NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI ARCHIMEDE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN TRÍ THÀNH

NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG
THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI
ARCHIMEDE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN TRÍ THÀNH

NHÓM GIÁ TRỊ VÀ
TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA
CHUẨN PHI ARCHIMEDE
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 604605

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong luận văn này, tôi xin gửi đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người thầy đã tận
tình hướng dẫn và hết lòng giúp đở tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn, lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc nhất.
Tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi
Xuân Hải, TS Trần Huyên, PGS.TS Lê Hoàn Hóa, cố PGS.TS Đậu Thế Cấp, quý thầy đã trực tiếp
giảng dạy, trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi vô cùng cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý Thầy Cô khoa Toán-Tin, quý Thầy Cô Phòng Sau
đại học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được
học tập và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, giúp đở
và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.

Bình Dương, tháng 9 năm 2011

Nguyễn Trí Thành


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................................. 1
0T

T
0

MỤC LỤC ....................................................................................................................................... 2

0T

T
0

MỘT SỐ KÍ KIỆU ........................................................................................................................... 4
0T

0T

LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................................................. 5
0T

T
0

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN ............................................................................................... 7
0T

0T

1.1. Khái niệm cơ bản :................................................................................................................. 7
0T

0T

1.1.1. Định nghĩa. ..................................................................................................................... 7
0T

0T

1.1.2 Chú ý. .............................................................................................................................. 7
0T

T
0

1.1.3. Định nghĩa. ..................................................................................................................... 8
0T

0T

1.1.4. Định lý. ........................................................................................................................... 8
0T

0T

1.1.5. Định nghĩa chuẩn phi Archimede . ................................................................................ 10
0T

T
0

1.1.6. Ví dụ về chuẩn phi Archimede. ..................................................................................... 10
0T

T
0

1.1.8. Định lý. ......................................................................................................................... 12

0T

0T

1.1.9 Hệ quả. .......................................................................................................................... 13
0T

0T

1.1.10. Mệnh đề : .................................................................................................................... 13
0T

0T

1.2. Xây dựng trường số p_adic .................................................................................................. 14
0T

0T

1.2.1. Định nghĩa. ................................................................................................................... 14
0T

0T

1.2.2.Mệnh đề ......................................................................................................................... 14
0T

0T

1.2.3. Mệnh đề. ....................................................................................................................... 14

0T

0T

1.2.4.Định lý Oxtropxky. ....................................................................................................... 14
0T

0T

1.2.5. Xây dựng trường số p_adic ¤ p . .................................................................................... 15
0T

0T

T
0

T
0

¤

1.2.6.Định nghĩa đồng dư trong
0T

....................................................................................... 16

p

0T

1.3. Khai triển p _adic của x trong ¤ p . ...................................................................................... 16
0T

0T

0T

0T

1.3.1.Bổ đề. ............................................................................................................................ 16
0T

T
0

1.3.2. Bổ đề. ........................................................................................................................... 16
0T

0T

1.3.4. Định lý. ......................................................................................................................... 16
0T

0T

1.3.2 Khai triển p_adic của x trong ¤ p ................................................................................... 17
0T

0T

T
0

T
0

CHƯƠNG 2: NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI ARCHIMEDE .. 18
0T

T
0

2.1. Nhóm giá trị của chuẩn phi Archimede. .............................................................................. 18
0T

T
0

2.1.1.Định nghĩa. .................................................................................................................... 18
0T

0T

2.1.2. Ví dụ. ............................................................................................................................ 18
0T

T
0

2.1.3.Định lý. .......................................................................................................................... 19
0T

0T

2.1.4.Định nghĩa. .................................................................................................................... 19
0T

0T

2.1.5.Định lý. .......................................................................................................................... 19
0T

0T


2.1.6.Hệ quả . ......................................................................................................................... 21
0T

0T

2.1.7.Hệ quả. .......................................................................................................................... 21
0T

0T

2.2. Trường thặng dư của chuẩn phi Archimede. ........................................................................ 21
0T

T

0

2.2.1.Mệnh đề. ........................................................................................................................ 21
0T

0T

2.2.2.Định nghĩa. .................................................................................................................... 22
0T

0T

2.2.3.Ví dụ về trường thặng dư. .............................................................................................. 22
0T

0T

2.2.4.Định lý. .......................................................................................................................... 24
0T

0T

2.2.5. Mệnh đề. ....................................................................................................................... 25
0T

0T

2.2.6. Nhận xét . ..................................................................................................................... 25
0T

0T

2.3. Bao đủ của một trường F .................................................................................................... 25
0T

0T

0T

0T

2.3.1.Định lý . ......................................................................................................................... 25
0T

0T

2.3.2.Định nghĩa. .................................................................................................................... 27
0T

0T

2.3.3.Định lý. .......................................................................................................................... 27
0T

0T

2.3.4.Định lý. .......................................................................................................................... 28
0T

0T

2.4.Bao đóng của một trường. ..................................................................................................... 29
0T

0T

2.4.1.Định nghĩa. .................................................................................................................... 29
0T

0T

2.4.2.Định nghĩa. .................................................................................................................... 29
0T

0T

2.4.3.Định lý. .......................................................................................................................... 29
0T

0T

2.4.4.Hệ quả. .......................................................................................................................... 31
0T

0T

2.5. Sự khai triển thành chuỗi. .................................................................................................... 31
0T

0T

2.5.1.Định nghĩa. .................................................................................................................... 31
0T

0T

2.5.2.Định nghĩa. .................................................................................................................... 31
0T

0T

2.5.3.Định lý. .......................................................................................................................... 31
0T

0T

2.5.4.Hệ quả. .......................................................................................................................... 33
0T

0T

2.5.5.Định lý. .......................................................................................................................... 33
0T

0T

2.5.6.Hệ quả. .......................................................................................................................... 34
0T

0T

2.6. Xây dựng một trường với chuẩn phi Archimede với nhóm giá trị và trường thặng dư cho
trước. .......................................................................................................................................... 35
0T

T
0

2.6.1. Định lý. ......................................................................................................................... 35
0T

0T

2.6.2.Định nghĩa. .................................................................................................................... 38
0T

0T

2.6.5. Bổ đề 3. ........................................................................................................................ 39
0T

0T

KẾT LUẬN .................................................................................................................................... 47
0T

T
0

Tài liệu tham khảo. ......................................................................................................................... 48

0T

0T


MỘT SỐ KÍ KIỆU

¢P

: Tập các số nguyên p-adic.

