Vận dụng lý thuyết graph trong dạy học giải tích 12 trung học phổ thông

i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ QUANG HƯNG

VẬN DỤNG LÍ THUYẾT GRAPH
TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC


ii

NGHỆ AN, 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ QUANG HƯNG

VẬN DỤNG LÍ THUYẾT GRAPH
TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG


iii

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN TRUNG

NGHỆ AN, 2015

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi. Các số liệu, kết quả
nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì
công trình nào khác.
Nghệ An, tháng 10 năm 2015
Học viên

Ngô Quang Hưng


iv

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn thạc sĩ, Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban
chủ nhiệm cùng các thầy cô khoa Toán, phòng Đào tạo Sau đại học, trường
Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học
tập, thực hiện và hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, quý Thầy, Cô giáo tổ
Toán trường THPT Quảng Xương 1, trường THPT Quảng Xương 2 và trường
THPT Quảng Xương 4 thuộc huyện Quảng Xương - tỉnh Thanh Hóa đã nhiệt
tình giúp đỡ, trao đổi và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình
nghiên cứu và thực nghiệm đề tài.

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc về sự hướng dẫn tận
tình chu đáo của PGS.TS. Trần Trung trong suốt thời gian nghiên cứu và
thực hiện luận văn .
Cuối cùng, tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, người
thân, bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên tác giả trong quá trình học
tập và thực hiện đề tài.
Dù đã rất cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu
sót, tác giả mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô giáo và các bạn.
Vinh, tháng 10 năm 2015


v


vi

MỤC LỤC


vii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Ký hiệu
BT

Viết đầy đủ
Biểu thức

ĐB

Đồng biến

ĐC

Đối chứng

ĐTHS

Đồ thị hàm số

GTLN

Giá trị lớn nhất

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

GV

Giáo viên

H/S

Hàm số

HS

Học sinh

HSĐB

Hàm số đồng biến

HSNB

Hàm số nghịch biến

NB

Nghịch biến

NXB

Nhà xuất bản

P2

Phương pháp

PPDH

Phương pháp dạy học

PT

Phương trình

S

Diện tích

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

TL

Tự luận

TN

Thực nghiệm

TNKQ

Trắc nghiệm khách quan

TNSP

Thực nghiệp sư phạm

TXĐ

Tập xác định

viii

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Hình 1.1. Sơ đồ hai cách thể hiện Graph..........................................................................10
Hình 1.2. Sơ đồ Graph con (Đỉnh D là Graph con)..........................................................10
Hình 1.3. Sơ đồ Graph vô hướng.......................................................................................10
Hình 1.4. Sơ đồ Graph có hướng.......................................................................................11
Hình 1.5. Sơ đồ Graph đầy đủ............................................................................................12
Hình 1.6. Sơ đồ Graph vòng. .............................................................................................13
Hình 1.7. Sơ đồ Graph bánh xe..........................................................................................13
Hình 1.9. Sơ đồ Graph hai phía.........................................................................................14
Hình 1.10. Sơ đồ Graph liên thông....................................................................................15
Hình 1.11. Sơ đồ Graph không liên thông gồm 2 thành phần liên thông.......................15
Hình 1.12. Sơ đồ Graph Euler Hình 1.13. Sơ đồ Graph nửa Euler................................16
Hình 1.14. Sơ đồ Graph không có chu trình và đường đi Euler......................................16
Hình 1.15. Sơ đồ Graph Hamilton,nửa Hamilton,không là nửa Hamilton.....................17
Hình 1.16. Sơ đồ Cây đa phân............................................................................................18
Hình 1.17. Sơ đồ Cây nhị phân (binary tree)....................................................................18
Hình 1.18. Graph khái niệm đạo hàm của hàm số...........................................................23
Hình 1.19. Graph khái niệm nguyên hàm hàm số............................................................23
Hình 1.20. Graph khái niệm hình vuông...........................................................................24
Hình 1.21. Graph khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số..........................................25
Hình 1.22. Graph tìm tính đơn điệu hàm số......................................................................26
Hình 1.23. Graph phương trình đường thẳng...................................................................27
Hình 1.24. Graph cực trị hàm số........................................................................................29
Hình 1.25. Quy trình lập Graph nội dung.........................................................................31
Hình 1.26. Graph nội dung khảo sát sự biến thiên và vẽ ĐTHS y = ...............................32
Hình 1.27. Quy trình lập Graph hoạt động dạy - học.......................................................34

