Tích phân Volkenborn Đại số và lý thuyết số

?

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học s phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Phạm Thị Hoa Tiên

Tích phân Volkenborn
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số:

60.46.05

Luận văn thạc sĩ toán học

Ngời hớng dẫn khoa học:
PGS. TS. Mỵ Vinh Quang

Tp Hồ Chí Minh - 2010


lời cảm ơn
Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nghiêm khắc và đầy trách
nhiệm của PGS. TS. Mỵ Vinh Quang. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc của mình đến với PGS. TS. Mỵ Vinh Quang.
Tác giả xin chân thành đợc tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô giáo đã
giảng dạy lớp Cao học Toán Khóa 18 của Trờng ĐHSP Tp Hồ Chí Minh
vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ tác giả trong
suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH Trờng ĐHSP Tp Hồ Chí

Minh, Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học Trờng ĐHSP Tp Hồ Chí
Minh đã tạo điều kiện để tác giả hoàn thành công việc học tập, nghiên cứu
của mình.
Tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Đắk
Lắk; Ban Giám hiệu, quý thầy cô Trờng THPT Krông Ana, Đắk Lắk đã
tạo mọi điều kiện về cơ sở vật chất, thời gian và thờng xuyên động viên
tác giả trong học tập.
Trong quá trình học tập tác giả luôn nhận đợc sự động viên, khích lệ
của các bạn học viên trong lớp thạc sĩ khóa 18 chuyên ngành Đại số và lý
thuyết số của Đại học s phạm Tp Hồ Chí Minh cũng nh tất cả các bạn
bè thân hữu. Tác giả xin chân thành cám ơn.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến Ba Mẹ, các Em,
Bà nội, Ông Bà ngoại, các Bác, Chú Thím, Cậu Mợ, các Anh Chị luôn cổ
vũ, động viên để tác giả an tâm học tập và nghiên cứu. Đặc biệt, luận văn
không thể hoàn thành sau quá trình miệt mài học tập và nghiên cứu nếu
thiếu sự cảm thông sâu sắc, sự khích lệ tinh thần thờng xuyên của Chồng,
Con tác giả.

Tác giả
i


Danh mục kí hiệu
N = {0, 1, 2, 3, ...}
N = {1, 2, 3, ...}
Z = {0, 1, 2, ...}
Q: trờng các số hữu tỉ.
Qp : trờng các số padic.
Zp = {x Qp : |x|p 1}: vành các số nguyên padic.
Tp = Zp \ pZp = {x Zp : |x|p = 1}

B0 , B1 , ..., Bn : các số Bernoulli.
B0 (x), B1 (x), ..., Bn (x): đa thức Bernoulli.
n
exp t = et , với e = lim 1 + n1 .
n
expp t: hàm mũ padic.
logp t: hàm
logarit padic.
x(x 1)...(x n + 1)
, nếu n = 0
x
:=
n!
n
1,
nếu n = 0
với n N, x K, trong đó K là trờng giá trị phi Archimede đầy đủ chứa
Qp nh trờng con.

ii


Mục lục

Trang phụ bìa

i

Lời cảm ơn

i

Danh mục kí hiệu

ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chơng 1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1
1.2
1.3
Chơng

Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . .
Trờng các số p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . .
Một số khái niệm, kết quả về giải tích siêu mêtric .
2 Xây dựng tích phân Volkenborn . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

4
7
8
16

2.1
2.2
2.3
2.4
Chơng

Tổng bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Định nghĩa và một số kết quả về tích phân Volkenborn .
Tích phân Volkenborn của một số hàm đơn giản . . . . .
Tích phân trên các tập con . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Một số ứng dụng của tích phân Volkenborn

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

16
21
33
35
38

3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

.
.
.
.

.
.
.

.

Giới thiệu về số Bernoulli và đa thức Bernoulli . . . . . . . . 38
Xây dựng các số Bernoulli bằng tích phân Volkenborn . . . . 40
Dùng tích phân Volkenborn để chứng minh một số tính chất
của các số Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Chứng minh định lý von Staudt - Clausen theo lý thuyết số . 43
Chứng minh định lý von Staudt - Clausen bằng giải tích padic 47
Định nghĩa đa thức Bernoulli bằng tích phân Volkenborn . . 53

