Một số ứng dụng của lọc chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ THÚY HẰNG

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LỌC CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ THÚY HẰNG

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LỌC CHIỀU

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. ĐÀO THỊ THANH HÀ

Nghệ An - 2015


1

MỤC LỤC


2

MỞ ĐẦU

Trong suốt luận văn ta luôn kí hiệu (A, m) là vành giao hoán, địa phương,
Noether với iđêan cực đại duy nhất m. Cho M là A− môđun hữu hạn sinh
với chiều Krull (dimM = d). Nếu depthM = dimM thì ta nói M là môđun
Cohen-Macaulay. Lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò quan trọng trong
phạm trù các môđun Noether và cấu trúc của chúng đã được nghiên cứu thông
qua nhiều lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán như: lý thuyết chiều, đối
đồng điều địa phương, địa phương hóa,. . . và có ứng dụng trong nhiều lĩnh
vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Tổ hợp và Hình học đại
số.
Đối với một A− môdun M hữu hạn sinh ta định nghĩa lọc chiều µ =

{Mi }0≤i≤d , d = dimA M , trong đó Mi là kí hiệu môđun con lớn nhất của M
có chiều ≤ i. Một số tính chất của lọc chiều đã được nghiên cứu. Đặc biệt,
trong trường hợp vành địa phương (A, m) có phức đối ngẫu thì lọc chiều xuất
hiện như là lọc của dãy phổ liên quan tới tính đối ngẫu. Hơn nữa, ta gọi
một A− môđun M là môđun lọc Cohen-Macaulay nếu như tất cả các môđun
thương Mi /Mi−1 hoặc là môđun không hoặc là môđun Cohen-Macaulay chiều

i.
Trong trường hợp A có một phức đối ngẫu thì một trong những kết quả
chính đó là M là một môđun lọc Cohen-Macauly khi và chỉ khi với mọi

0 ≤ i ≤ d môđun khuyết K i (M ) là môđun không hoặc môđun CohenMacaulay i− chiều. Hơn nữa các tính chất cơ bản của các môđun lọc CohenMacaulay liên quan đến địa phương hóa, đầy đủ hóa được nghiên cứu.

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại một số vấn đề “Ứng


3

dụng của lọc chiều” của P. Shenzel (2004) trong [8].
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành hai chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày
một số khái niệm, tính chất cơ bản như chiều, độ sâu của môđun, môđun
Cohen-Macaulay,. . . của Đại số giao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc
trình bày nội dung chính của luận văn ở chương 2.
Chương 2. Một số ứng dụng của lọc chiều. Trong chương này chúng
tôi trình bày những vấn đề sau đây.
2.1 Khái niệm lọc chiều. Trình bày khái niệm lọc chiều, các tính chất cơ
bản của lọc chiều, khái niệm về hệ số phân biệt và một số bổ đề liên quan.
2.2 Môđun lọc Cohen-Macaulay. Trình bày về môđun lọc Cohen-Macaulay;
môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay và liên hệ giữa chúng. Từ khái niệm lọc chiều
ta có một số đặc trưng về hệ tham số. Đồng thời ta có một số đặc trưng về
môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn,
giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của TS. Đào Thị Thanh Hà. Tôi xin bày tỏ lòng
cảm ơn trân trọng đến cô cùng các thầy giáo, cô giáo khoa Sư phạm Toán
học, phòng đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp và
gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên
cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót. Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô
giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 10 năm 2015.

Tác giả


4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Phổ của vành. Giá của môđun

1.1.1 Định nghĩa. Cho p là iđêan của vành R, khi đó p được gọi là iđêan
nguyên tố nếu p = R và với mọi a, b ∈ R, ab ∈ p thì a ∈ p hoặc b ∈ p. Kí
hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó, SpecR
được gọi là phổ của vành R.
Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V (I) = {p ∈ SpecR|p ⊇ I}.
1.1.2 Định nghĩa. Cho p là iđêan của vành R. Kí hiệu Rp và Mp tương ứng
là địa phương hóa của R và M . Khi đó tập con

SuppM = {p ∈ SpecR|Mp = 0} ⊂ SpecR
được gọi là giá của M .
Với mỗi x ∈ M ta cũng kí hiệu

AnnR (x) = {a ∈ R|ax = 0}
AnnR (M ) = {a ∈ R|ax = 0, ∀x ∈ M }.
Ta có AnnR (x) và AnnR (x) là những iđêan của R, AnnR (x) và AnnR (M )
lần lượt được gọi là linh hoá tử của x và linh hóa tử của môđun M . Để đơn
giản người ta thường kí hiệu Ann(x) thay cho AnnR (x), Ann(M ) thay cho

AnnR (M ).
Nếu M là R− môđun hữu hạn sinh thì

SuppM = V (AnnR M ) = {p ∈ SpecR|p ⊇ AnnR M }.


