Rèn luyện một số kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit cho học sinh lớp 12 THPT Khóa luận tốt nghiệp toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC


TRẦN THỊ HOÀI THU

RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
CHO HỌC SINH LỚP 12 - THPT



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC





Sơn La, năm 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC





TRẦN THỊ HOÀI THU

RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
CHO HỌC SINH LỚP 12 - THPT

Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC


Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Nguyễn Hải Lý



Sơn La, năm 2014

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành khóa luận này em đã nhận được sự giúp đỡ
nhiệt tình của ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, trường Đại học Tây Bắc
cùng các thầy cô giáo trong tổ bộ môn phương pháp, đặc biệt là sự hướng dẫn
tận tình của cô giáo Thạc sĩ Nguyễn Hải Lý để khóa luận được hoàn thành trong
thời gian sớm nhất.
Bên cạnh đó em còn nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các giáo viên và
học sinh khối 12 của trường THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc, cùng sự
giúp đỡ nhiệt tình của các bạn sinh viên lớp K51 - Đại học sư phạm Toán.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô giáo cùng toàn thể
các bạn sinh viên, các em học sinh. Chúc thầy cô, các bạn sinh viên và các em
học sinh sức khỏe, thành công và hạnh phúc.

Xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2014
Ngƣời thực hiện

Trần Thị Hoài Thu

BẢNG CÁC TỪ VIẾT TẮT

THPT : Trung học phổ thông
STT : Số thứ tự
HS : Học sinh
GV : Giáo viên
ĐS & GT : Đại số và giải tích
NXB : Nhà xuất bản
VT : Vế trái
VP : Vế phải

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
2.1. Mục đích nghiên cứu 2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2
3.1. Đối tượng nghiên cứu 2
3.2. Phạm vi nghiên cứu 2
4. Phương pháp nghiên cứu 2
5. Cấu trúc của đề tài 2

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3
1.1. Một số khái niệm 3
1.1.1. Phương pháp dạy học 3
1.1.2. Kỹ năng – kỹ năng giải bài tập toán 3
1.2. Vị trí, vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học 5
1.3. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit trong chương trình 12- THPT.
6
1.3.1. Mục đích 6
1.3.2. Yêu cầu 6
1.3.3. Nội dung 7
1.3.3.1. Phương trình mũ 7
1.3.3.2. Bất phương trình mũ 7
1.3.3.3. Phương trình lôgarit 7
1.3.3.4. Bất phương trình lôgarit 7
1.3.4. Thực trạng việc dạy và học phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit ở
một số trường THPT 8
1.3.4.1. Điều tra đối với giáo viên 8
1.3.4.2. Điều tra đối với học sinh 9

CHƢƠNG 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH,
BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12-
THPT 10
2.1. Một số giải pháp rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ
và lôgarit 10
2.2. Rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit 10
2.2.1. Rèn luyện kĩ năng giải phương trình mũ 10
2.2.2. Rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình mũ 19
2.2.3. Rèn luyện kĩ năng giải phương trình lôgarit 32
2.2.4. Rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình lôgarit 44
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 54

3.1. Mục đích thực nghiệm 54
3.2. Phương pháp thực nghiệm 54
3.3. Nội dung thực nghiệm 54
3.4. Đối tượng thực nghiệm 54
3.5. Tổ chức thực nghiệm 54
3.6. Kết quả thực nghiệm 55
3.7. Kết quả rút ra từ thực nghiệm. 56
KẾT LUẬN 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Thế giới ngày nay đang phát triển nhanh chóng cùng với sự phát triển của
khoa học, công nghệ, truyền thông. Vì vậy mục tiêu giáo dục đặt ra là phát triển
một xã hội trong đó con người được phát triển toàn diện để đáp ứng với sự
nghiệm công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Vì thế bắt buộc bản thân những
nhà giáo dục phải vừa giữ gìn, lưu truyền tri thức và các giá trị của quá khứ vừa
chuẩn bị cho một tương lai mà ta chưa biết rõ.
Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói
riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay. Một
trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và
phương pháp dạy học.
Kiến t hức và kĩ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung dạy
học. Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kĩ năng thực hiện một loại hoạt động
nào đó nếu không chú ý trang bị kiến kiến thức về lĩnh vực đó một cách vững
chắc. Ngược lại việc rèn luyện kĩ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi lĩnh
vực có tác dụng củng cố và mở rộng kiến thức, giúp cho người học tìm thấy
những tác dụng to lớn của kiến thức học được trong việc giải quyết các tình

