Chủ đề phương pháp ôn tập kiểm tra toán 11

Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Phan Văn Tuấn

SƠ LƯỢC VỀ LÝ LỊCH KHOA HỌC

I- THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1- Họ Và Tên: Phan Văn Tuấn
2- Ngày tháng năm sinh: 1979
3- Quê quán: Ấp TT A1, TT Hòa Bình, Huyện Hòa Bình, Tỉnh Bạc Liêu
4- Nơi cư trú: Ấp TT A1, TT Hòa Bình, Huyện Hòa Bình, Tỉnh Bạc Liêu
5- Điện thoại NR:

Di động: 0973 484 108

6- Chức vụ: Giáo viên
II- TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Trình độ chuyên môn: Đại học
- Năm nhận bằng: 2002
- Chuyên nghành đào tạo: Sư phạm Toán
III- KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn: TOÁN
- Số năm có kinh nghiệm: 11

Chủ đề: Phương pháp ôn tập kiểm tra Toán 11

Trang 1


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Phan Văn Tuấn

A- ĐẶT VẤN ĐỀ
I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương pháp đổi mới kiểm tra là một hình thức rất khả quan đối với từng cá nhân,
nhằm giúp nhà trường đánh giá thực chất việc dạy và học của giáo viên và học sinh.
Nhưng bên cạnh đó củng có nhiều hạn chế việc làm được và chưa làm được củng nhờ
vào nhiều phần trách nhiệm của từng giám thị để dẫn đến kết quả.
II- TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1- Cơ sở lý luận
Chuyên đề: Phương pháp ôn tập kiểm tra toán 11. Tôi đưa ra để giúp học sinh
tự ý thức của chính mình, với tinh thần đổi mới căn bản về cách học, phát huy nội lực lấy
tự học, tự đọc sách, tự trang bị kiến thức của học sinh làm cốt lỗi.
2- Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Nội dung chủ đề gồm ba phần. Trong đó mỗi dạng Toán được phân loại cụ thể
 Về kiến thức cơ bản
Đưa ra từng dạng Toán và phương pháp giải cụ thể từng bài. Do đó học sinh đọc
nên hiểu và nhớ kỹ để vận dụng giải bài tập

 Bài tập cơ bản
Phân loại các dạng Toán, chọn các bài tập tiêu biểu trong sách giáo khoa và một số
sách khác. Từ đó hướng dẫn cách vận dụng kiến thức cơ bản để giải
 Bài tập rèn luyện
Giúp các em ôn và luyện giải các bài tập tương tự.

Chủ đề: Phương pháp ôn tập kiểm tra Toán 11

Trang 2

Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Phan Văn Tuấn

B- NỘI DUNG
Chương: GIỚI HẠN
I. Lý Thuyết

KIẾN THỨC CẦN NHỚ
A- GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Các giới hạn đặc biệt
a) lim

1
1
= 0 ; lim k = 0 ;
n
n

b) lim q n = 0 nếu q < 1 ;

lim n k = + ∞ , với k nguyên dương.
lim q n = + ∞ nếu q > 1.

c) limc = c (c: là hằng số).
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
a) Nếu limun = a và limvn = b, thì:
* lim(un + vn) = a + b

* lim(un - vn) = a - b ;

* lim(unvn) = ab

* lim

un a
= (nếu b ≠ 0).
vn b

b) Nếu u n ≥ 0 ∀n và limun = a , thì a ≥ 0 và lim u n = a .
3. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực
a) Nếu limun = a và limvn = ±∞ thì lim

un
= 0.
vn

b) Nếu limun = a > 0, limvn = 0 và vn > 0, ∀n thì lim
c) Nếu limun = + ∞ và limvn > 0 thì limunvn = + ∞ .
B- GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. Các giới hạn đặc biệt
x = x0
a) xlim
→ x0
c=c
b) xlim
→ x0
c=c
c) xlim
→±∞

d) lim

x →±∞

c
= 0 (c: là hằng số)
x

x k = +∞ với k nguyên dương
e) xlim
→+∞
x k = −∞ với k nguyên lẻ
f) xlim
→−∞
x k = +∞ với k nguyên chẵn
g) xlim
→−∞