5

1.2

Độ dài môđun

1.2.1 Định nghĩa. Một R− môđun M khác môđun 0 được gọi là một môđun
đơn nếu M chỉ có đúng hai môđun con là môđun 0 và chính nó.
1.2.2 Định nghĩa. Một dãy hợp thành của R− môđun M là một dãy giảm
gồm một số hữu hạn các môđun con

M = M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mn = {0}
sao cho Mi−1 /Mi là môđun con đơn, với mọi i = 1, 2, ..., n. Khi đó n được
gọi là độ dài của dãy hợp thành này.
1.2.3 Ví dụ. (a) Một không gian vectơ có dãy hợp thành khi và chỉ khi nó
có chiều hữu hạn. Một không gian vectơ có dãy hợp thành với độ dài d khi
và chỉ khi nó có chiều d.
(b) Vành số nguyên Z là một Z− môđun không có dãy hợp thành.
1.2.4 Định lí. (Jordan - Holder) Nếu R− môđun có một dãy hợp thành
có độ dài n, thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n. Hơn nữa,
mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các môđun con của M đều có độ dài không
vượt quá độ dài của dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành dãy hợp
thành của M .

Từ Định lý 1.2.4 ta có định nghĩa sau.
1.2.5 Định nghĩa. Độ dài của dãy hợp thành tùy ý của R− môđun M được
gọi là độ dài của môđun M và kí hiệu là

R (M )

hoặc đơn giản là (M ).

Nếu R− môđun M không có dãy hợp thành thì quy ước độ dài

R (M )

=∞

và gọi nó là môđun có độ dài vô hạn.
1.2.6 Ví dụ. (a) Với Q là trường các số hữu tỉ thì Q cũng là một không gian
vectơ trên Q có chiều là 1 và Q cũng là Q− môđun. Ta có

= ∞.

(b)

Z (Z)

(c)

Z (Z/6Z)

=2

Q (Q)

= 1.


6

Z/6Z có dãy hợp thành là

0 ⊂ 2Z/6Z ⊂ Z/6Z
hoặc dãy hợp thành

0 ⊂ 3Z/6Z ⊂ Z/6Z.
1.3

Chiều Krull của môđun

1.3.1 Định nghĩa. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành giao hoán

R
p0 ⊃ p1 ⊃ ... ⊃ pn
được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n.
Cho p ∈ SpecR, cận trên của tất cả các độ dài của xích nguyên tố với

p0 = p được gọi là độ cao của p. Kí hiệu là ht(p), nghĩa là
ht(p) = sup{độ dài các xích nguyên tố với p0 = p}
Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa

ht(p) = inf {ht(p)|p ∈ SpecR, p ⊇ I}
Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là

chiều Krull của vành R, kí hiệu là dimR hay dimK R.
Cho M là một R− môđun, khi đó dimR/AnnR M được gọi là chiều Krull
của môđun M , kí hiệu là dimK M hay dimM .
Từ đó ta thấy dimM ≤ dimR.
1.3.2 Ví dụ. (a) dimK = 0 với K là một trường. (Trường K chỉ có 2 iđêan
là 0 và K , 0 là iđêan nguyên tố duy nhất của K . Vì vậy chiều Krull của K
là 0).
(b) dimZ Z = 1. Do mọi iđêan nguyên tố của vành các số nguyên Z có dạng
hoặc là 0 hoặc pZ với p là số nguyên tố. Hơn nữa mọi iđêan pZ với p nguyên
tố là iđêan cực đại. Từ đó xích nguyên tố của Z có độ dài lớn nhất có dạng

(0) ⊂ pZ, suy ra dimZ Z = 1.


7

(c) Xét vành đa thức 3 biến k[x, y, z] với k là một trường. Ta có

dimk[x, y, z]/(x2 ) ∩ (y, z 3 ) = 2.
Tiếp theo ta có định nghĩa sau đây.
1.3.3 Định nghĩa. (i) R được gọi là vành catenary nếu với mọi cặp các iđêan
nguyên tố p, q và hai dãy tăng ngặt tùy ý các iđêan nguyên tố

p = p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn = q
đều được chứa trong các dãy tăng ngặt cực đại từ p đến q có độ dài như nhau.
Ví dụ, Một vành địa phương là miền nguyên và có chiều 2 là vành catenary.
(ii) Tập con catenary của SpecA là tập hợp các iđêan nguyên tố của A và
thỏa mãn với mỗi cặp các iđêan nguyên tố trong tập đó đều tồn tại các chuỗi
tăng ngặt các iđêan nguyên tố.
1.3.4 Chú ý. Cho I là iđêan bất kì của R. Ta luôn có

htI + dimR/I ≤ dimR.
Vành R và công thức trên là đẳng thức với mọi iđêan I thì đó là vành
catenary.

1.4

Iđêan nguyên tố liên kết

1.4.1 Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị và M là R− môđun.
Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu
tồn tại phần tử 0 = x ∈ M sao cho

p = 0 :R x = AnnR (x) = {r ∈ R|rx = 0}.
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu AssR M hay AssM .
Như vậy

Ass(M ) = {p ∈ SpecR|p = Annx với x ∈ M nào đó}
Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập các iđêan nguyên tố liên kết.


8

1.4.2 Mệnh đề. (i) Nếu M là R− môđun Noether thì Ass(M) là tập hữu
hạn.
(ii) Nếu N là một môđun con của M thì Ass(N ) ⊆ Ass(M ).
(iii) Cho 0 → M → M → M → 0 là dãy khớp của các R− môđun.
Khi đó

AssM ⊆ AssM ⊆ AssM ∪ AssM .

