BẢN CHỮ NHẬT CHỊU TẢI TRỌNG TRONG MẶT PHẲNG CỦA NÓ.TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ BIÊN

LỜI NÓI ĐẦU
Bài toán bản chữ nhật chịu tải trọng trong mặt phẳng của nó là bài toán mô hình
hóa của rất nhiều kết cấu thường gặp trong thực tế: kết cấu dưới dạng vách, màng
hay hệ xà-vách… Bản chịu tải trong mặt phẳng của nó vì thế đã trở thành kết cấu
chính trong các công trình xây dựng dân dụng hay công nghiệp như các kết cấu
màng nằm ngang hay thẳng đứng trong các khối nhà siêu cao tầng, các bồn chứa,
hầm lò, ụ tầu hay bến cảng…
Trong đa số các trường hợp kể trên, bản có dạng hình chữ nhật. Việc tinh toánphân tích phân bố ứng suất, biến dạng hay chuyển dịch của những bản loại này với
một số dạng tương tác với nền móng hay đặt tải khác nhau đã được trình bày khá
chi tiết trong [ 1 ] , phương pháp tính toán được sử dụng trong [1] là phương pháp
sai phân hữu hạn.
Trong bản luận văn này , tác giả đã lựa chọn hai bài toán cụ thể về bản chữ nhật
chịu tải trọng trong mặt phẳng của nó để giải. Bài toán thứ nhất là một bài toán về
một hệ vách không gian đưa được về bài toán ứng suất phẳng , bài toán thứ hai là
bài toán bản chịu ứng suất trước ở các vị trí khác nhau ( mô hình hóa của kết cấu
bê tông cốt thép có những sợi cốt thép chịu ứng suất trước). Phương pháp số được
chọn ở đây là phương pháp phần tử biên một phương pháp số khá mới mẻ xong có
nhiều các ưu thế vượt trội so với các phương pháp số đã biết.
Các phương pháp số
sử dụng rời rạc hóa
trong
không gian
3333

Phương pháp sai
phân hữu hạn

Phương pháp phần
tử hữu hạn

Hình 1: Mô phỏng các phương pháp số

1

Phương pháp phần
tử biên


Như đã biết, liên quan đến việc tính xấp xỉ bằng cách rời rạc hóa miền hình học
của vật thể , có ba phương pháp số thông dụng : phương pháp sai phân hữu hạn,
phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp phần tử biên ( Hình 1 ) , ưu thế của
phương pháp phần tử biên là việc rời rạc hóa miền hình học chỉ thực hiện trên
biên, nó cho phép giảm số chiều của bài toán cần giải, các giá trị nút của chuyển
dịch và ứng suất được xác định riêng rẽ trên biên trước và xác định ở các điểm
trong miền sau, rất thuận lợi để giảm kích thước của bài toán ở mỗi bước giải. Các
kết quả tính toán thu được trong bản luận văn này tỏ ra khá phù hợp với những kết
quả đã công bố trong [1] khi tính toán bằng phương pháp sai phân hữu hạn.
Bản Khóa Luận này gồm hai chương.
Chương I: Phương Pháp Phần Tử Biên Giải Bài Toán Đàn Hồi Tĩnh
Nội dung chương này dành cho việc trình bày lại cơ sở toán học và các thủ tục để
giải một bài toán đàn hồi phẳng bằng phương pháp phần tử biên.Xuất phát từ
phương trình vi phân cân bằng Navier, bằng việc sử dụng nguyên lý tương hỗ
Maxwell-Betti và “ nghiệm cơ bản” dạng Kelvin, chúng ta chuyển về việc giải một
phương trình tích phân biên, sau đó bằng việc rời rạc hóa miền biên hình học
thành các phần tử nhỏ và thay thế chuyển dịch, ứng xuất trên mỗi phần tử biên
bằng các biểu thức xấp xỉ thông qua các hàm dạng, ta dẫn về một hệ phương trình
đại số tuyến tính xác định các giá trị nút trên biên của chuyển dịch và ứng
suất.Giai đoạn hai sẽ dành cho việc tính toán phân bố ứng suất, biến dạng và
chuyển dịch ở các điểm trong của miền khi đã biết tất cả các giá trị biên của các
đại lượng đó.Việc xử lý các dạng tích phân kỳ dị trong các hệ thức tích phân biên ,
đặc biệt tại những điểm biên không trơn , đã được trình bày khá chi tiết ở đây.

Chương II : Phương Pháp Phần Tử Biên Giải Bài Toán Bản Chịu Tải Trong
Mặt Phẳng Của Nó.
Đây là nội dung chính của bản Khóa Luận này. Ở đây đã dùng phương pháp phần
tử biên ( được trình bày trong chương I) để giải hai bài toán thường gặp trong lĩnh
vực xây dựng : Tính toán hệ vách không gian và bản chịu ứng suất trước ( mô
hình hóa của tấm bê tông có cốt thép chịu ứng suất trước ). Cả hai bài toán đều
đưa về bài toán bản chịu tải trong mặt phẳng của nó.Việc sử dụng phương pháp
phần tử biên cho phép có thể thay đổi khá dễ dàng các điều kiện tương tác trên
biên mà không cần phải thay đổi nhiều các chương trình tính toán. Các kết quả thu
được được trình bầy tường minh ở dạng các đồ thị, chúng rất trùng hợp với những
kết quả đã được công bố trước đây khi tính toán theo các phương pháp số khác
(xem [1])

