Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 10 Tính vỏ bằng phương pháp phần tử hữ hạn

Chương 10
TÍNH VỎ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Lý thuyết tính toán vỏ mỏng dựa trên 02 giả thiết của Kirchhoff- Love. Trên hình
10-1 biểu diễn các thành phần nội lực của phân tố vỏ, trong đó ký hiệu:
- Nhóm lực màng:
x
N
,
y
N
,
xy
N
,
yx
N
- Nhóm lực uốn, xoắn:
x
Q
,
y
Q
,
x
M
,
y
M
,
xy
M

,
yx
M
Nếu tuân theo qui luật đối ngẫu:
xy yx
N N=
,
xy yx
M M=
.
Hình 10-1. Nội lực vỏ
10.1. CÁC LOẠI PHẦN TỬ VỎ
Tính toán vỏ theo phương pháp phần tử hữu hạn có thể sử dụng 03 loại phần tử:
phần tử vỏ phẳng, phần tử vỏ cong và phần tử vỏ khối, [12].
10.1.1. Phần tử vỏ phẳng
Kết cấu vỏ là vật thể được giới hạn bởi 2 mặt cong có chiều dày
δ
. Khi giải bài
toán vỏ bằng PP PTHH có thể tính với phần tử vỏ là phần tử phẳng. Phần tử vỏ phẳng
là loại phần tử xuất hiện sớm nhất khi sử dụng PP PTHH tính vỏ. Việc thừa nhận phần
tử vỏ là phần tử phẳng làm giảm tính chất phức tạp của bài toán mà vẫn đảm bảo độ
chính xác của kết quả tính.
Phần tử vỏ phẳng là phần tử kết hợp của 02 phần tử màng và phần tử tấm
246
dựa trên nhận xét, [5]: Khi xét cân bằng phần tử chỉ thiết lập được 05 phương trình,
riêng phương trình thứ sáu
0
z
M =
∑

luôn thỏa mãn do định luật đối ngẫu của ứng suất
tiếp. Đối với phần tử vỏ phẳng không tồn tại các chuyển vị xoay
iz
θ
quay quanh trục
z
tại các nút
i
. Song, ta vẫn đưa các thành phần chuyển vị này vào phương trình cân
bằng để tránh khó khăn khi giải bài toán phải nghịch đảo ma trận độ cứng, mà ma trận
độ cứng trong bài toán vỏ có thể là ma trận suy biến.
Các lực nút theo phương trục
x
là
ix
R
và theo phương trục
y
là
iy
R
tại nút
i
chỉ
ảnh hưởng đến biến dạng trong mặt phẳng trung bình chứ không ảnh hưởng đến biến
dạng uốn; còn các lực nút theo phương trục
z
là
iz
R

và mô men uốn xoay quanh trục
x
là
ix
M
, mô men uốn xoay quanh trục
y
là
iy
M
tại nút
i
chỉ ảnh hưởng đến biến
dạng uốn của phần tử chứ không ảnh hưởng đến biến dạng trong mặt phẳng trung
bình. V.Z Vlatxop đã chứng minh kết luận trên chỉ đúng cho vỏ thoải.
Trong [12] đã tóm tắt những nhược điểm của phần tử vỏ phẳng do Gallagher đưa
ra:
1. Vỏ là vật thể được giới hạn bởi 02 mặt cong nên các phương trình vi phân biểu
diễn điều kiện cân bằng, chuyển vị, biến dạng, ứng suất của vỏ phụ thuộc các yếu tố
hình học của vỏ như: tham số Lamê, bán kính cong,…Do đó, các phương trình vi phân
trong bài toán vỏ không đồng nhất với các phương trình vi phân trong kết cấu màng và
tấm mỏng chịu uốn.
2. Sự không liên tục của góc xoay giữa các phần tử liền kề có thể gây ra mô men
uốn ở những vùng mà thực tế không có mô men uốn.
10.1.2. Phần tử vỏ cong
Phần tử vỏ cong nhằm kể đến tính chất “cong” của phần tử, xuất hiện vào cuối
năm 1960. Trong [12] đã tóm tắt những khó khăn khi tính toán bằng phần tử vỏ cong:
1. Khó chọn lý thuyết tính toán vỏ phù hợp với việc xây dựng các tính chất cơ
học của phần tử vỏ cong.
2. Khó mô tả dạng hình học của vỏ có kể đến các yếu tố hình học mặt cong của

phần tử.
3. Khó thỏa mãn các điều kiện tương thích hơn so với sử dụng phần tử vỏ phẳng.
10.1.3. Phần tử vỏ khối
Khi phân tích vỏ bằng PP PTHH, ngoài sử dụng các loại phần tử nêu trên còn sử
dụng phần tử vỏ khối (3 chiều) như phần tử vỏ khối 8 nút hoặc phần tử bậc cao đồng
tham số 20 nút. Song, việc sử dụng phần tử vỏ khối để tính toán vỏ phức tạp nên dẫn
đến việc giảm bậc tổng quát của phần tử bằng cách sử dụng giả thiết của Mindlin:
247
“phần tử thẳng vuông góc với mặt trung bình trước biến dạng thì sau biến dạng vẫn
thẳng và không nhất thiết phải vuông góc với mặt trung bình”. Với giả thiết này,
chuyển vị và góc xoay tại nút trên mặt trung bình được xem là các bậc tự do độc lập.
Phần tử vỏ với việc sử dụng giả thiết của Mindlin có thể tính cho cả vỏ dày.
Trong chương này giới thiệu 02 kiểu phần tử vỏ: phần tử vỏ phẳng tứ giác đồng
tham số 4 nút và phần tử vỏ cong tứ giác đồng tham số 04 nút của Kanok-Nukulchai.
10.2. PHẦN TỬ VỎ PHẲNG TỨ GIÁC ĐỒNG THAM SỐ 04 NÚT
Phần tử vỏ phẳng là phần tử kết hợp giữa phần tử màng và phần tử tấm chịu uốn
và cắt. Xét phần tử vỏ phẳng tứ giác đồng tham số 4 nút, hình 10-2.

Hình 10-2. Phần tử vỏ phẳng tứ giác 4 nút đồng tham số.
Véc tơ chuyển vị nút của phần tử
{ }
e
q
có kích thước 24x1 với các véc tơ chuyển
vị
{ }
i
q
tại nút
i

,
( )
1 4i = ÷
có dạng:
{ } { } { } { } { }
{ }
1 2 3 4
T
e
q q q q q=
(10.1)
{ }
{ } { }
0
T T
i i i i xi yi zi i i i xi yi
q u v w u v w= θ θ θ = θ θ
(10.2)
Phần tử tấm đồng tham số 04 nút chịu uốn và cắt đã xét trong chương 3 nên
trong chương này chỉ xét phần tử màng và ghép nối các ma trận của phần tử tấm chịu
uốn, cắt và phần tử màng thành phần tử vỏ phẳng.
10.2.1. Phần tử màng
Dưới đây, sẽ dẫn ra các công thức cơ bản của PP PTHH cho phần tử màng tứ
giác đồng tham số 04 nút trong hệ tọa độ chung OXYZ.
1. Ma trận hàm dạng
[ ]
m
B
và ma trận biến dạng - chuyển vị
[ ]

m
D
Véc tơ toạ độ (hình học)
{ } { }
T
X x y=
và hàm chuyển vị
{ }
m
U
xác định vị trí
248
và chuyển vị của điểm bất kỳ trong phần tử xét trong hệ tọa độ chung OXYZ được nội
suy qua hàm nội suy
i
N
, dưới dạng:
{ }
4
1
i
i
i
i
x
x
X N
y
y
=

 
 
= =
   
 
 