Chủ đề: Phương pháp ôn tập kiểm tra Toán 11

Trang 3

un
= +∞ .
vn


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Phan Văn Tuấn

2. Quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

lim f ( x)

x→ x 0

x→ x 0

lim f ( x).g ( x)

L<0

lim f ( x )

x→ x 0

+∞
-∞
+∞
- ∞

L>0

Chú

lim g ( x)

b) Quy tắc giới hạn của thương

x→ x 0

+∞
-∞
-∞
+∞

lim g ( x )

x→ x 0

L>0
0
L<0

f ( x)
g ( x)

Dấu của
g(x)

lim

x→ x 0

f ( x)
g ( x)

+

+

+∞
-∞
-∞

-

+∞

ý: Khi gặp các dạng vô định:

∞ 0
; ; ∞ − ∞ ; 0. ∞ ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách:
∞ 0
chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản,
nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;…

C- HÀM SỐ LIÊN TỤC
1/ Hàm số liên tục tại một điểm

Để chứng minh f(x) liên tục tại xo , ta qua 3 bước:
• B1: Tính f(xo)
• B2: Tìm lim f ( x )
x → x0

f ( x)
• B3: So sánh f(xo) và xlim
→ x0

f ( x ) = f(xo) thì kết luận f(x) liên tục tại điểm x = x0
Nếu xlim
→ x0
2/ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình.
Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên
đoạn [a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a ; b)
II. BÀI TẬP
Bài 1: Tìm các giới hạn
2
a/ lim ( 4n + 7 n + 13)

e/ lim
i/ lim

2n + 3
3n − 7

3
2
b/ lim ( −5n + 7 n + 1)

f/ lim

4n 4 + 3n 2 + 1
2n 2 − 7

3n 2 + 7 n + 1
−4 n 2 + 7

m/ lim

n 6 + 3n 2 + 1
n2 + 7n + 3

Hướng dẫn:
a, b, c, d: Đặt n có số mũ cao nhất ra làm thừa số đưa về dạng tích
e, f, k, l, n, o: Chia cả tử và mẫu cho n có số mũ cao nhất
g, m: có thể đưa về dạng tích.
4 1 

4 1
n4  3 + − 4 ÷
3+ − 4
n
n
3n + 4n − 1

 lim n.
n n = +∞
Ví dụ: a/ lim 3
= lim
=
2
1 2
1
2


5n − n − 2
5− − 3

n3  5 − − 3 ÷
n n
n n 

4

3

Chủ đề: Phương pháp ôn tập kiểm tra Toán 11

Trang 4

(

 5 5

3
2
c/ lim  2n + 3 + 2 ÷ d/ lim 2n − n + n − 3
n


5
7 n + 3n + 1
2n + 9
g/ lim 4
k/ lim 4
3
8n − 10n − 17
3n − 5n 2 + 3

3n 2 + n + 1 − n
n 4 + 10n + 11
n/ lim
o/ lim
10n + 3
6n5 + n3 − 20

)


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Phan Văn Tuấn

4 1
− 4
n
n = 3>0
Vì: lim n = +∞ , lim
1 2
5− − 3 5
n n
1
1
n2 1 + 3
1+ 3
4
n
n + n = lim
n = +∞

b/ lim
= lim n.
1
1

3n + 1
n3+ ÷
3+
n
n

1
1+ 3
n =1 >0
vì: lim n = +∞ , lim
1
3
3+
n
Bài 2: Tìm các giới hạn:
3+

(

a/ lim

(

2n 2 + 3n + 1 − 7 n + 3

)

lim n 2 + n − 4n 2 + n + 10

)

d/ lim

( n + n +1 − n)
g/ lim ( 4n + 1 − 16n + 2n − 3 )
k/ lim ( n + 3n + 1 − n + 1)
2

e/ lim

2

(

f/ lim

2

4

(

2
b/ lim −10n + 4 + 4n − 3n + 4

9 n 2 + 1 − n 2 + 5n − 7

(

h/ lim

9n 2 + 4n − 2 − 3n

(

)

