Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm rút gọn biểu thức đại số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN TIN

…

…

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
VỀ NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM

Tên đề tài:

“RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ”

Người hướng dẫn

: ThS. Phạm Hoàng Hà

Cán bộ giảng viên khoa Toán –Tin, ĐHSP Hà Nội.
Người thực hiện

: Trần Văn Trung

Số báo danh, ngày sinh

: 29-03-1980

Trường: PTDTBTTH và THCS Trạm Tấu
Phú Thọ, 6-2012

Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

MỤC LỤC
TT
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Nội dung
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Lý do khách quan
1.2. Lý do chủ quan
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu

Trang
4
4
5
5
6
6

6
6

9.

PHẦN II: NỘI DUNG

7

10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1. Cơ sở lý luận
2. Cơ sở thực tiễn
3. Mục đích, yêu cầu, chuẩn kiến thức, kỹ năng
4. Thực trạng
Chương 2: Các giải pháp chính
I. Lý thuyết áp dụng
II. Các biện pháp chính để thực hiện

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
1. Mục đích thực nghiệm
2. Nội dung thực nghiệm
3. Kết quả thực nghiệm

7
7
8
9
10
11
11
12
41
41
41
49

22.

PHẦN III: KẾT LUẬN

50

23.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

52

Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

2


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

CÁC TỪ VÀ CỤM TỪ ĐƯỢC VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI
1. GDTHCS: Giáo dục trung học cơ sở
2. THCS: Trung học cơ sở
3. THPT: Trung học phổ thông
4. GV: Giáo viên
5. HS: Học sinh
6. BGDĐT: Bộ Giáo dục và Đào tạo
7. SGK: Sách giáo khoa
8. SGV: Sách giáo viên
9. SBT: Sách bài tập
10. KHTN: Khoa học tự nhiên
11. ĐKXĐ: Điều kiện xác định

Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

3


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Lý do khách quan:

Như chúng ta đã biết giáo dục nói chung và giáo dục bậc THCS nói riêng
nhằm giúp học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn
và lâu dài về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản để học
sinh tiếp tục học lên. Mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo
ra con người có trí tuệ phát triển, giầu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao. Để
đào tạo ra lớp người như vậy thì Bộ giáo dục đã xác định ''Phải áp dụng phương
pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo,
năng lực giải quyết vấn đề" và tiếp tục khẳng định "Phải đổi mới giáo dục đào
tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nền nếp tư duy sáng tạo
của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện
đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh''.
Môn toán là một trong những môn học chiếm một vị trí rất quan trọng và
then chốt trong nội dung chương trình các môn học bậc THCS. Các kiến thức kĩ
năng của môn toán ở THCS có nhiều ứng dụng trong đời sống, chúng rất cần
cho người lao động, rất cần thiết để học các môn học khác ở THCS và các lớp
trên. Môn toán giúp học sinh nhận biết các mối quan hệ về số lượng và hình
dạng không gian của thế giới hiện thực. Nhờ đó mà học sinh có phương pháp
nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt động có hiệu
quả trong đời sống. Môn toán góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện
phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề.
góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo, và
đang giúp vào việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người
lao động như: cần cù, cẩn thận, có ý chí vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có
nề nếp và tác phong khoa học. Quá trình học môn toán phải nhằm mục đích đào
tạo con người mà xã hội cần. Đất nước ta đã và đang bước vào kỉ nguyên của
khoa học thông tin, đòi hỏi mỗi chúng ta đều phải đầu tư và suy nghĩ để tìm ra
những biện pháp tốt nhất làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông, cơ
bản thiết thực có kĩ năng thực hành toán, giúp cho học sinh phát triển năng lực
tư duy lôgic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, khả năng tưởng
tượng và bước đầu hình thành nhân cách qua học môn toán. Hình thành ở học

sinh các phẩm chất đạo đức và có năng lực cần thiết như giáo dục đề ra.
Toán học là môn khoa học có từ lâu đời, nó nghiên cứu về nhiều thể loại,
đa dạng và phong phú, nó có lí luận thực tiễn lớn lao và quan trọng như đồng chí
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

