BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
______________

Nguyễn Ngọc Trác

BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN
CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số

: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009


LỜI CẢM ƠN

Xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn, khoa Toán
– Tin học trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí minh, người đã dạy dỗ,
động viên, giúp đỡ tôi học tập trong thời gian học cao học và đã tận tình
hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn
đã dành thời gian quý báu đọc, góp ý và phản biện cho luận văn.
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán – Tin học hai

trường, trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh và trường Đại học Khoa
học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình dạy dỗ và truyền đạt kiến thức
cho tôi.
Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm khoa Toán –
Tin học, Phòng Khoa học Công nghệ và Sau Đại học trường Đại học Sư
phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong thời gian
học tại trường.
Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và Hội đồng Giáo viên
trường CĐSP Kiên Giang đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi
hoàn thành khóa học.
Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn hữu đã động viên,
giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009
Nguyễn Ngọc Trác


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
 I   a, b  , R=  ,   , R    0,   .

 R n - không gian các vectơ cột n chiều x   xi i 1 , với xi  R (i  1,..., n)
n

n

và chuẩn x   xi .
i 1

 R n  n - không gian các ma trận cấp n  n X   xik i ,k 1 , với xik  R
n

n

(i, k  1,..., n) và chuẩn X   xik .
i ,k 1

 R n 
 R n n

 x 
  x

n

i i 1



 R n : xi  0, i  1,..., n .



n

ik i ,k 1



 R n  n : xik  0  i, k  1,..., n  .

 Với x, y  R n và X , Y  R n  n thì
x  y  y  x  R n , X  Y  Y  X  R n n .
 Với x   xi i 1  R n và X   xik i ,k 1  R n  n thì
n

n

x   xi



n
i 1

và X   xik



n
i , k 1

.

 detX - định thức của ma trận X .


X 1 - ma trận nghịch đảo của X .

 r  X  - bán kính phổ của ma trận X .
 E - ma trận đơn vị.

  - ma trận không.
 C  I ,R n  - không gian các hàm vectơ liên tục x : I  R n với chuẩn
x

C





 max x  t  : t  I .


 Với x   xi i 1  C  I ,R n  thì x C  xi



n



n

C i 1

.

 L  I , R n  - không gian các hàm vectơ x : I  R n có các thành phần khả
1




   x  t  dt  .
a

b

tích bậc  với 1     và chuẩn x



L



 Với x   xi i 1  L  I ,R n  thì x L   xi
n



L



n
i 1

.

 L  I ,R n  n  - không gian các hàm ma trận khả tích X : I  R nn .
 Nếu X   xik i ,k 1 : I  R nn thì
n



max  X  t  : t  I   max  xik  t  : t  I 





n
i ,k 1

ess sup  X  t  : t  I   ess sup  xik  t  : t  I 



n
i ,k 1

.

 Nếu Z  C  I ,R n  n  là một hàm ma trận với các cột z1 ,..., zn và
g : C  I ,R n   L  I ,R n  là một toán tử tuyến tính thì ta kí hiệu g  Z  là hàm
ma trận với các cột g  z1  ,..., g  zn  .
 C  0,   , R n  - không gian các hàm vectơ liên tục x :  0,    R n với
chuẩn x

C





 max x  t  : 0  t   .

 C  R n  - không gian các hàm vectơ liên tục   tuần hoàn x : R  R n
với   0 và chuẩn x

C





 max x  t  : 0  t   .



 Nếu x   xi i 1  C  R n  thì x C  xi
n





n

C i 1

.


 L  0,   ,R n  - không gian các hàm vectơ x : R  R n có các thành


phần khả tích trên  0,   với chuẩn x L   x  t  dt .
0

 L  R n  - không gian các hàm vectơ   tuần hoàn x : R  R n có các

thành phần khả tích trên  0,   với chuẩn x



L

  x  t  dt .
0

 L  R n  n  - không gian các hàm ma trận X : I  R nn với các phần tử

thuộc L  R  .
 Nếu Z : R  R n  n là một hàm ma trận liên tục   tuần hoàn với các

cột z1 ,..., zn và g : C  R n   L  R n  là một toán tử tuyến tính thì ta kí hiệu
g  Z  là hàm ma trận với các cột g  z1  ,..., g  zn  .