2n 2 + 3n − 2n 2 + 1

)

)

c/

)

2

Hướng dẫn:
a, b, c, d: Đặt thừa số đưa về dạng tích. Đáp số theo thứ tự: −∞ ; −∞ ; +∞ ; +∞
e, f, g, h, k: Nhân lượng liên hợp biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt. Đáp số theo thứ tự là:
2 3 3 2 5
; ;
;

3 4 4 2
Đặc điểm nhận biết:
Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp biến đổi đưa về các giớí hạn đặc biệt
Hệ số không phải là hai số đối nhau ta đặt thừa số đưa về dạng tích.
;

Ví dụ: a/ lim

(

5n 2 + n + 11 − 2n + 3

)

Nhận xét: −2n có hệ số là -2 và 5n 2 = 5n có hệ số là 5
Hệ số không phải là hai số đối nhau → Đưa về dạng tích

1 11
3
2
= +∞
Giải: a/ lim 5n + n + 11 − 2n + 3 = lim n  5 + + 2 − 2 + ÷
n n
n÷



1 11
3
= 5 −2 > 0

Vì: lim n = +∞ và lim  5 + + 2 − 2 + ÷
n n
n÷



)

(

b/ lim

(

)

Nhận xét: −n có hệ số là -1; n 2 = n có hệ số là 1.

n 2 + 10n + 1 − n − 1

Hệ số là hai số đối nhau → Nhân lượng liên hợp.
Giải
b/ lim

(

)

n 2 + 10n + 1 − n − 1 = lim
= lim

)(

(

n 2 + 10n + 1 − n − 1

)

n 2 + 10n + 1 + n + 1

n 2 + 10n + 1 + n + 1
8n
n 2 + 10n + 1 + n + 1

Chủ đề: Phương pháp ôn tập kiểm tra Toán 11

=

Trang 5

lim

8
=4
10 1
1
1+ + 2 +1+
n n
n

1
2


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Phan Văn Tuấn

Bài 3: Tìm các giới hạn
2.3n + 5.4n
a/ lim
3.4n + 2n

3.2n + 7n
b / lim
10.7 n + 5.4n

c/

( −2 )
lim

n

+ 7. ( −4 )

3n + 2 + 6 ( −4 )

n

n +1

d/ lim

6.3n +1 − 6n + 2
6n +1 + ( −2 )

n

Hướng dẫn
Biến đổi đưa về cùng số mũ. Trong công thức có chứa a n , b n , c n chọn max { a , b , c }
Giả sử là a ta chia cả tử và mẫu cho a n biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.
5
1
7
Đáp số: a/ ; b/
; c/ − ; d/ - 6.
3
10
24
Bài 4: Tìm các giới hạn
−n 2 + 1

( n + 1) ( n 2 + 1)

( 2n + 1) ( n + 3) 3 d/ lim
n
n
c/ lim

2
4


2
3
( n + 3n + 5)  3 ÷
n +1
( 2n + 5)  3 ÷
Hướng dẫn: Biến đổi đưa về dạng tích
Đáp số: a/ 0 ; b/ −∞ ; c/ +∞ ; d/ 0
5 1
n3 + 5n + 1
n
1
+
+ 3
2
lim
3
n
n
n
= lim
= +∞
Ví dụ:
1 5  ÷
( 4n3 − n + 5)  23 ÷
4− 2 + 3  2
n n