2


CHƯƠNG I
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ BIÊN GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TĨNH
1-Hệ phương trình vi phân chủ đạo
Xét vật cân bằng tĩnh Ω , dưới tác dụng của lực phân bố theo thể tích b(x) và áp
lực trên biên q(x) tại phần biên Γ q . Vật Ω bị biến dạng và các điểm của vật có
chuyển vị u(x) với các ràng buộc về chuyển vị tại phần biên Γ u (Γ = Γq + Γ u ) .
b(x), q(x) và u(x) có các thành phần theo các trục tọa độ x m ( m = 1,2,3), như sau
b1 (x) 
q1 (x) 
u1 (x) 







b(x) = b 2 (x)  ;
q(x) = q 2 (x)  ;
u(x) = u 2 (x)  ;
b (x) 
q (x) 
u (x) 
 3 
 3 
 3 
Ký hiệu :
σm - là ứng suất trên mặt m là mặt có pháp tuyến ngoài x m ;
σmk - là hình chiếu của σm theo phương x k , là các thành phần của tenxơ ứng suất,
( m,k = 1,2,3 ).
ε mk - là tenxơ biến dạng ( m,k =1,2,3 ).
Phương trình vi phân cân bằng Navier :
∂σmk
+ bk = 0
(1.1)
∂x m
( m,k = 1,2,3 )
trên miền Ω .
Điều kiện biên tự nhiên về chuyển vị trên Γq :
σmk n k|
= qm
Γq

(1.2)

trong đó :

n k = cos(n, x k ) , với n là pháp tuyến ngoài của phần biên Γq ;
q m - là áp lực bề mặt theo phương x m tác động trên Γq .
Điều kiện biên chính yếu về áp lực trên Γ u :
u m|
= um
,
Γu

( m = 1,2,3 )

Phương trình hình học :
∂u 
1  ∂u
ε mk =  k + m ÷ ,
2  ∂x m ∂x k ÷


( m,k = 1.2.3 )

3

(1.3)

(1.4)


Quan hệ ứng suất - biến dạng trong trường hợp đồng nhất và đẳng hướng :
σmk = λδmk εii + 2µε mk ;

ε mk =


1 
λ
−
δklσii + σ mk ÷

2µ  3λ + 2µ

( m,k,i = 1,2,3 )

(1.5)

Trong đó :
λ , µ - là các hằng đàn hồi Lamé :
νE
E
λ=
µ=
;
(1 + ν)(1 − 2ν)
2(1 + ν)
Với
ν - tỷ số Poisson; E – môđun Young; δ , δ
kl mk - delta Kronecker
Từ (1.4) và (1.5) có thể biến đổi (1.1) thành hệ phương trình vi phân cho chuyển
vị, hệ phương trình vi phân chủ đạo của bài toán có dạng:
∂ 2u k
∂ 2u m

1
1
+
= − bm
(1.6)
1 − 2ν ∂x k ∂x m ∂x 2
µ
k
( m,k = 1,2,3 ).
2- Nghiệm cơ bản
Hạn chế xét với bài toán hai chiều . Nghiệm cơ bản ( chuyển vị khả dĩ ) của (1.6)
 w ih |1 (x) 
wih (x) = 
là véc tơ có dạng sau
(1.7)

 w ih |2 (x) 
ứng với gốc i trên biên Γ có lực thể tích đơn vị f hi = ∆ (x, x i )e h
(1.8)
trong đó :
∆ (x, x i ) - hàm delta Dirac
0 khi x ≠ x i
xi + ε

i
Với ∆ (x, x ) = 
và phải thỏa mãn ∫ ∆(x, x i )dx = 1
∞ khi x = x i
xi − ε

{ eh }

- véc tơ chỉ phương của lực thể tích đơn vị tại gốc i đối với trục tọa độ x h
(h=

1,2 );
Nghiệm cơ bản w ih |k (x) ứng với (1.6) :
2
2

1 ∂ w ih | k ∂ w ih | h

µ
+
∂x 2k
 1 − 2ν ∂x k ∂x h

4


÷ = −∆ (x, x i )e
h
÷
÷


(1.9)


( k,h = 1,2 )

w ih (x) là chuyển vị khả dĩ do thành phần lực thể tích khả dĩ đơn vị f i theo
h
phương x h tại điểm i gây ra.
Ký hiệu ri là bán kính véc tơ của điểm đang xét đối với gốc i.
Tại điểm j, ta có bán kính vectơ r j và w j = w j (x j ) .
i
ih
ih
j
j
j
w ih có môđun là w ih và các thành phần theo các phương x k là w ih |k :
j
j
(1.10)
w ih =w ih |k e k
Nghiệm Kelvin ( trong [2] ) của (1.8) trong trường hợp 2 chiều là :

1 
1
Wih |k (x) = ζ ν * δhk ln( ) + χ 
( k,h =1,2 ) (1.11)
2 
ri

Trong đó :
1
;
ν* = 3 − 4ν ;
χ = ξh ξk ;

4πµ(1 − ν)
∂r
ξk = i = cos(ri , x k ) - là côsin chỉ phương của bán kính véctơ ri của
∂x k
điểm đang xét;
ri - là môđun của ri ;
δhk - delta kronecker;
µ - Hằng số Lamé
ν - Tỷ số Poisson
Từ nghiệm cơ bản của chuyển vị khả dĩ w j |k , có thể tìm biến dạng γ j |k nhờ
ih
ih
(1.4) rồi tìm ra ứng suất khả dĩ tương ứng τ j |k nhờ (1.5).
ih
Trong trạng thái khả dĩ đó, ứng suất τ j |mk tương ứng với áp lực pih |k (x) trên
ih
Γ
mặt biên theo (1.1) và ta đi đến kết quả cho bài toán 2 chiều là :
ζ=


1  ∂r
Pih | k (x) = − ζ  i (α + 2χ) + β  ( h,k = 1,2 ).
ri  ∂n

$
$
$
ν = 1 − 2ν ; α = νδ hk ; β = ν(n h ξk − n k ξh ) ;
Các ký hiệu có ý nghĩa như ở (1.11) và (1.2).

