Điều kiện KuhnTucker mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu lipschitz địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THẾ PHONG

ĐIỀU KIỆN KUHN-TUCKER MẠNH CHO BÀI TOÁN
TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2014


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THẾ PHONG

ĐIỀU KIỆN KUHN-TUCKER MẠNH CHO BÀI TOÁN
TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. ĐỖ VĂN LƯU

Thái Nguyên - Năm 2014

i

Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Đỗ Văn
Lưu. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người
hướng dẫn khoa học của mình, PGS. TS. Đỗ Văn Lưu, người đã đưa ra đề
tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng
thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, khoa Sau
đại học - Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều
kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản
luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn trong lớp
Cao học Toán k20a, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập
và làm luận văn.
Bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong
nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 3 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thế Phong


ii

Mục lục
Mở đầu

1

1 Dưới vi phân Clarke và dưới vi phân suy rộng

3

1.1

Dưới vi phân Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Dưới vi phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho bài toán tối ưu đa mục
tiêu khả vi

11

2.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh

13

. . . . . . . . . . . . .

3 Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho bài toán tối ưu đa mục
tiêu Lipschitz địa phương
3.1
3.2

20

Điều kiện chính quy Guignard suy rộng và điều kiện Kuhn Tucker mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Các điều kiện đủ cho điều kiện chính quy Guignard suy rộng

29

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37


1

Mở đầu
1. Lý do chọn luận văn

Lý thuyết các điều kiện tối ưu đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết
tối ưu hóa. Đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu, người ta muốn nhận được
các điều kiện Kuhn -Tucker mà tất cả các nhân tử Lagrange ứng với tất
cả các thành phần của hàm mục tiêu là dương. Ta gọi đó là các điều kiện
Kuhn-Tucker mạnh. Năm 1994, T. Maeda đã đưa ra điều kiện chính quy
Guignard suy rộng cho bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc bất đẳng
thức, với các hàm khả vi liên tục và nhận được các điều kiện Kuhn -Tucker
mạnh. Khái niệm dưới vi phân suy rộng không lồi (convexificator) của V.
Jeyakumar - D.T. Luc [6] tổng quát hóa một số khái niệm dưới vi phân đã
biết như các dưới vi phân Clarke, Michel-Penot, Mordukhovich,... Các điều
kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn dưới ngôn ngữ dưới
vi phân suy rộng được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu (xem chẳng hạn
[4], [6]-[8] và các tài liệu tham khảo trong các bài báo đó). X.F. Li và J.Z.
Zhang (2005) đã phát triển các kết quả của Maeda cho bài toán có ràng
buộc bất đẳng thức với các hàm Lipschitz địa phương dưới ngôn ngữ dưới
vi phân suy rộng. Đây là đề tài được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan
tâm nhiên cứu. Chính vì vậy, tôi chọn đề tài: “Điều kiện Kuhn-Tucker mạnh
cho bài toán tối ưu đa mục tiêu Lipschitz địa phương”. Luận văn trình bày
các kết quả nghiên cứu về các điều kiện Kuhn-Tucker mạnh của X.F. Li và
J.Z. Zhang (2005), T. Maeda (1994).
2. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm và đọc tài liệu từ các sách, tạp chí toán học trong nước và quốc
tế liên quan đến bài toán tối ưu véc tơ. Qua đó, tìm hiểu và nghiên cứu về
vấn đề này.


2

3. Mục đích của luận văn
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu về điều kiện Kuhn - Tucker mạnh

cho bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc bất đẳng thức trong hai trường
hợp: trường hợp thứ nhất cho các hàm khả vi và trường hợp thứ hai cho
các hàm Lipschitz địa phương. Cụ thể, chúng tôi đọc hiểu và trình bày lại
một cách tường minh hai bài báo sau:
1) T. Maeda, Constraint qualifications in multiobjective optimization problems: Differentiable case , J.Optim. Theory Appl, vol 80 (1994), 483-500.
2) X.F. Li, J.Z. Zhang, Stronger Kuhn-Tucker type conditions in nonsmooth multiobjective optimization: Locally Lipschitz case, J.Optim.Theory
Appl, Vol 127 (2005), 367-388.
4. Nội dung của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương, kết luận và danh mục các tài
liệu tham khảo.
Chương 1. Dưới vi phân Clarke và dưới vi phân suy rộng
Trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân Clarke trong [1] và
dưới vi phân suy rộng trong [6].
Chương 2. Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu
khả vi
Trình bày các điều kiện Kuhn - Tucker mạnh của T. Maeda [9] cho bài
toán tối ưu đa mục tiêu khả vi có ràng buộc bất đẳng thức với điều kiện
chính quy Guignard suy rộng.
Chương 3. Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu
Lipschitz địa phương
Trình bày các điều kiện Kuhn - Tucker mạnh của X.F. Li và J.Z. Zhang
[7] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc bất đẳng thức với các hàm
Lipschitz địa phương và điều kiện chính quy Guignard suy rộng không trơn.
Mối quan hệ giữa các điều kiện chính quy không trơn cũng được trình bày
trong chương này.