¢ *P

: Tập các phần tử khả nghịch trong ¢ P

¤P

: Trường số p-adic.

£P

: Trường số phức p-adic.

g

: Chuẩn thông thường.

gP

: Chuẩn p_adic.

g

: Chuẩn trên bao đủ, bao đóng.

ord Pa

: Số mũ của p trong sự phân tích a thành thừa số nguyên tố.

Ba (r )

: Hình cầu mở tâm a bán kính r trong ¤ P .

Ba (r )

: Hình cầu đóng tâm a bán kính r trong ¤ P .

Sa (r )

: Mặt cầu tâm a bán kính r trong ¤ P .

F*

: Nhóm giá trị của trường F.

FP

: Trường thặng dư của trường F.

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích P_adic là chuyên ngành mới của Toán học đang phát triển và có nhiều ứng dụng, đặc
biệt trong Lý thuyết số hiện đại. Vào những năm 40 của thế kỉ 20, giải tích P-adic phát triển mạnh
mẽ thành một chuyên ngành độc lập nhờ vào việc phát hiện những mối liên hệ sâu sắc của giải tích
P_adic với những vấn đề lớn của số học và hình học đại số.
Một chuẩn g: F → ¡ được gọi là chuẩn phi Archimede trên trường F nếu thỏa mãn điều kiện
mạnh hơn (iii) là (iii’) : x + y ≤ max { x , y } .
Một trường với chuẩn phi Archimede có nhiều tính chất lạ, đặc biệt mà chuẩn Archimede bình
thường không có. Ví dụ như nhóm giá trị và đặc biệt là trường thặng dư của trường với chuẩn phi
Archimede là những khái niệm chỉ có trong trường với chuẩn phi Archimede .
Chính vì vậy mà chúng tôi chọn đề tài “ Nhóm giá trị và trường thặng dư của chuẩn phi
Archimede ” để có thể tìm hiểu, khám phá và nghiên cứu thêm những tính chất thú vị của nó.
Luận văn sẽ làm sáng tỏ hơn các nhóm giá trị và trường thặng dư của trường với chuẩn phi
Archimede. Cụ thể nghiên cứu mối liên hệ giữa nhóm giá trị và trường thặng dư của 1 trường với
chuẩn phi Archimede với bao đủ và bao đóng đại số của nó. Thấy rõ ứng dụng nhóm giá trị trường
thặng dư trong việc nghiên cứu các trường với chuẩn phi Archimede, đặc biệt là khai triển thành
chuỗi và khảo sát sự tồn tại trường với chuẩn phi Archimede với trường thặng dư và nhóm giá trị
cho trước.
Cấu trúc của luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1: Kiến thức cơ bản
Chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p_adic chẳng hạn như
chuẩn trên một trường, các tính chất chung, đặc biệt là khái niệm chuẩn phi Archimede, xây dựng
trường p-adic,khai triển p-adic của phần tử trong ¤ P và một số tính chất cần thiết cho chương sau.
Chương 2: Nhóm giá trị và trường thặng dư của chuẩn phi Archimede.
Trong chương này chúng tôi sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa trường thặng dư và nhóm giá trị của
một trường với chuẩn phi Archimede với bao đủ và bao đóng của nó. Ứng dụng các trường định
chuẩn để khai triển thành chuỗi. Đặc biệt xây dựng một trường với chuẩn phi Archimede với nhóm
giá trị và trường thặng dư cho trước.

Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng do khả năng còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi những
thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được sự thông cảm và những góp ý chân tình của quý thầy giáo,
cô giáo cùng tất cả các bạn.

Bình Dương, tháng 9 năm 2011.

Nguyễn Trí Thành


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p_adic chẳng hạn
như chuẩn trên một trường, các tính chất chung, đặc biệt là khái niệm chuẩn phi Archimede, xây
dựng trường p-adic,khai triển p-adic của phần tử trong ¤

P

và một số tính chất cần thiết cho chương

sau. Đa số chứng minh trong chương này đều được bỏ qua và người đọc có thể dễ dàng tìm thấy
chúng qua các tài liệu tham khảo.

1.1. Khái niệm cơ bản :
1.1.1. Định nghĩa.
Cho F là một trường. Ánh xạ g: F → ¡ được gọi là một chuẩn trên F nếu thỏa các điều kiện
sau:
i) x ≥ 0, ∀x ∈ F. x = 0 ⇔ x = 0
ii) xy=

x y , ∀x , y ∈ F

iii) x + y ≤ x + y , ∀x , y ∈ F

Ví dụ 1) F = ¡ ∨ F = ¤ , giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên F
2) F = £ , môđun của một số phức là chuẩn trên F
3) F là một trường. Xét ánh xạ:

g: F → ¡
1, x ≠ 0
xa x =
 0, x = 0

Dễ thấy g là một chuẩn trên F, gọi là chuẩn tầm thường.

1.1.2 Chú ý.
Cho g là một chuẩn trên trường F. Ta định nghĩa hàm
như sau:

d :F×F →¡

d ( x, y) = x − y ,∀x, y ∈ F .

Do g là một chuẩn trên F nên ta dễ dàng kiểm tra được d là một mêtríc trên F và do đó (F,
d) là một không gian mêtríc.