5

(1.12)


Ký hiệu p j |k = p j |k (x j ) là áp lực khả dĩ tương ứng theo phương x k tại điểm j
ih
ih
khi có thành phần lực thể tích khả dĩ đơn vị f h tại điểm i. Ta có thể viết theo quy
tắc lấy tổng như sau :
j
j
(a)
pim = pim |k e k
Khi vật đàn hồi cân bằng tĩnh với phương trình vi phân (1.1) và các điều kiện biên
(1.2) và (1.3) theo nguyên lý công khả dĩ, ta có thể viết biểu thức tổng công của
ngoại lực ( b k ,q k ) trên chuyển vị khả dĩ w k và công của nội lực ( ứng suất σmk
) trên biến dạng khả dĩ γ mk bằng 0 :
∂τ
− ∫ mk γ mk dΩ + ∫ b k w k dΩ + ∫ q k w k dΓ = 0
(1.13)
Ω ∂x m
Ω
Γ
( m,k = 1,2 )
Qua vài bước lấy tích phân từng phần của phép biến đổi Green ta nhận được :
∂τmk
u k dΩ + ∫ b k w k d Ω = − ∫ q k w k d Γ − ∫ p k u k d Γ
∫

(1.14)
∂
x
Ω m
Ω
Γ
Γ
( m,k = 1,2 )
Trong đó :
* b k là lực thể tích, q k là lực bề mặt, σmk là ứng suất, ε mk là biến dạng và
u k là chuyển vị ở trạng thái thực.
, p k , τmk , γ mk , w k lần lượt là các đại lượng tương ứng đó
k
nhưng ở trạng thái khả dĩ.
Xét các điều kiện biên (1.2) và (1.3) trên hai phần biên Γ u và Γq , ta viết lại vế
trái của (1.13) như sau :
∂τmk
u k dΩ + ∫ b k w k d Ω =
∫
∂
x
Ω m
Ω
− ∫ q k w k dΓ − ∫ q k w k d Γ + ∫ p k u k d Γ + ∫ p k u k d Γ
Γu
Γq
Γu
Γq
*f

( m,k = 1,2 ) (1.15)
Trong trạng thái khả dĩ với lực thể tích khả dĩ đơn vị ∆ (x, x i ) , như đã được nêu ở
(1.8) ta có thể biến đổi số hạng đầu tiên của vế phải (1.14) dựa theo (1.1) như sau :
∫
Ω

∂τih | mk
∂τih | mh
u k dΩ = ∫
u h dΩ = − ∫ f hi u h dΩ
∂x m
Ω ∂x m
Ω

6


= − ∫ ∆ (x, x i )eh u h dΩ = −u ih e h
Ω
Thay (1.15), (a), (1.9) vào (1.14) ta nhận được kết quả :
u ih + ∫ pih |k u k dΓ + ∫ pih |k u k dΓ =
Γu
Γq
∫ q k w ih |k dΓ + ∫ q k w ih |k dΓ + ∫ b k w ih |k dΩ
Γu
Γq
Ω

(1.16)

( k,h = 1,2 )
(1.17)
Hay viết gọn hơn là :
u ih + ∫ pih |k u k dΓ = ∫ q k w ih |k dΓ + ∫ b k w ih |k dΩ
Γ
Γ
Ω
( k,h = 1,2 )
(1.18)
Với u ih là chuyển vị theo phương x h tại điểm i.
Khi lấy tích phân biên tại điểm i trên Γ mà tại đó trơn tru miền tích phân tại lân
cận x = x i được thay thế bởi Γε là phần bán cầu có bán kính vô cùng bé. Lấy tích
phân trên phần Γ - Γε rồi trên phần bán cầu Γε và tìm giới hạn khi ε → 0 . Lấy
tích phần thứ nhất của vế phải (1.18) ta được :




÷
(1.19)
∫ q k w ih |k dΓ = lim  ∫ q k w ih |k dΓ + ∫ q k w ih |k dΓ ÷
ε
→
0

÷
Γ
Γε
 Γ − Γε


Số hạng thứ nhất ở vế phải của (1.19) là tích phân trên toàn biên Γ khi ε → 0 .
Số hạng thứ hai có giới hạn là:




i
q k lim  ∫ w ih |k dΓ 
(1.20)
ε → 0 Γ

 ε

i
i
Với q k = q k (x ) là giá trị của q k tại điểm i .
Khi ε → 0 , nghiệm cơ bản w ih |k là vô cùng lớn cấp 1 / ε , vi phân dΓ là vô cùng
bé cấp ε 2 nên giới hạn (1.20) bằng 0, nghĩa là yếu tố kỳ dị không ảnh hưởng đến
yếu tố này.
Số hạng thứ hai ở vế trái của (1.18) được viết lại như sau :



÷
(1.21)
∫ pih |k u k dΓ = lim  ∫ pih |k u k dΓ + ∫ pih |k u k dΓ ÷
ε
→
0


÷
Γ
Γε
 Γ − Γε

Số hạng thứ hai của vế phải (1.21) có giới hạn là :
7





lim  ∫ pih |k dΓ ÷
(1.22)
÷
ε → 0 Γ
÷
 ε

Khi ε → 0 , Pih |k là vô cùng bé cấp 1/ ε 2 và vi phân dΓ là vô cùng bé cấp ε 2
như đã nhắc ở trên, nên