3

Chương 1

Dưới vi phân Clarke và dưới vi phân
suy rộng
Trong chương này chúng tôi trình bày khái quát những kiến thức về dưới
vi phân Clarke và dưới vi phân suy rộng cho lớp các hàm Lipschitz địa
phương. Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo trong
các tài liệu [1], [6].

1.1

Dưới vi phân Clarke

Giả sử X là không gian Banach, f : X → R.
Định nghĩa 1.1.1.
a) Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x
¯ ∈ X nếu tồn tại lân cận

U của x¯, số K > 0 sao cho:
(∀x, x ∈ U ) |f (x) − f (x )| ≤ K||x − x ||.

(1.1)

Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập Y ⊂ X , nếu f Lipschitz
địa phương tại mọi x ∈ Y .
b) Hàm f được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz K trên tập Y ⊂ X
nếu (1.1) đúng với mọi x, x ∈ Y .
Giả sử X, Y là các không gian Banach, F : X → Y . Kí hiệu L(X, Y ) là
không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y .


4

Định nghĩa 1.1.2.
Đạo hàm của F theo phương v tại x
¯ được xác định bởi:

F (¯
x; v) = lim
t↓0

F (¯
x + tv) − F (¯
x)
t

nếu giới hạn này tồn tại.
Định nghĩa 1.1.3.
Ánh xạ F được gọi là khả vi Gâteaux tại x
¯, nếu tồn tại Λ ∈ L(X, Y ) sao
cho với mỗi v ∈ X ,

F (¯
x + tv) = F (¯
x) + tΛv + o(t).

(1.2)

Khi đó, ta gọi Λ là đạo hàm Gâteaux của F tại x
¯.
Nhận xét 1.1.4.
Nếu ánh xạ F khả vi Gâteaux tại x

¯, thì

F (¯
x + tv) − F (¯
x)
− Λv → 0.
t

(1.3)

Sự hội tụ này đồng đều theo v trên các tập hữu hạn.
Định nghĩa 1.1.5.
Ánh xạ F được gọi là khả vi Hadamard tại x
¯ nếu tồn tại Λ ∈ L(X, Y ) sao
cho với mỗi v ∈ X (1.2) đúng, và (1.3) hội tụ đồng đều theo v trên các tập
compact.
Định nghĩa 1.1.6.
Ánh xạ F được gọi là khả vi Fréchet tại x
¯, nếu tồn tại Λ ∈ L(X, Y ) sao
cho:

F (¯
x + v) = F (¯
x) + Λv + r(v),
trong đó ||r(v)||Y .||v||−1
X → 0 khi ||v||X → 0.
Nhận xét 1.1.7.
a) Ánh xạ F khả vi Fréchet tại x
¯ ⇔ ∃Λ ∈ L(X, Y ) sao cho (1.2) đúng và
(1.3) hội tụ đồng đều theo v trên các tập bị chặn.

b) Nếu X = Rn thì khái niệm khả vi theo Hadamard và Fréchet là trùng
nhau.


5

Định nghĩa 1.1.8.
Ánh xạ F được gọi là Lipschitz địa phương tại x
¯, nếu tồn tại γ > 0 và số

K > 0 sao cho:
||F (x ) − F (x )||Y ≤ K||x − x ||X

(∀x , x ∈ x¯ + γB),

trong đó B là hình cầu đơn vị mở.
Định lý 1.1.9. ([1])
Giả sử f là hàm lồi trên tập lồi mở U ; bị chặn trên trong một lân cận của
một điểm nào đó thuộc U . Khi đó, f Lipschitz địa phương trên U .
Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x
¯ ∈ X.
Định nghĩa 1.1.10.
Đạo hàm suy rộng Clarke của hàm f theo phương v ∈ X tại x
¯, kí hiệu là

f o (¯
x; v), được xác định như sau:
f o (¯
x; v) = lim sup
x→¯

x t↓0

f (x + tv) − f (x)
,
t

trong đó x ∈ X, t > 0.
Định lí sau đây cho ta một số tính chất quan trọng của đạo hàm suy
rộng theo phương.
Định lý 1.1.11. ([1])
Giả sử f Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz K tại x. Khi đó:
(i) Hàm v → f o (x; v) hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính trên X và

|f o (x; v)| ≤ K||v||;
(ii) f o (x; v) nửa liên tục trên theo (x; v); f o (x; .) Lipschitz (theo v ) với hằng
số K trên X ;
(iii) f o (x; −v) = (−f )o (x; v)
Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương trên không gian Banach X

(f :
X → R); X ∗ là không gian liên hợp của X (X ∗ gồm các phiếm hàm tuyến
tính liên tục trên X ).