4


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

Phạm Văn Đồng đã nói: “Toán học là môn thể thao của trí tuệ nó giúp cho
chúng ta rèn luyện tính thông minh và sáng tạo”. Do đã trang bị cho học sinh
những kiến thức toán học không chỉ gồm các khái niệm, định nghĩa, quy tắc,
tổng quan, … Mà phải trang bị cho học sinh các kĩ năng và phương pháp giải
bài tập, vận dụng toán học vào thực tế cuộc sống. Bắt đầu từ năm lớp 7, học sinh
được làm quen với loại toán rút gọn biểu thức, loại toán này tiếp tục được dạy kĩ
hơn ở lớp 8, lớp 9. Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kì, thi học sinh giỏi, thi
tốt nghiệp, tuyển sinh vào các trường THPT.
1.2. Lý do chủ quan:
Đại số là một môn đặc biệt của toán học. Nếu đi sâu vào nghiên cứu về
môn đại số hẳn mỗi chúng ta sẽ được chứng kiến “Cái không gian ba chiều” lí
thú của nó mà không bao giờ vơi cạn. Rút gọn biểu thức đại số là một trong
những nội dung quan trọng trong chương trình toán của trường THCS. Việc rút
gọn được những biểu thức đại số không đơn giản chỉ là biến đổi thông thường
mà nó đòi hỏi những hiểu biết lô gic và cách giải toán có yếu tố sáng tạo; nó có
ý nghĩa trong việc rèn luyện óc phân tích và biểu thị toán học những mối liên
quan của các đại lượng trong thực tiễn. Trong phân môn đại số - chương trình
toán các lớp 7,8,9 THCS số tiết về dạy học các bài toán rút gọn biểu thức đại số
đã chiếm một vị trí quan trọng, làm nền tảng để phát triển khả năng toán.
Về cả hai phía giáo viên và học sinh đều có khó khăn khi dạy và học kiểu

bài này. Đây là một vấn đề quan trọng và bức thiết. Lâu nay chúng ta đang tìm
kiếm một phương pháp dạy học sinh giải các bài toán rút gọn làm sao đạt hiệu
quả. Các tài liệu, các sách tham khảo, sách hướng dẫn cho giáo viên cũng chưa
có sách nào đề cập đến phương pháp dạy kiểu bài này. Có chăng chỉ là gợi ý
chung và sơ lược. Đặc biệt rất nhiều học sinh thường xem nhẹ việc rút gọn biểu
thức đại số và vô tình đã quên đi các ứng dụng quan trọng và là chìa khóa, nền
tảng để giải quyết các vấn đề toán học trong trường THCS.
Một số em chưa biết cách giải loại toán này, mà ta gọi là phương pháp. Đi
theo kết quả của bài toán rút gọn biểu thức có các dạng toán: Giải phương trình,
bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức, tìm giá trị của biến
x để biểu thức nhận giá trị nguyên …Vì vậy, phần trên mà không rút gọn được
biểu thức thì học sinh không thực hiện được các bước tiếp theo cần có kết quả
rút gọn biểu thức.
Vậy cách trình bày một bài toán rút gọn biểu thức như thế nào, phương
pháp giải bài toán đã cho ra sao. Để định hướng cho mỗi học sinh phát huy được
khả năng của mình khám phá những kiến thức, nâng cao chất lượng giáo dục. Vì
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

5


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

vậy mỗi giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán cần có giải pháp tích cực để
nâng cao chất lượng giảng dạy phần rút gọn biểu thức đại số.
Trước tình hình trên, bản thân Tôi là một giáo viên toán cấp THCS, cũng
đã từng trăn trở nhiều về vấn đề trên. Với đề tài này Tôi không có tham vọng lớn
để bàn về vấn đề: “Giải các bài toán” ở trường phổ thông. Tôi chỉ xin đề xuất
một vài ý kiến về phương pháp dạy kiểu bài “Rút gọn biểu thức đại số" đối với
học sinh lớp 8,9 THCS mà Tôi đã từng áp dụng thành công.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về rút gọn biểu thức là một trong những vấn đề cơ bản của phân
môn đại số, nhằm giúp cho học sinh hiểu rõ phương pháp tiếp cận cách giải bài
toán rút gọn biểu thức. Trên cơ sở đã phát hiện những khó khăn đồng thời đề ra
những giải pháp thực hiện đạt hiệu quả cao trong việc giảng dạy và học tập tại
trường PTDTBTTH và THCS Trạm Tấu (huyện Trạm Tấu, tỉnh Yên Bái)
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Điều tra sơ bộ về việc dạy và học của các đồng nghiệp, các em học sinh
trường PT DTBTTH và THCS Trạm Tấu (huyện Trạm Tấu, tỉnh Yên Bái về việc
dạy và học "Rút gọn biểu thức đại số".)
- Phát hiện những khó khăn, vướng mắc trong quá trình dạy và học.
- Từ đã đề xuất một số biện pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy và học về
rút gọn biểu thức đại số
- Thực nghiệm những giải pháp đã ở trường và đánh giá kết quả đạt được.
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
- Đối tượng: Học sinh các khối 8,9 và đặc biệt là học sinh giỏi các khối.
- Giới hạn kiến thức: Chương trình đại số lớp 7, 8, 9 ở trường THCS.
5. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu để tìm ra phương pháp dạy có hiệu quả về rút
gọn biểu thức đại số. Tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp điều tra, phỏng vấn: Nghiên cứu nắm tình hình của lớp,
từng học sinh để có phương pháp dạy học thích hợp.
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu mục tiêu dạy học môn
Toán, mục tiêu dạy học các bài về rút gọn biểu thức đại số.
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