1

lim  ∫ pih |k dΓ ÷
(1.23)
÷ = − 2 δhk
ε → 0 Γ
÷

 ε

Là giá trị hữu hạn. Như vậy (1.18) trở thành :
u ik

1 i
u + ∫ p | u dΓ = ∫ q k w ih |k dΓ + ∫ b k w ih |k dΩ
(1.24)
2 h Γ ih k k
Γ
Ω
( k,h = 1,2 )
Phương trình (1.24) dành cho điểm gốc i ở chỗ trơn tru trên biên Γ .
Trong trường hợp điểm i nằm ở chỗ không trơn tru trên biên Γ ta đi đến công thức
sau :
ci u ih + ∫ pih |k u k dΓ = ∫ q k w ih |k dΓ + ∫ b k w ih |k dΩ
(1.25)
Γ
Γ
Ω
( k,h = 1,2 )
1
Hiển nhiên ci = ứng với điểm gốc i chỗ trơn tru. Ngoài ra khi gốc i ở chỗ
2
không trơn tru thì ci sẽ nhận giá trị khác.
3- Bài toán đàn hồi phẳng
3.1 Những phương trình cơ bản
Xét những bài toán đàn hồi phẳng mà ở đó ta có thể bỏ qua một tọa độ không gian,
chẳng hạn tọa độ x 3 , các đại lượng cơ học được coi như chỉ phụ thuộc vào tọa độ
điểm trong mặt phẳng, chẳng hạn mặt phẳng Ox1x 2 . Việc bỏ qua như vậy tuy có

làm giảm chút ít mức chính xác của bài toán nhưng lại đơn giản rất nhiều về toán
học và cơ học và cũng khá phù hợp với những yêu cầu về độ chính xác trong
những bài toán thực tế.
Ta viết lại các Wi (x) , Pi (x) dưới dạng các ma trận cấp 2x2 như sau:

8


 w i1|1(x)
Wi (x) = 
 w i2 |1(x)


w i1| 2 (x) 
 pi1|1(x)
 và Pi (x) = 
w i2 | 2 (x) 
 pi2 |1(x)



pi1| 2 (x) 

pi2 | 2 (x) 

(1.26)

Các ngoại lực b(x), q(x) và chuyển vị u(x) có thành phần như sau :
b (x) 
q (x) 

u (x) 
u(x) =  1 
b(x) =  1  , q(x) =  1  và
u 2 (x) 
b 2 (x) 
q 2 (x) 

(1.27)

Để tiện diễn giải và lập trình ta viết lại phương trình tích phân cơ bản dưới dạng
sau:
Ciui + ∫ PiudΓ = ∫ qWi dΓ + ∫ bWi dΩ
(1.28)
Γ
Γ
Ω
Wi , Pi , b(x), q(x), u(x) đã được định nghĩa ở (1.26) và (1.27)
i
ui = u(x ) là vec tơ chuyển vị tại điểm gốc i
( chú ý ma trận Wi (x) vừa được định nghĩa ở (1.26) khác với véctơ w ih |k (x) đã
được định nghĩa ở (1.7) );
Ci là ma trận (2x2) có các giá trị tùy thuộc mức trơn tru của biên Γ tại i :
 Ci
Ci =  11
 Ci
 21

Ci12 

i

C 22 

(1.29)

Ci11 = Ci 22 = 1/ 2 và Ci12 = Ci 21 = 0 khi biên Γ trơn tru tại i
Ci11 = Ci 22 = 1
trong miền Ω .

i
i
và C 12 = C 21 = 0 khi dùng (1.28) để tính toán cho điểm bên

3.2 Phân chia biên thành các phần tử
Ở đây ta sử dụng các phần tử “hằng “, tức là trên mỗi phần tử biên ta coi như
chuyển vị u và ngoại lực q, b là hằng trong từng phần tử. Mỗi phần tử có một
điểm nút ở chính giữa.
Chia biên Γ thành một số ( hữu hạn ) N các phần tử hằng Γ j , (j=1,2,…,N), với L
điểm nút, ( L=N ) , đồng thời chia miền Ω thành một số M các ô Ω f , (f=1,2,
…,M)
Có thể viết lại (1.28) dưới dạng rời rạc hóa với phần tử hằng như sau:






N 
N 
 j
 j M 


i
Ciu + ∑  ∫ Pi dΓ  u = ∑  ∫ Wi dΓ  q + ∑  ∫ WibdΩ 



j = 1 Γ
j = 1 Γ
s = 1 Ωs
 j

 j


9

(1.30)


Đặt ma trận (2x2) các tích phân biên :
j
j
H *i = ∫ Pi dΓ
G i = ∫ Wi dΓ
j
j
Hi = H *i +δijCi ;
;
(1.31)
Γj

Γj
Những tích phân biên trong các ma trận H *ij và G j nói chung được xác định
i
bằng số nhờ công thức Gauss. Chỉ khi i=j những tích phân biên trong G ii chứa yếu
tố kì dị là có thể được xác định bằng giải tích.
Với (1.11) và (1.26) ta có:
i
G
Gi1| 2i 
i1|1

G ii = 
(1.32)
G
i
i
G
i2 | 2 
 i2 |1
Trong đó:
2 

1
 ∂r 
1
i
i

i
G i1|1 = ∫ w ih|1 dΓ =

( 3 − 4ν ) ∫ ln  ÷÷dΓ + ∫  ÷÷ dΓ 
(1.33)

