Rèn luyện học sinh lớp 11 kĩ năng giải phương trình l­ượng giác

IfN

-

.

•

i l

s

1

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT
LÊ QUÝ ĐÔN

RÈN LUYỆN HỌC SINH LỚP 11
KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Người thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Lam
To Toán Trường THPT Lê Quý Đôn

Tên đề tài:

thanhlamlqd(S)gmail.conn

SÁNG KIEN KINH NGHIỆM
2012-2013

1

L TÊN ĐÈ TÀI:
RÈN LUYỆN HỌC SINH LÓP 11 KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
II. ĐẶT VẮN ĐÈ:
Phương trình lựợng giác (PTTG) là kiến thức rất quan trọng trong chương
trình môn Toán trung học phổ thông nói chung và trong chương trình môn
toán lóp 11 nói riêng.Trong các đề thi Đại học và Cao đẳng, phương trình
lượng giác luôn có mặt. Tuy nhiên, đứng trước một phương trình lượng giác
học sinh thường lúng túng không biết giải bằng cách nào hay dùng công thức
nào để giải. Vì vậy, để học tốt phần này, ngoài việc đòi hỏi học sinh phải có
một kĩ năng biến đổi lượng giác thành thạo, mà còn đòi hỏi các em phải biết
nhận xét, quan sát, sử dụng công thức lượng giác phù họp để có hướng biến
đổi đúng đắn nhằm đưa một PTLG đã cho về một PTLG đơn giản hơn. Vì
vậy, trong những năm dạy môn Toán ở các lóp 11 nâng cao, tôi luôn suy nghĩ là
làm thế nào để giúp các em có được một kĩ năng giải PTLG. Với suy nghĩ đó,
đứng ừước một PTLG tôi luôn tập các em phải biết quan sát, nhận xét về mối
liên hệ giữa các góc cung và các hàm số lượng giác có mặt trong phương tình
từ đó sử dụng công thức lượng giác phù họp để tìm ra lời giải.
Giói hạn nghiên cứu của đề tài:
-Các dạng phương trình lượng giác: Cơ bản và nâng cao.
-Một số phương trình lượng giác trong kì thi Đại học - Cao đẳng.
III. Cơ SỞ LÍ LUẬN:
Nhiệm vụ trọng tâm ở trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trồ. Đối với người thầy, việc giúp học sinh nắm vững những
kiến thức phổ thông nói chung, đặc biệt là kiến thức thuộc bộ môn Toán học
là việc làm rất cần thiết.
Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học

ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt
vào từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi
học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt. Vì vậy, ừong quá trình
dạy học giáo viên cần giúp cho học sinh cách học và biết sử dụng các kiến
thức đã học vào từng bài toán cụ thể. Mục đích là làm cho học sinh khi đứng
ừước một bài toán, các em biết cách phân tích, nhận dạng, biết chuyển bài
toán mới về bài toán đơn giản hơn hoặc một bài toán quen thuộc đã biết cách
giải. Đối vói bài toán giải PTLG cũng vậy, khi dạy học sinh phần này, ngoài
việc phải ừang bị cho các em những kiến thức cần thiết và phương pháp giải
những dạng PTLG thường gặp, bên cạnh đó giáo viên cần phải dạy các em
cách nhận dạng một bài toán, biết phân tích các yếu tố về cung góc, biết nhận
xét về các hàm số lượng giác có mặt ừong mỗi bài toán...để từ đó có thể có
các bước biến đổi phù họp nhằm đưa bài toán cần giải quyết về một một bài
toán đơn giản hơn.
IV. Cơ SỞ THỰC TIỄN:


2

Xuất phát từ thực tế giảng dạy phân môn Giải tích lóp 11. Cụ thể
chương I
- Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Đối với phần PTLG, mục
tiêu của chương là học sinh biết cách tìm nghiệm của PTLG cơ bản và
phương pháp giải một số dạng PTLG đơn giản, về kĩ năng, học sinh phải biết
giải một số dạng PTLG không quá phức tạp có thể quy được về phương trình
lượng giác đã biết cách giải. Tuy nhiên, trong thực tế các PTLG trong các đề
thi Đại học hầu hết là những PTLG không mẫu mực, một số phương trình đòi
hỏi biến đổi khá phức tạp. Vì vậy, để học sinh học tốt phần này, ngoài việc
rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi lượng giác thật thành thạo, giáo viên
cần phải dạy học sinh cách sử dụng các công thức đã học vào việc giải

