400 bài tập rèn luyện học sinh giỏi toán lớp 7

400 bài tập toán 7 (bồi dỡng học sinh khá giỏi)
Phần thứ nhất: Đại số
Chơng I: Số nguyên
1 Đ . Tập hợp Z các số nguyên
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Tập hợp Z = { . . .; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . .}gồm các số tự nhiên 0;
1; 2; 3; . . . và các số mới -1; -2; -3; . . . gọi là tập hợp các số nguyên.
* Biểu diễn trên trục số:
Điểm biểu diễn số nguyên a gọi là điểm a
* Các số -1 và 1; -2 và 2; -3 và 3; ... là các số đối nhau. Số đối của
số 0 là chính nó.
2. Các bài toán:
Bài 1: Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai:
a) Mọi số tự nhiên đều là số nguyên.
b) Mọi số nguyên đều là số tự nhiên.
Bài 2: Đọc nhiệt độ ở các thành phố dới đây:
Hà Nội
180C
Bắc Kinh
-20C
Huế
200C
Matxcơva
-70C
TP
Hồ
Chí 250C
Pari
00C
Minh
Bài 3: Viết tập hợp M các số nguyên lẻ có một chữ số. Biểu diễn

chúng trên trục số.
Bài 4: Một chú ốc sên ở vị trí gốc O trên một cây cột cách mặt
đất 2 mét (hình 1). Ban ngày chú ốc sên bò lên đợc 3 mét. Ban
đêm chú ta mệt quá "ngủ quên" nên bị tuột xuống dới:
a) 2 mét;
b) 4 mét
Hỏi sáng hôm sau chú ốc sên cách O bao nhiêu mét trong mỗi trờng
hợp a, b?
2 Đ. Thứ tự trong Z
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Cho a, b Z
Đn
a nhỏ hơn b điểm a ở bên trái điểm b trên trục số
* Giữa hai số nguyên a và a + 1 không tồn tại số nguyên nào.
* a < 0 a là số nguyên âm
Đn
a > 0 a là số nguyên dơng
Số 0 không là số nguyên âm cũng không là số nguyên dơng
* Giá trị tuyệt đối của a kí hiệu là |a|
|a| = |-a| 0 với mọi a.
2. Các bài toán:
Bài 5: Trong các câu sau câu nào đúng, câu nà sai:
a. Số nguyên âm nhỏ hơn số nguyên dơng.
b. Số nguyên âm nhỏ hơn số tự nhiên.
Đn

1


c. Số tự nhiên là số nguyên dơng

d. Số tự nhiên không phải là số nguyên âm.
e. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số nguyên dơng.
g. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số tự nhiên.
h. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số không âm.
Bài 6: Cho biết a < b (a 0, b 0). Có tất cả bao nhiêu trờng hợp có
thể xảy ra về thứ tự của ba số a, b, 0?
Bài 7: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho:
a. -3 < x < 0
b. x < -3 và x < 3
c. x < -3 và x > 3 d.
x < -3 hoặc x > 3
Bài 8: Tìm số nguyên a biết:
a. |a| = 2000
b. |a| = -2001
c. |a| = 1999 (a < 0).
Bài 9: Xác định số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất, biết rằng: |x| <
2000
Đ3. Phép cộng trong Z
1. Tóm tắt lý thuyết:
a) Cộng với số 0: a + 0 = 0 + a = a với mọi a thuộc Z.
b) Cộng hai số cùng dấu: Cộng hai số nguyên cùng dấu, ta cộng hai
giá trị tuyệt đối với nhau còn dấu là dấu chung của chúng.
c) Cộng hai số khác dấu:
- Tổng hai số đối nhau luôn bằng 0.
- tổng hai số khác dấu không đối nhau, ta lấy giá trị tuyệt
đối lớn trừ giá trị tuyệt đối nhỏ rồi đặt dấu của số có giá trị tuyệt
đối lớn hơn trớc hiệu tìm đợc.
2. Các bài toán:
Bài 10: Trong các câu sau câu nào đúng, câu nào sai:
a. Tổng của hai số dơng là một số dơng.

b. Tổng của hai số âm là một số âm.
c. Tổng của một số âm và một số dơng là một số âm.
d. Tổng của một số âm và một số dơng là một số dơng.
Bài 11: Tìm số nguyên x và y sao cho:
a. |x +2| + |y + 5| = 0
b. ||y| + |x + 2|| + |x| = 0.
Bài 12: Tính:
a. |a| + a nếu a 0
b. |a| + a nếu a < 0.
Đ4. Tính chất của phép cộng
1. Tóm tắt lý thuyết:
Giao hoán: a + b = b + a ; với mọi a, b thuộc Z.
Kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c ; với mọi a, b, c thuộc Z.
Cộng với 0: a + 0 = 0 + a = a ; với mọi a thuộc Z.
Tính chất giao hoán và kết hợp tổng quát:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b = ...
2. Các bài toán:
Bài 13: Tính:
2


a. 1 + (-3) + 5 + (-7) + 9 + (-11) + 13 + (-15) +17 + (-19).
b. (-2) + 4 + (-6) + 8 + (-10) + 12 + (-14) + 16 + (-18) + 20.
Bài 14: Tính tổng các số nguyên x, biết:
a. -10 < x < 10
b. -10 < x 10
c. -10 x 10
Bài 15:
Hãy điền các số nguyên vào ô
trống (hình 2) sao cho tổng

các số trong 3 ô liền nhau bất
5
kỳ theo cột dọc cũng nh hàng
1
ngang đều bằng 12.
6
2
Đ6. Phép trừ trong Z
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Số đối của số nguyên a ký hiệu là -a
Ta có: -(-a) = a
|a| =

a nếua 0

a nếua < 0

* Phép trừ: a - b = a + (-b) ; a, b Z
2. Các bài toán:
Bài 16: Chứng minh rằng số đối của
a - b là b - a (a, b Z)
Bài 17: Tìm x, biết:
a. |x| + 5 = 7
b. |x| - 3 = 5
c. 3 - |x| = 5
d. |x + 3| = 0
e. |x - 3| = 1
g. |x + 5| =
-3.
Bài 18: Tìm số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất, biết rằng:

1996 < |x + 2| < 2000.
Đ6. Quy tắc "dấu ngoặc"
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Số đối của một tổng bằng tổng các số đối
-(a + b) = (-a) + (-b) = -a - b
* Tổng đại số:
Một dãy các phép cộng trừ liên tiếp các số nguyên đợc gọi là
một tổng đại số. Trong một tổng đại số:
a) Ta có thể bỏ dấu ngoặc và:
- Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu
cộng.
- Đổi dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu -.
b) Ta có thể thêm dấu ngoặc để nhóm một số hạng tùy ý và:
- Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu
+.
3