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1


Mở đầu
Các số padic đợc Kurt Hensel mô tả đầu tiên năm 1897, hơn một
trăm năm qua chúng dần thâm nhập vào các lĩnh vực khác nhau của toán
học nh lý thuyết số, hình học đại số, tôpô đại số, giải tích và cả vật lý,
đặc biệt là vật lý lợng tử. Vào những năm 40 của thế kỉ XX, giải tích
padic phát triển mạnh mẽ thành một chuyên ngành độc lập nhờ việc phát
hiện những mối liên hệ sâu sắc của giải tích padic với những vấn đề lớn
của số học và hình học đại số.
Trong giải tích padic có nhiều tơng tự padic khác nhau của khái
nhiệm tích phân, chẳng hạn nh khái niệm tơng tự padic của tích phân
Riemann, tích phân Stieltjes, tích phân Shnirelman (tơng tự padic của
tích phân đờng)...
Bên cạnh đó, tích phân Volkenborn là một tích phân khá đặc biệt, chỉ có
trong giải tích padic và không là tơng tự padic của bất kì tích phân nào

đã biết. Hơn thế nữa, tích phân Volkenborn có khá nhiều ứng dụng trong
nghiên cứu lý thuyết số. Bởi lý do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu
"Tích phân Volkenborn".
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách đầy đủ và chi tiết
cách xây dựng, các tính chất cơ bản của tích phân Volkenborn, đồng thời
giới thiệu một số áp dụng lý thú của nó, qua đó sẽ làm rõ ý nghĩa và vai
trò của tích phân Volkenborn trong giải tích padic và lý thuyết số. Cụ thể
nh sau
Chơng 1 Kiến thức cơ bản: trình bày một số kiến thức cơ bản về số
padic, giải tích padic, khai triển Mahler của các hàm liên tục cần dùng
cho các chơng sau.
Chơng 2 Xây dựng tích phân Volkenborn: giới thiệu về khái niệm
tổng bất định của hàm số liên tục, tính tổng bất định của một số hàm liên
tục trên Zp thờng gặp sau đó xây dựng tích phân Volkenborn của hàm số
liên tục trên Zp nh là đạo hàm tại 0 của tổng bất định hàm số. Chơng này
cũng nghiên cứu một số tính chất cơ bản của tích phân Volkenborn, chủ
yếu là của các hàm số khả vi liên tục trên Zp đồng thời tính toán tích phân
Volkenborn cho một số lớp hàm cơ bản quan trọng trong giải tích padic.
Cuối chơng là giới thiệu về khái niệm tích phân trên các tập con của Zp .
Chơng 3 Xây dựng một số ứng dụng của tích phân Volkenborn:
chơng này sẽ ứng dụng tích phân Volkenborn để xây dựng và nghiên cứu
một số tính chất quan trọng của các số Bernoulli - các số có vai trò quan
2


trọng trong lý thuyết số - đặc biệt là đồng d thức nổi tiếng của von Staudt
và Clausen. Song song với việc chứng minh bằng kỹ thuật padic, chúng
tôi cũng giới thiệu cách chứng minh đồng d thức này bằng cách sử dụng
các kỹ thuật của lý thuyết số để tiện đối chiếu. Cuối chơng, chúng tôi giới
thiệu cách xây dựng đa thức Bernoulli bằng tích phân Volkenborn.

Mặc dù bản thân tác giả đã rất cố gắng nhng do trình độ và thời gian
hạn chế nên luận văn có thể vẫn còn những thiếu sót. Kính mong quý thầy,
cô và quý độc giả góp ý để luận văn đợc hoàn thiện hơn.

3


Chơng 1

Kiến thức cơ bản
1.1

Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1. Hàm giá trị (valuation)

Cho K là một trờng. Một hàm giá trị trên K (còn gọi là chuẩn trên
trờng K) là một ánh xạ || : K R thỏa mãn
(i) x K, |x| 0, |x| = 0 nếu và chỉ nếu x = 0
(ii) |x + y| |x| + |y|, x, y K
(iii) |xy| = |x||y|
Cặp (K, ||) gọi là trờng giá trị.
Ví dụ 1.1.2.

1. Hàm lấy giá trị tuyệt đối trên trờng số thực R là một hàm giá trị
2. Hàm lấy môđun trên trờng số phức C cũng là một hàm giá trị
3. Trên một trờng K bất kì, hàm || đợc định nghĩa
|x| :=

0

nếu x = 0,

1, nếu x = 0.

là một hàm giá trị, gọi là hàm giá trị tầm thờng.

4


Mệnh đề 1.1.3. Kí hiệu 1K là phần tử đơn vị của trờng giá trị (K, ||).