5 1
1+ 2 + 3
n
1
3

n
n
= > 0 và lim  ÷ = +∞
Vì: lim
1 5
2
4− 2 + 3 4
n n
2/ Giới hạn hàm số
+
−
Bài toán 1: Tìm giới hạn hàm số khi x → x0 (tương tự cho trường hợp x → x0 ; x → x0 ).
2n + 9
a/ lim
( n + 3) 2 n



b/

lim

n

2

f ( x ) = f ( x0 ) .
Dạng 1: Nếu f ( x ) xác định tại x0 thì xlim
→ x0

Áp dụng:

( 2 x 2 + 15x + 7 )
a/ lim
x →1


Dạng 2: xlim
→x

0

4x + 3
x →2 x 2 − 1

c/ lim
x →3

b/ lim

(

x 2 + 3x + 7 − 2

f ( x)
với f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0
g ( x)

)

d/ lim

x →−3

2 x 2 + 3x − 1
3x + 5

Cách giải:
* Nếu f ( x ) , g ( x ) là những đa thức thì phân tích f ( x ) = ( x − x0 ) f1 ( x ) , g ( x ) = ( x − x0 ) g1 ( x )
khi đó: xlim
→x

0

f ( x)
f ( x)
= lim 1
.
x
→
x
0 g ( x)
g ( x)
1

* Nếu f ( x ) hoặc g ( x ) có chứa căn bậc hai ta nhân lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới
hạn đặc biệt
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau

( x − 2) ( x2 + 2x + 4)
x3 − 8
x2 + 2 x + 4
a/ lim 2
= lim
= lim
=3
x →2
x →2 x − 4
x →2
x+2
( x − 2) ( x + 2)

Chủ đề: Phương pháp ôn tập kiểm tra Toán 11

Trang 6


Trường THPT Võ Văn Kiệt

(

)(
(

4 x + 1 − 5 = lim 4 x + 1 − 5
b/ lim 2
x→6
x→6 x − 7 x + 6
( x2 − 7 x + 6)
= lim
x→6

)
4 x + 1 + 5)
4x +1 + 5

4 ( x − 6)

( x − 1) ( x − 6 ) (

GV: Phan Văn Tuấn

4x + 1 + 5

)

= lim
x→6

( x − 1) (

4
4x + 1 + 5

)

=

2
25

Áp dụng
Bài 1: Tìm các giới hạn sau
x 2 − 25
lim
a/ x→5
( 5 − x ) ( x + 1)

x3 − 11x + 10
x2 − 5x + 6
b/ lim
c/ lim
x →1
x →3
x2 −1
x2 − 9
x5 + 1
2 x 2 − 13 x + 20
x3 − 3x + 2
d/ lim
e/ lim
f/
lim
x →−1 x + 1

x →4
x →1 x 2 − 10 x + 9
16 − x 2
x3 − 3 3
x3 − 5x + 2
x 3 − 10 x + 3
g/ lim 2
h/ lim 2
k/ lim 2
x →2 x − 3 x + 2
x →3 x − 7 x + 12
x→ 3 x − 3x
5
1
3
Đáp số: a/ − ; b/ -4 ; c/ ; d/ 5 ; e/ − ; f/ 0 ; g/ 7 ; h/ -17 ; k/ 3 3
3
6
8
Bài 2: Tìm các giới hạn sau
2x +1 −1
4x + 5 − 3
2x + 3 − x
x +1 − 3
a/ lim 2
b/ lim
c/ lim
d/ lim 2
2
x→0

x →1
x →3
x →8 2 x − 15 x − 8
x + 3x
1− x
x−3
3
8− x
3x + 4 − 4
x + 3 − 12 x + 1
6x +1 − 2x + 3
lim
f/ lim
g/ lim
h/ lim
2
x →2
x →4
x →2
x →4
6x + 4 − 4
4x + 9 − 5
x + x−6
16 − x 2
Đáp số:
1
1
2
1
15

1
7
a/ ; b/ − ; c/ − ; d/
; e/
; f/ -16 ; g/ − ; h/
3
3
3
102
16
25
40
f ( x)