- Đổi dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu -.
2. Các bài toán:
Bài 19: Tính tổng đại số sau:
S = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + ... - 99 - 100 + 101 + 102
Bài 20: Đơn giản biểu thức sau khi bỏ dấu ngoặc:
a. (a + b) - (-c + a + b) b. -(x + y) + (-z + x + y) c. (m - n + p) +
(-m + n + p)
Bài 21: Tìm x, biết:
a. 15 - (3 + x) = 4
b. -11 - (19 - x) = 50
c. (7 + x) - (21 - 13) = 32
d. (7 - x) + (3 - 10) =

0
Bài 22: Tìm các số nguyên x, biết:
a. |x - 2| = 3
b. |x - 3| > 1
c. 2 < |x| < 5
Bài 23: Chứng minh đẳng thức sau:
a. (a - b) + (c - d) - (a + c) = -(b + d).
b. (a - b) - (c - d) + (b + c) = a + d.
Đ7. Phép nhân trong Z
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Nhân một số với 0: a.0 = 0.a = 0 với mọi a thuộc Z.
* Nhân hai số nguyên khác 0:

|a |. | b | nếua,b cùngdấu
a.b =
(với mọi a, b thuộc Z)
(|a |. | b |) nếua,b khácdấu

* Chú ý:
+ Nếu a.b = 0 thì a = 0 hoặc b = 0.
+ Khi đổi dấu một thừa số trong tích a.b thì tích đổi dấu
(-a).b = a.(-b) = -a.b
+ Khi đổi dấu đồng thời cả hai thừa số thì tích a.b không
đổi dấu:
(-a) . (-b) = a.b
2. Các bài toán:
Bài 24: Cho a là một số nguyên dơng. Hỏi b là số nguyên dơng hay
nguyên âm nếu:
a) a.b là một số nguyên dơng.
b) a.b là một số nguyên âm.

Bài 25: Không thực hiện phép tính hãy điền dấu > hoặc < vào ô
trống:
a) -105 . 48 0 b) -250 . (-52) . 7 0
c) -17 . (-159) . (-575)
125 . 72
Bài 26: Tìm x, biết:
a. -x . (x + 3) = 0
b. (x - 2)(3x - 9) = 0 c. (3 - x)(|x + 5|) = 0
d. (|x| + 1) (4 - 2x) = 0.
4


Bài 27: Cho 11 số nguyên viết trên một vòng tròn trong đó tích của
hai số liền nhau luôn bằng 4. Tìm các số đó. Nếu viết 10 số nh
vậy thì kết quả ra sao?
Đ8. Tính chất của phép nhân
1. Tóm tắt lý thuyết:
a. Giao hoán: a.b = b.a với mọi a, b thuộc Z.
b. Kết hợp: a(bc) = (ab)c với mọi a, b, c thuộc Z.
c. Nhân với 1: a.1 = 1.a = a , với mọi a thuộc Z.
d. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
a(b + c) = ab + ac
(b + c)a = ba + ca với mọi a, b, c thuộc Z.
`* Chú ý: Khi thực hiện phép nhân nhiều số, ta có:
+ Tích mang dấu "+" nếu số thừa số âm là chẵn.
+ Tích mang dấu "-" nếu số thừa số âm là lẻ.
2. Các bài toán:
Bài 28: Bỏ dấu ngoặc:
a. (-a) (b - c + d)
a, b, c, d Z

b. (a + b) (1 + x + y)
a, b, x, y Z
c. (a - b) (a + b) - (b - a)b
a, b Z.
Bài 29: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. a(b + c) - b (a - c) = (a + b)c ;
a, b, c Z
b. a(b - c) - a(b + d) = -a(c + d) ;
a, b, c, d Z.
c. (a + b) (c + d) - (a + d) (b + c) = (a - c) (d - b);
a, b, c, d
Z.
Bài 30: Tìm x, biết:
a. |2x + 1| = 7
b. 3|x + 1| + 1 = 28
Đ9. Bội và ớc của một số nguyên
1. Tóm tắt lý thuyết:
* a, b Z nếu có q Z : a = bq. Ta nói:
a là bội của b Hoặc b là ớc của a
a chia hết cho b (a b) hoặc b chia hết a (b\a)
* Tính chất: a, b, c, m Z , b 0:
+ a b, b c => a c;
+ a c, b c => (a b) c
+ a b => am b
2. Các bài toán:
Bài 31:
a. Chứng minh rằng tổng của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3;
tổng của năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.
b. Tổng của hai số nguyên liên tiếp có chia hết cho 2 không? Tổng
của bốn số nguyên liên tiếp có chia hết cho 4 không? Có thể rút ra

kết luận gì?
5


Bài 32: Cho a, b, c là những số nguyên chứng minh rằng nếu a - b
chia hết cho c thì có số nguyên t để a = b + ct và ngợc lại.
Bài 33: Cho biết a - b chia hết cho 6. Chứng minh các biểu thức
sau đây chia hết cho 6
a. a + 5b;
b. a + 17b;
c. a - 13b.
Bài 34: Tìm các số nguyên x và y biết:
a. (x + 3)(y + 2) = 1
b. (2x - 5)(y - 6) = 17
c. (x - 1)(x
+ y) = 33.
Ôn tập chơng I
Bài 35: Cho đẳng thức: 36 = 15 + 12 + 9 + 6 + ... Hỏi tổng ở vế
phải của đẳng thức có bao nhiêu số hạng và số hạng cuối cùng là
bao nhiêu?
Bài 36: Cho 5 số nguyên a 1, a2, a3, a4, a5. b1, b2, b3, b4, b5 là một hoán
vị của 5 số đã cho. Chứng minh rằng tích (a 1 - b1)(a2 - b2)(a3 - b3)(a4
- b4)(a5 - b5) chia hết cho 2.
Bài 37: Tìm số nguyên x, biết rằng:
a. (x - 3)(x + 2) > 0
b. (2x - 4)(x + 4) < 0
Bài 38: Tìm các số nguyên x, y sao cho
(x - 2)2 . (y - 3) = -4
Bài 39: Tìm các số nguyên x, y sao cho
(x + 2)2 + 2((y - 3)2 < 4

Bài 40: Tìm số nguyên x, biết rằng:
(3x - 1)(4x - 1)(5x - 1)(6x - 1) - 120 = 0

6


Chơng II:
Số hữu tỷ
Đ1. Phân số
1. Tóm tắt lý thuyết
a

* b là một phân số với a, b Z; b 0
a

c

*b =d
*

ad = bc

a ma a : m
=
=
b mb b : m

(m 0, a

m,

b

m)

2. Các bài toán:
Bài 41:
a) Các phân số sau đây có bằng nhau không?
2
5

8

và 20 ;

10
7

20
14

và

;

12
37

và

1
3

b) Cho a và b là hai số nguyên (b 0). Chứng minh rằng các phân
số sau bao giờ cũng bằng nhau:
a
b

a
b

và

Bài 42:

;

a
b

và

a
b

a) Viết các phân số sau dới dạng phân số có mẫu dơng:
1999
2000

b) Viết tập hợp các phân số bằng:

3
7

;

7
5
;
12 4

;

22
33

Bài 43:
a) Không cần tính toán có thể khẳng định ngay các cặp phân số
sau đây không bằng nhau, tại sao?
3
5

9
2
;
13 9

và

và

6
17

;

3
5

và

b) Quy đồng mẫu các phân số:

7
2
8
3

và

10
4

;

2
5

,

1
10

và

5
6

Đ2. Tập hợp Q các số hữu tỉ.
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Các phân số bằng nhau có cùng một giá trị, giá trị đó gọi là một
số hũu tỉ.
Mỗi số hữu tỉ đều có thể viết dới dạng

a
b

với b 0 và a, b Z

* Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số:
- Chia đoạn đơn vị của trục số thành b phần bằng nhau , mỗi
phần là

1
b

.