Hình 1.28. Quy trình lập Graph hoạt động.......................................................................35
Hình 1.28. Quy trình lập Graph dạy học...........................................................................38
Hình 2.1. Sơ đồ mạch kiến thức giải tích..........................................................................50
Hình 2.2. Graph nội dung đường tiệm cận của hàm số....................................................52
Hình 2.3. Graph hoạt động đường tiệm cận của hàm số..................................................53


ix

Hình 2.4. Graph nội dung định nghĩa GTLN và GTNN...................................................54
Hình 2.5. Graph nội dung định nghĩa hàm số mũ và hàm lôgarit...................................55
Hình 2.6. Graph nội dung bài số phức..............................................................................56
Hình 2.7. Graph nội dung định lí tính đơn điệu hàm số...................................................58
Hình 2.8. Graph nội dung định lí cực trị hàm số..............................................................59
Hình 2.9. Graph nội dung định lí lũy thừa với số mũ hữu tỉ............................................60
Hình 2.10. Graph nội dung định lí 1..................................................................................60
Hình 2.11. Graph cho định lí 2 và hệ quả trên.................................................................61
Hình 2.12. Graph định lí các tính chất cơ bản của tích phân..........................................62
Hình 2.13. Graph quy tắc 1 tìm cực trị hàm số.................................................................63
Hình 2.14. Graph quy tắc 2 tìm cực trị hàm số................................................................63
Hình 2.15. Graph quy tắc tìm GTLN-GTNN hàm số........................................................64
Hình 2.16. Graph khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức.............................65
Hình 2.17. Graph Các phương pháp giải phương trình mũ và lôgarit............................66
Hình 2.18. Graph các phương pháp tính diện tích hình phẳng.......................................67
Hình 2.19. Graph thô..........................................................................................................69
Hình 2.20. Graph đầy đủ....................................................................................................69
Hình 2.21. Graph cách giải bài toán tính ĐB-NB.............................................................70
Hình 2.22. Graph cách giải bài toán tính diện tích hình phẳng......................................71
Hình 2.23. Graph giải phương trình bậc 2 đối với số phức..............................................71
Hình 2.24. Graph giải phương trình mũ và lôgarit...........................................................72

Hình 2.25. Graph giải bài tập tính tích phân....................................................................72
Bảng 3.1. Phân bố điểm kiểm tra chất lượng của nhóm lớp TN và ĐC...........................82
Biểu đồ 3.1: Đa giác đồ của nhóm lớp TN và nhóm lớp ĐC............................................82
Bảng 3.2. Phân bố điểm của nhóm lớp TN và lớp ĐC......................................................85
sau khi thực nghiệm sư phạm............................................................................................85
Bảng 3.3 Phân bố tần số luỹ tích hội tụ lùi .....................................................................87
của nhóm lớp TN và nhóm lớp ĐC sau khi TNSP............................................................87
Biểu đồ 3.2. Đồ thị biểu diễn đường tần suất luỹ tích hội tụ lùi ......................................87
của nhóm lớp TN và ĐC sau khi thực nghiệm .................................................................87


x

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Sơ đồ hai cách thể hiện Graph......Error: Reference source not found
Hình 1.2. Sơ đồ Graph con (Đỉnh D là Graph con) Error: Reference source not
found
Hình 1.3. Sơ đồ Graph vô hướng..................Error: Reference source not found
Hình 1.4. Sơ đồ Graph có hướng..................Error: Reference source not found
Hình 1.5. Sơ đồ Graph đầy đủ...................... Error: Reference source not found
Hình 1.6. Sơ đồ Graph vòng.........................Error: Reference source not found
Hình 1.7. Sơ đồ Graph bánh xe.................... Error: Reference source not found
Hình 1.9. Sơ đồ Graph hai phía....................Error: Reference source not found
Hình 1.10. Sơ đồ Graph liên thông...............Error: Reference source not found
Hình 1.11. Sơ đồ Graph không liên thông gồm 2 thành phần liên thông. Error:
Reference source not found
Hình 1.12. Sơ đồ Graph Euler...................... Error: Reference source not found
Hình 1.13. Sơ đồ Graph nửa Euler..................................................................16
Hình 1.14. Sơ đồ Graph không có chu trình và đường đi Euler...............Error:
Reference source not found

