e là phần tử đơn vị của G, do
đó ta có đẳng cấu LL : L (G )  Ge , A  Ae , ở đây Ge là không gian vectơ
tiếp xúc với G tại e.
Hơn nữa, vi phân Lg của phép tự đẳng cấu trong Lg cho ta biễu diễn
liên hợp của g như sau:
ad ( g )  LL1.Lg .LL : L (G)  L(G)

  
Gọi gab là tọa độ tự nhiên của g trên G, khi đó ta có  a  là cơ sở

 g 
 b e

 

  
của Ge và Lba là cơ sở tự nhiên của L(G) với Lba  LL1  a  . Theo cơ sở
 g 
 b e

 

 

này, một phần tử A  L (G ) được xem như là một ma trận thực n  n A ba , ở
đây A   A ba Lba . Khi đó, A g 
a,b



 g caAbc g a ,

a,b ,c

b

 

g  g ba

1.2.3. Tích Lie của các trường vectơ tiếp xúc

Bây giờ ta sẽ định nghĩa tích Lie của các trường vectơ tiếp xúc trên đa
tạp khả vi. Cho X, Y, Z là các trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp khả vi M, khi
đó với f, g là các hàm trên M ta có:


*  X ,Y

x  f   X x Y (f ) Y x  X (f ) tại x  M

*  X ,[Y , Z ]  Y ,[Z , X ]   Z ,[X ,Y ]  0 (đồng nhất thức Jacobi)
*  fX , gY   fg  X ,Y    fX ( g ) Y   gY (f )  X
* Nếu t  là nhóm các phép biến đổi 1 tham số được sinh ra bởi X thì
khi đó tích Lie [X,Y] được biểu thị dưới dạng:

[X ,Y ]  d t (  tY )
* Trong trường hợp M là một nhóm Lie, nếu ta xét các trường vectơ
tiếp xúc A, B của đại số Lie L(M) thì tích Lie [A,B] cũng là một phần tử của
L(M) được xác định bởi:
[A , B ]  d t  ad (at (e ))B 

ở đây at  là nhóm các phép biến đổi một tham số được sinh ra bởi A.
* Đặc biệt, trong nhóm Lie L(G) của nhóm tuyến tính tổng quát G,
tích Lie [A,B] biểu thị đơn giản dưới dạng:
[A , B ]  A B  BA

ở đây AB & BA là tích của các ma trận A và B.
1.2.4. Dạng vi phân trên đa tạp khả vi M

Ta sẽ nhắc lại các dạng vi phân trên đa tạp khả vi M. Cho X, Y, Z là
các vectơ tiếp xúc trên M, khi đó ta có :
* 2d  (X ,Y )  X ( (Y )) Y ( (X ))   ([X ,Y ]) (  là vi phân 1-dạng)
* 3d  (X ,Y , Z )  X ( (Y , Z )) Y ( (Z , X ))  Z ( (X ,Y ))
 ([X ,Y ], Z )   ([Y , Z ], X )   ([Z , X ],Y )


(  là vi phân 2-dạng)
1.3. TÁC ĐỘNG CỦA G LÊN V sr
1.3.1. Tác động của G lên không gian vectơ thực n-chiều V

Gọi e a  là cơ sở cố định của không gian vectơ V, theo cơ sở này
nhóm tuyến tính tổng quát G  GL (n , ) thực hiện phép toán  trên V như
sau:

 : G V V , ( g ,v )  gv

 

 
 thì tọa độ tự nhiên của gv là  g v  . Do đó G

Nghĩa là, nếu g ba là tọa độ tự nhiên của g G và v a là tọa độ tự
nhiên của v đối với cơ sở e a

a b
b

là nhóm Lie các phép biến đổi của V.
1.3.2. Tác động của G lên không gian vectơ đối ngẫu V

*

 

Gọi e a là cơ sở đối ngẫu của e a  , khi đó phép toán của G trên V

 * : G V * V * ,

 g ,v   gv
*

*







 

đối với cơ sở e  thì tọa độ

được xác định bởi v , gv *  g 1v ,v *

với v V . Nếu v a  là tọa độ tự nhiên của v *
b

*

a

 

tự nhiên của gv * là v b g 1a , trong đó g  g ba

  là ma trận
a

và g 1b

 

nghịch đảo của g ba .
Sau này, để cho ngắn gọn ta sẽ sử dụng ký hiệu  thay cho  * .