- Nếu a > 0 thì số

a
b

đợc biểu diễn bằng một điểm bên phải

0 và cách 0 một đoạn bằng a lần của

1
b

.
7


- Nếu a < 0 thì số

a
b

đợc biểu diễn bằng một điểm bên trái

điểm 0 và cách 0 một đoạn bằng |a| lần của

1
b

.

2. Các bài toán:
Bài 44: Điền các ký hiệu N, Z, Q vào ô trống cho hợp nghĩa (trong

mỗi trờng hợp xét các khả năng có thể xảy ra).
a. 2000

b. -2000

Bài 45:
a. Tìm |x| , biết: x = -7; x =
b. Tìm x, biết:
|x| =

34
11

; |x| = 0; |x| =

Bài 46: Cho các số hữu tỷ:
x1 =

20
97

; x2 =

11
;
12
2
5

2020

9797

3
7

c.
x=

; |x| =
; x3 =

3
5



d.

3
7



;x=0

11
23

202020
;

979797

x4 =

20202020
97979797

a. Hãy so sánh các số hữu tỷ đó.
b. Viết tập hợp các số hữu tỷ bằng các số hữu tỷ trên.
Đ3. Thứ tự trong Q
1. Tóm tắt lý thuyết:
* x, y Q; x =

a
m

, y=

b
m

(m > 0)

x < y <=> a < b
x < y <=> y > x
Nếu x < y thì trên trục số điểm x ở bên trái điểm y.
* Số hữu tỷ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỷ dơng.
Số hữu tỷ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỷ âm
Số 0 không là số hữu tỷ dơng cũng không là số hữu tỷ âm.
2. Các bài toán:

Bài 47:
a. Sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự tăng dần:

3 1 7 2 7 1 5
; ; ; ; ; ;
2 12 4 3 6 3 6
b. Sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự giảm dần:
8


1 4 7
13
; ; ; 0; 4; 2;
10 5 4
5
Bài 48: Dựa vào tính chất bắc cầu của thứ tự x < y; y < z => x < z
(x, y, z Q). Hãy so sánh:
10
13
1998
1999

a.

và

11
12

b.

23
12

và

5
2

c.

3
4

và

15
14

d.

2001
2000

và

Bài 49: Cho hai số nguyên a, b trong đó
a <b và b > 0. Chứng minh:

a a +1

<
b b +1

Bài 50: Hãy viết ba số hữu tỷ; năm số hữu tỷ; mời số hữu tỷ xen
giữa hai số hữu tỷ



1
2

và

1
2

.

Bài 51: Phần nguyên của số hữu tỷ x, ký hiệu là [x] là số nguyên lớn
nhất không vợt quá x, tức là:
[x] x < [x] + 1
Ví dụ: + Vì 1 < 1,2 < 1 + 1 = 2 nên [x] = [1,2] = 1.
+ Vì 3 3 < 3 + 1 = 4 nên [x] = [3] = 3
4

3


Hãy tìm

;

1

2


; [-4] ; [-4,75] ;

4
.

3


Đ4. Phép cộng và phép trừ trong Q
1. Tóm tắt lý thuyết:
* x, y Q; x =
x+y=

a
m

a
m

, y=

+

b
m

=

b
(m
m
a +b
m

> 0)

* Mỗi số hữu tỷ x đều có một số đối, ký hiệu là -x, sao cho x + (-x)
=0
* Trừ hai số hữu tỷ: x - y = x + (-y).
2. Các bài tập:

9


2 1 7 1 5
; ; ; ;
3 4 12 4 6

Bài 52: Tìm số đối của:

. Tính tổng của

các số đối vừa tìm đợc.

Bài 53:
a. Chứng minh rằng với mọi số hữu tỷ x thì -(-x) = x
b. Chứng minh rằng số đối của một số hữu tỷ dơng là một số hữu
tỷ âm và ngợc lại.
Bài 54: Tìm x, biết:
a. x - 12 =

1
13

1 3

12 4

b. x -

=0

c. |x - 3| = 3

Bài 55: Chứng minh rằng:
a.
b.

a
a
a
+
=
;

b b + 1 b(b +1)
a
a
a
+
=
b +1
b
b(b + 1)

a, b Z , b > 0.
; a, b Z , b > 0.

Bài 56: Tìm [x], biết:
1
2

a. x - 1 < 5 < xb. x x+

1
5

<0
c. x < 17 < x + 1

d. x < -10 <

.

Bài 57: Cho x là một số hữu tỷ tùy ý, phần lẻ của x, ký hiệu {x} là:
{x} = x - [x]
Ví dụ: {1,2} = 0,2 vì 1,2 - 1 = 0,2
{-1,2} = -1,2 - [-1,2] = -1,2 - (-2) = 0,8
Chứng minh rằng:
a. Với mọi số hữu tỷ x ta đều có : 0 {x} <1.
b. {x} = 0 nếu x là số nguyên và ngợc lại.
Bài 58: Tìm {x}, biết:
x=

3
2

;

15
4

; 0,95 ; -3,25 .

Đ5. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỷ
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỷ x, ký hiệu |x| đợc xác định
nh sau:
|x| =

x nếux 0

x nếux < 0

* Trong một tổng đại số các số hữu tỷ, ta có thể:
1) Đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng.
10


2) Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý nhng chú ý
rằng nếu trớc dấu ngoặc là dấu "-" thì phải đổi dấu các số hạng
trong ngoặc.
2. Các bài toán:
Bài 59: Tính giá trị của biểu thức khi x =
A=

x+

3
2

- |x + 1| +

x



1
2

;

3
4

Bài 60: Làm phép tính sau khi br dấu giá trị tuyệt đối
a.

2
3
1
x+
2

+ |x - 3| với x 3

x+

b. -

+

1
x
3

với x > 2

Bài 61: Tìm x, biết:
a.

x

3

4
=
4
5

b. 6 -

1
x
2

=

2
3

Bài 62: Tính:
a.

