MỘT ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỌTIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHI MINH

LÊ HỮU THỨC

MỘT ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỌ
TIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN
BANACH

Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số
: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008


1


2

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc đối với Thầy PGS. TS. Lê
Hoàn Hóa – Khoa toán – Tin học, Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM đã
hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi tận tình trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm luận văn

đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành luận
văn này một cách hoàn chỉnh.
Tôi chân thành cảm ơn các Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Tin học
Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh, các Thầy Cô đã tận tình tham gia
giảng dạy tôi trong lớp Cao học Giải tích khoá 15 và Phòng KHCN - SĐH
Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh.
Tôi gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Bộ môn Toán trường Dự Bò Đại
học TP.HCM, Trường THPT DL An Đông đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
trong công tác để tôi có thể tham gia đầy đủ các khóa học cũng như hoàn
thành luận văn này. Đặc biệt là lời cảm ơn sâu sắc Thầy TS. Chu Đức Khánh
đã góp ý cho luận văn và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập.
Tôi cũng gởi lời cảm ơn đến tất cả các bạn trong lớp Cao học khoá 15.
Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này, khó tránh khỏi những
thiếu sót, tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc. Mọi ý
kiến đóng góp xin gởi về email:
Xin chân thành cảm ơn.


3

MỤC LỤC
Trang phụ bìa ................................................................................................. 1
Lời cảm ơn ...................................................................................................... 2
Mục lục ........................................................................................................... 3
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 4
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ................................................. 6
1.1. Nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bò chặn ............... 6
1.2. Nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính bò chặn ............ 10
1.3. Đònh lý Hille – Yosida ....................................................................... 14
1.4. Nửa nhóm của các toán tử tuyến tính và bài toán Cauchy ............... 15

1.5. Họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach ................................ 18
Chương 2: MỘT ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỌ TIẾN HÓA
TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH ....................... 21
2.1. Giới thiệu............................................................................................ 21
2.2. Kết quả .............................................................................................. 25
Chương 3: ỨNG DỤNG ................................................................................. 36
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................................ 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 40


4

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay, vấn đề nửa nhóm và họ tiến hóa trong không gian Banach là
một hướng nghiên cứu lớn của toán học hiện đại. Nhiều nhà toán học trên thế
giới đã và đang tiếp tục nghiên cứu, phát triển các vấn đề này theo nhiều
hướng khác nhau trong đó nghiên cứu mối quan hệ của nửa nhóm tiến hóa với
bài toán Cauchy được nhiều nhà toán học quan tâm. Vì vậy chúng tôi chọn đề
tài này làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề
tài theo hướng nghiên cứu trên.
2. Mục đích:
Luận văn này nghiên cứu tính ổn đònh nghiệm của phương trình vi phân
thông qua lý thuyết phổ của nửa nhóm tiến hóa.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính tuần hoàn của nghiệm
yếu của phương trình vi phân không thuần nhất với tính ổn đònh mũ của họ
tiến hóa tuần hoàn.
4. Ý nghóa khoa học thực tiễn:
Kết quả của luận văn này là cơ sở để tiếp tục nghiên cứu tính các tính

chất khác của nghiệm yếu của phương trình vi phân không thuần nhất với tính
ổn đònh mũ của họ tiến hóa tuần hoàn.


5

5. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ bản liên quan đến nửa nhóm,
họ tiến hóa tuần hoàn và một số phương trình vi phân.
Chương 2: Chúng tôi trình bày và chứng minh đònh lý về tính ổn đònh
mũ của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach.
Chương 3: Chúng tôi giới thiệu một số ứng dụng của đònh lý trên.
Cuối cùng là các tài liệu tham khảo mà chúng tôi có trích dẫn một số
đònh lý cũng như chứng minh của chúng.
----------------------------------


6

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 NỬA NHÓM LIÊN TỤC ĐỀU CỦA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
BỊ CHẶN
Đònh nghóa 1.1.1:
Cho X là không gian Banach. Họ một tham số T(t), 0 ≤ t < , của các
toán tử tuyến tính bò chặn từ X vào X được gọi là một nửa nhóm của các toán
tử tuyến tính bò chặn trên X nếu
(i)

T(0) = I, ( I là toán tử đồng nhất trên X )

(ii)

T(t+s) =T(t).T(s) với mọi t, s  0

Một nửa nhóm của các toán tử tuyến tính bò chặn T(t) được gọi là liên
tục đều nếu lim
T (t )  I  0
t 0

(1.1)

Từ đònh nghóa rõ ràng ta có : Nếu T(t), 0 ≤ t < , là một nửa nhóm liên
tục đều của các toán tử tuyến tính bò chặn thì lim
T ( s )  T (t )  0
s t

(1.2)

Đònh nghóa 1.1.2:
Cho {T(t)}t0 là một nửa nhóm của các toán tử tuyến tính bò chặn xác
đònh trên X. Với h > 0 ta đònh nghóa toán tử tuyến tính Ah xác đònh như sau:

Ah x 

T (h) x  x
, x X.
h

(1.3)

Ah x tồn tại, ta
Kí hiệu D(A) là tập tất cả các xX sao cho giới hạn lim
h 0

xác đònh toán tử A trên D(A) như sau:


7

Ax  lim Ah x , x  D ( A)
h 0

(1.4)

Ta gọi toán tử A xác đònh như trên là toán tử sinh cực vi ( hay ngắn gọn
hơn là toán tử sinh) của nửa nhóm T(t) và D(A) là tập xác đònh của A.
Đònh lý 1.1.3:
Một toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục đều
nếu và chỉ nếu A là một toán tử tuyến tính bò chặn.
Chứng minh:
Cho A là một toán tử tuyến tính bò chặn trên X và đặt
(tA) n
T (t )  e  
n!
n 0
tA



(1.5)

Vế phải của (1.5) hội tụ theo chuẩn với mọi t  0 và xác đònh với mỗi t một
toán tử tuyến tính bò chặn T(t).
Rõ ràng là T(0) = I và với cách tính trực tiếp trên chuỗi lũy thừa trên ta thấy
T(t+s) = T(t).T(s)
Tiến hành đánh giá chuỗi lũy thừa trên ta có:
T (t )  I  t A et A

và
T (t )  I
 A  A T (t )  I
t

Từ đó suy ra rằng T(t) là một nửa nhóm liên tục đều của toán tử tuyến
tính bò chặn xác đònh trên X và A là toán tử sinh của T(t).
Mặt khác cho T(t) là một nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến
tính bò chặn xác đònh trên X. Cố đònh  >0, đủ nhỏ, sao cho


8

I

Suy ra rằng 

1



0 T (s)ds

1

1





0 T (s)ds là khả nghòch và vì vậy 0 T (s)ds là khả nghòch

Bây giờ






0

0

h (T (h)  I )  T ( s )ds = h (  T ( s  h)ds   T ( s )ds )
1

1

0

=

1

h (

 h

h

0 T ( s)ds  0 T ( s)ds)

Vì vậy
h (T (h)  I ) = [h
1

1

 h

h



0 T (s)ds  h 0 T (s)ds](0 T (s)ds)
1

1

(1.6)

Cho h  0 trong (1.6) ta thấy h 1 (T (h)  I ) là hội tụ theo chuẩn và vì


vậy đủ mạnh để toán tử tuyến tính bò chặn (T (  )  I )(  T ( s )ds ) 1 là toán tử
0

sinh của T(t).

Vậy nửa nhóm T(t) có một toán tử sinh A thì có duy nhất không? Trả lời
câu hỏi này ta xem đònh lý sau.
Đònh lý 1.1.4:
Cho T(t) và S(t) là nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bò
T (t )  I
S (t )  I
 A  lim
t 0
t 0
t
t

chặn. Nếu lim

thì T(t) = S(t) với mọi t  0
Chứng minh:

(1.7)


9

Cho T > 0, S(t) = T(t), với 0 ≤ t ≤ T. Cố đònh T > 0, khi t  T (t ) và t  S (t )
là liên tục thì tồn tại một hằng số C sao cho T (t ) S ( s )  C với 0 ≤ t, s ≤ T.
Từ (1.7), cho  > 0, tồn tại một số  > 0 sao cho
h 1 T (h)  S (h) 


TC

Cho 0 ≤ t ≤ T và chọn n  1 sao cho

với 0≤ h ≤ 

(1.8)

t
  . Từ tính chất của nửa nhóm và (1.8)
n

ta có:
t
t
T (t )  S (t )  T (n )  S (n )
n
n
n 1
t
kt
t
(k  1)t
  T ((n  k ) ) S ( )  T ((n  k  1) ) S (

)
n
n
n
n
k 0
n 1
t
t
t
kt
 t
  T ((n  k  1) ) T ( )  S ( ) S ( )  Cn

n
n
n
n
TC n
k 0

Vậy T(t) = S(t) với mọi 0 ≤ t ≤ T




Do hai đònh lý trên ta có kết quả sau
Cho T(t) là nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bò chặn. Ta có
a) Tồn tại một hằng số   0 sao cho T (t )  et .
b) Tồn tại một toán tử tuyến tính bò chặn duy nhất A sao cho T (t )  etA .
c) Toán tử A trong phần b) là toán tử sinh của T(t).

d) t  T (t ) là khả vi với chuẩn và

dT (t )
 AT (t )  T (t ) A .
dt


10

1.2 NỬA NHÓM LIÊN TỤC MẠNH CỦA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
BỊ CHẶN
Trong suốt chương này, X là không gian Banach.
Đònh nghóa 1.2.1:
Một nửa nhóm T(t), 0 ≤ t < , của các toán tử tuyến tính bò chặn trên X
là nửa nhóm liên tục mạnh nếu
lim T (t ) x  x với mọi x  X

(1.9)

t 0

Một nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính bò chặn trên X
sẽ được gọi là một nửa nhóm của lớp C0 hay gọi tắt là nửa nhóm_C0.
Đònh lý 1.2.2:
Cho T(t) là nửa nhóm_C0 , khi đó tồn tại một hằng số   0 và M  1
sao cho:

T (t )  M .e t với 0 ≤ t < .

(1.10)

Chứng minh:
Trước tiên ta thấy rằng có một số   0 sao cho T (t ) là bò chặn trong
0  t   . Nếu điều này sai thì có dãy {tn} thỏa tn  0, lim tn  0 và T (tn )  n .
n

Áp dụng đònh lý bò chặn đều ta thấy tồn tại x  X sao cho T (tn ) x là không bò
chặn, mâu thuẫn với (1.9),vậy T (t )  M với 0  t   .
Ta có T (0)  1, M  1. Cho    1 log M  0 . Cho t  0 ta có
t  n   , với 0     . Áp dụng tính chất nửa nhóm ta có
T (t )  T ( )T ( )  M
n

n 1

t


 M .M  M .e t





11

Hệ quả 1.2.3:
Nếu T(t) là một nửa nhóm_C0 thì với mọi x  X, t  T (t ) x là một hàm
liên tục từ



0

(đường thẳng thực không âm) vào X.

Chứng minh:
Cho t, h  0. ta có
T (t  h) x  T (t ) x  T (t ) T (h) x  x  Me t T (h) x  x

Và cho t  h  0
T (t  h) x  T (t ) x  T (t  h) x  T (h) x  Me t x  T (h) x

Vậy hàm t  T (t ) x liên tục.

Đònh lý 1.2.4:
Cho T(t) là một nửa nhóm_C0 và cho A là toán tử sinh của nó. Ta có:
1 t h
a) Với x  X, lim  T ( s ) x ds  T (t ) x
h 0 h
t

(1.11)

t

b) Cho x  X, ta có  T ( s ) x ds  D( A)
0

t

và A   T ( s ) xds   T (t ) x  x
0



c) Cho x  D( A),

(1.12)

T (t ) x  D( A)

và

d
T (t ) x  AT (t ) x  T (t ) Ax
dt

(1.13)

d) Cho x  D( A) ,
t

t

s

s

T (t ) x  T ( s ) x   T (r ) Ax dr   AT (r ) x dr

(1.14)

12

Chứng minh:
a) Phần này được suy ra trực tiếp từ tính liên tục của t  T (t ) x .
b) Cho x  X, và h > 0. Ta có
T ( h)  I t
1t
0 T ( s) x ds  h 0 (T (s  h) x  T (s) x)ds
h
1 t h
1h
  T ( s ) x ds   T ( s ) x ds
h t
h0

và khi h  0 vế phải sẽ tiến đến T (t ) x  x .
Ta có điều phải chứng minh.
c) Cho x  D(A), và h > 0, ta có:
T ( h)  I
 T ( h)  I 
T (t ) x  T (t ) 
 x  T (t ) Ax khi h  0
h
h



(1.15)

Vì vậy, T(t)x  D(A) và AT(t)x = T(t)Ax. (2.7) cũng suy ra rằng

d
T (t ) x  AT (t ) x  T (t ) Ax
dt

Nghóa là, đạo hàm bên phải của T(t)x là T(t)Ax. Chứng minh (1.13)
chúng ta phải thấy rằng cho t > 0, đạo hàm bên trái của T(t)x tồn tại và bằng
T(t)Ax.
 T (t ) x  T (t  h) x

lim 
 T (t ) Ax 
h 0
h


 T ( h) x  x

 Ax   lim(T (t  h) Ax  T (t ) Ax) .
= lim T (t  h) 
h 0
h

 h 0


13

Và cả hai giới hạn bên phải đều bằng không. Giới hạn thứ nhất bằng
không là do x  D(A) và T (t  h) bò chặn trên 0 ≤ h ≤ t, giới hạn thứ hai là
bởi tính liên tục mạnh của T(t). Kết thúc chứng minh c).

d) Chứng minh phần này ta lấy tích phân từ s đến t cho 2 vế của (1.13).




Hệ quả 1.2.5:
Nếu A là toán tử sinh của một nửa nhóm_C0 T(t) thì D(A), tập xác đònh
của A, trù mật trong X và A là một toán tử tuyến tính đóng.
Chứng minh:
Với mọi x  X, tập xt 

1t
T ( s ) xds .
t 0

Do b) của đònh lý 1.2.4 nên xt  D(A) với t > 0 và do a) của đònh lý 1.2.4 nên
xt  x khi t  0 . Vì vậy D( A)  X .

Tính chất tuyến tính của A thì rõ ràng, do đó ta chỉ cần chứng minh thêm A là
ánh xạ đóng.
Cho xn  D(A), xn  x và Axn  y khi n  
Từ d) của đònh lý 1.2.4 ta có:
t

T (t ) xn  xn   T ( s ) Axn ds

(1.16)

0

Hàm dưới dấu tích phân ở vế phải của (1.16) hội tụ đến T(s)y đều trên một

khoảng bò chặn, do vậy khi cho n   trong (1.16) ta có
t

T (t ) x  x   T ( s ) y ds
0

(1.17)


14

Chia (1.17) cho t > 0 và cho t  0 , ta có x  D(A) và Ax = y ( do a) của đònh
lý 1.2.4 ).

Đònh lý 1.2.6:
Cho T(t) và S(t) là nửa nhóm_C0 của các toán tử tuyến tính bò chặn với
2 toán tử sinh tương ứng là A và B. Nếu A = B thì T(t) = S(t) với mọi t  0.
Chứng minh:
Cho x  D(A) = D(B) . Từ c) của đònh lý 1.2.4 ta thấy rằng hàm
s  T (t  s ) S ( s ) x khả vi và ta có
d
T (t  s ) S ( s ) x   AT (t  s ) S ( s ) x  T (t  s ) BS ( s ) x
ds
 T (t  s ) AS ( s ) x  T (t  s ) BS ( s ) x  0

Vì vậy hàm s  T (t  s ) S ( s ) x là hàm hằng và trong trường hợp đặc biệt giá
trò của nó ở s = 0 và s = t là giống nhau, tức là T(t)x = S(t)x với mọi x  X.
Điều này đúng cho mọi x  D(A) . Do hệ quả 1.2.5, D(A) trù mật trong X và
T(t), S(t) bò chặn nên T(t)x = S(t)x với mọi x  X.

1.3 ĐỊNH LÝ HILLE – YOSIDA
Cho T(t) là một nửa nhóm_C0. Từ đònh lý 1.2.2 ta có hằng số   0 và M
 1 sao cho T (t )  M .e t với 0 ≤ t < . Nếu   0 thì T(t) được gọi là bò chặn
đều và nếu thêm M = 1 thì nó được gọi là nửa nhóm_C0 rút gọn.
Nếu A là một toán tử tuyến tính ( không nhất thiết bò chặn) trong X, tập
giải  ( A) của A là tập gồm các số phức  sao cho  I  A có ánh xạ ngược,


15

tức là ( I  A) 1 là một toán tử tuyến tính bò chặn trong X. Họ
R( , A)  ( I  A) 1 ,    ( A) được gọi là giải thức của A.

Đònh lý 1.3.1: (Hille – Yosida)
Một toán tử tuyến tính (có thể không bò chặn) A là toán tử sinh của một
nửa nhóm_C0 rút gọn T(t), t  0 nếu và chỉ nếu
(i)

A là đóng và D( A)  X .

(ii)

Tập giải  ( A) của A là tập chứa
R ( , A) 



và cho   0

1


(1.18)

Đònh lý 1.3.2:
Cho T(t) là một nửa nhóm liên tục mạnh xác đònh trên X và A là toán tử
sinh tương ứng thỏa 2 điều kiện của đònh lý 1.3.1. Khi đó ta có kết quả sau:
lim  R ( , A) x  x, x  X

 

Chứng minh:
Đầu tiên giả sử rằng x  D( A) thì:

 R ( , A) x  x  AR( , A) x = R ( , A) Ax 

1
Ax  0 khi    .


Nhưng D(A) thì trù mật trong X và  R ( , A)  1 . Vì vậy  R ( , A) x  x khi

   với mọi x  X .

1.4 NỬA NHÓM CỦA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN
CAUCHY


16

Chúng ta xem xét một số phương trình vi phân và các quan hệ của nó
với nửa nhóm của các toán tử tuyến tính .
Cho X là không gian Banach và cho A là một toán tử tuyến tính từ
D(A)  X vào X. Cho x  X, Bài toán Cauchy của A với giá trò đầu x là
 du (t )
 Au (t ), t  0

 dt
u (0)  x

(1.19)

Nghiệm của bài toán là một hàm u(t) có giá trò trong X sao cho u(t) liên
tục với mọi t  0, khả vi liên tục và u(t)  D(A) với mọi t > 0 và thỏa (1.19).
Rõ ràng là nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t) thì bài toán
Cauchy theo A có nghiệm u(t) = T(t)x với mọi x thuộc D(A). Thật vậy theo
đònh lý 1.2.4 thì

d
T (t ) x  AT (t ) x  T (t ) Ax và T(0)x = x.
dt

Bây giờ ta xem xét tiếp bài toán giá trò đầu không thuần nhất
 du (t )
 Au (t )  f (t ), t  0

 dt
u (0)  x

(1.20)

Với f : [0, T [  X , và A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t) sao cho
phương trình thuần nhất tương ứng ( tức là phương trình với f  0 ) có nghiệm
duy nhất với mọi giá trò đầu x D(A).
Đònh nghóa 1.4.2:


17

Một hàm u : [0, T [  X là nghiệm mạnh của (1.20) trên [0,T [ nếu u là
liên tục trên [0,T [, khả vi liên tục trên ]0,T [, u(t) D(A) với 0 < t < T và
(1.20) được thỏa trên [0,T [ .
Cho T(t) là nửa nhóm_C0 được sinh bởi A và cho u là một nghiệm của
(1.20). khi đó hàm có giá trò trong X, g(s) = T( t – s )u(s) là khả vi với 0 < s <
t và
dg
  AT (t  s )u ( s )  T (t  s )u '( s )
ds
  AT (t  s )u ( s )  T (t  s ) Au ( s )  T (t  s ) f ( s )
 T (t  s ) f ( s )

(1.21)

Nếu f  L1 (0, T : X ) thì T (t  s ) f ( s ) là khả tích và lấy tích phân của (1.21) từ
0 đến t ta có
t

T (t  s )u ( s ) t0   T (t  s ) f ( s )ds
0

t

u ( s )  T (t ) x   T (t  s ) f ( s )ds
0

t

u (t )  T (t ) x   T (t  s ) f ( s )ds

(1.22)

0

Từ đònh nghóa trên ta thấy nếu f  L1 (0, T : X ) thì với mọi x  X, bài
toán giá trò đầu (1.20) có nhiều nhất một nghiệm. Nếu nó có một nghiệm thì
nghiệm này được cho bởi (1.22).
Đònh nghóa 1.4.4:
Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t). Cho x  X và
f  L1 (0, T : X ) . Hàm u C ([0,T ]: X ) được cho bởi


18

t

u (t )  T (t ) x   T (t  s ) f ( s )ds

0t T ,

0

là một nghiệm yếu (mild solution) của bài toán giá trò đầu (1.20) trên [0,T ]
(Tham khảo [11]).
Đònh lý 1.4.5:
Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t). Cho f  L1 (0, T : X ) liên
tục trên [0,T] và cho
t

v(t )   T (t  s ) f ( s )ds

0t T

0

Bài toán (1.20) có nghiệm mạnh u trên [0,T [ với mọi x  D(A) nếu một
trong hai điều kiện sau đây được thỏa:
(i)

v(t) là khả vi liên tục trên ]0,T [.

(ii)

v(t)  D(A) với 0 < t < T và Av(t) là liên tục trên ]0,T [
Nếu (1.20) có nghiệm u trên [0,T [ với một x  D(A) nào đó thì v(t) sẽ

thỏa cả 2 điều kiện (i), (ii)
Hệ quả 1.4.6:
Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t). Nếu f(s) là khả vi liên tục
trên [0,T] thì Bài toán (1.20) có nghiệm mạnh u trên [0,T[ với mọi x  D(A).

1.5 HỌ TIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH
Đònh nghóa:


19

Cho X là không gian Banach. Ta ký hiệu L(X) là không gian Banach của các
toán tử tuyến tính xác đònh trên X. ta cũng ký hiệu . là chuẩn của vectơ
trong X hoặc của toán tử trong L(X)
Họ U:={U(t,s): t ≥ s ≥ 0} L(X) được gọi là họ tiến hóa trên



của

các toán tử tuyến tính bò chặn trên X nếu và chỉ nếu
(e1) U(t,t) = I và U(t,s)U(s,r) = U(t,r) cho mọi t ≥ s ≥ r ≥ 0
(e2) Hàm (t , s)  U (t , s) x : (t , s) : t  s  X là liên tục với mỗi x  X
Nếu thêm vào điều kiện: Cho M > 0 và  

sao cho

(e3) U (t , s )  Me ( t  s ) cho mọi t ≥ s ≥ 0
thì U là họ tiến hóa bò chặn mũ trên X.
Họ tiến hóa U là ổn đònh mũ nếu (e3) đúng với  < 0 nào đó
Nếu họ tiến hóa U thỏa điều kiện sau
(e4) U(t,s) = U(t-s,0) với mọi t ≥ s ≥ 0
thì họ T = U (t ,0) : t  0  L( X ) là một nửa nhóm liên tục mạnh trên X. trong
trường hợp này (e3) là hiển nhiên đúng.
Họ tiến hoá U là tuần hoàn chu kỳ_q nếu :

(e5) U(t+q,s+q) = U(t,s) với mọi t ≥ s ≥ 0
Cho bài toán non-autonomous
 du (t )
 A(t ) u (t ), t  0

 dt
 u (0)  x,
x X

Với A(t) là toán tử tuyến tính ( có thể không bò chặn )

(1.21)


20

Nghiệm yếu của (1.21) dẫn đến một họ tiến hóa trên



U = U (t , s ) : t  s  0  L( X )
Lưu ý : Nếu bài toán Cauchy (1.21) là tuần hoàn chu kỳ 1 tức là :
A(t  1)  A(t ),

t  0

thì họ tiến hóa U tương ứng là tuần hoàn chu kỳ 1.


21

CHƯƠNG 2: MỘT ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỌ
TIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH
2.1 GIỚI THIỆU
Chúng ta xem xét một nghiệm yếu vf(.,0) của một bài toán Cauchy không
thuần nhất đặt tốt trên không gian Banach phức X
 dv(t )
 A(t )v(t )  f (t )

,
 dt

v(0)  0

trong đó A(t) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 có giá trò là các toán tử. Chúng ta
chứng minh rằng nếu vf(.,0) thuộc APo(



,X) với mọi f thuộc APo(



,X) thì

với mọi x  X , nghiệm của bài toán Cauchy đặt tốt
 dv(t )
 A(t )v(t )

 dt


v(0)  x

là ổn đònh mũ đều.
Để thuận tiện cho việc trình bày ta đònh nghóa một số ký hiệu sau:
* Ký hiệu X là không gian Banach phức, L(X) là đại số Banach các toán
tử tuyến tính, bò chặn trên X. Chuẩn của vectơ trong X và chuẩn của toán tử
trong L(X) được ký hiệu là . .
* Ký hiệu là tập

hoặc

, BUC( , X) là không gian Banach của các

hàm bò chặn và liên tục đều từ vào X.


22

* Ký hiệu AP( ,X) là không gian Banach tất cả các hàm tuần hoàn hầu
hết từ vào X. AP( ,X) là không gian con đóng nhỏ nhất của BUC ( ,X) gồm
các hàm có dạng:

t  f  , x (t ) : eit x : J  X ,   , x  X .
* Ký hiệu A0 (  + , X ) là tập các hàm f từ  + vào X có tính chất sau:
 f (t )  0, t  [0, t f ]
Tồn tại t f ≥ 0 và F f  AP(  + ,X) sao cho 
 f (t )  Ff (t ), t  t f

AP0 (  + , X ) là không gian con đóng nhỏ nhất của BUC (  + ,X) mà chứa

A0 (  + , X ) .
0
* Ký hiệu P1 ( J , X ) là không gian con của BUC( ,X) gồm các hàm

tuần hoàn chu kỳ 1, liên tục đi từ vào X thoả f(0)=0.
Hàm đa thức lượng giác lấy giá trò trong X được cho bởi
t  p(t) :

n

c e

k  n

k

i k t

x k :   X, ck  ,  k  ,

xk  X

* Ký hiệu TP0 ( + , X ) là tập các hàm f từ  + vào X có tính chất sau:
Tồn tại tf ≥ 0 và một hàm đa thức lượng giác (lấy giá trò trong X) pf(t) sao cho
 f (t )  0, t  [0, t f ]

 f (t )  p f (t ), t  t f
TP0 ( + , X ) là tập con của A0 (  + , X ) và là không gian con đóng trong

BUC(  + ,X) của một phần của TP0 ( + , X ) .

23

Cho T = {T(t):t ≥ 0} L(X) là nửa nhóm liên tục mạnh trên X và
A : D(A)  X  X là toán tử vi cực sinh của T(t). Xét bài toán Cauchy đặt tốt
sau:
 du (t )
 Au (t ), t  0

 dt
 u (0)  x, x  X

(2.1)

Nghiệm yếu của (2.1) được cho bởi u(t) = T(t)x , ( t ≥ 0 ). Hơn nữa với mỗi
hàm khả tích cục bộ Bochner f :  +  X, Nghiệm yếu của bài toán Cauchy
không thuần nhất

 du(t )
 Au(t )  f (t ), t  0

 dt
u (0)  y, y  X

t

được cho bởi u f (t , y )  T (t ) y   T (t   ) f ( ) d  , t  0
0

Trong trường hợp đặc biệt, bài toán Cauchy được cho như sau
 du (t )
 Au (t )  eit x, t  0

 dt

u (0)  0

(Ở đây    , x  X) có nghiệm
t

u f (t , 0)  u  , x (t )   T (t   )ei xd  , t  0
0

Ta biết rằng “ Nửa nhóm liên tục mạnh T={T(t): t≥0}  L(X) thì ổn đònh mũ
 vt
(tức là tồn tại một hằng số N > 0 và v > 0 sao cho T (t )  Ne , t  0 ) nếu


24

p
và chỉ nếu nó bò chặn trên không gian L (   , X ) hoặc C0 (  , X ) bởi tích

chập ” (Tham khảo [9]) .

(2.2)

p
Nói một cách khác, nếu X là không gian L (   , X ) hoặc C0 (  , X ) thì nửa

nhóm liên tục mạnh T là ổn đònh mũ  f  X, nghiệm uf(.,0)  X, ở đây
C0 (  , X ) là không gian gồm các hàm liên tục có giá trò trong X và triệt tiêu ở
p
vô cực và L (   , X ) (1 ≤ p < ) là không gian Lebesque Bochner thông

thường của tất cả các hàm đo được f :  +  X thoả f



p

1
p

: (  f ( s) ds )  
p

0

Khi X là một không gian Hilbert phức thì ta lại có :
Nửa nhóm liên tục mạnh T trên X là ổn đònh mũ 

sup sup u , x (t )  M ( x)  , x  X
R t  0

(2.3)

(Tham khảo [10]) .
Cho một hàm khả tích cục bộ Bochner f:  +  X, Nghiệm yếu của bài toán

Cauchy không thuần nhất sắp đúng :

 dv (t )
 A(t )v(t )  f (t ) , t  0,

 dt

v (0)  x
t

được cho bởi v f (t , x ) : U (t , 0) x   U (t , ) f ( )d , t  0 .
0

Chúng ta cũng xem xét họ tiến hóa trên đường thẳng . Ta cũng sử dụng ký
hiệu tương tự như trong trường hợp họ tiến hóa trên  + , trừ biến s, t có thể
mang giá trò bất kỳ trong  . (2.2) có thể được mở rộng cho họ tiến hóa trong