(vi) Ass(M ) ⊆ Supp(M ) và mỗi phần tử tối thiểu của Supp(M ) đều thuộc

Ass(M ).
1.4.3 Định nghĩa. Môđun con N của M được gọi là môđun con nguyên sơ
nếu Ass(M/N ) chỉ gồm một phần tử, có nghĩa là tồn tại một iđêan nguyên
tố p sao cho Ass(M/N ) = {p}. Khi đó ta nói N là môđun con p− nguyên
sơ.
1.4.4 Định nghĩa. Cho N là môđun con của M . N được gọi là có phân tích
nguyên sơ nếu N được biểu diễn dưới dạng

N = N1 ∩ N2 ∩ ... ∩ Nr (*)
trong đó Ni là môđun con pi − nguyên sơ, i = 1, 2, ..., r.
Phân tích nguyên sơ (*) được gọi là phân tích nguyên sơ thu gọn nếu các

pi từng đôi một phân biệt và không thể bỏ đi môđun Ni nào trong phân tích
trên.
1.4.5 Định lí. Nếu N là một môđun con của môđun Noether M thì N có
phân tích nguyên sơ và do đó có một phân tích nguyên sơ thu gọn.
1.4.6 Định lí. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R. Khi
n

đó nếu môđun con N của M có dạng phân tích nguyên sơ thu gọn 0 =

Nj ,
j=1

trong đó Ni là môđun con pi − nguyên sơ với i = 1, ..., r, thì các pi là duy
nhất xác định bởi N , và ta có

Ass(M/N ) = {p1 , ..., pr }.

9

1.4.7 Ví dụ. Trong Ví dụ 1.3.2 (c) ta có

Ass(k[x, y, z]/(x2 ) ∩ (y, z 3 )) = {p1 (x), p2 = (y, z)}
trong đó k[x, y, z]/(x2 ) ∩ (y, z 3 ) là k[x, y, z]− môđun.

1.5

Hệ tham số

1.5.1 Định nghĩa. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là R−
môđun với dimM = d. Hệ các phần tử x1 , ..., xd của m được gọi là hệ tham số
của M nếu độ dài (M/(x1 , ..., xd )M ) < ∞ và khi đó iđêan q = (x1 , ..., xd )R
được gọi là iđêan tham số.
1.5.2 Chú ý. Hệ tham số của môđun M luôn tồn tại.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của hệ tham số.
1.5.3 Định lí. Cho (R, m) là vành địa phương Noether và x1 , ..., xd là một
hệ tham số môđun M . Khi đó
(i) Hoán vị của hệ tham số x1 , ..., xd cũng là một hệ tham số của M .
(ii) dimM/(x1 , ..., xi )M = d − i, ∀i = 1, 2, ..., d.
(iii) Nếu n1 , ..., nd là các số nguyên dương thì xn1 1 , ..., xnd d cũng là một hệ
tham số của M .
1.5.4 Ví dụ. x1 , ..., xd là một hệ tham số của vành chuỗi lũy thừa hình thức

k[[x1 , ..., xd ]].
1.6

Iđêan m− nguyên sơ. Iđêan định nghĩa

1.6.1 Định nghĩa. Cho I là iđêan của R, ta nói rằng I là iđêan nguyên sơ
của R nếu
(i) I

R, có nghĩa là I là iđêan thực sự của R và
√
(ii) ∀a, b ∈ R với ab ∈ I mà a ∈
/ I thì b ∈ I .

Điều kiện (ii) trong Định nghĩa 1.6.1 có thể diễn tả như sau:

∀a, b ∈ R với ab ∈ I thì hoặc a ∈ I , hoặc ∃n ∈ N sao cho bn ∈ I .


10

1.6.2 Ví dụ. Mỗi iđêan nguyên tố của vành R là iđêan nguyên sơ.
1.6.3 Mệnh đề. Cho I là iđêan nguyên sơ của vành R. Khi đó p :=

√

I là

iđêan nguyên tố của vành R. Ta nói rằng I là iđêan p− nguyên sơ.
Hơn nữa, p là iđêan nguyên tố nhỏ nhất chứa I của R, hay mỗi iđêan
nguyên tố của R mà chứa I thì phải chứa p.
1.6.4 Mệnh đề. Giả sử I là iđêan của vành R thỏa mãn

√

I = m là một

iđêan cực đại của R. Khi đó I là iđêan nguyên sơ của vành R. Ta nói rằng

I là iđêan m− nguyên sơ của R.
1.6.5 Ví dụ. (a) Mọi lũy thừa dương mn (n ∈ N) của iđêan cực đại m là
iđêan m− nguyên sơ.
(b) pn Z là iđêan nguyên sơ của vành số nguyên Z, với p là số nguyên tố.
1.6.6 Định nghĩa. (i) Vành R được gọi là vành địa phương nếu trong R có
duy nhất một iđêan cực đại m. Kí hiệu là (R, m).
(ii) R được gọi là vành nửa địa phương nếu R có hữu hạn iđêan cực đại.
1.6.7 Ví dụ. (a) Vành chuỗi lũy thừa hình thức k[[x]] các phần tử của nó
biểu diễn dưới dạng
∞

an xn = a1 x + a2 x2 + ... + an xn + ...