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân thường và
phương trình vi phân hàm ra đời từ thế kỷ 18, song đến nay vẫn được nhiều
người quan tâm nhờ các ứng dụng rộng rãi của nó trong các lĩnh vực vật lý,
cơ học, kinh tế, nông nghiệp, …. Đặc biệt, bài toán biên tuần hoàn cho
phương trình vi phân hàm càng đạt được nhiều kết quả bắt đầu từ năm 1995
nhờ các kết quả của các tác giả như I.T. Kiguradze, B. Puza, … cho hệ
phương trình vi phân hàm tổng quát. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này làm nội
dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài của mình theo
hướng của các tác giả trên.
2. Mục đích nghiên cứu

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu tính giải được, tính duy nhất
nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương
trình vi phân hàm tuyến tính. Từ đó, áp dụng các kết quả đạt được cho hệ
phương trình vi phân đối số chậm, đối số lệch.
3. Đối tượng nghiên cứu

Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính.
4. Phạm vi nghiên cứu

Lý thuyết bài toán biên, giải tích hàm.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Luận văn là tài liệu tham khảo cho tất cả mọi người quan tâm đến lý
thuyết bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính.

6. Cấu trúc luận văn

Nội dung chính của luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân
hàm tuyến tính

Đây là chương cơ sở của luận văn, nội dung chính của chương là
nghiên cứu tính giải được, tính duy nhất nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của bài
toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính.
Chương 2: Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân
hàm tuyến tính

Ở chương này chúng tôi nghiên cứu tính giải được, tính duy nhất
nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương
trình vi phân hàm tuyến tính và áp dụng các kết quả đó đối với hệ phương
trình vi phân đối số chậm, đối số lệch.


Chương 1: BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH
1.1. Giới thiệu

Xét hệ phương trình vi phân hàm
dx  t 
 p  x  t   q  t 
dt

(1.1)

l  x   c0

(1.2)

với điều kiện biên
trong đó p : C  I , R n   L  I ,R n  và l : C  I ,R n   R n là các toán tử tuyến
tính bị chặn, q  L  I ,R n  , I   a, b  và c0  R n . Trường hợp riêng của điều
kiện (1.2) là điều kiện đầu
x  t0   c0

(1.3)

trong đó t0  I hay điều kiện biên tuần hoàn
x  b   x  a   c0

(1.4)

Nghiệm của (1.1), (1.2) là một hàm vectơ x : I  R n liên tục tuyệt đối
thỏa mãn (1.1) hầu khắp nơi trên I và thỏa (1.2).
Các trường hợp riêng của bài toán (1.1), (1.2) là các bài toán về sự tồn
tại nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch
dx  t 
 P  t  x   t    q0  t 
dt

(1.5)

thỏa một trong các điều kiện sau
x  t   u  t  với t  I , l  x   c0

(1.6)

x  t   u  t  với t  I , x  t0   c0

(1.7)

x  t   u  t  với t  I , x  b   x  a   c0

(1.8)


trong đó P  L  I ,R n  n  , q0  L  I ,R n  ,  : I  R là hàm đo được và

u : R  R n là hàm vectơ liên tục và bị chặn, khi đặt
a
 t   a

 0  t     t  a    t   b

 t   b
b

(1.9)

p  x  t    I   t   P  t  x  0  t  

(1.10)

và





q  t   1   I   t   P  t  u   t    q0  t 

(1.11)

trong đó  I là hàm đặc trưng của I.
1.2. Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

Xét bài toán (1.1), (1.2) cùng với bài toán thuần nhất tương ứng
dx  t 
 p  x  t 
dt

(1.10)

l  x  0

(1.20)

Xuyên suốt mục này chúng ta sẽ giả thiết:
(i) p : C  I ,R n   L  I ,R n  là một toán tử tuyến tính sao cho tồn tại
hàm  : I  R khả tích thỏa
p  x  t     t  x

C

với t  I , x  C  I ,R n  .

(ii) l : C  I ,R n   R n là toán tử tuyến tính bị chặn.
(iii) q  L  I ,R n  , c0  R n .
Chú ý:

Từ điều kiện (i) ta suy ra p là toán tử tuyến tính bị chặn.


