Chuyên đề giải bài toán đếm bằng phương pháp sử dụng song ánh

CHUYÊN ĐỀ:

GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SONG ÁNH

MÃ: TO02A


Chuyên đề:
GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SONG ÁNH
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những vấn đề đầu tiên của việc nghiên cứu tổ hợp là đếm xem
có bao nhiêu cấu hình được tạo ra với các quy tắc đã nêu? Để đếm được chính
xác, ta phải phân biệt được các cấu hình dựa vào các quy luật xây dựng chúng.
Vì thế có thể xem bài toán đếm là những bài toán luyện tập đầu tiên để con
người làm quen với tư duy tổ hợp, điều này giải thích vì sao một số bài toán đếm
đã được đưa vào phổ thông từ những năm mới đi học.
Bài toán đếm rất phong phú kể cả dạng phát biểu đến cách giải. Độ khó
của bài toán đếm được trải rất rộng: từ những bài toán dễ với các số liệu cụ thể,
có thể kiểm chứng bằng trực giác đến những bài toán khó hơn, với những dữ
liệu đầu vào bằng chữ mà kết quả của nó được biểu diễn bằng một công thức
toán học. Có những công thức được tìm ra qua một vài suy luận đơn giản nhưng
cũng có những công thức mà việc tìm thấy chúng phải kéo dài hàng thế kỷ. Có
những bài toán đếm gặp rất nhiều khó khăn, bế tắc nếu như giải bằng phương
pháp trực tiếp, trong khi giải bằng phương pháp gián tiếp lại trở nên rõ ràng, đơn
giản.
Để giải được bài toán đếm cần đòi hỏi học sinh phải tư duy tốt, linh hoạt,
sáng tạo. Bài toán đếm giúp học sinh phát huy tốt năng lực tư duy sáng tạo.
Vì những lí do trên, với mong muốn phát triển tư duy sáng tạo cho học

sinh, chúng tôi chọn nghiên cứu vấn đề “Giải bài toán đếm bằng phương pháp
sử dụng song ánh”.
2. Mục đích của đề tài
Vận dụng tính chất của song ánh vào giải bài toán đếm.
B. NỘI DUNG
1. Một số khái niệm
1


1.1. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh
* Khái niệm:
Cho ánh xạ f : A → B . Khi đó:
+ Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu với hai phần tử bất kì a1 ,a 2 ∈ A mà a1 ≠ a 2
thì f ( a1 ) ≠ f ( a 2 ) , tức là f ( a1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a1 = a 2
+ Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu với mọi b ∈ B đều tồn tại a ∈ A sao cho

f (a ) = b .
+ Ánh xạ f được gọi là song ánh khi và chỉ khi nó vừa là đơn ánh vừa là toàn
ánh.
* Tính chất:
Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Khi đó:
+ Nếu có một đơn ánh f : A → B thì A ≤ B
+ Nếu có một toàn ánh f : A → B thì A ≥ B
+ Nếu có một song ánh f : A → B thì A = B
1.2. Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị
a) Tổ hợp
Cho tập X gồm n phần tử ( n ≥ 1) . Mỗi tập con A gồm k phần tử của X

(1 ≤ k ≤ n ) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

Ckn =

n!
k!( n − k )!

b) Chỉnh hợp
Cho tập X gồm n phần tử ( n ≥ 1) . Mỗi bộ có thứ tự ( x1;x 2 ;...;x k ) gồm k
phần tử của X (1 ≤ k ≤ n ) được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

Akn =

n!
( n − k )!