huống trong thực tiễn và trong khoa học.
Chủ đề phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit có vị trí quan trọng
trong chương trình môn toán THPT. Là một trong những nội dung không thể
thiếu trong các kì thi cao đẳng, đại học.
Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit rất đa dạng và phong phú, để
giải được đòi hỏi học sinh phải có vốn kiến thức, cũng như kĩ năng giải phương
trình, bất phương trình được tích lũy từ đầu cấp học. Đồng thời việc nắm vững
các công thức, tính chất về hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit là một
trong những công cụ không thể thiếu để giải bài toán về phương trình, bất
phương trình mũ và lôgarit.
Rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit vừa là
mục đích, vừa là phương tiện làm cho học sinh nắm được kiến thức cơ bản, rèn
luyện kĩ năng suy luận toán học, toán học hóa các tình huống thực tế và rèn luyện
phẩm chất: Tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo, cẩn thận chính xác…góp phần
phát triển năng lực toán học cho học sinh.

2
Xuất phát từ những lý do trên, tôi chọn nghiên cứu khóa luận là: “Rèn
luyện một số kĩ năng giải phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ và lôgarit cho
học sinh lớp 12 - THPT” nhằm đề xuất một vài suy nghĩ về việc nâng cao chất
lượng dạy học phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit ở trường THPT.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cấu trúc rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình
mũ và lôgarit cho học sinh lớp 12 - THPT góp phần nâng cao hiệu quả dạy và
học giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các vấn đề lí luận có liên quan đến việc nghiên cứu như:
phương pháp, kỹ năng, kỹ năng giải phương trình, bất phương trình….
Tìm hiểu về thực trạng việc giải phương trình, bất phương trình mũ và

lôgarit ở một số trường THPT.
Đề xuất cấu trúc hình thành phương pháp và kỹ năng giải một số phương trình,
bất phương trình mũ và lôgarit, tiến hành thực nghiệm sư phạm bước đầu rút ra kết
luận cần thiết.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tƣợng nghiên cứu
Nghiên cứu nội dung về một số phương trình, bất phương trình mũ và
lôgarit nhằm rèn luyện kĩ năng giải bài tập cho học sinh THPT.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Học sinh khối 12 Trường THPT Liễn Sơn.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp quan sát - điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
5. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo… nội dung của đề tài
gồm 3 chương:
Chương 1: Cở sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện một số kỹ năng giải phương trình, bất phương trình mũ
và lôgarit cho học sinh lớp 12 - THPT.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

3
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN


1.1. Một số khái niệm
1.1.1. Phƣơng pháp dạy học
Phương pháp được hiểu là con đường, là cách thức để đạt được mục tiêu
nhất định.

Phương pháp dạy học là cách thức hoạt động và giao lưu của thầy gây nên
những hoạt động và giao lưu cần thiết của trò nhằm đạt được mục tiêu dạy học.
1.1.2. Kỹ năng - kỹ năng giải bài tập toán
Theo tâm lý học kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hoạt động
nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định.
Kỹ năng giải bài tập toán của học sinh có thể hiểu đó là kỹ năng sử dụng
có mục đích sáng tạo những kiến thức toán học để giải những bài tập toán học.
Một số học sinh có kỹ năng giải bài tập toán tức là biết phân tích bài toán
từ đó xác định được hướng giải đúng, trình bày lời giải một cách logic, chính xác
trong một thời gian nhất định.
a. Các mức độ của kỹ năng
Trong toán học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải bài tập toán:
- Rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản.
- Rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán tổng hợp.
Trong mỗi nhóm lại có ba trình độ khác nhau:
+ Biết làm: Nắm được quy trình giải phương trình, bất phương trình mũ và
lôgarit cơ bản nào đó áp dụng đúng theo công thức hay tương tự như bài tập mẫu
nhưng chưa được nhanh.
+ Thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải bài tập mẫu
nhưng chưa linh hoạt để đưa ra nhiều cách giải hay và ngắn gọn.
+ Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo
khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kĩ năng, kĩ xảo không chỉ với
những bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới.