8
πµ
(1
−
ν
)
r
∂
x

i


1

Γi
Γi
Γj




∂ri ∂ri
1

G i1| 2 = Gi2 |1 = ∫ w ih|2 dΓ =
dΓ 

(1.34)
 ∫ ∂x ∂x

8
πµ
(1
−
ν
)
Γj
Γi 1 2 
2 

1
 ∂r 
1
i
i

i
G i2 | 2 = ∫ w i2|2 dΓ =
÷ dΓ  (1.35)
( 3 − 4ν ) ∫ ln  ÷÷dΓ + ∫ 

÷
8πµ(1 − ν)
Γi  ri 
Γi  ∂x 2 
Γj



Xét phần tử hằng Γi khi có điểm nút i là điểm gốc ở chính giữa. Để tiện lấy các
tích phân từ (1.33) đến (1.35) ta dùng thêm hệ tọa độ cực (ri , θ) với gốc i.
Nhớ lại liên hệ quen thuộc :
x1 = ricosθ
i

i

i

x 2 = risinθ

Và

∂ri

∂x1

= cosθ

∂ri

∂x 2

= sinθ

(1.36)

Thay (1.35) vào các tích phân tử (1.32) đến (1.34) rồi khi tích phân trong hệ tọa độ

cực, ta lấy giới hạn quanh gốc i kỳ dị :

li / 2
li / 2


1
1


i
2

G i1|1 = lim 
2(3 − 4ν) ∫ ln dΓ + 2 ∫ cos θdΓ  

ri
ε → 0  8πµ(1 − ν) 
ε
ε


10


=


li
li 


2 
 (3 − 4ν ) 1 − ln ÷+ cos θ 
8πµ(1 − ν) 
2




 li / 2

1



G i1| 2 = Gi2 |1 = lim 
2 ∫ sin θcosθdΓ  

ε → 0  8πµ(1 − ν)  ε

ε→0
li
sin θcosθ
=
8πµ(1 − ν)

li / 2
li / 2



1
1


i
2

G i2 | 2 = lim 
2(3 − 4ν) ∫ ln dΓ + 2 ∫ sin θdΓ  

ri
ε → 0  8πµ(1 − ν) 
ε
ε

i

=

i

li

li 

2 
 (3 − 4ν) 1 − ln ÷+ sin θ 
8πµ(1 − ν) 
2




(1.37)

Sau khi xác định được các tích phân biên, ta viết lại (1.30) dưới dạng :
N

N

M

j=1

j=1

s =1

∑ Hiju j = ∑ Gijq j + ∑ Bsi

(1.38)

Lần lượt viết biểu thức (1.38) cho các phần tử j , ( j=1,2,…,N ), ta được kết quả :
Hu=Gq+B
(1.39)
Trong đó :
q, u là các vec tơ ngoại lực và chuyển vị cỡ ( 2Nx1 ) tại các nút j trên toàn biên Γ .
H, G là các ma trận tích phân biên cỡ ( 2Nx2N ) cho tàn biên Γ .
j
j
Hi và G i đã được định nghĩa ở (1.31)

M s
B= ∑ Bi là vec tơ liên quan đến ngoại lực b(x) trong ô Ωs .
s =1
Từ (1.37) ta có thể đưa về hệ phương trình sau :
AX = F + B
(1.40)
Với X là vec tơ chứa toàn bộ các biến cần tìm ( chuyển vị hoặc ứng suất ) của bài
toán.
Đối với các điểm i bên trong miền Ω chuyển vị và ứng suất được tính bằng công
thức ( trong [3] ) sau đây :

11








N
N



 j M 

j
i
s

u = − ∑  ∫ PidΓ  u + ∑  ∫ Wi dΓ  q + ∑  ∫ Wib (x)dΩ 
(1.41)



j = 1 Γ
j = 1 Γ
s = 1 Ωs
 j

 j

Khi đã biết các giá trị chuyển vị u k (x) và áp lực q k (x) trên biên Γ ta lại dùng
phương trình (1.18) để xác định chuyển vị u k (x) và ứng suất σmk (x) tại các
điểm bên trong Ω .
Ứng suất σ mk (x) tại điểm i trong miền Ω được tính bằng công thức ( trong [3] )
σimk = − ∫ Si | gmk u g dΓ + ∫ Di | gmk q g dΓ + ∫ Di | gmk bg dΩ
(1.42)
Γ
Γ
Ω

Với :

Digmk

và

Sigmk

( g,m,k = 1,2)
là các tenxơ cấp ba được tính như sau :

(

)

1 


Di | gmk = ωr  ν ^ δgmξk + δgk ξm − δmk ξg + ψξk ξk ξg 
i


 ∂ri 


2µ ψ ∂n ν ^ δmk ξg + ν δmg ξk + δkg ξm − γξm ξk ξg  + ψν n m ξk ξg + n k ξm ξg
S
=
 i | gmk
2 
ω
(r
)
i +ν ^ ψn g ξm ξk + n k δmg + n mδkg − ν * n g δmk




(

(

)

)

(

(1.43)
( g,k,m=1,2 )
Với

δmk là delta Kronecker;
n - là pháp tuyến ngoài của biên Γ :

∂ri

∂n

=

∂ri ∂x i
∂x i ∂n

n k là côsin chỉ phương của n theo phương x k
ri là môđun bán kính vectơ ri ( gốc là điểm I trông miền Ω và ngọn là
điểm trên biên)
ξ k là côsin chỉ phương của bán kính vectơ ri

ν là tỷ số Poisson
µ là hằng đàn hồi Lamé
ω = 4πκ(1 − ν ) ; ν ^ = (1 − 2ν) ; ν* = 1 − 4ν ;
κ =1 , ψ = 2 , γ = 4 ;
Viết lại (1.42) dưới dạng như sau :
N

N

M

σimk = ∑ ( ∫ Ci | gmk jdΓ)q j −∑ ( ∫ Si | gmk jdΓ )u j + ∑ ∫ Ci | gmk sbs (x)dΓ
j=1 Γ
j=1 Γ
s =1 Ω f
12

) 




(1.44)
( m,k = 1,2 )

Trong đó :
bs (x) là biểu thức của lực thể tích;
Di | mk = [Di |1mk , Di | 2mk ]
Si | mk = [Si |1mk

,Si | 2mk ]

Với Si | lmk và Ci | lmk ( l = 1,2 ) là các giá trị được tính bởi (1.43).