6


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Xây dựng kế hoạch dạy học, chuẩn
bị kĩ cho từng tiết lên lớp, tiến hành giờ dạy,thực hiện kiểm tra đánh giá từ đã
nắm tình hình học tập của học sinh để từ đã điều chỉnh quá trình dạy, bồi dưỡng
học sinh giỏi, giúp đỡ học sinh yếu kém. Tham khảo tài liệu của các đồng
nghiệp, dự giờ một số lớp học, tham khảo ý kiến đồng nghiệp; thu thập các tư
liệu cho bài dạy như tranh ảnh, bài toán, bài đố vui, trò chơi, sách báo có liên
quan…

PHẦN II: NỘI DUNG
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1. Cơ sở lý luận:
- Căn cứ Luật Giáo dục, Điều 27 Mục tiêu của giáo dục phổ thông: Điều
27. Mục tiêu của giáo dục phổ thông, cụ thể như sau:
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển tồn diện về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá
nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã
hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh
tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ
quốc.
- Xuất phát từ mục tiêu chung của giáo dục trung học cơ sở:
Giáo dục THCS nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả
của Tiểu học, có trình độ học vấn phổ thông cơ sở và những hiểu biết ban đầu về
kĩ thuật và hướng nghiệp học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.
- Học hết chương trình THCS học sinh đạt yêu cầu sau:
+ Yêu nước, hiểu biết, có niềm tin vào lý tưởng độc lập dân tộc vào chủ
nghĩa xã hội.
+ Có kiến thức phổ thông cơ bản, tính giản, thiết thực, cập nhật làm nền
tảng từ đã có thể chiếm lĩnh những nội dung khác của KHTN.
+ Có kỹ năng bước đầu vận dụng vào những kiến thức và kinh nghiệm thu

được của bản thân.
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

7


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

+ Hình thành và phát triển các năng lực chủ yếu.
- Xuất phát từ mục tiêu môn toán trung học cơ sở: Đào tạo con người mà
xã hội cần:
+ Làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông cơ bản thiết thực.
+ Có kĩ năng thực hành toán.
+ Hình thành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và các kĩ năng cần thiết
như mục tiêu giáo dục THCS đã đề ra. Ngoài việc cung cấp cho học sinh 1 số
kiến thức Toán và dạy cho học sinh biết tính toán, mục tiêu của môn Toán còn
đề cập đến phương pháp, kĩ năng phát triển các năng lực trí tuệ của học sinh ở
phẩm chất đạo đức.
- Căn cứ Chỉ thị 3398/CT-BGDĐT, ngày 12/8/2011 của Bộ GD&ĐT về
nhiệm vụ trọng tâm của giáo dục mầm non, giáo dục phổ thông, giáo dục thường
xuyên và giáo dục chuyên nghiệp năm học 2011 - 2012;
- Căn cứ Công văn số 5358/BGDĐT-GDTrH, ngày 12/8/2011 của Bộ
GD&ĐT về hướng dẫn nhiệm vụ giáo dục trung học.
2. Cơ sở thực tiễn:
2.1. Nội dung về rút gọn biểu thức đại số
a) Khái niệm về biểu thức đại số:
- Ở lớp 5, lớp 6 học sinh đã được biết đến khái niệm biểu thức: Các số
được nối với nhau bởi dấu các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy
thừa) làm thành một biểu thức.
Ví dụ: 5+3-2 ; 12:6.2 ; 153.47 ; 4.32- 5.6 ; 13.(3+4) ;… là những biểu

thức. Những biểu thức như trên còn được gọi là biểu thức số.
- Khái niệm biểu thức đại số ở lớp 7: Trong toán học, vật lý…ta thường
gặp những biểu thức mà trong đã ngồi các số, các ký hiệu phép toán cộng, trừ,
nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có cả các chữ (đại diện cho các số). Người ta
gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số.
Ví dụ: Các biểu thức: 4x ; 2.(5+a) ; 3.(x+y) ; x2 ; xy ;

1
150
; x − 0,5 ; … là
t

những biểu thức đại số.
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

8


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

b) Các mạch kiến thức có liên quan đến việc rút gọn biểu thức đại số
trong chương trình toán THCS:
* Ở lớp 7: Đơn thức -> Đơn thức đồng dạng (cộng, trừ các đơn thức đồng
dạng) -> Đa thức (cộng, trừ đa thức; đa thức 1 biến và cộng, trừ đa thức 1 biến).
* Ở lớp 8: Cóhẳn 1 chương về phân thức đại số, bao gồm: Phân thức đại
số-> tính chất cơ bản của phân thức-> Rút gọn phân thức-> Quy đồng mẫu thức
nhiều phân thức-> Phép cộng, trừ các phân thức đại số-> Phép nhân, chia các
phân thức đại số-> Biến đổi các biểu thức hữu tỉ (tìm giá trị của phân thức).
Giáo viên cần chú ý đến những vấn đề sau:
3. Yêu cầu chuẩn kiến thức, kỹ năng

