Đề và đáp án thi học sinh giỏi môn Toán 9- THCS TT Bình Dương 2010-2011.

PHềNG GD T PH M THI HOẽC SINH GIOI CAP HUYEN (2010-2011)
TRNG THCS TT BèNH DNG Mụn TON, lp 9
xut Thi gian lm bi:150 phỳt
(khụng k thi gian phỏt )
Cõu 1: (5 im)
a) Cho biu thc
(x +
200620062006
22
=+++ )yy()x
Hóy tớnh tng : S = x + y
b) Cho 3 s tha món iu kin:
2 2 2
2 1 2 1 2 1 0x y y z z x+ + = + + = + + =
Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc :
A = x
2010
+ y
2010
+ z
2010
Bi 2 : (5im)
a) Cho biu thc :
2 2
5 4 2017M x x y xy y= + + +
Vi giỏ tr no ca x, y thỡ M t giỏ tr nh nht ? tớnh giỏ tr nh nht ú.
b) Tỡm cỏc s nguyờn dng n sao cho x = 2n + 2003 v y = 3n + 2005 u l nhng s chớnh
phng.
Cõu 3 : ( 5im ) gii phng trỡnh
a)
xx

x


1
36
= 3 + 2
2
xx
b)
4
2 4 2
2 2 2
1 1
3 3 2 5
3 1
( x )
( x ) x x
( x ) ( x )

+ + =

Cõu 4: ( 5im) Mt ng giỏc cú tớnh cht: Tt c cỏc tam giỏc co 3 nh l 3 nh liờn tip ca
ng giỏc u cú din tớch bng 1. Tớnh din tớch ca ng giỏc ú.
HNG DN CHM
UBND HUYN PH M THI HOẽC SINH GIOI CAP HUYEN
PHềNG GIO DC O TO Nm hc 2010-2011
Mụn TON, lp 9
xut Thi gian lm bi:150 phỳt
(khụng k thi gian phỏt )
Câu 1: (5 điểm) Ta có:

(
2 2 2 2
2006 2006 2006 2006x x )( y y )( x x x )( y y ) + + + + + +
)2006()2006(2006
22
xyyxx ++=
)2006)()2006(2006
22
++=<=> yyxx
Vậy
)yy()xx()yy)(xx( 2006200620062006
2222
++=++++
20062006
22
+=+ xyyx
(*)
Nếu x = 0 => y = 0 => S = 0
Nếu x 0 => y 0 từ (*) =>
0
2006
2006
2
2
>=
+
+
y
x
y

x
=> xy < 0
Vậy
2
2
2
2
2006
2006
y
x
y
x
=
+
+
=> 2006x
2
= 2006y
2
=> x
2
= y
2

=> (x-y)(x+y) = 0
mà xy < 0 => x - y 0
b) T gi thit ta cú :
2
2

2
2 1 0
2 1 0
2 1 0
x y
y z
z x

+ + =

+ + =


+ + =


Cng tng v cỏc ng thc ta cú:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1 0x x y y z z+ + + + + + + + =

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 0x y z + + + + + =

1 0
1 0
1 0
x
y

z
+ =


+ =


+ =

x = y = z = -1
Vy : A = x
2010
+ y
2010
+ z
2010
= (-1)
2010
+ (-1)
2010
+ (-1)
2010
A = 3
Bi 2 . (5,0 im) Ta cú:
=> S = x + y = 0
im
0.5
0,5
0.5
0.5

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
a)
( ) ( )
( )
2 2
4 4 2 1 2 2 2010M x x y y xy x y= + + + + + + − − + +

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 1 2 1 2010M x y x y= − + − + − − +

( ) ( ) ( )
2
2
1 3
2 1 1 2010
2 4
M x y y
 
⇒ = − + − + − +
 
 

Do
( )

2
1 0y − ≥
vµ
( ) ( )
2
1
2 1 0
2
x y
 
− + − ≥
 
 

,x y∀

2010M
⇒ ≥

min
2010 2; 1M x y⇒ = ⇔ = =

Câu 2 ( 2 điểm)
Giả sử 2n + 2003 = a
2
vµ 3n + 2005 = b
2
(a, b nguyên dương).
Khi ®ã 3a
2

- 2b
2
= 1999 (1) => a lÎ.
§Æt a = 2a
1
+ 1(a
1
∈ Z) => 2b
2
= 3.4a
1
(a
1
+1) - 1996
= 3.4a
1
(a
1
+1) - 2000 + 4
=> b
2
≡ 2 ( mod 4) Vô lý. Vậy không tồn tại số nguyên dương thoả mãn.
Câu 3: (2 điểm)
a) §K 0 < x < 1 vµ x ≠
2
1
Khử mẫu ở vế trái ta được phương trình:
3(
xx −+ 1
) = 3 + 2

2
xx −
§Æt
xx −+ 1
= t ⇒ ®k : 0 < t <
2
Phương trình viết thành : t
2
- 3 t + 2 = 0
Kết luận: x = 0 ; x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho
b)
điều kiện:
1
3
x
x
≠



≠ ±


Đặt a =(x-1)
2
; b = x
2
- 3
Phương trình
4

2 4 2
2 2 2
1 1
3 3 2 5
3 1
( x )
( x ) x x
( x ) ( x )
−
+ − + = − −
− −
trở thành:
2
4
2
2 2 4 2 2
4 2
2 2 2
1
2
1 1 1
1 2
1 1
a
b a b
b a
a a b ( a b )
Ta có : b a b a b
b a b a a b
+ + = +

+ +
+ + = + + ≥ = + + ≥ +
+ +
Dấu = xãy ra khi
2
1
1
a b
b

= =

=

khi đó x = 2
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5
1.0
0.25
0.25
C©u 5: (5 ®iÓm)
Giả sử ngũ giác ABCDE thỏa mãn đk bài toán
Xét ∆BCD và ECD và S
BCD
= S
ECD
đáy CD chung, các đường cao hạ từ.
B và E xuống, CD bằng nhau => EB//CD,
Tương tự AC// ED, BD //AE, CE // AB, DA// BC
Gọi I = EC ∩ BC => ABIE là hình bình hành.
=> S
IBE
= S
ABE
= 1. §Æt S
ICD
= x < 1
=> S
IBC
= S
BCD
- S
ICD
= 1-x = S
ECD

- S
ICD
= S
IED
L¹i cã
IBE
IBC
IDE
ICD
S
S
IE
IC
S
S
==
hay
1
1
1
x
x
x −
=
−
=> x
2
- 3x + 1 = 0 => x =
2
53±

do x < 1 => x =
2
53 −
.
VËy S
IED
=
2
15 −
Do ®ã S
ABCDE
= S
EAB
+ S
EBI
+ S
BCD
+ S
IED
= 3 +
2
15 −
=
2
55+
A
B
C
E
D

I
0.5
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
0.5
0.5