1.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Định lý 1.1. Bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán

thuần nhất tương ứng (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường.
Chứng minh

Đặt B  C  I ,R n   R n là không gian Banach gồm các phần tử
u   x, c  , trong đó x  C  I ,R n  và c  R n , với chuẩn

u

B

 x

C

 c .

Lấy tùy ý u   x, c   B và điểm cố định t0  I ta đặt:
t



f  u  t    c  x  t0    p  x  s  ds, c  l  x   với t  I ,


t0



(1.12)

t

h  t     q  s  ds, c0  với t  I .
t

0

Khi đó bài toán (1.1), (1.2) tương đương với phương trình dưới đây
trong B
u  f u   h ,

(1.13)

vì u   x, c  là nghiệm của (1.13) nếu c  0 và x là nghiệm của bài toán (1.1),
(1.2).
Mặt khác, từ (i)-(iii) và (1.12), ta có f : B  B là toán tử tuyến tính
compact. Do đó theo định lý Fredholm cho phương trình toán tử thì điều kiện
cần và đủ để phương trình (1.13) có nghiệm duy nhất là phương trình toán tử
u  f u 

(1.14)

chỉ có nghiệm tầm thường. Tuy nhiên, điều đó tương đương với bài toán
thuần nhất (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường.


Lấy tùy ý một điểm cố định t0  I . Ta định nghĩa dãy các toán tử
p k : C  I ,R n   C  I ,R n  và ma trận  k  R n  n như sau:
t

p  x  t   x  t  , p  x  t    p  p k 1  x    s  ds  k  1,2,... ,

(1.15)

 k  l  p 0  E   p1  E   ...  p k 1  E    k  1,2,...

(1.16)

k

0

t0

Nếu ma trận  k không suy biến  k  1,2,... thì ta đặt:
p k ,0  x  t   x  t  ,

p k ,m  x  t   p m  x  t    p 0  E  t   ...  p m1  E  t    k 1l  p k  x  

(1.17)

Định lý 1.2. Giả sử tồn tại các số nguyên dương k , m , số nguyên m0 không

âm và ma trận A  R n  n thỏa:
r  A  1,
ma trận  k trong (1.16) là không suy biến và bất đẳng thức
p k ,m  x   A p k ,m0  x 
C

C

(1.18)

thỏa với mọi x là nghiệm của (1.10), (1.20).
Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh

Theo định lý 1.1, ta cần chứng minh bài toán thuần nhất (1.10), (1.20)
chỉ có nghiệm tầm thường.
Giả sử x là một nghiệm bất kỳ của (1.10), (1.20). Khi đó
x  t   c  p1  x  t 
với c  x  t0  . Từ đó
x  t   c  p1  c  p1  x    t   c  p1  c   p 2  x  t 
  p 0  E  t   p1  E  t   c  p 2  x  t 


tiếp tục quá trình trên ta được:
x  t    p 0  E  t   ...  p i 1  E  t   c  p i  x  t 

(1.19)

với mọi i nguyên dương.
Từ (1.20), (1.16) và (1.19) ta có:
0  kc  l  pk  x  .

Do  k không suy biến nên
c   k1l  p k  x   .

Thay vào (1.19) và theo (1.17) ta có:
x  t   p k ,m0  x  t  , x  t   p k ,m  x  t  .

Từ đó
p k ,m0  x  t   p k ,m  x  t 

và theo (1.18) suy ra
p k ,m0  x   A p k ,m0  x 
C

C

hay

 E  A  p k ,m  x  C  0 .
0

Mặt khác, do A không âm và r  A   1 , ma trận E  A có nghịch đảo
không âm  E  A  . Khi đó nhân hai vế của bất đẳng thức cuối với  E  A 
1

ta được:
p k ,m0  x   0
C

Do đó
p k ,m0  x  t   0 .

1


Vậy x  t   0 . Định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.3. Giả sử tồn tại số nguyên dương m , số nguyên m0 không âm và

ma trận A  R n  n thỏa r  A   1 và bất đẳng thức
p m  x   A p m0  x 
C

(1.20)

C

thỏa với mọi x là nghiệm của hệ (1.10) với điều kiện đầu x  t0   0 .
Khi đó bài toán (1.1), (1.3) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh

Bằng cách thay l  x   x  t0  , khi đó theo (1.15)-(1.17) ta có:
 k  E , l  p k  x    0, p k ,m  x  t   p m  x  t 

với mọi k và m nguyên dương. Từ đó, theo định lý 1.2 hệ quả được chứng
minh.