CHƯƠNG II
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ BIÊN GIẢI BÀI TOÁN BẢN CHỊU TẢI
TRỌNG TRONG MẶT PHẲNG CỦA NÓ
13


Chương này dành cho việc tính toán bằng phương pháp phần tử biên hai bài toán
mà các kỹ sư kết cấu thường gặp trong thực tế.
Bài toán thứ nhất là bài toán của một hệ vách không gian , nó được xem là mô
hình một ngôi nhà với 4 bức tường, trong đó hai bức đối diện nhau là tường chịu
lực, còn hai bức kia đóng vai trò các vách ngăn phòng không chịu lực.
Bài toán thứ hai dành cho việc tính toán những bản chịu ứng suất trước. Đó là mô
hình của các kết cấu bê tông cốt thép chịu ứng lực trước, việc cho các cốt thép
dạng sợi ( thiết diện tròn hay vuông ) chịu ứng lực trước sẽ giúp không chỉ tăng
độ bền chống nén , chống uốn của bê tông ( và giúp tiết kiệm vật liệu) mà còn tăng
khả năng chống xuất hiện các vết nứt rạn trong bê tông.
1- BÀI TOÁN HỆ VÁCH KHÔNG GIAN
1.1 Đặt bài toán.
Xét một cấu trúc không gian gồm 4 tấm vách tựa trên nền đất bằng các móng. Giả
thiết rằng độ dày của các tấm đối diện A và A’ ( Hình 2 ) là t, độ dày của móng là
b, còn các kích thước tương ứng của các tấm vách B và B’ là at và βb .

a

ßb
pß/(1+ß)

pß/(1+ß)

Hình 2: Cấu trúc không gian ba chiều của bản
Giả thiết rằng độ cứng chống uốn của các vách ngăn là rất nhỏ theo hướng trực
giao với mặt phẳng trung bình của các vách ngăn. Vì vậy chúng ta xem rằng các
phản lực tương hỗ của các vách ngăn chỉ là các lực cắt phân bố dọc các cạnh của
nó. Và như vậy trạng thái ứng suất trong các tấm vách là trạng thái ứng suất
phẳng. Nền được giả thiết là đàn hồi theo mô hình Winkler (xem trong [4] )
14


Theo các giả thiết trên chúng ta có :
2pl
p
σsol =
=
(1.43)
2bl + 2βbl ( 1 + β ) b
Hình 3 biểu diễn chuỗi các vách ngăn của kết cấu. Các cạnh bên dưới của tấm
vách chịu tác dụng của các móng mà ở đây chúng ta bỏ qua độ cứng chống uốn.
Trên các cạnh dưới A và A’ chịu tải ( theo đơn vị dài = m )
p
σsol .b =
(1.44)
( 1 + β)
Các cạnh bên dưới của các tấm vách B và B’ chịu tải :
β
σsol .β.b =
p

(1.45)
( 1 + β)

p/(1+ß)

pß/(1+ß)

p/(1+ß)

Hình 3: Chuỗi các vách ngăn của kết cấu

1.2 Giải bài toán bằng phương pháp phần tử biên

15

pß/(1+ß)


Việc giải bài toán cấu trúc 3 chiều của bản ( Hình 2 ) ta đưa về giải bài toán 2
chiều hình chữ nhật chịu tải trọng ở trên ( Hình 3 )
Trong bài toán này lực thể tích b(x)=0. Để đơn giản ta chọn phần tử biên là phần
tử hằng. Tức là xấp xỉ hàm u(x) đơn giản nhất là hằng u j trong từng phần tử biên.
Ta chia biên hình chữ nhật ra thành N = 64 phần tử hằng như hình vẽ ( Hình 3 ).
Điều kiện biên của bài toán là :
p

q1x = q 2x = q3x = q 4x = 0; q1y = q 2y = q3y = q 4y = 1 + β

pβ


q
=
q
=
q
=
q
=
0;
q
=
q
=
q
=
q
=
 5x
6x
7x
8x
5y
6y
7y
8y 1 + β

p

q9x = q10x = q11x = q12x = 0; q9y = q10y = q11y = q12y = 1 + β


pβ

q
=
q
=
q
=
q
=
0;
q
=
q
=
q
=
q
=
 13x
14x
15x
16x
13y
14y
15y
16y 1 + β

q17x = q17y = ... = q32x = q32y = 0


q
= q34x = q35x = q36x = 0; q33y = q34y = q35y = q36y = 0
 33x

q37x = q38x = q39x = q 40x = 0; q37y = q38y = q39y = q 40y = − p

q
= q 42x = q 43x = q 44x = 0; q 41y = q 42y = q 43y = q 44y = 0
 41x

q 45x = q 46x = q 47x = q 48x = 0; q 45y = q 46y = q 47y = q 48y = −p

q 49x = q 49y = ... = q64x = q64y = 0
(*)
Các dấu “-“ trong (*) có ý nghĩa là chiều được chọn ngược với chiều “+”.
Chọn nút j là điểm giữa của “phần tử hằng” Γ j . Trong phần tử đó u j và q j là
“hằng”
( j=1,2,…,64 ). Khi đó thì số điểm nút L và phần tử biên N là như nhau:
L = N = 64
1
Vì nút được chọn là điểm giữa phần tử nên tại đó biên luôn trơn. Hay ci = ,
2
64
j 64
j
phương trình tích phân biên được viết : ∑ Hiju = ∑ Gijq
(1.46)
j =1
j =1
Trong đó :