1 1 1
1
+ +
+
2 6 12 20

b.

1
1
1

+
+ ... +
1.2 2.3
99.100

.

Đ6. Phép nhân trong Q
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Tích của hai số hữu tỷ x =
x.y=

a
b

;y=

c
d

đợc xác định nh sau:

a c ac
=
b d bd

* Khi nhân nhiều số hữu tỷ, ta có:
+ Tích mang dấu "+" nếu số thừa số âm là chẵn.
+ Tích mang dấu "-" nếu số thừa số âm là lẻ.
2. Các bài toán:

Bài 63: Cho x, y Q. Chứng minh rằng:
a. Nếu tích xy = 0 thì một trong các thừa số của tích phải
bằng 0.

|x |. | y | nếux, y cùngdấu
b. x.y =
(|x |. | y |) nếux, y khácdấu

Bài 64: Cho x, y Q. Chứng minh rằng:
a. -(xy) = (-x)y = x(-y)
b. |xy| = |x| . |y|
Bài 65: Tìm x, biết:
a. x (x +

5
3

)=0

) = 0 với x >

b. (x +

3
2

3

)( 4 - x) = 0

c. (|x + 1| + 2)(x +

3
5

1
3

Đ7. Phép chia trong Q
1. Tóm tắt lý thuyết:
11


* Mỗi số hữu tỷ x 0 đều có số nghịch đảo ký hiệu là x-1 sao cho
x.x-1 = 1.
* Thơng của hao số hữu tỷ x, y (với y 0) ký hiệu là x : y hay

x
y

là

tích xy-1 .
2. Các bài tập:
Bài 66: Cho x, y Q, x 0; y 0. Chứng minh:
a. (x-1)-1 = x ;
b. (xy)-1 = x-1.y-1 ;
c. (xy-1)-1 = x-1 . y .
Bài 67: Tìm x-1 , biết:
a. x = -0,175; b. x =

1 5
:
3 3

;

c. x =

1 3 4

2 4 3

;

d. x =

5
4

-

(2 - 0,75)
Bài 68:
a. Chứng minh rằng nghịch đảo của một số dơng là một số dơng,
nghịch đảo của một số âm là một số âm.
b. Tìm tất cả các số nguyên sao cho nghịch đảo của nó cũng là số
nguyên.
Bài 69: Tính:
1

a. -3 +

1
3

1

;

b. -3 + 1 + 1 ;
3

c. -3 +

1+

1
3+

1
1+

1
3

Đ8. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Phép nhân phân phối đối với phép cộng và phép trừ:
x(y + z) = xy + xz

x(y - z) = xy - yz x, y, z Q
* Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số
x+ y x y
= +
z
z z

xy x y
=
z
z z

2. Các bài toán:
Bài 70: Khai triển các tích:
a. (a - b)(a + b) + b(2a + b) - a(2b -1)
Với a, b Q
b. a(a - b) - b(b - a)
Với a, b Q
2
2
c. (x + y)(x - xy + y )
Với x, y Q.
Bài 71: Đặt thừa số chung : (a, b, c, d, e Q)
a. ab + bd - ac - cd
b. ad - bd - be + ce + cd + ae
Bài 72: Cho a, b, c, d Q. Chứng minh rằng :
a. a (b + c) - b (a - c) = ( a + b)c
b. a ( b - c) - a (b + d) = -a (c + d)
Bài 73: Tìm x, biết :
a. 3 (x + 2) - x (x + 2) = 0

12


b. 5 (x - 1) + 2x (1 - x) = 0
c.

3
5

(2x - 1) -

1
15

x (1 - 2x) = 0

Bài 74: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận
giá trị dơng
a. x2 - 4x

b. (x - 2) ( 3 - x)

c.

( x 2)( x + 1)
x 3

Bài 75: Tìm các số hữu tỉ x, biết :
a. x +2 >5;
b. x 1 <3;

c. x 5 x +2 <10
Đ9. 10. 11. Lũy thừa của một số hữu tỷ
1. Tóm tắt lý thuyết :
* Lũy thừa với số mũ tự nhiên :
xn = x.x...x (n thừa số x); n 0, x 0
Với xn gọi là một lũy thừa, x là cơ số, n là số mũ
xo = 1 (x 0)
*Các tính chất của lũy thừa ;
Với x, y Q, m, n Z, ta có :
1. xm . xn = x m + n
2. xm : xn = xm - n (x 0)
3. (xm)n = xmn
4. (xy)n = xnyn
5. (x : y)n = xn : yn (y 0)
2. Các bài toán :
Bài 76: Tính : a. (-2)3 + 22 + (-1)20 + (-2)0
b. (32)2 - (-52)2 + [(-2)3]2
2

c. 24 + 8 [(-2)2 :

1
2

]0 - 2-2. 4 + (-2)23

Bài 77: Tìm x, biết : a. x2 + 2x = 0
b. (x - 3) + 2x2 - 6x = 0
c. (x2 + 1) (x + 2000) = 0
Bài 78: Tìm n, biết : a.

1
9

. 27n = 3n

b.32. 3-5. 3n = 311
c. 2-1. 2n + 2. 2n = 5. 25
Bài 79: Tính :
a. (a - b) (a + b)
b. 1002 - 992 + 982 - 972 + ... + 22 - 12
c. (202 + 182 + 162 + ... + 42 + 22 ) - (192 + 172 + 152 + ... + 32 + 12)
Bài 80: So sánh : a. 2300 và 3200
b. 5300 và 3500
c. 230 + 330 + 430 và 3.2410
Bài 81: Chứng minh rằng :
a. 76 + 75 - 74 chia hết cho 11
b. 109 + 108 + 107 chia hết cho 222
c. 817 - 279 - 913 chia hết cho 45
d. 2454 . 5424. 210 chia hết cho 7263
Bài 82: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì :
a. 3n + 2 - 2n + 2 + 3n - 2n chia hết cho 10
13


b. 3n + 3 + 3n + 1 + 2n + 3 + 2n + 2 chia hết cho 6
Bài 83: Tìm số nguyên dơng n, biết
a. 64 < 2n < 256
b. 32 20 > 1
c. 9. 27 3n 243

d.9 < 3 < 27
Bài 84: Tìm số nguyên a sao cho :
a. 2a2 + 4a + 5 chia hết cho a +2
b. 4a3 + 14a2 + 6a +12 chia hết cho 2a + 1
Bài 85: Tìm x, biết : a. (x - 2)2 = 1 ;
b. (2x - 1)3 = -8 ;
c. (x - 1)x + 1 = (x
- 1)x + 4 .
Bài 86: tìm x và y biết: (3x - 5)100 + (2y + 3)200 0 .
_________________________________________________________
Đ12. 13. Tỉ lệ thức - Các tính chất
1. Tóm tắt lý thuyết:
Tỉ số : Thơng trong phép chia số hữu tỉ a cho số hữu tỉ
b (b 0) gọi là tỉ
số của a và b.
Tỉ số của a và b kí hiệu là



hay a : b.