phương tình lượng giác như thế nào cho phù họp.
V. NỘI DUNG:
Trước khi bắt tay vào việc giải phương trình lượng giác, các em phải thuộc
lòng tất cả các công thức lượng giác đã học và phải có kĩ năng biến đổi lượng
giác thành thạo. Tiếp đến, các em phải nắm vững công thức nghiệm của các
PTLG cơ bản và nắm vững phương pháp giải các PTLG thường gặp. Ngoài
những PTLG thường gặp mà học sinh đã được học và đã có cách giải riêng
cho từng loại, các em sẽ gặp phải một lóp các phương trình không nằm ừong
các dạng thường gặp, đó là PTLG không mẫu mực. Trong quá trình dạy phần
này cho học sinh, tôi đặc biệt quan tâm đến việc phân tích các yếu tố về
cung, góc và các hàm số lượng giác có mặt trong PTLG để từ đó hướng dẫn
các em nên sử dụng các công thức lượng giác nào cho phù họp. Sau đây tôi
xin đi vào cách phân tích để tìm lòi giải cho một số PTLG không mẫu mực
thông qua một số ví dụ minh họa.
1. Dựa vào mối quan hệ giữa các cung:
Trong khi giải PTLG, thì việc xem xét mối quan hệ giữa các cung là việc làm hết sức
cần thiết, từ đó kết họp với các công thức lượng giác để đưa về PTLG quen thuộc ỉà
một vấn đề then chốt. Chứng ta xét các vỉ dụ sau đây đế thấy được việc xem xét mối
ỉiên hệ giữa các cung quan trọng như thể nào.
Bài 1: (DIIXD -1997)
IfN................................................1
- . • il s 1.................................1
SÁNG KIEN KINH NGHIỆM......................1
, 1 . 2 _ 1 { ■ (A Tỉ ' ■ „...................13
1 , ,...........................................13
cung 2x cỏ thể đưa về cung 4x bằng công thức nhân đôi. Với nhận xét trên ta có cách
giải bài toán như sau:


3

Giải:

Điều kiện:

4}

^

cos| X- — 1^0

ị
n \
ị
Cí> cos * - — Lcos * + —

n

,

-

n
cos x + — 7^0 4y

<=> — cos2* + cos— íOo cos2* íOo sin2* ^ ±1.
2{ 2j
pt <=> sin4 2x I cos4 2x - cos4 4x o 1 2 sin2 2xcos2 2x - cos4 4x
1—sin2 4x = cos4 4x <^> 2cos44x + sin2 4x - 2
=02

o 2cos4 4x I (1 cos2 4x) 2 - 0 o 2cos4 4x cos2 4x 1-0
sin 2* = Oựhoa)
2
Cí> cos 4* = 1 cos 4x —> sin 4x - 0 c— - — (loai)

— . cos 2* - 0 (loai)

>

=&

JI

2

Chú ý: Đối với PTLG trên, việc nhận xét tổng hai cung ị [ ~ ~ x + ị — + x^ = — là
rất cần thiết, bởi nếu không cỏ sự nhận xét đó, mà quy đồng và biầi đổi thì phương
trình trở nên rất phức tạp. Với sự nhận xét về tong hai cung như bài toán trên, giáo
viên cỏ thế cho học sinh rèn luyện thêm bài toán tương tự sau:
Bài 2: (ĐHGTVT -1999)
Giải phương trình: sin4 * + cos4 * = -cot(x + —).cot(— x)
8

3

6

Bài 3: (ĐHDBB-2003)

Giải phương trình: 3cos4* 8cos6* + 2cos2* + 3 =

0 Giải:
Nhận xét 1: Trong phương trình chỉ xuất hiện cung 4x và cung X, ta nghĩ đến việc
đưa 4x về cung X bằng công thức nhân đôi, cụ thể như sau:
cos4a; = 2cos22a; 1 = 2(2cos2 X l)2 -1 = 8cos4 X 8cos2 X 1.

Từ đó ta có cách giải sau:
Cáchl: Phương trình c=»4cos6x

12cos4x + llcos2x 3 =

0(pt bậc 6 chẵn)
Í=1

Đặt: í = cos2 ;t,0 < í < 1
t

Khi đó ta có: 4i3 -12i2 + llf-3 = 0<íi>

2_(thoadk) ~2


4cosỂ* 12cos4ж + llcos2ж 3 = 0
sin2 X - 0

sin* = 0

1 + COS2* 1 Cí>
----------------= —
22

COS х-ĩ

2 ĩ COS

C
5
>

X- — 2

1

Do đó:

„ло

COS 2x - 0

X

= кл

л , 7Ĩ.

2x = —b kn
2

—h к—
А 4 Л
2

coslx - 0 ö X - — + k—
X =

7Ĩ

- Ị 7Ĩ

ATííớì xét 2: Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cosx ta có thể nghĩ đến
việc chuyến về cung 2x bằng công thức hạ bậc và từ cung 4x ta chuyến về cung
2x bằng công thức nhân đôi, với hướng suy nghĩ đó, ta có cách giải khác như
sau:
'1Л

-2
,4 -/l+cos2a:Y
-fl+cos2*A „
Cách 2: pt <=> 3(cos 2x 1) 8 ———— + 2 ———— +3 = 0 л

3

2

Cí> COS 2x 3cos 2x I 2cos2x

„

_
2

7ĩ7

<=>

х- — +

Х- — +

«

2x - к2л

-1

71*71

к л^

29

cos2x - 0 cos 2x

- 0 cos2x(cos22x 3cos2x 2) - 0 c_>

4
X - кл

К—

2

Nhận xét 3: Từ sự xuất hiện các hệ sổ tỉ lệ xởi nhau, ta nghĩ đến việc nhóm các hạng
tử và đưa về phương trình tích. Từ đó, ta có cách giải sau:
Cách 3: pt <=> 3(1 cos4x) 2COS2 x(4cos4 X 1) = 0