∑
(10.3)
{ }
[ ]
{ }
4
1
i
i
m m
m
i
i
u
u
U N B q
v
v
=
 
 
= = =
   
 

 
∑
(10.4)
trong đó:
{ }
m
X
- véc tơ toạ độ nút của phần tử màng trong hệ tọa độ chung.
{ } { }
1 1 2 2 3 3 4 4
T
m
X x y x y x y x y=
(10.5)
{ }
m
q
- véc tơ chuyển vị nút của phần tử màng trong hệ tọa độ chung.
{ } { }
1 1 2 2 3 3 4 4
T
m
q u v u v u v u v=
(10.6)
Khi biểu diễn véc tơ chuyển vị theo các nút
i
,
( )
1 4i = ÷
:

{ } { } { } { } { }
{ }
1 2 3 4
T
m
q q q q q=
(10.7)
với chuyển vị tại nút
i
:
{ } { }
T
i i i
m
q u v=
(10.8)
từ (10.5), ma trận hàm dạng
[ ]
m
B
- ma trận biểu diễn chuyển vị tại điểm bất kỳ trong
phần tử qua chuyển vị nút
( )
,
i i
u v
tại nút
i
,
( )

1 4i = ÷
, có dạng:
[ ]
1 2 3 4
1 2 3 4
0 0 0 0
0 0 0 0
m
N N N N
B
N N N N
 
=
 
 
(10.9)
Trong đó hàm nội suy
i
N
,
( )
1 4i = ÷
:
( ) ( )
1
1 . 1 .
4
i i i
N r r s s= + +
(10.10)

với
i
r
,
i
s
là toạ độ tự nhiên tại nút i, với
1 4i = ÷
.
Từ (10.10), hàm nội suy
i
N
với giá trị
i
r
,
i
s
tại nút
1 4i
= ÷
:
( ) ( )
1
1 1
4
r s
N
− −
=

( ) ( )
2
1 1
4
r s
N
+ −
=

( ) ( )
3
1 1
4
r s
N
+ +
=

( ) ( )
4
1 1
4
r s
N
− +
=
(10.11)
Từ quan hệ biến dạng - chuyển vị của phần tử màng theo PP PTHH:
{ }

{ }
[ ]
{ }
[ ] [ ]
{ }
T
x y xy
m m m
m m
D q B qε = ε ε γ = = ∂
rút ra ma trận biến dạng - chuyển vị:
[ ] [ ] [ ]
m m
D B= ∂

với ma trận
[ ]
∂
là ma trận toán tử vi phân trong bài toán trạng thái ứng suất phẳng
249
của lý thuyết đàn hồi:
[ ]
0
0
x
y
y x
 
∂
 

∂
 
 
∂
∂ =
 
∂
 
 
∂ ∂
 
∂ ∂
 
(10.12)
Từ ma trận hàm dạng
[ ]
m
B
theo (10.9) và ma trận toán tử vi phân (10.12), rút ra
ma trận biến dạng - chuyển vị
[ ]
m
D
:
[ ]
3
1 2 4
3
1 2 4
3 3

1 1 2 2 4 4
0 0 0 0
0 0 0 0
m
N
N N N
x x x x
N
N N N
D
y y y y
N N
N N N N N N
y x y x y x y x
 
∂
∂ ∂ ∂
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
∂
∂ ∂ ∂
=
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
(10.13)
Do xét trong hệ tọa độ tự nhiên nên cần thiết lập quan hệ đạo hàm của một đại
lượng nào đó đối với các biến
( )
,r s
trong hệ tọa độ tự nhiên và đạo hàm của đại lượng
đó đối với biến
( )
,x y
trong hệ tọa độ Descartes. Theo qui tắc tính đạo hàm hàm hợp:

x y
r x r y r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
x y
s x s y s
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
dưới dạng ma trận:
[ ]
x y
x x
r r r
J

x y
y y
s s s
∂ ∂
   
∂ ∂ ∂
   
   
   
∂ ∂
     
∂ ∂ ∂
= =
 
     
∂ ∂
∂ ∂ ∂
 
     
 
 
∂ ∂
   
∂ ∂ ∂
   
   
(10.14)
trong đó
[ ]
J

là ma trận Jacobian. Chú ý đến (10.3) và (10.11):
[ ]
1 1
3
1 2 4
2 2
3 3
3
1 2 4
4 4
x y
NN N N
x y
x y
r r r r r r
J
x y
x y N
N N N
s s
s s s s
x y
 
∂∂ ∂ ∂
∂ ∂
 
 
 
 
 

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
= =
 
 
 
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
 
 
 
 
 
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
3 3
4 4
1 1 1 1
1
1 1 1 1
4

x y
s s s s
x y
J
r r r r
x y
x y
 
 
− − − + − + 
 
=
 
 
− − − + + −
 
 
 
(10.15)
250
Từ (10.14) đạo hàm đối với biến
( )
,x y
trong hệ tọa độ Descartes được xác định
qua đạo hàm riêng theo biến
( )
,r s
trong hệ tọa độ tự nhiên:
[ ]
1

x
r
J
y
s
−
∂
 
∂
 
 
 
∂
   
∂
=
   
∂
∂
   
 
∂
 
∂
 
 
(10.16)
Khai triển các đạo hàm riêng của hàm nội suy
i
N

theo biến
,x y
trong (10.13)
qua các đạo hàm riêng của hàm nội suy
i
N
theo biến
,r s
theo (10.16):
[ ]
3
1 2 4
3
1 2 4
1
3
1 2 4
3
1 2 4
N
N N N
NN N N
x x x x
r r r r
J
N
N N N
N
N N N
y y y y

s s s s
−
∂
∂ ∂ ∂
 
∂∂ ∂ ∂
 
 
 
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
 
=
 
∂
∂ ∂ ∂
∂
∂ ∂ ∂
 
 
 
 
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
(10.17a)
Ký hiệu:
[ ]
* *

1
*
11 12
* *
21 22
J J
J J
J J
−
 
 
= =
 
 
 
(10.18)
Khai triển (10.17.a), nhận được:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
1 2 4
* *
11 12
* *
3
1 2 4
21 22
1 1 1 1
1
.

1 1 1 1
4
N
N N N
s s s s
J J
x x x x
N
N N N
r r r r
J J
y y y y
∂
∂ ∂ ∂
 
 
− − − + − +
 
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
=
 
 
∂
∂ ∂ ∂
− − − + + −
 
 
 

 
∂ ∂ ∂ ∂
 
(10.17b)
2. Ma trận độ cứng của phần tử màng
[ ]
m
K

Giới hạn xét phần tử có chiều dày
δ
không đổi trên toàn bộ phần tử, ma trận độ
cứng của phần tử màng được xác định bằng công thức:
[ ] [ ] [ ] [ ]
0
T
m m m m
S
K D E D dS= δ
∫
(10.19)
Với
[ ]
0
m
E
là ma trận đàn hồi của vật liệu trong bài toán trạng thái ứng suất phẳng
theo lý thuyết đàn hồi:
( )
( )

0
2
2 2 0
[ ] 2 2 0
2 1
0 0 1
m
E
E
µ 
 
= µ
 
−µ
 
−µ
 
(10.20)
Trong trường hợp tổng quát, khi ma trận độ cứng
[ ]
m
K
tính theo (10.19) không
tính được dưới dạng tường minh thì có thể tính bằng tích phân số, thường dùng phép
cầu phương Gauss. Trong trường hợp này:
251
[ ]
detdS dxdy J drds= =
(10.21)
trong đó

[ ]
det J
là định thức của ma trận Jacobian.
Ký hiệu:
( )
[ ] [ ] [ ]
0
,
T
r s
m m m
F D E D
 