2


c) Hoán vị
Cho tập X gồm n phần tử ( n ≥ 1) . Mỗi cách sắp sếp n phần tử này theo
một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử.
Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n!
2. Bài toán đếm
Đây là bài toán nhằm trả lời câu hỏi: “Có bao nhiêu cấu hình thỏa mãn
điều kiện đã nêu”.
3. Phương pháp sử dụng song ánh
Phương pháp sử dụng song ánh dựa trên ý tưởng sau: Nếu tồn tại một
song ánh từ A vào B thì A = B . Do đó, muốn chứng minh hai tập hợp có cùng
số phần tử, chỉ cần xây dựng một song ánh giữa chúng. Hơn nữa, ta có thể đếm

được số phần tử của một tập hợp A bằng cách xây dựng một song ánh từ A đến
một tập hợp B mà tập B đã biết cách đếm số phần tử.
4. Áp dụng
Bài toán 1: (Bài toán chia kẹo của Euler) Cho m và n là các số nguyên dương.
Xét phương trình nghiệm nguyên x1 + x 2 + ... + x n = m . Hỏi phương trình trên có
bao nhiêu nghiệm nguyên không âm?
(Bài toán trên xuất phát từ bài toán thực tế: Cho n, m là các số nguyên
dương. Hói có bao nhiêu cách chia m chiếc kẹo cho n người?).
Lời giải
Gọi X là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình đã cho và Y
là tập các xâu nhị phân có độ dài m + n − 1 , trong đó có m kí tự 1 và n − 1 kí tự
0.
Xét ánh xạ f : X → Y cho tương ứng mỗi phần tử x = ( x1;x 2 ;...;x n ) ∈ X
với phần tử y = 11...1011...100...011...1
{
{
{ .
x1

x2

xn

Ta chứng minh được f là song ánh. Do đó X = Y = Cnm−+1n−1 .
Bài toán 2 : Cho n là một số nguyên dương. Xét bảng ô vuông n × n . Hỏi trong
bảng đã cho có bao nhiêu hình vuông ?
3


Lời giải

Gọi X là tập các hình vuông trong bảng, X i , i = 1,n là tập các hình vuông
cạnh i trong bảng. Ta có X1 ,X 2 ,...,X n đôi một dời nhau và

X = X1 ∪ X 2 ∪ ... ∪ X n .
n

Do đó X = ∑ X i
i =1

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó mỗi hình vuông MNPQ cạnh k trong bảng tương ứng với một cặp
số tự nhiên ( a;b ) ∈ A × B , trong đó A = {0;1;2;...;n − k} , B = {0;1;2;...;n − k}
Ta thấy tương ứng trên là song ánh f : X → A × B.
Do đó X = A × B = A . B = ( n − k + 1) .
2

Bài toán 3 : Cho m, n là các số nguyên dương. Xét mạng lưới ô vuông kích
thước m × n trong hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Hỏi số đường đi ngắn nhất
(theo mạng lưới) từ điểm O ( 0;0 ) đến điểm A ( m;n ) là bao nhiêu ?

4


Lời giải
Một đường đi ngắn nhất (theo mạng lưới) từ O đến A sẽ bao gồm m bước
đi ngang và n bước đi lên.
Gọi X là tập các đường đi ngắn nhất (theo mạng lưới) từ O đến A ; Y là
tập các bộ số ( a1;a 2 ;...;a m +n ) ∈ {0;1}

m+n

Xét ánh xạ

, trong đó có n tọa độ bằng 1.

f : X → Y cho tương ứng mỗi đường đi

x∈X

với

y = ( a1;a 2 ;...;a m+n ) ∈ Y , trong đó a i bằng 0 nếu bước thứ i đi ngang và bằng 1
nếu bước thứ i đi lên.
Dễ dàng chứng minh được f là song ánh. Do đó X = Y = Cnm+n .
Bài toán 4 : Có n người xếp thành hàng dọc ( n ≥ 1 ). Hỏi có bao nhiêu cách chọn
ra k người sao cho trong số đó không có hai người nào đứng liên tiếp trong
hàng ?
Lời giải
Đánh số n người bằng số thứ tự 1 ; 2 ; 3 ; ... ;n. Một cách chọn

( a1;a 2 ;...;a k ) thỏa mãn 1 ≤ a1 < a 2 < ... < a k ≤ n , a i+1 − a i ≥ 2 , ∀i = 1;n − 1.