о 3.2cos2 2x-2COS2 x(2cos2 X + l)(2cos2 X -1) - 0 < > 6cos2 2x-2cos2 x(2cos2 x+1)COS2x - 0
Cí> cos2x[3cos2x COS2 x(2cos2 X I 1)]- 0

3(2cos2 X 1) 2cos4 X- cos2 X - 0(1)
COS2 X -1

4

2

2

ptỌ)a> -2cos x +5cos x 3 = 0c=>

3/7

л

о sinï = о о X =

COS X — — ụoai j

ĐS: х<=\- + к^-'кл

4

2

Bài 4: (ĐH-B2003)
Giải phương trình: cot X tan X + 4 sin 2x =

sin2x

Giải:
Nhận xét: Từ sự xuất hiện hiệu cotx-tanx
và sin2x ta xem chúng có mối
quan hệ nào, cỏ đưa được về nhân tử chung hay cùng một cung hay không?
rrt r

Ta

^

có:

sin X. COS X

^

COS2 X — sin2 X 2cos2x J Л -4 r í ,

cotx-tanx

=

—:

sin2x

,

7

.7

= ——, từ đó ta có cách giải như sau:


sin* ÍÈ
0

kn

ĐK:
tànx- 1
V2 \

sin 2x= —— (thoa)

IfN.....................................................
- . • il s 1......................................
SÁNG KIEN KINH NGHIỆM...........................
, 1 . 2 _ 1 { ■ (A Tỉ ' ■ „........................
1 , ,................................................
2
Giải phương trình:

Bài 5: (ĐHA2008)
sinx

3TZ\

sin(x - —)

= 4sin(— *)
4

Nhận xét: Với bài toán này, có lẽ khó khăn mà các em gặp phải đổ là sự xuất
-Ị . .
9y.
3íZ" ^ 7 JI rr> >
Xí 7 - ' 7 •
_
"3^
hiện của hai cungx —rvà —-X. Từ sự xuât hiện hai cưng x--r- và —-X 2 4
chứng ta nghĩ đm việc đưa hai cưng về một cung X. Đe làm được việc đó, đầu
tiên là ta nghĩ đầi sử dụng công thức cộng hoặc công thức về cung góc có tiên
quan đặc biệt. Với hướng suy nghĩ đó ta có các cách biến đổi sau:

2 4

Giải:

+ Cách 1: Sử dụng công thức cộng:
rp /

. 1 3 TT ]

.

3?Z”

. 3 7Ĩ

la Có: sin *—— ^sinx.cos— cosx.sin—= cosx
IfN.....................................................
- . • il s 1......................................
SÁNG KIEN KINH NGHIỆM...........................
, 1 . 2 _ 1 { ■ (A Tỉ ' ■ „........................
1 , ,................................................
Pt w ——h—-— - -4sin(* + — ) Ci» sin X + cos X - -2V2 sin X.cos x(sinX cos x )
smx cosx

4

sin X + cos * = 0
= U« r
c=>
2v2 sin*.cos* + l = 0

(sin * + cos * fay/2 sin*.cos* + l)= 0

X-- — + kn
n
X
=-4

4
X-Ci 2 x = - — + k i n
4
>
5 7Ĩ
5
2 x - — + klĩĩ
X- —
4

8


KL : Nghiệm của phương trình là: x = -— + k j ĩ - , x = - — + kn-,x =
— + kn Bài 6: (ĐHD-2009)
Giải phương trình: -\/3 cos5x-2sin3xcos2x-sinx - 0 Giải:
Nhận xét l:Từ sự xuất hiện các cưng 5x, 3x, 2x, X và 3x + 2x = 5x ta nghĩ đến việc áp
dụng công thức biến đỗi tong thành tích để đưa về cung 5x. Cồn cung X thì thể nào,
giảo viên hướng dẫn học sinh trong phần chú ý sau bài toán.
pt o -\^cos5*-(sin5* + sin*)-sin* = 0o — cos5x-— sin 5* =
sinx
» sin(— 5%) = sin * »

n

Jĩ

71

,

X — — tels

3
71

X = —-~k —
Chú ý: Đối vói phương trình dạng <2sinx I ècos X <2'sin foc I b'coskx thì phương pháp giải tương tự như đối vói phương trình
dạng «asinx b c o s x - c . Để khắc sâu dạng này, giáo viên cho học sinh giải
thêm các phương trình sau:
a) sin3x - -J3 cos 3x = 2sin 2x.
b) 2(cosx+'Jïsm.x)cosx-cosx -N^sinx+1. (ĐH-B2012)

HD:
a)

sin3x •n/3cos3x = 2sin2x.c=> 2(— sin3x yỊ3cos3x) = 2sin2x

Cí> sin(3x —) - sin 2x
b)

2(cosa;+ y l 3 s i a x) c os x- c os x- - j 3 s m x

+ l c^ c os 2 x+ - j 3s i a 2 x- c os x- y l 3 s i a x


— 7Ĩ x _ _ y
X
Cí> cos(2x - —) = cos(x + —)

2. Biến đổi tổng thành tích và ngược lại:
Trong PTLG nấỉ xuất hiện tích của các hàm sổ lượng giác sin và cos thì ta có thế bìm đổi
thành tống (mục đích là tạo ra những đại lượng giống nhau để rút gọn). Nầi xuất hiện
tổng thì ta biến đổi thành tích (mục đích là làm xuất hiện nhân tử chung). Đặc biệt khi
dùng công thức bỉm đối tống thành tích ta thường ghép những cặp sao cho tổng hoặc
hiệu hai cung bằng nhau.