=
 
(10.22)
Sử dụng phép tích phân cầu phương Gauss 2x2, ma trận độ cứng của phần tử
màng
[ ]
m
K
được xác định:
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
1 1
2 2
,

,
1 1
1 1
i i
i j
r s
r s
m
i j
K F det J drds F det J
+ +
= =
− −
 
 
= δ = δ α α
 
 
∑∑
∫ ∫
(10.23)
với
i
r
,
i
s
- toạ độ điểm cầu phương Gauss.
i
α

,
j
α
- trọng số tích phân.
Ma trận độ cứng của phần tử màng kiểu tứ giác tương ứng với chuyển vị
{ }
i
m
q
tại các nút
i
,
1 4i
= ÷
, trong đó ma trận con có kích thước 2x2, có dạng:
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
m m m m
m m m m
m
m m m m
m m m m
K K K K

K K K K
K
K K K K
K K K K
 
 
 
=
 
 
 
 
(10.24)
3. Ma trận khối lượng của phần tử màng
[ ]
m
M

Ma trận khối lượng được xác định theo công thức tổng quát:

[ ] [ ] [ ]
T
m m m
S
M B B dS= δ ρ
∫
(10.25)
trong đó:
ρ
- khối lượng vật liệu của phần tử trên một đơn vị thể tích;

[ ]
m
B
- ma trận hàm dạng xác định theo (10.10).
Tích phân (10.25) có thể sử dụng phép cầu phương Gauss 2x2 tương tự như
đối với ma trận độ cứng.
Ký hiệu:
( )
[ ] [ ]
,
T
r s
m m
F B B
 
= ρ
 
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
1 1
2 2
,
,
1 1
1 1
det det
i i

i j
r s
r s
m
i j
M F J drds F J
+ +
= =
− −
 
 
= δ = δ α α
 
 
∑∑
∫ ∫
(10.26)
Ma trận khối lượng của phần tử màng kiểu tứ giác tương ứng với chuyển vị
{ }
i
m
q
tại các nút
i
,
1 4i = ÷
, trong đó ma trận con có kích thước 2x2, có dạng:
252
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
m m m m
m m m m
m
m m m m
m m m m
M M M M
M M M M
M
M M M M
M M M M
 
 
 
=
 
 
 
 
(10.27)
4. Véc tơ lực nút qui đổi của phần tử màng
{ }
m
R

Xét trường hợp tải trọng tác dụng phân bố trong mặt phẳng của phần tử. Véc
tơ tải trọng tại điểm bất kỳ trong phần tử có dạng:
{ }
x
S
y
p
p
p
 
=
 
 
(10.28)
với
x
p
,
y
p
là cường độ tải trọng phân bố theo trục
x
,
y
.
Véc tơ lực nút qui đổi của phần tử màng có dạng:
{ }
{ }
1 1 2 2 3 3 4 4

T
m m m m m m m m
x y x y x y x y
m
R R R R R R R R R=
(10.29)
được xác định bằng công thức:
{ }
[ ]
{ }
T
S
m
m
S
R B p dS=
∫
(10.30)
Tích phân (10.30) có thể sử dụng tích phân số theo phép cầu phương Gauss.
Ký hiệu:
( )
[ ]
{ }
,
T
s
r s
m
F B p
 

=
 
{ }
( )
[ ]
( )
[ ]
1 1
2 2
,
,
1 1
1 1
i i
i j
r s
r s
m
i j
R F det J drds F det J
+ +
= =
− −
 
 
= = α α
 
 
∑∑
∫ ∫

(10.31)
5. Véc tơ ứng suất và nội lực của phần tử màng
Ứng suất và nội lực phân bố của phần tử màng được xác định theo công thức
trạng thái ứng suất phẳng của lý thuyết đàn hồi.
{ }
{ }
[ ]
{ }
[ ] [ ]
{ }
0 0
T
x y xy
m m m
m m m
E E D qσ = σ σ τ = ε =
(10.32)
Nội lực của vỏ trong trạng thái màng:
{ }
{ }
{ } { }
/2
/2
T
x y xy
m m m
N N N N dz
δ
−δ
= = σ = δ σ

∫
(10.33)
Với
x
N
,
y
N
là lực dọc theo phương trục
x
,
y
và
xy
N
là lực trượt.
10.2.2. Các ma trận của phần tử vỏ phẳng tứ giác 04 nút đồng tham số
Các ma trận của phần tử vỏ được tổ hợp từ các ma trận tương ứng với các trạng
thái màng, trạng thái uốn có kể đến biến dạng cắt theo giả thiết Mindlin.
Chỉ số “
m
” tương ứng với trạng thái màng, chỉ số “
t
” tương ứng với trạng
thái uốn, cắt của tấm, phần tử có giá trị bằng
0
tương ứng với chuyển vị xoắn.
253
Căn cứ vào thứ tự chuyển vị nút trong véc tơ chuyển vị nút
{ }

e
q
theo (10.1), ma
trận độ cứng và ma trận khối lượng của phần tử vỏ có dạng (10.34) và (10.35).
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
11 12 13 14
11 12 13 14
21 22 23 24
21 22 23 24
31 32 33 34
31 32 33 34
41 42 43
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
m m m m

t t t t
m m m m
t t t t
e
m m m m
t t t t
m m m
K K K K
K K K K
K K K K
K K K K
K
K K K K
K K K K
K K K
=
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
44
41 42 43 44
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
m
t t t t
K
K K K K
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(10.34)
Trong (10.34) phần tử có giá trị bằng 0 tương ứng với các chuyển vị nút
zi
θ
.
Các ma trận
[ ]
m
ij
K
của phần tử màng có kích thước 2x2 được xác định theo (10.24),
với
( )
1 4i = ÷

,
( )
1 4j = ÷
tương ứng với
{ }
i
m
q
; còn các ma trận
[ ]
t
ij
K
của phần tử tấm
uốn có kích thước 3x3 được xác định theo (3.86), với
( )
1 4i = ÷
,
( )
1 4j = ÷
tương ứng
với chuyển vị
{ }
i
t
q
.
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
11 12 13 14
11 12 13 14
21 22 23 24
21 22 23 24
31 32 33 34
31 32 33 34
41 42 43
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
m m m m
t t t t
m m m m
t t t t
e
m m m m
t t t t
m m m

M M M M
M M M M
M M M M
M M M M
M
M M M M
M M M M
M M M
=
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
44
41 42 43 44
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
m
t t t t
M
M M M M
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
(10.35)
Trong (10.35) phần tử có giá trị bằng 0 tương ứng với các gia tốc
zi
θ
&&
với
254
( )
1 4i = ÷
. Các ma trận
[ ]
m
ij
M
của phần tử màng được xác định theo (10.27) tương ứng
với gia tốc
{ }
i
m
q
&&

với
( )
1 4i = ÷
,
( )
1 4j = ÷
; còn các ma trận
[ ]
t
ij
M
của phần tử tấm uốn
được xác định theo (3.91) với
( )
1 4i = ÷
,
( )
1 4j = ÷
tương ứng với gia tốc
{ }
i
t
q
&&
.
Véc tơ lực nút qui đổi do tải trọng tác dụng trong phần tử có kích thước 24x1,
dưới dạng theo các nút
i
,
( )