Ta có
1. |1K | = 1
2. | x| = |x|, x K
3. |x1 | = |x|1 , x K, x = 0
4. |x y| ||x| |y||; x, y K
Giả sử (K, ||) là một trờng giá trị. ánh xạ d : K ì K R cho bởi
d(x, y) = |x y| là một metric, gọi là metric cảm sinh bởi || trên K, metric
này cũng cảm sinh một tôpô trên K, gọi là tôpô cảm sinh bởi ||. K cùng
với tôpô cảm sinh này trở thành một trờng tôpô, nghĩa là phép cộng và
phép nhân hai phần tử trên K là các ánh xạ liên tục.
Hai hàm giá trị trên K gọi là hai hàm giá trị tơng đơng nếu chúng
cảm sinh cùng một tôpô trên K.
Trong định nghĩa hàm giá trị (1.1.1) ở trên, nếu thay điều kiện (ii) bởi
điều kiện (ii ): |x + y| max{|x|, |y|} thì (K, ||) gọi là trờng giá trị phi
Archimede, (ii ) gọi là bất đẳng thức tam giác mạnh. Khi đó mêtric cảm
sinh bởi hàm giá trị phi Archimede thì gọi là siêu mêtric. Mọi trờng K
cùng với hàm giá trị tầm thờng là trờng giá trị phi Archimede. Trong
luận văn này chỉ nghiên cứu các trờng giá trị K là phi Archimede.

Ví dụ 1.1.4.

Lấy > 1, với mỗi f R[X], đặt
|f | :=

0,
d(f ) ,

nếuf = 0
nếu f = 0

trong đó d(f ) là bậc của f .
Với s R(X), đặt
|s| := |f ||g|1 , (s = f g 1 ; f, g R[X], g = 0)
Thì (R(X), ||) là trờng giá trị phi Archimede.
5


Ví dụ 1.1.5.

Lấy p là một số nguyên tố, với mỗi n Z ta định nghĩa ordp n là số i N
sao cho pi chia hết n và pi+1 không chia hết n. Với x Q, x = a , a, b Z
b
ta định nghĩa ordp x=ordp a-ordp b.
Khi đó ||p đợc định nghĩa
|x|p :=

pordp x ,
0,

nếu x = 0
nếu x = 0

là một hàm giá trị phi Archimede trên Q
Mệnh đề 1.1.6 (Nguyên lý tam giác cân).

Cho || là một hàm giá trị phi Archimede trên trờng K. Với mọi x, y
K, nếu |x| = |y| thì |x + y| = max{|x|, |y|}.
Mệnh đề 1.1.7 (Mọi hàm giá trị trên Q).

Mọi hàm giá trị không tầm thờng trên Q đều tơng đơng với hoặc ||p
với p là một số nguyên tố nào đó hoặc là hàm giá trị tuyệt đối.
Định nghĩa 1.1.8. Trờng thặng d

Giả sử (K, ||) là trờng giá trị phi Archimede.
Kí hiệu
B(0; 1) = {x K||x| 1}
B (0; 1) = {x K||x| < 1}
Khi đó k = B(0; 1)/B (0; 1) là một trờng, gọi là trờng thặng d của K.
Định nghĩa 1.1.9. Số pnguyên

Cho số nguyên tố p. Một số b Q đợc gọi là pnguyên nếu b =
m
k , (m, k) = 1 và p k
Định nghĩa 1.1.10. Đồng d modulo n

Cho n N ; m, k Q. m gọi là đồng d với k theo modudlo n nếu
n | (m k), kí hiệu m k(mod n)
6

1.2

Trờng các số p-adic

Bao đủ (completion) của Q theo hàm giá trị tuyệt đối là trờng số thực
R. Bao đủ của Q theo ||p là trờng Qp , gọi là trờng các số p-adic. Ta
cũng kí hiệu ||p là mở rộng của ||p trên Qp . Cụ thể hơn nh sau
Kí hiệu S là tập tất cả các dãy số hữu tỉ Cauchy theo ||p . Trên S xác định
quan hệ tơng đơng :
{xn } {yn } lim (xn yn ) = 0
n

Phần tử của Qp chính là các lớp tơng đơng theo quan hệ với phép cộng
và nhân trên Qp đợc định nghĩa bởi:
{xn } + {yn } = {xn + yn }
{xn }.{yn } = {xn .yn }
Q đợc xem là trờng con của Qp nhờ ánh xạ nhúng mỗi a Q thành {a}.
Với Qp = {an }, giá trị của đợc xác định
||p = lim |an |p
n

Nh sẽ thấy ở mệnh đề (1.3.6), nếu = 0 thì có N N sao cho với n > N
thì ||p = |an |p
Bao đóng đại số Qp của Qp không đầy đủ. Bao đủ của Qp đầy đủ và
đóng đại số, kí hiệu là Cp .
Định nghĩa 1.2.1. Số nguyên padic

Một số x Qp gọi là số nguyên p-adic nếu |x|p 1. Ta kí hiệu
Zp = {x Qp , |x|p 1}.