Tỉ lệ thức : Một đẳng thức giữa hai tỉ số đợc gọi là một

tỉ lệ thức. Kí hiệu



a
b

a c
=
b d

hay a : b = c : d.
a c
=
b d

Tính chất: Từ tỉ lệ thức

ta suy ra ad = bc.

Từ đẳng thức ad = bc với a, b, c, d khác 0 cho ta các tỉ lệ
thức:
a c
=
b d

;

a b
=
c d

;

d
c
=

b a

d b
=
c a

;

.

2. Các bài toán:
Bài 87:
a) Thay tỉ số các số sau bằng tỉ số giữa các số nguyên:
7 4
:
5 3

; 1,7 : 0,85 ;

1
: 0,5
5

; 0,02 : 1,3 .

b) Các tỉ số sau có lập thành một tỉ lệ thức?
15
21

và

0,4 :

5
3

30
42

1
.
7
3 3
và 7 : 2

; 0,25 : 1,75 và

và

3
5

; 0,25 : 1,5

.

Bài 88:
a) Có thể lập đợc tỉ lệ thức từ các số nguyên sau đây không? Nếu
có hãy viết tỉ lệ thức đó : 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243 .
b) Tìm thành phần cha biết của tỉ lệ thức :

x
0,15
=
3,15
7, 2

;

2,6 12
=
x
42

;

11
6,32
=
10,5
x

;

41
10 = x
.
9
7,3
4

Bài 89: Tìm x trong tỉ lệ thức:
14


x 2 x +4
=
x 1 x + 7

.

________________________________________________________
Đ14. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
1. Tóm tắt lý thuyết :
a c
a a +c a c
=
( b d )
* = =
*

b d
b b+c bc
c e
c
a +c +e
a c +e
a
=
= = =
b

f
b b+d + f
bd + f
b

* Các số x, y, z gọi là tỉ lệ với các số a, b, c khi :
x : y : z = a : b : c hay

x y z
= =
a b c

2. Các bài toán :
Bài 90:Tìm x, y biết :
a.
b.
c.

x
7
=
y 13

x
y
=
19 21
x2
y2
=

9
16

và x + y = - 60
và 2x - y = 34
và x2 + y2 = 100

Bài 91: Tìm các số x, y, z biết :
a.
b.

y z
= và 4x
2 3
x 1 y 2 z 3
=
=
2
3
4

x=

- 3y + 2z = 36
và x - 2y + 3z = 14.

bài 92: Chứng minh rằng nếu:
a.

5a + 3b 5c + 3d

=
5a 3b 5c 3d

a c
=
b d

;

thì :
b.

7 a 2 + 3ab
7c 2 + 3cd
=
11a 2 8b 2 11c 2 8d 2

Bài 93: Chứng minh rằng nếu a2 = bc thì

a +b c +a
=
a b c a

.

. Điều đảo lại

có đúng không?
Bài 94: Cho bốn số khác 0 là a1 , a2 , a3 , a4 thỏa mãn a22 = a1a3 ,
a32 = a2a4 .

3
3
3
a1 + a2 + a3 a1
=
Chứng minh :
3
3
3
a2 + a3 + a4 a4
Bài 95: Biết

bz cy cx az ay bx
=
=
a
b
c

Chứng minh rằng :

a b
c
= =
x
y
z

_________________________________________________________
Ôn Chơng II

Bài 96: Tính
1 1 1
3 3 3
+ +
3+ + +
2 3 4:
2 3 4
1 1 1
2 2 2
1 +
2 +
2 3 4
2 3 4

1+

Bài 97: Tìm x, y, z biết
15


x+y=

1
2

;y+z=

1
3

;z+x=

1
4

Bài 98: Cho ba số a, b, c thỏa a.b.c = 1. Tính :
S=

1
1
1
+
+
1 + a + ab 1 + b + bc 1 + c + ca

Bài 99: Chứng minh rằng nếu : 0 <
a1 + a2 + ... + a9
<3
a3 + a6 + a9

a1

<

a2

< ... <

a9

thì

Bài 100: Viết 1999 số hữu tỉ trên một vòng tròn, trong đó tích hai
số liền nhau luôn bằng

1
16

. Tìm các số đó

Bài 101: Chứng minh rằng :
A = 75 . (41999 + 41998 + ... + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết
cho 100
Bài 102: Tìm x, sao cho :
x + 5 x + 4 x + 3 x + 1995 x + 1996 x + 1997
+
+
=
+
+
1995 1996 1997
5
4
3

Bài 103: Tìm những giá trị của x sao cho
a. (4 - x) x 4;
b. (x - 2) (x - 3) (2x - 1) (x - 3) + 3
( x 6 ) ( x +6 )

( x +5 )

Bài 104: Cho biểu thức : A = (x - 4)(x - 5)
Hãy tính giá trị của A, biết x = 7
Bài 105:Tìm các số x1 , x2 ,..., xn 1 , xn biết rằng
x1 x2 x3
x
x
=
=
= ... = n 1 = n . Và x1 + x2 + ... + xn = C
a1 a2 a3
an 1 an

( a1

0, a2 0, ... , an 0,

a1 + a2 + ... + an 0 )

Bài 106: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau khi x thay đổi :
a. A = - x2 - 2x + 1
b. B = 1 - 2 x 3
Bài 107: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau khi x thay đổi
:
a. A =

x+

2

3

+2

Bài 108: Tìm x, biết rằng : x =

b. B =

x 2 +3 x

a
b
c
=
=
b+c c+a a+b

_________________________________________________________
Chơng III : hàm số
Đ1.2. Đại lợng tỉ lệ thuận - Một số bài toán về đại lợng tỉ lệ
thuận
1. Tóm tắt lý thuyết :
* Định nghĩa : Hai đại lợng tỉ lệ thuận x, y liên hệ với nhau bởi
công thức : y = ax
a là hằng số khác 0, gọi là hệ số tỉ lệ
Ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a
* Tính chất : x và y la hai đại lợng tỉ lệ thuận thì :
y1 y2 y3
y
=

=
= ... = n = a
x1 x2 x3
xn

16


2. các bài toán :
Bài 109: Cho biết x và y la hai đại lợng tỉ lệ thuận, biết hai giá trị
x1 và x2 của x có hiệu bằng 2 thì hai giá trị tơng ứng y1 và y2 có
hiệu bằng -1
a. Viết công thức mô tả mối liên hệ giữa x và y
b. Điền vào bảng giá trị dới đây :
x

