Chuyên đề sử DỤNG ÁNH xạ TRONG các bài TOÁN tổ hợp

SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP
MÃ: TO10

1. Lý thuyết.
1.1. Định nghĩa.
+ Cho hai tập hợp X và Y (khác rỗng). Một ánh xạ f từ X lên Y là một quy tắc cho
tương ứng mỗi phần tử x∈X với một và chỉ một phần tử y = f(x)∈Y.
+ Tập X gọi là tập nguồn, tập Y gọi là tập đích.
+ Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu với mọi x1, x2∈X, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.
(Hay nếu với mọi x1, x2∈X, x1 π x 2 fi f (x 1 ) π f (x 2 ))
+ Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu với mọi y∈Y, ∃x∈X sao cho f(x) = y.
+ Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
1.2. Định lí 1.
Với A, B là các tập hợp hữu hạn. Xét f là một ánh xạ đi từ A vào B
• Nếu f là đơn ánh thì |A| ≤ |B|
• Nếu f là toàn ánh thì |A| ≥ |B|
• Nếu f là song ánh thì |A| =|B|
1.3. Định lí 2.
Cho 2 tập hợp A và B có n phần tử, số lượng song ánh f: A Æ B là n!.
2. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho k, n là các số nguyên dương. Tìm số nghiệm nguyên không âm của
phương trình : x 1 + x 2 + ... + x k = n

(*)
( Bài toán chia kẹo của EULER )

Lời giải

1

Gọi A là họ các bộ {x 1 ; x 2 ;...; x k } thoả mãn, B là họ các dãy nhị phân có độ dài

n + k -­‐ 1 gồm k -­‐ 1 bit 0
Xét ánh xạ

f :

A

Æ

(x ; x ; x )
1

2

k

a

B
1,1,...,1, 0,1,1,...,1, 0,..., 0,1,1,...,1
1442 443
14442 4443 1442x 443
x
x1

2

k

Dễ dàng chứng minh được f là một song ánh.
Vậy số nghiệm của phương trình (*) sẽ tương ứng với số dãy nhị phân nhị phân có
độ dài n + k -­‐ 1 gồm k -­‐ 1 bit 0 và n bit 1. Mặt khác mỗi dãy nhị phân tương ứng
với một cách chọn k -­‐ 1 vị trí cho bit 0 nên số dãy nhị phân thoả mãn là C nk +-­‐ 1k -­‐ 1 .
Bài 2. Có bao nhiêu số nguyên dương có dạng abcde

thỏa mãn:

a £ b Lời giải
Gọi T là tập tất cả các số thỏa mãn yêu cầu bài toán, U là tập các số có dạng

a ' bcde '

sao

a'
cho

với

a ', b, c, d , e ' Œ{0;1;...; 9;10}; a ' = a -­‐ 1; e ' = e + 1
Xét ánh xạ: f : T Æ U
Hiển nhiên f là song ánh. Vậy T = U = C 115
Như vậy số các số thỏa mãn bài toán là: C115
Bài 3. Cho A = {1; 2;...;8} . Có bao nhiêu tập con X của A chứa 1 và không chứa
2?
Lời giải

Gọi T là số các tập con X của A thỏa mãn đề bài
Gọi T' là số các tập con X' của A ' = {3; 4;...;8} với X ' = X \ {1}
Xét ánh xạ: f : T Æ U

2


Hiển nhiên f là song ánh. Vậy T = T ' = 26 = 64
Bài 4. Một người đưa thư phân phối n bức thư mang tên người nhận khác nhau vào
n hộp thư của các ngưòi nhận. Do tên người nhận ghi trên phong bì bị mờ nên việc
phân phối được thực hiện ngẫu nhiên mỗi bức thư vào một hộp. Hỏi có bao nhiêu
kết quả phân phối khác nhau sao cho ít nhất 1 bức thư đến đúng địa chỉ.
Lời giải
Ta phát biểu lại bài toán như sau: Cho 2 tập hợp hữu hạn khác rỗng có cùng n phần
tử X = {x1, x2, …, xn} và Y = {y1, y2, …, yn}. Tìm số song ánh f: X Æ Y sao cho
tồn tại i Œ{1, 2,..., n } mà f (xi ) = yi " i = 1, 2,..., n.
Gọi Ai là tập hợp các song ánh f: X Æ Y sao cho f(xi) = yi. Khi đó ta có:

Ai = (n -­‐ 1)!; Ai « Aj = (n -­‐ 2)!; ...;
fi

n

»A

i =1

i

n

= Â Ai -­‐
i =1

Â

1£ i < j £ n

A1 « A2 « ... « An = 1.