4
b. Các giai đoạn hình thành kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh
Giai đoạn 1: Học sinh vận dụng lý thuyết để giải những bài tập toán cơ

bản, từ đó sẽ hình thành ở học sinh các thao tác cơ bản như: Viết các đại lượng
theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức, ký hiệu, tính giá trị dựa vào
công thức… việc hình thành kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn này là giải bài tập
mẫu cụ thể để học sinh biết được angorit thao tác giải một bài tập toán học cơ
bản (có thể giáo viên tự trình bày hoặc gợi ý để học sinh tự giải).
Giai đoạn 2: Học sinh vận dụng kiến thức thao tác để giải bài tập toán
cơ bản qua đó hình thành kỹ năng giải các bài cơ bản. Việc hình thành kỹ
năng riêng rẽ của giai đoạn này là: Luyện giải một số bài tập toán học tương
tự bài tập mẫu nhằm giúp học sinh nắm được sơ đồ định hướng giải một bài
tập toán học cơ bản.
Giai đoạn 3: Hình thành kỹ năng giải bài tập tổng hợp thông qua việc cho
học sinh giải những bài tập tổng hợp phức tạp, đa dạng hơn. Việc hình thành
đúng kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn 3 là: Rèn luyện giải một bài tập toán học
tổng hợp (khác bài mẫu) ngày một đa dạng, phức tạp hơn từ thấp đến cao nhằm
giúp học sinh vận dụng sơ đồ định hướng để giải các bài tập tổng hợp.
Muốn hình thành được kỹ năng giải bài tập toán học cần hiểu được cấu
trúc của nó, kỹ năng giải chúng không đơn lẻ là một hệ thống các kỹ năng như:
kỹ năng giải bài tập lý thuyết, kỹ năng tính toán, kỹ năng thực hành các phép
biến đổi… và các kỹ năng này là một thể thống nhất.
Sự phân chia chỉ là tương đối, trong cùng một hệ thống giữa các kỹ năng
đều có mối liên hệ chặt chẽ, kỹ năng này là cơ sở để hình thành kỹ năng kia và
ngược lại, việc hình thành kỹ năng sau lại củng cố rèn luyện kỹ năng trước đó.
c. Con đƣờng hình thành kỹ năng giải bài tập
Theo lý luận dạy học thì kỹ năng được hình thành do luyện tập mà có, có
thể hình thành kỹ năng giải bài tập theo nhiều cách:
Luyện tập theo mẫu: Cho học sinh giải bài tập toán học tương tự bài tập
mẫu. Việc luyện tập này có thể tiến hành ngay trong tiết học, cũng có thể rải rác
qua một số bài hoặc bài tập về nhà. Việc dạy học sinh giải bài tập toán học theo
sơ đồ định hướng là rất quan trọng, giúp rèn luyện từng thao tác giải từng loại bài
tập toán học cụ thể. Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những

điều kiện và yêu cầu của bài toán được thay đổi từ đơn giản đến phức tạp.
Hệ thống bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó, giúp học sinh phát triển các
kỹ năng bậc cao.

5
Luyện tập theo nhiều hình thức giải các bài tập toán học khác nhau: Ngoài
bài tập để có thể có nhiều hình thức rèn kỹ năng giải bằng lời, giải dưới dạng
viết, giải bằng thực nghiệm.
Luyện tập thường xuyên: Mỗi kỹ năng được hình thành phải được học sinh
thực hiện thành thạo vì thế cần tạo điều kiện để học sinh rèn luyện kỹ năng trong
tiết học, trong hoạt động học ở nhà.
1.2. Vị trí, vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học
Ở trường phổ thông, bài tập có vai trò quan trọng trong môn toán, dạy toán
là hoạt động toán học. Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của
học sinh, các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và
không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư
duy và hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Thông qua
việc giải quyết bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao
gồm cả nhận dạng và thể hiện định lý, định nghĩa, quy tắc hay phương pháp
những hoạt động toán học phức tạp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán
học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Hoạt động của
học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, chính
vì vậy mà vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên cả ba bình diện.
Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ
thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện
mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng
khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán cụ thể là:
- Hình như củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của
quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
- Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành

những phẩm chất trí tuệ.
- Bồi dưỡng thế giới quan, duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá
mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định để người học kiến tạo
những tri thức nhất định trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác nhau.
Những bài toán còn là một phương tiện cài đặt nội dung hoàn chỉnh hay bổ
xung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết.

6
Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang
hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực
hiện các mục tiêu day học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần
tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực,
chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những nội dung ý khác
nhau về phương pháp dạy học. Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc
với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra, bài tập là phương tiện đánh giá mức độ,
kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh.
Một bài tập cũng có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên, nhưng cũng có thể
bao hàm những ý đồ nhiều mặt.
Để dạy giải bài tập ta cần chú ý những điểm sau:
- Xây dựng, chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:
+ Bài tập tương tự với bài tập sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình
+ Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa kiến thức
+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một
trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi.
- Thực hiện cách bức tìm tòi lời giải.
- Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập theo quy định bốn
bức của G.Pôlia.

1.3. Phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ và lôgarit trong chƣơng trình giải
tích 12 - THPT
Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit được trình bày ở chương II
của chương trình giải tích 12 nhằm:
1.3.1. Mục đích
Giới thiệu các hàm: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit. Trên cơ
sở đó trình bày phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
1.3.2. Yêu cầu
- Nắm được khái niệm, các tính chất, biết khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị của các hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit.
- Biết cách giải các phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit cơ bản.
- Biết cách giải một số phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit đơn giản.

7
1.3.3. Nội dung
Theo phân phối chương trình của bộ GD & ĐT năm học 2006 - 2007 nội
dung phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit trong chương trình cơ bản
được trình bày trong 25 tiết trong đó thực hành 1 tiết, ôn tập chương và kiểm tra
là 4 tiết. Nội dung gồm:
Bài 1: Lũy thừa (3 tiết).
Bài 2: Hàm số lũy thừa (2 tiết).
Bài 3: Lôgarit (4 tiết).
Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit (4 tiết).
Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit (3 tiết).
Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit (4 tiết).
1.3.3.1. Phƣơng trình mũ
Dạng 1: Phƣơng trình dạng:
()fx
ab

( 0, 1)aa

Dạng 2: Phƣơng trình dạng:
( ) ( )f x g x
aa

Dạng 3:Phƣơng trình dạng
( ) ( )f x g x
ab

1.3.3.2. Bất phƣơng trình mũ
Dạng 1: Bất phƣơng trình dạng:
()fx
ab
(1)
Hoặc
( ) ( ) ( )
( , , )
f x f x f x
a b a b a b

Dạng 2: Bất phƣơng trình có dạng:
( ) ( )f x g x
aa
(1)
Hoặc
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, ,
f x g x f x g x f x g x

a a a a a a  

Dạng 3: Bất phƣơng trình có dạng:
( ) ( )

f x g x
ab
(1)
Hoặc
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , 
f x g x f x g x f x g x
a b a b a b