Bài 1: Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x = 0.
Giải:
Nhận xét: Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của sin (hoặc cos)ta. cần
để ỷ đm cung để sao cho tỏng hoặc hiệu các cung bằng nhau. Cụ thể:
pt o (sin 6x - sin x) + (sin 5* + sin 2x) + (sin
7x
. /X

4x + sin 3x) = 0 7x 5x _ . 7x 3x _ .
0

3*

„ . IX

óx

„ . IX

X

» 2sin---cos—- + 2sin---cos—- + 2sin---cos:- 2 2 2

- . Ix (

5* * ì 3*
2
2

Cí>2sin--- cos —— + cos _ +COS—21

2

V Xí

2

2

^

2 = 0« 2sin—- 2cos—.cosx + cos — =0 2 i,

22)

kln
IfN.....................................................
X ------ . • il s 1......................................
7
SÁNG KIEN KINH NGHIỆM k2ĩĩ X71- —
H---------—
................................................
3

3
2n . „
, 1 . 2 _ 1 { ■ (A Tỉ ' ■
«=±—+
„..................................................
kln 3
1 , ,................................................

cos— — 0 <=> 2
2COSX + 1 = 0

Bài 2: Giải phương trình: cos3x.cos3 * - sin3*. sin3 * -

2 3 yỉĩ.

Nhận xét: Đối với phương trình này, nầi ta sử dụng công thức nhân ba thì cũng đưa
đầi được phương trình giải được nhưng khá phức tạp, hơn nữa học sinh lại it nhớ công
thức này. Vì vậy, giảo viên có thể hướng dẫn học sinh khéo ỉẻo phân tích để áp dựng
công thức biầi đổi tích thành tong.
Giải:
2
.2
2-3ylĩ
pt <=> (cos3x. cosx).cos
* - (sin3x.sin x).sin X -------1 2 / .
i
1-2 / _ ^
2 — 3*JĨ
—--------------------------------------------------------------------cos x(cos 4x + cos2x) —sin
x(cos2x - cos4x) =------------------------------------------------

2-3^2
cos X. cos 4x + cos cos 2* - sin X. cos 2x + sin X. cos 4x -


2-2
2-2
2-3^2
2
2 3yJĨ
» cos4*(cos x + sin x) + cos 2x(cos * sin *) =------------------»cos4* + cos 2* =--------4
4
Cí> cos4x + — (l + cos4x) = -—Ĩ2ỈẴ <^> 4cos4x+2(l+cos4x) = 2 3-JĨ
Cí> 6cos4* = 3^2 c=> cos4* = -2Ẽ- <z> cos4* = cos— Cí> 4* = +— + k2ĩr
2
4
4
oX -

3/ĩ kn
± — + -7-.

16 2

Cách 2: Ngoài cách trên, học sinh cỏ thế sử dụng công thức nhân ba, tuy nhiên khi dùng
công thức này học sinh phải chứng minh và việc chứng minh cũng khá đơn giản.
Ta cỏ:
cos3x.cos3 X sin3x.sin3 X = cos3x| —cos3x I —cosx l sin3x — sinx — sin3x

IfN.....................................................
- . • il s 1......................................
SÁNG KIEN KINH NGHIỆM...........................
, 1 . 2 _ 1 { ■ (A Tỉ ' ■ „........................
1 , ,................................................
Bài 3: (ĐH-D2012)
Giải phương trình: sin 3* + cos 3* sin * + cos X - ~ỊĨ cos 2x.
Nhận xét: Trong vế trải của phương trình xuất hiện các cặp (sin3x sinx), (cos 3* + cos x),
đồng thời 3x X 4x, ta nghĩ đến công thức bỉm đỗi tổng thành tích để xuất hiện nhân tử
chung cos 2x.

Giải:
pt <=> (sin 3x sin x) + (cos 3x I cos x) -Jĩ cos 2x - 0
Cí> 2cos 2x.sin X I 2cos 2x.cosx
cos 2x - 0 2sinx + 2cosx

Vĩcos 2x - 0

*J2 = 0

Cí> cos 2x(2sin * + 2cos * - Vĩ) - 0
71

ĩ _ 2x - —

+ kn

Cí
>

sin * + cos * =

2

<
=
>

71 kn
X-— +
—
IfN.....................................................
- . • il s 1......................................


SÁNG KIEN KINH NGHIỆM...........................
, 1 . 2 _ 1 { ■ (A Tỉ ' ■ „........................
1 , ,................................................
71

,„

x = —— + k2n
X=

12
In , - _

—— + №

12

n


Khi gicd phương trình lượng giác, gặp bậc của sin và cos là bậc hai ta thường giảm
bậc bằng cách dừng các công thức hạ bậc, từ đó đưa vê phuơng trình lượng giác cơ
bản.
Bài 1:
Giải phương trình: sin2 * + sin2 2x + sin2 3x - —.