- Trên vành số nguyên ¢ có hai phép toán: cộng và nhân. Đối với phép
cộng, ¢ là một nhóm aben. Do đã với phép trừ khi biết hai số nguyên a và b ta
tìm được một số nguyên x sao cho b+x = a; x được gọi là hiệu của a đối với b và
kí hiệu x=a-b. Phép tìm hiệu được gọi là phép trừ. Trong khi đó, nếu biết hai số
nguyên a và b, b ≠ 0, không phải bao giờ ta cũng tìm được một số nguyên x sao
cho bx= a. Nói cách khác, trên vành số nguyên chưa có phép chia cho một số
khác 0. Để tìm một tập hợp số trong đó có thể chia cho một số khác 0 bất kì ta
đã mở rộng vành số nguyên thành trường số hữu tỉ. Ở đã mỗi số nguyên a được
đồng nhất với số hữu tỉ dạng

a
1
và nếu a ≠0 thì có số hữu tỉ , ký hiệu là a-1, gọi
1
a
a 1
=1. Nhờ khái niệm này, với hai số nguyên
1 a

là nghịch đảo của a, mà a.a -1= .
tùy ý a và b, b ≠ 0, ta có:

a b
a b
a 1
a
= .( )-1 = . = .
1 1
1 1
1 b

b

a:b = :

Bây giờ với hai số nguyên a và b tùy ý, b ≠ 0, ta tìm được một số hữu tỷ x
sao cho bx = a. Đó là
a
1

b
1

x = a.b-1 = .( )-1 =

a 1
a
. = .
1 b
b

- Đối với tập các đa thức trên trường số, tình hình cũng tương tự. Đối với
phép cộng nó là một nhóm aben. Do đó cũng có phép trừ đa thức. Phép nhân các
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

9


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

đa thức có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép cộng. Vì vậy

trên tập các đa thức trên trường số cũng có một cấu trúc vành. Song với hai đa
thức tùy ý A và B, B ≠ 0, không phải bao giờ cũng tìm được một đa thức C để
A= BC. Nên ta lại phải mở rộng vành này thành trường các phân thức hữu tỉ
bằng một phương pháp tương tự như khi mở rộng vành số nguyên ¢ thành
trường số hữu tỉ. Vì vậy việc cốt lõi là yêu cầu giáo viên phải cho học sinh nắm
được: Định nghĩa khái niệm phân thức đại số và khái niệm phân thức đại số
bằng nhau; định nghĩa phép cộng và phép nhân phân thức, định nghĩa phân thức
đối, phân thức nghịch đảo và từ đó định nghĩa phép trừ và phép chia các phân
thức.
4. Thực trạng:
- Việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở địa phương
là học sinh miền núi, trình độ nhận thức chậm, chưa nỗ lực trong học tập. Đa số
các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án hoặc hướng dẫn giải để tham
khảo, nên khi gặp bài tập có dạng khác các em thường lúng túng chưa tìm được
hướng giải thích hợp, không biết sử dụng phương pháp nào trước, phương pháp
nào sau, phương pháp nào phù hợp nhất, hướng nào tốt nhất.
- Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa
triệt để.
- Phụ huynh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con
mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập ở nhà.
- Phương pháp chung để giải bài toán cần có những gợi ý để thầy hỗ trợ
cho học sinh, để học sinh tự suy nghĩ tìm ra lời giải. Trước khi giải một bài toán
phải tìm hiểu kĩ nội dung yêu cầu của đề bài: Đâu là cái cần tìm? Cái đã cho?
Cái phải tìm thỏa mãn điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa?
… Tìm ra cách giải hợp lí nhất.
- Việc rút gọn biểu thức là một trong những vấn đề cơ bản của phân môn
đại số. Học sinh phải tìm hiểu kỹ các dạng biểu thức khi đưa ra nó ở dạng nào,
tính giá trị của biểu thức hay chứng minh biểu thức, rút gọn biểu thức . . . Học
sinh lúng túng khi rút gọn phải sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

10


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

nhân tử, sử dụng các phép toán và tính chất của cá phép toán, học sinh hay nhầm
lẫn. Do vậy giáo viên cần rèn luyện cho học sinh có kĩ năng trình bày lời giải
cho các dạng bài tập, để giúp phần nào giải quyết được các dạng bài tập rút gọn
biểu thức đại số và khắc phục những vướng mắc trên. Tôi đưa ra một đề tài về
các bài tập rút gọn biểu thức đại số mà Tôi đã tìm hiểu, tập hợp được thông qua
thực tế giảng dạy.
Chương 2: Các biện pháp sư phạm cần thực hiện để góp phần nâng
cao chất lượng dạy học các bài rút gọn biểu thức đại số
Đề tài hướng dẫn học sinh THCS giải loại toán rút gọn biểu thức đại số.
Tôi đề cập ba vấn đề qua ba dạng toán như sau:
+ Dạng 1: Rèn luyện nhuần nhuyễn những bài toán cơ bản ở SGK, SBT
để tìm hướng giải quyết
+ Dạng 2: Rèn luyện cho học sinh những dạng toán tổng hợp để phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh.
+ Dạng 3: Trên cơ sở đã cần tận dụng thời gian để rèn luyện kỹ năng giải
các bài tập nâng cao ở THCS đối với học sinh khá giỏi.
I. Lý thuyết áp dụng
1. Khái niệm biểu thức đại số:
Tính giá trị của một biểu thức đại số, đơn thức, đa thức.
2. Tính chất các biểu thức đại số
- Nhớ được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Cộng trừ nhân chia đa thức.
- Phân tích đa thức thành nhân tử, quy tắc đổi dấu.
- Rút gọn phân thức.

- Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.
- Cộng trừ các phân thức đại số.
- Nhân chia các phân thức đại số.
- Biến đổi các phân thức hữu tỉ.
3. Hiểu được thế nào là căn bậc hai.
- Các phép tính rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai.
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

11


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

- Căn bậc ba.
II. Các biện pháp chính để thực hiện
Phương pháp giải:
Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện như sau:
- Tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa (mà ta gọi tắt là tìm điều
kiện xác định cho những biểu thức chứa chữ);
- Quy đồng mẫu số chung (nếu có);
- Đưa bớt thừa số chung ra khỏi căn thức (nếu có);
- Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa, khai căn;
- Cộng trừ các số hạng đồng dạng;
- Với điều kiện xác định đã tìm được trả lời kết qủa rút gọn biểu thức.
Dạng 1: Các bài tập minh hoạ
Rèn tính nhuần nhuyễn: Yêu cầu với dạng này phải khai thác triệt để
kết hợp với những kiến thức đã học để tìm lời giải. Đầu tiên giúp các em làm
quen với biểu thức đại số rồi đến rút gọn biểu thức đại số. Tôi chọn những
bài toán đơn giản có ở SGK và SBT phù hợp với mọi đối tượng học sinh.
Bài 1.1:

Tính giá trị biểu thức đại số sau tại x = 1; y = -1; z = 3
a) (x2y - 2x - 2z)xy

b) xyz +

Hướng suy nghĩ:
- Đây là bài toán tính giá trị của biểu thức được làm quen ở lớp 7. Đầu
bài cho biểu thức và cho biết giá trị x, y, z. Do đã học sinh chỉ thay giá trị x, y, z
vào biểu thức rồi thực hiện phép tính, trong quá trình thực hiện luơn để ý đến
dấu và luỹ thừa
Giải tóm tắt.
a) Thay x = 1; y = -1; z = 3 vào biểu thức (x2y - 2x - 2z)xy

ta được:

[12(-1) - 2.1 - 2.3].1.(-1) = [ -1 - 2 - 6].(-1) = (-9).(-1) = 9
b) Thay x = 1; y = -1; z = 3 vào biểu thức xyz +

ta được:

1.(-1).3 + = -3 + = -3 - 1 = -4
Học sinh hay mắc sai lầm là biến đổi luỹ thừa và dấu của nó
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

12


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

Bài 1.2

Rút gọn phân thức:
a)

b)

Hướng suy nghĩ:
- Để giải bài toán này học sinh cần phải nắm được các bước rút gọn
phân thức;
- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ cho phù hợp;
- Vận dụng quy tắc đổi dấu.
Giải tóm tắt:
a) = = =
b) = =
Lưu ý học sinh hay nhầm lẫn biến đổi ý a hay viết
=
Bài 1.3
Cho hai biểu thức:
A= + +

B=

Chứng tỏ A = B
Hướng suy nghĩ:
- Học sinh nhận thấy biểu thức A là phép cộng 3 phân thức, muốn chứng tỏ A =
B ta phải làm như thế nào ?
- Rút gọn biểu thức A rồi so sánh với biểu thức B, kết luận
Giải tóm tắt:
A= + +
=
= = = B => đpcm

Bài 1.4:
Rút gọn biểu thức:
A= Hướng suy nghĩ:
- Muốn rút gọn biểu thức này thì nhớ dạng tổng quát
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

13


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

- = + (- )
- Phải nhớ được quy tắc trừ hai phân thức
- Quy đồng mẫu hai phân thức
Cách giải:
A= - = -

(1)

MTC: x(x + 1)(x - 1)
Ta có:
A= = +
=
= =
Bài 1.5:
Rút gọn biểu thức:
a) .

b) .

Hướng suy nghĩ:
- Nhớ tổng quát: . =
- Quy tắc đổi dấu.
- Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, hằng đẳng thức;
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (cónhân tử chung để rút gọn).
Cách giải:
a) .

