Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh phú thọ năm học 2014 2015(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

PHÚ THỌ

Lớp 9 THCS năm học 2014-2015
Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang

ĐỀ CHÍNH THỨC

-----------------------------------------------------------

Câu 1 (3,0 điểm)
a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x 2 + y 2 − xy = x + y + 2 .
b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn
ta luôn có ( a + b + c ) 3 − ( a + b − c ) 3 − ( b + c − a ) 3 − ( a − b + c ) 3 Chia hết cho 96
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có 1 +  1 + 1 
n

b) Tính tổng S = 1 + 1 + 1 


2

3

2

n + 2

2

= 1+

2

1
1
−
n n+2

1 
1 1
1 1
 1
+ 1 +  +  + 1 +  +  + ..... + 1 + 
+

2 4
3 5
 2014 2016 

2

Câu 3 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
2x 2 − x = 2x − x 2

b) Giải hệ phương trình

(

) (

)

 x 2 − 1 y + y 2 − 1 x = 2( xy − 1)
 2
4 x + y 2 + 2 x − y − 6 = 0

Câu 4 (7,0 điểm)
Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R) ,( BC<2R),A là điểm di động trên
cung lớn BC,( A không trùng B,C). Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC;EF
cắt BC tại P ,qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC tại Q và cắt AB tại R .
a) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp
b) Gọi M là trung điểm cạnh BC .Chứng minh hai tam giác EPM,và DEM là hai tam
giác đồng dạng.
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố
định
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3
Chứng minh rằng

x
3

yz

+3

y
xz

+

z
3

xy

≥ xy + yz + xz

------------------------------------ Hết -------------------------------------Hướng dẫn
Câu 1 (3,0 điểm)


a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x 2 + y 2 − xy = x + y + 2 .
b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn
ta luôn có ( a + b + c ) 3 − ( a + b − c ) 3 − ( b + c − a ) 3 − ( a − b + c ) 3 Chia hết cho 96
Hướng dẫn
a)
x 2 + y 2 − xy = x + y + 2 ⇔ 2 x 2 + 2 y 2 − 2 xy − 2 x − 2 y + 2 = 6
⇔ ( x − y ) 2 + ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = 6

PT có 6 nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 2;0); ( 3;2); ( − 1;0)} và 3 hoán vị
Đặt a+b-c =z; b+c-a=x; a+c-b=y thì x+y+z=a+b+c
Ta có ( x + y + z ) 3 − x 3 − y 3 − z 3 = 3( x + y )( y + z )( x + z )

Câu 2 (4,0 điểm)
c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có 1 +  1 + 1 
n

d) Tính tổng S = 1 + 1 + 1 


2

3

2

n + 2

2

= 1+

2

1 
1 1
1 1
 1
+ 1 +  +  + 1 +  +  + ..... + 1 + 
+

2 4
3 5

 2014 2016 

Hướng dẫn a)
2

1 
1
1
2
1
1
4
2
1
1+  +
+
= 1+ 2 +
+
−
 = 1+ 2 +
2
2
n( n + 2)
n(n + 2) n(n + 2)
n
(n + 2)
n
(n + 2)
n n + 2
2

1 
1
1
2
2
2
1 
1
 1
1+  +
+ −
−
= 1 + −
 = 1+ 2 +

2
n n + 2 n(n + 2)  n n + 2 
n
(n + 2)
n n + 2
2

2

Nên 1 +  1 + 1  = 1 + 1 − 1
n n+2
n n + 2
1
1 1

1 1
1
1
1
1
1
−
= 2015 + −
−
b) S = 1 + 1 − + 1 + − + 1 + − + ..... + 1 +
3
2 4
3 5
2004 2016
2 2015 2016
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
2x 2 − x = 2x − x 2

b) Giải hệ phương trình

(

1
1
−
n n+2

) (

)

 x 2 − 1 y + y 2 − 1 x = 2( xy − 1)
 2
4 x + y 2 + 2 x − y − 6 = 0

Hướng dẫn
x = 0
 x(2 x − 1) ≥ 0 
⇒ 1
a) ĐKXĐ: 
 ≤x≤2
 x(2 − x) ≥ 0
2

2


2 x 2 − x = 2 x − x 2 ⇔ 2 x 2 − x − x 2 x 2 − x + (1 + x ) 2 x 2 − x − x(1 + x) = 0
⇔

(

2x − x − x
2

)(

)

 2x 2 − x = x
2x − x + 1 + x = 0 ⇔ 
 2 x 2 − x = −( x + 1)
2

Giải ra x=1 hoặc x=1

(

) (

)

 x 2 − 1 y + y 2 − 1 x = 2( xy − 1); (1)
b)  2
4 x + y 2 + 2 x − y − 6 = 0; ( 2)
x 2 y + xy 2 − ( x + y ) − 2( xy − 1) = 0 ⇔ ( x + y )( xy − 1) − 2( xy − 1) = 0

từ PT (1) ta có :

y = 2 − x
⇔ ( x + y − 2)( xy − 1) = 0 ⇔ 
 xy = 1

thay vào PT (2) giải ra có 5 nghiệm

 3 +1
  − 3 −1
  − 4 14 
(xy ) ∈ (1;1); ( − 0,5;2 ); 