1 4i = ÷
:
{ } { } { } { } { }
{ }
1 2 3 4
T
e
R R R R R=
(10.36)
trong đó véc tơ lực nút qui đổi
{ }
i
R
tại nút
i
,
( )
1 4i = ÷
có kích thước 6x1 được tổ hợp
từ trạng thái màng, trạng thái uốn tấm và trạng thái xoắn:
{ }
{ }
0
T
m m t t t
i xi yi zi xi yi
R R R F M M=
(10.37)
10.3. PHẦN TỬ VỎ CONG TỨ GIÁC ĐỒNG THAM SỐ 4 NÚT
Trong mục này sẽ đưa ra các công thức cơ bản của PP PTHH cho phần tử vỏ

cong tứ giác đồng tham số 4 nút, xét trong hệ tọa độ chung do Kanok-Nukulchai đề
xuất, được xây dựng từ phần tử khối có sử dụng giả thiết Kirchhoff-Love và giả thiết
Mindlin.
Trên hình 10-3, ký hiệu O’X’Y’Z’ là hệ tọa độ địa phương với các véc tơ đơn vị
'
1
e
r
,
'
2
e
r
và
'
3
e
r
, còn OXYZ là hệ tọa độ chung với các véc tơ đơn vị
i
r
,
j
r
,
k
r
.
Hình 10-3. Phần tử vỏ cong tứ giác 04 nút đồng tham số.
Trong hệ tọa độ chung, tại mỗi nút

i
,
( )
1 4i = ÷
có 06 thành phần chuyển vị
gồm: 03 chuyển vị thẳng
i
u
,
i
v
,
i
w
và 03 chuyển vị xoay
xi
θ
,
yi
θ
,
zi
θ
:
{ }
{ }
T
i i i i xi yi zi
q u v w= θ θ θ
(10.38)

255

{ } { } { } { } { }
{ }
1 2 3 4
T
e
q q q q q=
(10.39)
Như vậy, véc tơ chuyển vị nút
{ }
e
q
của phần tử có kích thước 24x1.
Tương tự, véc tơ lực nút qui đổi
{ }
e
R
của phần tử có kích thước 24x1:
{ } { } { } { } { }
{ }
1 2 3 4
T
e
R R R R R=
(10.40)
với:

{ }
{ }

T
i xi yi zi xi yi zi
R R R R M M M=
(10.41)
10.3.1. Hàm dạng cho hình học và chuyển vị
Phần tử vỏ cong tứ giác đồng tham số 4 nút là phần tử mà hình học hay chuyển
vị tại điểm bất kỳ trong phần tử được nội suy qua hàm nội suy
i
N
,
( )
1 4i = ÷
và tọa độ
hay chuyển vị tại các nút.
1. Hàm nội suy
i
N
Hàm nội suy
i
N
của phần tử vỏ cong tứ giác đồng tham số 4 nút trong hệ tọa độ
tự nhiên có dạng tương tự như của phần tử vỏ phẳng 04 nút, theo (10.10).
2. Tọa độ của điểm bất kỳ trong phần tử
Trong hệ tọa độ chung, tọa độ
( )
, ,x y z
tại điểm bất kỳ trong phần tử được xấp xỉ
qua hàm nội suy
i
N

và tọa độ nút
( )
, ,
i i i
x y z
, chiều dày vỏ
i
δ
tại các nút
i
với
1 4i = ÷
:
3
4
3
1
3
1
.
2
i i
i i i i
i
i i
x x l
y N y t m
z z n
=
 

     
     
= + δ
     
     
     
 
∑
(10.42)
Với
3i
l
,
3i
m
,
3i
n
là cô sin chỉ phương của véc tơ pháp tuyến đơn vị
'
3
e
r
tại nút
i
với
các trục trong hệ tọa độ chung.
3. Ma trận chuyển tọa độ và cô sin chỉ phương của điểm bất kỳ trong phần tử
Ma trận chuyển tọa độ (ma trận cô sin chỉ phương) giữa hệ tọa độ địa phương và
hệ tọa độ chung có dạng:

[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
, , ,
, , ,
, , ,
cos e i cos e i cos e i
l l l
L m m m cos e j cos e j cos e j
n n n
cos e k cos e k cos e k
 
 
 
 
 
= =
 
 
 
 
 
 
r r r

r r r
r r r
r r r
r r r
r r r
(10.43)
Trong đó,
( )
1 1 1
, ,l m n
là cô sin chỉ phương của véc tơ
'
1
e
r
với các trục tọa độ trong hệ tọa
độ chung. Tương tự cho
( )
2 2 2
, ,l m n
với véc tơ
'
2
e
r
và cho
( )
3 3 3
, ,l m n
với véc tơ

'
3
e
r
.
256
Dưới đây sẽ xác định các côsin chỉ phương của các véc tơ đơn vị tại điểm bất kỳ
trong phần tử theo các biến trong hệ tọa độ tự nhiên, [3, 12].
Xét một điểm bất kỳ có tọa độ tự nhiên
( )
,r s
trên mặt trung bình
( )
0t =
. Theo
đại số véc tơ, tích có hướng (tích chéo) của 02 véc tơ là một véc tơ vuông góc với mặt
phẳng chứa 02 véc tơ trên.
* Côsin chỉ phương của véc tơ pháp tuyến
'
3
e
r
tại điểm bất kỳ có tọa độ
( )
,r s
được xác định bằng công thức (10.44), hay dưới dạng định thức ma trận với các véc tơ
đơn vị
i
r
,

j
r
,
k
r
trong hệ tọa độ chung , [3]:
'
3
i j k
x y z y z z y z x x z x y y x
e i j k
r r r r s r s r s r s r s r s
x y z
s s s
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
= = − + − + −
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
r
r r
r
r r
r


3 3 3

a i b j c k= + +
r
r r
(10.45)
( )
( ) ( )
( ) ( )
3
, ,
'
3 3
3
,
, ,
r s r s
r s
r s r s
x x
r s
y y
r s
z z
l
r s
e m
x x
n
r s
y y
r s

z z
r s
∂ ∂
   
   
∂ ∂
   
∂ ∂
   
×
   
∂ ∂
   
∂ ∂
   
 
   
∂ ∂
   
 
= =
 
∂ ∂
   
 
 
   
∂ ∂
   
∂ ∂

   
×
   
∂ ∂
   
∂ ∂
   
   
∂ ∂
   
r
(10.44)
Các thành phần của véc tơ
'
3
e
r
hay các cô sin chỉ phương của nó trong hệ tọa độ
chung được xác định bằng công thức:
3
3
2 2 2
3 3 3
a
l
a b c
=
+ +
;
3

3
2 2 2
3 3 3
b
m
a b c
=
+ +
;
3
3
2 2 2
3 3 3
c
n
a b c
=
+ +
(10.46)
* Cô sin chỉ phương của véc tơ
'
2
e
r
được xác định bằng tích có hướng của véc tơ
'
3
e
r
và véc tơ đạo hàm theo biến

r
tại tâm phần tử
( )
0r s= =
được xác định bằng công
thức:
257
( )
( )
( )
( )
( )
3
3
3
,
2
0,0
'
2 2
2
,
3
3
3
,
0,0
r s
r s
r s

x
r
l
y
m
r
n
z
l
r
e m
x
n
r
l
y
m
r
n
z
r
∂
 
 
∂
 
 
∂
   
×

   
∂
   
 
∂
 
 
 
∂
 
 
= =
 
∂
 
 
 
 
∂
 
 
∂
   
×
   
∂
   
 
∂
 

 
∂
 
r
(10.47)
dưới dạng định thức ma trận với các véc tơ đơn vị
i
r
,
j
r
,
k
r
trong hệ tọa độ chung:

'
2 3 3 3 3 3 3 3 3 3
i j k
z y x z y x
e l m n m n i n l j l m k
r r r r r r
x y z
r r r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
= = − + − + −
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     

∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
r
r r
r
r r
r

2 2 2
a i b j c k= + +
r
r r
(10.48)
Các thành phần của véc tơ
'
2
e
r
hay các cô sin chỉ phương của nó trong hệ tọa độ
chung được xác định theo công thức:
2
2
2 2 2
2 2 2
a
l
a b c
=
+ +
;