=
=
=

b) . =
=
=
Học sinh mắc phải: Không nắm được hằng đẳng thức, hoặc nắm được hằng đẳng
thức nhưng không biết vận dụng hay quên không nhớ nổi.
Bài 1.6:
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

14


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

Rút gọn biểu thức sau:

:

Hướng suy nghĩ :

- Nhớ tổng quát: : = .
- Vận dụng hằng đẳng thức;
- Phân tích tử mẫu thành nhân tử, rút gọn.
Cách giải:
: = .
=
=
Học sinh đa số biến đổi được dạng này.
Bài 1.7:
Biến đổi biểu thức thành phân thức
Đây là biểu thức không khó lắm đối với học sinh lớp 8 muốn biến đổi nó thành
một phân thức thì phải viết chúng về dưới dạng phép tính ngang sau đã thực
hiện phép tính, ta cóthể viết như sau:
A = = ( - 2) : ( )
=. =
Bài 1.8:
Rút gọn biểu thức cóchứa dấu căn bậc hai:
a)

+

b) 5. + . +

Hướng suy nghĩ:
- Ta cần thực hiện các phép biến đổi nào ?
- Học sinh nhớ lại các phép biến đổi căn bậc hai
- Phối hợp để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Cách giải:
a)

+ =
= = =3

b) 5. + . + = 5. + . +
= + + =3
Bài 1.9:
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

15


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

Cho biểu thức P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm a để P < 0.
Hướng suy nghĩ:
- Muốn rút gọn biểu thức trên cần tìm tập xác định cho biểu thức;
- Biến đổi biểu thức bằng cách thực hiện các phép toán trong P;
- Tìm giá trị a, so sánh với điều kiện đề bài.
Giải tóm tắt:
a) P = ( - )2 . ( - )
Với a > 0 và a ≠ 1
P =(

a
1 2 a −1
a +1
−
) .(

−
)
2 2 a
a +1
a −1

a a − 1 2 ( a − 1)2 − ( a + 1)2
P =(
).
2 a
( a + 1)( a − 1)
P =(
P=

a −1 2 a − 2 a +1− a − 2 a −1
).
a −1
2 a

−(a − 1)4 a 1 − a
=
4a
a

Vậy P =

1− a
vì a > 0 và a ≠ 1
a

b) Tìm a để P < 0
Với a > 0 và a ≠ 1 nên > 0
 P = < 0  1 - a < 0  a > 1 ( TMĐK)
Bài 1.10:
Rút gọn: a) - 5a

b)

Hướng suy nghĩ:
- Vận dụng quy tắc khai căn bậc ba của một tích khai triển;
- Thực hiện phép tính đưa ra khỏi căn bậc ba.
Cách giải:
a) - 5a = . - 5a = 2.a - 5a = 3a
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

16


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

b)

= =

Dạng 2: Rèn cho học sinh những dạng toán cơ bản về rút gọn biểu thức,
những dạng toán tổng hợp đòi hỏi học sinh cókĩ năng giải toán rút gọn, phát
huy tính tích cực sáng tạo.
Bài 2.1:
Rút gọn biểu thức:
A= +

Hướng suy nghĩ:
- Học sinh nhớ được quy tắc cộng 2 phân thức không cùng mẫu.
- Nắm được ba bước quy đồng.
- Vận dụng hằng đẳng thức thứ 7 phân tích tử mẫu thành nhân tử.
Giải tóm tắt
A= +
= +
=
=
==
Bài 2.2:
Rút gọn biểu thức:
B= .
Hướng suy nghĩ:
- Muốn rút gọn được phải nhớ lại cách tách hạng tử để phân tích đa thức thành
nhân tử
Giải tóm tắt
B =.
=.
=.
= =1
Học sinh hay mắc phải: không nhận ra cách tách hạng tử để phân tích thành
nhân tử.
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

17


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

Bài 2.3: Rút gọn biểu thức
C = ( - ) : ( + x - 2)
Hướng suy nghĩ:
- Xem về thứ tự thực hiện các phép toán trong biểu thức;
- Phải quy đồng mẫu và làm phép toán trong ngoặc trước, ngồi ngoặc sau.
Cách giải:
C = ( - ) : ( + x - 2)
=[ -]:
= .
= =
Học sinh chiếm phần đa biết rút biểu thức dạng này.
Một số ít học sinh thường nhân đơn thức với đa thức còn sai dấu, không nhớ
hằng đẳng thức.
Bài 2.4:
Cho biểu thức Q = . (1 - ) a) Tìm điều kiện của biến để giá trị của biểu thức xác định.
b) Rút gọn Q.
c) Chứng minh rằng Q xác định thì Q luơn cógiá trị âm.
d) Tìm giá trị lớn nhất của Q.
Hướng suy nghĩ:
Học sinh nhận biết được cách tìm điều kiện để Q xác định.
Cách rút gọn biểu thức Q.
Hiểu được cách chứng minh để Q cógiá trị âm, cónghĩa là Q < 0 với mọi x.
Hiểu được cách tìm giá trị lớn nhất của Q, Q < 0 với mọi x.
Đây là dạng toán tổng hợp đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng vận dụng kiến thức
đã học để trình bày lời giải.
Cách giải:
a) Điều kiện của biến là x ≠ 0 và x ≠ - 2
b) Rút gọn Q
Q = . (1 - ) Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