Hình 1.15. Sơ đồ Graph Hamilton,nửa Hamilton,không là nửa Hamilton.
...................................................................... Error: Reference source not found
Hình 1.16. Sơ đồ Cây đa phân......................Error: Reference source not found
Hình 1.17. Sơ đồ Cây nhị phân (binary tree) Error: Reference source not found
Hình 1.18. Graph khái niệm đạo hàm của hàm số. Error: Reference source not
found
Hình 1.19. Graph khái niệm nguyên hàm hàm số..Error: Reference source not
found
Hình 1.20. Graph khái niệm hình vuông......Error: Reference source not found
Hình 1.21. Graph khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Error: Reference
source not found


xi

Hình 1.22. Graph tìm tính đơn điệu hàm số. Error: Reference source not found
Hình 1.23. Graph phương trình đường thẳng.........Error: Reference source not
found
Hình 1.24. Graph cực trị hàm số...................Error: Reference source not found
Hình 1.25. Quy trình lập Graph nội dung.....Error: Reference source not found
Hình 1.26. Graph nội dung khảo sát sự biến thiên và vẽ ĐTHS y =

ax + b
cx + d

...................................................................... Error: Reference source not found
Hình 1.27. Quy trình lập Graph hoạt động dạy - học...Error: Reference source
not found
Hình 1.28. Quy trình lập Graph hoạt động...Error: Reference source not found
Hình 1.28. Quy trình lập Graph dạy học......Error: Reference source not found

Hình 2.1. Sơ đồ mạch kiến thức giải tích.....Error: Reference source not found
Hình 2.2. Graph nội dung đường tiệm cận của hàm số Error: Reference source
not found
Hình 2.3. Graph hoạt động đường tiệm cận của hàm số.........Error: Reference
source not found
Hình 2.4. Graph nội dung định nghĩa GTLN và GTNN.........Error: Reference
source not found
Hình 2.5. Graph nội dung định nghĩa hàm số mũ và hàm lôgarit.............Error:
Reference source not found
Hình 2.6. Graph nội dung bài số phức..........Error: Reference source not found
Hình 2.7. Graph nội dung định lí tính đơn điệu hàm số Error: Reference source
not found
Hình 2.8. Graph nội dung định lí cực trị hàm số. . .Error: Reference source not
found
Hình 2.9. Graph nội dung định lí lũy thừa với số mũ hữu tỉ...Error: Reference
source not found
Hình 2.10. Graph nội dung định lí 1.............Error: Reference source not found


xii

Hình 2.11. Graph cho định lí 2 và hệ quả trên.......Error: Reference source not
found
Hình 2.12. Graph định lí các tính chất cơ bản của tích phân...Error: Reference
source not found
Hình 2.13. Graph quy tắc 1 tìm cực trị hàm số......Error: Reference source not
found
Hình 2.14. Graph quy tắc 2 tìm cực trị hàm số......Error: Reference source not
found
Hình 2.15. Graph quy tắc tìm GTLN-GTNN hàm số. .Error: Reference source

not found
Hình 2.16. Graph khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức.....Error:
Reference source not found
Hình 2.17. Graph Các phương pháp giải phương trình mũ và lôgarit......Error:
Reference source not found
Hình 2.18. Graph các phương pháp tính diện tích hình phẳng Error: Reference
source not found
Hình 2.19. Graph thô.................................... Error: Reference source not found
Hình 2.20. Graph đầy đủ.............................. Error: Reference source not found
Hình 2.21. Graph cách giải bài toán tính ĐB-NB..Error: Reference source not
found
Hình 2.22. Graph cách giải bài toán tính diện tích hình phẳng Error: Reference
source not found
Hình 2.23. Graph giải phương trình bậc 2 đối với số phức.....Error: Reference
source not found
Hình 2.24. Graph giải phương trình mũ và lôgarit Error: Reference source not
found
Hình 2.25. Graph giải bài tập tính tích phân.Error: Reference source not found


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo là một mục tiêu quan trọng
của sự nghiệp đổi mới giáo dục ở nước ta hiện nay, trong đó đổi mới phương
pháp dạy học được coi là một trong những nhiệm vụ hàng đầu của ngành giáo
dục nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.
Nghị quyết kì họp thứ 8, Quốc hội khoá XI về đổi mới căn bản và toàn
diện giáo dục Việt Nam đã nêu: "Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao

dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo
dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm
chất người học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà
trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội".
Luật Giáo dục đã quy định: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng
lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”.
Đổi mới phương pháp dạy học sao cho trong dạy học phải đảm bảo
được sự phát triển năng lực sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng tư duy khoa học,
năng lực tìm tòi chiếm lĩnh tri thức, năng lực giải quyết vấn đề để thích ứng
được với cuộc sống với sự phát triển của khoa học. Trong dạy học phải phát
huy hoạt động nhận thức tự chủ, tích cực của học sinh, giúp cho học sinh
chiếm lĩnh được các kiến thức khoa học sâu sắc…
Hiện nay giáo viên sử dụng nhiều phương pháp dạy học tích cực nhằm
đổi mới phương pháp dạy học theo hướng nâng cao tính tích cực tự lực cho
học sinh như dạy học giải quyết vấn đề, dạy học phân hóa, dạy học khám phá,
dạy học theo dự án, dạy học hợp tác...
Graph toán học là phương pháp khoa học có có tính ổn định vững chắc
để mã hoá các mối quan hệ của các đối tượng được nghiên cứu. Graph toán


2

học đã được ứng dụng vào nhiều ngành khoa học khác nhau như: khoa học,
kỹ thuật, kinh tế học, điều khiển học, vận trù học, quản lý, nghiên cứu khoa
học, thiết kế dự án, tâm lí học và khoa học giáo dục [ 3] ...
Có nhiều tác giả đã thành công trong việc nghiên cứu và vận dụng lí
thuyết Graph vào dạy học một số môn học ở trường phổ thông trong đó có
môn toán. Tuy nhiên việc vận dụng lí thuyết Graph trong dạy học Giải tích
lớp 12 THPT thì chưa có đề tài nào nghiên cứu chi tiết.

Xuất phát từ lí do trên chúng tôi nghiên cứu đề tài: “Vận dụng lí
thuyết Graph trong dạy học Giải tích 12 Trung học phổ thông".
2. Mục đích nghiên cứu
Vận dụng lí thuyết Graph để tăng cường mối liên hệ giữa các mạch
kiến thức nhằm nâng cao năng lực vận dụng kiến thức và phát huy tính tích
cực của HS trong quá trình dạy học giải tích 12 Trung học phổ thông.
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học giải tích 12 THPT.
3.2. Đối tượng nghiên cứu: Cách thức vận dụng lí thuyết Graph trong
dạy học giải tích 12 THPT.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng hợp lý lí thuyết Graph trong dạy học một số nội dung
của chương trình giải tích 12 THPT thì sẽ nâng cao năng lực vận dụng kiến
thức và phát huy tính tích cực của HS trong quá trình dạy học giải tích 12
Trung học phổ thông qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán
ở trường THPT.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Tìm hiểu lí thuyết Graph và việc vận dụng lí thuyết Graph trong
dạy học giải tích 12.


3

5.2. Khảo sát thực trạng và quan điểm dạy học giải tích 12 THPT theo
tinh thần đổi mới nội dung, chương trình sau năm 2015.
5.3. Chỉ ra nội dung chương trình giải tích 12 THPT có thể vận dụng lí
thuyết Graph. Thiết kế các Graph liên quan đến nội dung và hoạt động dạy học.
5.4. Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả các Graph đã thiết kế để dạy học
giải tích 12 trung học phổ thông bằng thực nghiệm sư phạm.
6. Phương pháp nghiên cứu

6.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận : Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu
về lí thuyết Graph, phương pháp dạy học môn Toán và các tài liệu khác liên
quan đến đề tài nhằm làm rõ thêm việc vận dụng lí thuyết Graph vào dạy học
giải tích 12 THPT.
6.2. Phương pháp điều tra, quan sát: Khảo sát thực trạng dạy học giải
tích 12 trung học phổ thông bằng việc vận dụng lí thuyết Graph hiện nay.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm : Tổ chức thực nghiệm sư
phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của việc dạy học giải tích 12 trung
học phổ thông bằng việc vận dụng lí thuyết Graph.
7. Đóng góp mới của đề tài
- Góp phần hệ thống hóa cơ sở lí luận về việc vận dụng lí thuyết Graph
trong dạy học Toán. Khẳng định sự cần thiết phải tăng cường rèn luyện khả
năng hệ thống hóa kiến thức cho HS trong dạy học thông qua Graph.
- Phân tích thực trạng dạy học Giải tích 12 ở một số trường THPT hiện
nay, tìm hiểu nguyên nhân của thực trạng đó.
- Đề xuất các tiến trình dạy học giải tích 12 theo một số Graph nội dung
và Graph hoạt động phù hợp với thực tiễn ở trường Trung học phổ thông và
định hướng đổi mới phương pháp dạy học.