-4

-2

-1

0

1

3
2

y

3

4

-1

Bài 110: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây. Số
cây mỗi lớp trồng tỉ lệ với các số. Số cây mỗi lớp trồng tỉ lệ với các
số3; 5; 8 và hai lần số cây của lớp 7A cộng với bốn lần số cây của
lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 108 cây. Tính số cây mỗi lớp
trồng đợc.
Bài 111: Chia một số a thành ba phần A, B, C theo tỉ lệ 7; 6; 5. Sau
đó chia số a cũng thành ba phần A', B', C', nhng lại theo tỉ lệ 6; 5;
4.
a. Hỏi so với lần chia đầu, thì lần chia sau A', B', C' tăng hay giảm.
b. Biết rằng có một phần tăng 1200. Tính số a và A', B', C' trong
lần chia sau.
Bài 112: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các
chữ số của nó tỉ lệ theo 1 : 2 : 3
Bài 113: Hai ngời đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B cách
nhau 11 km để đến C. ( Ba địa điểm A, B, C cùng ở trên đờng
thẳng).Vận tốc của ngời đi từ A là 20km/h của ngời đi từ B là
24km/h.Tính quãng đờng mỗi ngời đã đi biết rằng họ đến C cùng
một lúc.
Bài 114: Chia số 210 thành bốn phần sao cho phần thứ nhất và
phần thứ hai tỉ lệ với 2 và 3, phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với
4 và 5, phần thứ ba và phần thứ t tỉ lệ với 6 và 7.
Bài 115: Nếu

1
4

của 20 là 4 thì

1
3

của 10 sẽ là bao nhiêu?

Đ3.4. Đại lợng tỉ lệ nghịch - Một số bài toán về đại lợng tỉ lệ
nghịch
1. Tóm tắt lý thuyết :
* Định nghĩa : Hai đại lợng tỉ lệ nghịch y và x liên hệ với nhau
bởi công
thức :
xy = a hay y =

a
x

; a là hằng số khác 0

* Tính chất : x và y là hai đại lợng tỉ lệ nghịch thì :
y1 x1 = y2 x2 = y3 x3 = ... = a

y1
x y
x y
x

= 1 ; 1 = 1 ; 2 = 2 ;...
y2 x2 y3 x3 y3 x3

2. các bài toán :
17


Bài 116: Trong một xởng cơ khí, ngời thợ chính tiện xong một
dụng cụ hết 5 phút, ngời thợ phụ hết 9 phút. Nếu trong cùng một
thời gian nh nhau cả hai cùng làm việc thi tiện đợc cả thảy 84 dụng
cụ.Tính số dụng cụ mà mỗi ngời đã tiện đợc.
Bài 117: Ba đơn vị cùng xây dựng chung một chiếc cầu hết 340
triệu. Đơn vị thứ nhất có 8 xe và ở cách cầu 1,5 km. Đơn vị thứ hai
có 4 xe và ở cách cầu 3 km. Đơn vị thứ ba có 6 xe và ở cách cầu
1km.
Hỏi mỗi đơn vị phải trả bao nhiêu tiền cho việc xây dựng cầu,
biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với
khoảng cách từ các đơn vị tới cầu.
Bài 118:Tìm hai số dơng biết tổng, hiệu và tích của chúng tỉ lệ
nghịch với 35, 210 và 12.
Bài 119: Chia số 393 thành những phần tỉ lệ nghịch với các số 0,2;
1 4

3 3; 5

Bài 120: Giá hàng hạ 20%. Hỏi cùng với một số tiền có thể mua thêm
bao nhiêu % hàng ?
Đ5. Hàm Số
1.tóm tắt lý thuyết :
* Định nghĩa hàm số : cho X, Y là hai tập hợp số.

Một hàm số f từ X đến Y là một quy tắc cho tơng ứng mỗi giá
tri x X
một và chỉ một giá trị y Y, mà ta kí hiệu là y
= f(x). Ta viết :
f : X Y
x y = f(x)
X là tập nguồn hay tập xác định của hàm số f
Y là tập đích của hàm số f
x là biến (x X)
y = f(x) là giá trị của f tại x
2. các bài toán :
Bài 121: Trong các tơng ứng f1 , f 2 , f 3 , f 4 sau đây, tơng ứng nào
xác định một hàm số chỉ rõ tập nguồn, tập đích và giá trị tơng
ứng của hàm số.

X

X

Y

X

Y

Y

Y
X

18


Bà 122: Bảng dới đây có xác định cho ta một hàm số không? Nếu
có hãy chỉ ra tập nguồn, tập đích và các giá trị của hàm số
a.
x
0
1
2,5 3
1
4

b.

y

0

-2

4

2

1

3

x

-2

4

0

-1

3

5

y

4,5 4,5 1

0

-4

-6

Bài 123: Cho hai tập hợp A = {-6; -4; 0; 2} và B = {3; 5}. Giữa các
phần tử của A và B cho ta các tơng ứng sau :
a. Tơng ứng f xác định bởi các cặp số (-6; 3); (-4; 5); (0; 3); (2; 5)
b. Tơng ứng g xác định bởi các cặp số (-6; 3); (-4; 5); (-6; 5); (0;
3); (2; 3)
c. Tơng ứng k xác định bởi các cặp số (-6; 5); (-4; 3); (2; 5)
Vẽ sơ đồ mũi tên của f, g và k. Tơng ứng nào cho ta một hàm số từ

A đến B ?
Bài 124: Cho hai tập hợp X = {1; 3}; Y = {0; 2; 4}. Hãy xác định tất
cả các hàm số đi từ tập X đến tập Y; từ tập Y đến tập X.
3
Bài 125: Cho hàm số : f1 ( x ) = 3x ; f 2 ( x ) =
x

1
1
f1 + f 2
3
3

a. Tính f1 ( 4 ); f 2 ( 3)

b. Tính

c. So sánh f 2 ( x ) và f 2 ( x )

d. Tìm x để f1 ( x ) = 0

Đ6. Mặt phẳng tọa độ
1. tóm tắt lý thuyết :
* Mặt phẳng tọa độ Oxy đợc xác định bởi hai trục số vuông
góc với nhau : trục hoành Ox và trục tung Oy.
Điểm O là gốc tọa độ (Hình 3).
I
II
* Mỗi cặp số (a; b) đợc biểu
M(3; 2)

diễn bởi một điểm M trong mặt
phẳng tọa độ. Ta viết M (a; b),
cặp số (a; b) là tọa đô của điểm
0
M với a là hoành độ, b là tung độ.
4

3

2

1

-4

-3

-2

1

-1

2

3

4

5

x

-1

-2

N(4; -2)
-3

III

IV

Hình 3
2. các bài toán :
Bài 126: Các điểm sau đây có trùng nhau không ?
19


a. A (3; 4) ; B (4; 3)
b. C (1; 2) ; D (1; 2)
c. M (a; b) ; M (b; a)
Bài 127: Các trục tọa đọ chia mặt phẳng thành bốn phần gọi là
các góc phần t đợc đánh số nh hình 3. Điểm A (x, y) nằm ở góc
phần t nào, nếu :
a. x > 0, y > 0
b. x > 0, y < 0
c. x < 0, y > 0
d. x < 0, y < 0