Chú ý:

Trong hệ quả 1.3, với điều kiện r  A   1 , dấu bằng không thể xảy ra.
Thật vậy, xét hệ phương trình vi phân
1
dx  t 
 2  x  s  ds
dt
0

(1.21)

trên đoạn I   0,1 với điều kiện đầu

x 0  1 .

(1.22)

Mỗi nghiệm của hệ (1.21) có dạng

x  t   ct
trong đó c  R n là một vectơ hằng tùy ý. Do đó bài toán giá trị đầu (1.21),
(1.22) không có nghiệm. Mặt khác, ta có:
t

1

0

0

p  x  t    p  x  s  ds  2t  x   d
1


 1 1

p  x  t    p  p  x    s  ds    2  p  x   d  ds
0
0 0

t

2

t

1

1
 1 1
 
   2   2  x   d  d  ds  2t  x   d


0 0
0
0
 
t

Suy ra p 2  x  t   p1  x  t  . Do đó, điều kiện (1.20) với m  2, m0  1 và
A  E được thỏa với hệ (1.21), nhưng ma trận A thỏa r  A   1.
Hệ quả 1.4. Giả sử tồn tại các số nguyên không âm m , m0 và ma trận

A  R n  n thỏa mãn

r  A 



(1.23)

2b  a 

và bất đẳng thức
p  pm  x 

2

L

 A p m0  x 

L2

(1.24)

thỏa với mọi x là nghiệm của hệ (1.10) với điều kiện đầu x  t0   0 .
Khi đó bài toán (1.1), (1.3) có nghiệm duy nhất.

Chứng minh

Ta cần chứng minh hệ (1.10) với điều kiện đầu
x  t0   0

(1.25)

chỉ có nghiệm tầm thường.
Giả sử x là một nghiệm tùy ý của bài toán (1.10), (1.25). Khi đó, theo
(1.15) ta có:
x  t   p m0  x  t   p m1  x  t 

và
p m0  x 

Mặt khác

L2

 p m1  x  2 .
L

(1.26)


p m1  x   t0   x  t0   0 ,
d
 p m1  x  t    p  p m  x    t  .
dt

Do đó theo bất đẳng thức Wirtinger, ta có:
p m1  x 

2

L



2b  a 

p  pm  x  2 .



L

Bất đẳng thức này kết hợp với (1.24) và (1.26) ta có:

p m0  x 

2

L




2b  a 

p  pm  x 


2b  a 



A p m0  x 

 B p m0  x 

L2

L2

L2

và

 E  B  pm  x  L
0

2

0

với

B

2b  a 



A.

Khi đó theo (1.23) ta có r  B   1 . Từ đó nhân hai vế của bất đẳng thức cuối
với  E  B  ta được p m0  x   0.
1

Do đó, x  t   p m0  x  t   0. Hệ quả được chứng minh.
Chú ý:

Trong điều kiện (1.23) dấu bằng cũng không thể xảy ra. Thật vậy, ta xét
bài toán thuần nhất

dx  t 


 x  t ,
dt
2 
x  0  0

(1.27)


 
trên đoạn I  0,  , nó có một nghiệm không tầm thường là:
 2

x  t   E sin t.
Khi đó, ta có:

p 0  x  t   x  t   E sin t ,


p  p 0  x    t   p  x  t   x   t   E cos t .
2 
Do đó, điều kiện (1.24) với m0  m  0 và A  E được thỏa với hệ (1.27),
nhưng ma trận A thỏa mãn đẳng thức

r  A 



2b  a 

thay vì (1.23).
Hệ quả 1.5. Giả sử tồn tại số tự nhiên i sao cho ma trận
i

b

Bi    p  p j  E    s  ds

(1.28)

j 1 a

là không suy biến và ma trận B  R n n sao cho

b

 p  x  t  dt  B x

C

(1.29)

a

thỏa với mọi x là nghiệm của hệ (1.10) với x  b   x  a  và





r B  Bi1 B i  2  1.
Khi đó bài toán (1.1), (1.4) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh

Để chứng minh hệ quả trên ta cần kiểm tra các điều kiện của định lý 1.2
được thỏa với l  x   x  b   x  a  , k  i  2, m  1 và m0  0 .
Thật vậy, từ (1.28), (1.29) và (1.15), (1.16) suy ra Bi   k ,


b

p  x    p  x  s  ds  B x C ,
1

C

a

b

p  x    p  p1  x    s  ds  B p1  x 
2

C

a

C

 B2 x C .

