Một số bài toán sử dụng nguyên lý diricle trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6

Nguyên lý Điricle có nội dung khá đơn giản song nó lại là một công cụ vô
cùng hiệu quả trong việc chứng minh nhiều bài toán từ cụ thể đến trừu
tượng mà khó có thể có một công cụ nào thay thế. Trong rất nhiều trường
hợp nó giúp ta thấy được một sự vật, một sự việc chắc chắn tồn tại song
không thể chỉ ra được một cách tường minh. Chính điều đó đã kích thích
tư duy, óc tưởng tượng phong phú của học sinh, làm cho học sinh cảm
thấy yêu thích hơn với bộ môn toán. Đây có lẽ cũng là một trong các lý do
mà trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp thường xuyên có mặt các bài
toán phải sử dụng nguyên lý này.
MỤC LỤC
Phần
I
Đặt
vấn
đề: .............................................................................. Tr2
Lý do chọn đề tài .........................................................................
Tr2
Mục đích và phạm vi nghiên cứu ................................................
Tr3
Thời gian thực hiện đề tài ...........................................................
Tr4
Khảo sát thực tiễn ........................................................................
Tr4
Phần
II
Giải
quyết
vấn
đề ................................................................... Tr5
Giải pháp thực hiện .....................................................................
Tr7

Hệ thống bài tập:
Sự trùng lặp .................................................................................
Tr7
Sự chia hết ....................................................................................
Tr9
Toán
tô
màu..............................................................................
Tr13
Toán về sự tương hỗ ................................................................
Tr15
Toán có nội dung hình học ..................................................... Tr17
Kết quả thực hiện đề tài ...........................................................
Tr19
Kết luận và kiến nghị .............................................................. Tr20


PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài:
Là một giáo viên nhiều năm được nhà trường phân công nhiệm vụ dạy đội
tuyển và bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 tôi luôn suy nghĩ làm thế nào
để vừa đáp ứng được các kiến thức cơ bản theo chương trình chuẩn của
BGD đồng thời phát triển tư duy ở trình độ cao phù hợp với khả năng và
trí tuệ của các em học sinh. Từ những trăn trở đó tôi ®· tham khảo nhiều
đề thi HSG và các chuyên đề bồi dưỡng HSG. Tôi nhận thấy một thể loại
toán được đề cập khá nhiều trong cả một quá trình học tập từ Tiểu học
cho đến khi vào Đại học đó là dạng toán ứng dụng nguyên lý Điricle.
Ở mỗi cấp học nguyên lý này lại được phát biểu bằng một ngôn ngữ khác
nhau sao cho phù hợp với tư duy và lứa tuổi của các em mà vẫn giữ
nguyên được bản chất của kiến thức trong nguyên lý.

Nguyên lý Điricle có nội dung khá đơn giản song nó lại là một công cụ vô
cùng hiệu quả trong việc chứng minh nhiều bài toán từ cụ thể đến trừu
tượng mà khó có thể có một công cụ nào thay thế. Trong rất nhiều trường
hợp nó giúp ta thấy được một sự vật, một sự việc chắc chắn tồn tại song
không thể chỉ ra được một cách tường minh. Chính điều đó đã kích thích
tư duy, óc tưởng tượng phong phú của học sinh, làm cho học sinh cảm
thấy yêu thích hơn với bộ môn toán. Đây có lẽ cũng là một trong các lý do
mà trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp thường xuyên có mặt các bài
toán phải sử dụng nguyên lý này.
Ví dụ:
Œ Đề thi vào lớp 6 trường Amsterdam năm 2005:
Có 6 bạn thi giải Toán, mỗi người phải làm 6 bài. Mỗi bài đúng được 2
điểm, mỗi bài sai bị trừ 1 điểm, nhưng nếu số điểm bị trừ nhiều hơn số
điểm đạt được thì học sinh đó bị coi là 0 điểm. Có thể chắc chắn ít nhất
hai bạn có số điểm bằng nhau được không? Giải thích tại sao?
ŒĐề thi HSG lớp 6 Quận Hà Đông năm 2012:
Cho 14 số tự nhiên có 3 chữ số. Chứng tỏ rằng trong 14 số đã cho tồn tại
hai số mà khi viết chúng liên tiếp nhau ta được một số có 6 chữ số chia
hết cho 13.
ŒĐề thi HSG lớp 6 Quận Hà Đông năm 2012:
Người ta chia một hình vuông thành 16 ô vuông nhỏ bằng nhau.
Viết vào mỗi ô vuông của bảng một trong các số 2013; -2013; 0
Sau đó tính tổng các số theo hàng ngang, cột dọc và đường chéo.
Chứng tỏ rằng trong các số đó luôn tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau.
Œ
Đề thi HSG lớp 6 trường THCS Lê Lợi năm 2011:


Cú tn ti hay khụng s t nhiờn l bi s ca 2011. M s t nhiờn ú
c vit bi ton ch s 1 v ch s 0?

thi HSG lp 6 qun Ba ỡnh nm 1996:
Cho 4 s t nhiờn tựy ý. Chng minh rng ta cú th chn c hai s m
tng hoc hiu ca chỳng chia ht cho 5.
thi HSG lp 6 qun Ba ỡnh nm 1997:
Cho 7 số tự nhiên tuỳ ý. Chứng minh rằng bao giờ ta cũng có thể chọn đợc 4 số mà tổng của chúng chia hết cho 4
thi HSG lp 6 qun Ba ỡnh nm 1999:
Chng t rng tn ti s t nhiờn ch gm ch s 1 v ch s 0 chia ht
cho 1999.
.
Ch mt 1 phỳt ta cú th tỡm thy hng chc thi HSG lp 6 trong cỏc
nm gn õy cú ng dng nguyờn lý iricle. iu ú cho thy s cn thit
vi mi giỏo viờn phi nghiờn cu v chuyờn ny. õy cng l lý do
tụi chn ti: Mt s bi toỏn ng dng nguyờn lý iricle trong
bi dng HSG toỏn 6
2. Mc ớch v phm vi nghiờn cu: Bi dng hc sinh gii lp 6.
3. Phng phỏp nghiờn cu:
- Nghiờn cu chng trỡnh toỏn tiu hc, chng trỡnh toỏn lp 6.
- Nghiờn cu v c s khoa hc ca nguyờn lý iricle t ú nhn dng
c nhng bi toỏn cú th ỏp dng nguyờn lý phự hp vi i tng hc
sinh.
- Phõn loi bi tp theo 2 mng s hc v hỡnh hc. Vi mi mng bi tp
ny li chia tip thnh tng dng vi h thng bi tp i t n gin n
phc tp.
- Nghiờn cu v phng phỏp ging v cỏch gii phự hp cho hc sinh.
- Lng trc nhng khú khn hc sinh thng gp phi, t mỡnh vo v
trớ cỏc em hỡnh dung c thỏi hc tp ca cỏc em, nhng bn
khon ca cỏc em t ú cú s iu chnh v phng phỏp, v tỡnh cm, v
kin thc phự hp.
4. Thi gian thc hin ti:
Bt u t tun th 12 n ht tun 36 ca nm hc. Xen k vo cỏc gi

hc chớnh khúa v 4 bui hc bi dng riờng cho i tuyn.
5. Tỡnh hỡnh thc tin trc khi thc hin ti:
* i vi giỏo viờn: Ban u tụi cm thy khỏ khú khn trong vic la
chn ngụn ng trỡnh by li gii cho tng th loi. Khú khn trong vic s
dng phng phỏp truyn t ti cỏc em hc sinh, tng th loi bi tp
nờn dy vo thi im no, mc ti õu l phự hp? V nhiu ln tụi


có ý nghĩ lảng tránh, bỏ qua dạng bài tập này. Không chủ quan lắm tôi
thấy đó cũng là tâm lý chung của nhiều giáo viên giảng dạy bộ môn toán.
* Đối với học sinh: Khảo sát sơ lược với 25 học sinh của đội tuyển toán 6:
Số HS đã được làm quen với nguyên lý Điricle: 02 – Tỉ lệ 8%.
Số HS có nghe tên nguyên lý nhưng chưa được học: 15 – Tỉ lệ 48%.
Số HS chưa biết về nguyên lý: 8 – Tỉ lệ 44%.
Thử sức với bài tập: Có 6 bạn thi giải Toán, mỗi người phải làm 6
bài. Mỗi bài đúng được 2 điểm, mỗi bài sai bị trừ 1 điểm, nhưng nếu số
điểm bị trừ nhiều hơn số điểm đạt được thì học sinh đó bị coi là 0 điểm.
Có thể chắc chắn ít nhất hai bạn có số điểm bằng nhau được không? Giải
thích tại sao?
“Đề thi vào lớp 6 trường Amsterdam năm 2005”
Kết quả: cả 25 em học sinh đội tuyển đều không làm được.
à 100% học sinh mong muốn được tìm hiểu nội dung nguyên lý và cách
giải cho một số dạng bài tập.
PhÇn Ii: gi¶I quyÕt vÊn ®Ò
I. Các giải pháp thực hiện:
Giải pháp thứ nhất:
Khơi gợi trong các em tình yêu với bộ môn Toán, sự cần thiết phải học bộ
môn toán thông qua nhiều con đường:
1. Giới thiệu về nhà toán học Điricle:
Mục đích:

Tạo niềm tin, niềm ước mơ cho các em có thể trở thành một nhà
toán học trong tương lai.
Cho các em thấy rằng Điricle là một con người có thật, với những
cố gắng, nỗ lực không ngừng nghỉ trong cuộc đời của mình ông đã để lại
cho nhân loại những sản phẩm trí tuệ vô cùng quý giá mà chúng ta là
những người đang được thừa hưởng.
Giáo dục lòng biết ơn sâu sắc với thế hệ đi trước cho xã hội loài
người ngày càng văn minh, tiến bộ.
Cách tiến hành:
- Học sinh sưu tầm, viết thành bài thuyết trình trên phần mềm Powerpoint
về nhà toán học Điricle trong giờ sinh hoạt
đội.
Dirichlet (1805 – 1859) là nhà toán học người
Đức. Ngay từ khi 12 tuổi ông đã dùng tiền tiết
kiệm của mình để mua sách về toán học.
Người bán hàng nói với ông rằng ông sẽ không


hiểu được nội dung của quyển sách đó đâu. Ông trả lời: Dù sao tôi cũng
sẽ đọc chúng cho tới khi tôi hiểu chúng. Niềm đam mê môn toán đã theo
ông trong suốt cuộc đời.
Trong quá trình nghiên cứu và giảng dạy ở các trường phổ thông ông đã
đưa ra một nguyên lý rất hữu hiệu và được sử dụng nhiều trong tất cả các
bộ môn số học, hình học và đại số. Ngày nay ta thường gọi nguyên lý này
theo tên của ông: “Nguyên lý Dirichlet”.
2. Thử sức với một bài tập khi các em chưa nghiên cứu về nguyên
lý này:
Có 6 bạn thi giải Toán, mỗi người phải làm 6 bài. Mỗi bài đúng được 2
điểm, mỗi bài sai bị trừ 1 điểm, nhưng nếu số điểm bị trừ nhiều hơn số
điểm đạt được thì học sinh đó bị coi là 0 điểm. Có thể chắc chắn ít nhất

hai bạn có số điểm bằng nhau được không? Giải thích tại sao?
“Đề thi vào lớp 6 trường Amsterdam năm 2005”
Khi các em không làm được bài tập này điều đó sẽ thúc đẩy các em
phải tìm hiểu về nội dung kiến thức áp dụng. Đây cũng là lý do chính đáng
để GV bắt đầu quá trình đưa nội dung chuyên đề vào học tập.
Giải pháp thứ hai:
Giáo viên phải nghiên cứu về chuyên đề để cung cấp cho các em
những kiến thức cần thiết.
I- LÝ THUYẾT
1. Nội dung nguyên lý: Có thể phát biểu dưới 3 dạng cơ bản sau
* Dạng đơn giản:
Œ Nếu nhốt 7 con thỏ vào 3 cái lồng thì tồn tại một lồng chứa ít nhất 3
con thỏ.
* Dạng tổng quát:
ŒNếu nhốt n con thỏ vào m cái lồng, mà n > m (n, m Î N*) thì tồn tại một
lồng chứa ít nhất 2 con.
ŒNếu nhốt n con thỏ vào k cái lồng (n, k Î N*, k ¹ 0) mà phép chia n: k
được thương là q và còn dư thì tồn tại một lồng chứa ít nhất q + 1 con
thỏ.
2. Để giải các bài toán áp dụng nguyên lý Điricle ta cần lưu ý một
số đặc điểm sau :
- Các bài toán sử dụng nguyên lý Điricle thường là các bài toán chứng
minh sự tồn tại của một sự vật, sự việc mà không cần phải chỉ ra một cách
tường minh sự vật, sự việc đó.


- gii bi toỏn ỏp dng nguyờn lý iricle nhiu khi ta phi ỏp dng
phng phỏp chng minh phn chng.
- Khi gii bi toỏn ỏp dng nguyờn lý iricle hoc d oỏn phi ỏp dng
nguyờn lý ny ta cn suy ngh hoc bin i bi toỏn lm xut hin khỏi

nim th v lng, khỏi nim nht th vo lng nhng khi trỡnh by ta
c gng trỡnh by theo ngụn ng riờng ca bi toỏn.
- Nhiều bài toán chỉ áp dụng đợc nguyên lý iricle sau khi bin i qua
mt bc trung gian hoc thành lập dãy số mới (hoặc phải tạo ra các
chuồng nhốt thỏ).

Gii phỏp th ba:
Giỏo viờn xõy dng h thng bi tp theo tng mc phự hp
vi tng giai on hc tp ca hc sinh. H thng bi tp gm:
1. Bi tp cng c kin thc.
2. Bi tp vn dng kin thc.
3. Bi tp phỏt trin t duy.
II. BI TP:
PHN I: S HC
DNG 1: S TRNG LP
õy l dng bi tp ng dng nguyờn lý mt cỏch n gin nht giỳp cỏc
em lm quen vi nguyờn lý mt cỏch t nhiờn v d hiu.
Yờu cu:
- Hc sinh thuc ni dung nguyờn lý. c bi toỏn v phõn bit c yu
t no úng vai trũ l th, yu t no úng vai trũ l lng. Hc sinh ch
ra c s th, s lng.
- Cỏch phõn bit n gin nht: S th luụn ln hn s lng.
Bi tp cú phõn tớch v cỏch gii:
Bài 1. Mt trng hc cú 24 lp gm 900 hc sinh. Chng minh rng cú
mt lp vi s s 38 hc sinh tr lờn.
Phõn tớch: Chia 900 hc sinh vo 24 lp cú ý ngha tng t nh nht
900 con th vo 24 cỏi lng. T ú cú th ỏp dng ngay ni dung nguyờn
lý gii bi toỏn:
Gii:
Cú 900 hc sinh c chia vo 24 lp, m 900: 24 = 37 (d 12) ị Theo

nguyờn lý iricle s tn ti mt lp cú t 37 + 1 = 38 (hc sinh) tr lờn.


Bµi 2. Trong lớp học có 30 học sinh. Khi viết chính tả một em phạm 14
lỗi, các em khác phạm số lỗi ít hơn. CMR có ít nhất 3 học sinh mắc số lỗi
bằng nhau (kể cả những người mắc 0 lỗi).
Phân tích: Trong bài toán này “thỏ” là 29 học sinh (trừ đi 1 em mắc 14
lỗi), “lồng” là các loại lỗi (gồm 14 loại: 0 lỗi, 1 lỗi, 2 lỗi, …, 13 lỗi).
Giải:
Có 30 học sinh trong đó 1 em phạm 14 lỗi, số còn lại là 29 em phạm các
lỗi từ 0 đến 13 lỗi (14 loại lỗi).
Do 29: 14 = 2 (dư 1)
Theo Nguyên lý Điricle có ít nhất 3 em mắc cùng số lỗi như nhau.
Bµi 3. Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2, chỉ
có 2 học sinh được điểm 10. CMR ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có
điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên từ 0 đến 10).
Phân tích: “thỏ” là 43 học sinh, “lồng” là các loại điểm từ 2 đến 9.
Giải:
Có 45 – 2 = 43 (học sinh) được 8 loại điểm từ 2 đến 9.
Do 43 : 8 = 5 (dư 3).
Theo Nguyên lý Điricle có ít nhất 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.
Bµi 4. Trong một kỳ thi toán học có 6 thí sinh được vào chung khảo. Thể
lệ của cuộc thi như sau: Mỗi thí sinh phải giải 5 bài toán. Mỗi bài toán
đúng được tính 4 điểm. Mỗi bài toán sai hoặc không làm được đều bị trừ 2
điểm. Hãy chứng tỏ rằng trong 6 thí sinh đó có ít nhất 2 thí sinh bằng
điểm nhau. Biết rằng điểm thấp nhất là điểm 0.
Phân tích: số “thỏ” dường như là 6 học sinh, nhưng “lồng” là gì nhỉ? Ta
phải đặc biệt chú ý đến nội dung câu hỏi “ít nhất2 thí
sinh bằng điểm nhau” và liên tưởng đến nội dung nguyên lý nó giống
như 2 thỏ nhốt chung một lồng. Từ đó tìm ra yếu tố lồng ở đây là

số điểm đạt được.
Giải:
Vì mỗi thí sinh phải giải 5 bài toán. Mỗi bài toán đúng được tính 4 điểm.
Mỗi bài toán sai hoặc không làm được đều bị trừ 2 điểm nên ta có 5
trường hợp sau:
Nếu đúng 5 bài thì số điểm được là: 5. 4 = 20 (điểm).
Nếu đúng 4 bài thì số điểm được là: 4. 4 - 2 = 14 (điểm).
Nếu đúng 3 bài thì số điểm được là: 3. 4 – 4 = 8 (điểm).
Nếu đúng 2 bài thì số điểm được là: 2. 4 – 6 = 2 (điểm).
Nếu đúng 1 bài hoặc không đúng bài nào thì đều được 0 điểm.
Như vậy có 6 thí sinh dự thi nhưng chỉ có 5 loại điểm nên theo nguyên lý
Điricle sẽ có ít nhất 2 thí sinh bằng điểm nhau.


Bài tập tự luyện:
Bµi 1. Lớp 6A có 30 học sinh. Khi làm bài trắc nghiệm có 1 em làm sai 12
câu. Các em khác làm sai ít hơn. Chứng minh rằng có ít nhất 3 học sinh có
số câu làm sai như nhau.
Bµi 2. Lớp 6A có 49 học sinh. Chứng tỏ rằng luôn có ít nhất 5 em học sinh
có cùng tháng sinh.
Bµi 3. Một trường học có 1115 học sinh. Chứng tỏ rằng luôn có ít nhất 4
em có cùng ngày sinh.
Bµi 4. Tổ 1 có 13 học sinh đều phải trực nhật trong một tuần học. Chứng
tỏ rằng tồn tại một ngày có ít nhất 3 học sinh cùng trực nhật (một tuần
học được tính từ thứ hai đến thứ bảy).
DẠNG 2: SỰ CHIA HẾT
Đây là loại toán được xuất hiện khá nhiều trong các đề thi HSG
các cấp.
Yêu cầu: Ngoài việc nắm vững nguyên lý Điricle các em cần nắm được
các dấu hiệu chia hết và các tính chất chia hết trong Z.

+ Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 8; 9; 11; 25; 125.
+ Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích và một số tính chất mở
rộng.
Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích:

Tính chất mở rộng:
1.
Hai số có cùng số dư trong phép chia cho m thì hiệu của chúng chia
hết cho m.
2.
Tổng các số dư của các số trong phép chia cho m mà chia hết cho m
thì tổng các số đó chia hết cho m.
3.
Nếu
, mà ƯCLN(a,m) = 1 thì

DẠNG 3: BÀI TOÁN TÔ MÀU
Bµi 1. Trong mặt phẳng cho 6 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng
hàng. Các điểm này được nối với nhau bằng các đoạn thẳng màu xanh
hoặc màu đỏ. Chứng minh rằng luôn có một tam giác mà các cạnh cùng
màu.


Phân tích: Có nên tính số tam giác hay tính số đoạn thẳng hay không?
Câu trả lời là không vì tam giác ABC là hình tạo bởi 3 đoạn thẳng liên kết
với nhau AB, BC, CA khi 3 điểm A, B, C không thẳng hàng nên việc tìm ra
số tam giác hay số đoạn thẳng không giải quyết được câu hỏi của đề bài.
Hãy thử nối 1 điểm với 5 điểm còn lại bằng 2 màu xem sao?
Giải:
Gọi 6 điểm đó là O, A, B, C, D, E. Từ điểm O nối với 5 điểm còn lại Þ Có 5

đoạn thẳng mà chỉ có 2 màu Þ Theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 3 đoạn
thẳng cùng màu, giả sử đó là 3 đoạn thẳng OA, OB, OC cùng màu xanh.
Xét tam giác ABC (có 3 cạnh AB, AC, BC được vẽ bởi 2 màu):
TH1: nếu 3 cạnh của tam giác cùng màu thì bài toán đã được giải.
TH2: 3 cạnh của tam giác không cùng màu thì sẽ có ít nhất 1 cạnh có màu
xanh giả sử đó là cạnh AB à tam giác OAB có ba cạnh cùng màu xanh.
Tương tự với 3 đoạn thẳng OA, OB, OC có cùng màu đỏ.
Vậy bài toán đã được chứng minh .
Bµi 2. Cho 17 điểm nằm trong mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào
thẳng hàng. Nối các điểm đó bằng các đoạn thẳng màu xanh; đỏ; vàng.
Chứng tỏ rằng tồn tại một tam giác có các cạnh cùng màu.
Phân tích: Tư duy tương tự như trên. Thử nối 1 điểm với 16 điểm còn lại
bằng 3 màu xem sao?
Giải:
Giả sử từ điểm A trong 17 điểm đã cho nối với 16 điểm còn lại bằng 3 loại
màu Þ Theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 6 đoạn thẳng cùng một màu, giả
sử đó là các đoạn thẳng AB1; AB2; …;AB6 cùng được tô màu đỏ.
Nếu có 2 trong 6 điểm B 1; B2; ..; B6 được nối với nhau bằng màu đỏ thì bài
toán được chứng minh. Nếu không có 2 điểm nào được nối với nhau bằng
màu đỏ thì 6 điểm này được nối với nhau bằng hai màu xanh hoặc vàng.
Từ điểm B1 ta nối với 5 điểm còn lại Þ Có 5 đoạn thẳng mà chỉ có 2 màu Þ
Theo nguyên lý Diricle có ít nhất 3 đoạn thẳng cùng màu, giả sử đó là 3
đoạn thẳng B1B2, B1B3, B1B4 có cùng màu xanh.
Xét tam giác B2B3B4
TH1: nếu 3 cạnh của tam giác này cùng màu thì bài toán đã được giải
xong.
TH2: 3 cạnh của tam giác không cùng màu thì sẽ có ít nhất 1 cạnh có màu
xanh giả sử đó là cạnh B2B3 Þ Tam giác B1B2B3 có ba cạnh cùng màu xanh.
Vậy bài toán được chứng minh .
Bµi 3. Cho 66 điểm trong mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng

hàng. Nối các điểm này bằng các đoạn thẳng và tô các màu xanh; đỏ;


vàng hoặc tím. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có các cạnh
cùng màu (3 lần Diricle).
Bài toán tổng quát của các bài 1; 2; 3:
6 điểm tương ứng 3 màu sử dụng 1 lần Điricle
(6 – 1). 3 + 2 = 17 (điểm) tương ứng 4 màu sử dụng 2 lần Điricle
(17 – 1). 4 + 2 = 66 (điểm) tương ứng 5màu sử dụng 3 lần Điricle
(66 – 1). 5 + 2 = 327 (điểm) tương ứng 6 màu sử dụng 4 lần Điricle
…
Bµi 4. Cho 6 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng tạo
nên một tam giác có độ dài 3 cạnh khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại
một cạnh vừa là cạnh nhỏ nhất của tam giác này vừa là cạnh lớn nhất của
tam giác khác.
Hướng dẫn:
Xét các tam giác được tạo từ 3 trong 6 điểm đã cho. Trong mỗi tam giác
này ta tô màu đỏ cho cạnh ngắn nhất, các cạnh khác không tô màu. Ta
chứng tỏ có 1 tam giác có 3 cạnh đều màu đỏ thì cạnh lớn nhất của tam
giác này là cạnh cần tìm.
Thật vậy từ điểm A trong 6 điểm đã cho với 5 điểm còn lại bằng các đoạn
thẳng mầu đỏ hoặc không có màu à tồn tại 3 đoạn thẳng cùng màu đỏ
hoặc không có màu. Giả sử đó là 3 đoạn thẳng AB, AC, AD.
TH1 : Nếu 3 đoạn thẳng đó có màu đỏ ta xét tiếp tam giác BCD phảI tồn
tại 1 cạnh bé nhất có màu đỏ giả sử đó là cạnh CD à tam giác ACD có 3
cạnh cùng màu đỏ à cạnh lớn nhất của ACD đồng thời là cạnh nhỏ nhất
của một tam giác khác.
TH2 : Nếu 3 đoạn thẳng đó không được tô màu
à ABC có AB, AC không được tô màu thì BC phải được tô màu đỏ.
ABD có AB, AD không được tô màu thì BD phải được tô màu đỏ.

ACD có AD, AC không được tô màu thì DC phải được tô màu đỏ.
à BCD có 3 cạnh được tô màu đỏ à ĐPCM.

DẠNG 4. TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG HỖ (TOÁN LÀM QUEN).
Chú ý: A quen B thì B cũng quen A. Nhưng A quen B, B quen C thì không
thể khẳng định A quen C.
Tương tự với thi đấu hoặc trao đổi với nhau về công việc.
Một số bài có thể liên hệ tương tự như toán tô màu. VD: A nối với B bằng
màu xanh thì B nối với A cũng bằng màu xanh.
Bài tập có phân tích và cách giải:


Bài 1. Cho 5 người tùy ý. CMR trong số đó có ít nhất 2 người có số người
quen như nhau (hiểu rằng A quen B thì B quen A).
Phân tích: Chú trọng đến câu hỏi “2 người có số người quen như nhau”
Từ đó hiểu rằng 5 người đóng vai trò là số thỏ. Ta có thể tạo ra các lồng
như sau:
Hướng dẫn:
Gọi lồng 0 chứa những người có số người quen là 0.
Gọi lồng 1 chứa những người có số người quen là 1.
…
Gọi lồng 4 chứa những người có số người quen là 4.
Như vậy ta có 5 lồng. Nếu lồng 0 có chứa ai đó thì lồng 4 phải trống.
Ngược lại nếu lồng 4 có chứa ai đó thì lồng 0 phải trống.
Vậy thực chất chỉ có 4 lồng nhốt 5 thỏ nên có ít nhất 2 người ở cùng một
phòng tức là hai người đó có số người quen như nhau.
Bài 2. Có 10 đội bóng thi đấu với nhau mỗi đội phải đấu một trận với các
đội khác. CMR vào bất cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu số trận như nhau
(kể cả số trận đấu là 0).
Phân tích: Hiểu tương tự như bài toán trên.

Gọi A0 là phòng chứa các đội có số trận đấu là 0.
Gọi A1 là phòng chứa các đội có số trận đấu là 1.
…
Gọi A9 là phòng chứa các đội có số trận đấu là 9.
Nếu phòng A0 có ít nhất 1 đội thì phòng A9 không có đội nào và ngược lại
phòng A9 có ít nhất 1 đội thì phòng A0 không có đội nào.
Vậy thực chất chỉ có 9 phòng được sử dụng mà lại có 9 đội nên có ít nhất
2 đội vào chung một phòng hay có ít nhất 2 đội có cùng số trận đấu như
nhau.
Bài 3. Có 6 đội bóng thi đấu với nhau (mỗi đội phải đấu 1 trận với 5 đội
khác). CMR vào bất cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với
nhau
hoặc
chưa
đấu
với
nhau
trận
nào.
Hướng dẫn:
Giả sử 6 đội bóng đó là A, B, C, D, E, F. Xét đội A:
Theo nguyên lý Điriclê ta suy ra: A phải đấu hoặc không đấu với ít nhất 3
đội khác. Không mất tính tổng quát, giả sử A đã đấu với B, C, D.
Nếu B, C, D từng cặp chưa đấu với nhau thì bài toán được chứng minh.
Nếu B, C, D có 2 đội đã đấu với nhau, ví dụ B và C thì 3 đội A, B, C từng
cặp
đã
đấu
với
nhau.

Như vậy bất cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau
hoặc chưa đấu với nhau trận nào.
Bài 4. Có 17 nhà toán học trao đổi với nhau về 3 vấn đề. Mỗi người tra
đổi với một người về 1 vấn đề. CMR cũng có ít nhất 3 nhà toán học trao
đổi với nhau về cùng một vấn đề (A và B, B và C, C và A).
Phân tích: Tương tự như 17 điểm được nối với nhau bằng 3 màu à luôn
tồn tại một tam giác với 3 cạnh cùng màu tức là 3 nhà toán học trao đổi
với nhau về cùng một vấn đề.
Giải:
Một nhà toán học trao đổi với 16 nhà toán học khác về 3 vấn đề Þ Theo
nguyên lý Điricle có ít nhất 6 người sẽ được một người trao đổi về cùng
một vấn đề, giả sử đó là vấn đề I.
6 người này lại trao đổi với nhau về 3 vấn đề:
TH1: Nếu có 2 người nào đó cùng trao đổi về vấn đề I thì bài toán được
chứng minh.
TH2: Nếu không có 2 người nào cùng trao đổi về vấn đề 1 thì 6 người này
chỉ trao đổi về 2 vấn đề II và III.
Þ Một người trao đổi với 5 người còn lại về 2 vấn đề II và III. Theo
nguyên lý Điricle có ít nhất 3 người cùng được một người trao đổi về 1 vấn
đề, giả sử đó là vấn đề II. Ba người này lại tiếp tục trao đổi với nhau:
TH1: Nếu có 2 người nào đó cùng trao đổi với nhau về vấn đề II thì bài
toán được chứng minh.
TH2: Nếu không có 2 người nào cùng trao đổi với nhau về vấn đề II thì cả
3 người này trao đổi với nhau về vấn đề III Þ Bài toán cũng đã được
chứng minh.
Vậy luôn có ít nhất 3 nhà toán học trao đổi với nhau về cùng một vấn đề

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho 2009 người tùy ý. CMR trong số đó có ít nhất 2 người có số
người quen như nhau trong số 2009 người đó.
Bài 2. Cho n người tùy ý (n Î N, n > 1) . CMR trong số đó có ít nhất 2
người có số người quen như nhau trong số n người đó.
Bài 3. Chứng tỏ rằng trong nhóm 6 người ta luôn tìm được nhóm 3 người
đôi một quen nhau hoặc đôi một không quen nhau.
PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC


Bi 1. Cho xễy = 720 v 4 tia Om, On, Op, Ok trong xễy. Ch xột cỏc gúc
khụng cú im trong chung hóy chng t rng tn ti mt gúc cú s o
ln hn 140.
Gii:
Cú 6 tia chung gc O (tớnh c 2 tia Ox, Oy) to thnh 5 gúc khụng cú im
trong chung. Tng s o 5 gúc ny l 720. M 72: 5 = 14 (d 2).
Theo nguyờn lý iricle tn ti mt gúc cú s o ln hn 14 0.
Bi 2. Cho 7 đờng thẳng đồng quy tại O. Chỉ xét các góc không có
điểm trong chung. Chứng tỏ rằng tồn tại ít nhất 2 góc có số đo lớn hơn
250.
Gii:
7 đờng thẳng đồng quy tại O chỉ xét các góc không có điểm trong
chung ta cú 14 góc. Tổng số đo 14 góc này là 360 0. M 360: 14 = 25 (d
10) nên theo nguyên lý Diricle sẽ tồn tại ít nhất một góc có số đo lớn hơn
250. Mà góc này lại có một góc bằng nó (do cựng k bự vi mt gúc th
ba) nên trên hình tồn tại ít nhất 2 góc có số đo lớn hơn 25 0.
Bi 3. Trong hỡnh vuụng cú cnh 1m ngi ta gieo vo ú 1 cỏch tựy ý 51
im. Chng minh rng ớt nht cng cú 3 im trong s 51 im ó cho
nm trong hỡnh vuụng cnh di 0,2m (k c trng hp nm trờn cnh
hỡnh vuụng).
Hng dn:

Chia hỡnh vuụng cnh 1 m thnh 25 hỡnh vuụng nh bng nhau cnh
0,2m.
Gieo 51 im (51 thỏ) vo 25 hỡnh vuụng (25 lồng)
Vỡ 51: 25 = 2 (d 1). Theo nguyờn lý Diricle s tn ti mt hỡnh vuụng
cha ớt nht 3 im.
Bi 4. Mt hỡnh vuụng cú din tớch S. Ngi ta gieo vo bờn trong hỡnh
vuụng 101 im mt cỏch tựy ý. Chng minh rng luụn tỡm ra 3 im
trong s 101 im ú l 3 nh ca mt tam giỏc cú din tớch khụng ln
hn
Hng dn:
Chia hỡnh vuụng thnh 50 hỡnh ch nht cú din tớch bng nhau, mi hỡnh
ch nht nh ny cú din tớch bng
tn ti ớt nht 3 im nm
trong cựng mt hỡnh ch nht nh ny.
M din tớch ca mt tam giỏc cú 3 nh nm trong mt hỡnh ch nht nh
ú luụn nh hn hoc bng

din tớch hỡnh ch nht nh.



Bi 5. Trong hỡnh trũn cú din tớch bng 1 ly 17 im bt k trong ú
khụng cú 3 im no thng hng. Chng minh rng cú ớt nht 3 im lp
thnh 1 tam giỏc cú din tớch nh hn .
Hng dn:
Chia hình tròn thành 8 hình quạt bằng nhau thỡ mi hỡnh qut cú din
tớch l . Gieo 17 điểm vào trong 8 hình quạt (17: 8 = 2 d 1) nên có ít
nhất 3 điểm rơi vào một hình quạt, diện tích của tam giác tạo thành từ
3 điểm này luôn nhỏ hơn diện tích của hình quạt hay tức là diện tích
của nó nhỏ hơn

.

Bi tp t luyn
Bi 1. Cho 7 tia gốc O thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ xy có chứa
điểm O. Chỉ xét các góc đỉnh O không có điểm trong chung. Chứng
tỏ rằng tồn tại ít nhất 1 góc có số đo lớn hơn 320.
Bi 2: Cho 21 ng thng ng quy ti O.
a)
Cú bao nhiờu gúc nh O.
b) Ch xột cỏc gúc khụng cú im trong chung. Chng t rng tn ti 2
gúc cú s o ln hn 80
Bi 3: Ngi ta chia mt hỡnh vuụng thnh 16 ụ. Vit vo mi ụ mt trong
cỏc s -2013; 0; 2013. Sau ú tớnh tng cỏc s theo hng ngang, ct dc,
ng chộo. Chng minh rng trong cỏc tng ú luụn tn ti hai tng
bng nhau.
phần III: Kết quả THựC HIệN Đề TàI
Vi 3 ln kim tra kho sỏt cht lng i tuyn trong nm hc 2014
2015 m trong mi u cú bi toỏn ng dng nguyờn lý iricle:
Bi kim tra ln 1: Chng minh rng trong 5 số nguyên tố lớn hơn 3 luôn
tồn tại ít nhất 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 18.
Bi kim tra ln 2: Trong cuc thi Rung chuụng vng ca mt trng
THCS cú 6 thớ sinh c vo vũng chung kho. Mi thớ sinh phi tr li 7
cõu hi, mi cõu ỳng c tớnh 4 im, mi cõu sai hoc khụng tr li
c u b tr 3 im. Bit rng im thp nht l im 0. Hóy chng t
rng cú ớt nht 2 thớ sinh bng im nhau.


Bài kiểm tra lần 3:
Một hình vuông được chia thành 25 ô

vuông nhỏ (hình bên). Viết vào mỗi ô
vuông 1 trong ba số 2015; -2015; 0 rồi
tính tổng của các số trong mỗi hàng, mỗi
cột, mỗi đường chéo. Hãy chứng tỏ rằng
trong các tổng đó có ít nhất hai tổng
bằng nhau.

Kết quả kiểm tra trên 25 học sinh đội tuyển:

Làm được 3 bài
Làm được 2 bài
Làm được 1 bài

Trước khi thực hiện đề tài
0/25 – Tỉ lệ 0%
0/25 – Tỉ lệ 0%
0/25 – Tỉ lệ 0%

Sau khi thực hiện đề tài
15/25 – Tỉ lệ 60%
7/25 – Tỉ lệ 28%
3/25 – Tỉ lệ 14%

KẾT LUẬN
Tôi nhận thấy:
Việc bồi dưỡng học sinh giỏi là những bước khởi đầu rất quan trọng để
đào tạo nhân tài cho đất nước. Đó là nhiệm vụ quan trọng của ngành GD
nói chung và của mỗi giáo viên nói riêng.
Việc bồi dưỡng HSG chỉ thực sự có hiệu quả khi người thầy thực sự đam
mê, yêu nghề, tâm huyết với nghề để nghiên cứu đưa ra được chương

trình học tập phù hợp nhằm phát triển tư duy cho các em. Nguyên lý
Điricle là một trong những chuyên đề đáp ứng được điều đó.
Mặc dù rất cố gắng chọn lọc để đưa ra được các bài tập phù hợp với đối
tượng học sinh lớp 6 nhưng chắc chắn không thể tránh được những thiếu
sót. Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của BGK, của đồng nghiệp.
Xin trân trọng cảm ơn!