Mệnh đề 1.2.2. i) Zp là vành con của Qp mà chứa Z thực sự.

ii) Qp là trờng các thơng của Zp .
iii) N trù mật trong Zp .
7


Định nghĩa 1.2.3. Khai triển p-adic

Với mỗi x Qp , x có thể khai triển thành chuỗi


aj pj , m Z, 0 aj < p

x=
j=m

và gọi là khai triển p-adic của x
Trong khai triển này, nếu i là số nguyên nhỏ nhất sao cho ai = 0 thì
|x|p = pi .
Nhận xét 1.2.4.

1. Một phần tử x Zp có nghịch đảo trong Zp nếu và chỉ nếu |x|p = 1.
2. Nếu x là phần tử khác 0 của Zp thì x = pordp (x) y với y Zp , |y|p = 1.
3. Nếu x Qp thì tồn tại m Z, Zp sao cho x = pm
4. Trong Qp , ta có B (0; 1) = pZp , từ đó trờng thặng d của Qp là
Zp /pZp .
Mệnh đề 1.2.5.

Tập tất cả các giá trị của ||p là {0} {pn : n Z}. Đây là một nhóm,

gọi là nhóm giá trị của Qp

1.3

Một số khái niệm, kết quả về giải tích siêu mêtric

Từ mục này đến cuối luận văn, chỉ xét các trờng giá trị phi Archimede
K đầy đủ chứa Qp nh trờng con.
Định nghĩa 1.3.1. Chuẩn trên không gian vectơ

Cho E là một không gian vectơ trên K. Một ánh xạ
một chuẩn nếu
(i) x 0, x E, x = 0 nếu và chỉ nếu x = 0.
8

: E R gọi là


(ii) x = || x , với x E, K.
(iii) x + y max{ x , y }.
(E,
(E,

) gọi là không gian định chuẩn trên K. Ta có thể chỉ viết E thay cho
)

Ví dụ 1.3.2.

Cho X là một tập, một hàm f : X K gọi là bị chặn nếu
f

:= sup{|f (x)| : x X} <

Đặt B(X K) là tập tất cả các hàm bị chặn từ X vào K thì (B(X K),
là một không gian định chuẩn trên K.
Định nghĩa 1.3.3. ánh xạ liên tục trên không gian định chuẩn

Cho E, F là các không gian định chuẩn trên K. ánh xạ K-tuyến tính
A : E F gọi là liên tục nếu với mọi dãy x1 , x2 , ... E mà lim xn E =
n
0 thì lim Axn F = 0.
n

Mệnh đề 1.3.4.

Cho E, F là các không gian định chuẩn trên K. ánh xạ K-tuyến tính
A : E F là liên tục nếu và chỉ nếu có M 0 sao cho Ax F
M x E , x E
Định nghĩa 1.3.5. Giới hạn padic

Một dãy a1 , a2 , ... trong K gọi là hội tụ đến a K nếu lim |an a| = 0,
n
ta kí hiệu lim an = a.
n

Mệnh đề 1.3.6. Lấy a1 , a2 , ... là một dãy trong K với hàm giá trị phi

Archimede ||. Nếu lim an = a, a = 0 thì |an | = |a| với n đủ lớn.

n

Định nghĩa 1.3.7. Hàm liên tục

Cho X K. Hàm f : X K gọi là liên tục tại a X nếu một trong
các điều kiện tơng đơng sau đây đợc thỏa
9

)


(i) Với mọi > 0 cho trớc, có số > 0 sao cho |x a| < , x X kéo
theo |f (x) f (a)| < .
(ii) Nếu a1 , a2 , ... X, lim an = a thì lim f (an ) = f (a).
n

n

Hàm f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi x X.
Định nghĩa 1.3.8. Hàm khả vi

Lấy X K, a X là một điểm tụ của X. Hàm f : X K gọi là khả
vi tại a nếu đạo hàm f (a) của f tại a tồn tại, với
f (x) f (a)
.
xa
xa

f (a) := lim

f gọi là khả vi trên X nếu f (a) tồn tại với mỗi a X. Hàm f gọi là đạo
hàm của f, f gọi là nguyên hàm của f'.
Mệnh đề 1.3.9.