1.3.3. Tác động của G lên không gian tenxơ V sr



 là cơ sở tự nhiên của V

bs
Gọi e ab1
a
1

r

r
s

, khi đó phép toán  sr của G

trên V sr được xác định bởi:

 sr : G V sr V sr , ( g ,w )  gw



 



và khi đó: ( gw ) v 1* ,,v r* ,v 1,,v s  w g 1v 1* ,, g 1v r* , g 1v 1,, g 1v s với
v s V , v *s V * .



ar
Nếu w ba1
b
1

s

 là tọa độ tự nhiên của w ứng với cơ sở e

b1bs
a1ar

 khi

đó, tọa độ tự nhiên của gw được cho bởi:
d1

ds

 

c r 1
a
1
g ca1  g car w dc1
d g b1  g bs , g  g b
1

r

1

s

Để cho ngắn gọn ta cũng sử dụng ký hiệu  thay cho  sr .
1.3.4. Trường vectơ cơ bản V(A) trên V sr

Một vectơ tiếp xúc tại điểm w V sr được xác định bởi:
V (A )w  w .LL (A ), A  L (G )

ở đây LL : L (G )  Ge và w : G V sr , w V sr là ánh xạ cố định phải của  .
Trường vectơ tiếp xúc V(A) trên V sr mà giá trị của nó tại w được xác
định bởi:
V (A )w  w .LL (A )

gọi là trường vectơ cơ bản trên V sr ứng với A  L (G ) .


1.3.5. Tác động  của đại số Lie L(G) trên V sr

Tác động  của đại số Lie L(G) trên V sr được xác định như sau:

 (A ,w )  A w , Sw (A w ) V (A )w

 

với Sw :V sr  V sr

w

là phép tự đẳng cấu tuyến tính.

Hơn nữa ta có: g  .Sw  S gw . g 
1.3.6. Tính chất

* Nếu A  L (G ) sinh ra nhóm các phép biến đổi một tham số at  thì
V(A) sinh ra nhóm các phép biến đổi một tham số

 a (e ) với g 

t

là ánh xạ

cố định trái của  .
* Trường vectơ tiếp xúc S(w) sinh ra nhóm các phép biến đổi một
tham số  tw  .
* A w  d t  at (e )w  với at  là nhóm các phép biến đổi một tham số
được sinh ra bởi A.
* V (A ),S (w )  S (A w )
1.3.7. Ví dụ

Xét trường vectơ cơ bản V(A) trên không gian tenxơ V 21 , ký hiệu

w  là tọa độ của w V
a
bc

V (A )w 

Hơn nữa, ta có:

1
2

 

, với A  A ba thì V(A) được biểu thị dưới dạng:



a ,b ,c ,d

A w

a d
d bc

a
a
 w dc
A bd  w bd
A cd

 w

a
bc

.




Aw 

a,b ,c ,d

A w

a d
d bc



 

a
a
 w dc
A bd  w bd
A cd e abc , A  A ba ,w 

 w bca e abc

a ,b ,c

1.4. PHÂN THỚ CÁC MỤC TIÊU L(M)
1.4.1. Định nghĩa phân thớ các mục tiêu L(M)

Cho M là một đa tạp khả vi n-chiều, M x là không gian vectơ tiếp xúc
với M tại x. Một cơ sở z   z a  , a  1,2,, n của M x được gọi là mục tiêu
tuyến tính trên M với x là điểm gốc của z. Tập hợp L của tất cả các mục tiêu
tuyến tính trên M có cấu trúc của phân thớ chính L (M )   L , M , L ,G  được
gọi là phân thớ các mục tiêu trên M, trong đó không gian toàn phần L là đa





tạp khả vi n 2  n -chiều, phép chiếu  L : L  M , z  x là ánh xạ khả vi
với x là điểm gốc của z và G  GL (n , ) là nhóm cấu trúc.
1.4.2. Biểu thức tọa độ trên không gian toàn phần L

 