4

8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung
luận văn được trình bày trong ba chương:
- Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn của việc vận dụng lí thuyết
Graph vào dạy học Toán ở trung học phổ thông.
- Chương 2. Vận dụng lí thuyết Graph vào dạy học giải tích 12 trung
học phổ thông.
- Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

5

Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC VẬN DỤNG
LÍ THUYẾT GRAPH VÀO DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG THPT
1.1. Tổng quan lịch sử vấn đề nghiên cứu
1.1.1. Những nghiên cứu trên thế giới
Lí thuyết Graph là một chuyên ngành của Toán học đã có từ lâu và có
nhiều ứng dụng hiện đại. Nền tảng cơ bản đầu tiên của lí thuyết Graph được
khai sinh vào những năm đầu của thế kỷ XVIII bởi nhà toán học lỗi lạc người
Thụy Sỹ Leonhard Euler. Chính ông là người đã sử dụng Graph để giải bài
toán nổi tiếng “Bảy cây cầu ở Konigsburg” (công bố vào năm 1736). Ban đầu
lí thuyết Graph là một bộ phận nhỏ của toán học, chủ yếu nghiên cứu giải
quyết những bài toán có tính chất giải trí. Trong những năm cuối thế kỷ XX,
cùng với sự phát triển của toán học và nhất là toán học ứng dụng, những
nghiên cứu về vận dụng lí thuyết Graph đã có những bước tiến nhảy vọt.
Sau khi lí thuyết Graph hiện đại được công bố, các nhà toán học trên
thế giới đã nghiên cứu rộng rãi và làm cho môn học trở nên phong phú và
được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của các ngành khoa học như: điều khiển
học, mạng điện tử, lí thuyết thông tin, vận trù học, kinh tế học…
Năm 1958, tại Pháp Claude Berge đã viết cuốn “Lí thuyết Graph và
những ứng dụng của nó” Trong cuốn sách tác giả đã trình bày những khái
niệm và định lí toán học cơ bản của lí thuyết Graph, đặc biệt là những ứng
dụng của lí thuyết Graph trong nhiều lĩnh vực khác nhau [1].
Đến nay đã có nhiều bài báo nghiên cứu về lí thuyết Graph và những
ứng dụng của nó và được đăng tải trên các tạp chí như: Tạp chí lí thuyết
Graph (Journal of Graph Theory); Tạp chí lí thuyết tổ hợp (Journal of

6

Combinatorial Theory, Series B); Tạp chí Graph algorit và ứng dụng (Journal
of Graph Algorithm and Applications) và nhiều tạp chí nổi tiếng khác [3].
Bên cạnh đó nhiều trường đại học trên thế giới cũng có các nhóm tác
giả đang nghiên cứu về lí thuyết Graph, về sự chuyển hoá của lí thuyết Graph
vào những lĩnh vực khoa học khác nhau như [1]:
- Trường đại học Antrep - Bỉ có nhóm nghiên cứu của giáo sư Dirk
Janssens; trường Đại học kỹ thuật Beclin - Đức có nhóm nghiên cứu của giáo
sư Hartmut Ehrig; trường Đại học tổng hợp Layden - Hà Lan có giáo sư
Grzegorz Rozenberg; trường Đại học Roma (Italia) có giáo sư Francesco
Parisi Presicce...
- Ở Hoa Kỳ có nhiều tác giả đã nghiên cứu sâu về lí thuyết Graph
làm cơ sở cho lí thuyết mạng máy tính và chuyển hoá vào các ngành khoa
học khác. Trong đó nổi bật nhất là những công trình nghiên cứu của
Jonathan LGross(trường Đại học Columbia, NiuYooc) và Jay Yellen
(trường Rolin, Florida).
Năm 1965, tại Liên Xô (cũ), A.M.Xokhor là người đầu tiên vận dụng
một số quan điểm của lí thuyết Graph để mô hình hoá nội dung tài liệu giáo
khoa (một khái niệm, một định luật…). A.M. Xokhor đã đưa ra những quan
điểm cơ bản sau [3]:
- Trong dạy học, khái niệm là phần tử cơ bản hợp thành tài liệu giáo khoa.
- Cấu trúc của một đoạn tài liệu giáo khoa là tổ hợp những mối liên hệ
bên trong các khái niệm và mối liên hệ qua lại của các phần tử chứa đựng
trong đoạn tài liệu đó. Cấu trúc của tài liệu giáo khoa có thể diễn tả một cách
trực quan bằng một Graph và gọi là "cấu trúc lôgíc của tài liệu". A.M.Xokhor
đã diễn tả những khái niệm bằng những Graph, trong đó các nội dung cơ bản
của khái niệm được bố trí trong các ô và các mũi tên chỉ sự liên hệ giữa các
nội dung với nhau. Ông cho rằng: Graph nội dung của một tài liệu giáo khoa