16


j
H *i = ∫ Pi dΓ
;
Γj

j
j 1
Hi = H *i + δij ;
2

j
G i = ∫ WidΓ
Γj

Pi , Wi được cho ở (1.25)
Các tích phân biên trong ma trận H * j và G j được xác định bằng công thức Gauss
i
i
lj K
lj K
j
j
k k
k k
H
*

=
P
d
Γ
=
P
ω
G
=
W
d
Γ
=
∑
∑ Wi ω
∫ i
∫ i
i
Với i ≠ j thì :
và
i
i
2 k =1
2 k =1
Γj
Γj
(1.47)
k
Trong đó: l j, ω lần lượt là độ dài phần tử biên Γ j và trọng số tương ứng với
điểm thứ k trong tích phân Gauss.

K- số điểm lấy tích phân Gauss trên phần tử biên Γ j .
Khi i=j thì tại đó các điểm biên không trơn nên khi tính tích phân H và G tại đó ta
gặp yếu tố kỳ dị phương trình ( 1.47 ) không tính được nên ta đi xác định H và G
bằng phương pháp giải tích như sau :
Gọi n là pháp tuyến ngoài của biên. Trục tọa độ ở phần tử hằng Γi vuông góc với
pháp tuyến n. Ta có :
∂Wi
∂Wi ∂ri
H*i
=
P
d
Γ
=
d
Γ
=
dΓ = 0
∫
∫
∫
i
i
∂
n
∂
r
∂
n
Γi

Γi
Γi i
Còn các tích phân biên trong G ii chứa yếu tố kỳ dị được xác định như trong (a).
Sau khi tính được các giá trị tích phân trên biên H và G. Ta thay các điều kiện biên
(*) vào phương trình (1.46) sẽ xác định được trạng thái trên biên.
1.2 Kết quả tính toán bằng số
Cho chiều dài a = 1.6 m; chiều rộng b = 0.4m; P=1000 N; Hệ số Poisson ν = 0.25 ;
hệ số t = a = β = 1
Kết quả tính toán được như sau :
Tọa độ điểm chia phần tử (x,y) và tọa độ điểm nút (xm,ym) là :
0
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000

0
0
0
0
0

0.0500
0.1500
0.2500
0.3500
0.4500

0
0

0
0
0

17


0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
1.1000
1.2000
1.3000
1.4000
1.5000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000

1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.5000
1.4000
1.3000
1.2000
1.1000
1.0000
0.9000
0.8000
0.7000
0.6000
0.5000
0.4000
0.3000
0.2000
0.1000

0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0.0250
0.0500
0.0750
0.1000
0.1250
0.1500
0.1750
0.2000
0.2250
0.2500
0.2750
0.3000
0.3250
0.3500
0.3750
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000

0.4000
0.4000
0.4000
0.4000

0.5500
0.6500
0.7500
0.8500
0.9500
1.0500
1.1500
1.2500
1.3500
1.4500
1.5500
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000
1.6000

1.6000
1.6000
1.5500
1.4500
1.3500
1.2500
1.1500
1.0500
0.9500
0.8500
0.7500
0.6500
0.5500
0.4500
0.3500
0.2500
0.1500
0.0500

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0.0125
0.0375
0.0625
0.0875
0.1125
0.1375
0.1625
0.1875
0.2125
0.2375
0.2625
0.2875
0.3125
0.3375
0.3625
0.3875
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000

0.4000
0.4000
18


0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0.4000
0.3750
0.3500
0.3250
0.3000
0.2750
0.2500
0.2250

0.2000
0.1750
0.1500
0.1250
0.1000
0.0750
0.0500
0.0250

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0.3875
0.3625
0.3375
0.3125

0.2875
0.2625
0.2375
0.2125
0.1875
0.1625
0.1375
0.1125
0.0875
0.0625
0.0375
0.0125

Chuyển vị tại nút
-0.0225
-0.0218
-0.0228
-0.0260
-0.0308
-0.0335
-0.0335
-0.0308
-0.0226
-0.0218
-0.0228
-0.0260
-0.0308
-0.0335
-0.0335
-0.0308

-0.0232
-0.0195
-0.0160
-0.0127
-0.0095
-0.0064
-0.0033
-0.0002

0.0386
0.0512
0.0558
0.0539
0.0374
0.0345
0.0367
0.0443
0.0386
0.0512
0.0558
0.0539
0.0374
0.0345
0.0367
0.0443
0.0326
0.0313
0.0300
0.0288
0.0276

0.0264
0.0253
0.0242
19


0.0029
0.0059
0.0090
0.0120
0.0150
0.0180
0.0210
0.0238
0.0253
0.0258
0.0262
0.0258
0.0247
0.0245
0.0252
0.0269
0.0293
0.0305
0.0302
0.0284
0.0254
0.0230
0.0215
0.0238

-0.0232
-0.0195
-0.0160
-0.0127
-0.0095
-0.0064
-0.0033
-0.0002
0.0029
0.0059
0.0090
0.0120
0.0150
0.0180
0.0210
0.0238

0.0232
0.0222
0.0211
0.0201
0.0191
0.0180
0.0169
0.0158
0.0144
0.0104
-0.0009
0.0402
-0.0402