2
2
2 2 2
2 2 2
b
m
a b c
=
+ +
;
2
2
2 2 2
2 2 2
c
n
a b c
=
+ +
(10.49)
* Cô sin chỉ phương của véc tơ tiếp tuyến
'
1
e
r
được xác định bằng tích có hướng
của véc tơ
'
3
e

r
và véc tơ
'
2
e
r
:
( ) ( ) ( )
1 2 3
'
1 1 2 3
1 2 3
, , ,r s r s r s
l l l
e m m m
n n n
     
     
= = ×
     
     
     
r
(10.50)
dưới dạng định thức ma trận với các véc tơ đơn vị
i
r
,
j
r

,
k
r
trong hệ tọa độ chung:
( ) ( ) ( )
'
1 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
3 3 3
i j k
e l m n m n n m i n l l n j l m m l k
l m n
= = − + − + −
r
r r
r
r r
r

1 1 1
a i b j c k= + +
r
r r
(10.51)
258
Các thành phần của véc tơ
'
1
e
r
hay các cô sin chỉ phương của nó trong hệ tọa độ

chung được xác định theo công thức:
1
1
2 2 2
1 1 1
a
l
a b c
=
+ +
;
1
1
2 2 2
1 1 1
b
m
a b c
=
+ +
;
1
1
2 2 2
1 1 1
c
n
a b c
=
+ +

(10.52)
Các cô sin chỉ phương của véc tơ
1
e
r
, véc tơ
2
e
r
và véc tơ
3
e
r
giữa các trục tọa độ
( )
', ', 'x y z
trong hệ tọa độ địa phương và các trục
( )
, ,x y z
trong hệ tọa độ chung là các
hàm của biến
r
và
s
trong hệ tọa độ tự nhiên.
Khi tính cô sin chỉ phương tại nút
i
lấy giá trị
r
và

s
tại nút
i
.
Các đạo hàm riêng
x
r
∂
∂
,
x
s
∂
∂
trong các công thức xác định cô sin chỉ phương với
x
,
y
,
z
được xác định từ (10.42). Vì xét tại mặt trung bình nên biến
0t =
. Do đó, từ
(10.42) tọa độ
( )
, ,x y z
của điểm bất kỳ có dạng:
4
1
i i

i
x N x
=
=
∑

4
1
i i
i
y N y
=
=
∑

4
1
i i
i
z N z
=
=
∑
(10.53)
Các đạo hàm riêng trong (10.44), (10.47) với
0t =
được xác định bằng công thức sau:
4
1
i

i
i
N
x
x
r r
=
∂
∂
=
∂ ∂
∑

4
1
i
i
i
N
y
y
r r
=
∂
∂
=
∂ ∂
∑

4

1
i
i
i
N
z
z
r r
=
∂
∂
=
∂ ∂
∑
(10.54)
4
1
i
i
i
N
x
x
s s
=
∂
∂
=
∂ ∂
∑

4
1
i
i
i
N
y
y
s s
=
∂
∂
=
∂ ∂
∑

4
1
i
i
i
N
z
z
s s
=
∂
∂
=

∂ ∂
∑
(10.55)
Các đạo hàm
i
N
r
∂
∂
xác định từ
i
N
theo (10.10):
( )
1
1 .
4
i
i i
N
s s r
r
∂
= +
∂
(10.56)
Khai triển (10.56) với giá trị
i
r
,

i
s
tại nút
1 4i = ÷
( )
1
1
4
s
N
r
−
∂
= −
∂

( )
2
1
4
s
N
r
−
∂
=
∂

( )
3

1
4
s
N
r
+
∂
=
∂

( )
4
1
4
s
N
r
+
∂
= −
∂
(10.57)
Các đạo hàm
i
N
s
∂
∂
xác định từ
i

N
theo (10.10):
( )
1
1 .
4
i
i i
N
r r s
s
∂
= +
∂
(10.58)
Khai triển (10.58) với giá trị
i
r
,
i
s
tại nút
1 4i = ÷
( )
1
1
4
r
N
s

−
∂
= −
∂
;
( )
2
1
4
r
N
s
+
∂
= −
∂
;
( )
3
1
4
r
N
s
+
∂
=
∂
;
( )

4
1
4
r
N
s
−
∂
=
∂
(10.59)
259
4. Hàm chuyển vị
Hàm chuyển vị trong hệ tọa độ chung được xác định qua chuyển vị nút bằng
công thức:
{ }
[ ]
{ }
*
4
*
1
*
i i
i i i
e e
e
i
i i
u u u

U v N v v B q
w w w
=
 
 
   
 
 
   
= = + =
     
     
   
 
 
∑
(10.60)
trong đó:
i
u
,
i
v
,
i
w
- chuyển vị thẳng theo trục
( )
, ,x y z
tại nút

i
.
*
i
u
,
*
i
v
,
*
i
w
- chuyển vị thẳng theo trục
( )
, ,x y z
gây ra do góc xoay của pháp tuyến tại
nút
i
. Các thành phần chuyển vị này được xác định như sau:
Khi thừa nhận giả thiết của Mindlin và ký hiệu:
'
i
u
,
'
i
v
,
'

i
w
là chuyển vị dọc theo
trục
'x
,
'y
,
'z
và
'
1i
α
,
'
2i
α
là góc xoay của pháp tuyến quanh trục
'
x
,
'
y
(trong hệ tọa
độ địa phương tại nút
i
), hình 10-4.
Hình 10-4. Góc xoay pháp tuyến và chuyển vị do xoay pháp tuyến.
Các thành phần chuyển vị thẳng được xác định bằng công thức:

' '
2
' '
1
'
1
.
2
0
i i
i i i
i
u
v t
w
   
α
   
= δ −α
   
   
   
(10.61)
Các thành phần chuyển vị
*
i
u
,
*
i

v
,
*
i
w
dọc theo các trục tọa độ
( )
, ,x y z
được xác
định qua các chuyển vị
'
i
u
,
'
i
v
,
'
i
w
và côsin chỉ phương của ma trận chuyển tọa độ
[ ]
L
:
* ' '
1 2
. .
i i i i i
u l u l v= +

* ' '
1 2
. .
i i i i i
v m u m v= +
* ' '
1 2
. .
i i i i i
w n u n v= +
(10.62)
Thay (10.61) vào (10.62) và viết dưới dạng ma trận:
260
*
1 2
'
*
2
1 2
'
*
1
1 2
1
.
2
i i i
i
i i i i
i

i i i
u l l
v t m m
w n n
 
−
 
 
α
 
 
= δ −
   
 
α
 
 
 
−
 
 
(10.63)
Góc xoay
'
1i
α
,
'
2i
α

của pháp tuyến quay quanh trục
'
x
,
'
y
trong hệ tọa độ địa
phương được xác định qua chuyển vị xoay
xi
θ
,
yi
θ
,
zi
θ
trong hệ tọa độ chung và các cô
sin chỉ phương giữa hai hệ tọa độ tại nút
i
:
'
1 1 1 1i i xi i yi i zi
l m nα = θ + θ + θ
'
2 2 2 2i i xi i yi i zi
l m nα = θ + θ + θ
(10.64)
dưới dạng ma trận:
'
2 2 2

2
'
1 1 1
1
xi
i i i
i
yi
i i i
i
zi
l m n
l m n
θ
 
 
α
 
 
= θ
   
 
α
 
 
 
θ
 
(10.65)
Thay (10.65) vào (10.63) nhận được:

*
*
*
1
.
2
i xi
i i i yi
i zi
u
v t L
w
 
θ
 
 
 
 
= δ θ
   
 
   