Ai « Aj + ... + (-­‐ 1)n -­‐ 1 A1 « A2 « ... « An

2
n

n -­‐ 1

= n.(n -­‐ 1)!-­‐ C (n -­‐ 2)! + ... + (-­‐ 1)

1
1
(-­‐ 1)n
.1 = n ![1 -­‐
+ -­‐ ... +
].
2! 3!
n!

1
1

(-­‐ 1)n
Vậy số cách phân phối thoả mãn đầu bài là: n ![1 -­‐
+ -­‐ ... +
].
2! 3!
n!
Bài 5. Cho A = {a1 , a2 ,..., an } , (2 £ n Œ• ). Gọi H là tập hợp gồm các hoán vị của
A mà trong mỗi hoán vị đó phần tử ai không nằm ở vị trí thứ i. Tính H .
Lời giải
Ta phát biểu lại bài toán:
Tìm tất cả các song ánh f : A Æ A sao cho không tồn tại i để

f (ai ) = ai , " i Œ{1;2;...; n }.
Ta có số song ánh f : A Æ A là n !
Gọi Ai là tập hợp các song ánh f : A Æ A mà f (ai ) = ai .

3


Dễ thấy: Ai = (n -­‐ 1) !; Ai « Aj = (n -­‐ 2) !;...; A1 « A2 « ... « An = 1
Theo nguyên lí bù trừ, ta có:
n

H = n !-­‐ C n1 (n -­‐ 1) !+ C n2 (n -­‐ 2)!-­‐ ... + (-­‐ 1) C nn (n -­‐ n )!
Bài 6. (VMO - 2012 ) Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu là G1,G2 ,G3 ,G4 ,G5 , và
12 chàng trai. Có 17 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm
người đã cho ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời
thỏa mãn:
a/ Mỗi ghế có đúng một người ngồi;
b/ Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải, là G1,G2 ,G3 ,G4 ,G5 ;

c/ Giữa G1 và G2 có ít nhất 3 chàng trai;
d/ Giữa G 4 và G5 có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 4 chàng trai.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy?
(Hai cách xếp được coi là khác nhau nếu tồn tại một chiếc ghế mà người ngồi ở
chiếc ghế đó trong hai cách xếp là khác nhau).
Lời giải
Đánh số thứ tự các ghế từ trái sang phải là 1, 2, …,17.
Gọi g1, g2, g3, g4, g5 là vị trí chỗ ngồi của các cô gái G1, G2, G3, G4, G5 tương ứng.
Khi đó ta có 1 £ g1 < g 2 < g 3 < g 4 < g 5 £ 17 .
Ngoài ra ta còn có 3 < g2 -­‐ g1 ;1 < g5 -­‐ g 4 < 6 .
Đặt:

{

}

A = (g1, g2, g3, g 4 , g5 ) | 1 £ g1 < g2 < g3 < g 4 < g5 £ 17, 3 < g2 -­‐ g1 ;1 < g5 -­‐ g 4 < 6
Ta cần tìm |A|.
Đặt:

4


{
C = {(g , g , g , g , g ) | 1 £ g < g < g < g < g £ 17, 3 < g
thì rõ ràng ta có A = B \ C (với C ⊂ B), suy ra |A| = |B| - |C|.

}
g }

B = (g1, g2, g3, g 4 , g5 ) | 1 £ g1 < g2 < g3 < g 4 < g5 £ 17, 3 < g2 -­‐ g1 ;1 < g5 -­‐ g 4
1

2

3

4

5

Để tính |B|, ta đặt D =

1

2

3

4

5

{(h , h , h , h , h ) | 1 £ h
1

2

3

4

5

1

-­‐ g1 ;6 £ g5 -­‐

2

4

}

< h2 < h3 < h4 < h5 £ 13

và xét ánh xạ f: B à D, f (g1, g 2 , g 3 , g 4 , g 5 ) Æ (g1, g 2 -­‐ 3, g 3 -­‐ 3, g 4 -­‐ 3, g 5 -­‐ 4 ) Dễ
thấy f là một song ánh.
Nhưng |D| bằng số cách chọn 5 phần tử ra từ 13 phần tử nên ta có |D| = C135 . Vậy
|B| = |D| = C135 .
Một cách hoàn toàn tương tự, ta tính được | C | = C 95 . Vậy số cách xếp chỗ cho 15
cô gái bằng C135 -­‐ C 95 = 1161..
Vì còn có 12 chàng trai có thể hoán đổi vị trí ở 12 chiếc ghế dành cho họ nên số
cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là 12! 1161.