Dạng 3: xlim
với f ( x0 ) ≠ 0; g ( x0 ) = 0
→ x0 g ( x )
Cách giải: Sử dụng quy tắc b (trang 131).
5x − 8
Ví dụ: Tìm giới hạn: lim+
x →3 x − 3
Giải
Ta có: * lim+ ( 5 x − 8 ) = 7 > 0
x →3

( x − 3) = 0 và x − 3 > 0 , ∀x > 3
* xlim
→3+
Do đó lim+
x →3

Áp dụng:

5x − 8
= +∞
x −3

2x − 5
x 2 + x − 10
b/ lim−
c/ lim
2
x →2
x →2
x →5
( x − 2)
5− x
Bài toán 2: Tìm giới hạn hàm số khi x → +∞ ( x → −∞ )

Dạng 1: lim f ( x ) Với f ( x ) là một đa thức.
a/ lim+

2 x − 11
2x − 4

x →+∞

d/ lim+
x →4

2x +1 − 7
x 2 − 16

2x − 7
lim
−
e/  3  2 x + 3
x → − ÷
 2

Cách giải: Đặt x có số mũ cao nhất ra làm thừa số, đưa về dạng tích ( khi x → −∞ giải tương tự)
1 1
2 x 3 + x − 1) = lim x 3  2 + 2 − 3 ÷ = −∞
(
Ví dụ: xlim
→−∞
x →−∞
x
x 

1 1
x 3 = −∞ và lim  2 + 2 − 3 ÷ = 2 > 0
vì xlim
→−∞
x →−∞
x
x 

Chủ đề: Phương pháp ôn tập kiểm tra Toán 11

Trang 7

e/


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Phan Văn Tuấn

Áp dụng
 3 3

6x + + 7 ÷
b/ xlim

→+∞
x



( 20 x3 − 3x2 + 4 )
a/ xlim
→−∞

 x4

lim ( −2 x 7 + x 5 − 1)
− + 2 x 2 − 3x + 5 ÷
c/ xlim
d/


x
→+∞
→−∞
 4

f ( x)

Dạng 2: xlim
Với f ( x ) , g ( x ) là một đa thức.
→+∞ g ( x )
Cách giải: Chia cả tử và mẫu cho x có số mũ cao nhất, biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.
(tương tự cho trường hợp x → −∞ )
Ví dụ:
7 1
3 1
3+ + 2
+ 5
4
3
2
x
+
1
3x 2 + 7 x + 1
x
x
x
x =0
=−

a/ lim
= xlim
b/ lim 5
= lim
→+∞
x →∞
x →+∞ x + 4 x + 3
7
4 3
x →+∞ −4 x 2 + 7
4
−4 + 2
1+ 4 5
x
x x
Tuy nhiên nếu f ( x ) là đa thức bậc cao hơn g ( x ) thì ta có thể đưa về dạng tích
1 3

1 3
x 6 10 + 4 + 6 ÷
10 + 4 + 6
x
x 
10 x + x + 3

x
x = −∞
x3
Ví dụ: lim
= xlim

= xlim
3
→−∞
→−∞
2
1
x →−∞ 4 x + 2 x + 1
2 1

4+ 2 + 3
x3  4 + 2 + 3 ÷
x
x
x
x 

1 3
10 + 4 + 6
x
x = 5 >0
x 3 = −∞ , lim
Vì: xlim
→−∞
x →−∞
2 1
2
4+ 2 + 3
x
x
Áp dụng:

−6 x 3 + x 2 + 7
4 x5 + 5 x3 + 4
2 x2 + 3
lim
a/ lim 5
b/
c/
d/
lim
x →+∞
x →−∞ 2 x − 3 x 2 + 7
x →−∞ 4 x 4 + 6 x 3 + 9
2 x3 + 3x − 5
6