Tương tự ta có:
b

p  x    p  p j 1  x    s  ds  B p j 1  x 
j

C

C

a

 B j x C  j  1,2,...

và

l  p k  x    l  p i  2  x    p i  2  x  b   p i  2  x  a 
b

  p  p i 1  x    s  ds  B p i 1  x   B i  2 x C .
C

a

Khi đó từ (1.17) ta có:

p k ,1  x   p1  x   Bi1l  p k  x    A x C
C

C





với A  B  Bi1 B i  2 thỏa r  A   r B  Bi1 B i  2  1 .
Định lý 1.6. Giả sử tồn tại ma trận hàm P0   I ,R n  n  sao cho hệ phương

trình vi phân
dx  t 
 P0  t  x  t 
dt

(1.30)

với điều kiện biên (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường và
b

 G  t , s   p  x  s   P  s  x  s  ds  A x
0

a

0

C

(1.31)


thỏa với mọi x nghiệm của bài toán (1.10), (1.20), trong đó G0 là ma trận
Green của bài toán (1.30), (1.20) và A  R n n là ma trận thỏa r  A   1 .
Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh

Theo định lý 1.1, ta cần chứng minh bài toán (1.10), (1.20) với giả thiết
của định lý 1.6 chỉ có nghiệm tầm thường.
Giả sử x là một nghiệm tùy ý của (1.10), (1.20). Khi đó vì (1.30), (1.20)
chỉ có nghiệm tầm thường nên bài toán

dx  t 
 p  x  t   P0  t  x  t    p  x  t   P0  t  x  t  
dt

với điều kiện biên (1.20) có nghiệm duy nhất và do G0 là ma trận Green của
bài toán (1.30), (1.20) nên ta có:
b

x  t    G0  t , s   p  x  s   P0  s  x  s   ds.
a

Do đó theo (1.31), ta được:

xC  A xC.
Khi đó kết hợp với điều kiện A không âm, r  A   1 ta suy ra x C  0 .
Hệ quả 1.7. Giả sử tồn tại một ma trận hàm P0   I ,R n  n  sao cho

t

t

  P0   d  P0  t   P0  t    P0   d 
s

s


(1.32)

với hầu hết t , s  I và bất đẳng thức
t

 exp

t0

  P   d   p  x  s   P  s  x  s  ds  A x
t

s

0

0

C

với t  I

(1.33)

thỏa với mọi x là nghiệm của hệ (1.10) với điều kiện đầu x  t0   0 , trong đó

A  R n  n thỏa r  A   1 .


Khi đó bài toán (1.1), (1.3) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh

Do (1.32) nên ma trận Cauchy của hệ (1.30) có dạng

t

C0  t , s   exp   P0   d  .

s

Với mọi x là nghiệm của hệ (1.10) với điều kiện đầu x  t0   0 thì x
cũng là nghiệm của hệ

dx  t 
 p  x  t   P0  t  x  t    p  x  t   P0  t  x  t  
dt
với điều kiện đầu x  t0   0 . Theo định lý Lagrant ta có:
t

x  t    C0  t , s   p  x  s   P0  s  x  s   ds
t0

t

  exp
t0

  P   d   p  x  s   P  s  x  s  ds
t

s

0

0

Do đó theo (1.33) ta có:

xC  A xC
và do A không âm, r  A   1 nên suy ra x C  0 . Vậy hệ (1.10) với điều kiện
đầu x  t0   0 chỉ có nghiệm tầm thường. Do đó bài toán (1.1), (1.3) có
nghiệm duy nhất.
Hệ quả 1.8. Giả sử tồn tại ma trận hàm P0   I ,R n  n  thỏa (1.32) và ma trận

b

A0  E  exp   P0  s  ds 
a

là không suy biến. Giả sử
t



t b  a

t

A exp   P0   d   p  x  s   P0  s  x  s   ds  A x C với t  I
s

1
0

(1.34)


p  x  t  b  a   p  x  t  , P0  t  b  a   P0  t 

(1.35)

và ma trận A  R n n thỏa r  A   1 .
Khi đó bài toán (1.1), (1.4) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh

Do (1.32) và A0 là không suy biến nên bài toán (1.30), (1.20) với
l  x   x  b   x  a  chỉ có nghiệm tầm thường.
Giả sử G0 là ma trận Green của bài toán (1.30), (1.20) với
l  x   x  b   x  a  . Khi đó theo (1.32) ta có với mọi q  L  I ,R n  thì
b

 G0  t , s  q  s  ds 
a

t



A01 exp

t b  a

  P   d  q  s  ds với t  I
t

s

0

trong đó q  t  b  a   q  t  . Do đó, kết hợp với (1.35), bất đẳng thức (1.34)
bao hàm bất đẳng thức (1.31). Khi đó tất cả các giả thiết của định lý 1.6 được
thỏa mãn. Do vậy hệ quả được chứng minh.
1.2.2. Hệ phương trình vi phân hàm với toán tử Volterra

Trong mục này, ta xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1),
(1.2) khi p là toán tử Volterra
Lấy tùy ý t0 , t  I và x  C  I , R n  , ta đặt:

   t0 , t   min t0 , t;    t0 , t   max t0 , t ,
I t0 ,t     t0 , t  ,   t0 , t  

và
x

t0 , t





 max x  s  : s  I t0 , t .

Định nghĩa 1.9. Toán tử p được gọi là Volterra tương ứng với t0  I nếu với

mọi t  I và x  C  I , R n  thỏa mãn điều kiện


x  s   0 với s  I t0 ,t

ta có:
p  x  s   0 với hầu hết s  I t0 ,t
Bổ đề 1.10. Nếu p : C  I , R n   L  I ,R n  là một toán tử Volterra tương ứng

với t0  I thì các bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x  C  I ,R n  :

p  x  t     t  x
p k  x  t  

t

1
  s  ds
k ! t0

t0 , t

với hầu hết t  I ,

(1.36)

k

x

t0 , t

với t  I  k  1,2,...

(1.37)

trong đó  là hàm trong điều kiện (i), p k : C  I ,R n   C  I ,R n   k  1,2,...
là các toán tử được cho bởi các đẳng thức (1.15).
Chứng minh

Giả sử với mọi t  I và x  C  I , R n  ta đặt:
 x    t0 , t   khi s     t0 , t 

xt0 ,t  s    x  s 
khi    t0 , t   s     t0 , t 



 x   t0 , t   khi s    t0 , t  .



Khi đó với s  I t0 ,t ta có x  xt0 ,t

  s   0 và do

p là Volterra tương ứng với

t0 nên





p x  xt0 , t  s   0 hay p  x  s   p  xt , t   s  với hầu hết s  I t ,t ,

0

0

kết hợp với điều kiện (i) ta có:
p  x  s     s  xt0 , t

C

 s x

t0 , t

với hầu hết s  I t0 ,t .

Do t  I tùy ý nên ta được:

p  x  t     t  x

t0 , t

với hầu hết t  I .


Bây giờ ta sẽ chứng minh (1.37) bằng quy nạp: Theo (1.15) và (1.36) ta
có:
t

p  x  t  

t

 p  x   d     x

1

t0

t0

p  x  t  
2

t0 , 

t

d     d x
t0

t

 p  p  x     d     p  x 
1

1

t0

t0



t

t

t

1
      s  ds x t , d    s  ds
0
2 t0
t0
t0

t0 , 

t0 , t

,

d

2

x

t0 , t

với t  I .

Giả sử
t

1
  s  ds
k ! t0

p k  x  t  

k

x

t0 , t

với t  I  k  1,2,...

Khi đó
p

k 1

 x  t 

t



t

 p  p  x     d    
k

t0
t



1
      s  ds
k ! t0
t0

k

pk  x 

t0

t

1
x t , d 
  s  ds
0
 k  1! t0

t0 , 

d

k 1

x

t0 , t

với t  I .