Bài 128: Tìm trên mặt phẳng tọa đô Oxy tất cả các điểm có :
a. Hoành độ bằng 0
b. Tung độ bằng 0
c. Hoành độ bằng 1
d. Tung độ bằng -2
e. Hoành độ bằng số đối của tung độ
g. Hoành độ bằng
tung độ
Bài 129: Cho hệ trục tọa độ Oxy. Tìm diện tích của một hình
chữ nhật giới hạn bởi hai trục tọa độ và hai đờng thẳng chứa tất cả
các điểm có hoành độ bằng 3 và tất cả các điểm có tung độ
bằng 2.
Bài 130: Trên mặt phẳng tọa đô Oxy, hãy dựng tứ giác ABCD với A
(2; 1); B (6; 1); C (6; 5); D (2; 5). Tính diện tích tứ giác này biết
rằng mỗi khoảng chia trên các trục số ứng với 0,5cm.
Bài 131: Tìm diện tích của một tam giác biết tọa độ ba đỉnh của
nó là A (0; 4);
B (4; 0) và C ( 1; 1).
Đ7. Đồ thị hàm số.
1. tóm tắt lý thuyết :
* Định nghĩa : Đồ thị hàm số f : X ` Y là tập hợp tất cả các
điểm có tọa độ (x, f(x)) với x X trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
A ( x A , y A ) là một điểm của đồ thị
yA = f ( xA )

2. các bài toán :
Bài 132: Cho hàm số y = 2x + 1
a. Các điểm sau đây có nằm trên đồ thị không:
A (2; 5); B (0; 1); C (3; 2)
b. Tìm tọa độ điểm D trên đồ thị biết xD =1

c. Tìm tọa độ điểm E trên đồ thị biết yE = 2
d. Tìm tọa độ điểm F trên đồ thị biết y F = 2 xF
Bài 133: Cho hàm số f : X Q
x 2x + 3
trong đó X = {-1;



1
2

; 0;

1
2

; 1}

a. Liệt kê tất cả các cặp số (x, f(x)).
b. Vẽ đồ thị của hàm số f.
Đ8. Đồ thị hàm số y = ax.
1. tóm tắt lý thuyết :
20


* Đồ thị hàm số y = ax (a Q, a 0) là tập hoẹp những điểm
nằm trên một đờng thẳng đi qua gốc tọa độ.
* Vẽ đồ thị hàm số y = ax : Ta chỉ cần xác định thêm một
điểm nữa : lấy x1 0 y1 = ax1 .
Nối O (0, 0) và M (x1, y1) ta đợc đờng thẳng chứa đồ thị hàm

số y = ax.
y
2. Các bài toán:
A
3
Bài 134: Cho hình vẽ bên (H. 8)
với x0, y0 Q.
2
y0 + 3

Hãy tính tỉ số : x 2 .
0

1
O
-2

1

-1

x

Hình 8
Bài 135:
a. Vẽ đồ thị hàm số

y=

1

x.
3

b. Gọi A là điểm trên đồ thị. Tìm tọa độ điểm A, biết yA = 2.
c. Gọi B là điểm trên đồ thị. Tìm tọa độ điểm b , biết y B + 2xB =
5.
Bài 136: Cho hàm số y : Q R
x f(x)
thỏa mãn:
a) f(0) = 0
b)

f ( x1 )
f ( x2 )
=
với x1 , x2 khác 0 bất kỳ.
x1
x2

Chứng minh rằng f(x1) = ax với a là hằng số.
Đ9. Đồ thị hàm số y =

a
x

1. Tóm tắt lý thuyết:
* Đồ thị hàm số y =

a
x

(a 0 , a Q) là những điểm nằm

trên đờng cong hypebol gồm hai nhánh nằm trong hai góc phần t
của mặt phẳng tọa độ.
- Nếu a > 0 hai đờng cong nằm trong góc phần t thứ I và III.
- Nếu a < 0 hai đờng cong nằm trong góc phần t thứ II và IV.
2. Các bài toán:
Bài 137: Điểm A (2 ;
điểm B (-3 ;



1
6

1
4

) thuộc đồ thị hàm số y =

); C(-1 ;



1
2

); D(4 ;

1
7

a
x

. Trong các

) điểm nào thuộc đồ thị

của hàm số. Vẽ đồ thị hàm số đó.

21


Bài 138: Đờng cong chứa đồ thị y = 1
3

B(n ;

2
x

1

đi qua điểm A( 2 ; m) và

). Hãy xác định m và n.

Bài 139: Cho hàm số f : Q* Q*

x f(x)
f (x )

x

1
2
thỏa mãn điều kiện : f ( x ) = x
2
1

Với hai giá trị bất kì x1, x2 khác 0 của x. Chứng minh rằng f(x) =

a
x

,

với a là một hằng số nào đó.
_________________________________________________________
Chơng III
Bài 140:
a. Cho hàm số f : Q Q
x {x} (hàm phần lẻ)
Tính f(-2,3); f(-1,5); f(1,35).
Tìm tất cả ccs giá trị của x sao cho f(x) = 0.
b. cho hàm số f : Q Q
x [x] (hàm phần nguyên)
1

Tính f(-4,3); f( 2 ); f(10)
Với fía trj nào của x thì f(x) = 5?
Bài 141:
a. Cho hàm số f1 : Q Q
x 2x2 + 1
Chứng minh rằng với mọi x Q, ta có f1(-x) = f1(x)
b. cho hàm số f2 : Q Q
x 2x3 - x
Chứng minh rằng với mọi x Q, ta có f2(-x) = -f2(x)
1

Bài 142: Tìm ba phân số tối giản, biết tổng của chúng bằng 6 8 ,
tử số của chúng tỉ lệ theo3; 4; 5, còn mẫu của chúng tỉ lệ theo 2;
3; 4.
Bài 143: Tìm tập xác định của các hàm số:
a)

y=

7
x 4

;

b) y =

8
;
x +1
2

c)

y=

1
x x

;

d)

y=

1
x +x

.

Bài 144: Hàm số f(x) xác định với mọi x Q.
1

Cho hàm số f(a + b) = f(ab) với mọi a, b và f( 2 ) =



1
2

. Hãy

tính f(2000) .
Bài 145: Tìm các số x, y, z Q, biết rằng:
(x + y) : (5 - z) : (y + z) : (9 + y) = 3 : 1 : 2 : 5 .
22


Bài 146: Cho hàm số y = -

3
x

. Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm

A(xA, yA) và B(xB, yB) thỏa mãn các điều kiện: xA - xB = 2 và yA - yB =
-6 .
_________________________________________________________
Chơng IV:
Biểu thức Đại số
Đ1. Biểu thức chứa chữ
1. Tóm tắt lý thuyết:
Một biểu thức đại số gồm các số, các chữ và các phép toán
trên các số và chữ đó.
- Những chữ đại diện cho một số tùy ý của một tập hợp số
nào đó gọi là những biến số.
- Những chữ đại diện cho một số xác định gọi là hàm số.
Một biểu thức đại số không chứa biến ở mẫu gọi là biểu
thức nguyên.
Một biểu thức đại số chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức
phân.