2

10 x10 − 5 x 3 + 3
7 x 4 + 6 x 3 − 13
−3 x 6 + x 4 + 3
lim
e/
f/
lim
x →+∞ − 3 x 6 + 2 x + 1
x →−∞ 2 x 2 − x + 4
x →+∞ 4 x 3 − 10 x + 7
f ( x ) với f ( x ) có chứa căn bậc hai thì tùy mỗi bài ta có thể đưa về dạng tích
Dạng 3: xlim
→+∞

lim


hoặc

nhân lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.
(Tương tự cho trường hợp x → −∞ )
Đặc điểm nhận biết:
Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp
Hệ số không phải là hai số đối nhau→Đặt thừa số đưa về dạng tích.
Ví dụ: a/ xlim
→+∞

(

)

x 2 + x + 1 − x Nhận xét: − x có hệ số là-1; vì x → +∞ nên

x 2 = x = x có hệ số là 1

Hai hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp

(
Giải: a/ lim ( x + x + 1 − x ) = lim
2

x →+∞

x →+∞

(

)

)(

x2 + x + 1 + x

)

x2 + x + 1 + x

x →+∞

= lim

b/ xlim
→−∞

x2 + x + 1 − x

x +1

1
x +1
1+
x
x →+∞
= lim

= 1
1 1
1 1
x 1 + + 2 + x x→+∞
2
1+ + 2 +1
x x
x x

= lim

x2 + x + 1 + x

4 x 2 + x + 3x + 1 Nhận xét: 3x có hệ số là 3; vì x → −∞ nên

4 x 2 = 2 x = −2 x

có hệ số là -2 hệ số không là hai số đối nhau→Đưa về dạng tích
Chủ đề: Phương pháp ôn tập kiểm tra Toán 11

Trang 8


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Phan Văn Tuấn

)

(




1
1
1
4 x 2 + x + 3 x + 1 = lim  x 4 + + 3x + 1÷
=
lim
x
−
4
+
+
3
+

÷
÷ x →−∞ 
÷ = −∞
x →−∞
x
x
x




x = −∞

Vì: * xlim
→−∞

Giải: b/ xlim
→−∞


1
1
−
4
+
+
3
+
* xlim

÷= 1 > 0
→−∞ 
x
x÷



(

3x3 + 2 + 9 x 2 + 1
c/ xlim
→−∞

)

Nhận xét: 3x 3 bậc ba. vì x → −∞ nên 9 x 2 = 3 x = −3 x bậc nhất→Không cùng bậc→Đưa về dạng tích
Giải:

 9 1 
lim 3 x 3 + 2 + 9 x 2 + 1 = lim  3 x3 + 2 + x 6  4 + 6 ÷÷
x →−∞
x →−∞ 
x ÷
x




9 1 
2
9 1 
3
= lim  3 x3 + 2 + x 3
+ 6÷
=
lim
x
3
+
−
+ 6÷

4

3
4
÷ x →−∞ 
÷ = −∞
x →−∞
x
x
x
x
x




3
vì: * lim x = −∞

)

(

x →−∞


2
9 1 
3
+
−
+ 6÷

* xlim

3
4
÷= 3 > 0
→−∞ 
x
x
x


Áp dụng:
a/ xlim
→+∞
d/ xlim
→+∞

(

(

(

2x + 3 −

lim x 4 + x + 3 +

x →−∞

)

(
2x + 1)
e/ lim ( x + x + 1 −
x +9)
h/ lim ( 3 x + 7 x −

2 x 2 + 3x + 5 − 2 x

)
2x + 3 )

( 4x + 10 x + 3 − 4 x + 1 )
f/ lim ( 9 x + 3 x + 7 − 5 x + 3) g/
16 x − 4 x + 3 ) k/ lim ( 9 x + x + 3 x − 1)

x + 1 + x 2 − 10 x + 3
b/ xlim
→−∞
2

x →−∞

2

2

x →+∞

4

c/ xlim
→+∞

2

2

4

2

x →+∞

2

2

x →−∞

Hướng dẫn:
a, b, c, d, k: Nhân lượng liên hợp biến đổi
5
7
3 2
Đáp số theo thứ tự là:
; 6;
; 0; −
2
6

4
e, f, g, h: Đặt thừa số đưa về dạng tích
Đáp số theo thứ tự là: +∞ ; −∞ ; +∞ ; −∞
3/ Hàm số liên tục


Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) tại x0 .