-0.1040
-0.1054
-0.0927
0.0144
0.0104
- 0.0009
0.0402
-0.0869
-0.1040
-0.1054
-0.0927
0.0326
0.0313
0.0300
0.0288
0.0276
0.0264
0.0253
0.0242
0.0232
0.0222
0.0211
0.0201
0.0191
0.0180
0.0169
0.0158

20

Từ kết quả tính toán được ở trên ta vẽ đồ thị biểu diễn chuyển dịch trên biên của
các bản A, B và A’, B’.
-0.02

-0.02

-0.025

-0.025

-0.03

-0.03

-0.035

-0.035

-0.04

-0.04

-0.045

-0.045

0
2
4

6
chuyen dich Ux tren bien cua ban A

0
2
4
6
chuyen dich Ux tren bien cua ban A'

Hình 4: Biểu diễn chuyển dịch theo phương x trên biên y=0 của 2 bản A, A’
0.07

0.07

0.06

0.06

0.05

0.05

0.04

0.04

0.03

0.03

0.02

0.02

0.01

0.01

0

0

0
2
4
6
chuyen dich Uy tren bien cua ban A

0
2
4
6
chuyen dich Uy tren bien cua ban A'

Hình 5: Biểu diễn chuyển dịch theo phương y trên biên y=0 của 2 bản A, A’

21


-0.016

-0.016

-0.018

-0.018

-0.02

-0.02

-0.022

-0.022

-0.024

-0.024

-0.026

-0.026

-0.028

-0.028

-0.03

-0.03

-0.032

-0.032

-0.034

-0.034

0
2
4
6
chuyen dich Ux tren bien cua ban B

0
2
4
6
chuyen dich Ux tren bien cua ban B'

Hình 6: Biểu diễn chuyển dịch theo phương x trên biên y=0 của 2 bản B, B’
0.055

0.055

0.05

0.05

0.045

0.045

0.04

0.04

0
2
4
6
chuyen dich Uy tren bien cua ban B

0
2
4
6
chuyen dich Uy tren bien cua ban B'

Hình 7: Biểu diễn chuyển dịch theo phương y trên biên y=0 của 2 bản B, B’

22


0.0284

0.0284

0.0282

0.0282

0.028

0.028

0.0278

0.0278

0.0276

0.0276

0.0274

0.0274

0.0272

0.0272

0.027

0.027

0.0268

0.0268

0.0266

0.0266

0
2
4
6
chuyen dich Ux tren bien cua ban A

0
2
4
6
chuyen dich Ux tren bien cua ban A'

Hình 8: biểu diễn chuyển dịch theo phương x trên biên y=0.4m của 2 bản A, A’
-0.04

-0.04

-0.05

-0.05

-0.06

-0.06

-0.07

-0.07

-0.08

-0.08

-0.09

-0.09

-0.1

-0.1

-0.11

-0.11

-0.12

-0.12

-0.13

-0.13

0
2

4
6
chuyen dich Uy tren bien cua ban A

0
2
4
6
chuyen dich Uy tren bien cua ban A'

Hình 9: biểu diễn chuyển dịch theo phương y trên biên y=0.4m của 2 bản A, A’

23


0.027

0.027

0.0265

0.0265

0.026

0.026

0.0255

0.0255

0.025

0.025

0.0245

0.0245

0.024

0.024

0
2
4
6
chuyen dich Ux tren bien cua ban B

0
2
4
6
chuyen dich Ux tren bien cua ban B'

Hình 10 biểu diễn chuyển dịch theo phương x trên biên y=0.4m của 2 bản B,B’
0.04

0.04

0.02

0.02

0

0

-0.02

-0.02

-0.04

-0.04

-0.06

-0.06

-0.08

-0.08

-0.1

-0.1

-0.12

-0.12

0
2
4
6
chuyen dich Uy tren bien cua ban B

0
2
4
6
chuyen dich Uy tren bien cua ban B'

Hình 11 biểu diễn chuyển dịch theo phương y trên biên y=0.4m của 2 bản B,B’

24


Các đồ thị được biểu diễn trong hình 4, hình 5, hình 6, hình 7, hình 8, hình 9, hình
10, hình 11 chứng tỏ chuyển vị theo cả 2 phương x, y trên y = 0 và y = 0.4m của
bản A đối xứng với bản A’ và trên bản B đối xứng với bản B’ ( điều này phù hợp
về mặt cơ học khi đặt bài toán như hình 2 )
Ta đi tính ứng suất Qx tại một số điểm của bản A với x = a/8 = 0.2m. Sau đó nội
suy ta thu được đồ thị biểu diễn ứng suất tương ứng :
x
y
Qx
0.2000 0.3600 -333.96
0.2000 0.3200 -162.85

0.2000 0.2800 -46.43
0.2000 0.2400
25.87
0.2000 0.2000
51.71
0.2000 0.1600
108.92
0.2000 0.1200
127.63
0.2000 0.0800
169.21
0.2000 0.0400
233.46
10
ket qua tinh toan bang pp sai phan
ket qua tinh toan bang pp PTB

9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-600

-500

-400

-300 -200 -100
0
100
200
Do thi bieu dien ung suat Qx tai x= 0.2m

300

400

Hình 12: Biểu diễn ứng suất Qx tại một số điểm bên trong bản A tại x = 0.2m.
Đường màu đỏ là kết quả của phương pháp sai phân trong [1], đường màu
xanh là kết quả tính toán của phương pháp phần tử biên.
Do tính đối xứng giữa 2 bản A và A’ nên từ hình 12 ta suy ra ứng suất trên bản A’
cũng diễn biến tương tự.
25