Các quy tắc đã biết về tính khả vi của tổng, tích, thơng, hợp thành
của các hàm biến thực vẫn đúng trong trờng hợp này. Do đó, đạo hàm
n

của hàm đa thức f (x) =

aj xj trên K là f (x) =

j=0

n

jaj xj1 . Các hàm

j=1

hữu tỉ là khả vi. Một hàm khả vi là liên tục.
Định nghĩa 1.3.10. Tập lồi

Cho x, y, z K. Kí hiệu hình cầu nhỏ nhất chứa cả x và y là [x, y]. z
gọi là ở giữa x và y nếu z [x, y], ngợc lại ta nói x, y cùng phía với z.
Một tập con X của K gọi là lồi nếu x, y X kéo theo [x, y] X
Mệnh đề 1.3.11.

Tất cả các tập lồi trong K là các hình cầu, , K và các tập gồm một
phần tử {a}, a K

Định nghĩa 1.3.12. Phần tử dơng trong K

Một phần tử x K gọi là dơng nếu |1 x| < 1. Tập tất cả các phần
tử dơng của K là một nhóm, kí hiệu là K +
10


Định nghĩa 1.3.13. Hàm giải tích

Xét tập con D của K là tập lồi. Một hàm f : D K gọi là giải tích
trên D nếu có các phần tử u D và a0 , a1 , ... K sao cho


an (x u)n , (x D)

f (x) =
n=0

Mệnh đề 1.3.14.

Một hàm giải tích là khả vi vô hạn lần.
Định lý 1.3.15.

Cho D K là tập con lồi, mở và f giải tích trên D. Khi đó với mỗi v


D, tồn tại các phần tử b0 , b1 , ... K sao cho f (x) =

bn (xv)n , x D.

n=0

Hệ quả 1.3.16.


Nếu D chứa 0 thì hàm f giải tích trên D có thể biểu diễn dạng f (x) =
an x n .

n=0

Định nghĩa 1.3.17. Hàm mũ p-adic

Hàm mũ p-adic đợc cho bởi công thức


expp x =
n=0

xn
, (x E)
n!

1

Trong đó E := {x K : |x| < p 1p } là miền hội tụ của chuỗi lũy thừa


n=0

xn

n!

Định nghĩa 1.3.18. Hàm logarit padic

Hàm logarit p-adic đợc định nghĩa là


logp (x) :=

n+1 (x

(1)
n=1

11

1)n
, x K+
n


Định nghĩa 1.3.19. Hàm khả vi liên tục

Cho X là tập con khác rỗng của K không chứa điểm cô lập, f : X K.
Sai phân 1 f của f là hàm hai biến cho bởi 1 f : X ì X \ K, :=
{(x, x) : x X}
1 f (x, y) =

f (x) f (y)
, (x, y X, x = y)

xy

f đợc gọi là khả vi liên tục tại a X, (f là C 1 tại a) nếu

lim
(x,y)(a,a)

1 f (x, y)

tồn tại.
f gọi là khả vi liên tục (f là hàm C 1 ) nếu f là C 1 tại mọi a X. Tập
tất cả các hàm f : X K khả vi liên tục đợc kí hiệu là C 1 (Zp K), là
K - không gian vectơ đóng đối với phép nhân ánh xạ.
Đặt f 1 := f 1 f , thì BC 1 (X K) := {f C 1 (Zp K) :
f 1 < } là không gian định chuẩn với chuẩn 1 .
Mệnh đề 1.3.20. Mọi hàm giải tích là C 1 .
Định nghĩa 1.3.21. Hàm khả vi liên tục cấp n Xét X là tập con khác

rỗng của K không chứa điểm cô lập. Với n N , đặt
n X := {(x1 , x2 , ..., xn ) X n : nếu i = j thì xi = xj }
Sai phân bậc n n f : n+1 X K của hàm f : X K đợc định nghĩa
quy nạp bởi:
(i) 0 f := f
(ii) Với n N , (x1 , x2 , ..., xn+1 ) n+1 X :
n f (x1 , x2 , ..., xn+1 ) :=

n1 f (x1 , x3 , ..., xn+1 ) n1 f (x2 , x3 , ..., xn+1 )
x1 x2

f là một hàm C n hay f là C n nếu n f có thể mở rộng thành một hàm liên

tục n f : X n+1 K.
Tập tất cả các hàm C n f : X K đợc kí hiệu là C n (X K)
Hàm f gọi là C n tại a X nếu tồn tại giới hạn
lim n f (), ( := (a, a, ..., a) X n+1 , n+1 X)



12


Mệnh đề 1.3.22. Một hàm f : X K là C n nếu và chỉ nếu f là C n tại

mọi a X.
Mệnh đề 1.3.23 (Biểu diễn Teichmuller). Phơng trình xp = x có đúng p

nghiệm trong Qp . Tập nghiệm là {0, , 2 , ...p1 } với là một căn nguyên
thủy bậc p 1 của 1 trong Qp , nghĩa là n = p 1 là số dơng nhỏ nhất
để n = 1.