˘
Bài 7. (VMO - 2002) Cho tập S gồm tất cả các số nguyên trong đoạn È
ÍÎ1;2002˙˚. Gọi
T là tập hợp tất cả các tập con không rỗng của S. Với mỗi X thuộc T, kí hiệu m(X)
là trung bình cộng các phần tử của X. Đặt m =

 m (X )
T

ở đây tổng lấy theo tất

cả các tập hợp X thuộc T. Hãy tính giá trị của m.
Lời giải
Cách

1:

{

Xây

dựng

song

ánh

f:

}

T ÆT

(

như

sau:

)

f (X ) = 2003 -­‐ x x ŒX " X ŒT . Rõ ràng m (X ) + m f (X ) = 2003 . Do đó:
2Â m (X ) =

 (m (X ) + m ( f (X ))) = T .2003 fi

Cách 2: Với mỗi k Œ{1, 2,..., 2002} , đặt mk =
cả các tập hợp X thuộc T mà X = k .

5

m=

 m (X ) = 2003 .
T

2

 m (X ) ở đây tổng lấy theo tất


k -­‐ 1
Xét số a bất kì thuộc tập S. Dễ thấy: a có mặt trong C 2001
tập X thuộc T mà

X = k . Suy ra:
k -­‐ 1
k -­‐ 1
. Do đó:
k .mk = (1 + 2 + ... + 2002)C 2001
= 1001.2003.C 2001

2002

 m (X ) =  m
k =1

2002

Dễ thấy T = 2

k -­‐ 1
C 2001

2002

k

= 1001.2003.Â

k

k =1

(

)

2003 22002 -­‐ 1
Ê2003 ˆ˜ 2002 k
˜˜ . C 2002 =
=Á
Á
Á
2
Ë 2 ¯ˉ˜ k =1

Ê m (X )ˆ˜
ÁÂ
˜˜ = 2003
-­‐ 1 . Vì vậy: m = Á
Á
˜
Á
2
Á
Ë T
¯ˉ˜˜

Bài 8. Hãy trung bình cộng tất cả các số N = a1a2 ...an chia hết cho 99 và các chữ số
của N thuộc tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Lời giải
Gọi T là tập tất cả các số dạng. Khi đó xét tương ứng f: T → T

a1a2 ...an → b1b2 ...bn

với bi = 9 - ai, i = 1, 2, ..., n. K. Ta thấy: N + f(N) = 99...9 M99 nên f(N)∈T và f là
một ánh xạ. Dễ chứng minh f là song ánh. Khi đó:

2Â N =
N ŒT

.
 (N + f (N )) =T| | . 99...9
{

N ŒT

n -­‐ ch˜
 sË
 9

10n -­‐ 1
Suy ra trung bình cộng các số N là: 99...9
.
=
{
2
n -­‐ chu so 9
Bài 9. (VMO 1996) Cho n, k, m ∈N* thoả mãn điều kiện 1< k ≤ n, m > 1. Hỏi có
bao nhiêu chỉnh hợp chập k: (a1 , a2 ,..., ak )của n số nguyên dương đầu tiên mà mỗi
chỉnh hợp đó đều thoả mãn ít nhất một trong hai điều kiện sau:
i) ∃ i, j ∈{1, 2,...,k} sao cho i < j và ai > aj ;
ii) ∃ i ∈{1, 2,...,k} sao cho ai – i không chia hết cho m.
Lời giải

6


Đặt A = {tập các chỉnh hợp chập k của (1,2,...,n)};
A* = {tập các chỉnh hợp thoả mãn giả thiết};
B = { (a1 , a2 ,..., ak )∈A ⎢a1 < a2 <...< ak và ai – i Mm ∀i = 1,2,...,k}.
Dễ thấy A* = A\B.
Xét ánh xạ f: B → B’, (a1, a2 ,..., ak ) a

(a

1

-­‐ 1 + m, a2 -­‐ 2 + 2m,..., ak -­‐ k + km ).