{

}

Ta phải tìm A với A = ( a1;a 2 ;...;a k ) | a i ∈{1;2;...;n},a i+1 − a i ≥ 2, ∀i = 1;n − 1

{

}

Đặt B = ( b1;b2 ;...;bk ) | bi = a i − i + 1, ∀i = 1;k − 1

= {( b1;b2 ;...;bk ) |1 ≤ b1 < b2 < ... < bk ≤ n − k + 1}
Xét ánh xạ f : A → B cho tương ứng mỗi

( a1;a 2 ;...;a k ) ∈ A

với

( b1;b2 ;...;bk ) ∈ B sao cho bi = ai − i + 1, ∀i = 1;k − 1.
Dễ dàng chứng minh được f là song ánh. Do đó A = B = Ckn−k+1.
Bài toán 5 : (Balkan 1997) Cho m, n là các số nguyên dương lớn hơn 1. Xét tập
X gồm n phần tử và A1;A 2 ;...;A m là m tập con của X thỏa mãn : vói mọi

x, y ∈ X, ( x ≠ y ) , tồn tại tập A k (1 ≤ k ≤ m ) sao cho x ∈ A k , y ∉ A k hoặc
x ∉ A k , y ∈ A k . Chứng minh rằng n ≤ 2m .
5


Lời giải
Đặt Y = {0;1} . Ta có Y = 2m . Xét ánh xạ f : X → Y cho tương ứng mỗi
m

x ∈ X với y = ( x1;x 2 ;...;x m ) sao cho x k = 1 nếu x ∈ X k và x k = 0 nếu x ∉ X k ,

k = 1,m .
Ta chứng minh được f : X → Y là đơn ánh. Do đó n ≤ 2m (đpcm).

Bài toán 6: (IMO 1989) Cho n là số nguyên dương. Một hoán vị ( x1;x 2 ;...;x 2n )
của tập {1;2;...;2n} được gọi là có tính chất T nếu tồn tại i ∈{1;2;...;2n − 1} sao
cho x i − x i+1 = n . Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, số các hoán vị có
tính chất T lớn hơn số các hoán vị không có tính chất T.
Lời giải
Gọi A là tập các hoán vị có tính chất T, B là tập các hoán vị không có tính
chất T.
Xét ánh xạ f : B → A cho tương ứng mỗi phần tử b = ( b1;b2 ;...;b 2n ) ∈ B ,

b2n − bk = n với phần tử a = ( a1;a 2 ;...;a k ;...;a 2n ) ∈ A trong đó
⎧⎪a i = bi , ∀i = 1,k
⎨
⎪⎩a i = b 2n −i+k +1 , ∀i = k + 1,2n
Ta thấy f đơn ánh.
Mặt khác vì phần tử b = (1;n + 1;2;n + 2;3;4;...;n;n + 3;n + 4;...;2n ) không
có tạo ảnh nên f không là toán ánh. Do đó A > B (đpcm).
Bài toán 7: Có một nhóm người mà trong đó, mỗi cặp không quen nhau có đúng
hai người quen chung, còn mỗi cặp quen nhau thì không có người quen chung.
Chứng minh rằng số người quen của mỗi người là như nhau.
Lời giải
Nếu a quen b. Gọi tập các người quen của a và b (không kể a, b) theo thứ
tự là A và B. Mỗi người a’ thuộc A sẽ quen với duy nhất một người thuộc B (do
a’ và b không quen nhau, hơn nữa họ sẽ có một người quen chung là a). Tương

6


tự, mỗi người thuộc B cũng quen với duy nhất một người thuộc A. Vậy tồn tại
một song ánh từ A đến B. Do đó a và b có số người quen bằng nhau.
Nếu a không quen b thì tồn tại c quen cả a và b. Do đó số người quen của

a và b bằng nhau (vì cùng bằng số người quen của c) .
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 8: (VMO 1996) Cho n,k,m∈• * thỏa mãn điều kiện 1 < k ≤ n , m > 1 .
Hỏi có bao nhiêu chỉnh hợp không lặp ( a1;a 2 ;...;a k ) chập k của n số nguyên
dương đầu tiên mà mỗi chỉnh hợp đó đều thỏa mãn ít nhất một trong hai điều
kiện:
(a) ∃i, j ∈ {1;2;...;k} sao cho i < j và a i > a j .
(b) ∃i ∈{1;2;...;k} sao cho a i − i không chia hết cho m.
Lời giải
Đặt A là tập gồm các chỉnh hợp chập k của n phần tử lấy từ tập

