Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 3 Tính tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (233.03 KB, 22 trang )
Chương 3
TÍNH TẤM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Trong chương này giới thiệu 04 kiểu phần tử: phần tử tam giác 03 nút, 09
chuyển vị nút; phần tử chữ nhật 04 nút, 12 chuyển vị nút; phần tử đồng tham số
tứ giác 04 nút, 12 chuyển vị nút và phần tử chữ nhật 04 nút, 16 chuyển vị nút trên
nền đàn hồi biến dạng cục bộ 02 hệ số.
3.1. PHẦN TỬ TẤM KIỂU TAM GIÁC 03 NÚT, 09 CHUYỂN VỊ NÚT
Xét phần tử tấm mỏng không tương thích kiểu tam giác 03 nút theo giả thiết
Kirchhoff, hình 3-1.
Hình 3-1. Phần tử tấm không tương thích kiểu tam giác 03 nút.
Tại mỗi nút có 03 thành phần chuyển vị, ví dụ tại nút
i
(
1 3i = ÷
): chuyển vị
pháp tuyến
i
w
và các chuyển vị xoay quanh trục
x
và
y
θ
xi
i
w
y
∂
=
÷
∂
,
yi
i
w
x
∂
θ = −
÷
∂
nên véc tơ chuyển vị nút
{ }
e
q
và véc tơ lực nút qui đổi
{ }
e
R
của
phần tử trong hệ tọa độ địa phương có dạng:
{ }
1 2 3
1 2 3
1 2 3
T
e
w w w w w w
q w w w
y x y x y x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − − −
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
{ } { }
1 2 3 4 5 6 7 8 9
T
e
q q q q q q q q q q=
(3.1)
{ } { }
1 2 3 4 5 6 7 8 9
T
e
R R R R R R R R R R=
(3.2)
3.1.1. Ma trận độ cứng
[ ]
e
K
Theo lý thuyết Kirchhoff khi tính tấm, đại lượng cần tìm là hàm chuyển vị
{ } ( )
,
e
U w x y=
. Do phần tử tấm kiểu tam giác 03 nút có 09 bậc tự do (chuyển vị
48
nút) nên để đảm bảo tính đẳng hướng hình học, hàm chuyển vị được chọn theo
tam giác Pascal:
( )
( )
2 2 3 2 2 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
, .w x y x y x xy y x x y xy y= α +α + α + α + α + α + α + α + + α
(3.3)
dưới dạng ma trận:
{ } ( ) ( ) { }
, ,
e
U w x y P x y= = α
(3.4)
trong đó:
( )
( )
2 2 3 2 2 3
, 1P x y x y x xy y x x y xy y
= +
(3.5)
{ } { }
1 2 3 4 5 6 7 8 9
T
α = α α α α α α α α α
(3.6)
Để xác định ma trận hàm dạng
[ ]
e
B
cần biểu diễn
{ }
α
qua
{ }
e
q
. Ký hiệu
,
i i
x y
là tọa độ tại nút
1 3i
= ÷
. Các tham số
j
α
với
1 9j = ÷
được xác định từ điều
kiện chuyển vị tại các nút của phần tử, dưới dạng ma trận:
{ }
[ ]
{ }
e
q A= α
(3.7)
ma trận
[ ]
A
là ma trận hằng số, có dạng:
[ ]
2 2 3 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 3 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 3 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 3 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1
0 0 1 0 2 0 2 3
0 1 0 2 0 3 (2 ) 0
1
0 0 1 0 2 0 2 3
0 1 0 2 0 3 (2 ) 0
1
x y x x y y x x y x y y
x y x x y y
x y x x y y
x y x x y y x x y x y y
A
x y x x y y
x y x x y y
x y x x y y x x y x y
+
+
− − − − − +
+
=
+
− − − − − +
+
2 3
3
2 2
3 3 3 3 3 3
2 2
3 3 3 3 3 3
0 0 1 0 2 0 2 3
0 1 0 2 0 3 (2 ) 0
y
x y x x y y
x y x x y y
+
− − − − − +
(3.8)
Hàm chuyển vị
( )
,w x y
biểu diễn qua chuyển vị nút có dạng tổng quát theo
phương pháp phần tử hữu hạn:
{ } ( )
[ ]
{ }
, q
e e
e
U w x y B= =
(3.9)
Từ (3.9), chú ý đến (3.7) và (3.4):
{ } ( )
[ ]
{ }
[ ] [ ]
{ } ( ) { }
, ,
e e
e e
U w x y B q B A P x y= = = α = α
rút ra ma trận hàm dạng
[ ]
e
B
[ ]
( )
[ ]
1
,
e
B P x y A
−
=
(3.10)
49
Từ (3.7) và (3.4), hàm chuyển vị có dạng khác:
{ } ( ) ( )
[ ]
{ }
1
= , , q
e e
U w x y P x y A
−
=
(3.11)
Ma trận
[ ]
e
D
được xác định từ công thức tổng quát:
{ }
[ ]
{ }
e e
e
D qε =
Theo lý thuyết Kirchhoff, từ (1.4)
÷
(1.6), véc tơ biến dạng:
{ }
{ }
2 2 2
2 2
2
T
T
x y xy
w w w
z z z
x y x y
∂ ∂ ∂
ε = ε ε γ = − − −
∂ ∂ ∂ ∂
(3.12)
Từ (3.11):
{ }
( )
( )
( )
[ ]
{ }
[ ]
{ }
[ ]
{ }
2
2
2
1 1
2
2
,
,
.
,
2
e e e e
e
e
P x y
x
P x y
z A q z D A q D q
y
P x y
x y
− −
∂
∂
∂
ε = − = − =
∂
∂
∂ ∂
(3.13)
rút ra, ma trận biến dạng - chuyển vị
[ ]
e
D
:
[ ] [ ]
1
.
e
e
D z D A
−
= −
(3.14)
trong đó:
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
,
0 0 0 2 0 0 6 2 0
,
0 0 0 0 0 2 0 2 6
0 0 0 0 2 0 0 4 4 0
,
2
e
P x y
x
x y
P x y
D x y
y
x y
P x y
x y
∂
∂
∂
= =
∂
+
∂
∂ ∂
(3.15)
Ma trận độ cứng
[ ]
e
K
của phần tử trong hệ tọa độ địa phương được xác
định theo công thức tổng quát:
[ ] [ ] [ ] [ ]
0
T
e e e e
V
K D E D dV=
∫
, với
[ ]
o
e
E
là ma trận
đàn hồi trong trạng thái ứng suất phẳng:
( )
( )
0
2
1 0
[ ] 1 0
1
1
0 0
2
e
E
E
µ
= µ
−µ
−µ
(3.16)
Thay (3.14) vào công thức xác định
[ ]
e
K
:
50
[ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
/2
1 1
2
/2
h
T
T
o
e e
e e
h S
K z dz A D E D A dxdy
− −
−
=
∫ ∫
Vì
[ ]
A
là ma trận hằng số nên đưa ra ngoài dấu tích phân.
[ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
3
1 1
12
T
T
o
e e
e e
S
h
K A D E D dxdy A
− −
=
÷
∫
dưới dạng rút gọn:
[ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
1 1
T
e
K A TG A
− −
=
(3.17)
trong đó:
[ ] [ ]
T
t
e e
S
TG D E D dxdy
=
∫
(3.18)
Với ma trận
[ ]
t
E
là ma trận hệ số đàn hồi của tấm chịu uốn xác định theo (3.19),
trong đó
p
D
là độ cứng trụ xác định theo (1.15) và
[ ]
m
C
theo (1.19).
[ ] [ ]
1 0
1 0
1
0 0
2
t m p
E C D
µ
= = µ
−µ
(3.19)
3.1.2. Ma trận khối lượng
[ ]
e
M
Ma trận khối lượng
[ ]
e
M
của phần tử trong hệ tọa độ địa phương được xác
định bằng công thức tổng quát:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
/2
/2
h
T T T
e e e e e e e
V h S S
M B B dV dz B B dxdy h B B dxdy
−
= ρ = ρ = ρ
∫ ∫ ∫ ∫
(3.20)
trong đó:
ρ
- khối lượng vật liệu phần tử trên một đơn vị thể tích;
[ ]
e
B
- ma trận hàm dạng xác định theo (3.10).
3.1.3. Véc tơ lực nút qui đổi
{ }
e
R
Trong trường hợp phần tử chịu tác dụng của tải trọng phân bố có cường độ
( )
,p x y
, được qui ước dương nếu cùng chiều với trục OZ của hệ tọa độ địa
phương, véc tơ lực nút qui đổi
{ }
e
R
trong hệ tọa độ địa phương được xác định
bằng công thức tổng quát:
51
{ }
[ ]
( )
,
T
e
e
S
R B p x y dxdy=
∫
(3.21)
trong đó:
{ }
{ }
1 1 1 2 2 2 3 3 3
T
z x y z x y z x y
e
R P M M P M M P M M=
(3.22)
Với
zi
P
và
,
xi yi
M M
là lực tập trung và mô men tập trung quay quanh trục
x, trục y tại nút
i
,
1 3i
= ÷
.
3.1.4. Ma trận chuyển toạ độ
[ ]
e
T
Đối với phần tử tam giác, thường hệ tọa độ địa phương không trùng với hệ
tọa độ chung nên phải chuyển ma trận độ cứng
[ ]
e
K
, ma trận khối lượng
[ ]
e
M
,
véc tơ lực nút qui đổi
{ }
e
R
của phần tử trong hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa độ
chung qua ma trận chuyển tọa độ
[ ]
e
T
có dạng (3.23), trong đó,
[ ]
L
là ma trận cô
sin chỉ phương giữa hệ toạ độ chung và hệ toạ độ địa phương.
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
0 0
0 0
0 0
e
L
T L
L
=
(3.23)
Do trục Oz và O’z’ cùng phương, cùng chiều và theo thứ tự sắp xếp chuyển
vị tại nút, ma trận cô sin chỉ phương
[ ]
L
có dạng (3.24). Góc
α
giữa trục OX (hệ
tọa độ địa phương) và trục O’X’ (hệ tọa độ chung), được qui ước dương nếu
quay ngược chiều kim đồng hồ, hình 3-1.
[ ]
, ' , ' , '
, ' , ' , '
, ' , ' , '
( , ') ( , ') ( , ') 1 0 0
( , ') ( , ') ( , ') 0
( , ') ( , ') ( , ') 0
z z z x z y
x z x x x y
y z y x y y
n l m cos z z cos z x cos z y
L n l m cos x z cos x x cos x y cos sin
n l m cos y z cos y x cos y y sin cos
= = = α α
− α α
(3.24)
3.1.5. Xác định nội lực
Mô men tại điểm bất kỳ trong phần tử xét trong hệ tọa độ địa phương được
xác định theo công thức (1.12)
÷
(1.14). Từ (3.11):
( )
[ ]
{ }
[ ] [ ]
{ }
2
2
1 1
2 2
,
x
e e
P x y
w
A q P A q
x x
− −
∂
∂
= =
∂ ∂
(3.25)
( )
[ ]
{ }
[ ]
{ }
2
2
1 1
2 2
,
y
e e
P x y
w
A q P A q
y y
− −
∂
∂
= =
∂ ∂
(3.26)
( )
[ ]
{ }
[ ]
{ }
2
2
1 1
,
xy
e e
P x y
w
A q P A q
x y x y
− −
∂
∂
= =
∂ ∂ ∂ ∂
(3.27)
52
trong đó:
[ ] [ ]
0 0 0 2 0 0 6 2 0
x
P x y=
(3.28)
[ ]
0 0 0 0 0 2 0 2 6
y
P x y
=
(3.29)
[ ]
0 0 0 0 1 0 0 2 2 0
xy
P x y
= +
(3.30)
Thay vào công thức xác định nội lực theo (1.12)
÷
(1.14):
[ ]
( )
[ ]
{ }
2 2
1
2 2
x p p x y
e
w w
M D D P P A q
x y
−
∂ ∂
= − + µ = +µ
∂ ∂
(3.31)
[ ]
( )
[ ]
{ }
2 2
1
2 2
y p p y x
e
w w
M D D P P A q
y x
−
∂ ∂
= − + µ = + µ
∂ ∂
(3.32)
( ) ( )
[ ]
{ }
2
1
1 1
xy p p xy
e
w
M D D P A q
x y
−
∂
= − −µ = − −µ
∂ ∂
(3.33)
3.2. PHẦN TỬ TẤM KIỂU CHỮ NHẬT 04 NÚT, 12 CHUYỂN VỊ NÚT
Xét phần tử tấm mỏng không tương thích kiểu chữ nhật 04 nút, 12 chuyển
vị nút theo lý thuyết Kirchhoff, hình 3-2.