6

Định nghĩa 1.1.12.
Dưới vi phân Clarke của hàm f tại x
¯, kí hiệu ∂C f (¯
x), là tập hợp sau đây

trong X ∗ :

∂C f (¯
x) = {ξ ∈ X ∗ : f o (¯
x; u) ≥ ξ, u , ∀u ∈ X}.
Nếu f là hàm lồi trên X thì dưới vi phân của hàm lồi f được định nghĩa
như sau:

∂CA f (¯
x) = {x∗ ∈ X ∗ : f (x) − f (¯
x) ≥ x∗ , x − x¯ , ∀x ∈ X}.
Nhận xét 1.1.13.

∂C f (¯
x) = ∂CA f o (¯
x; 0),
trong đó ∂CA f o (¯
x; 0) là dưới vi phân của hàm lồi f o (¯
x; .) tại 0.
Định lý 1.1.14. ([1])
Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương với hằng số K tại x
¯. Khi đó,
a) ∂C f (¯
x) = Ø, lồi, compact yếu∗ và

||ξ||∗ ≤ K

(∀ξ ∈ ∂C f (¯
x));

b) Với mọi v ∈ X , ta có:

f o (¯
x; v) = max{ ξ, v : ξ ∈ ∂C f (¯
x)}
Ví dụ 1.1.15.
Xét trường hợp X = R, f (x) = |x|. Khi đó f là hàm Lipschitz trên R với
hằng số Lipschitz K = 1, vì ∀x1 , x2 ∈ R, ta có ||x1 | − |x2 || ≤ |x1 − x2 |.
a) Ta lấy x > 0. Khi đó:

y + tv − y
=v
y→x;t↓0
t

f o (x; v) = lim

⇒ ∂C f (x) = {ζ ∈ R : v ≥ ζv, ∀v ∈ R} = {1}
b) Tương tự, nếu x < 0, thì ∂C f (x) = {−1}.
c) Xét trường hợp x = 0:
f o (0; v) =

v,
−v,

nếu v ≥ 0
nếu v < 0

⇒ f o (0; v) = |v| ⇒ ∂C f (0) = {ζ ∈ R : |v| ≥ ζv, ∀v ∈ R}
⇒ ∂C f (0) = [−1; 1].

7

Định lý 1.1.16. ([1])
Giả sử f : X → R Lipschitz địa phương tại x
¯, có đạo hàm Df (¯
x) theo nghĩa
Gâteaux (hoặc Hadamard, hoặc Fréchet). Khi đó: Df (¯
x) ∈ ∂C f (¯
x).
Định lý 1.1.17. ([1])
Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x
¯; s ∈ R. Khi đó:

∂C (sf )(¯
x) = s∂C f (¯
x).
Mệnh đề 1.1.18. ([1])
Nếu f đạt cực tiểu hoặc cực đại địa phương tại x
¯ thì 0 ∈ ∂C f (¯
x).
Định lý 1.1.19. ([1])
Giả sử các hàm f1 , ..., fn Lipschitz địa phương tại x
¯. Khi đó, hàm tổng
n

f=

fi cũng Lipschitz địa phương tại x¯ và

i=1
n

n

fi )(¯
x) ⊂

∂C (
i=1

∂C fi (¯
x).
i=1

Định nghĩa 1.1.20.
Hàm f được gọi là chính quy tại x
¯, nếu:
a) Với mỗi v ∈ X , tồn tại đạo hàm theo phương thông thường f (¯
x; v) và
b) f (¯
x; v) = f o (¯
x; v)(∀v ∈ X).
Định lý 1.1.21. ([1])
Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x
¯. Khi đó:
(i) f lồi ⇒ f chính quy tại x
¯;
n

(ii) fi chính quy và si ≥ 0 (i = 1, ..., n) ⇒

si fi chính quy tại x¯.
i=1

1.2

Dưới vi phân suy rộng

Giả sử X là không gian Banach thực. Không gian đối ngẫu của X được
ký hiệu là X ∗ và X ∗ được trang bị tôpô yếu∗ .
Định nghĩa 1.2.1.
Nón tiếp liên hoặc nón Bouligand của tập S tại x ∈ clS là tập hợp được
định nghĩa như sau

T (S, x) = {v ∈ X : ∃(tn , vn ) → (0+ , v) : x + tn vn ∈ S},


8

trong đó clS là bao đóng của tập S .
Chú ý rằng, T (S, x) là nón đóng trong X .
Định nghĩa 1.2.2.
Giả sử f : X → R là hàm giá trị thực. Đạo hàm Dini dưới và trên của f
tại x theo phương v ∈ X được xác định tương ứng bởi

f − (x; v) = lim inf t−1 [f (x + tv) − f (x)],
t↓0

f + (x; v) = lim sup t−1 [f (x + tv) − f (x)]

t↓0

Trong trường hợp f là hàm Lipschitz địa phương tại x thì f − (x; v) và

f + (x; v) đều liên tục tại v .
Hàm f được gọi là khả vi theo phương tại x ∈ X nếu với mọi phương v ∈ X
đạo hàm theo phương một phía
f (x; v) = lim t−1 [f (x + tv) − f (x)]
t↓0

của f tại x theo phương v tồn tại và hữu hạn.
Hiển nhiên, nếu f khả vi theo phương tại x ∈ X thì với mọi v ∈ X ,

f (x; v) = f − (x; v) = f + (x; v).
Tiếp theo ta trình bày khái niệm của dưới vi phân suy rộng trên (convexificator) (xem [6]), để sử dụng trong chương 3.
Định nghĩa 1.2.3.
Hàm số f : X → R được gọi là có dưới vi phân suy rộng trên ∂ ∗ f (x) ⊆ X ∗
tại x ∈ X nếu ∂ ∗ f (x) là đóng yếu∗ và

f − (x; v) ≤

sup

x∗ , v , ∀v ∈ X.