1.1.3. Định nghĩa.
Cho g1 , g2 là hai chuẩn trên trường F. Ta nói rằng hai chuẩn này tương đương nếu {xn} là
dãy Cauchy theo chuẩn g1 khi và chỉ khi {xn} là dãy Cauchy theo chuẩn g2
m,n→+∞ → 0 . Hay với

Chú ý rằng {xn} là dãy Cauchy theo chuẩn g , nghĩa là: xm − xn 

∀ε > 0, ∃no ∈ ¥ : ∀n, m > no , xm − xn < ε

1.1.4. Định lý.
(Các điều kiện để chuẩn tương đương)
Cho F là một trường; g1 , g2 là hai chuẩn trên trường F. Các điều sau là tương đương:
1) ∀x ∈ F , x 1 < 1 khi và chi khi x 2 < 1
2) ∀x ∈ F , x 1 ≤ 1 khi và chi khi x 2 ≤ 1
c

3) ∃c > 0, c ∈ ¡ : ∀x ∈ F , x 2 =x 1

4) Các tôpô sinh bời g1 và g2 là trùng nhau.
5) g1 tương đương với g2 ( g1 : g2 ).

Chứng minh.
1 ⇒ 2)∀x ∈ F , x 1 ≤ 1 , ta sẽ chứng minh x ≤ 1 . Thật vậy, giả sử ngược lại x 2 > 1 , khi đó
2

1
=
x2

1
1
< 1 theo (1) ta có
< 1 suy ra x 1 > 1 (mâu thuẩn với giả thiết ) nên x ≤ 1 . Lập luận
2
x2

x1

tương tự ta cũng có x 1 ≤ 1 nếu x ≤ 1
2

Vậy x 1 ≤ 1 khi và chỉ khi x 2 ≤ 1
2 ⇒ 1)∀x ∈ F , x 1 < 1 , ta sẽ chứng minh x 2 < 1. Giả sử ngược lại x 2 ≥ 1 ,vì

1
1
ta có x 2 ≤ 1 suy ra x 2 = 1 . Khi đó = = 1
x2 x
2
nên theo (2) ta có

1
≤ 1 hay x 1 ≥ 1 (mâu thuẩn giả thiết) do đó x 2 < 1
x1

x 1 < 1 nên theo (2)


Tương tự ta cũng có nếu x 2 < 1 thì x 1 < 1
Vậy x 1 < 1 khi và chỉ khi x 2 < 1
1 ⇒ 3) Ta xét hai trường hợp

Trường hợp nếu có một trong hai chuẩn là tầm thường ta sẽ chứng minh chuẩn còn lại cũng
tầm thường. Giả sử g1 là tầm thường. Khi đó với ∀x ∈ F*, x 1 =1 . Giả sử x 2 ≠ 1 , thế thì x 2 > 1
hoặc x 2 < 1
Nếu x 2 < 1 thì theo (1) ta có x 1 < 1

(mâu thuẩn giả thiết)

1
1
1
Ngược lại nếu x 2 > 1 thì =
< 1 do đó x 1 > 1 (mâu thuẩn)
< 1 , suy ra
x2 x
x
1
2
nên x 2 = 1 , tức là g1 = g2 . Hay c = 1.
Trường hợp nếu cả hai chuẩn đều không tầm thường.
Khi đó, ∃x0 ∈ F : x0 1 > 1 suy ra

1
1
< 1 nên
< 1 do đó x 2 > 1
x1
x2

α
Đặt a= x0 1 , b= x0 2 , a > 0, b > 0 . Với mọi x ∈ F* , giả sử =
x 1 a=
(α loga x ) . Ta sẽ chứng minh
m

m
sử r =
=
,(m, n) 1 . Khi đó x0 1n > x 1 suy ra
x 2 = b . Thật vậy, ∀r > α (r ∈¤ ) ta có a > a . Giả
n
r

α

m

n

x0 1 > x 1 nên

α

m

r
xn
xn
r
n
theo
(1)
ta
có
<

1
< 1 do đó x n < x0m hay x 2 < x=
x=
02
02 b .
m
m
2
2
x0 1
x0 2

r

α

Chọn dãy {rn} ⊂ ¤ ,rn > α : rn → α suy ra x0 2n > x 2 ⇒ x0 2 ≥ x 2 ⇔ x 2 ≤ bα
Tương tự ta chứng minh được x 2 ≥ bα . Vậy x 2 = bα
α

Khi đó, ∀x ∈ F*, x 2= bα=  aloga b  =




(a )
α

loga b
c

= x 1 , c= loga b > 0 .

m,n→+∞ → 0 suy ra
3 ⇒ 5) Giả sử {xn} là dãy Cauchy theo chuẩn g1 . Khi đó xm − xn 1 
c
m,n→+∞ → 0
xm − xn 1 

m,n→+∞ → 0 hay {x } là dãy Cauchy theo chuẩn g .
nên xm − xn 2 
n
2


5 ⇒ 1) ∀x ∈ F*, x 1 < 1 suy ra x n → 0 nên {x n} là dãy Cauchy theo chuẩn g1 suy ra {x n} là
1

dãy Cauchy theo chuẩn g2 nên x n+1 − x n → 0 suy ra x n x − 1 2 → 0 , mà x 1 < 1 suy ra x ≠ 1 do đó
2

2

x − 1 2 ≠ 0 hay x n → 0
2

Ta có x n < 1 (vôùi n ñuû lôùn) suy ra x 2 < 1 . Tương tự ta cũng có x 2 < 1 ⇒ x 1 < 1
2

Vậy x 1 < 1 khi và chỉ khi x 2 < 1

c

{x ∈ F : x − a 2 < r} =
{x ∈ F : x − a 1 < r}
3 ⇒ 4) Ta có B2 (a,r ) =
={x ∈ F :