7

cho phép người GV có những đánh giá sơ bộ về một số đặc điểm dạy học của
tài liệu đó. Theo thực nghiệm của A.M.Xokhor, đặc điểm khách quan đặc
trưng nhất cho tính vừa sức của một tài liệu giáo khoa (được xây dựng theo
một lôgíc nào đó) là số lượng các cạnh (diện) của Graph.
Số lượng các cạnh Graph của tài liệu giáo khoa là đặc trưng cho hệ
thống các mối liên hệ bên trong của tài liệu, số lượng các khái niệm gắn bó
kết luận cuối cùng với khái niệm xuất phát xa nhất của nó cho phép ta suy ra
được tính chất phức tạp của câu giải thích hay lôgíc nội tại của tài liệu giáo
khoa, do đó ông đã vận dụng phép duyệt "cây" trong việc nghiên cứu hệ
thống khái niệm.
Dựa theo cách làm của A.M.Xokhor. Năm 1965, V.X.Poloxin đã dùng
phương pháp Graph để diễn tả trực quan các diễn biến của một tình huống
dạy học, có nghĩa là đã diễn tả bằng một sơ đồ trực quan trình tự các hoạt
động của GV và HS trong việc thực hiện một thí nghiệm hoá học. Theo ông,
tình huống dạy học là đơn vị cấu trúc - nguyên tố, là "tế bào" của bài lên lớp.
Nó là bộ phận đã phân hoá của bài lên lớp, bao gồm tổ hợp những điều kiện
cần thiết (mục đích, nội dung, phương pháp) để thu được những kết quả hạn
chế riêng biệt. Ông cũng mô tả trình tự các thao tác dạy học trong một tình
huống dạy học bằng Graph ([1]; [3]).
Năm 1972, V.P.Grakumop đã sử dụng phương pháp Graph để mô
hình hoá các tình huống của dạy học nêu vấn đề trên cơ sở đó mà phân loại
các tình huống có vấn đề của bài học. Theo ông, trong việc tạo ra các mẫu
của tình huống nêu vấn đề và giải quyết vấn đề, thì việc vận dụng lí thuyết
Graph có thể giúp ích rất nhiều cho các nhà lí luận dạy học. Lí thuyết Graph
cho phép xác định trình tự hành động trong tiến trình giải quyết tình huống
có vấn đề đặt ra [1].

8

1.1.2. Lịch sử nghiên cứu ở việt nam
Từ năm 1971, Nguyễn Ngọc Quang đã nghiên cứu chuyển hoá Graph
toán học thành Graph dạy học và đã công bố nhiều công trình trong lĩnh vực
này. Trong các công trình đó, giáo sư đã nghiên cứu những ứng dụng cơ bản của
lí thuyết Graph trong khoa học giáo dục, đặc biệt trong giảng dạy hoá học [ 3] .
Năm 1980, Trần Trọng Dương đã nghiên cứu đề tài: “Áp dụng phương
pháp Graph và algorit hoá để nghiên cứu cấu trúc và phương pháp giải, xây
dựng hệ thống bài toán về lập công thức hoá học ở trường phổ thông” [1].
Năm 1983, Nguyễn Đình Bào đã nghiên cứu sử dụng Graph để hướng
dẫn ôn tập môn toán. Cùng thời gian đó, Nguyễn Anh Châu đã nghiên cứu sử
dụng Graph hướng dẫn ôn tập môn văn. Các tác giả này đã sử dụng sơ đồ
Graph để hệ thống hoá kiến thức mà HS đã học trong một chương hoặc trong
một chương trình nhằm thiết lập mối liên hệ giữa các phần kiến thức đã học,
giúp HS ghi nhớ lâu hơn ([1]; [3]).
Năm 1984, Phạm Tư đã nghiên cứu đề tài “Dùng Graph nội dung của
bài lên lớp để dạy và học chương Nitơ - Photpho ở lớp 11 trường trung học
phổ thông”. Với sự thành công của ông, lí thuyết Graph đã được vận dụng
như một phương pháp dạy học hoá học thực sự có hiệu quả [1].
Năm 1987, Nguyễn Chính Trung đã nghiên cứu đề tài “Dùng phương
pháp Graph lập chương trình tối ưu để dạy môn sử”. Trong công trình này
tác giả đã nghiên cứu chuyển hoá Graph toán học vào lĩnh vực giảng dạy khoa
học quân sự [3].
Năm 1993, Hoàng Việt Anh đã nghiên cứu “Vận dụng phương pháp sơ
đồ Graph vào giảng dạy địa lí các lớp 6 và 8 ở trường trung học cơ sở”. Tác
giả đã sử dụng lí thuyết Graph để phát triển tư duy của HS trong học tập địa lí
và rèn luyện kỹ năng khai thác sách giáo khoa cũng như các tài liệu tham

khảo khác [1].