f (x) =
n=1

các phép toán cũng tương tự như trên vành đa thức. Có iđêan cực đại duy
nhất là iđêan sinh bởi phần tử x: (x).
(b) Người ta chứng minh được rằng vành thương Z/mZ là vành nửa địa
phương (nếu m là lũy thừa của một số nguyên tố thì Z/mZ là vành địa
phương).
Chẳng hạn, Z6 = {¯
0, ¯1, ¯2, ¯3, ¯4, ¯5} là nửa địa phương với 2 iđêan cực đại là

2Z6 và 3Z6 .
(c) Vành đa thức n biến k[x1 , .., xn ] không phải là vành nửa địa phương vì
có vô hạn các iđêan cực đại

(x1 − a1 , ..., xn − an ), ai ∈ k


11

Đặt m = m1 ∩ ... ∩ mt .
1.6.8 Định nghĩa. Một iđêan I của vành nửa địa phương R được gọi là
iđêan định nghĩa nếu ∃k ∈ N sao cho mk ⊆ I ⊆ m.
Khi t = 1, R là vành địa phương có duy nhất một iđêan cực đại m. Khi
đó một iđêan định nghĩa I của R chính là iđêan m− nguyên sơ.
√
√
√
Thật vậy, do mk ⊆ I ⊆ m nên mk ⊆ I ⊆ m. Mặt khác m tối đại nên
√
√
√
m = m. Ta lại có mk = m (theo định nghĩa căn của iđêan). Do đó
√
√
√
m⊆ I⊆ m=m
√
Suy ra I = m, hay I là iđêan m− nguyên sơ.
1.6.9 Chú ý. Nếu I là iđêan định nghĩa của vành R. M là R− môđun. Ta
có (M/(I n M )) < ∞.

1.7

Vành và môđun Cohen-Macaulay

Trước hết chúng ta cần một số khái niệm sau đây.
1.7.1 Định nghĩa. Cho R là một vành và M là R−môđun. Phần tử a ∈ R
được gọi là M − chính quy nếu ax = 0 với mọi 0 = x ∈ M . Hay nói cách
khác, a không là ước của 0 trên M .
1.7.2 Ví dụ. M = R = k[x] là vành đa thức 1 biến trên trường k . Khi đó x
là phần tử chính quy trên M .
1.7.3 Định nghĩa. Một dãy các phần tử a1 , a2 , ..., at của R được gọi là dãy
chính quy của M hay M − dãy nếu các điều kiện sau thỏa mãn
(i) a1 là M − chính quy, a2 là M/(a1 M )− chính quy,..., at là M/(a1 , ..., at−1 )M −
chính quy.
(ii) M/(a1 , ..., at )M = 0.
1.7.4 Ví dụ. Một ví dụ cổ điển của dãy chính quy là dãy x1 , ..., xn trong
vành đa thức K[x1 , ..., xn ].


12

Giả sử R là vành Noether và M là R− môđun hữu hạn sinh. Nếu x1 , ..., xn
là dãy chính quy thì chuỗi (x1 ) ⊂ (x1 , x2 ) ⊂ ... ⊂ (x1 , x2 , ..., xn ) tăng ngặt.
Do đó một M − dãy có thể mở rộng thành một dãy cực đại vì R Noether và
do đó chuỗi phải dừng.
1.7.5 Định nghĩa. Cho I ⊆ R là một iđêan. Nếu x1 , ..., xn ∈ I là dãy chính
quy thì x1 , ..., xn được gọi là dãy chính quy cực đại nếu không tồn tại y ∈ I
để {x1 , .., xn , y} là dãy chính quy và n được gọi là độ dài của dãy trên.
Cho R là vành địa phương Noether và M là R− môđun hữu hạn sinh. Khi

đó độ dài của hai dãy M − chính quy cực đại nằm trong iđêan I luôn như
nhau. Do đó ta có định nghĩa sau.
1.7.6 Định nghĩa. Cho (R, m) là vành địa phương Noether. Khi đó độ dài
của dãy chính quy cực đại trong m kí hiệu là depth(m, M ) hay depth(M ) và
được gọi là độ sâu của môđun M .
1.7.7 Chú ý. (i) Nếu x1 , ..., xn là một dãy chính quy của M thì nó cũng là
một phần của hệ tham số của M . Do đó depthM ≤ dimM .
(ii) Tồn tại phần tử M − chính quy khi và chỉ khi m ∈
/ AssM .
Ta có định nghĩa môđun và vành Cohen-Macaulay trong trường hợp R là
vành địa phương Noether như sau.
1.7.8 Định nghĩa. Giả sử (R, m) là vành địa phương Noether và M là R−
môđun hữu hạn sinh. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu depth(M ) =

dimM . Nếu R là môđun Cohen-Macaulay trên chính nó thì ta nói rằng R là
vành Cohen-Macaulay.
Điều gì sẽ xảy ra khi R không phải là vành địa phương?
1.7.9 Định nghĩa. Nếu R là một vành Noether, M là một R− môđun hữu
hạn sinh. Khi đó M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu với mỗi iđêan
cực đại m của A, Mm là môđun Cohen-Macaulay. Một vành Noether R là
Cohen-Macalay nếu nó là môđun Cohen-Macaulay trên chính nó.