2. Các bài toán:
Bài 147: Viết các biểu thức đại số sau:
a) Tổng các bình phơng của ba số hữu tỉ a, b, c.
b) Tổng các nghịch đảo của ba số hữu tỉ x, y, z.
c) Ba lần tổng của ba số x, y, z trừ đi tổng các tích của ahi trong
ba số đó.
d) Tỉ số giữa hiệu của 2 với tích x, y với tổng x, y, z.
e) Thơng của tổng hai số a và b với bình phơng của tích hai số
ấy.
Trong các biểu thức trên biểu thức nào nguyên biểu thức nào
phân?
Bài 148: Trong các biểu thức đại số sau đây đâu là biểu thức
nguyên, đâu là biểu thức phân (với x, y là biến; a, b là hằng).
a) 2x(y2 + 2) + x2 - y2 ;
d)

2 x 2 3x +1
5a + 1

b)

4( x 2)( y 2 +1)
x 2

;

c)

x ( y +1)

3x + y 2
2by

;

.

Bài 149: Hãy thay x = 2; y = -1 vào các biểu thức đại số sau rồi tính
kết quả:
a)

2( x +1)( y + 2)
x 1

;

b)

y ( x 2 1)
xy y

.

_________________________________________________________
Đ2. Giá trị của một biểu thức đại số
1. Tóm tắt lý thuyết:
23


Khi thay các biến trong một biểu thức đại số bằng những

số đã cho, ta đợc một biểu thức số. Kết quả nhận đợc khi
thực hiện các phép tính trong biểu thức số đó gọi là giá trị
của biểu thức đại số tại các giá trị cho trớc của các biến.
Giá trị thích hợp của các biến là tập hợp những giá trị của
biến số sao cho các phép tính trong biểu thức luôn thực
hiện đợc.
Một biểu thức đại số nguyên xác định tại mọi giá trị của
biến.
Một biểu thức phân không xác định tại những giá trị của
biến làm cho mẫu bằng 0.
2. Các bài toán:
Bài 150: Tính giá trị của biểu thức:
a) A =
b) B =

2 x 2 + 5x + 4
với x = 1;
x2 4x + 3
x 2 ( x 2 + 2 y )( x 2 2 y )( x 4 + 2 y 4 )
x16 + 2 y16

với x = 4; y = 8 ;

c) C = (x2 - 1)(x2 - 2)(x2 - 3) ... (x2 - 2000) với x = 10.
Bài 151: Với giá trị nào của biến số thì mỗi biểu thức sau không có
nghĩa:
a)

4 xy 2 x + 7
( x +1)( y 2)

;

b)

( x 2 + 2 x + 1)( x + 4)
;
x2 + 2

c)

1
( x 1)( x 2)( x 3)...( x 1999)

.
Bài 152: Tìm giá ttrị nhỏ nhất của biểu thức:
a) (x - 3)2 + 2 ;
b) (x - 1)2 + (y + 3)2 + 1 .
Bài 153: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3

a) 7 - x2 ;

b) ( x + 2) 2 + 4 .
Bài 154: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức:
A=

10 x +15
5 x +1

nhận giá trị nguyên.

__________________________________________________________
Đ3. Biểu thức đại số bằng nhau
1. Tóm tắt lý thuyết:
Hai biểu thức nguyên hoặc phân gọi là bằng nhau nếu chúng
nhận giá trị bằng nhau tại mọi giá trị thích hợp chung của các biến.
2. Các bài toán:
Bài 155: Cho hai biểu thức: A = 2xy (x + y)2 ;
B = 2x3y + 4x2y2 + 2xy3.
a) Tính giá trị của A và của B với

x=

1
3

;

y=

1
.
2

b) Chứng minh A = B.
Bài 156: Hãy chứng tỏ rằng hai biểu thức sau không bằng nhau:
a) (x + 2)2 và 2x2 + 4 ; b) 3x - 2y và 3y - 2x ;
c) (x + y)2 và x2 2xy + y2 .
24

Bài 157: Các biểu thức sau đây đúng trong tập hợp số nào?
a)

3 x 2 ( x + 1)
= 3x 2
x +1

;

b)

x3 y 3
= x 2 + xy + y 2
xy

c) x2 + y2 =(x +

;

y)2 .
Bài 158: Chứng minh rằng với mọi a, b Q ta đều có:
a) (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2);
b) (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
c) a(a - b) - b(b - a) = a2 - b2 .
Bài 159: Cho hai biểu thức:
A=

4x 7

x 2

và B =

3x 2 9 x + 2
x 3

;

a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị
nguyên.
Đ4. Đơn thức
1. Tóm tắt lý thuyết:
Một biểu thức đại số trong đó các phép toán thực hiện trên
các biến chỉ là phép nhân hoặc lũy thừa gọi là một đơn
thức.
Thu gọn đơn thức:
- Dấu duy nhất là "+" nếu đơn thức không chứa dâu "-"
nào hay chứa một số chẵn lần dấu "-"; dấu duy nhất là "-"
trong trơngf hợp ngợc lại.
- Nhóm các thừa số là số cụ thể hay là các hằng và nhân
chúng với nhau.
- Nhóm các, xếp chúng theo thứ tự các chữ cái và dùng kí
hiệu lũy thừa để viết tích các chữ cái giống nhau.
2. Các bài toán:
Bài 160: Trong các biểu thức sau đây:
5
2

ax2yz3 ;

2
a

(xy2)2 ;

2a
z

x2y ; 5(a + 2)xy2z3 .

Biểu thức nào là đơn thức nếu:
a) a là hằng số; x, y, z là biến số.
b) z là hằng số; a, x, y là biến số.
Bài 161: Cho các đơn thức với x, y, z là các biến; a, b là hằng số:
1
7

1

1

ax3yz2; 15x(-3xy2)(2xy3z); ( 2 ax2y3)(- 3 abx3y2);
1

(3abx2y2)(- 5 ax2y2z)(-3abx3yz3) .
a) Thu gọn các đơn thức trên.
b) Xác định hệ số của mỗi đơn thức.
Bài 162: Cho đơn thức

1

3 a + x 4 y 2
a


với a là hằng số (a 0).

a) Tìm a để đơn thức luôn luôn không âm với mọi x, y.
b) Tìm a để đơn thức luôn luôn không dơng với mọi x, y.
25