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

Giả sử hàm f là Lipschitz địa phương tại x ∈ X , với đạo hàm theo
phương suy rộng Clarke f 0 (x, v) của f tại x ∈ X theo phương v ∈ X và
dưới vi phân Clarke ∂C f (x) của f tại x. Chú ý rằng, với mỗi giá trị cố định

x ∈ X , f 0 (x; v) là hàm dưới tuyến tính theo v trên X và ∂C f (x) là tập
con khác ∅, compact yếu∗ của X ∗ . Ta có, f − (x; v)
sup
x∗ , v , vì vậy
x∗ ∈∂C f (x)


9

dưới vi phân Clarke ∂C f (x) là dưới vi phân suy rộng trên lồi compact yếu∗
của f tại x. Với một hàm Lipschitz địa phương, nhiều dưới vi phân quan
trọng là dưới vi phân suy rộng trên.
Ví dụ 1.2.4.
Xét hàm số f : R2 → R cho bởi f (x, y) = |x| − |y|.
Ta có f Lipschitz địa phương tại x = 0 và tập

∂ ∗ f (0) = {(1, −1), (−1, 1)}
trong R2 là một dưới vi phân suy rộng trên của f tại x = 0 và tập

∂C f (0) = co{(1, 1), (−1, 1), (1, −1), (−1, −1)}
trong R2 là dưới vi phân Clarke của f tại x = 0. Như vậy, co(∂ ∗ f (0)) được
chứa trong ∂C f (0).
Ta nhắc lại, khi hàm f Lipschitz địa phương tại x ∈ X , f được gọi là
chính quy tại x nếu nó khả vi theo hướng tại x và

f 0 (x; v) = f (x; v), ∀v ∈ X.
Với ∀v ∈ X ta có f − (x; v) ≤ f + (x; v) ≤ f 0 (x; v).
Chú ý rằng, nếu f là chính quy tại x thì với ∀v ∈ X ,

f − (x; v) = f + (x; v) = f (x; v) = f 0 (x; v)
và các hàm f − (x; v), f + (x; v), f (x; v) là các hàm dưới tuyến tính theo v .
Nếu f khả vi Gâteaux tại x ∈ X với đạo hàm Gâteaux Df (x) là một phần
tử của X ∗ thì với ∀v ∈ X, f (x; v) tồn tại và bằng Df (x), v .
Rõ ràng, tập một phần tử {Df (x)} ⊂ X ∗ là một dưới vi phân suy rộng
trên của f tại x. Sau đây chúng ta trình bày về tính lồi suy rộng của hàm.
Định nghĩa 1.2.5.
(i) Hàm số f : X → R được gọi là giả lồi (tương ứng, giả lồi mạnh) tại

x ∈ X nếu ∀y ∈ X ,
f (y) < f (x) ⇒ f − (x; y − x) < 0
(tương ứng,

f (y) < f (x) ⇒ f + (x; y − x) < 0).


10

(ii) Hàm f được gọi là giả lõm (tương ứng, giả lõm mạnh) tại x ∈ X nếu

−f là giả lồi (tương ứng, giả lồi mạnh) tại x ∈ X .
Nhận xét 1.2.6.
(i) Vì (−f )− (x; v) = −f + (x; v) với ∀x, v ∈ X , từ định nghĩa (1.2.5) suy
ra hàm f là giả lõm (tương ứng giả lõm mạnh) tại x ∈ X nếu và chỉ nếu

∀y ∈ X ,
f (y) > f (x) ⇒ f + (x; y − x) > 0
(tương ứng

f (y) > f (x) ⇒ f − (x; y − x) > 0).

(ii) Trong trường hợp f khả vi theo phương tại x ∈ X , vì f − (x; v) =

f + (x; v) = f (x; v), ∀x, v ∈ X , cả tính giả lồi và tính giả lồi mạnh (tương
ứng, tính giả lõm và giả lõm mạnh) của f tại x quy về tính giả lồi (tương
ứng, giả lõm) của f tại x cho hàm khả vi theo phương.


11

Chương 2
Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho
bài toán tối ưu đa mục tiêu khả vi
Chương 2 trình bày các điều kiện Kuhn - Tucker mạnh của Maeda [9]
cho bài toán tối ưu đa mục tiêu khả vi có hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức
với điều kiện chính quy Guignard suy rộng.