13

1.7.10 Ví dụ. (i) Vành đa thức k[x1 , ..., xn ] và vành chuỗi lũy thừa hình
thức k[[x1 , ..., xn ]] là các vành Cohen-Macaulay.
k[x, y, z]
là k[x, y, z]− môđun.
(ii) Cho

(x, y 3 ) ∩ (x2 , y 2 , z 2 )
Ta có AssM = {(x, y), (x, y, z)}, m = (x, y, z) ∈ AssM , do đó theo Chú
ý 1.7.7 (ii) M không có phần tử chính quy, hay depthM = 0.
Mặt khác dimM = max{dimR/p|p ∈ AssM } = 1. Vì vậy M không phải
là môđun Cohen-Macaulay.
1.7.11 Định lí. Cho M là R− môđun Cohen-Macaulay chiều d. Khi đó ta
có
(i) dimR/p = d, ∀p ∈ AssM .
(ii) Nếu {x1 , ..., xi } là một dãy M − chính quy thì M/(x1 , ..., xi )M cũng
là môđun Cohen-Macaulay.
(iii) Mọi hệ tham số của M cũng là một dãy M − chính quy.

1.8

Môđun không trộn lẫn

1.8.1 Định nghĩa. Cho M là một R− môđun Noether chiều d. M được gọi
là không trộn lẫn (sai khác thành phần m− nguyên sơ) nếu ∀p ∈ AssM ,

p = m), ta có dimR/p = d. Nếu ∃p = m, p ∈ AssM sao cho dimR/p = d
thì M được gọi là môđun trộn lẫn.
1.8.2 Ví dụ. (i) Cho

k[[x, y, z]]
là k[[x, y, z]]− môđun.
(x2 , y) ∩ (y 2 , z) ∩ (x4 , y 3 , z 5 )

AssM = {(x, y), (y, z), (x, y, z)} = {p1 , p2 , p3 }
Ta có dimR/p1 = dimR/p2 = dimR/p3 = dim

k[[x, y, z]]
= dimk = 0
(x, y, z)

nên

dimM = max{dimR/p|p ∈ AssM } = 1.
Ở đây m = (x, y, z) ∈ AssM . Vậy ∀p ∈ AssM, p = m, dimR/p = d, do đó

M là môđun không trộn lẫn.


14

(ii) Từ Mệnh đề 1.7.11 (i) ta có môđun Cohen-Macaulay là môđun không
trộn lẫn.


15

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LỌC CHIỀU

2.1

Khái niệm lọc chiều

Giả sử (A, m) kí hiệu là một vành địa phương Noether. Gọi M là một A−
môđun hữu hạn sinh và d = dimA M . Đối với số nguyên 0 ≤ i < d, kí hiệu

Mi là môđun con lớn nhất của M sao cho dimA Mi ≤ i. Vì điều kiện tối đại
của A− môđun Nother nên môđun con Mi của M được xác định. Hơn nữa
suy ra được Mi−1 ⊆ Mi với mọi 1 ≤ i ≤ d.
2.1.1 Định nghĩa. Lọc tăng µ = {Mi }0≤i≤d các môđun con của M được gọi
là lọc chiều của M . Đặt µi = Mi /Mi−1 với mọi 1 ≤ i ≤ d.
0
0
(.) biểu
(M ) trong đó Hm
Sự phân tích nguyên sơ. Lưu ý rằng M0 = Hm

thị phần hàm tử đối đồng điều địa phương thứ 0 với giá m.
n

Giả sử 0 =

Nj là biểu thị sự phân tích nguyên sơ rút gọn của 0 trong
j=1
n

M . Khi đó, 0 =

Nj với mọi k = 1, ..., n và Nj là một pj môđun con
j=1,j=k

nguyên sơ của M , như vậy iđêan nguyên tố của pj khác nhau từng đôi một
và AssA M = {p1 , ..., pn }. Do đó, M0 = ∩dimA/pj >0 Nj .
Cả hai biểu diễn tổng quát này của M0 sẽ tổng quát cho Mi , 0 ≤ i ≤ d
sau đây.

Iđêan linh hóa tử. Đặt

ai = Πp∈AssM,dimA/p≤i p
Trong trường hợp đó {p ∈ AssM |dimA/p ≤ i} = ∅. Đặt ai = A.