Khi đó, mọi phần tử x Qp có thể đợc biểu diễn dạng x =
bn pn , bn
n=
2

p1

{0, , , ... }, bn = 0 khi n đủ lớn và ngợc lại, mỗi chuỗi nh thế là
biểu diễn cho một số p-adic.
Định nghĩa 1.3.24. Dãy nội suy đợc Cho A Z, A trù mật trong Z theo

nghĩa p-adic. n an là một dãy trong K.
Dãy này gọi là nội suy đợc nếu tồn tại hàm liên tục f : Zp K sao cho
f (n) = an , n A
Định lý 1.3.25.

Cho f C(Zp K). Khi đó có duy nhất một hàm F C(Zp K)
sao cho
F (x + 1) F (x) = f (x), (x Zp ),
F (0) = 0
Hệ quả 1.3.26.

Nếu một dãy un trong K nội suy đợc thì dãy tổng riêng của un cũng
nội suy đợc.
Định lý 1.3.27.

Với a K thì dãy 1, a, a2 ... nội suy đợc nếu và chỉ nếu a K + . Đặt
ax := lim an , x Zp , a K +
nx

Khi đó, x, y Zp , a K + ta có
ax K
13


ax+y = ax ay
ax = (ax )1
1

Định lý 1.3.28. Đặt E = {x K : |x| < p 1p }.

Các hàm mũ p-adic, hàm logarit p-adic và hàm ax có các tính chất sau
1. expp là khả vi trên E và expp = exp.
2. logp là khả vi trên K + và (logp x) = x1 , x K +
3. expp (x + y) = (expp x)(expp y), (x, y E)
4. logp (xy) = logp x + logp y, (x, y K + )
5. logp (expp x) = x, expp (logp y) = y, (x E, y 1 + E)
ax 1
= logp a
x0
x

6. lim

Định nghĩa 1.3.29.

x
n

Cho n N, x K
x
n


x(x 1)...(x n + 1)
,
:=
n!
1,

Mệnh đề 1.3.30. Kí hiệu

(i)

X
n

X
n

nếu n = 0

. Ta có

là hàm đa thức bậc n. Nếu j N, j < n thì

(ii) Với mọi x, y K, n N ta có
(iii) Với mọi x K, n N ta có
(iv) |

x
n

là hàm x

nếu n = 0

x
n

x+y

n
x+1
n

n

=
j=0

=

x
n

+

x
j

j
n

= 0,

n
n

=1

y

nj
x
n1

|p 1, x Zp

Định lý 1.3.31.

Các hàm X0 , X1 , X2 , ... lập thành một cơ sở trực giao (gọi là cơ sở
Mahler) của C(Zp K), nghĩa là:
14


(i) Với mỗi f C(Zp K) thì có duy nhất các số a0 , a1 , ... K sao cho


f (x) =

an
n=0

x
, x Zp
n

Chuỗi này hội tụ đều, ta gọi đây là khai triển Mahler của f . Các số
a0 , a1 , ... gọi là các hệ số Mahler của f


(ii) Nếu a0 , a1 ... là dãy dần về 0 trong K thì x

an
n=0

x
n

xác định một

hàm liên tục trên Zp .
Bổ đề 1.3.32. Đặt |K | = {|x|, x K, x = 0}.




Cho r |K | và hàm f (x) =

aj xj với x B0 (r). Khi đó, với mỗi

j=0
m

aj xj hội tụ đến f trong C n (Zp K).

n N, dãy các tổng riêng m
j=0

Định nghĩa 1.3.33. n

Với mỗi n N ta định nghĩa n là các số nguyên sao cho

Với n = 0, 0 := 1
Với n > 0, n có khai triển padic là n = a0 + a1 p + ... + as ps thì
n := as ps
Bổ đề 1.3.34. Các số n có các tính chất sau

(i)

1
n

|n |p np , n > 0

(ii) p1 |n |p |n+1 |p |n |p , n N
Định lý 1.3.35 (Đặc trng của các hàm C 1 bởi hệ số Mahler).