2.1

Phát biểu bài toán

Giả sử Rn là không gian Euclid n chiều và x = (x1 , x2 , ...xn ), y =

(y1 , y2 , ...yn ) ∈ Rn . Ta kí hiệu tích vô hướng của x và y bởi
n

x, y =

xi yi
i=1

Với hai véc tơ x, y ∈ Rn , chúng ta sẽ quy ước như sau:

• x

y nếu và chỉ nếu xi

• x ≤ y nếu và chỉ nếu xi

yi , ∀i = 1, ..., n,
yi và x = y ,

• x < y nếu và chỉ nếu xi < yi với ∀i = 1, ..., n.
Giả sử f : Rn → Rl và g : Rn → Rm là các hàm véc tơ

f (x) = (f1 (x), f2 (x), ...fl (x)) và g(x) = (g1 (x), g2 (x), ...gm (x)),
trong đó fi : Rn → R, i = 1, .., l và gj : Rn → R, j = 1, 2, ..., m là các hàm
giá trị thực.


12

Trong chương 2 chúng ta giả thiết rằng fi , i = 1, .., l

và gj , j = 1, .., m

là các hàm khả vi liên tục trên Rn và kí hiệu gradients của fi và gj tại x ∈ Rn

fi (x) và gj (x)
Xét bài toán tối ưu véc tơ sau:

bởi

(P )

min f (x),
x ∈ X,

trong đó X = {x ∈ Rn |g(x)

0}

Định nghĩa 2.1.1.
Điểm x0 ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán (P) nếu không tồn
tại x ∈ X sao cho f (x) ≤ f (x0 ).
Định nghĩa 2.1.2.
Điểm x0 ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (P) nếu không
tồn tại x ∈ X sao cho f (x) < f (x0 ).
Nếu x0 ∈ X là một nghiệm hữu hiệu của bài toán (P) thì x0 là một
nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (P). Tuy nhiên, điều ngược lại không
đúng trong trường hợp tổng quát. Điều này kéo theo rằng sẽ có một vài sự
khác biệt giữa các khái niệm trên.
Định nghĩa nón tiếp tuyến sau đây được sử dụng rộng rãi.
Định nghĩa 2.1.3.
Giả sử Q là tập con khác rỗng của Rn . Nón tiếp tuyến của Q tại x0 ∈ clQ
được định nghĩa bởi:

T (Q; x0 ) = {h ∈ Rn |h = lim tm (xm − x0 ),
m

sao cho x ∈ Q

m→∞
và lim xm
m→∞

= x0 , tm > 0, ∀m = 1, 2, ...},

trong đó clQ kí hiệu bao đóng của Q.
Ta thấy rằng, T (Q; x0 ) là nón đóng, khác rỗng và nếu Q là tập lồi thì

T (Q; x0 ) cũng là tập lồi.


13

2.2

Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh

Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày điều kiện chính quy để dẫn điều
kiện cần Kuhn - Tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toán (P).
Giả sử x0 ∈ X là điểm chấp nhận được của bài toán (P), và kí hiệu

I(x0 ) = {j ∈ {1, 2, ...m}|gj (x0 ) = 0}.
Với mỗi i = 1, 2, ..., l, ta sẽ định nghĩa các tập khác rỗng Qi và Q bởi:

Qi = {x ∈ Rn |g(x)

0, fk (x)

Q = {x ∈ Rn |g(x)

0, f (x)

= {x ∈ Rn |g(x)

fk (x0 ), k = 1, 2, ...l, k = i},
f (x0 )}

0, fk (x)

fk (x0 ), k = 1, 2, ..l}

Trong trường hợp l = 1, ta đặt Qi = X .
l

Ta thấy rằng, Q =

Qi .

i=1

Định nghĩa 2.2.1.
Nón tuyến tính hóa của Q tại x0 ∈ Q được định nghĩa bởi

C(Q; x0 ) = {h ∈ Rn |

fi (x0 ), h

0, i = 1, 2, ..., l, và

gj (x0 ), h

0, j ∈ I(x0 )}.

Rõ ràng rằng C(Q; x0 ) là nón lồi, đóng, khác rỗng.
Mệnh đề sau đây cho ta mối quan hệ giữa nón tiếp tuyến T (Qi ; x0 ) và
nón tuyến tính hóa C(Q; x0 ).
Mệnh đề 2.2.2.
Giả sử x0 ∈ X là điểm chấp nhận được của bài toán (P). Khi đó,
l

clcoT (Qi ; x0 ) ⊆ C(Q; x0 ),
i=1

trong đó coT (Qi ; x0 ) kí hiệu bao lồi của T (Qi ; x0 ), cl chỉ bao đóng.
Chứng minh.
Trước tiên ta chỉ ra rằng T (Qi ; x0 ) ⊆ C(Qi ; x0 ), i = 1, 2, ...l,


14

trong đó,

C(Qi ; x0 ) = {h ∈ Rn |

fk (x0 ), h

0, k = 1, 2...l, k = i

và

gj (x0 ), h

0, j ∈ I(x0 )}.