Hình 3-2. Phần tử tấm không tương thích kiểu chữ nhật 04 nút.
Tại mỗi nút có 3 thành phần chuyển vị, ví dụ tại nút
i
(
1 4i = ÷
) gồm:
chuyển vị pháp tuyến
i
w
và các chuyển vị xoay quanh trục
x
và
y
là
xi
θ
và
yi
θ
.
Góc xoay tại điểm bất kỳ trong phần tử quanh trục
x
và trục
y
, xác định
theo công thức:
x
w
y
∂
θ =
∂
y
w
x
∂
θ = −
∂
(3.34)
Véc tơ chuyển vị nút và véc tơ lực nút của phần tử trong hệ tọa độ địa
phương:
{ }
{ }
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
T
e
q q q q q q q q q q q q q=
(3.35a)
{ }
{ }
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
T
x y x y x y x y
e
q w w w w= θ θ θ θ θ θ θ θ
(3.35b)
{ } { }
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
T
e
R R R R R R R R R R R R R=
(3.36)
53
3.2.1. Ma trận độ cứng
[ ]
e
K
Hàm chuyển vị của phần tử được xấp xỉ dưới dạng đa thức theo tam
giác Pascal:
{ } ( )
2 2 3 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
,
e
U w x y x y x xy y x x y xy= = α + α + α + α + α + α + α +α + α +
3 3 3
10 11 12
y x y xy+α + α +α
(3.37)
dưới dạng ma trận:
{ } ( ) ( ) { }
[ ]
{ }
, ,
e e
e
U w x y P x y B q= = α =
(3.38a)
trong đó:
[ ]
e
B
- ma trận hàm dạng
( )
2 2 3 2 2 3 3 3
, 1P x y x y x xy y x x y xy y x y xy
=
(3.39)
{ } { }
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
T
α = α α α α α α α α α α α α
(3.40)
Tương tự như đối với phần tử tam giác, quan hệ giữa chuyển vị nút
{ }
e
q
và
{ }
α
có dạng:
{ }
[ ]
{ }
e
q A= α
(3.41)
Ma trận
[ ]
A
là ma trận hằng số, với giá trị
,
i i
x y
tại nút
i
(
1 4i
= ÷
), có kích
thước 12x12, có dạng (3.42).
2 2 3 2 2 3 3 3
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 3
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3
2
2 2 2 2 2 2 2
2
2
3
3
3
4
4
4
1
0 0 1 0 2 0 2 3 3
0 1 0 2 0 3 2 0 3
1
x
y
x
y
x
y
x
y
w
x y x x y y x x y x y y x y x y
x y x x y y x x y
x y x x y y x y y
w
x y x x y y x
w
w
θ
θ
− − − − − − − −
θ
θ
=
θ
θ
θ
θ
2 2 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 3 2 2 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 3 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
0 0 1 0 2 0 2 3 3
0 1 0 2 0 3 2 0 3
1
0 0 1 0 2 0 2 3 3
0 1 0 2 0 3 2 0 3
x y x y y x y x y
x y x x y y x x y
x y x x y y x y y
x y x x y y x x y x y y x y x y
x y x x y y x x y
x y x x y y x y
− − − − − − − −
− − − − − − −
1
2
3
4
5
6
7
8
3
9
3
2 2 3 2 2 3 3 3
10
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
2 2 3 2
11
4 4 4 4 4 4 4 4 4
2 2 2 3
12
4 4 4 4 4 4 4 4 4
1
0 0 1 0 2 0 2 3 3
0 1 0 2 0 3 2 0 3
y
x y x x y y x x y x y y x y x y
x y x x y y x x y
x y x x y y x y y
α
α
α
α
α
α
α
α
α
−
α
α
α
− − − − − − − −
(3.42)
Thay (3.41) vào (3.38a)
[ ] [ ]
{ } ( ) { }
,
e
B A P x yα = α
rút ra,
[ ]
( )
[ ]
1
,
e
B P x y A
−
=
(3.43)
54
Chú ý đến (3.38a), hàm chuyển vị có dạng khác:
{ } ( )
[ ]
{ } ( )
[ ]
{ }
1
, ,
e e e
e
U w x y B q P x y A q
−
= = =
(3.38b)
Quan hệ biến dạng - chuyển vị nút, theo PP PTHH có dạng tổng quát:
{ }
[ ]
{ }
e e
e
D qε =
(3.44)
Từ quan hệ biến dạng - chuyển vị (1.4)
÷
(1.6) và (3.38a), (3.41):
{ }
( )
( )
( )
{ }
[ ] [ ]
{ }
2
2
2
2
2
,
,
,
2
e
e
P x y
x
P x y
z D A
y
P x y
x y
∂
∂
∂
ε = − α = α
∂
∂
∂ ∂
rút ra,
[ ]
( )
( )
( )
[ ]
2
2
2
1
2
2
,
,
,
2
e
e
P x y
x
P x y
D z A z D
y
P x y
x y
−
∂
∂
∂
= − = −
∂
∂
∂ ∂
(3.45)
( )
( )
( )
[ ]
2
2
2
1
2
2
,
,
,
2
e
P x y
x
P x y
D A
y
P x y
x y
−
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂ ∂
(3.46)
Ma trận độ cứng của phần tử xác định theo công thức tổng quát:
[ ] [ ] [ ] [ ]
0
T
e e e e
V
K D E D dV=
∫
trong đó, ma trận
[ ]
o
e
E
là ma trận đặc trưng đàn hồi của vật liệu trong trạng thái
ứng suất phẳng xác định theo (3.16).
Thay (3.45) vào công thức xác định
[ ]
e
K
, nhận được:
[ ] [ ] [ ]
/ 2
2
/ 2
h
T T
o t
e e
e e e e
h S S
K z dz D E D dxdy D E D dxdy
−
= =
∫ ∫ ∫
(3.47)
55
trong đó
[ ]
t
E
xác định theo (3.19).
Ma trận độ cứng
[ ]
e
K
của phần tử có kích thước 12x12, là ma trận đối
xứng.
3.2.2. Ma trận khối lượng
[ ]
e
M
Ma trận khối lượng
[ ]
e
M
của phần tử trong hệ tọa độ địa phương được xác
định theo công thức tổng quát:
[ ] [ ] [ ]
T
e e e
V
M B B dV= ρ
∫
Khai triển tích phân:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
/2
/2
h
T T
e e e e e
h S S
M dz B B dxdy h B B dxdy
−
= ρ = ρ
∫ ∫ ∫
(3.48)
trong đó,
[ ]
e
B
xác định theo (3.43).
Ma trận khối lượng
[ ]
e
M
có kích thước 12x12, là ma trận đối xứng.
3.2.3. Véc tơ lực nút qui đổi
{ }
e
R
Véc tơ lực nút qui đổi
{ }
e
R
của phần tử trong hệ tọa độ địa phương được
xác định bằng công thức tổng quát theo PP PTHH. Với tải trọng phân bố
( )
,p x y
:
{ }
[ ]
( )
,
T
e
e
S
R B p x y dxdy=
∫
(3.49a)
{ }
{ }
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
T
z x y z x y z x y z x y
e
R P M M P M M P M M P M M=
(3.49b)
trong đó:
zi
P
- lực nút tập trung tại nút
i
với
1 4i
= ÷
;
xi
M
,
yi
M
- mô men tập trung quay quanh trục x, trục y tại nút
i
.
Trong trường hợp phần tử có chiều dài cạnh dọc trục
x
và trục
y
là
a
và
b
, chịu tải trọng phân bố đều có cường độ
p
, có chiều dương hướng theo chiều
trục OZ của hệ tọa độ địa phương, véc tơ lực nút qui đổi
{ }
e
R
có dạng:
{ }
1 1 1 1
4 6 6 6 6 6 6 6 6
T
e
pab b a b a b a b a
R
= − − − −
(3.50)
3.2.4. Xác định nội lực
Mô men tại điểm bất kỳ trong phần tử xét trong hệ tọa độ địa phương được
56
xác định theo công thức (1.12)
÷
(1.14). Tiến hành tương tự như đối với phần tử
tam giác, từ (3.38b):
( )
[ ]
{ }
[ ] [ ]
{ }
2
2
1 1
2 2
,
x
e e
P x y
w
A q P A q
x x
− −
∂
∂
= =
∂ ∂
(3.51)
( )
[ ]
{ }
[ ]
{ }
2
2
1 1
2 2
,
y
e e
P x y
w
A q P A q
y y
− −
∂
∂
= =
∂ ∂
(3.52)
( )
[ ]
{ }
[ ]
{ }
2
2
1 1
,
xy
e e
P x y
w
A q P A q
x y x y
− −
∂
∂
= =
∂ ∂ ∂ ∂
(3.53)
Thay vào (1.12)
÷
(1.14)
[ ]
( )
[ ]
{ }
2 2
1
2 2
x p p x y
e
w w
M D D P P A q
x y
−
∂ ∂
= − + µ = +µ
∂ ∂
(3.54)
[ ]
( )
[ ]
{ }
2 2
1
2 2
y p p y x
e
w w
M D D P P A q
y x
−
∂ ∂
= − + µ = + µ
∂ ∂
(3.55)
( ) ( )
[ ]
{ }
2
1
1 1
xy p p xy
e
w
M D D P A q
x y
−
∂
= − −µ = − −µ
∂ ∂
(3.56)
3.3. PHẦN TỬ ĐỒNG THAM SỐ KIỂU TỨ GIÁC 4 NÚT, 12 CHUYỂN VỊ NÚT
Các phần tử đơn giản như kiểu tam giác, chữ nhật không đáp ứng được các
yêu cầu của bài toán trong trường hợp khi rời rạc hóa kết cấu, phần tử không có
dạng tam giác, chữ nhật. Điều đó dẫn đến sự phát triển các phần tử đồng tham số.
Những phần tử này được dùng rộng rãi trong các bài toán 02 chiều, 03 chiều, bài
toán tính tấm, vỏ, kết cấu có biên cong.
Phần tử đồng tham số được khảo sát trong hệ tọa độ tự nhiên.
3.3.1. Ma trận hàm dạng
[ ]
e
B
Phần tử tấm đồng tham số tứ giác 4 nút là phần tử mà chuyển vị và hình học
tại một điểm bất kỳ trong phần tử được biểu diễn qua cùng hàm nội suy
i
N
với
1 4i
= ÷
.
Vị trí của điểm bất kỳ trong phần tử được xác định qua hàm nội suy
i
N
và
tọa độ
i
x
,
i
y
trong hệ tọa độ chung tại các nút
1 4i = ÷
, hình 3-3.
4
1
i i
i
x N x
=
=
∑
4
1
i i
i
y N y
=
=
∑
(3.57)
Tại điểm bất kỳ trong phần tử có 03 thành phần chuyển vị là: chuyển vị
pháp
w
và chuyển vị
x
θ
xoay quanh trục X và chuyển vị
y
θ
xoay quanh trục Y
57
cũng được xác định qua hàm nội suy
i
N
và các chuyển vị thẳng
i
w
, chuyển vị
xoay
xi
θ
,
yi
θ
tại các nút
1 4i
= ÷
:
4
1
i i
i
w N w
=
=
∑
4
1
x i xi
i
N
=
θ = θ
∑
4
1
y i yi
i
N
=
θ = θ
∑
(3.58)
Hình 3-3. Phần tử tứ giác 4 nút đồng tham số.
Hàm nội suy
i
N
,
1 4i = ÷
có dạng:
( ) ( )
1
1 . 1 .
4
i i i
N r r s s= + +
(3.59)
trong đó,
i
r
,
i
s
là tọa độ tự nhiên tại nút
i
. Tại các nút
1 4i
= ÷
có tọa độ tự nhiên:
nút 1: (-1,-1); nút 2: (1,-1); nút 3: (1,1) nút 4: (-1,1).
Từ (3.59) với giá trị
i
r
,
i
s
tại các nút
1 4i = ÷
, hàm nội suy
i
N
có dạng:
( ) ( )
1
1 1
4
r s
N
− −
=
( ) ( )
2
1 1
4
r s
N
+ −
=
( ) ( )
3
1 1
4
r s
N
+ +
=
( ) ( )
4
1 1
4
r s
N
− +
=
(3.60)
Hàm chuyển vị có dạng tổng quát:
{ }
[ ]
{ }
e e
e
U B q=
(3.61)
trong đó:
{ }
{ }
T
x y
e
U w= θ θ
(3.62)
{ }
e
q
- véc tơ chuyển vị nút của phần tử.
{ }
{ }
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
T
x y x y x y x y
e
q w w w w= θ θ θ θ θ θ θ θ
(3.63)
[ ]
e
B
- ma trận hàm dạng xác định từ (3.58), chú ý đến (3.61), có dạng:
[ ]
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
e
N N N N
B N N N N
N N N N
=
(3.64)
58
3.3.2. Ma trận biến dạng-chuyển vị
[ ]
e
D
Ma trận biến dạng - chuyển vị
[ ]
e
D
được xác định từ công thức tổng quát
theo PP PTHH:
{ }
[ ]
{ }
e e
e
D qε =
. Với phần tử tấm, theo (1.36):
{ }
{ }
T
x y xy y x
e
k k kε = φ φ
Từ (1.37), chú ý đến (3.58), các thành phần của
{ }
e
ε
được xác định theo công thức:
4 4
1 1
i
y i yi i
i i
N
w N
x
= =
∂
φ = + θ
∂
∑ ∑
4 4
1 1
i
x i xi i
i i
N
w N
y
= =
∂
φ = − θ
∂
∑ ∑
(3.65a)
4
1
i
x yi
i
N
k
x
=
∂
= θ
∂
∑
4
1
i
y xi
i
N
k
y
=
∂
= −θ
∂
∑
4 4
1 1
i i
xy yi xi
i i
N N
k
y x
= =
∂ ∂
= θ − θ
∂ ∂
∑ ∑
(3.65b)
Do xét trong hệ tọa độ tự nhiên nên cần thiết lập quan hệ đạo hàm của một
đại lượng nào đó đối với các biến
( )
,r s
trong hệ tọa độ tự nhiên và đạo hàm của
đại lượng đó đối với biến
( )
,x y
trong hệ tọa độ Descartes. Theo qui tắc tính đạo
hàm của hàm hợp:
x y
r x r y r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
x y
s x s y s
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
dưới dạng ma trận, trong đó
[ ]
2 2x
J
là ma trận Jacobian:
[ ]
x y
x x
r r r
J
x y
y y
s s s
∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
= =
∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
(3.66)
Từ (3.66), quan hệ giữa đạo hàm riêng theo biến
( )
,x y
và đạo hàm riêng
theo biến
( )
,r s
:
[ ]
1
x
r
J
y
s
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
(3.67)
Từ (3.57) và (3.66), ma trận Jacobian
[ ]
J
có dạng:
[ ]
1 1
3
1 2 4
2 2
3 3
3
1 2 4
4 4
x y
NN N N
x y
x y
r r r r r r
J
x y
x y N
N N N
s s
s s s s
x y
∂∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= =
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
(3.68)
59
Chú ý đến (3.60),
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
3 3
4 4
1 1 1 1
4 4 4 4
1 1 1 1
4 4 4 4
x y
s s s s
x y
J
x y
r r r r
x y
− − + +
− −
=
− + + −
− −
(3.69)
Ma trận nghịch đảo
[ ]
1
J
−
:
[ ]
* *
1
11 12
* *
21 22
J J
J
J J
−
=
(3.70)
Từ (3.65), véc tơ
{ }
e
ε
được xác định qua
i
w
, chuyển vị xoay
xi
θ
,
yi
θ
tại các
nút
1 4i = ÷
:
{ }
{ }
[ ]
{ }
T
x y xy y x
e e
e
k k k D qε = φ φ =
(3.71)
trong đó:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1 2 3 4
5 3 5 3 5 3
5 3
5 12
e x x x
x
x
D D D D D
=
(3.72)
Ma trận
[ ]
i
D
, với
1 4i
= ÷
, xác định theo công thức:
[ ]
0 0
0 0
0
0
0
i
i
i i
i
i
i
i
i
N
x
N
y
N N
D
x y
N
N
x
N
N
y
∂
∂
∂
−
∂
∂ ∂
−
=
∂ ∂
∂
∂
∂
−
∂
với
1 4i = ÷
(3.73)
tương ứng với chuyển vị tại nút
i
:
{ }
{ }
T
i i xi yi
q w= θ θ
(3.74)
Từ (3.72) và (3.73), ma trận
[ ]
e
D
có dạng (3.75).
Véc tơ nội lực
{ }
{ }
T
x y xy x y
p
M M M Q Qσ =
xác định theo (1.33):
{ }
[ ]
{ }
[ ] [ ]
{ }
[ ]
{ }
p e e e
p p e e
C C D q CB qσ = ε = =
(3.76)
Sử dụng
[ ]
p
C
theo (1.35) và
[ ]
i
D
theo (3.73):
60
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1 2 3 4
5 12 5 3 5 3 5 3 5 3x p e x x x x
CB C D CB CB CB CB
= =
(3.77)
với
1,2,3, 4i =
.
[ ]
3
1 2 4
31 2 4
3 3
1 1 2 2 4 4
3
1 2 4
1 2 3 4
3
1 2 4
1 2 3 4
0 0 | 0 0 | 0 0 | 0 0
0 0 | 0 0 | 0 0 | 0 0
0 | 0 | 0 | 0
0 | 0 | 0 | 0
0 | 0 | 0 | 0
e
N
N N N
x x x x
N
N N N
y y x y
N N
N N N N N N
D
x y x y x y x y
N
N N N
N N N N
x x x x
N
N N N
N N N N
y y y y
∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂
∂ ∂ ∂
− − − −
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− − − −
=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂
∂ ∂ ∂
− − − −
∂ ∂ ∂ ∂
(3.75)
Nếu tách
[ ]
5 3
i
x
CB
tương ứng với biến dạng uốn và cắt:
[ ] [ ] [ ]
i i i
u S
CB CB CB= +
(3.78)
[ ]
( )
2 2
2 2
2 2
0
0 0 0
1 1
0 0 0
0
0 0 0
1 1
6
12 1
0
0
2 2
0
0 0 0
0 0 0
i i
i i
i
i
i
i i
i
i
N N
h h
y x
N N
h h
y x
Eh
CB
N
N
N N
h h
x
x y
N
N
y
∂ ∂
−µ
÷
÷
−µ ∂ −µ ∂
∂ ∂
− µ
÷
÷
−µ ∂ − µ ∂
= + α
∂
+ µ
∂ ∂
−
∂
÷
÷
∂ ∂
∂
−
∂
(3.79)
Khi tính nội lực, giá trị mô men được tính với ma trận
[ ]
i
u
CB
với 2x2 điểm
Gauss, còn giá trị lực cắt được tính với ma trận
[ ]
i
S
CB
với 1x1 điểm Gauss.
3.3.3. Ma trận độ cứng
[ ]
e
K
Ma trận độ cứng
[ ]
e
K
của phần tử trong hệ tọa độ địa phương được xác
định bằng công thức:
[ ] [ ] [ ] [ ]
T
t
e e e
S
K D E D dxdy=
∫∫
(3.80)
tính trong hệ tọa độ tự nhiên:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1 1 1 1
1 1 1 1
T
t
e e e
K D E D det J drds k det J drds
+ + + +
− − − −
= =
∫ ∫ ∫ ∫
(3.81)
61
trong đó
[ ]
t
E
xác định theo (3.19) và
[ ]
e
D
xác định theo (3.75).
Ma trận
k
có thể biểu diễn dưới dạng tổng do biến dạng uốn và biến dạng
cắt:
[ ] [ ] [ ]
T
e p e
u s
k D C D k k
= = +
(3.82)
trong đó:
11 11 12 12 13 13 14 14
21 21 22 22 23 23 24 24
31 31 32 32 33 33 34
u S u S u S u S
u S u S u S u S
u S u S u S
k k k k k k k k
k k k k k k k k
k
k k k k k k k
+ + + +
+ + + +
=
+ + +
34
41 41 42 42 43 43 44 44
12 12
u S
u S u S u S u S
x
k
k k k k k k k k
+
+ + + +
(3.83)
Ma trận
3 3
kj ij ij
x u S
k k k
= +
được xác định bằng công thức :
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
0 0 0
0
12 1 1 2 1 2
0
1 2 1 2
j j j j
i i i i
kj
j j j j
i i i i
N N N N
N N N N
Eh h h h h
k
y y x x y x x y
N N N N
N N N N
h h h h
x y y x x x y y
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
µ
= + − −
÷ ÷ ÷ ÷
+ µ − µ ∂ ∂ ∂ ∂ −µ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
µ
− − +
÷ ÷ ÷ ÷
− ν ∂ ∂ ∂ ∂ − ν ∂ ∂ ∂ ∂
+
( )
0
2 1
0
j j
i i i i
j j
j
i i j
j
i i j
N N
N N N N
N N
x x y y y x
N
Eh
N N N
y
N
N N N
x
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ −
÷ ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
α
+ −
+ µ ∂
∂
∂
(3.84)
Khi tính ma trận độ cứng
[ ]
e
K
theo (3.84), với
ij
u
k
tích phân số theo cầu
phương Gauss với 2x2 điểm Gauss, còn
ij
S
k
tích phân với 1x1 điểm Gauss,
(xem mục tích phân số, chương 11).
3.3.4. Véc tơ lực nút qui đổi
{ }
e
R
Véc tơ lực nút qui đổi của phần tử:
62
{ }
{ }
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
T
z x y z x y z x y z x y
e
R F M M F M M F M M F M M=
{ } { } { } { } { }
{ }
1 2 3 4
T
e
R R R R R=
(3.85)
Véc tơ lực nút qui đổi
{ }
i
R
của phần tử tại nút
i
( )
1 4i = ÷
do tải trọng phân
bố đều
p
được xác định theo công thức, [12]:
{ }
[ ]
1 1
1 1
0
0
zi
i xi i
yi
F p
R M N det J drds
M
+ +
− −
= =
∫ ∫
(3.86)
3.3.5. Ma trận khối lượng
[ ]
e
M
Ký hiệu:
( )
[ ] [ ] [ ] [ ]
,
T T
e e e e
F r s h B B m B B= ρ =
(3.87)
trong đó:
ρ
- khối lượng riêng của vật liệu;
m
- khối lượng phân bố của phần tử;
[ ]
e
B
- ma trận hàm dạng xác định theo (3.64).
Ma trận khối lượng
[ ]
e
M
của phần tử được tính bằng tích phân số theo phép
cầu phương Gauss với 2x2 điểm Gauss:
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
1 1
2 2
1 1
1 1
, ,
i j i j
e
i j
M F r s det J drds F r s det J
+ +
= =
− −
= = α α
∑∑
∫ ∫
(3.88)
3.4. PHẦN TỬ TẤM KIỂU CHỮ NHẬT 04 NÚT, 16 CHUYỂN VỊ NÚT
TRÊN NỀN BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỤC BỘ 02 HỆ SỐ
Kết cấu tấm trên nền đàn hồi thường được tính với mô hình nền biến dạng
đàn hồi cục bộ Winkler. Trong mục này, giới thiệu tính tấm trên nền biến dạng đàn
hồi cục bộ 02 hệ số với phần tử tấm tương thích chữ nhật 4 nút có 16 bậc tự do.
3.4.1. Phương trình cân bằng của phần tử tấm trên nền biến dạng đàn hồi
cục bộ 2 hệ số
Dưới đây sẽ trình bày cách thiết lập phương trình cân bằng của phần tử tấm
từ nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần.
Thế năng toàn phần
Π
của tấm chịu uốn bằng tổng thế năng biến dạng
U
của nội lực và thế năng ngoại lực, khi hệ chuyển từ trạng thái ban đầu không
biến dạng sang trạng thái biến dạng.
Thế năng toàn phần của hệ có dạng:
63
. .U q w dxdyΠ = −
∫∫
(1.42)
Năng lượng biến dạng bao gồm:
* Năng lượng biến dạng gây ra do nội lực
nl
U
:
{ } { } { } { } { }
[ ]
{ }
1 1 1
2 2 2
T T T
nl c c m c
V S S
U dV k M dxdy k C k dxdy= ε σ = =
∫∫ ∫∫ ∫∫
(3.89)
Từ quan hệ tổng quát giữa biến dạng và chuyển vị nút:
{ }
[ ]
{ }
e e
e
D qε =
,
biểu thức (3.89) có dạng:
{ }
[ ]
{ } { }
[ ] [ ] [ ]
{ }
1 1
2 2
T
T T
nl c m c m
e e
e e
S S
U k C k dxdy q D C D q dxdy= =
∫∫ ∫∫
(3.90a)
hay
{ }
[ ] [ ] [ ]
{ }
1
2
T
T
nl m
e e
e e
S
U q D C D dxdy q
=
÷
∫∫
(3.90b)
* Năng lượng biến dạng gây ra do lực quán tính
qt
U
:
{ }
{ }
{ }
[ ] [ ]
{ }
1 1
2 2
T
T T
qt qt
e e e
e e
S S
U h U P dxdy h q B B q dxdy= ρ = ρ
∫∫ ∫∫
&&
(3.91a)
hay
{ }
[ ] [ ]
{ }
1
2
T
T
qt
e e
e e
S
U q h B B dxdy q
= ρ
÷
∫∫
&&
(3.91b)
* Năng lượng biến dạng gây ra do phản lực nền:
{ } { }
1
2
T
nen nen
e
S
U U P dxdy=
∫∫
Từ quan hệ tổng quát của hàm chuyển vị:
{ }
[ ]
{ }
e e
e
U B q=
và phản lực của
nền 02 hệ số
2
1 2nen
P k w k w= − ∇
{ }
[ ] [ ]
{ } { }
[ ] [ ]
( )
{ }
2
1 2
1 1
2 2
T T
T T
nen
e e e e
e e e e
S S
U k q B B q dxdy k q B B q dxdy= − ∇
∫∫ ∫∫
(3.92.a)
hay
{ }
[ ] [ ] [ ] [ ]
( )
{ }
2
1 2
1 1
2 2
T T
T
nen
e e
e e e e
S S
U q k B B dxdy k B B dxdy q
= − ∇
÷
∫∫ ∫∫
(3.92.b)
Thế năng ngoại lực
ngl
U
:
{ } ( ) { }
[ ]
( ) { }
[ ]
( )
, , ,
T T
T T T
ngl
e e e
e e
S S S
U U q x y dxdy q B q x y dxdy q B q x y dxdy
= − = − = −
÷
∫∫ ∫∫ ∫∫
(3.93)
Thế năng toàn phần là tổng của các thế năng:
nl qt nen ngl
U U U UΠ = + + +
64
Theo nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần, để hệ cân bằng thì biến
phân cấp 1 của thế năng toàn phần
0δΠ =
{ }
[ ] [ ]
{ } { }
[ ] [ ] [ ]
{ }
T T
T T
m
e e e e
e e e e
S S
q h B B dxdy q q D C D dxdy q
δ ρ + δ +
÷ ÷
∫∫ ∫∫
&&
{ }
[ ] [ ] [ ] [ ]
( )
{ }
2
1 2
1
2
T T
T
e e
e e e e
S S
q k B B dxdy k B B dxdy q
+ δ − ∇ −
÷
∫∫ ∫∫
{ }
[ ]
( )
, 0
T
T
e
e
S
q B q x y dxdy
− δ =
÷
∫∫
(3.94)
Biến phân
{ }
e
qδ
là bất kỳ, nên suy ra:
[ ] [ ]
{ }
[ ] [ ] [ ]
{ }
T T
m
e e
e e e e
S S
h B B dxdy q D C D dxdy q
ρ + +
÷ ÷
∫∫ ∫∫
&&
[ ] [ ] [ ] [ ]
( )
{ }
[ ]
( )
2
1 2
1
, 0
2
T T T
e
e e e e e
S S S
k B B dxdy k B B dxdy q B q x y dxdy
+ − ∇ − =
÷ ÷
∫∫ ∫∫ ∫∫
(3.95)
Ký hiệu:
[ ]
e
M
- ma trận khối lượng của phần tử
[ ] [ ] [ ]
T
e e e
S
M h B B dxdy= ρ
∫∫
(3.96)
[ ]
e
K
- ma trận độ cứng của phần tử
[ ] [ ] [ ] [ ]
T
m
e e e
S
K D C D dxdy=
∫∫
(3.97)
[ ]
nen
e
K
- ma trận độ cứng của nền đàn hồi 2 hệ số
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
( )
2
1 2
1
2
T T
nen
e e e e e
S S
K k B B dxdy k B B dxdy
= − ∇
÷
∫∫ ∫∫
(3.98)
{ }
e
R
- véc tơ lực nút qui đổi của phần tử
{ }
[ ]
( )
,
T
e
e
S
R B q x y dxdy=
∫∫
(3.99)
Phương trình cân bằng động của phần tử có dạng tổng quát:
[ ]
{ }
[ ]
{ }
[ ]
{ } { }
nen
e e e e
e e e
M q K q K q R+ + =
&&
Nếu đặt:
[ ] [ ] [ ]
nen
e e e
KN K K= +
(3.100)
thì phương trình cân bằng động của tấm trên nền đàn hồi 02 hệ số có dạng:
65
[ ]
{ }
[ ]
{ } { }
e e e
e e
M q KN q R+ =
&&
(3.101)
Dưới đây dẫn ra các công thức cơ bản theo PP PTHH cho phần tử tấm chữ
nhật 16 bậc tự do (chuyển vị nút) với hàm chuyển vị được xấp xỉ bằng một đa
thức theo tam giác Pascal.
3.4.2. Hàm chuyển vị và hàm dạng
Xét phần tử tấm tương thích chữ nhật 4 nút trên nền biến dạng đàn hồi cục
bộ hai hệ số với 16 chuyển vị nút, hình 3-4.
Tại mỗi nút thứ
i
,
( 1 4)i = ÷
có 4 thành phần chuyển vị nút, [12]:
i
w
,
i
w
y
∂
÷
∂
,
i
w
x
∂
−
÷
∂
,
2
i
w
x y
∂
÷
∂ ∂
Hình 3-4. Phần tử chữ nhật 04 nút 16 bậc tự do.
Véc tơ chuyển vị nút của phần tử:
{ }
2 2
1
1 4
1
1 4
T
e
w w w w w
q w
y x x y x x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − −
÷ ÷
÷
÷ ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(3.102a)
hay
{ } { }
1 2 3 4 14 15 16
T
e
q q q q q q q q=
(3.102b)
Tương tự, véc tơ lực nút qui đổi của phần tử:
{ } { }
1 2 3 4 14 15 16
T
e
R R R R R R R R=
(3.103)
Hàm chuyển vị
{ }
e
U
của phần tử chữ nhật 04 nút, 16 bậc tự do được xấp xỉ
dưới dạng đa thức đầy đủ theo tam giác Pascal, có dạng:
{ } ( )
2 2 3 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
,
e
U w x y x y x xy y x x y xy= = α + α + α + α + α + α + α +α + α +
3 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3
10 11 12 13 14 15 16
y x y xy x y x y x y x y+α + α +α + α + α + α + α
(3.104)
dưới dạng ma trận:
{ } ( ) ( ) { }
, ,
e
U w x y P x y= = α
(3.105)
trong đó:
66
( )
2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3
, 1P x y x y x xy y x x y xy y x y xy x y x y x y x y
=
(3.106).