Khi đó f là song ánh từ B đến B’.
với

{

B ' = (b1, b2 ,..., bk ) b1 < b2 < ... < bk , bi Œ{1, 2,..., n -­‐ k + km}, bi Mm " i = 1,..., k
. Do đó: B = B ' = C Èkn -­‐ k ˘ . Vậy A * = A -­‐ B = Ank -­‐ C Èkn -­‐ k ˘
Í
˙
Í m ˙+k
Î
˚

}

Í
˙
Í m ˙+k
Î
˚

Bài 10. Cho tập A = {1, 2, 3, ..., 30}. Hỏi có bao nhiêu số tập con của A có tổng
các phần tử thuộc nó không lớn hơn 232?
Lời giải
Gọi S (A) là tổng các phần tử thuộc tập A. Suy ra S (A) = 465
Gọi S là tập các tập con của A có tổng các phần tử không vượt quá 232; D là tập các
tập con của A có tổng các phần tử không bé hơn 233; N là tập các tập con của A.
Ta có: N = S » D; S « D = ∆ fi N = S + D

(1)

Xét ánh xa:

f :

Nếu B ŒS €

Âa£

N Æ N
B Æ A\B

232 € 465 -­‐

a ŒB

 a ≥ 233 € Â

a ŒB

a ŒA \B

(2)

Hiển nhiên f là song ánh, suy ra: S = D
Từ (1), (2) fi S =

N
2

=

230
= 229 .
2

7

a ≥ 233 € A \ B ŒD


3. MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Cho n người xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra k người
sao cho 2 người liên tiếp không được chọn (với n > 2k).
Bài 2. Cho X = {1, 2, ..., 2008}. Hỏi có bao nhiêu tập con A của X có tính chất: A

có 3 phần tử và A không chứa hai số nguyên liên tiếp nào.
Bài 3. Người ta xếp n HS nam và n học sinh nữ thành một hàng sau đó tìm cách cắt
thành hai hàng sao cho mỗi hàng mới có số HS nam bằng số HS nữ. Chứng minh
rằng số cách cắt hàng thỏa mãn yêu cầu trên một cách duy nhất gấp đôi số cách cắt
hàng không thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Bài 4. Từ các số 10, 11, 12,…, 99 ta thành lập một tập con S tuỳ ý gồm 10 số phân
biệt. CMR: Từ tập S này có thể tách ra 2 tập con rời nhau mà tổng các phần tử ở 2
tập con đó bằng nhau.
Bài 5. Một bàn tròn có 2n ghế. Cần sắp xếp n cặp vợ chồng vào bàn tròn sao cho
đàn ông ngồi xen kẽ với đàn bà và không có cặp vợ chồng nào ngồi cạnh nhau (có
tính đến vị trí ghế và thứ tự chỗ ngồi). Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Bài 6. Có 2n người xếp hàng mua vé. Giá vé là 50.000, có n người có tiền 50.000
và n người chỉ có tiền 100.000, trong quầy ban đầu không có tiền lẻ. Mọi người vào
mua vé theo một thứ tự ngẫu nhiên. Tính xác suất để tất cả mọi người đều có thể
mua vé mà không phải chờ để lấy tiền trả lại. Nếu trong quầy đã có sẵn k tờ tiền
5.000 thì sao?
Bài 7. Cho n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2. Kí hiệu A = {1, 2, …, n}. Tập
con B của tập A được gọi là 1 tập "tốt" nếu B khác rỗng và trung bình cộng của các
phần tử của B là 1 số nguyên. Gọi Tn là số các tập tốt của tập A. Chứng minh rằng
Tn – n là 1 số chẵn.

8


Tài liệu tham khảo
1.

Văn Phú Quốc (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán tập I, NXB Đại học
Quốc Gia Hà Nội.

2.

Nguyễn Văn Thông (2012), Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán TỔ HỢP - RỜI RẠC,
NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.

3.

Nguyễn Văn Thông (Chủ biên), Nguyễn Văn Hiếu, Nguyễn Văn Minh (2013),
Bồi dưỡng học sinh giỏi luyện giải đề trước kỳ thi vào lớp 10 ba miền Bắc Trung - Nam môn Toán, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.

4.

Tủ sách toán học & tuổi trẻ (2007), Các bài thi Olympic Toán Trung học phổ
thông Việt Nam 1990 - 2006, NXB Giáo dục.

5.

Tuyển tập 30 năm Toán học tuổi trẻ, NXB Giáo dục, 2004.

9