θ
 
 
(10.66)
1 2 3 3
2 2 2
1 2 3 3
1 1 1

1 2 3 3
0
0
0
i i i i
i i i
i i i i i
i i i
i i i i
l l n m
l m n
L m m n l
l m n
n n m l
− −
   
 
   
 
= − = −
 
 
   
 
   
− −
   
(10.67)
Với
3i

l
,
3i
m
,
3i
n
là cô sin chỉ phương của véc tơ đơn vị pháp tuyến
3
e
r
xác định
theo (10.46) tại nút
i
.
Thay (10.66) vào (10.60) nhận được hàm chuyển vị trong hệ tọa độ chung:
{ }
4
1
1
.
2
i xi
i i i i yi
e
i
i zi
u u
U v N v t L
w w

=
 θ 
     
     
 
= = + δ θ
     
 
     
θ
     
 
∑
(10.68)
Thay
i
L
 
 
từ (10.67) vào (10.68) nhận được:
{ }
3 3
4
3 3
1
3 3
1
.
2
i i yi i zi

i i i i zi i xi
e
i
i i xi i yi
u u n m
U v N v t l n
w w m l
=
 
 
θ − θ
   
 
 
   
= = + δ θ − θ
     
     
θ − θ
   
 
 
∑
(10.69)
Công thức (10.69) biểu diễn hàm chuyển vị
( )
, ,u v w
tại một điểm bất kỳ trong
phần tử qua các chuyển vị nút
( )

, ,
i i i
u v w
và chuyển vị xoay
( )
, ,
xi yi zi
θ θ θ
tại nút
i
,
1 4i
= ÷
, trong hệ tọa độ chung.
5. Ma trận hàm dạng
Ma trận hàm dạng trong hệ tọa độ chung được xác định từ công thức tổng quát
261
{ }
[ ]
{ }
e e
e
U B q=
. Chú ý đến (10.69), ma trận hàm dạng
[ ]
e
B
xét trong hệ tọa độ chung
tương ứng với véc tơ chuyển vị nút của phần tử:
{ } { } { } { } { }

{ }
1 2 3 4
T
e
q q q q q=
có dạng:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1 2 3 4
3 24
e
x
B B B B B
 
=
 
(10.70)
[ ]
3 3
3 3
3 3
3 6
1 1
0 0 0 . .
2 2
1 1
0 0 . 0 .
2 2
1 1
0 0 . . 0
2 2

i i i i i i i
i i i i i i i i
i i i i i i i
x
N t n N t m N
B N t n N t l N
N t m N t l N
 
δ − δ
 
 
 
= − δ δ
 
 
 
δ − δ
 
 
(10.71)
10.3.2. Ma trận biến dạng - chuyển vị
[ ]
e
D
trong trạng thái màng, uốn và cắt
Ma trận biến dạng - chuyển vị
[ ]
e
D
xác định từ công thức

{ }
[ ]
{ }
e e
e
D qε =
.
1. Véc tơ biến dạng của phần tử vỏ
Phần tử vỏ cong được xây dựng từ phần tử khối. Lý thuyết tính toán vỏ thừa
nhận biến dạng theo phương pháp tuyến
,
0
z
ε =
nên 05 thành phần biến dạng còn lại
của phần tử khối được xác định theo công thức Cauchy của lý thuyết đàn hồi.
Véc tơ biến dạng của phần tử vỏ trong hệ tọa độ địa phương tương ứng trạng thái
màng, uốn và cắt được xác định theo công thức:

{ }
'
'
'
' '
' '
' '
'
'
'
'

' '
' '
' '
' '
' '
' '
x
y
x y
e
x z
y z
u
x
v
y
u v
y x
u w
z x
v w
z y
∂
 
 
∂
 
∂
 
ε

 
 
∂
 
ε
 
 
∂ ∂
   
γ
+
ε = =
   
∂ ∂
   
γ
   
∂ ∂
+
γ
   
 
∂ ∂
 
∂ ∂
 
+
 
∂ ∂
 

(10.72)
a. Chuyển các đạo hàm chuyển vị trong hệ tọa độ địa phương về hệ tọa độ chung.
Để xác định các thành phần biến dạng, trước hết cần biểu diễn các đạo hàm riêng
chuyển vị
' ' '
, ,u v w
theo các biến
' ' '
, ,x y z
trong hệ tọa độ địa phương qua các đạo hàm
riêng chuyển vị
, ,u v w
theo các biến
, ,x y z
trong hệ tọa độ chung qua ma trận chuyển
tọa độ
[ ]
L
bằng công thức:
262

[ ] [ ]
' ' '
' ' '
' ' '
' ' '
' ' '
' ' '
T
u v w u v w

x x x x x x
u v w u v w
L L
y y y y y y
u v w u v w
z z z z z z
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
=
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
(10.73)
Khai triển (10.73),
1 11 1 12 1 13
'
. . .
'
u
l TG m TG n TG

x
∂
= + +
∂

2 11 2 12 2 13
'
. . .
'
v
l TG m TG n TG
x
∂
= + +
∂
3 11 3 12 3 13
'
. . .
'
w
l TG m TG n TG
x
∂
= + +
∂

1 21 1 22 1 23
'
. . .
'

u
l TG m TG n TG
y
∂
= + +
∂

2 21 2 22 2 23
'
. . .
'
v
l TG m TG n TG
y
∂
= + +
∂

3 21 3 22 3 23
'
. . .
'
w
l TG m TG n TG
y
∂
= + +
∂

1 31 1 32 1 33

'
. . .
'
u
l TG m TG n TG
z
∂
= + +
∂

2 31 2 32 2 33
'
. . .
'
v
l TG m TG n TG
z
∂
= + +
∂

3 31 3 32 3 33
'
. . .
'
w
l TG m TG n TG
z
∂
= + +

∂
(10.74)
Trong đó ký hiệu:
11 1 1 1
u u u
TG l m n
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂

12 1 1 1
v v v
TG l m n
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂

13 1 1 1
w w w
TG l m n
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
21 2 2 2
u u u
TG l m n
x y z

∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
22 2 2 2
v v v
TG l m n
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
23 2 2 2
w w w
TG l m n
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
31 3 3 3
u u u
TG l m n
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
32 3 3 3
v v v
TG l m n
x y z
∂ ∂ ∂
= + +

∂ ∂ ∂
33 3 3 3
w w w
TG l m n
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
(10.75)
Chú ý trong các công thức (10.74), (10.75):
1. Cô sin chỉ phương
( )
1 1 1
, ,l m n
,
( )
2 2 2
, ,l m n
,
( )
3 3 3
, ,l m n
tại điểm bất kỳ trong phần
tử, phụ thuộc các biến
r
,
s
,
t
trong hệ tọa độ tự nhiên.