; 3 + 1; 
;1 − 3 ; 
; 
2

 2

  5 5 
A

E
Q
O

F
B
D

P

M

C

R

a) Do tứ giác BCEF nội tiếp suy ra ∠AFE = ∠BCQ mà ∠AFE = ∠BRQ ( so le )
Suy ra ∠BCQ = ∠BRQ nên tứ giác BQCR nội tiếp
b) EM là trung tuyến tam giác vuông BEC nên tam giác ECM cân tại M suy ra
∠EMD = 2∠ACB mà tứ giác BCEF; ACDF nội tiếp nên ∠ACB = ∠AFE = ∠BFD suy ra

∠EMD = 2∠ACB = ∠AFE + ∠BFD ⇒ ∠EMD + ∠DFE = 180 0 suy ra tứ giác DMEF nội tiếp suy
ra ∠BDF = ∠PEM mà ∠BDF = ∠BAC = ∠MDE nên tam giác EPM,và DEM đồng dạng

(g.g)
c)do DMEF nội tiếp suy ra ∠PFD = ∠EMD mà ∠PDF = ∠EDM nên tam giác PFD đồng
dạng tam giác EMD (g.g) suy ra

PD ED
=
; do ∠RED = ∠AEF = ∠FRD nên tam giác FDR
DF MD

cân tại D suy ra FD=DR;tương tự tam giác DEQ cân tại D nên DE=DQ


mà FD=DR; DE=DQ suy ra

PD DQ
=
;
DR MD

suy ra tam giác PDR đồng dang tam giác QDM ( c.g.c) suy ra ∠PRQ = ∠PMQ suy ra tứ
giác PRMQ nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua điểm M cố định
Câu 5 ( 2.0 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z thảo mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3
x

Chứng minh rằng

3

yz

+3

y
xz

+

z
3

xy

≥ xy + yz + xz

Hướng dẫn
x

A=

3

yz

+3

y

xz

+

z
3

xy

=

x3 x
3

xyz

+

y3 y
3

xyz

+

z3 z
3

xyz

Ta có 3 = x 2 + y 2 + z 2 ≥ 33 x 2 y 2 z 2 ⇔ xyz ≤ 1
Nên A ≥ x3 x + y 3 y + z 3 z
Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 dãy dãy 1 : 3 x 2 ; 3 y 2 ; 3 z 2

(x

3

x + y3 y + z 3 z

)(

Dãy 2 : 3 x ; 3 y ; 3 z
3

)

x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 ≥ ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + xz ) (*)
2

x2 +1+1 3 2
y2 +1+1 3 2
z2 +1+1
Ấp dụng Côsi x .1.1 ≤
; y .1.1 ≤
; z .1.1 ≤
3
3
3
2

2
2
x + y +z +6
=3
Nên 3 x 2 . + 3 y 2 + 3 z 2 ≤
3
2

3

Thay Vào (*) Ta có
A ≥ x 3 x + y 3 y + z 3 z ≥ xy + yz + xz
x
y
z
Hay 3 yz + 3 xz + 3 xy ≥ xy + yz + xz
x 2 = y 2 = z 2 = 1

Dấu “=” xảy ra khi 3 x = 3 y = 3 z ⇔ x = y = z = 1
 2
2
2
 x + y + z = 3

Cách khác
3

yz.1 ≤

y + z +1 3

x + z +1 3
y + x +1
; xz.1 ≤
; yx.1 ≤
3
3
3

Nên
A=
B≥

x
3

yz

+3

y
xz

+



 
x
y
z

x2
y2
z2
 = B
 = 3
≥ 3
+
+
+
+
xy
 y + z + 1 x + z + 1 y + x + 1   xy + xz + x xy + yz + y yz + xz + z 

z
3

3( x + y + z ) 2
3( x + y + z ) 2
3( x + y + z ) 2
≥
=
= 3 ≥ xy + yz + xz
2( xy + yz + xz ) + x + y + z 2( xy + yz + xz ) + x 2 + y 2 + z 2
( x + y + z) 2

do : ( x + y + z ) 2 ≤ 3( x 2 + y 2 + z 2 ) = 9 ⇒ x + y + z ≤ 3 = x 2 + y 2 + z 2 ;
xy + yz + xz ≤ x 2 + y 2 + z 2 = 3

Có thể còn cách khác hoặc cách giải chưa chính xác mong các bạn bổ sung nhé
GV Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao