Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 thành phố hải dương năm học 2015 2016(có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Ngày thi 11 tháng 01 năm 2016

Câu 1 (2,0 điểm):
a) Rút gọn biểu thức A =

2 x −9
x + 3 2 x +1
−
−
với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9
x−5 x +6
x − 2 3− x

b) Phân tích đa thức B = xyz + x 2 y - x 2 z - y 3 + yz 2 - xz 2 thành nhân tử.
Câu 2 (2,0 điểm):
a) Tìm giá trị của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d):
y= (2m-1)x + 3 + 2m có giá trị lớn nhất.
b) Giải phương trình: x - 4 + 6 - x + 10x = x 2 + 27
Câu 3 (2,0 điểm):
a) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: 2016xy = x + y
b) Tìm các số tự nhiên x; y; z thỏa mãn đồng thời
(x -1) 3 + y3 - 2z 3 = 0 và x + y + z – 1 là số nguyên tố.
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho nửa đường tròn (O;R), BC là đường kính. Điểm A di động trên nửa đường tròn

(A khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi I và K thứ tự là hình chiếu của H
trên AB và AC.
BI
AB3
=
a) Chứng minh:
CK
AC 3

b) Chứng minh 4 điểm B, I, K, C cùng thuộc một đường tròn.
c) Xác định vị trí điểm A trên nửa dường tròn để tích HA.HB có giá trị lớn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm):

2x
.(2xy - 1) = 2xy + 1 .
y
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2x +
y
Cho các số dương x,y thỏa mãn:

------------- Hết------------SBD: ................... Họ và tên thí sinh: ....................................................................................
Giám thị 1: ................................................... Giám thị 2: ......................................................


PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN THI: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 05 câu, 04 trang)
Ngày thi 11 tháng 01 năm 2016

Ý

Nội dung

Điểm
TP

Tổng
điểm

Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9. Ta có :
2 x −9
x + 3 2 x +1
−
−
x−5 x +6
x − 2 3− x

A=

1

=

2 x −9
x + 3 2 x +1
−
+
( x − 2)( x − 3)
x −2
x −3

=

2 x − 9 − ( x + 3)( x − 3) + (2 x + 1)( x − 2)
( x − 2)( x − 3)

a

=

x− x −2
( x − 2)( x − 3)

( x + 1)( x − 2)
=
( x − 2)( x − 3)
=

x +1
x −3

0,25

1,0

0,25
0,25
0,25

Ta có B = xyz + x 2 y - x 2 z - y 3 + yz 2 - xz 2
= ( x 2 y - x 2 z) + ( xyz - xz 2 ) - (y 3 - yz 2 )
b

= x 2 ( y − z ) + xz ( y − z ) − y ( y − z ).( y + z )
= ( y − z ).( x 2 + xz − y 2 − yz )
= ( y − z ).[ ( x − y ).( x + y) + z ( x − y ) ]
= ( y − z ).( x − y ).( x + y + z )

2

a

Xét đường thẳng (d): y= (2m-1)x + 3 + 2m .
- Tìm được điểm cố định là A( -1;4).
- Lập được phương trình đường thẳng OA là: y = -4x
- Khẳng định:
Khoảng cách từ O đến (d) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi (d)
vuông góc với OA.
5
- Khi đó (2m – 1).(-4) = -1 ⇔ m =
và giá trị lớn nhất của khoảng
8
cách từ O đến (d) là 17

0,25
0,25
0,25
0,25

1,0

1,0
0,25
0,25
0,25


0.25

Xét phương trình:
⇔

x - 4 + 6 - x + 10x = x 2 + 27
x - 4 + 6 - x = x 2 - 10x + 27
ĐKXĐ: 4 ≤ x ≤ 6

b

Chứng minh được vế trái

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 5
Chứng minh được vế phải x 2 - 10x + 27 ≥ 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 5

Khẳng định phương trình có nghiệm duy nhất x = 5
Từ 2016xy = x + y => 20162 xy – 2016x – 2016 y = 0.
3

a

 ( 2016 x – 1) . ( 2016 y – 1) = 1.
Do x và y là các số nguyên nên giải phương trình trên ta suy ra được
Cặp số nguyên ( x; y) = (0;0)
Ta có
( x + y + z − 1)3 = [ ( x − 1 + y + z ) ]

0,25

x-4 + 6-x ≤2

1,0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50

1,0

3

= ( x − 1)3 + y 3 + 3( x − 1) y ( x − 1 + y )  + z 3 + 3( x − 1 + y ) 2 z + 3( x − 1 + y ) z 2
= 3 z 3 + 3( x − 1) y ( x − 1 + y ) + 3( x − 1 + y ) 2 z + 3( x − 1 + y ) z 2 M