Cho f C(Zp K) có khai triển Mahler là f =

an
n=0

X
n

. Khi

đó f C 1 (Zp K) nếu và chỉ nếu lim |an |n = 0. Hơn nữa nếu
n

f C 1 (Zp K) thì f

1

f

= max{|an ||n |1
p : n N} với
1

:= f



15

1 f




Chơng 2

Xây dựng tích phân Volkenborn
2.1

Tổng bất định

Định nghĩa 2.1.1. Tổng bất định
n1

f (j), n

Cho f C(Zp K), khi đó theo hệ quả (1.3.26), dãy n
j=0
n1

N là nội suy đợc. Hàm số liên tục nội suy dãy n

f (j), n N gọi
j=0

là tổng bất định của f , kí hiệu là Sf .
n1

x1

f (j), n N

f (j) = lim

Sf (x) =

nx

j=0

j=0

Nhận xét 2.1.2. Từ định lý (1.3.25), ta có :

Sf (x + 1) Sf (x) = f (x), (x Zp ),
Sf (0) = 0
Ví dụ 2.1.3. Tổng bất định của một vài hàm số trên Zp

1. Hàm số f (x) = 1
Với n N , ta có
n1

f (j) = n
j=0

16


Suy ra
n−1

f (j) = x

Sf (x) = lim

n→x

j=0

2. Hµm sè f (x) = x, x ∈ Zp
Víi n ∈ N, n > 0, ta cã
n−1

f (j) = 0 + 1 + ... + (n − 1) =

j=0

(n − 1)n
2

Suy ra
n−1

f (j) =

Sf (x) = lim

n→x

j=0

(x − 1)x
2

3. Hµm sè f (x) = x2 , x ∈ Zp
Víi n ∈ N, n > 1, ta cã
n−1

f (j) = 02 + 12 + ... + (n − 1)2 =
j=0

(n − 1)n(2n − 1)
6

Suy ra

n−1

Sf (x) = lim

n→x

f (j) =
j=0

(x − 1)x(2x − 1) 1 3 1 2 1
= x − x + x
6
3
2
6

4. Hµm sè f (x) = x3 , x ∈ Zp
Víi n ∈ N, n > 1, ta cã
n−1

(n − 1)2 n2
f (j) = 0 + 1 + ... + (n − 1) =
4
j=0
3

3

3

Suy ra
n−1

(x − 1)2 x2
Sf (x) = lim
f (j) =
n→x
4
j=0

17


5. Hàm số f (x) = ax , x Zp , a C+
p ,a = 1
Xét n N, n > 1, ta thấy
n1
0

1

f (j) = a + a + ... + a

n1

j=0

an 1
=
a1

Suy ra
n1

f (j) =

Sf (x) = lim

nx

j=0

ax 1
a1

Ta đã biết với một hàm số f C(Zp K) cho trớc, các hệ số Mahler
trong khai triển Mahler hoàn toàn đợc xác định. Định lý sau đây đa ra
một công thức biểu diễn các hệ số Mahler qua các giá trị của f .
Định lý 2.1.4.


Cho f C(Zp K) có khai triển Mahler là

an
n=0

X
n

thì các hệ số

an sẽ đợc xác định là
n

(1)nj

an =
j=0

n
f (j), n N
j

Chứng minh. Gọi I là toán tử đồng nhất. Đặt
(L1 f )(x) := f (x + 1), (x Zp )
f := L1 f f
thì
L1 : C(Zp K) C(Zp K), : C(Zp K) C(Zp K)
Ta có (f )(x) = f (x + 1) f (x), x Zp .



Giả sử f C(Zp K) có khai triển Mahler là f =

an
n=0



f (x + 1) =

an
n=0

18

x+1
, (x Zp )
n

X
n

thì


MÆt kh¸c,
x+1
n

x
n

=

+

x
n−1

an

x+1
n

an

x
x
+
an
n
n−1
n=1

nÕu n ≥ 1
nÕu n = 0

,

1,

Nªn ta tÝnh ®−îc
∞

f (x + 1) = a0 +
n=1
∞

= a0 +

∞

n=1
∞

= f (x) +

x
n

an+1
n=0

∞

⇒ (∆f )(x) = f (x + 1) − f (x) =

an+1
n=0

Do ®ã

∞

an+1

X
n

an+k

X
n

(∆f ) =
n=0

Víi k ∈ N

∞
k

∆ f=
n=0

V×

0
0

= 1 vµ

0
n

x
n

= 0, n > 0 nªn

(∆k f )(0) = ak

(2.1)

MÆt kh¸c, ∆ = L1 − I nªn ®Æt Lj f (x) := f (x + j), x ∈ Zp ta cã:
k
k

Lj1 (−1)k−j

k

∆ = (L1 − I) =
j=0

k
j

k

(−1)k−j

=
j=0

k
Lj
j

Suy ra

k
k

(−1)k−j

(∆ f )(0) =
j=0

19

k
f (j)
j

(2.2)


Từ (2.1) và (2.2) ta có
n

n
f (j), n N
j

(1)nj

an =
j=0

Mệnh đề 2.1.5 (Hệ số Mahler của tổng bất định).