Nhận xét: Từ sự xuất hiện bậc chẵn của sin và tống

6x + 2x

4x, ta nghĩ đầi

z

việc hạ bậc và sử dụng công thức bỉm đổi tổng thành tích, tiếp đầi nhỏm các hạng tử
đưa về phương trình tích. Cụ thế:
pt o cos 2x + cos 4x + cos 6x - 0 « cos 4x + (cos 2x + cos 6x) = 0 <=> cos 4x + 2 cos 4x. cos 2x
-0
71 kn
X
—
cos 4x - 0
8 4
<=> cos 4x(2 cos 2x +1) cos 2x-~
2 71 ,

0
—2
* = + — + kĩT
3

Bài 2: (ĐH-B2002)

Giải phương trình: sin2 3* - cos2 4x - sin2 5* - cos2 6x

Giải:
Nhận xét: Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin và cos ta nghĩ đầi việc hạ bậc và
kết hợp với công thức biến đỏi tổng thành tích để đưa về phương trình tích. Cụ thể:
1 cosóx 1 cos8x 1 coslOx 1 Icosl2x
pt ——---------------—-----=---------------------------22
2
2

(cos 12x - cos10x) -(cos 8x- cos 6x) - 0 < >

2cosllx.cosx-2cos7x.cos X - 0

cos x(cos 1 lx - cos Ix) 0 <:> cos x.sin9x.sin 2x0 <: >
sin9x = 0
9x = kn
x = k9
n'
sin 2x = 0
2x = kĩĩ
x = k-"2
_

Bài 3: (DII- A2005)
Giải phương trình: cos23*.cos2x cos2 X = 0.

Giải:
pt <=>(1 + cos6*)cos2x \ cos2x~ữ o cosóx.cos2x \-ữ
— (cos4x I cos2x) 1- 0 <— cos 4x cos 2x 2 - 0

sin 9x. sin 2x = 0


o (2cos22x 1) I cos2x 2- 0 o 2cos2 2x I cos2x 3 - 0
cos2* = 1

2x =k2n <—> X - kn.

cos 2x - — {loai)

Bài 4: (ĐH-D2003)

Giải phương trình: sin2(- — ).tan2 * cos2 — = 0.
Giải: ĐK: cosx^Qo — +
pt — 2 l-cos(*-—)

kjĩ(*)

sin *
1
„
.

2 „
X
x
—-3— = — (l+cosx) <íi> ợ-sin*).sin
* = Ợ + cos*).cos *

2

cos X 2
» (1 sin x).(l cos x)(l + cos x) (1 I cos x).(l sin x)(l + sin x) Cí> (1
sin x).(l + cos x).(sin * + cos x) - 0
sin* = 1 cos
X = -1 <=>

X —

71
I„
— + k2 ĩĩ

2

X = 71 + kln X

tan* = 1

= -—

+ kĩ ỉ

Kết họp với điều kiện (*) ta có: s = I* = lĩ + k l ĩ ĩ , x = -—+Jbr Ị
Chú ý: Trong phương trình trên, ta ỉoại nghiêm bằng cách biấi dim ngọn cung đầi
kiện và ngọn cưng đáp số trên trên đường tròn lượng.

4. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và các đẳng thức lượng giác thường gặp:
Bài 1: (ĐH-D2007)
Giải phương trình: Ị^sin - + cos - j + %/3 cos X = 2 Giải:
pt o 1 + 2sin—cos — + -Jĩ cos * = 2 e=> sin X + £ cosx = 1 :PTBN đối vói sinx và cosx 2
2

ĐS: x-— + k2n,x--— + k2jĩ.
26

Qua vi dụ này, giáo viên nên nhắc ỉại cho học sinh ghi nhớ phép bỉm đổi quen thuộc:
Isinx+cosxl2 - l+sin2x hoặc biển đổi ngược lại khi cần.
Bài 2: (ĐH-D2005)


Giải phương trình: cos4*+sin4* + cos^* —ỊsinỊ^3* — -- = 0

Giải:

Nhận xét: Từđẳngthức sin4x cos4x 1 —sin7 2xvà 3x — X — 2x ta
nghĩ đến việc đưa về cùng một cung đó là 2x. Cụ thể:
, 1 . 2_

1 { ■ (A Tỉ '

■„

píci>l —sin 2* + — sin 4* — +sin2*
2
2^2 J

1
2,, 1
sin—sin
4x~—2x+sin2*
Cí>
+
—2
2

-1
2

=

0

1,,
= 0 Cí> — sin 2.X — cos4x + sin2.X — 1
=0
2

o sin2 2x (1 2sitíỉ2x) + sití2x 1 = 0 o sin22x+sin2x 2 = 0
Cí> sin 2x -1 c=> * = — + kn.
4

*Qua vi dụ này, giáo viên nên ĩ m i ỷ cho học sinh biầỉ thức sin4 * + cos4 * cổ thê

đưa vê theo sin2 2x, cụ thê:
sin4 * + cos4 x = \- ị-sin2 2x.
2

Hoặc cũng cỏ thể bìm đỗi sin4 * + cos4 * theo cos4x, cụ thể:
sin4 x + cos4 * = 1-Ạsin2 2x -1- — (l-cos4x) = — + — cos4*.
2
4
4 4