9

Trong lĩnh vực dạy học sinh học ở trường phổ thông Nguyễn Phúc
Chỉnh là người đầu tiên đi sâu nghiên cứu một cách hệ thống về lí thuyết Graph
và ứng dụng lí thuyết Graph trong dạy học Giải phẫu-Sinh lý người (2005).
Từ các dẫn chứng trên, chứng tỏ rằng phương pháp dạy học bằng
Graph có thể sử dụng đối với các môn học chứ không riêng chỉ dành cho
toán học [3].
1.2. Lí thuyết Graph
1.2.1. Một số khái niệm cơ bản của lí thuyết Graph
Theo từ điển Anh - Việt, Graph có nghĩa là đồ thị - biểu đồ gồm có một
đường hoặc nhiều đường biểu thị sự biến thiên của các đại lượng. Tuy nhiên,
từ Graph trong lí thuyết Graph lại bắt nguồn từ từ "graphic" có nghĩa là tạo ra
một hình ảnh rõ ràng, chi tiết, sinh động trong tư duy.
Vận dụng lí thuyết Graph trong dạy học được hiểu là cách thức tổ chức,
rèn luyện tạo những sơ đồ học tập ở trong tư duy của HS. Trên cơ sở đó hình
thành một phong cách tư duy khoa học mang tính hệ thống.
Graph là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh (vô hướng hoặc
có hướng) nối các đỉnh đó. Người ta phân loại Graph tuỳ theo đặc tính và số
cạnh nối các đỉnh của Graph. Số đỉnh của Graph G được kí hiệu bằng V(G)
hay V. Số cạnh của Graph G được kí hiệu bằng E(G) hay E. Trong mỗi Graph
các cạnh của Graph thẳng hay cong, dài hay ngắn, các đỉnh ở vị trí nào, đều
không phải là điều quan trọng, mà điều quan trọng là Graph có bao nhiêu
cạnh và đỉnh nào được nối với đỉnh nào. Xét một đỉnh của Graph, số cạnh tới
đỉnh đó được gọi là bậc (degree) của đỉnh.
Một Graph được gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ được trên một mặt
phẳng mà không có cạnh nào cắt nhau (ở một điểm không phải là điểm mút

của các cạnh). Hình vẽ như thế được gọi là một biểu diễn phẳng của Graph.
Mỗi Graph có thể có nhiều cách biểu diễn phẳng khác nhau, nhưng phải chỉ rõ


10

được mối quan hệ giữa các đỉnh. Graph có thể biểu diễn được dưới dạng sơ đồ,
dạng biểu đồ quan hệ hoặc dạng bảng (ma trận) [1].

Hình 1.1. Sơ đồ hai cách thể hiện Graph
Trong một Graph có thể có đỉnh lại là một Graph thì những đỉnh đó gọi
là Graph con.
B
e

A

k
h

D
- Graph con (Đỉnh D là Graph con)
Hình 1.2. Sơ đồ
1.2.2. Phân loại Graph
* Graph vô hướng:
Một Graph vô hướng G=(V, E) gồm một tập V≠ Ø mà các phần tử của
nó gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là
các cặp không có thứ tự của các đỉnh có thể chứa cạnh bội nhưng không có
khuyên. Nói cách khác, nếu với mỗi cạnh của Graph không phân biệt điểm
gốc (đầu) với điểm cuối (mút) thì đó là Graph vô hướng (Undirected grap).