Với i = 1, 2, ..l, ta giả sử d ∈ Rn là phần tử của T (Qi ; x0 ). Theo định
i
∞
nghĩa, tồn tại dãy {xm }∞
m=1 ⊆ Q và {tm }m=1 ⊆ R, với tm > 0, ∀m, sao cho

lim xm = x0 ,

m→∞

lim tm (xm − x0 ) = d.

m→∞

Đặt dm = tm (xm − x0 ), ta suy ra dm → d và xm − x0 =

1 m
d
tm

Khi đó, với mọi m ta có

gj (xm ) =

gj (x0 + (1/tm )dm )

0 = gj (x0 ), j ∈ I(x0 ),

(2.1)

fk (xm ) =

fk (x0 + (1/tm )dm )

fk (x0 ), k = 1, 2, ...l, k = i.

(2.2)

Từ (2.1) và (2.2) suy ra gj (xm ) − gj (x0 )

0. Do đó,

0, j ∈ I(x0 ).
Từ đó suy ra,
gj (x0 ), d

0,

j ∈ I(x0 ),

fk (x0 ), d

0,

i = 1, 2, ...l,

gj (x0 ),

1 m
d
tm

(2.3)

k = i.

(2.4)

Từ (2.3) và (2.4) suy ra, d ∈ C(Qi ; x0 ).
Do vậy,

T (Qi ; x0 ) ⊆ C(Qi ; x0 ).
Vì C(Qi ; x0 ) là nón lồi đóng và i lấy tuỳ ý, ta có: clcoT (Qi ; x0 ) ⊆ C(Qi ; x0 ),
l

suy ra

clcoT (Qi ; x0 ) ⊆

i=1

l

C(Qi ; x0 ) = C(Q; x0 ).

i=1

Trong mệnh đề 2.2.2, bao hàm thức ngược lại nói chung không đúng. Do
đó, chúng ta đưa vào điều kiện
l
0

clcoT (Qi ; x0 ).

C(Q; x ) ⊆

(2.5)

i=1

Chúng ta gọi (2.5) là điều kiện chính quy Guignard suy rộng và kí hiệu là
(GGCQ) .
Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán
(P).


15

Định lý 2.2.3.
Giả sử x0 ∈ X là điểm chấp nhận được của bài toán (P) và giả thiết rằng
(GGCQ) đúng tại x0 ∈ X , tức là,
l
0

clcoT (Qi ; x0 ).

C(Q; x ) ⊆
i=1

Nếu x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệu của bài toán (P) thì hệ

fi (x0 ), d

0,

i = 1, 2, ..., l,

(2.6)

fi (x0 ), d < 0,

tại ít nhất một giá trị i,

(2.7)

gj (x0 ), d

j ∈ I(x0 ),

(2.8)

0,

không có nghiệm d ∈ Rn .

Chứng minh.
Giả sử ngược lại tồn tại véc tơ d ∈ Rn sao cho (2.6), (2.7), (2.8) đúng. Khi
đó, ta có d ∈ C(Q; x0 ).
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng

fi (x0 ), d

0,

i = 2, 3, ..., l,

f1 (x0 ), d < 0.
Theo giả thiết, ta có d ∈ clcoT (Q1 ; x0 ).
1 0
Vì vậy, tồn tại dãy {dm }∞
m=1 ⊆ coT (Q ; x ) sao cho lim dm = d .
m→∞

Với mỗi dm , m = 1, 2, ..., tồn tại các số Km , λmk

0 và dmk ∈ T (Q1 ; x0 ), k =

1, 2..., Km sao cho:
Km

Km

λmk = 1,
k=1

λmk dmk = dm .
k=1

Với mỗi m = 1, 2... và k = 1, 2, ..., Km , vì dmk ∈ T (Q1 ; x0 ), theo định nghĩa,
1
n
∞
n
tồn tại các dãy số {xnmk }∞
n=1 ⊆ Q và {tmk }n=1 ⊆ R, với tmk > 0, ∀n, thoả

mãn

lim xnmk = x0 ,

n→∞

lim tnmk (xnmk − x0 ) = dmk .

n→∞

Đặt,

dnmk = tnmk (xnmk − x0 ).


16

Khi đó, với mọi n, ta có

fi (xnmk ) = fi (x0 + (1/tnmk )dnmk )

fi (x0 ),

gj (xnmk ) = gj (x0 + (1/tnmk )dnmk )

0,

i = 2, 3, ..., l,
j ∈ I(x0 ).

(2.9)
(2.10)

Mặt khác, vì x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệu của bài toán (P), với mọi n, chúng
ta có

f1 (xnmk ) = f1 (x0 + (1/tnmk )dnmk )

f1 (x0 ).

(2.11)

Từ (2.9), (2.10), (2.11) suy ra

f1 (x0 ), dmk

0,

fi (x0 ), dmk

0,

i = 2, 3, ..., l,

gj (x0 ), dmk

0,

j ∈ I(x0 ).

Từ tính chất tuyến tính và liên tục của tích vô hướng, chúng ta có

f1 (x0 ),

λmk dmk

0,

fi (x0 ),

λmk dmk

0,

i = 2, 3, ..., l,

gj (x0 ),

λmk dmk

0,

j ∈ I(x0 ).