16

2.1.2 Mệnh đề. Cho M là một A− môđun hữu hạn sinh. Khi đó,

Mi = Ha0i (M ) = ∩dimA/pj >i Nj
n

Với mọi 0 ≤ i ≤ d, với 0 =

Nj biểu thị sự phân tích nguyên sơ rút gọn
j=1

của 0 trong M .
Chứng minh. Đẳng thức của hai môđun con cuối cùng trong mệnh đề lập
luận dễ dàng về sự phân tích nguyên sơ của môđun con 0 của M . Bây giờ
chúng ta sẽ chứng minh rằng Mi = Ha0i (M ) với mọi 0 ≤ i ≤ d. Rõ ràng ta có

SuppHa0i (M ) = SuppM ∩ V (ai ).
Từ đó ta có M1 ⊆ Ha0i (M ) vì bất kì phần tử nào của Mi đều là linh hoán tử
của iđêan có chiều ≤ i. Từ tính cực đại của Mi chứng tỏ sự bằng nhau.
Kết quả trên cung cấp một sự phân loại của những iđêan nguyên tố liên
kết của M theo các Mi và µi tương ứng.
2.1.3 Hệ quả. Giả sử M = {Mi }0≤i≤d là lọc chiều của M , khi đó
a) AssA Mi = {p ∈ AssM |dimA/p ≤ i}.

b) AssA M/Mi = {p ∈ AssM |dimA/p > i}.
c) AssA µi = {p ∈ AssM |dimA/p = i}. Với mọi 0 ≤ i ≤ d.
Chứng minh. Hai đẳng thức đầu tiên rõ ràng là đúng theo Mệnh đề 2.1.2, lưu
ý rằng

AssA Ha0i (M ) = {p ∈ AssM |p ∈ V (ai )}.
Đẳng thức thứ 3 là hệ quả của sự nhúng µi ⊆ M/Mi−1 và dãy khớp ngắn

0 → Mi−1 → Mi → µi → 0.
Ở đây chúng ta sử dụng quan hệ bao hàm

AssA Mi ⊆ AssA Mi−1 ∪ AssA µi
đối với những iđêan nguyên tố liên kết của các môđun tương ứng.


17

Nhận xét. Theo nghĩa nào đó, thương số µi , 0 ≤ i ≤ d của lọc chiều

µ = {Mi }0≤i≤d của M là thước đo cho tính không trộn lẫn của M .
Lưu ý rằng, các A− môđun M là không trộn lẫn nếu

dimA/p = dimA M với mọi p ∈ AssA M
Trong trường hợp này µi = 0 với mọi i < dimA M = d và Md = M . Vì
vậy, lọc là rời rạc trong trường hợp M là không trộn lẫn.
Tổng quá hơn, giả sử µ = {Mi }0≤i≤d là lọc chiều của M . Khi đó, Mi = 0
với mọi i ≤ depthA M . Điều này được suy ra từ Hệ quả 2.1.3 và từ

depthA M ≤ dimA/p với mọi p ∈ AssA M
xem [6, Định lý 17.2] cho bất đẳng thức này.

Ta có tính chất cơ bản sau:
2.1.4 Mệnh đề. Gọi µ = {Mi }0≤i≤d là lọc chiều của A− môđun M hữu
hạn sinh. Giả sử rằng, SuppA M là tập hợp con catenary của SpecA. Đặt

p ∈ SuppM biểu thị một iđêan nguyên tố. Định nghĩa
Mi = Mi+dimA/p ⊗A Ap với mọi 0 ≤ i ≤ dimAp Mp = t
Khi đó, µ = {Mi }0≤i≤t là chiều lọc chiều của Ap − môđun Mp .
Chứng minh. Đầu tiên chúng ta nhắc đến ràng buộc

dimA Mi ≤ (i + dimA/p) − dimA/p = i
với mọi i ∈ Z. Tiếp theo chúng ta nhớ lại mệnh đề sau về các iđêan nguyên
tố liên kết

AssAp Mp = {qAp |q ∈ AssA M, q ⊆ p}
n

xem [6, Định lý 6.2]. Bây giờ giả sử 0 =

Nj là một phân tích nguyên sơ rút
j=1

gọn của 0 trong M , trong đó Nj là qj − nguyên sơ. Giả sử rằng, qj ⊆ p với mọi
n

j = 1, ..., m và qj

Nj (Nj ⊗A Ap )

p với mọi j = m + 1, ..., m. Khi đó 0 =
j=1

18

là sự phân tích nguyên sơ rút gọn của 0 trong Mp như là một Ap − môđun.
Khi đó, từ Mệnh đề 2.1.2 dẫn đến

(Mp )i = ∩dimAp /qj Ap >1 (Nj ⊗A Ap ).
Hơn nữa theo địa phương hóa của Mi+dimA/p ta có đẳng thức sau

Mi = ∩dimA/qj >i+dimA/p (Nj ⊗A Ap ).
Vì SuppA M được coi như là tập hợp con catenary của SpecA, ta có

dimA/qj = dimA/p + dimAp /qj Ap .
Đầu tiên ta chứng minh rằng, d = t + dimA/p. Theo mệnh đề trên về
iđêan nguyên tố liên kết cho thấy Mi = (Mp )i với mọi 0 ≤ i ≤ t, như yêu
cầu.
Tiếp theo ta xét sự thay đổi khái niệm của hệ tham số của A− môđun M .
Đó là hệ tham số phân biệt.
2.1.5 Định nghĩa. Giả sử x = x1 , ..., xd , d = dimA M là một hệ tham số của

M . Khi đó x = x1 , ..., xd được gọi là hệ tham số phân biệt của M nếu
(xi+1 , ..., xd )Mi = 0 với mọi i = 0, ..., d − 1.
Kết quả tiếp theo chứng minh sự tồn tại của hệ tham số phân biệt của A−
môđun M .
2.1.6 Bổ đề. Bất kì A− môđun M hữu hạn sinh đều có một hệ tham số
phân biệt.
Chứng minh. Đầu tiên chúng ta chỉ ra sự tồn tại của tham số xd của M sao
cho xd Mi = 0 với mọi i = 0, ..., d − 1. Cuối cùng lưu ý dimA Mi ≤ i ≤ d với
mọi i = 0, ..., d − 1.