Cách giải:
f ( x ) = f ( x0 ) thì f ( x ) liên tục tại x0
Dùng định nghĩa: Nếu f ( x ) xác định tại x0 và xlim
→ x0
 x 2 − 17 x + 16
neáu x ≠ 16

Ví dụ: Cho hàm số f ( x ) = 
. Xét tính liên tục của h/số f ( x ) tại x0 = 16
x − 16

15
neáu x = 16

Giải: Ta có f ( x ) xác định tại x0 = 16 và f ( 16 ) = 15

x 2 − 17 x + 16 lim ( x − 1) = 15 = f ( 16 )
lim f ( x ) = lim
= x →16
x →16
x →16
x − 16

Vậy f ( x ) liên tục tại x0 = 16 .
Chủ đề: Phương pháp ôn tập kiểm tra Toán 11

Trang 9


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Phan Văn Tuấn

Áp dụng
Xét tính liên tục của ham số f ( x ) tại x0 trong các trường hợp sau:
 5x + 6 − 6
neáu x ≠ 6

x
−
6
f
x
=
Taïi x0 = 6
b/ ( ) 
5

neáu x = 6

12

Dạng 2: Định tham số để hàm số liên tục tại x0

Cách giải: Tính f ( x0 ) , lim f ( x ) , lập phương trình lim f ( x ) = f ( x0 ) giải tìm tham số
 2 x 2 − 5x − 3
neáu x ≠ 3

Taïi x0 = 3
a/ f ( x ) = 
x −3

5
neáu x = 3


x → x0

x → x0

 x − 7x + 6
neáu x ≠ 6

Ví dụ: Cho hàm số f ( x ) = 
. Tìm m để h/số f ( x ) liên tục tại x0 = 6
x −6
2m 2 − 7m + 10 neáu x = 6

Giải:
2
Ta có hàm số f ( x ) xác định tại x0 = 6 và f ( 6 ) = 2m − 7m + 10
2

x 2 − 7 x + 6 = lim ( x − 1) = 5

. Hàm số f ( x ) liên tục tại x0 = 6 khi chỉ khi
x→6
x→6
x →6
x−6
m = 1
2
2
lim f ( x ) = f ( 6 ) ⇔ 2m − 7 m + 10 = 5 ⇔ 2m − 7 m + 5 = 0 ⇔ 
x→6
m = 5

2
Áp dụng:
Tìm m để hàm số f ( x ) liên tục tại x0 trong các trường hợp sau
lim f ( x ) = lim

 x2 − 4x + 3
neáu x ≠ 3

Taïi x0 = 3
a/ f ( x ) =  x − 3
m 2 − 7m + 8 neáu x = 3


 2x2 − x − 6
neáu x ≠ 2

Taïi x0 = 2
b/ f ( x ) =  x − 2

 3m + 1 neáu x = 2



Dạng 3: Chứng minh rằng phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc ( a ; b )
Cách giải:
Xét hàm số y = f ( x ) , chứng minh y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và f ( a ) f ( b ) < 0
⇒ ∃x0 ∈ ( a; b ) : f ( x0 ) = 0

Kết luận : f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( a ; b )
Ví dụ: CMR phương trình: 4 x 3 − 5 x − 3 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2 )
3
Giải: Xét hàm số f ( x ) = 4 x − 5 x − 3 liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [ 0; 2]
Ta có: f ( 0 ) = −3 , f ( 2 ) = 19 suy ra f ( 0 ) f ( 2 ) = −57 < 0