Từ đó suy ra,

f1 (x0 ), dm

0,

fi (x0 ), dm

0,

i = 2, 3, ..., l,

gj (x0 ), dm

0,

j ∈ I(x0 ).

f1 (x0 ), d

0,

fi (x0 ), d

0,

i = 2, 3, ...l,

gj (x0 ), d

0,

j ∈ I(x0 ).

Do đó,

Điều này cho ta một mâu thuẫn.
Nhắc lại: m × n ma trận B được gọi là không rỗng (nonvacuous matrix)
nếu m ≥ 1, n ≥ 1. Định lí luân phiên Tucker sau đây sẽ được sử dụng để
chứng minh định lí 2.2.5.


17

Mệnh đề 2.2.4. (Tucker Theorem, [10])
Giả sử B, C, D là các ma trận, trong đó B không rỗng khi đó hoặc hệ:
(I) Bx ≥ 0, Cx

0, Dx = 0 có một nghiệm x,

hoặc

B T y + C T z + DT w = 0
(II)
có một nghiệm y, z, w,

y > 0, z 0
nhưng không đồng thời xảy ra.
Từ Định lí 2.2.3, ta có điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh sau đây.
Định lý 2.2.5.
Giả sử x0 ∈ X là điểm chấp nhận được của bài toán (P), và giả sử rằng
(GGCQ) đúng tại x0 ∈ X , x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệu của bài toán (P).
Khi đó, tồn tại véc tơ λ = (λ1 , ..., λl ) ∈ Rl và µ = (µ1 , ..., µm ) ∈ Rm sao
cho

l

m

λi

0

fi (x ) +

i=1

µj

gj (x0 ) = 0,

(2.12)

j=1

µ, g(x0 ) = 0,

(2.13)

λ > 0, µ

(2.14)

0.

Chứng minh.
Giả sử x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệu của bài toán (P). Khi đó, theo định lí
2.2.3, hệ sau không có nghiệm

fi (x0 ), d

0,

i = 1, 2, ...l,

fi (x0 ), d < 0

tại ít nhất một giá trị i,

gj (x0 ), d

j ∈ I(x0 ).

0,

Theo mệnh đề 2.2.4, tồn tại λ > 0, λ ∈ Rl và các số thực µj

sao cho

l

λi

fi (x0 ) +

i=1

µj

gj (x0 ) = 0.

j∈I(x0 )

Bằng cách đặt µj = 0, j ∈
/ I(x0 ), chúng ta có
l

m

λi
i=1

0

fi (x ) +

µj

j=1

gj (x0 ) = 0,

0, j ∈ I(x0 ),


18

λ > 0,

µ = (µ1 , µ2 , ..., µm )

0.

Mặt khác, vì gj (x0 ) = 0, j ∈ I(x0 ), chúng ta có µj gj (x0 ) = 0, j = 1, 2, ..., m.
Điều này kéo theo rằng µ, g(x0 ) = 0.
Định lí được chứng minh.
l

Bởi vì 0 ∈ T (Qi ; x0 ), ∀i = 1, .., l, ta suy ra 0 ∈

clcoT (Qi ; x0 ). Nếu

i=1
l

C(Q; x0 ) = {0} ⇒ C(Q; x0 ) ⊆

clcoT (Qi ; x0 ) tức (GGCQ) đúng tại x0 .

i=1

Vì vậy ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.2.6.
Giả sử x0 là điểm chấp nhận được của bài toán (P), và giả sử rằng C(Q; x0 ) =

{0}. Nếu x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệu của bài toán (P) thì tồn tại các véc tơ
λ ∈ Rl và µ ∈ Rm sao cho
l

m
0

λi

fi (x ) +

i=1

gj (x0 ) = 0,

µj
j=1

µ, g(x0 ) = 0,
λ > 0,

µ

0.

Để kết thúc mục này, ta đưa ra ví dụ sau
Ví dụ 2.2.7. Xét bài toán sau:

(P 1)

min f (x) = (x, −x3 ),
x ∈ R.

Hiển nhiên, tất cả các điểm đều là nghiệm hữu hiệu của bài toán (P1).
Ta có, f1 (x) = x, f2 (x) = −x3 .
+ Xét tại x0 ∈ R, x0 = 0, ta có

C(Q; x0 ) = {h ∈ R|

fi (x0 ), h

0, i = 1, ..., l}

trong đó,

f1 (x0 ) = 1,

f2 (x0 ) = −3(x0 )2 .

Ta suy ra

1.h

0,

−3(x0 )2 h

0.


19

Do đó h = 0
Do vậy: C(Q; x0 ) = {0}.
Theo hệ quả 2.2.6, nhân tử Lagrange λ1 và λ2 phải dương.
Thật vậy, với hai nhân tử Lagrange λ1

0 và λ2

0, và không đồng thời

bằng 0, ta có

0 = λ1

f1 (x0 ) + λ2

f2 (x0 ) = λ1 − 3(x0 )2 λ2 .