2. Do xét trong hệ tọa độ tự nhiên nên các đạo hàm chuyển vị theo biến (
, ,x y z
)
cần phải chuyển về đạo hàm chuyển vị theo biến (
, ,r s t
).
b. Xác định các đạo hàm chuyển vị theo biến (
, ,r s t
).
Quan hệ đạo hàm riêng theo biến tọa độ tự nhiên
( )
, ,r s t
và theo biến
( )
, ,x y z
và
263
ngược lại, dưới dạng ma trận:
[ ]
x y z
r r r r x x
x y z
J
s s s s y y
x y z
t t t t
z z
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   

   
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
= =
     
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
∂ ∂ ∂ ∂
     
∂ ∂
 
     
 
∂ ∂ ∂ ∂
   
∂ ∂
   
(10.76)

[ ]
1
x r
J

y s
t
z
−
 
∂ ∂
 
 
 
∂ ∂
 
 
∂ ∂
   
=
   
∂ ∂
   
∂
   
∂
   
∂
 
∂
 
(
[ ]
J
là ma trận Jacobian) (10.77)

Ký hiệu ma trận nghịch đảo:

[ ]
* * *
11 12 13
1
* * * *
21 22 23
* * *
31 32 33
J J J
J J J J J
J J J
−
 
 
 
= =
 
 
 
 
(10.78)
thì các đạo hàm lấy đối với các chuyển vị
u
,
v
,
w
theo các biến

( )
, ,x y z
trong hệ
tọa độ chung được tính qua các đạo hàm tương ứng trong hệ tọa độ tự nhiên có
dạng:

* * *
11 12 13
* * *
21 22 23
* * *
31 32 33
u v w u v w
x x x r r r
J J J
u v w u v w
J J J
y y y s s s
J J J
u v w
u v w
t t t
z z z
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 

 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
=
 
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
 
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
 
 
 
 
∂ ∂ ∂
 
∂ ∂ ∂
 
(10.79)
Khai triển (10.79):
* * *
11 12 13
. . .

u u u u
J J J
x r s t
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂

* * *
21 22 23
. . .
u u u u
J J J
y r s t
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
* * *
31 32 33
. . .
u u u u
J J J
z r s t
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
* * *
11 12 13
. . .
v v v v
J J J

x r s t
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
* * *
21 22 23
. . .
v v v v
J J J
y r s t
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
* * *
31 32 33
. . .
v v v v
J J J
z r s t
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
* * *
11 12 13
. . .
w w w w
J J J
x r s t
∂ ∂ ∂ ∂
= + +

∂ ∂ ∂ ∂
* * *
21 22 23
. . .
w w w w
J J J
y r s t
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
264
* * *
31 32 33
. . .
w w w w
J J J
z r s t
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
(10.80)
Chú ý đến (10.69), các đạo hàm chuyển vị
u
,
v
,
w
theo biến tọa độ tự nhiên
, ,r s t
có

dạng (10.81).
Như vậy, các đạo hàm riêng chuyển vị
'u
,
'v
,
'w
theo biến
( )
', ', 'x y z
của véc tơ
biến dạng (10.72) trong hệ tọa độ địa phương đã được biểu diễn qua các đạo hàm riêng
chuyển vị nút
, ,u v w
trong hệ tọa độ chung theo biến
, ,r s t
bằng các công thức (10.73),
(10.79) và (10.81).
4
1
0 0 0
i i i
i i i
i i i
i i i
i
N N N
u v w
u v w
r r r

r r r
N N N
u v w
u v w
s s s s s s
u v w
t t t
=
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
 
 
 
 
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
 
 
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
 
 
= +
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
∂ ∂ ∂
 

 
 
 
∂ ∂ ∂
 
 
∑
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 3 3 3 3
4
3 3 3 3 3 3
1
3 3 3 3 3 3
2
i i i
i yi i zi i zi i xi i xi i yi
i i i i
i yi i zi i zi i xi i xi i yi
i
i i yi i zi i i zi i xi i i xi i yi
N N N
t n m t l n t m l

r r r
N N N
t n m t l n t m l
s s s
N n m N l n N m l
=
∂ ∂ ∂
 
θ − θ θ − θ θ − θ
 
∂ ∂ ∂
 
δ ∂ ∂ ∂
 
+ θ − θ θ − θ θ − θ
 
∂ ∂ ∂
 
θ − θ θ − θ θ − θ
 
 
 
∑
(10.81)
c. Xác định các thành phần biến dạng
{ }
'
e
ε

Khai triển các thành phần biến dạng theo (10.72), (10.74), (10.75) và (10.78)
nhận được:
* Biểu thức biến dạng
'
'
'
x
u
x
∂
ε =
∂

' 1 11 1 12 1 13
'
. . .
'
x
u
l TG m TG n TG
x
∂
ε = = + +
∂

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
u u u v v v w w w
l l m n m l m n n l m n
x y z x y z x y z
     

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
* * * * * * * * *
1 1 11 12 13 1 21 22 23 1 31 32 33
u u u u u u u u u
l l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
= + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
1 1 11 12 13 1 21 22 23 1 31 32 33
v v v v v v v v v
m l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     

 
265
* * * * * * * * *
1 1 11 12 13 1 21 22 23 1 31 32 33
w w w w w w w w w
n l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.82)
* Biểu thức biến dạng
'
'
'
y
v
y
∂
ε =
∂
( )
' 2 21 2 22 2 23
'
. . .

'
y
v
l TG m TG n TG
y
∂
ε = = + +
∂

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
u u u v v v w w w
l l m n m l m n n l m n
x y z x y z x y z
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
* * * * * * * * *
2 2 11 12 13 2 21 22 23 2 31 32 33
u u u u u u u u u
l l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
= + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

     
 
* * * * * * * * *
2 2 11 12 13 2 21 22 23 2 31 32 33
v v v v v v v v v
m l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
2 2 11 12 13 2 21 22 23 2 31 32 33
w w w w w w w w w
n l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.83)
* Biểu thức biến dạng

' '
' '
' '
x y
u v
y x
∂ ∂
γ = +
∂ ∂
1 21 1 22 1 23
'
. . .
'
u
l TG m TG n TG
y
∂
= + +
∂
1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
u u u v v v w w w
l l m n m l m n n l m n
x y z x y z x y z
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
* * * * * * * * *

1 2 11 12 13 2 21 22 23 2 31 32 33
u u u u u u u u u
l l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
= + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
1 2 11 12 13 2 21 22 23 2 31 32 33
v v v v v v v v v
m l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
1 2 11 12 13 2 21 22 23 2 31 32 33
w w w w w w w w w
n l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t

 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.84)
2 11 2 12 2 13
'
. . .
'
v
l TG m TG n TG
x
∂
= + +
∂
2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
u u u v v v w w w
l l m n m l m n n l m n
x y z x y z x y z
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
266

* * * * * * * * *
2 1 11 12 13 1 21 22 23 1 31 32 33
u u u u u u u u u
l l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
= + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
2 1 11 12 13 1 21 22 23 1 31 32 33
v v v v v v v v v
m l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
2 1 11 12 13 1 21 22 23 1 31 32 33
w w w w w w w w w
n l J J J m J J J n J J J

r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.85)
* Biểu thức biến dạng cắt
' '
' '
' '
x z
u w
z x
∂ ∂
γ = +
∂ ∂
1 31 1 32 1 33
'
. . .
'
u
l TG m TG n TG
z
∂
= + +
∂

1 3 3 3 1 3 3 3 1 3 3 3
. . .
u u u v v v w w w
l l m n m l m n n l m n
x y z x y z x y z
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
* * * * * * * * *
1 3 11 12 13 3 21 22 23 3 31 32 33
.
u u u u u u u u u
l l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
= + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
1 3 11 12 13 3 21 22 23 3 31 32 33
.
v v v v v v v v v
m l J J J m J J J n J J J

r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
1 3 11 12 13 3 21 22 23 3 31 32 33
.
w w w w w w w w w
n l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.86)
3 11 3 12 3 13
'
. . .
'
w
l TG m TG n TG

x
∂
= + +
∂
3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1
. . .
u u u v v v w w w
l l m n m l m n n l m n
x y z x y z x y z
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
* * * * * * * * *
3 1 11 12 13 1 21 22 23 1 31 32 33
.
u u u u u u u u u
l l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
= + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *

3 1 11 12 13 1 21 22 23 1 31 32 33
.
v v v v v v v v v
m l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
3 1 11 12 13 1 21 22 23 1 31 32 33
.
w w w w w w w w w
n l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.87)
* Biểu thức biến dạng cắt
' '