1
1
c
x − a 1 < r } =B1(a,r c )

Khi đó, ∀A ∈τ1,∀a ∈ A, ∃r > 0 : B1(a,r ) ⊂ A ⇔ ∃c > 0 : B2 (a,r c ) ⊂ A ⇔ a ∈τ 2
Vậy τ 1 = τ 2
4 ⇒ 1) Giả sử x ∈ F , x 1 < 1 . Thế thì x n → 0 suy ra x n → 0 theo τ1 ,
1

n

mà τ 1 = τ 2 nên x → 0 theo τ 2 . Khi đó, x n → 0 nên x 2 < 1
2

Tương tự, nếu x 2 < 1 thì x 1 < 1

•

1.1.5. Định nghĩa chuẩn phi Archimede .
Cho g là một chuẩn trên trường F. Chuẩn g được gọi là chuẩn phi Archimede trên F nếu
nó thỏa thêm điều kiện:
(iii′) x + y ≤ max{ x , y },∀x, y ∈ F

Chuẩn thỏa (iii) nhưng không thỏa (iii’) được gọi là chuẩn Archimede.
1.1.6. Ví dụ về chuẩn phi Archimede.
Ví dụ 1: Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimede.
Ví dụ 2: Nếu K là trường hữu hạn thì mọi chuẩn trên K đều tầm thường, vì vậy nó là chuẩn
phi Archimede.

1.1.7.Mệnh đề.


Cho F là một trường với chuẩn phi Archimede g .
i. ∀x, y ∈ F , x ≠ y thì x + y =
max{ x , y } . Nghĩa là, mọi tam giác đều cân trong
không gian mêtric sinh bởi chuẩn g .
ii. Các tập
Ba (r ) = {x ∈ F : x − a < r}
Ba (r ) = {x ∈ F : x − a ≤ r}
Sa (r ) = {x ∈ F : x − a = r}

là các tập vừa đóng vừa mở.
iii. Mọi điểm thuộc hình cầu đều là tâm của nó. Nghĩa là, ∀b ∈ Ba (r ) ⇒ Ba (r ) =Bb (r )

0
iv. Dãy {xn } ⊂ F là dãy Cauchy ⇔ lim xn +1 − xn =
n →∞

v. Nếu {xn } là dãy Cauchy. Khi đó,
+) nếu xn → 0 thì xn → 0
+) nếu xn → 0 thì {xn } là dãy dừng.Nghĩa là, ∃N : ∀n ≥ N , x=
xn +=

xn +=
L
n
1
2

Chứng minh.
i) Không mất tính tổng quát, giả sử x > y . Khi đó,
x + y ≤ max{ x , y } = x ⇔ x + y ≤ x (1)

Maët khaùc, x = x + y − x ≤ max{ x + y , x } mà x > y nên max{ x + y , x } =
x+y
Do đó x ≤ x + y (2). Từ (1) và (2) suy ra x + y = x = max{ x , y }
ii) Rõ ràng Ba (r ) là tập mở. Ta chỉ còn phải chứng minh Ba (r ) là tập đóng,
tức ∀x ∉ Ba (r ) , ta chứng minh ∃ε > 0, Ba (r ) ∩ Bx (ε ) =∅ .

r
r
Thật vậy, chọn ε = , giả sử ∃y ∈ Ba (r ) ∩ Bx ( ) ta suy ra
2
2

y−x <

r
và y − a < r
2

Khi đó, x − a = x − y + y − a ≤ max{ x − y , y − a } < r ⇔ x − a < r suy ra x ∈ Ba (r ) (mâu thuẩn) nên
Ba (r ) ∩ Bx (ε ) =

∅ . Vậy Ba (r ) là tập đóng.


iii) ∀b ∈ Ba (r ) ta chứng minh Ba (r ) = Bb (r ) . Thật vậy,
∀x ∈ Ba (r ) ⇔ x − a < r ⇔ x − b + b − a < r

nên

max { x − b , b − a } < r mà

b−a < r

do

đó

x − b < r khi và chỉ khi x ∈ Bb (r ) . Vậy Ba (r ) = Bb (r )

iv) Giả sử {xn } là dãy Cauchy. Khi đó, ∀ε > 0, ∃N : ∀n > N , xn +1 − xn < ε

suy ra

lim xn +1 − xn =
0.
n →∞

0 thì ∀ε > 0, ∃N : ∀n > N , xn +1 − xn < ε
Ngược lại, nếu lim xn +1 − xn =
n →∞

Với mọi m, n > N , giả sử rằng m > n ta có

xm − xn = xm − xm−1 + xm−1 − xm− 2 + L xn +1 − xn ≤ max{ xm − xm −1 ,L xn +1 − xn } < ε
suy ra

xm − xn < ε . Vậy {xn } là dãy Cauchy.

v) Nếu xn → 0 thì xn − 0 = xn → 0
Nếu xn → 0 thì xn → 0 nên ∃ε > 0 và dãy con {nk } sao cho xn < ε . Mặt khác, {xn } là
k

dãy Cauchy nên ∃N : ∀m, n > N , xn − xm < ε . Ta sẽ chứng minh xm = xm +1 = L , ∀m > N . Thật vậy,
cố định nk > N , ta có xm = xm − xn =
max{ xm − xn , xn }(theoi=
) xn , ∀m > N
+ xn
k

k

k

k

k

Vậy {xn } là dãy dừng.
1.1.8. Định lý.
(Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimede)
Cho F là một trường, g là một chuẩn trên F. Các điều sau là tương đương:

i) g là chuẩn phi Archimede
ii) 2 ≤ 1
iii) n ≤ 1,∀n ∈ N= {n= n.1/ n ∈¥ ,1_ đơn vị của F }
iv) N bị chặn. Nghĩa là, ∃c > 0 : n ≤ c,∀n ∈ N