A

B

C
C
C
G

E
D
V= {A, B, C, D, E, G}; E={(A, B), (B, C), (A, D), (A, E), (E, C), (B, D)}
Hình 1.3. Sơ đồ Graph vô hướng


11

Hai đỉnh u và v trong Graph (vô hướng) được gọi là liền kề nếu (u,v)

∈ E. Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và v. Cạnh e
cũng là cạnh nối các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút
của cạnh e.
Bậc của đỉnh v trong Graph kí hiệu deg(v) là số cạnh liên thuộc với nó,
riêng khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho bậc của nó. Đỉnh v được gọi
là đỉnh treo nếu deg(v) =1 và gọi là đỉnh cô lập nếu deg(v) = 0. chẳng hạn như
Graph có hình sau:
Deg(A) =3;deg(B) =2
B

A

Deg(C) =4;deg(D) =4

C

Deg(E) =1( E là đỉnh treo)
Deg(F) =0 (F là đỉnh cô lập)

D

E

F

* Graph có hướng:
Một Graph có hướng G= (V, E) gồm một tập V≠Ø mà các phần tử của
nó gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là
các cặp sắp thứ tự của các phần tử thuộc V. Nói cách khác, nếu với mỗi cạnh
của Graph ta phân biệt hai đầu, một đầu là gốc còn một đầu là ngọn thì đó là
Graph có hướng(Directed Graph)
B
C

+

D

E

Hình 1.4. Sơ đồ Graph có hướng

Đỉnh u được gọi là nối tới v hay v được gọi là nối tới u trong Graph có
hướng nếu (u, v) là một cung của Graph. Đỉnh u gọi là đỉnh đầu còn đỉnh v
gọi là đỉnh cuối của cung này.


12

Bán bậc vào của đỉnh v trong Graph có hướng G, kí hiệu deg +(v) là số
các cung có đỉnh cuối là v.
Bán bậc ra của đỉnh v trong Graph có hướng G, kí hiệu deg-(v) là số các
cung có đỉnh đầu là v.
B

deg+(C)= 2; deg-(C)= 0; deg+(A)= 1;

E

A

deg-(A)= 4; deg+(B)= 2; deg-(B)= 2
deg+(D)= 1; deg-(D)=0;

C

deg+(E)= 0; deg-(E)= 0

D

Nếu deg+(v)= deg-(v)= 0 thì v là đỉnh cô lập.
Nếu deg+(v)= 1 và deg-(v)= 0 thì v là đỉnh treo. D là đỉnh treo, E là đỉnh cô lập

Trong dạy học, người ta thường chỉ quan tâm đến Graph có hướng vì
Graph có hướng cho biết cấu trúc của đối tượng nghiên cứu.
* Một số dạng Graph đặc biệt
Ta xét một số dạng Graph đơn vô hướng đặc biệt, có thể ứng dụng
được trong thực tế.
+ Graph đầy đủ
Graph đầy đủ n đỉnh, ký hiệu bởi K n, là Graph vô hướng mà giữa hai
đỉnh bất kỳ của nó luôn có cạnh nối (cạnh liền kề).
Như vậy, Kn có
V
1

n( n − 1)
2

cạnh và mỗi đỉnh của Kn có bậc là n-1.

V

V

1

2

V
1

V

V

2

5

V
2

K3

V
3

V
4

K4

V
3

Hình 1.5. Sơ đồ Graph đầy đủ
+ Graph vòng

V
4

K5

V
3


13

Graph vòng Cn, n ≥3, gồm n đỉnh v1, v2,..., vn và các cạnh (v1,v2), (v2,v3),
…,(vn-1, vn), (vn, v1). Như vậy mỗi đỉnh của Cn có bậc là 2.
C3

C4

C5

V

V

V

1

1

2

V
1

V

V

2

5

V

V

2

3

V

V

4

3

V

V

4

3

Hình 1.6. Sơ đồ Graph vòng.
+ Graph bánh xe
Graph bánh xe Wn thu được từ Graph vòng Cn bằng cách bổ sung vào
một đỉnh mới Vn+1, nối với tất cả các đỉnh của Cn.
Như vậy Graph Wn có n+1 đỉnh, 2n cạnh, 1 đỉnh bậc n và n đỉnh bậc 3.

V

V
V

V

2

1

2

1

V

V

4

3

C4

Bổ sung đỉnh V5

V
5

V

V

4

3

W4
Hình 1.7. Sơ đồ Graph bánh xe

+Graph lập phương: Graph đơn 2n đỉnh, tương ứng với 2n xâu nhị phân độ dài
n và hai đỉnh kề nhau khi và chỉ khi 2 xâu nhị phân tương ứng với hai đỉnh
này chỉ khác nhau đúng một bit được gọi là Graph lập phương, ký hiệu là Q n.
Như vậy, mỗi đỉnh của Qn có bậc là n và số cạnh của Qn là n.2n-1.