{ } { }
1 2 3 15 16
T
α = α α α α α
(3.107)
Các tham số
j
α
với
1 16j = ÷
được xác định từ điều kiện chuyển vị tại các
nút của phần tử, dưới dạng ma trận:
{ }
[ ]
{ }
e
q A= α
(3.108)
Từ (3.108), rút ra:
{ }
[ ]
{ }
1
e
A q
−
α =
(3.109)
thay (3.109) vào (3.105):
{ } ( )
[ ]
{ } ( ) { } ( )
[ ]
{ }
1
, , ,
e e e
e
U w x y B q P x y P x y A q
−
= = = α =
(3.110)
rút ra ma trận hàm dạng:
[ ]
( )
[ ]
1
,
e
B P x y A
−
=
(3.111)
3.4.3. Ma trận biến dạng - chuyển vị
Ma trận biến dạng - chuyển vị được xác định từ công thức tổng quát của PP
PTHH:
{ }
[ ]
{ }
e e
e
D qε =
. Theo (1.4)
÷
(1.6) và từ (3.105), (3.109):
( )
( )
( )
[ ]
{ }
2
2
2
2
2
2
1
2 2
2
2
,
,
,
2
x x
y y
e
xy xy
P x y
w
x
x
k
P x y
w
z k z z A q
y y
k
w
P x y
x y
x y
−
∂
∂
−
∂
∂
ε
∂
∂
ε = = − = −
∂ ∂
γ
∂
∂
−
∂ ∂
∂ ∂
(3.112)
So sánh với công thức xác định
{ }
[ ]
{ }
e e
e
D qε =
, rút ra:
[ ]
( )
( )
( )
[ ] [ ] [ ]
2
2
2
1 1
2
2
,
,
,
2
e
P x y
x
P x y
D z A z PD A
y
P x y
x y
− −
∂
∂
∂
= − = −
∂
∂
∂ ∂
(3.113)
3.4.4. Ma trận độ cứng của phần tử tấm và của nền
Ma trận độ cứng phần tử tấm được xác định bằng công thức:
[ ] [ ] [ ] [ ]
T
t
e e e
S
K D E D dxdy=
∫∫
(3.114)
67
trong đó:
[ ]
e
D
xác định theo (3.113);
[ ] [ ]
t m
E C=
xác định theo công thức (3.19).
Ma trận độ cứng của nền đàn hồi 2 hệ số xác định theo (3.98)
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
( )
2
1 2
1
2
T T
nen
e e e e e
S S
K k B B dxdy k B B dxdy
= − ∇
÷
∫∫ ∫∫
(3.115)
trong đó,
[ ]
e
B
là ma trận hàm dạng xác định theo (3.111).
Ma trận
[ ]
( )
2
e
B∇
là ma trận nhận được bằng cách lấy đạo hàm theo toán tử
Laplat (1.25) cho ma trận hàm dạng
[ ]
e
B
. Chú ý đến (3.111), với
[ ]
1
A
−
là ma trận
hằng số, nhận được:
[ ]
( )
( )
( )
[ ]
1
2 2
,
e
B P x y A
−
∇ = ∇
(3.116)
3.4.5. Ma trận khối lượng của phần tử tấm
Ma trận khối lượng của phần tử được xác định bằng công thức (3.96):
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
T T
e e e e e
S S
M h B B dxdy m B B dxdy= ρ =
∫∫ ∫∫
(3.117)
trong đó:
ρ
- khối lượng trên một đơn vị thể tích của tấm;
h
- chiều dày của tấm;
m
- khối lượng phân bố của phần tử;
[ ]
e
B
- ma trận hàm dạng xác định theo (3.111).
3.4.6. Véc tơ lực nút qui đổi do tải phân bố tác dụng trong phần tử tấm
Véc tơ lực nút qui đổi được xác định bằng công thức (3.99) :
{ }
[ ]
( )
,
T
e
e
S
R B q x y dxdy=
∫∫
(3.118)
3.4.7. Xác định nội lực của phần tử tấm
Mô men tại điểm bất kỳ có tọa độ
( )
,x y
trong phần tử tấm được xác định
theo công thức (1.16):
{ }
[ ]
{ }
m c
M C k=
(1.16)
trong đó:
{ }
{ }
T
x y xy
M M M M=
(1.17)
{ }
{ }
T
c x y xy
k k k k=
xác định theo công thức (3.119):
68
{ }
[ ] [ ]
{ }
2
2
2
1
2
2
2
x
c y
e
xy
w
x
k
w
k k PD A q
y
k
w
x y
−
∂
−
∂
∂
= = − = −
∂
∂
−
∂ ∂
(3.119)
trong đó ma trận
[ ]
PD
xác định theo (3.113).
Lực cắt
x
Q
,
y
Q
do biến dạng uốn xác định bằng công thức (1.23), (1.24):
( )
( )
[ ]
{ }
1
2 2
,
x p p
e
Q D W D P x y A q
x x
−
∂ ∂
= − ∇ = − ∇
∂ ∂
(3.120)
( )
( )
[ ]
{ }
1
2 2
,
y p p
e
Q D W D P x y A q
y y
−
∂ ∂
= − ∇ = − ∇
∂ ∂
(3.121)
3.4.8. Tính các tích phân số bằng phép cầu phương Gauss
Để tính các tích phân bằng tích phân số theo phép cầu phương Gauss cần
đổi biến
x
,
y
trong hệ tọa độ Descartes về biến
r
,
s
trong hệ tọa độ tự nhiên.
Xét phần tử chữ nhật có kích thước
2a
,
2b
, tọa độ tại tâm (gốc hệ tọa độ tự
nhiên) là
( )
,
c c
x y
. Dùng phép đổi biến:
c
x x
r
a
−
=
c
y y
s
b
−
=
.dxdy a bdrds=
(3.122)
Ví dụ xét tích phân xác định ma trận độ cứng của phần tử tấm:
[ ] [ ] [ ] [ ]
T
t
e e e
S
K D E D dxdy=
∫∫
Ký hiệu:
( )
[ ] [ ] [ ]
,
T
t
e e
F r s D E D=
(3.123)
[ ]
( )
( )
1 1
2 2
1 1
1 1
, ,
i j i j
e
i j
K ab F r s drds ab F r s
+ +
= =
− −
= = α α
∑∑
∫ ∫
(3.124)
Chúc các bạn thành công.
69