Bài tập tương tự:
a) sin4 — + cos4 — = 1 2sin*
22

b) cos3 * - sin3 * = cos2 * - sin2 *
c) cos3 * + sin3 * = cos 2x
cos4 * + sin4 * 1
^
d---------- )------ = — (tan* + cotx)
sin2x 2
6

e) sin * + cos6 * - cos 4x

5. Đưa về phương trình tích:
Đây là loại phương trình phong phú và đa dạng nhất. Phương trình loại này
không có phương pháp giải cụ thể, mà chủ yếu dựa vào kinh nghiệm, khả năng
biến đổi lượng giác của mỗi học sinh, mục đích cuối cùng là làm xuất hiện
nhân tử chung. Xu thế trong đề thi Đại học của các năm gần đây, phương trình
lựợng giác thường đưa về phương trình tích bằng cách sử dụng các công thức

lượng giác, các phép biến đổi lượng giác, các kĩ năng tách nhóm, đặt nhân tử
chung. Sau đây là một số lưu ý và các ví dụ minh họa.


Một số limỷ khi tìm nhân tử chung:
*Các biầỉ thức:
1
;
/;
\2
„
.
1+Sin2x (sinx-cosx) ; cos 2x - (cos X sin x)(cos X sin x); 1 tanx sinx + cos* ,

J

J

,

7

^ sinx + cosx

cosx

.

; 1 + cot * =------------đo đó có nhan tứ chung lá: sinx+cosx.
sin*
*Cảc biầi thức:
l-sin2x = (cosx-sinx)2; cos2x = cos2x sin2*; l-tanx =
sinx-cosx ' 1 1
•
1 - cot X -------------- có nhân tử chung là: cosx - sinx.
sin*

cosx

*Cảc biầi thức:
sin2 * và tan2 * cổ nhân tử chung là (1 cos x)(l+cos x). *Cảc

bỉm thức:
cos2 X và cot2 X cỏ nhân tử chung là (l-sinx)(l-sinx).
Bài 1: (ĐH-D2004)
Giải phương trình: (2cos X - l)(2sin X + cos x) = sin 2x - sin X.
Giải: pt <=> (2cosX-1)(2sinX - cosx) - sin2x-sin*
Cí> (2 cos * -1)(2 sin * + cos x) - sin x(2 cos * -1)
r

7

1
X = 1 cos x) - 0
Cí> (2 cos X - l)(sin X + 2cos* 1 = 0
>
cosx = —
Cí>

2
—
3
Bài 2: (ĐH-A2007)
sinx + cosx = 0
tan* = -1
X- n
Giải phương trình: (1+sin2
7

x)cosx+(1+ cos2 x)sinx = 1+ sin2x. Giải:
pt <=> cos X sin2 X. cos X + sin X+ cos2 xsinx - (sinx cos x) 2
o (cos X sinx) sinx. cos x(sin X + cos x) - (sinx cos x) 2 (cos X

- sin x)(l - sin X. cos X - sin X - cos x) 0 sin * + cos X -0
1 + sin x.cosx-sinx -cosx = 0
Vóipt(l)tacó x = -— + kn

Vói pt (2): Đặt t = sìíia; + cosx, ta đựợc pt: t2 2t +1 = 0 <=>t = 1


Giải pt sin* + cosx 1 w 4 ĩ s m ( x I —) 1 '=>
=
7Ĩ
x+—
4
X - k2n
71
x+—■
4

n

2

sin(x + —)

n

——

Cí
>

4
3ỉĩ
——

4

ĐS: X + kĩĩ, X - — + k2jĩ, X — k2n 4
Bài 3: (ĐH-B2007)

* = — + k2ĩĩ

2

Giải phương trình: 2sin2 2x- sin7x-l - sinx.

Giải:

pt o sin7x sinx (1 2sin22x) = 0

cos4* = 01
Y_

Cí> 2cos4*.sin3* cos4* = 0 Cí> cos4*(2sin3* 1) = 0 Cí>
4x = — + kĩi

cos 4x - 0
. _ ■ ĩĩ <=>
sin3* = sin —

sin3* =
—2
7Ĩ *71 X-—+k—

2
3x — — + k2n
6
Sn
3x - — + klĩT
6

84
Jĩ , 'In
X — —+k—
18 3
Sn . 271
x = — + k—
18 3

Bài 4: (ĐH-D2008)

Giải phương trình: 2sinx(l+cos2x)-sin2x-1-2cosX.
Giải:
pt < > 4sinx.cos2 x + 2sinx.cosx -1-2cosx
Cí> 2sin*.cos*Ợ + 2cosx) = 1 + 2COSX Cí> (1 + 2cos*).(sin2*-l) = 0

IfN................................
- . • il s 1.................
SÁNG KIEN KINH NGHIỆM......
, 1 . 2 _ 1 { ■ (A Tỉ ' ■ „
..............................
1 , ,...........................
sin2* = l

k7i
4

Bài 5: (ĐH-B2010)
Giải phương trình: (sin2* + cos2x)cosx + 2cos2x sinx = 0.