d−1

Đặt b =

AnnA Mi . Khi đó b

p với mọi iđêan nguyên tố liên kết

i=0

p ∈ AssA M với dimA/p = d. Do đó có một phần tử xd ∈ b và xd ∈
/ p với
mọi p ∈ AssA M với dimA/p = d. Từ xd là tham số với những tính chất yêu


19

cầu. Bây giờ chuyển qua môđun thương M/xd M và chọn một tham số xd−1
của M/xd M sao cho xd−1 Mi = 0 với mọi i = 0, ..., d − 2.
Sau đó, dùng quy nạp để chứng minh.
Nó chỉ ra rằng bất kì x = x1 , ..., xd là hệ tham số phân biệt của M , các
phần tử x1 , ..., xi sinh ra một iđêan định nghĩa µi . Điều này được suy ra từ

Mi /xMi là một A− môđun có độ dài hữu hạn. Vì vậy, bất cứ khi nào µi = 0,
thì x1 , ..., xi là hệ các tham số của µi .
2.1.7 Bổ đề. Một hệ tham số x = x1 , ..., xd của M là hệ tham số phân biệt
nếu và chỉ nếu Mi = 0 :M (xi+1 , ..., xd ) với mọi i = 0, ..., d − 1.
Chứng minh. Cho x = x1 , ..., xd là một hệ tham số của M sao cho

Mi = 0 :M (xi+1 , ..., xd ) với mọi i = 0, ..., d − 1.

Khi đó, (xi+1 , ..., xd )Mi = 0, nghĩa là x là một hệ tham số phân biệt.
Ngược lại, giả sử x là một hệ tham số phân biệt, khi đó

Mi ⊆ 0 :M (xi+1 , ..., xd ) với mọi i = 0, ..., d − 1
được suy ra từ định nghĩa. Hơn nữa ta có biểu thức sau đây về iđêan nguyên
tố liên kết

AssA (0 :M (xi+1 , ..., xd )) = {p ∈ AssA M |p ∈ V (xi+1 , ..., xd )}
Giả sử kí hiệu p là một iđêan nguyên tố liên kết của 0 :M (xi+1 , ..., xd ).
Khi đó ta có được

p ∈ SuppA M/(xi+1 , ..., xd )M và dimA/p ≤ d − (d − i) = i.
Có nghĩa là dimA (0 :M (xi+1 , ..., xd )) ≤ i. Do tính cực đại của M ta có
đẳng thức Mi = 0 :M (xi+1 , ..., xd ).


20

2.2

Môđun lọc Cohen-Macaulay

Giả sử (A, m) là vành địa phương Nother. Giả sử M là một A− môđun
hữu hạn sinh. Gọi µ = {Mi }0≤i≤d là lọc chiều của M .
2.2.1 Định nghĩa. Một A− môđun hữu hạn sinh được gọi là môđun lọc
Cohen-Macaulay (theo [7]) (hoặc môđun Cohen-Macaulay dãy). Khi µi =

Mi /Mi−1 hoặc là môđun không hoặc môđun Cohen-Macaulay i− chiều với
mọi 0 ≤ i ≤ dimA M .
Lưu ý rằng một môđun Cohen-Macaulay tùy ý là một môđun lọc CohenMacaulay. Vì khi đó Mi = 0 với mọi i < dimA M . Ngược lại một môđun lọc

Cohen-Macaulay không trộn lẫn là môđun cohen-Macaulay. Giả sử M là A−
môđun sao cho depthA M = 0 và M/Hm0 (M ) là môđun Cohen-Macaulay. Khi
đó M là một môđun lọc Cohen-Macaulay.
2.2.2 Định nghĩa. Giả sử M là một A− môđun hữu hạn sinh với d =

dimA M , một dãy lọc tăng C = {Ci }0≤i≤d của M được gọi là lọc CohenMacaulay khi M = Cd , d = dimA M và Ci = Ci /Ci−1 hoặc là môđun không
hoặc là một môđun Cohen-Macaulay i− chiều với mọi 1 ≤ i ≤ d.
2.2.3 Mệnh đề. Giả sử C = {Ci }0≤i≤d là lọc Cohen-Macaulay của M . Khi
đó C trùng với lọc chiều của M .
Xem [8].
Tiếp theo chúng ta có khái niệm môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay:
n

Giả sử 0 =

Nj là sự phân tích nguyên sơ rút gọn.
j=1

Đặt uM (0) = ∩dimA/pj =d Nj .
2.2.4 Định nghĩa. Một A− môđun hữu hạn sinh M , với d = dimA M
được gọi là một môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay khi M/uM (0) là một môđun
Cohen-Macaulay và depthA M ≥ d − 1.
Đây là phần mở rộng của khái niệm về vành xấp xỉ Cohen-Macaulay được
đưa ra bởi S.Goto, xem [4]. Lưu ý rằng một môđun Cohen-Macaulay luôn


21

là một xấp xỉ Cohen-Macaulay. Tiếp theo chúng ta mô tả mối quan hệ giữa
khái niệm này với khái niệm môđun lọc Cohen-Macaulay.