⇒ ∃x0 ∈ ( 0; 2 ) : f ( x0 ) = 0 . Vậy 4 x 3 − 5 x − 3 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( 0 ; 2 )
Áp dụng:
1/ Chứng minh rằng phương trình: x 7 + 3 x5 − 2 = 0 có ít nhất một nghiệm
2/ Chứng minh rằng phương trình: x 2 sin x + xcox + 1 = 0 thuộc ( 0; π )
3/ Chứng minh rằng phương trình: x 3 − 3 x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Chủ đề: Phương pháp ôn tập kiểm tra Toán 11

Trang 10


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Phan Văn Tuấn

C- KẾT LUẬN
I- HIỆU QỦA CỦA ĐỀ TÀI
Sau khi tôi nghiên cứu thực hiện chủ đề này, bản thân cảm thấy rút ngắn được thời
gian về sự chuẩn bị và học sinh cảm thấy có sự đam mê hơn trong giờ ôn tập. Đây là kết
quả đạt được rất tương đối, tuy học sinh không đạt loại giỏi nhiều. Nhưng về học sinh
yếu đạt lên mức trung bình tiến bộ rất rõ rệt. Đối với năm học 2013-2014. Đây là chủ đề
tôi áp dụng đối với học sinh yếu, kém.
 Lần 1: Không áp dụng cho học sinh
Giỏi
0

%
0

Khá
9

%
25

TB
10

%
27,8

Yếu
13

%

36,1

Kém
04

%
11,1

%
33,3

Yếu
8

%
22,2

Kém
02

%
5,6

%
33,3

Yếu
07

%

19,4

Kém
01

%
2,8

Yếu
07

%
19,4

Kém
0

%
0

 Lần 2: Áp dụng cho học sinh
Giỏi
01

%
2,8

Khá
13

%
36,1

TB
12

 Lần 3: Áp dụng cho học sinh
Giỏi
03

%
8,3

Khá
13

%
36,1

TB
12

 Lần 4: Áp dụng cho học sinh thi HKII
Giỏi
03

%
8,3

Khá

12

%
33,3

TB
14

%
38,9

II- ÁP DỤNG:
Sử dụng cho tất cả học sinh khối 11 trong việc ôn tập trước khi kiểm tra định kì.
III- KẾT LUẬN:
Cuối cùng cho dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo các tài liệu hiện nay để
viết, cùng với việc tiếp thu ý kiến của đồng nghiệp. Nhưng khó tránh khỏi những thiếu
sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp qúy báu của đồng nghiệp.

 KIẾN NGHỊ: . . .
Phước long, ngày 06 tháng 01 năm 2015
NGƯỜI THỰC HIỆN

Phan Văn Tuấn

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Chủ đề: Phương pháp ôn tập kiểm tra Toán 11

Trang 11

Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Phan Văn Tuấn

Tài Liệu Tham Khảo

Tác giả

1) Phương pháp giải Toán chuyên đề lượng giác

Lê Bảy-Nguyễn Văn Nho

2) Phương pháp giải Toán chuyên đề Tổ Hợp & Xác Suất

ThS.
Phước

Nguyễn

Văn

3) Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Đại số & Giải tích 11
ThS. Lê Hoành Phò
4) Bài tập Đại số & Giải tích 11
Nhà xuất bản giáo dục
5) Phân dạng và phương pháp giải Toán Đại số&Giải tích 11
6) Bài tập & phương pháp giải Toán Đại số & Giải tích 11

ThS.
Phước

Nguyễn

7) Đại số & Giải tích 11

ThS. Lê Hoành Phò

Văn

Nhà xuất bản giáo dục

Chủ đề: Phương pháp ôn tập kiểm tra Toán 11

Trang 12


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Phan Văn Tuấn

MỤC LỤC
Sơ lược về lý lịch khoa học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 1
Đặt vấn đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 2
Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 2
Tổ chức thực hiện đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 2
Nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 3
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 11
Hiệu quả của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 11
Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 11
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 11

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 12


PHẦN NHẬN XÉT CỦA TỔ
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
PHẦN NHẬN XÉT CỦA BGH TRƯỜNG
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................

Chủ đề: Phương pháp ôn tập kiểm tra Toán 11

Trang 13