Lấy f =

X
n

an
n=0

C(Zp K) thì tổng bất định của f có khai triển

Mahler là



Sf =

an1
n=1

Đặc biệt, S

X
n

X
n

X

n+1

=

Chứng minh. Do Sf liên tục nên theo định lý (1.3.31), có các hệ số Mahler
b0 , b1 , ... K sao cho

X
Sf =
bn
n
n=0
Từ Sf (0) = 0 ta có b0 = 0. Mặt khác, Sf (x + 1) Sf (x) = f (x) nên


an
n=0

x+1
n

áp dụng

=



an
n=0

X
n

=f =

bn
n=1

X+1
X

bn
n
n
n=1

x
x
+
, ta đợc
n
n1
X
n

=

bn
n=1

X
n1



=
n=0

Vậy bn = an1 , n N, n > 0.
Với n = 0, x0 = 1, x1 = x, theo ví dụ (2.1.3) ta có S
Với n > 0, xét hàm f =

X
n


... = 0, an = 1, ta có Sf =
X
n

=

an
n=0

an1
n=1

Vậy S



=

X
n

X
.
n+1
20

X
n

=

X
n

bn+1

X
0

=

X
0+1

với a0 = ... = an1 = an+1 =
X
n+1

.


Định lý 2.1.6.

Cho f C 1 (Zp K). Khi đó tổng bất định của f là Sf cũng thuộc
C 1 (Zp K) và
f 1 Sf 1 p f 1

Chứng minh: Vì f C 1 (Zp K) nên có các a0 , a1 , ... K sao cho


f=

an
n=0

X
n

và theo định lý (1.3.35),
f

1

= max |an ||n |1
p
n0

lim |an |n = 0

n



Khi đó theo mệnh đề (2.1.5), Sf =

an1
n=1

X
n

. Dễ thấy lim |an |n = 0
n

nếu và chỉ nếu lim |an1 |n = 0. Theo định lý (1.3.35)
n

Sf C 1 (Zp K), Sf

1

= max |an |n+1 |1
p

Sf

1

p f 1.

Theo bổ đề (1.3.34), ta có f

2.2

1

n0

Định nghĩa và một số kết quả về tích phân Volkenborn

Định nghĩa 2.2.1. Tích phân Volkenborn

Cho hàm f C(Zp K). f đợc gọi là khả tích (khả tích Volkenborn)
nếu tồn tại hữu hạn giới hạn
pn 1

lim pn

n

f (j)
j=0

Khi đó, giới hạn này gọi là tích phân Volkenborn của f và kí hiệu:
pn 1

f (x)dx := lim pn
n

Zp

21

f (j)
j=0


Nhận xét 2.2.2.

1. Do pn

pn 1

f (j) =
j=0

Sf (pn )Sf (0)
pn

nên

f (x)dx = (Sf ) (0)
Zp

2. Theo định lý (2.1.6), nếu f C 1 (Zp K) thì Sf C 1 (Zp K)
nên Sf (0) luôn tồn tại, vì vậy mọi hàm C 1 đều khả tích.
3. Với , K; f, g khả tích, ta có:
f (x) + g(x)dx =
Zp

f (x)dx +
Zp

g(x)dx
Zp

4. Khác với hàm biến thực, tồn tại những hàm liên tục trên Zp mà không
khả tích.
Ví dụ 2.2.3. Xét hàm f (x) := |x|p .

(i) f liên tục trên Zp vì
Tại x = 0, với mọi dãy {xn } Zp , lim xn = 0 thì theo định
n
nghĩa giới hạn padic,
f (0) = 0 = lim |xn 0|p = lim |xn |p = lim f (xn )
n

n

n

Suy ra f liên tục tại x = 0.
Tại x = 0, với mọi dãy {xn } Zp , lim xn = x thì theo mệnh
n
đề (1.3.6), với n đủ lớn, |xn |p = |x|p hay lim f (xn ) = f (x),
n
nghĩa là f liên tục tại x.
(ii) Xét giới hạn
|pn |p |0|p
= lim p2n =
lim
n
n
n
p
suy ra f không khả vi tại 0.

22