Giải:


pt Cí> sin2 x.cos* + cos2 x.cos * + 2 cos2 x-sinx - 0 Cí> 2sin

x.cos2x sinx I cos 2x.cosx 2cos2x - 0

o sin x(2cos2 X 1) I cos 2x(cos X+2) =
0 Cí> sin X. cos 2x + cos 2x(cos X I 2) - 0
Cí> cos 2x(sin * + cos X I 2) - 0
sin(x + —) = yỉĩựoai)
cos 2x - 0 ^ V2sin(x + £)
4
ơ
= -2 2x = — + kn

71 - 7Ĩ

<=> X - — + k— .

Bài 6: (ĐH-D2010)

Giải phương trình: sin2x cos2x+3sinx cosx 1 = 0.
Giải.
2sin X. cos X - (1 - 2 sin2 x) + 3 sin X - cos X - 1 = 0
o cosx(2sinx-l) + 2sin2 x+3sinx-2 = 0 o cosx(2sinx-l) + (2sin 2 x+4sinx)-(sinx+2) = 0 (tách
pt

3sinx - 4sinx sinx)
Cí> cosx(2 sinx 1 ) 2 sinx(sinx 2 ) (sinx 2 ) = 0 Cí> cos

x(2sin X 1) (sin * + 2)(2sin X 1) - 0
sin * = —
2 « sinx
+ cosx = 2

(2sin * -l)(cos* + sin* + 2) = 0o

n
sin* = sin —
6
o
sin(x + -) = -yỈ2(VN)
4

sin* = sin —
V2sin(* + -)= 2 4

71 , „

.

X

c=>

------h kín
6

* = — + k2n 6

Nhận xét: Trong bài tập trên, để đưa phương trình đã cho về phương trình tích ta đã
khéo léo tách 3sinx - 4sinx sinx
Bài 7: (ĐH-A2010)
Ợ + sin* + cos 2x).sin(x + —)

Giải

phương
trình:
--------------------------------------------------—
1+ tanx

Giải:ĐK: cos x^ữvà tan X ^ 1. Khi đổ:
pt

-Jĩ

sin(x + —)(1 + sin * + cos 2x ) = (1 + tan x). cos X
4
„ sinx + cosx

Cí> (sin * + cos x)(l+sin * + cos 2x) -----------------. cos X

cosx

a> (sin* + cos x)(sinx + cos2x) - 0

1

cos X .


Cí>

sin * + cos * = 0 sin* + cos2 x = 0
*sin.x+cos.x = 0 <^> tan.x= 1 (loại)

*sinx +cos2 x = 0 » 2sin2 X sin* 1 = 0<=>

cos * = 0 (loai)
Cí> sin* = sin(-—)

n»

71

,„

sinx = l
.
1
sin* = —
2

X ----h kỉ.71
6

In , „
X =--h k LTĨ

Chú ỷ: Trong phương trình6 trên, ta đã kết hợp nghiệm bằng phương pháp biểu diễn
nghiệm của phương trình hệ quả và điều kiện của phương trình ban đầu qua cùng
một hàm số lượng giác.

Bài 8: (ĐH-A2011)
1

. \ , l + SĨn2*+COS2*

Giải phương trình: -----

1+ cot X

„

-----= V2 sin x.sin 2x.

Giải: ĐK: sinx^Oc^>cosx^ ±1 o i # k pt
(1+sin 2x+cos 2x).sin2 X - 2 V2 .SÌÍI2 X. cosx »1 +
sin 2x + cos 2x = 2V2.COS X (do sinx 0)
Cí> 2sin*cos* + 2cos2 * 2 V2 .COS* = 0

0 2cos x(sin X+cos X -Jĩ) = 0
cos * - 0 ịthoà)

x

2

sin X + cos X- 4Ĩ ~ x _ L ị k l ĩ ĩ ạ h o a )
Bài 9: (ĐH-A2012)
Giải phương trình:sin 2x+cos 2x - 2cos X -1.
Nhận xét: Trong phương trình trên, ta nhận thấy có sự xuất hiện của sinlx, 2cos.It và
cos2x+l ta nghĩ đến dùng công thức nhân đỗi bìm đổi sin2x,
1 + cos 2x đế xuất hiện nhân tử chung 2 cos X.

Giải:

pt o -\/3sm2.it+(cos2.it + l) 2COSX = 0 o 2^sinx.cosx+2cos 2 X 2cosx = 0

y—
2cos*(v3sin*
+ cosx-l) = 0
v
’

3

r cosx = 0

r «»* = 0

Ị- „í
L^sinx + cosx = l
r

1
3


X

= "7

X - —

+ k2n 2

- _

<=> X

-

*-—=±—+
k 2 n 33

3
X

+

2
+

ki n

- k2n

Ngoài việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải PTLG, thông qua mỗi vi dụ trên giảo
viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng kết họp nghiệm trong PTLG cỏ điầi kiện. Đế
giúp các em có kỹ năng tốt trong việc kết hợp nghiệm, thông qua một sổ vỉ dụ giáo
viên cỏ thể đúc kết lại một sổ phương pháp pho bỉm thường dừng khi kết hợp nghiệm.
Cách 1: Biầi diễn nghiệm của phươngtrình hệ quả và điều kiện của phương trình
ban đầu qua cùng mội hàm sổ lượng giác
Vi dụ 1: (Tụp chỉ Toán học Tuồi trẻ thảng 11/2009)
1 12
Giải phương trình:

+
—
cos X sin 2x sin 4x

rsin*?i±l
í sinx?í±l
Giai: ĐK: ^sin2x^0e^ sinx^O o sinx^o ị sin 4x^0cos2x?
cosx^O

2

2sin *?t0
pt Cí> 4sin
x)-2~0

sinx^ 0
Jĩ

í0

1

sin * * + —2

*.cos2* + 2cos2* = 2 o 4sinx(l-2sin2 x) +

c^>sinx(2sin2x + sinx-l) = 0 o

sin* = 0 2sin2 X+ sinx
1=0

Giải phương trình: <— cotx sin x(l tan X. tan—) - 4 .
cosX 7^0

Gicả: ĐK: ị sin * ^ 0 <=> sin 2x 0
X
cos -7 ^
0.2

2(l-2sin2

sin * = 0
sin X - -1

1

sin* =
—2


21

cosx .

.
* .7.sin -7 .
sin *
2

_

pt
Cí>
---------------hsin*(lH----—.-------—) = 4

sin*

cosx

X

cos —
2
cosx

IfN...................1
- . • il s 1....1
SÁNG KIEN KINH NGHIỆM
, 1 . 2 _ 1 { ■ (A Tỉ ' ■
.................13
1 , ,..............13

x = — + kjĩ
12

5n,

X

= —— + kĩ i

12

sin 2x

...................
„

= 4<=> — ---------------1---— = 4
o■
sin X cos X

1
7Ĩ
—> sin 2x - — (thỏa mãn cík) <=> sin 2x - sin — «
2
6

Khi dùng phương pháp này, các em cỏ thể kiần tra điầi kiện ngay trong quả trình giải
chứ không cần phải đến kết quả cuối cùng. Chăng hạn, các PTLG trong đề thi Đ H B 2003, A - 2011, ĐHXD -1997.
Cách 2: Thử trực tiếp.
Vi dụ 1: Giải phương trình: cos 3x.tan5x-sin7x
Giải: ĐK: cos 5x^0
pt cos 3*. sin 5x - sin 7X. cos 5* <=> sin 8* + sin 2x - sin 12* + sin 2x <=;> sin 8*
= sin 12*

Cí>

x=k-

71

,

X — ——b k

2

n

— 20 10

*Với X - k— thì :cos5* = cosẼằĩL - cosỢc — + kín') = c o s í O c > k - 2m(m e Z)
*Với X — — + —— thì: cos 5* = cos(— — k —)
— 0 20
10 4
2

Vậy phương trình đã cho cỏ nghiệm là: x - k / T \ x - — +
Vi dụ 2: Giải phương trình: 3sinx 2cosx-3(l tanx)
Giải: ĐK: cosx-0 < >sinx^±l pt<^> cos *(3 sin * +

k—.
cosx


22

2 cos x) - 3(sin X + cos x)-l Cí> cos *(3 sin * + 2 cos
x) - cos X - 3sinx 2 cos X 1 Cí> cos x(3 sin X - 2 cos X

-1) - (3 sin X + 2 cos X -1)-0
» (3sin* + 2cos* l)(cos* 1) = 0<=>

cos X 1- 0(1)
3 sin X + 2 cos x-1- 0(2)

X

2


*(1) <=> cos * = 1 (thỏa đk), do đỏ ta được: X - k2n

*Thay cosx-0 và sinx = ±1 vào (2) ta được: ± 3-1 = 0 (vô ìý). Tức là các
nghiệm của (2) đều thỏa mãn đều kiện.

Cách 3: Biểu dỉễtt trên đường tròn lượng giác (ĐTLG).
Khi gặp PTLG mà việc biếu dễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung đáp số không
quá phức tạp, học sinh cỏ thể dừng ĐTLG để kết hợp nghíệmGiảo viên hướng dỗn
học sinh biểu diễn trên ĐTLG những ngọn cung không thỏa mãn điầi kiện (đảnh dấu
"x ”) và những ngọn cung đáp sổ tìm được (đánh dấu “o’y. Những ngọn cung được
đánh dấu “o” mà không trừng xởi những ngọn cung đánh dấu "x ” chinh là những
ngọn cung thỏa mãn điểu kiện. Ngoài các vi dụ trong phần trên, giáo xiên cho học
sinh rèn luyện thêm thông qua các vi dụ sau:
Ví dụ 1: ( Đ H — D 2011)Giải phương trình:

sin2* + 2cos * - sin X- 1
tan* + y/ĩ

n

2

Khi đó phurmgtrình đã cho ừ-ở thành: sin2 x

y

+ 2 cosx sin* 1 = 0 » 2cosx(sinx 1) (sinx 1) =

0 Cí> (sin * + l)(2cos X -1) - 0
sin x - - \

* = -~-+k2ĩĩ

>

2
x-± — + k2ĩỉ

3

KL : Nghiệm của phương trình là:
X

= ~r + k2n.

3


Vỉ dụ 2: ( Đ H - A 2006)