Chứng minh.
i ⇒ ii) ta có 2 = 1 + 1 ≤ max{1 , 1} = 1 suy ra 2 ≤ 1

•


ii ⇒ iii) Với mọi n ∈ N , giả sử n = a0 + a1 2 + a2 22 + L + as 2s với 0 ≤ ai ≤ 1, 2s ≤ n < 2s+1 . Khi đó,

n = a0 + a1 2 + a2 22 + L + as 2s ≤ a0 + a1 2 + a2 22 + L + as 2s
≤ 1 + 2 + 22 + L + 2s ≤ s + 1 (vì 2 ≤ 1)

*
Với mọi k∈¥ , giả sử nk = b0 + b1 2 + b2 22 + L + bt 2t ,2t ≤ nk < 2s+1 thì nk ≤ t + 1. Ta có n < 2s+1 suy
ra nk < 2(s+1)k mà nk ≥ 2t nên 2t < 2(s+1)k do đó t < (s + 1)k
Khi đó t + 1 ≤ (s + 1)k , mặt khác nk ≤ t +1 nên nk ≤ (s + 1)k suy ra n ≤ k s +1k k
Vậy n ≤1 khi k → ∞
iii ⇒ iv) Hiển nhiên
iv ⇒ i) Với mọi n∈¥ * , ta có
n

n

n

x + y = ( x + y)n = ∑ Cnk x k y n−k ≤ ∑ Cnk x k y n−k

=
k 1=
k 1

n
n
mà N bị chặn nên có c > 0 : Cnk ≤ c , do đó x + y ≤ (n + 1)c ( max{ x , y }) suy ra

x + y ≤ n (n + 1)c ( max{ x , y }) nên x + y ≤ max{ x , y }(n → ∞) .

•

1.1.9 Hệ quả.
Nếu F là trường đặc số p thì mọi chuẩn trên F đều là chuẩn phi Archimede.

Chứng minh
Với mọi m ∈ N , ta có m = pq + r,0 ≤ r ≤ p − 1 suy ra m.1 = pq1 + r.1 = r.1 . Do đó,
=
N {0,1,.. p − 1}

suy ra N bị chặn. Vậy mọi chuẩn trên F đều là chuẩn phi Archimede.
1.1.10. Mệnh đề :


f
¡ [ x] là vành các đa thức của x và ¡ ( x) =
 s =; f , g ∈ ¡ [ x], g ≠ 0  là trường các phân
g



thức của x .


f =0

0
Lấy ρ ∈ R, ρ > 1 , đặt f =  deg f
 ρ

Với =
s

f
∈¡ ( x) , đặt =
s
g

f
=
g

f ≠0

f
,g ≠ 0
g

Khi đó g là chuẩn phi Archimede.

1.2. Xây dựng trường số p_adic
1.2.1. Định nghĩa.
Cho p là một số nguyên tố cố định. Với mỗi x ∈¤ \ {0} , ta luôn có

1
m  m, n ∈ ¢ ,(m, n) =
x = pα . 

n =
=
(m, p) 1,(
n, p) 1

α gọi là p _ số mũ của x, ký hiệu ord p ( x ) = α . Quy ước: ord p (0) = ∞, ∞ ± a = ∞ .
1.2.2.Mệnh đề
Cho ρ là một số thực thỏa 0 < ρ < 1 và p là một số nguyên tố. Ánh xạ

gρ : ¤ → ¡
xa xρ =ρ

ord p ( x )

là một chuẩn phi Archimede trên ¤ với quy ước ρ ∞ = 0
1.2.3. Mệnh đề.
Với mỗi số nguyên tố p, ta có chuẩn
1
xp  
=
 p

ord p ( x )

,∀x ∈¤

Chuẩn gp được gọi là chuẩn p _ adic hay chuẩn p.Chuẩn p là chuẩn phi Archimede.
1.2.4.Định lý Oxtropxky.
Mọi chuẩn không tầm thường trên ¤ đều tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường hoặc

gp (p là một số nguyên tố).


1.2.5. Xây dựng trường số p_adic ¤ p .
Từ định lý Oxtropxky ta thấy mọi chuẩn không tầm thường trên ¤ đều tương đương với giá
trị tuyệt đối thông thường g hoặc là chuẩn phi Archimede gp (p là một số nguyên tố).Mặt khác, ta
biết rằng làm đầy đủ ¤ theo g ta được trường số thực ¡ .
Vậy làm đầy đủ ¤ theo gp ta sẽ được trường mới mà ta gọi là trường các số p-adic ¤ p .Cụ
thể ta xây dựng như sau :

1 ord ( x)
Xét g là chuẩn p _ adic trên
=
, ∀x ∈¤ . Ký hệu S là tập tất cả các dãy
¤; x ( )
p
p

cauchy trong ¤ theo chuẩn g . Trên S xét quan hệ tương đương ~ cho như sau:

0.
∀{xn },{ yn } ⊂ ¤ ,{xn } ~ { yn } ⇔ lim( xn − yn ) =

n →∞

S=
Ký hiệu ¤=
p
~

nhân cho ¤

p

{{x }:{x } Cauchy trong ¤
n

n

theo g} . Ta sẽ trang bị hai phép toán cộng và

để nó trở thành một trường.