18


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

=
=
= =
= - (x2 + 2x + 2)
Q = - (x2 + 2x + 2)
Học sinh tách hạng tử tự do sau đã đưa về dạng hằng đẳng thức
Q = - (x2 + 2x + 1 + 1)
= - (x + 1)2 - 1
Có: -(x + 1)2 < 0 với mọi x
-1<0
=> Q = -(x + 1)2 - 1 < 0 với mọi x
d) Ta có: -(x + 1)2 ≤ 0 Với mọi x
Q = - (x + 1)2 - 1 ≤ - 1 với mọi x
 GTLN của Q = -1 khi x = -1 (TMĐK)
Học sinh thường hạn chế về ý c,d
Bài 2.5: Cho biểu thức P =
Tìm x để P có giá trị nguyên
Hướng suy nghĩ:
- Học sinh phải rút gọn
- Tìm x để P có giá tri nguyên
Cách giải:
P= =
=
= =
Vậy để P nhận giá trị nguyên thì x2 + 1 = Ư(3) = {±1; ±3}

Với x2 + 1 = 1 => x = 0
Với x2 + 1 = -1 => Không có giá trị nào của x thoả mãn
Với x2 + 1 = 3 => x2 = 2 => x = ± ∉ Z
Với x2 + 1 = -3 => Không có giá trị nào của x thoả mãn
Vậy với x = 0 thì P nhận giá trị nguyên.
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

19


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

Bài 2.6: Cho biểu thức:
M=( +):
Rút gọn rồi so sánh giá trị M với 1
Hướng suy nghĩ:
- Đây là một biểu thức tổng hợp, rút gọn biểu thức cóchứa căn bậc hai là tương
đối khó với học sinh.
- Phải thực hiện phép tính trong ngoặc trước rồi đến phép chia.
- So sánh M với 1 nghĩa là xét M – 1.
Cách giải:
*Rút gọn:
M=( +):
=. =
Vậy M = ( với a > 0, a ≠ 1)
*So sánh M với 1
Ta có M = = - = 1 Do a > 0 => > 0 => > 0
Nên 1 - < 1
Vậy M < 1
* Học sinh phần đa còn hạn chế khi giải một bài toán dạng này, kĩ năng biến đổi

các phép tính cần lưu ý hơn cho học sinh ở phần này.
Bài 2.7: Cho biểu thức:
Q= -(1+):
a) Rút gọn Q.
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b.
Hướng suy nghĩ:
- Biểu thức này tương đối tổng hợp cócác phép tính cộng, trừ, nhân, chia và
cóchứa căn bậc hai;
- Học sinh phải biết thực hiện các phép tính trong ngoặc trước sau đã tiếp đến
phép nhân và phép trừ;
- Biết thay giá trị của a vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

20


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

Cách giải:
a) Rút gọn:
Q= -(1+):
= -.
= - =
= =
b) Khi cóa = 3b ta có:
Q= = =
Nhược điểm đa số học sinh thực hiện biểu thức dạng này còn hạn chế khi thực
hiện phép tính.
Thay giá trị a vào biểu thức chứa căn.
Bài 2.8

Chứng minh đẳng thức
( + )()2 = 1
Hướng suy nghĩ:
- Đây là dạng bài chứng minh biến đổi vế trái của đẳng thức sao cho kết quả
bằng vế phải
- Xét xem vế trái của đẳng thức có dạng hằng đẳng thức nào?
- Thực hiện các phép tính trong ngoặc, rút gọn.
Cách giải:
Ta có: VT = ( + )()2
= ( + )()2
= ( + )()2
= (1 + )2()2 = 1 = VP => đpcm
Bài 2.9:
Cho biểu thức:
Q = ( - ): ( - )
a) Rút gọn Q với a > 0, a ≠ 1 và a ≠ 4
b) Tìm a để Q = -1
c) Tìm a để Q > 0
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

21


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

Hướng suy nghĩ:
- Học sinh phải hiểu được yêu cầu của đề bài, biết cách tìm tập xác định biểu
thức cónghĩa;
- Biết cách tìm a để Q = -1, tìm a để Q > 0.
Cách giải:

a) Rút gọn:
Q = ( - ): ( - )
= :
= :
=.
=
b) Q = -1
 = -1 với a > 0 và a ≠1; a ≠ 4
 - 2 = -3
4=2
 = (TMĐK)
c) Q > 0
 >0
Vì a > 0 và a ≠1; a ≠ 4  3 > 0
Vậy > 0  - 2 > 0


a >2



a > 4 (TMĐK)