Vậy ta được (1.37). Bổ đề được chứng minh
Từ bổ đề trên ta có ngay kết quả sau:
Bổ đề 1.11. Nếu toán tử p là Volterra tương ứng với t0  I thì toán tử E  p1

là khả nghịch và

E  p 

1 1



  pk
k 0

trong đó p k  k  0,1,... là các toán tử được định nghĩa bởi đẳng thức (1.15).


Định lý 1.12. Giả sử p là toán tử Volterra tương ứng với t0 . Khi đó bài toán

(1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên dương
k , m và ma trận A  R n n sao cho  k là không suy biến, r  A   1 và
p k , m  x   A x C với x  C  I , R n  .
C

Chứng minh

Điều kiện đủ của định lý được suy ra từ định lý 1.2, ta chứng minh điều
kiện cần như sau:
Giả sử bài toán (1.1), (1.2) có một nghiệm duy nhất, khi đó bài toán
(1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường.
Giả sử x là một nghiệm tùy ý của hệ (1.10) ta có:

x  t   c  p1  x  t  với c  x  t0  .
hay

 E  p   x  t   c .
1

Theo bổ đề 1.11 ta có:


x  t   X  t  c trong đó X  t    p i  E  t  .
i 0

Vì bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường nên hệ các phương trình
đại số
l  X  c  0,
chỉ có nghiệm tầm thường. Suy ra

det  l  X    0.

Đặt
k 1

X k  t    p i  E  t  .
i 0

Khi đó  k  l  X k  , lim X  X k
k 

C

 0 và vì l liên tục nên

(1.38)


lim  k  l  X  .

(1.39)

k 

Từ (1.38) và (1.39) suy ra rằng có số nguyên dương k0 và một số thực
dương  thỏa mãn
det   k   0, X m

C

l  k1    k  k0 , k0  1,....; m  1,2,...

(1.40)

trong đó l là chuẩn của toán tử l . Mặt khác theo bổ đề 1.10 ta có
p  x
k

C

0k

x
k!

C

 k  1,2,...

(1.41)

trong đó
b

0    t  dt.
a

Từ (1.40) và (1.41), kết hợp với (1.17), ta có
pk , m  x 

C

 m
k 
  0  0  x
k! 
 m!

C

 k  k0 , k0  1,...; m  1,2,....

(1.42)

Chọn số nguyên dương m0  k0 sao cho
0m
0k
1
 
 k  m0 , m0  1,...; m  m0 , m0  1,....
m!
k ! 2n

Khi đó với mỗi k  m0 và m  m0 , từ (1.42) ta có
p k , m  x   A x C với x  C  I ,R n 
C

trong đó A  R n n là một ma trận với các phần tử

1

thỏa r  A   1 . Định lý
2n

được chứng minh.
1.2.3. Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát

Cùng với bài toán (1.1), (1.2) ta xét các bài toán sau
dx  t 
 pk  x  t   qk  t 
dt

(1.1k)


lk  x   c0 k

(1.2k)

với k nguyên dương, trong đó
(i) pk : C  I ,R n   L  I ,R n  là toán tử tuyến tính sao cho tồn tại hàm

k : I  R  khả tích thỏa
pk  x  t   k  t  x

C

với t  I , x  C  I ,R n 

(ii) lk : C  I ,R n   R n là toán tử tuyến tính bị chặn
(iii) qk  L  I ,R n  , c0 k  R n .

Với mỗi toán tử bị chặn g : C  I ,R n   L  I ,R n  , ta ký hiệu chuẩn của
nó là g và M g là tập các hàm vectơ liên tục tuyệt đối y : I  R n được biểu
diễn bởi
t

y  t   z  a    g  z  s  ds
a

trong đó z : I  R n là hàm vectơ liên tục bất kỳ sao cho z

C

 1.

Bổ đề 1.13. Giả sử bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường và dãy

các toán tử pk và lk  k  1,2,... thỏa mãn các điều kiện
 t

sup    pk  y  s   p  y  s   ds : t  I , y  M pk   0 khi k  +
 a

lim lk  y   l  y  với y  C  I , R n  .

k 

(1.43)
(1.44)

Khi đó tồn tại số nguyên dương k0 và số   0 sao cho với mọi hàm

vectơ z : I  R n liên tục tuyệt đối ta có:
z
trong đó

C

  k  z   k  k0 , k0  1,...

(1.45)