Phép cộng: ∀x= {xn }, y= { yn } ∈ ¤ p , x + y= {xn + yn }

x {xn }, =
y { yn }∈ ¤ p , x.=
y {xn . yn }
Phép nhân: ∀=
Với hai phép toán cho như trên ¤

p

là một trường với:

Phần tử không:=
xn 0}
0 {=
Phần tử đơn vị:=
1 {=
xn 1}
Phần tử đối: x = {xn } ⇒ − x = {− xn }
Phần tử nghịch đảo: Với {xn } ≠ 0 suy ra xn :/ 0 nên ∃N > 0 : ∀n > N , xn = a ≠ 0
Khi đó dãy { yn } với
0, n ≤ N

yn = 

−1
 xn , n > N

là một dãy cauchy trong ¤ theo chuẩn g , và dễ thấy {xn }.{ yn } = 1 . Tức phần tử nghịch đảo của
{xn } là phần tử { yn }


Xét θ : ¤ → ¤ p , θ( x)= {xn= x}, ∀x ∈ ¤ , θ là đơn cấu trường. Do đó, ta có thể coi ¤ ⊂ ¤ p .

x {xn }∈¤ p , ta định nghĩa x = lim xn . Định nghĩa này hợp lý. Thật vậy,
Với mỗi=
n →∞

Đầu tiên luôn luôn tồn tại lim xn
n →∞

+ Nếu xn → 0 thì xn → 0 suy ra x = 0
+ Nếu xn →
a
/ 0 thì xn = a ≠ 0, ∀n > N suy ra xn → a ⇒ x =
Tiếp theo

x {=
xn } { yn } thế thì
x không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện. Giả sử=

0 hay
0 . Mặt khác, ta luôn có xn − yn ≥ xn − yn suy ra lim( xn − yn ) =
xn : yn nên lim( xn − yn ) =
n →∞

n →∞

lim xn = lim yn .
n →∞

n →∞

g định nghĩa như trên là một chuẩn trên ¤ p . Hơn nữa, mọi dãy cauchy trong (¤ , g) đều hội tụ

trong (¤ p , g) , tức (¤ p , g) là một mở rộng của (¤ , g) .
1.2.6.Định nghĩa đồng dư trong
Với a, b ∈¤

p

¤

p

•

.

ta định nghĩa a ≡ b(mod p n ) ⇔ a − bMp n ⇔ a − b ≤ p − n

1.3. Khai triển p _adic của x trong ¤ p .
1.3.1.Bổ đề.

x {xn }∈¤ p thì lim xn = x .
Nếu=
x →∞

1.3.2. Bổ đề.
Cho x ∈ ¤ p , x p ≤ 1. Khi đó, ∀n ∈ ¥ , ∃r ∈ ¥ : x − r < p − n (r ∈{0,1,.. p n − 1})
1.3.4. Định lý.
Cho x ∈ ¤ p , x p ≤ 1. Khi đó, x có một đại diện là {an }n= 1,+∞ thỏa hai điều kiện
1) an ∈ ¢ ,0 ≤ an < p n (n =
1, 2,...)
2) an ≡ an +1 (mod p n ), n =
1, 2,...


1.3.2 Khai triển p_adic của x trong ¤ p .
i) Với x ∈ ¤ p , x p ≤ 1, theo định lý 1.3.4, tồn tại dãy cauchy {an } trong ¤ thỏa hai điều

kiện an ∈ ¢ ,0 ≤ an < p n (n =
1, 2,... để x = {an } . Khi đó, với mỗi
1, 2,...) và an ≡ an +1 (mod p n ), n =
n ∈ ¥ ta có các khai triển p – phân

an =b0′ + b1′ p + L bn′−1 p n −1 , bi′ =0, p − 1
an =b0 + b1 p + L bn −1 p n −1 + bn p n , bi =0, p − 1
Mặt khác, an ≡ an +1 (mod p n ) ⇔ an − an +1 Mp n nên suy ra
b0′ + b1′ p + L bn′−1 p n −1 =b0 + b1 p + L bn −1 p n −1
n −1

+∞

do đó an =b0 + b1 p +L bn −1 p n −1 nên
x lim
an lim ∑=
bi p i ∑ bi p i
=
=
n →∞
n →∞
=i 0=i 0
+∞

Tóm lại với mọi x ∈ ¤ p , x ≤ 1, ∃bi ∈{0,1,.., p − 1}: x =∑ bn p n , gọi là khai triển
n =0

p_ adic của x

trong ¢ p .

ii) Với x không thỏa điều kiện x p ≤ 1 thì ta sẽ nhân x với một số p m thích hợp sao cho
+∞

+∞

n =0

i =− m

x ' = x. p m thỏa mãn x ' p ≤ 1 .Khi đó x ' = ∑ bn p n suy ra=
x
Công thức này gọi là khai triển p _ adic của x trong ¤

p

.

i
∑ bi p , bi ∈{0,1,.., p − 1} .


CHƯƠNG 2: NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI
ARCHIMEDE
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày mối liên hệ giữa trường thặng dư và nhóm giá trị
của một trường F với chuẩn phi Archimede g với bao đủ và bao đóng của nó.Ứng dụng các trường
định chuẩn để khai triển thành chuỗi.Đặc biệt xây dựng một trường với chuẩn phi Archimede với
nhóm giá trị và trường thặng dư cho trước.

2.1. Nhóm giá trị của chuẩn phi Archimede.
2.1.1.Định nghĩa.

{ x : x ∈ X } .Nhóm giá trị G của F là nhóm con

X :
Kí hiệu F * :=
{ x ∈ F : x ≠ 0} ; X ⊂ F,=
của nhóm nhân các số thực dương ¡ + .
*
=
G F=

{ x , x ∈ F} .

2.1.2. Ví dụ.

Ví dụ 1. Nhóm giá trị của ¡ : ¡
Nhóm giá trị của £

Ví dụ 2.Nhóm giá trị của ¤
G = ¤ *p =

{x

p

*

=¡

+

: £* =¡

,

+

p

, x ∈ ¤ *p

}

ord px


 1 

=  
, x ≠ 0 =
 p





{p

m

, m ∈¢}=

p

Nhóm xiclic sinh bởi phần tử p.

•

Ví dụ 3.Nhóm giá trị của g trên ¡ ( x) ( Mệnh đề 1.1.10).
G= ¡ * ( x)=

{ s ,s∈¡

*

 f

( x)}= 

 g

=

Nhóm xiclic sinh bởi r .

{ρ

m



; f , g ∈ ¡ [ x], g ≠ 0=
, m∈¢
=
}



{ρ

deg f − deg g

}

ρ
•

F*


2.1.3.Định lý.
Hai chuẩn g1 , g2 trên F tương đương nhau thì các nhóm giá trị G 1 , G 2 đẳng cấu với nhau.
R

R

R

R

Chứng minh.
x 1 , ∀x ∈ K (c > 0)
Từ định lý 1.1.4. chương 1, ta có : g1 : g2 ⇔ x=
2
C

G=
1

{=a

{

}

x 1 , x ∈ F } suy ra G2 = {b = x 2 , x ∈ F } = b = x 1 , x ∈ F = {a C , a ∈ G1}
C

Hai nhóm G 1 , G 2 đẳng cấu với nhau qua phép đẳng cấu.
R

R

R

R

f : G1 → G2

•

a a aC
2.1.4.Định nghĩa.
G là nhóm giá trị của chuẩn phi Archimede trên trường F.
+ Chuẩn trên F là dày đặc nếu 1 là điểm tụ (điểm giới hạn) của G.
+ Ngược lại,chuẩn trên F là rời rạc nếu 1 không là điểm tụ (điểm cô lập) của G.
2.1.5.Định lý.

1.Chuẩn trên F là dày đặc khi và chỉ khi nhóm giá trị G trù mật trong ¡ + . 2.Chuẩn trên F là
rời rạc khi và chỉ khi nhóm giá trị G là nhóm xiclic =
G

ρ ( ρ > 0) .

Chứng minh.
1.
⇐) Nhóm giá trị G trù mật trong ¡

+

thì 1 là điểm tụ của G nên chuẩn trên F là dày đặc.

⇒) Chuẩn trên F là dày đặc, khi đó 1 là điểm tụ.

Ta có : nếu α , β ∈ ¡ ;1 < α < β thì

n

α < n+1 β (1) với n >

α2
.Thật vậy,
β −α

β n = [α + ( β − α )] > nα n −1 ( β − α ) > α n +1 ⇔ n α < n +1 β .
n

Bây giờ, ta chứng minh rằng với mọi khoảng số thực [α , β ) , 1 < α < β đều chứa ít nhất một
phần tử của G.
Do 1 là điểm tụ của G nên với=
ε

k

α ∃x ∈ G :1 < x < k α


( Trong khoảng (1 − ε ,1 + ε ) , nếu ∃y ∈ G mà 0Gọi n là số lớn nhất sao cho 1 < x < n α nghĩa là
Khi đó

n +1

n +1

1
⇒ x > 1 ).
y

α ≤x< nα

α ≤ x < n +1 β suy ra α ≤ x n +1 < β . Như vậy ∃y= x n +1 ∈ G và y ∈ [α , β )

 1 1
Cuối cùng, nếu 0 < α < β < 1 thì ta xét khoảng  , 
β α

Theo chứng minh trên, ∃y ∈ G :

1

β

< y≤

1

α

(

1 1
, > 1)

β α

1
1 1 1
< ≤
∈ G suy ra

β x α
y

.Khi đó x=

hay α ≤ x < β .

2.
=
G
⇐) Nếu



1



ρ

ρ ( ρ > 0) thì ε= min  1 − ρ , 1 −

 ta có khoảng (1 − ε ,1 + ε ) không chứa

điểm khác 1 của G, nên 1 không là điểm tụ của G
Vậy chuẩn là rời rạc.
⇒) Chuẩn trên F là rời rạc,khi đó 1 không là điểm tụ ( điểm cô lập).

Nếu chuẩn là tầm thường thì mệnh đề đúng
Nếu chuẩn là không tầm thường.

Trước hết ta chứng minh rằng :
∀a ∈ G, a > 1 cũng là điểm cô lập của G. Thật vậy, nếu a là điểm tụ thì :

và

x
x
∈ G, ≠ 1
a
a

x  ε
ε
∈ 1 − ,1 +  suy ra 1 là điểm tụ (mâu thuẩn).
a  a
a

Từ kết quả trên ta suy ra [1,a] chỉ có hữu hạn giá trị của G nên tồn tại giá trị nhỏ nhất ρ ∈ G , ρ>1.
Ta chứng minh G= <ρ>. Ta xét 2 trường hợp :
Đầu tiên ta xét trường hợp ∀x ∈ G , x > 1 .
Khi đó 1<ρ≤x suy ra ∃n ∈ ¥ : ρ n ≤ x < ρ n+1 nên 1 ≤
( Nếu

x

ρ

n

x

ρ

n

< ρ do đó

x

ρn

=1

=
x ρ n (n ∈ ¥ )
> 1 mâu thuẩn với giả thiết của ρ nhỏ nhất ) nên

Tiếp theo ta xét trường hợp x ∈ G,0 < x < 1


Khi đó

1
1
> 1 .Áp dụng chứng minh trên ta có = ρ n (n ∈ ¥ ) nên
=
x ρ − n (n ∈ ¥ )
x
x

G
Vậy =

{ρ

m

, m ∈ ¢=
}

ρ .

•

2.1.6.Hệ quả .
Cho g1 : g2 trên F. Khi đó :
•

g1 rời rạc khi và chỉ khi g2 rời rạc.

•

g1 dày đặc khi và chỉ khi g2 dày đặc.

2.1.7.Hệ quả.
Các chuẩn sau đây là rời rạc :
•

Chuẩn là giá trị tuyệt đối thông thường.

•

Các chuẩn trên trường hữu hạn.

•

Chuẩn gp trên ¤ .

•

Chuẩn trên trường ¡ ( x) .

Chuẩn phi Archimede dày đặc sẽ được nói đến trong phần 2.4.

2.2. Trường thặng dư của chuẩn phi Archimede.
2.2.1.Mệnh đề.
Cho g là chuẩn phi Archimede trên trường F. khi đó B0 (1) =∈
{x F : x ≤ 1} là vành con của
trường F và B0 (1) =∈
{x F : x < 1} là idean tối đại của B0 (1) .

Chứng minh .
 x ≤ 1

Đầu tiên ta chứng minh B0 (1) là vành con của trường F . Thật vậy, với ∀x, y ∈ B0 (1) suy ra 

 y ≤ 1

nên x − y ≤ max { x , y } ≤ 1

= x y ≤ 1 ⇒ xy ∈ B 0 (1) .
Hơn nữa xy

Vậy B0 (1) là vành con của trường F.
 x < 1

Tiếp theo ta chứng minh B0 (1) là idean tối đại của B0 (1) . Ta có với ∀x, y ∈ B0 (1) suy ra 

 y < 1

x − y ≤ max { x , y } < 1 do đó x − y ∈ B0 (1) . Vậy B0 (1) là ideal.

nên


Giả sử có ideal I của B0 (1) sao cho B0 (1)  I ⊆ B0 (1)

=
x 1=
, x −1 1 . Ta chứng minh I = B 0 (1) .
Khi đó tồn tại x ∈ I , x ∉ B0 (1) nên
Thật vậy, ∀x ∈ I , x −1 ∈ B 0 (1) suy=
ra 1 ( x −1 ) x ∈ I nên I = B 0 (1)
Do đó B0 (1) là idean tối đại của B0 (1) .
Vậy vành thương k = B0 (1) B (1) là trường
0

•

2.2.2.Định nghĩa.

Trường FP = B0 (1) B (1) là trường thặng dư của trường F.
0
2.2.3.Ví dụ về trường thặng dư.

Ví dụ 1 : Trường thặng dư của ¤ p .
Ta có : B 0 (1) ==
¢ p {x ∈ ¤ p : x ≤ 1}
¢ *p =
{x ∈ ¤ p : x =
1}
B0 (1) ==
M p {x ∈ ¤ p : x < 1}
*
=
M p ¢=
p¢ p .
p \¢ p

Thật vậy, ∀x= pa ∈ p¢ p , x =

pa =

p a ≤ p −1 < 1 ⇒ x ∈ M p ⇒ p¢ p ⊆ M p .

Ngược lại, ∀x ∈ M p giả sử
=
x p m (m ∈¢ ) . Do x < 1 nên m ≤ −1 suy ra x ≤ p −1 .
Mặt khác, x = pc trong đó, c =

x p −1

x
x
. Ta có c =
=
≤
= 1 ⇔ c ≤ 1 ⇔ c ∈¢ p
p
p
p p −1

Từ đó suy ra =
x pc ∈ p¢ p nên M p ⊆ p¢ p .
M p là iđên tối đại của vành ¢ p và trường thặng dư của (¤ p , g) là :

Fp =

¢p

Mp =

¢p

p¢ p .

Hơn nữa trường thặng dư của (¤ p , g) là Fp = ¢ p¢ .
Bây giờ ta sẽ chứng minh

¢p

¢

Fp .Thật vậy,
p¢ p ≅ p¢ =


¢
xét tương ứng f : ¢ p¢ → p p¢ , a + p¢ a a + p¢ p . Khi đó f là đẳng cấu vành.
p

Đầu tiên ta chứng minh f là đơn ánh. Tức là ta phải chứng minh
∀a, b ∈ ¢ , a − b = pc ∈ p¢ (c ∈ ¢ ) ⇔ a − b = pc ∈ p¢ (c ∈ ¢ p ) . Thật vậy, c ∈¢ thì rõ ràng c ∈¢ p .

Ngược lại, nếu c ∈¢ p thì c =

a −b
a −b
suy =
ra c
≤ 1 nên a − b ≤ p −1 do đó
p
p

(a − b)Mp1 nên c ∈¢ . Vậy f là đơn ánh.
Tiếp theo ta chứng minh f là toàn ánh.
∀a + p¢ p ∈
+∞

∑ an p

n −1

n =1

¢p

+∞

+∞

+∞

n
, vì a ∈¢ p nên a= ∑ an p=
p ∑ an p n −1 mặt khác
a0 + p ∑ an p n −1 suy ra a − a0 =
p¢ p
=
n 0=
n 1
n =1

a0 + p¢ p =
f (a0 + p¢ ) ⇔ f (ao + p¢ ) =
∈ ¢ p do đó a − a0 ∈ p¢ p nên a + p¢ p =
a + p¢ p

Vậy f là toàn ánh
Cuối cùng ta chứng minh f là đẳng cấu. Dễ dàng kiểm tra trực tiếp f là đồng cấu vành. Do đó f là
đẳng cấu nên

¢p

¢
Fp
p¢ p ≅ p¢ =

Vậy trường thặng dư của (¤ p , g) là Fp = ¢ p¢ .

•

Ví dụ 2.
Trường thặng dư của ¡ ( x) (mệnh đề 1.1.10)
Ta có :

B0 (1) = {h ∈ ¡ ( x) : h ≤ 1} = {0 hay h =

= {0 hay h =

f
f
∈ ¡ ( x) : ≤ 1}
g
g

f
f
∈ ¡ ( x) : ρ deg f −deg g ≤ 1} = {0 hay h = ∈ ¡ ( x) : deg f − deg g ≤ 0}
g
g

f

==
{0 hay h
∈ ¡ ( x) : deg f ≤ deg g}.
g

B0 (1) = {h ∈ ¡ ( x) : h < 1} = {0 hay h =

f
f
∈ ¡ ( x) : < 1}
g
g

f
f
∈ ¡ ( x) : ρ deg f −deg g < 1} = {0 hay h = ∈ ¡ ( x) : deg f − deg g < 0}
g
g
f
==
∈ ¡ ( x) : deg f < deg g}.
{0 hay h
g
= {0 hay h =