Bài toán này tương đối khó với học sinh vì rút gọn biểu thức cóchứa căn bậc hai,
đa số học sinh còn hạn chế cách biến đổi các phép toán trong căn để rút gọn.
Bài 2.10:
Cho biểu thức
P = - ): ( - )
a) Tìm điều kiện để p xác định
b) Rút gọn P

c) Tìm x để P =
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

22


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

Hướng dẫn cách giải:
- Đây là biểu thức có chứa căn bậc hai, học sinh phải biết tìm điều kiện để biểu
thức có nghĩa.
- Biết cách rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai.
Biết cách tìm x để P =
Cách giải:
a) Điều kiển của x để P xác định là: x > 0 , x ≠ 1; x ≠ 4
b) Rút gọn:
P = ( - ): ( - )
=:
=:
= .
=
a)

P=
 = ( với x > 0 ; x ≠1; x ≠4)
4-8=3
 =8


x = 64 (TMĐK)

Kết luận: P =  x = 64
Bài 2.11
2 x 3 − 7 x 2 − 12 x + 45
Cho biểu thức B = 3
3 x − 19 x 2 + 33 x − 9

a) Rút gọn B
b) Tìm x để B > 0
Hướng dẫn cách giải:
- Đây là một phân thức, học sinh phải biết phân tích mẫu thức trước khi tìm điều
kiện để biểu thức có nghĩa.
- Biết cách tìm x để B > 0
Cách giải:
a) Phân tích mẫu:
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

23


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

3x3 – 19x2 + 33x – 9 = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9)
= (x – 3)(3x2 – 10x + 3)
= (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)]
= (x – 3)2(3x – 1)
Đkxđ: (x – 3)2(3x – 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 và x ≠

1
3

b) Phân tích tử, ta có:
2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45)
= (x – 3)(2x2 – x – 15)
= (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)]
= (x – 3)2(2x + 5)
Với x ≠ 3 và x ≠
Thì B =

1
3

(x - 3) 2 (2x + 5) 2x + 5
2 x 3 − 7 x 2 − 12 x + 45
=
=
(x - 3) 2 (3x - 1) 3x - 1
3 x 3 − 19 x 2 + 33 x − 9


1
  x > 3

 3 x − 1 > 0
1

 x > − 5

x>



2
x
+
5
>
0
2x + 5


2
3
⇔
⇔
c) B > 0 ⇔
> 0 ⇔ 
3x - 1
3 x − 1 < 0
x < − 5
 x < 1




2
3
  2 x + 5 < 0

 x < − 5
 

2

Vầy với x >

1
5
hoặc x < - thì B > 0
3
2

Khi giải bài toán này học sinh cần vận dụng tốt phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử và giải bất phương trình.
Bài 2.12
x3 + x 2 − 2 x
Cho biểu thức D = x x + 2 − x 2 + 4

a) Rút gọn biểu thức D
b) Tìm x nguyên để D có giá trị nguyên
c) Tìm giá trị của D khi x = 6
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

24


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

Hướng dẫn cách giải:
- Đây là một phân thức có chứa giá trị tuyệt đối, học sinh phải biết xét giá trị
tuyệt đối trước khi tìm điều kiện để biểu thức cónghĩa.
- Biết cách tìm x nguyên để D nguyên.

Cách giải:
a) Nếu x + 2 > 0 thì x + 2 = x + 2 nên ta có:
x3 + x 2 − 2 x
x3 + x 2 − 2 x
x( x − 1)( x + 2)
x2 − x
=
=
D = x x + 2 − x2 + 4 =
x( x + 2) − x 2 + 4 x( x + 2) − ( x − 2)( x + 2)
2

Nếu x + 2 < 0 thì x + 2 = - (x + 2) nên ta có:
x3 + x 2 − 2 x
x3 + x 2 − 2 x
x( x − 1)( x + 2)
−x
=
=
D = x x + 2 − x2 + 4 =
2
− x ( x + 2) − x + 4 − x ( x + 2) − ( x − 2)( x + 2) 2

Nếu x + 2 = 0 ⇔ x = - 2 thì biểu thức D không xác định
b) Để D có giá trị nguyên thì

−x
x2 − x
hoặc
có giá trị nguyên

2
2

 x 2 - x M2
 x(x - 1) M2
x2 − x
⇔
⇔
+)
có giá trị nguyên

2
x > - 2
x > - 2

Vì x(x – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 với mọi x > - 2
+)

 x M2
 x = 2k
−x
⇔
⇔ x = 2k (k ∈ Z; k < - 1)
có giá trị nguyên ⇔ 
2
x < - 2
x < - 2

6(6 − 1)
x2 − x

= 15
c) Khi x = 6 ta có D =
=
2
2

Trong quá trình giải bài toán học sinh dễ bỏ sót trường hợp x + 2 = 0
Bài 2.13
Cho biểu thức
 1
1 
2
1
A = 
+
.
+ +
y  x + y x
 x

3
3
1 x + y x + x y + y
:
y 
x 3 y + xy 3

a ) Rút gọn A;
b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

25