1.3.3.3. Phƣơng trình lôgarit
Dạng 1: Phƣơng trình dạng:
log ( )
a
f x b

Dạng 2: Phƣơng trình dạng:
log ( ) log ( )
aa
f x g x

1.3.3.4. Bất phƣơng trình lôgarit
Dạng 1: Bất phƣơng trình dạng:
log ( )
a

f x b
(1)
(hoặc
log ( ) ,
a
f x b

log ( ) ,
a
f x b

log ( )
a
f x b
) với
0, a 1a 


8
Dạng 2: Phƣơng trình dạng:
log ( ) log ( )
aa
f x g x
(1) (hoặc
log ( ) log ( )
aa
f x g x
,
log ( ) log ( )
aa

f x g x
,
log ( ) log ( )
aa
f x g x
)
1.3.4. Thực trạng của việc dạy và học phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ và
lôgarit ở một số trƣờng THPT
Để tìm hiểu thực trạng việc dạy và học phương trình, bất phương trình
mũ và lôgarit ở trường THPT, tôi tiến hành điều tra trên hai đối tượng là giáo
viên và học sinh của trường THPT Liễn Sơn như sau:
- Giáo viên: trường THP Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc.
- Học sinh: hai lớp 12A
1
và 12A
2
.
1.3.4.1. Đối với giáo viên
Qua điều tra thực tế về đội ngũ giáo viên và việc dạy học phương trình, bất
phương trình mũ và lôgarit cho học sinh lớp 12 của trường THPT Liễn Sơn –
Lập Thạch – Vĩnh Phúc tôi thu được kết quả như sau:
Bảng 1. Đội ngũ giáo viên của trƣờng.
Số lượng
giáo viên
Tuổi nghề (năm)
Hệ đào tạo
Chất lượng GV
1-10
10-20
Trên

20
CĐ
ĐH
Trên
ĐH
G
K
TB
12
3
5
4
0
11
1
4
8
0

Qua bảng điều tra trên ta thấy phần lớn giáo viên có tuổi nghề còn rất trẻ.
Hầu hết giáo viên được đào tạo trình độ đại học chính quy, về chất lượng giảng
dạy đa số đạt loại khá giỏi. Có những giáo viên đạt chất lượng loại giỏi và danh
hiệu giáo viên dạy giỏi các cấp. Mặc dù chưa nhiều nhưng cũng có vai trò tích
cực cổ vũ và động viên thầy cô giáo phấn đấu, nâng cao tay nghề và chất lượng
giảng dạy. Tuy nhiên do phần lớn giáo viên mới ra trường, tuổi nghề còn rất trẻ,
còn ít kinh nghiệm giảng dạy. Nhưng những giáo viên trẻ lại tích cực giới thiệu,
khuyến khích học sinh giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit theo
mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo.

9
1.3.4.2. Đối với học sinh
Bảng 2: Thực trạng việc giải phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ và
lôgarit của học sinh lớp 12
Lớp
Mức độ
1
12A

2
12A

Biết làm
20
23
Thành thạo
11
15
Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
12
7

Qua bảng điều tra trên ta thấy đa số các em học sinh của trường có phương
pháp học tập truyền thống ít mang lại hứng thú học tập cho học sinh. Phần lớn
các em đều biết làm và cũng mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo do đó giáo viên cần
nắm bắt tình hình học sinh để có thể hướng dẫn kỹ hơn một số kỹ năng giải
phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit cho học sinh lớp 12 để các em biết
và vận dụng giải các bài toán cụ thể.

10
CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT
PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12 - THPT

2.1. Một số giải pháp rèn luyện kĩ năng giải phƣơng trình, bất phƣơng trình
mũ và lôgarit
Để rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit cần
dựa vào mức độ và trình độ kĩ năng giải bài tập toán học. Cụ thể là:
- Cần rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
ở một số dạng.
- Mỗi loại trên cần rèn luyện ở ba mức độ:
+ Biết làm: Nắm được quy trình giải phương trình, bất phương trình mũ và
lôgarit cơ bản nào đó áp dụng đúng theo công thức hay tương tự như bài tập mẫu
nhưng chưa được nhanh.
+ Thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải bài tập mẫu
nhưng chưa linh hoạt để đưa ra nhiều cách giải hay và ngắn gọn.
+ Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo
khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kĩ năng, kĩ xảo không chỉ với
những bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới.
2.2. Rèn luyện kĩ năng giải phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ và lôgarit
2.2.1 Rèn luyện kĩ năng giải phƣơng trình mũ
Dạng 1: Phƣơng trình dạng:
()fx
ab

( 0, 1)aa

Có thể giải phương trình như sau:
+ Với b >0, ta có
()
( ) log
fx
a
a b f x b  

+ Với
0b 
, phương trình vô nghiệm
a. Mức độ biết làm
Ví dụ: Giải phương trình:
1,
23
x

2,
31
x


Hướng dẫn: Ta thấy hai phương trình mũ trên đều ở dạng 1. Khi đó, ta có
lời giải như sau:


11
Giải
1,
23

x




2
log 3x 

Vậy nghiệm của phương trình là
2
log 3x 

2,
31
x

phương trình vô nghiệm (do
10b   
)
b. Mức độ thành thạo
Ví dụ1: Giải phương trình:

21
3 9 100
xx


Hướng dẫn: Ta thấy
2
39

xx

khi đó phương trình trên ta đưa về cơ số 9.
Sau đó biến đổi đưa phương trình về dạng 1.
Giải
Phương trình tương đương:

1
9 9 100
xx


9 9 .9 100 9 (1 9) 100
x x x
     


9 .10 100 9 10
xx
   

9
log 10x

Vậy phương trình có nghiệm là
9
log 10x 

Ví dụ 2: Giải phương trình:

2
2
3
24
24



x
xx

Hướng dẫn: Ta thấy số mũ là một hàm phân thức, đầu tiên ta đi tìm điều
kiện để số mũ của phương trình có nghĩa. Sau đó áp dụng cách giải như ở dạng 1.
Giải
Điều kiện
2
15
2 4 0
15


   




x
xx
x

Phương trình tương đương:

2
2
3
2
22
24
2
2
3
2 2 log 2
24



  

x
xx
x
xx

2
2
3
2
24
x
xx




(1)
Khi đó phương trình (1) tương đương

2 2 2 2
3 2( 2 4) x 3 2 4 8x x x x x        


12

1
5
x
x






(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là
1x 
và
5x 

c. Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
Ví dụ: Giải phương trình:

5
log ( 3)
2
x
x



Hướng dẫn: Ta thấy số mũ của phương trình là một hàm số lôgarit trước
tiên ta phải có điều kiện cho hàm số
5
log ( 3)x 
có nghĩa tức là
30x 
. Mặt
khác VP của phương trình là biến x vậy ở đây sẽ có 2 trường hợp xảy ra la:
Trường hợp thứ nhất
0x 
thì phương trình vô nghiệm. Trường hợp thứ hai
0x 
thì
52
log ( 3) logxx
ở đây phương trình không cùng cơ số để giải ta đặt
52
log ( 3) logx x t  
ta đưa về giải hệ phương trình ẩn
x
và ẩn

t
sau đó áp
dụng tính đơn điệu của hàm số để giải.
Giải
Điều kiện
3 0 3xx    

Trường hợp 1:
0x 
phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2:
0x 
lôgarit cơ số 2 cả hai vế ta được phương trình

52
log ( 3) logxx

Đặt
52
log ( 3) logx x t  

Suy ra
3 5 2
2 2 3 5 (*)

  


  


tt
t t t
xx
x

Giải (*) ta được:
21
31
55
   

   
   
tt

Xét hàm số
21
( ) 3
55
tt
ft
   

   
   
,
t

Ta có
'

2 2 1 1
(t) .ln 3 ln 0
5 5 5 5
tt
f
       
  
       
       
,
t

Suy ra hàm số nghịch biến trên

13
Nhận thấy
1t 
suy ra
23
( ) 1
55
   f t VP

1t
là nghiệm của phương trình (*)
Khi đó
12tx  

Vậy phương trình có nghiệm là x=2
Dạng 2: Phƣơng trình dạng:

( ) ( )f x g x
aa
(
0, 1aa
)
Có thể giải như sau:
( ) ( )
( ) ( )  
f x g x
a a f x g x
(
()fx
có nghĩa hoặc
()gx
có nghĩa)
a. Mức độ biết làm
Ví dụ: Giải phương trình:
1,
2
23
22
xx

2,
1 2(2 1)
99
xx

3,
23

61
x


Hướng dẫn: Ta thấy các phương trình mũ trên đều ở dạng 2, khi đó ta có
lời giải như sau:
Giải
1,
2
2 3 2
2 2 2 3
xx
xx

   
2
1
2 3 0
3
x
xx
x


    




Vậy phương trình có nghiệm là

1x 
và
3x 

2,
1 2(2 1)
9 9 1 2(2 1)
xx
xx

    

1 4 2 3 1x x x      
1
3
x  

Vậy phương trình có nghiệm là
1
3
x 

3,
2 3 2 3 0
6 1 6 6
xx
  
2 3 0 2 3xx    

3

2
x

Vậy phương trình có nghiệm là
3
2
x 

b. Mức độ thành thạo
Ví dụ 1: Giải phương trình:

3
47
1
2
8
x
x





14

Hướng dẫn: Ta thấy
3
82
xx


. Khi đó ta có thể đưa phương trình mũ về
cùng cơ số 2. Sau đó áp dụng cách giải như ở dạng 2.
Giải
Phương trình tương đương:

33
4 7 4 7 3
3
1
2 2 2
2
x x x
x
  
  

3
4 7 3xx   

3
4 3 7 0xx   


2
( 1)(4 4 7) 0x x x    

1x

Vậy phương trình có nghiệm là
1x 

Ví dụ 2: Giải phương trình:

31
37
2
(2,5)
5
x
x







Hướng dẫn: Ta thấy
 
3 7 3 7
37
52
(2,5)
25
  

   

   
   

xx
x
. Khi đó ta đưa được
phương trình mũ về cùng cơ số
2
5
. Sau đó áp dụng cách giải như ở dạng 2.
Giải
Phương trình tương đương:

3 1 3 7 3 1 (3 7)
2 5 2 2
5 2 5 5
x x x x    
       
  
       
       

3 1 3 7xx    


66x  
1x  

Vậy phương trình có nghiệm là
1x 

c. Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
Ví dụ: Giải phương trình:

2 1 3
2 1 3 4 1
x
x x x x
xx

     


Hướng dẫn: Ta thấy cơ số ở phương trình là biến x, đầu tiên ta phải tìm điều
kiện của cơ số là
0x 
và
1x 
. Mặt khác ta thấy
1x 
là nghiệm vậy phương trình.

15
Khi đó phương trình trên có hai khả năng xảy ra là:
1
0
2 1 3
log
2 1 3 4 1















     


x
x
x
x
x
x x x x
.
Giải
Phương trình tương đương:

1
0
2 1 3
log (1)
2 1 3 4 1















     


x
x
x
x
x
x x x x

Giải phương trình (1) bằng cách nhân lien hợp, ta được:






22

(2 1 3) 2 1 3 4 1
1
2 1 3 4 1
x x x x x
x x x x
       

     



(2 1 3) 2 1 3 4 1
1
2 1 3
x x x x x
x
       



2 1 3 4 1 1x x x x       

   
22
1 1 2 1 1xx      

   
1 1 2 1 1 1 2 1x x x x           
(*)
  

1 1 2 1 0xx     

1 1 2x   

1 1 4x   

25x  

Vậy phương trình có nghiệm là
1x
và
25x

Chú ý: Phương trình (*) ngoài việc giải như trên thì còn có thể giải nhờ
tính chất khác của trị tuyệt đối như sau:

16

   
1 1 2 1 1 1 2 1x x x x          


1 1 0

2 1 0
x
x

  




  



11
12
x
x









25x  


Dạng 3: Phƣơng trình dạng
( ) ( )f x g x
ab

Có thể giải như sau:
( ) ( ) ( ) ( )
log log ( ) ( ).log
f x g x f x g x

a a a
a b a b f x g x b    

hoặc
( ) ( )
log log ( ) ( ).log
f x g x
b b b
a b g x f x a  

a. Mức độ biết làm
Ví dụ: Giải phương trình:
1,
2
42
23
xx

2,
1 2 1
9 81
xx


Hướng dẫn: Ta thấy các phương trình mũ trên đều ở dạng 3, khi đó ta có
lời giải như sau:
Giải
1,
2
42

23
xx


Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế phương trình, ta được:
2
4 2 2
2 2 2
log 2 log 3 4 ( 2).log 3
xx
xx

    


2
( 2)( 2) ( 2).log 3x x x    


2
( 2)( 2 log 3) 0xx    


2
20
2 log 3 0
x
x





  



2
2
log 3
x
x







Vậy phương trình có nghiệm là
2x 
và
2
log 3 2x 

2,
1 2 1
9 81
xx


Lấy lôgarit cơ số 9 hai vế phương trình, ta được:
1 2 1
9 9 9
log 9 log 81 1 (2 1).log 81
xx
xx

    


17

1 (2 1).2xx   

x 1 4x 2   


31x  
1
3
x  

Vậy phương trình có nghiệm là
1
3
x 


b. Mức độ thành thạo
Ví dụ: Giải phương trình:

32
23
xx


Hướng dẫn: Ta thấy số mũ của phương trình lại là hàm số mũ. Vậy ta lấy
lôgarit cơ số 10 hai vế.
Giải
Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế của phương trình, ta được:

32
lg2 lg3 3 .lg2 2 .lg3
xx
xx
  
3 lg3

2 lg2
x





32
2
log .log 3x

Vậy phương trình có nghiệm là

32
2
x=log .log 3

c. Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
Ví dụ 1: Giải phương trình:

   
2
12
22
12
x x x
xx
  
  

Hướng dẫn: Ta thấy số mũ của phương trình là hàm số chứa căn, đầu tiên
ta phải tìm điều kiện để số mũ có nghĩa. Mặt khác vế trái của phương trình
 
1
2
11


x
x
, về phải của phương trình
 
2

2
2
21


xx
x
. Khi đó ta sử dụng
phương pháp đánh giá tìm được nghiệm của phương trình.
Giải
Điệu kiện
1x 

Với điều kiện đó, ta có:

18
2 1 2 0
2
10
VT=(x 1) ( 1) 1
20
x
x
x
x




    






2
2
2 2 2 0
2
20
VP=(x 2) ( 2) 1
21
xx
xx
x
x


  
    




Suy ra phương trình đã cho tương dương với hệ:

2
1
10
x=1

1
20
VT
x
VP
xx








  




Vậy phương trình có nghiệm là
1x 

Ví dụ 2: Giải phương trình:
2 2 2
2 1 2 2 1
9 34.15 25 0 (1)
x x x x x x    
  

Hướng dẫn: Ta thấy

22
2 1 2
9 9.9
  

x x x x
và
22
2 1 2
25 25.25
  

x x x x
khi đó ta có
thể chia cả hai vế của phương trình cho
2
2
25
xx
hoặc
2
2
9
xx
hoặc
2
2
15
xx
. Để rút

gọn được và đưa được về dạng bình phương ta nên chia cho
2
2
25
xx
phương trình
trở thành
22
22
93
9 34. 25 0
25 5

   
  
   
   
x x x x
. Sau đó ta có thể đặt
2
2
3
5





xx
t

đưa
phương trình về phương trình bậc hai ẩn
t
.
Giải
Phương trình (1) tương đương:

2 2 2
2 2 2
9.9 34.15 25.25 0
x x x x x x  
  

22
22
93
9 34. 25 0
25 5
x x x x
   
   
   
   

Đặt
2
2
3
(t>0)
5






xx
t

Khi đó ta có phương trình:
2
1
9 34 25 0
25
9
t
tt
t



   




+ Với
1t 
ta có
22
22

33
55
33
1 log log 1
55
x x x x
   
  
   
   


19

2
20xx  

0
2
x
x







+ Với
25

9
t 
ta có
22
22
33
55
3 25 3 25
log log
5 9 5 9
x x x x
   
  
   
   


2
22xx   


2
2 2 0xx   

13
13
x
x









Vậy phương trình có nghiệm là
1
0x 
,
2
2,x 

3
13x 
,
4
13x 

2.2.2 Rèn luyện kĩ năng giải bất phƣơng trình mũ
Dạng 1: Bất phƣơng trình dạng:
()fx
ab
(1)
Hoặc
( ) ( ) ( )
( , , )
f x f x f x
a b a b a b

Có thể giải bất phương trình (1) như sau:
- Nếu
0,b 
tập nghiệm của bất phương trình là vì
()
0 x
fx
ab   

- Nếu
0b 
, thì bất phương trình tương đương với
log
()
a
b
fx
aa

+ Với
1a 
, khi đó
( ) log
a
f x b

+ Với
01a
, khi đó
( ) log

a
f x b

a. Mức độ biết làm
Ví dụ: Giải phương trình:
1,
2 16
x

2,
1
5
3
x




3,
1
32
2
x





Hướng dẫn: Ta thấy các bất phương trình trên đều ở dạng 1, khi đó ta có
lời giải như sau:

Giải
1,
2 16
x


Do
16 0b 
và
20a 
khi đó phương trình tương đương:
2
log 16x

4x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là khoảng
(4; )