' '
' '
y z
v w
z y
∂ ∂
γ = +
∂ ∂
2 31 2 32 2 33
'
. . .
'
v
l TG m TG n TG
z
∂
= + +
∂
267
2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3
. . .
u u u v v v w w w
l l m n m l m n n l m n
x y z x y z x y z
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     

* * * * * * * * *
2 3 11 12 13 3 21 22 23 3 31 32 33
u u u u u u u u u
l l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
= + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
2 3 11 12 13 3 21 22 23 3 31 32 33
.
v v v v v v v v v
m l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
2 3 11 12 13 3 21 22 23 3 31 32 33
.

w w w w w w w w w
n l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.88)
3 21 3 22 3 23
'
. . .
'
w
l TG m TG n TG
y
∂
= + +
∂
3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2
. . .
u u u v v v w w w
l l m n m l m n n l m n
x y z x y z x y z
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + +

 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
* * * * * * * * *
3 2 11 12 13 2 21 22 23 2 31 32 33
.
u u u u u u u u u
l l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
= + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
3 2 11 12 13 2 21 22 23 2 31 32 33
.
v v v v v v v v v
m l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     

 
* * * * * * * * *
3 2 11 12 13 2 21 22 23 2 31 32 33
.
w w w w w w w w w
n l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.89)
2. Xác định ma trận biến dạng - chuyển vị
[ ]
i
D
Ma trận
[ ]
i
D
xét trong hệ tọa độ chung, được xác định từ công thức:
{ }
[ ]
{ }
[ ]
{ }

[ ] [ ] [ ] [ ]
{ }
{ }
{ }
{ }
1
4
2
1 2 3 4
1
3
4
i i
e e
e
i
q
q
D q D q D D D D
q
q
=
 
 
 
 
ε = = =
 
 
 

 
 
∑
(10.90)
Ma trận biến dạng - chuyển vị
[ ]
e
D
của phần tử, có kích thước 5x24.
Dưới đây sẽ xác định ma trận biến dạng - chuyển vị
[ ]
5 6
i
x
D
tương ứng với véc tơ
chuyển vị
{ }
i
q
tại nút
i
,
1 4i = ÷
với việc biểu diễn các thành phần biến dạng của phần
tử trong hệ tọa độ địa phương qua chuyển vị nút trong hệ tọa độ chung.
Để thuận lợi khi tính tích phân xác định ma trận độ cứng, ma trận
[ ]
i
D

được thiết
lập tương ứng với véc tơ biến dạng
{ }
'
e
ε
:
268
{ }
{ }
{ }
'
'
'
m
e
s
 
ε
 
ε =
 
ε
 
 
(10.91)
trong đó:

{ }
'

m
ε
- thành phần biến dạng trong trạng thái màng, uốn thuần túy:
{ }
{ }
'
' ' ' '
' ' ' '
' ' ' '
T
T
m x y x y
u v u v
x y y x
 
∂ ∂ ∂ ∂
ε = ε ε γ = +
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
(10.92)
{ }
'
s
ε
- thành phần biến dạng cắt.
{ } { }
'
' ' ' '
' ' ' '

' ' ' '
T
T
s x z y z
u w v w
z x z y
 
∂ ∂ ∂ ∂
ε = γ γ = + +
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
(10.93)
Khi đó, ma trận
[ ]
i
D
được phân thành 02 ma trận:
[ ]
mi
D
tương ứng với biến dạng
{ }
'
m
ε
và
[ ]
si
D

tương ứng với biến dạng cắt
{ }
'
s
ε
:
[ ]
[ ]
[ ]
3 6
2 6
5 6
mi
x
i
si
x
x
D
D
D
 
 
= − − −−
 
 
 
(10.94)
Ma trận
[ ]

mi
D
và
[ ]
si
D
được khai triển thành 02 ma trận:
[ ] [ ] [ ]
1 2
3 6 3 3 3 3
|
mi mi mi
x x x
D D D
 
=
 
(10.95)
[ ] [ ] [ ]
1 2
2 6 2 3 2 3
|
si si si
x x x
D D D
 
=
 
(10.96)
trong đó:

[ ]
1mi
D
,
[ ]
1si
D
- ma trận biến dạng-chuyển vị gây ra do các chuyển vị thẳng
i
u
,
i
v
,
i
w
tại nút
i
.
[ ]
2mi
D
,
[ ]
2si
D
- ma trận biến dạng - chuyển vị gây ra do các chuyển vị xoay
xi
θ
,

yi
θ
,
zi
θ
tại nút
i
.
a. Xác định ma trận
[ ]
1mi
D
. Ma trận
[ ]
1mi
D
được xác định theo công thức:
[ ]
'
' 1
' '
'
'
'
'
' '
' '
x i
y mi i
x y i

i
i
u
x
u
v
D v
y
w
u v
y x
 
∂
 
∂
 
 
ε
 
 
∂
 
 
ε = =
     
∂
     
γ
 
 

 
∂ ∂
+
 
∂ ∂
 
(10.97)
269
* Xác định
( )
'
'
'
x
i
i
u
x
∂
 
ε =
 ÷
∂
 
. Xét trường hợp khi chuyển vị
u
,
v
,
w

chỉ gây ra do chuyển
vị nút
i
u
,
i
v
,
i
w
, từ (10.69):
4
1
i i
i
u N u
=
=
∑

4
1
i i
i
v N v
=
=
∑

4

1
i i
i
w N w
=
=
∑
(10.98)
từ (10.82), nhận được:
( )
* * * * * *
' 1 1 11 12 1 21 22 1 31 32
'
'
i i i i i i
x i
i
i
N N N N N N
u
l l J J m J J n J J u
x r s r s r s
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
∂
     
 
ε = = + + + + + +
 ÷
 ÷  ÷  ÷
 

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
     
 
* * * * * *
1 1 11 12 1 21 22 1 31 32
i i i i i i
i
N N N N N N
m l J J m J J n J J v
r s r s r s
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 

* * * * * *
1 1 11 12 1 21 22 1 31 32
i i i i i i
i
N N N N N N
n l J J m J J n J J w
r s r s r s
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + +

 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.99)
Ký hiệu:
( )
1 1 1
' 1,
i i i
N N N
D i l m n
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
* * * * * *
1 11 12 1 21 22 1 31 32
i i i i i i
N N N N N N
l J J m J J n J J
r s r s r s
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
= + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     

 
(10.100)
Biểu thức biến dạng
( )
'x
i
ε
theo (10.99) tương ứng với chuyển vị
i
u
,
i
v
,
i
w
tại nút
i
có
dạng:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
' 1 1 1
'
. ' 1, . . ' 1, . . ' 1, .
'
x i i i
i
i
u

l D i u m D i v n D i w
x
∂
 
ε = = + +
 ÷
∂
 
(10.101)
* Xác định
( )
'
'
'
y
i
i
v
y
 
∂
ε =
 ÷
∂
 
. Tiến hành tương tự như trên, từ (10.83):
( )
* * * * * *
' 2 2 11 12 2 21 22 2 31 32
'

'
i i i i i i
y i
i
i
N N N N N N
v
l l J J m J J n J J u
y r s r s r s
 
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
∂
     
ε = = + + + + + +
 ÷
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
 
* * * * * *
2 2 11 12 2 21 22 2 31 32
i i i i i i
i
N N N N N N
m l J J m J J n J J v
r s r s r s
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     

+ + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 

* * * * * *
2 2 11 12 2 21 22 2 31 32
i i i i i i
i
N N N N N N
n l J J m J J n J J w
r s r s r s
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.102)
Ký hiệu:
( )
2 2 2
' 2,
i i i
N N N
D i l m n

x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
* * * * * *
2 11 12 2 21 22 2 31 32
i i i i i i
N N N N N N
l J J m J J n J J
r s r s r s
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
= + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.103)
270