Gọi U là miền xác định của tọa độ x i trên M và mục tiêu tuyến tính

 

  
z  (z a ) với điểm gốc x  x i được biểu thị bởi z a   z ai  i  . Do đó,
 x x
i



ta có x i , z ai



là tọa độ của điểm z trên L mà miền xác định của nó là

 

 L1(U ) . Đây được gọi là tọa độ được cảm sinh từ x i .
Xét phép toán  : L  G  L ,

 



 z , g   zg , nghĩa là nếu

z  (z a ) và



g  g ba thì zg  z a g ba . Khi đó, ánh xạ cố định phải  g của  gọi là phép
tịnh tiến phải của L và ánh xạ cố định trái z  của  gọi là ánh xạ cơ bản. Nếu


lấy điểm z  L và đặt x   L (z ) thì quỹ tích của điểm z bởi G gọi là thớ trên
x hoặc thớ qua z, ký hiệu  L1(x ) .
1.4.3. Không gian con thẳng đứng Lvz

Không gian vectơ tiếp xúc với thớ  L1(x ) tại z là không gian con của



không gian vectơ tiếp xúc với L tại z, ký hiệu  L1(x )



z

 L z , ký hiệu:

Lvz  X  L z  L ( X )  0 , khi đó Lvz gọi là không gian con thẳng đứng của

L z . Do đó, ta thu được phân bố thẳng đứng Lv : z  L  Lvz
1.4.4. Trường vectơ cơ bản Z (A ) trên L

Lấy một phần tử A  L (G ) , khi đó trường vectơ thẳng đứng Z (A ) mà
giá trị của Z (A ) tại z xác định bởi:
Z (A )z  z   .LL (A )  Lvz

được gọi là trường vectơ cơ bản trên L ứng với A  L (G ) .
Hơn nữa, do Z (A ) sinh ra nhóm các phép biến đổi một tham số

 a (e ) nên ta có:
t

Z (A )z (f )  d t f  zat (e ) 
Ở đây, f là một hàm trên L và at  là nhóm các phép biến đổi một
tham số được sinh ra bởi A.
Bây giờ, ta sẽ xác định cơ sở của không gian con thẳng đứng Lvz .




 là cơ sở của đại số Lie L(G), khi đó tập hợp n các
trường vectơ cơ bản  Z  A  ,, Z  A   là một cơ sở của L tại mọi z  L .
Gọi A1,, A

2

n2

1

v
z

n2

Hơn nữa, ta có:



 g  Z (A )   Z ad ( g 1 )A



1.5. PHÂN THỚ TENXƠ TIẾP XÚC
1.5.1. Phân thớ tenxơ tiếp xúc
a) Định nghĩa

Do nhóm cấu trúc G của phân thớ các mục tiêu L(M) trên M là nhóm
Lie các phép biến đổi của không gian V sr bởi phép toán  , tính chất này được
suy ra từ lý thuyết tổng quát của các phân thớ vectơ liên kết



T sr  M   T sr , M ,T ,G ,V sr

 hay còn được gọi là phân thớ tenxơ tiếp xúc

kiểu (r,s) trên M, ở đây không gian toàn phần T sr  (L V sr ) Q và

T :T sr  M là phép chiếu trên M với T (zw )   L (zw )
b) Nhận xét

Không gian vectơ tiếp xúc M x là không gian vectơ thực n-chiều, từ
không gian tiếp xúc này ta xây dựng được không gian tenxơ kiểu (r,s) (M x )sr .
Khi đó, không gian toàn phần T sr của phân thớ liên kết T sr (M ) được đồng
nhất với tập hợp tất cả các tenxơ kiểu (r,s) tại mọi điểm của M, ký hiệu
T sr = 

x M

 M x sr .




bs
Để chứng minh điều này ta sẽ xây dựng cơ sở z ab1
a
1

r

 của (M

r
x )s

từ

một mục tiêu tuyến tính z  (z a ) với điểm gốc x, khi đó zw được đồng nhất
ar b1bs
a1ar b1bs
r
với một tenxơ kiểu (r,s) w ba1
b z a a  (M x )s , w  w b b e a a . Khi đó,
1