Vì thế, λ1 = 0 kéo theo λ2 = 0 và ngược lại. Do đó, ta có λ1 > 0 và λ2 > 0.
+ Tại 0 , ta có

C(Q; 0) = {x ∈ R|x

0},

T (Q1 ; 0) = {x ∈ R|x

0},

T (Q2 ; 0) = {x ∈ R|x

0}.

Vì vậy, điều kiện (GGCQ) không đúng tại gốc, và chúng ta có

0 = λ1

f1 (0) + λ2

f2 (0) = λ1 .

Ví dụ sau chỉ ra rằng, điều kiện (GGCQ) không là điều kiện đủ cho sự
tồn tại nhân tử Lagrange dương.
Ví dụ 2.2.8. Xét bài toán sau:

(P 2)

min f (x) = (−x3 , x3 ),
x ∈ R.

Hiển nhiên, tất cả các điểm đều là nghiệm hữu hiệu của bài toán (P2).
Ta có f1 (x) = −x3 , f2 (x) = x3 .

Xét tại 0, ta có

C(Q; 0) = R
T (Q1 ; 0) = {x ∈ R|x

0}

T (Q2 ; 0) = {x ∈ R|x

0}.

Vì vậy, (GGCQ) không đúng tại 0. Tuy nhiên, với λ1 > 0 và λ2 > 0 tùy ý,
ta có:

λ1

f1 (0) + λ2

f2 (0) = λ1 (−3(0)2 ) + λ2 (3(0)2 ) = 0.


20

Chương 3
Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho
bài toán tối ưu đa mục tiêu
Lipschitz địa phương
Chương 3 trình bày các điều kiện Kuhn - Tucker mạnh của X.F. Li và
J.Z. Zang [7] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm Lipschitz địa
phương với điều kiện chính quy Guignard suy rộng dưới ngôn ngữ dưới vi

phân suy rộng. Mối quan hệ giữa các điều kiện chính quy không trơn cũng
được trình bày trong chương này.

3.1

Điều kiện chính quy Guignard suy rộng và điều
kiện Kuhn - Tucker mạnh

Giả sử X là không gian Banach thực, X ∗ là đối ngẫu tôpô của X với
tôpô yếu∗ . Ta xét bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn:

(V P )

min f (x) = (f1 (x), f2 (x), ..., fm (x)),
g(x) = (g1 (x), ..., gn (x))

0,

Trong đó các hàm giá trị thực fi : X → R, i ∈ I = {1, ...m} và gj : X →
R, j ∈ J = {1, ...n} là các hàm Lipschitz địa phương trên X .
Ký hiệu M là tập chấp nhận được

M = {x ∈ X|g(x)

0}.


21

Ký hiệu J(x) là tập các chỉ số của tất cả các ràng buộc tích cực tại x ∈ X ,

tức là J(x) = {j ∈ J|gj (x) = 0}.
Véc tơ x ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP) nếu không
tồn tại y ∈ X sao cho f (y) ≤ f (x).
Trong phần này, chúng ta trình bày điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh
cho nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP) với điều kiện chính quy Guignard
suy rộng.
Giả sử x ∈ X . Đặt

Q(x) = {y ∈ X : f (y)

f (x), g(y)

Qi (x) = {y ∈ X : fk (y)
Qi (x) = Q(x),

0},

fk (x), k ∈ I\{i}, g(y)

0},

nếu m = 1,

C(Q(x), x) = {v ∈ X : fi− (x; v)

0, i ∈ I, gj− (x; v)

C(Qi (x), x) = {v ∈ X : fk− (x; v)

0, k ∈ I\{i}, gj− (x; v)

0, j ∈ J(x)},
0, j ∈ J(x)}.

Định nghĩa 3.1.1.
Với bài toán (VP), điều kiện chính quy Guignard suy rộng (GGCQ) được
gọi là đúng tại điểm chấp nhận được x ∈ X nếu

clcoT (Qi (x), x).

C(Q(x), x) ⊆
i∈I

Hiển nhiên, khi fi và gj (i ∈ I, j ∈ J ) là các hàm khả vi, (GGCQ)
quy về điều kiện chính quy Guignard suy rộng được nghiên cứu ở chương
2. Ta trình bày mối liên hệ của C(Q(x), x), C(Qi (x), x) và nón tiếp liên

T (Qi (x), x) của tập hợp Qi (x) song song với kết quả ở chương 2 cho các
trường hợp fi và gj (i ∈ I, j ∈ J) là các hàm khả vi.
Mệnh đề 3.1.2.
Giả sử x ∈ X và các hàm fi− (x; .) và gj− (x; .) với i ∈ I và j ∈ J(x) là các
hàm dưới tuyến tính trên X . Khi đó,
clcoT (Qi (x), x) ⊆ C(Q(x), x).
i∈I

Chứng minh.
Theo định nghĩa của C(Q(x), x) và C(Qi (x), x), ta có:

C(Qi (x), x).

C(Q(x), x) =
i∈I