{1;2;...;n}, A* là là tập gồm các chỉnh hợp thỏa mãn giả thiết và

{

}

B = ( a1;a 2 ;...;a k ) ∈ A | a1 < a 2 < ... < a k ,a i − iMm, ∀i = 1,k
Ta có A = Akn và A* = A \ B .
Xét ánh xạ f : B → B'

( a1;a 2 ;...;a k ) a (a1 − 1 + m;a 2 − 2 + 2m;...;a k − k + km )

{

}

Với B' = ( b1;b2 ;...;bk ) | b1 < b2 < ... < bk ,bi ∈{1;2;...;n − k + km},bi M
m, ∀i = 1,k
Khi đó f : B → B' là song ánh.

Do đó B = B' = Ck⎡ n −k ⎤

⎢⎣ m ⎥⎦ + k

Vậy A* = A − B = A kn − Ck⎡ n −k ⎤ .
⎢⎣ m ⎥⎦ + k

Bài toán 9: (Olympic 30/4/2000) Hãy tính trung bình cộng tất cả các số N gồm
2002 chữ số thỏa mãn NM99 và các chữ số của N thuộc {1;2;3;4;5;6;7;8} .

7


Lời giải
Gọi M là tập các số N thỏa mãn điều kiện đề bài. Xây dựng ánh xạ f như
sau : Nếu N = a1a 2 ...a 2002 thì f ( N ) = b1b2 ...b2002 , với bi = 9 − a i , ∀i = 1,2002
Do N + f ( N ) = 99...9
M99 nên f : M → M là song ánh
{
2002 ch˜
 sË
 9

Do đó 2 ∑ N =
N∈M

∑ ( N + f ( N )) = M

N∈M

99...9
⇒
{

2002 ch˜
 sË
 9

1
Vậy số trung bính cộng các số N là
M

1

∑N= 2 M

N∈M

99...9
{

2002 ch˜
 sË
 9

1
102012 − 1
.
=
∑ N = 2 200299...9

{
2
N∈M
ch˜
 sË
 9

Bài toán 10 : (VMO 2012) Cho tập S gồm tất cả các số nguyên thuộc [1;n ]
( n ∈ • * ). T là tập tất cả các tập con khác rỗng của S. Với mỗi X ∈ T , kí hiệu

m ( X ) là trung bình cộng tất cả các phần tử các phần tử thuộc X. Tính

∑ m(X)

m = X∈T

T

.
Lời giải

Xét ánh xạ f : T → T

X a f ( X ) = {n + 1 − x | x ∈ X}
⎧m ( X ) + m ( f ( X ) ) = n + 1, ∀X ∈ T
⎪
Ta có f song ánh. Do đó ⎨
m ( X ) = ∑ m (f ( X ))
⎪⎩X∑
∈T

X∈T
Suy ra 2∑ m ( X ) = ∑ ⎡⎣ m ( X ) + m ( f ( X ) )⎤⎦ = T ( n + 1)
X∈T

Vậy m =

∑ m(X)

X∈T

T

=

n +1
.
2

C. KẾT LUẬN
Bài toán tổ hợp là bài toán có nội dung thực tế, lý luận hấp dẫn và lý thú,
những điều nghe như là đơn giản nhưng giải được nó là một quá trình tư duy sâu
sắc, ứng dụng ánh xạ sẽ làm rõ hơn cách giải toán rời rạc cho học sinh giải toán
ở trường Trung học phổ thông chuyên.
8


Do kinh nghiệm còn hạn chế nên bài viết không tránh khỏi những thiếu
sót. Rất mong nhận được sự bổ sung, góp ý để bài viết của tôi được hoàn thiện
hơn. Xin chân thành cảm ơn.

9