3

0,25

( do (x -1) 3 + y 3 = 2z 3 )
b

=> ( x -1 + y + z) chia hết cho 3
Vì x − 1 + y + z nguyên tố nên x − 1 + y + z = 3
Vai trò x, y, z như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử :

0,25
1,0
0,25

x − 1 ≤ z ≤ y ⇒ 3 = x − 1 + y + z ≥ 3( x − 1) ⇒ x − 1 ≤ 1 ⇒ x − 1 ∈ { 1;0} .
Với x − 1 = 0 ⇒ y 3 = 2 z 3 và y + z = 3 , suy ra không tồn tại y, z là các số

tự nhiên thỏa mãn.
Với x − 1 = 1 ⇒ 1 + y 3 = 2 z 3 và y + z = 2 . Tìm được y = z = 1
Đáp số x = 2; y = z = 1

0,25


A

I
M
K

4
O

B

H

C

N

ˆ = 900
Vì A ∈ nửa đường tròn tâm O, đường kính BC ( gt) => BAC
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
AB 2 = BH .BC => AB 4 = BH 2 .BC 2
AC = CH .BC => AC = CH .BC
2

a

4

2

0,25

2

Lại có

BH = BI .BA,
2

0,25
0,25

CH = CK .CA
2

AB
BI .BA.BC 2
AB 3 BI
⇒
=
=>
=
AC 4 CK .CA.BC 2
AC 3 CK

1,0

4

b

c

0,25

Chứng minh tứ giác AKHI là hình chữ nhật

Gọi M là giao điểm của AH và IK, N là giao điểm các đường trung trực của
IK và BC
Chứng minh được AO vuông góc với IK, từ đó suy ra tứ giác AMNO là hình
bình hành.
Do đó MA = ON = MK
Chứng minh được hai tam giác BON và NMI bằng nhau
Suy ra NI = NB = NK =NC
Vậy 4 điểm B, I ,K, C cùng thuộc một đường tròn.

0,25
0,25
1,0
0,25
0,25

4

a +b+c+d
+ Dễ dàng chứng minh được : abcd ≤ 
÷ (*)
4


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

1,0
0,25

+ Đặt HB = x , 0 < x < 2R => HC = 2R - x
Chứng minh được : HA = x.(2R − x)

Ta có: HA.HB = x x(2R − x) = (2R − x)x 3
3
HA.HB có giá trị lớn nhất ⇔ (2R − x)x có giá trị lớn nhất
⇔ x.x.x(2R – x) có giá trị lớn nhất

0,25


x x x
. . (2R − x) có giá trị lớn nhất
3 3 3
x
Áp dụng (*) với a = b = c =
3
4
x x x
1 x x x
R4

Ta có : . . (2R − x) ≤ 4  + + + (2R − x) ÷ =
3 3 3
4 3 3 3
16

x
3
Do đó tích HA.HB có giá trị lớn nhất ⇔ = (2R − x) ⇔ x = R .
3
2
Và khi đó xác định được vị trí điểm A trên nửa đường tròn là AC = R

⇔

0,25

0,25

Do x, y dương
2x
2x
1
1
(2 x − ) = 2 x +
.(2xy - 1) = 2xy + 1 =>
nên từ
y
y
y
y
1
2x
1
1
(2 x − ) = 2 x + ta suy ra 2x >
y >0
y
y
y
2x
1 2
1 2

và y .(2 x − y ) = (2 x + y ) (1)
1
1
Đặt a =2x + ; b = 2x. (a, b > 0; a 2 ≥ 4b)
y
y
2
2
2
2
Ta có: (1) ⇔ b(a − 4b) = a ⇔ a (b − 1) = 4b

Có

2
Suy ra : b - 1 > 0 và a =

5

0,25

4b 2
b −1

b2
1
1
1
= b +1+
= (b − 1) +

+ 2 ≥ 2 (b − 1).
+2=4
Lại có :
b −1
b −1
b −1
b −1

(theo bđt Cô si)
1
2
Do đó: a ≥ 16. Mà a > 0 nên a ≥ 4 ⇒ 2 x + y ≥ 4
1
Dấu “=” xảy ra khi : b − 1 =
⇔ (b − 1) 2 = 1 ⇔ b = 2
( do b> 0 )
b −1
1


2+ 2
2 x + y = 4 2 x = 2 + 2
x =



2
⇔ 1
⇔
Khi đó:  1

 2 x. = 2
 y = 2− 2
y = 2+ 2

 y

2

1,0
0,25

0,25

1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biếu thức 2x + y là 4 khi và chỉ khi
x= y=

2+ 2
.
2

* Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,25