1

s

1

r

s

1

r

phép chiếu T được biểu thị bởi T (K )  x , K  (M x )sr .
1.5.2. Biểu thức tọa độ trên T sr

 

Gọi U là miền xác định của tọa độ x i
là cơ sở của M x và

( x

i1

(dx ) 
i

x

 

là cơ sở đối ngẫu của

   x i r  dx j1    dx j s )x



   
trên M,   i   , x  x i
  x x 

x  .

 là cơ sở của (M



i

r

x )s

Khi đó,

. Theo cơ



ir
ir
của K  (M x )sr . Do đó, tập K ji1
sở này, ta có các thành phần K ji1
j
j
1

s

1

s



là một tọa độ trên T sr mà miền xác định của nó là T1(U ) . Đây được gọi là

 

tọa độ được cảm sinh từ x i .
1.5.3. Không gian con thẳng đứng (T sr )vK trên T sr

* Ảnh ngược T1(x ) với x  M bởi phép chiếu T được gọi là phân
thớ
trên x hoặc phân thớ qua K  T1(x ) .
* Không gian vectơ tiếp xúc với phân thớ T1(x ) tại điểm K, ký hiệu



1
T (x )



K

là không gian con của không gian vectơ tiếp xúc (T sr )K với T sr tại





K và là hạt nhân của ánh xạ tiếp xúc T : (T sr )vK  X  (T sr )K T ( X )  0 .


Khi đó, (T sr )vK được gọi là không gian con thẳng đứng của (T sr )K trên T sr .
Do vậy, ta có phân bố thẳng đứng trong T sr như sau:
(T sr )v : K T sr  (T sr )vK .

1.5.4. Ánh xạ thừa nhận được. Ánh xạ liên kết

Ta ký hiệu  : L V sr  T sr , (z ,w )  zw là phép chiếu chính tắc
trên không gian thương T sr . Bây giờ ta sẽ định nghĩa ánh xạ thừa nhận được
và ánh xạ liên kết.
* Ánh xạ cố định trái z  của  cho một vi phôi:
z

:V sr  T1(x ), w  zw với x   L (z ) .

Khi đó, z  được gọi là ánh xạ có thể chấp nhận được.
Hơn nữa, ta có tính chất sau:
zg 

 z .g 

* Ánh xạ cố định phải w : L  T sr , z  zw của  được gọi là ánh
xạ liên kết.
Hơn nữa, ta có:

 gw  w . g
Chú ý: Trong phần sau ta sẽ ký hiệu z  1(K )  z 1K và phân thớ
tenxơ tiếp xúc kiểu (1,0) To1(M ) = T(M).
1.5.5. Nhận xét


Không gian con thẳng đứng T yv của không gian vectơ tiếp xúc T y
đẳng cấu với không gian vectơ tiếp xúc M x , x  T ( y ) nghĩa là tồn tại một
phép đẳng cấu tuyến tính:
1vy : M x  T yv , l vy  z  .S

. 

z 1y z

1

Khi đó, X  M x được xem như là một điểm của phân thớ

T1(x )  T , do đó ta có z  1(X )  z 1X V .
Suy ra: S

.
z 1y z

(do S

z 1y

 1( X )  S
:V V

z 1y

z 1y

Như vậy, 1vy ( X )  z  .S

(z 1X )  S (z 1X )

z 1y

V

z 1y

là phép đẳng cấu tuyến tính).

. 
z 1y z

1



( X )  z   S (z 1X )

z 1y

 T

v
y

.

Khi đó, 1vy (X ) được gọi là cái nâng thẳng đứng của X tới y.
1.6. TRƯỜNG TENXƠ
1.6.1. Trường tenxơ trên đa tạp khả vi M

Gọi (M x )sr  T1(x ) là không gian tenxơ kiểu (r,s) tại điểm x, khi đó
một trường tenxơ kiểu (r,s) K trên đa tạp khả vi M là một phân bố:
K : x  M  K x  (M x )sr

Do đó, K được xem như là một ánh xạ K: M  T sr thỏa mãn T .K =
đồng nhất.
Tuy nhiên, để thuận tiện ta xem trường tenxơ K giống như hàm

K : L  V sr xác định bởi