2.2.5 Mệnh đề. Gọi M là một A− môđun hữu hạn sinh. Khi đó M là
xấp xỉ Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M là môđun lọc Cohen-Macaulay và

depthA M ≥ dimA M − 1.
Chứng minh. Đầu tiên ta gọi M là một môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay, đặt

d = dimA M . Theo [5, Định lý 17.2], suy ra rằng
d − 1 ≤ depthA M ≤ dimA/p với mọi p ∈ AssA M .
Vì thế Mi = 0 với i = 0, ..., d − 2 và Md−1 = uM (0) xem Mệnh đề 2.1.4.
Bây giờ ta xét dãy khớp ngắn

0 → Md−1 → M → M/Md−1 → 0.
Vì M là môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay ta suy ra M/Md−1 là môđun
Cohen-Macaulay d− chiều và depthA M ≥ d − 1. Cho nên từ dãy khớp ngắn
suy ra depthA Md−1 ≥ d − 1. Vì dimA Md−1 ≤ d − 1 nó chỉ ra rằng Md−1 hoặc
là môđun không hoặc là môđun Cohen-Macaulay (d − 1)− chiều.
Chiều ngược lại cũng lý luận tương tự.
Sau đây là một số đặc trưng về hệ tham số.
2.2.6 Bổ đề. Giả sử µ = {Mi }0≤i≤d là lọc chiều của M . Khi đó
d

LA (M/xM ) ≤

LA (µi /(x1 , ..., xi )µi )
i=0

đối với hệ tham số phân biệt tùy ý x = x1 , ..., xd , d = dimA M của M .
Chứng minh. Với 1 ≤ i ≤ d ta xét dãy khớp ngắn sau

0 → Md−1 → Mi → µi → 0.

Tenxơ nó với A/(x1 , ..., xd )A. Do xi Mi−1 = 0, 1 ≤ i ≤ d ta được dãy khớp

Mi−1 /(x1 , ..., xi−1 )Mi−1 → Mi /(x1 , ..., xi )Mi → µi /(x1 , ..., xi )µi → 0.


22

Vì x là hệ tham số phân biệt của M , các phần tử x1 , ..., xi sinh ra iđêan định
nghĩa của Mi . Có nghĩa là các A− môđun

Mi /(x1 , ..., xi )Mi và µi /(x1 , ..., xi )µi , i = 0, ..., d,
là các A− môđun có độ dài hữu hạn. Khi đó

LA (Mi /(x1 , ..., xi )Mi ) ≤ LA (Mi−1 /(x1 , ..., xi )Mi−1 ) + LA (µi /(x1 , ..., xi )µi )
với mọi i = 1, ..., d. Vì M = Md ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Lưu ý rằng bất đẳng thức của Bổ đề 2.2.6 luôn đúng với hệ tham số tùy ý

x = x1 , ..., xd của M . Tuy nhiên trong trường hợp này nó có thể xảy ra rằng
môđun ở vế phải không có độ dài hữu hạn. Trong trường hợp này sự đánh
giá tầm thường.
2.2.7 Bổ đề. Giả sử µ = {Mi }0≤i≤d là lọc chiều của một A− môđun hữu
hạn sinh M với d = dimA M và t = depthA M . Đặt x = x1 , ..., xd là một hệ
tham số phân biệt.
Giả sử M là một môđun lọc Cohen-Macaulay, khi đó các điều kiện sau đây
thỏa mãn:

d

a) LA (M/(x1 , ..., xd )M ) =

LA (µi /(x1 , ..., xi )µi );
i=0

b) M/(x1 , ..., xd−1 )M là một môđun Cohen-Macaulay t− chiều.
Ngược lại vẫn đúng, có nghĩa là điều kiện a) và b) kéo theo M là một
môđun lọc Cohen-Macaulay nếu depthA M ≥ d − 1.
Một phần kết quả là sự tổng quát của [4, Bổ đề 2.1] cho sự đặc trưng của
môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay.
2.2.8 Mệnh đề. Cho M là A− môđun hữu hạn sinh với d = dimA M . Với

r ∈ N là một số nguyên. Giả sử rằng, một phần tử x ∈ m thỏa mãn hai điều
kiện sau:
a) M/xr+1 M là một môđun Cohen-Macaulay (d − 1)− chiều.
b) 0 :M xr = 0 :M xr+1 .


23

Khi đó, depthA M ≥ d − 1 và M là một môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay với

Md−1 = 0 :M xr .
Chứng minh. Đặt N := 0 :M xr = 0 :M xr+1 . Trước hết ta có depthA M/xr M ≥

d − 1. Thật vậy, giả sử ngược lại, nghĩa là depthA M/xr M := t < d − 1. Khi
đó ta có dãy khớp ngắn:

0 → M/(xM/N ) → M/xr+1 M → M/xr M → 0.
Có nghĩa là depthA M/(xM, N ) = t + 1. Vì x là một phần tử M/N − chính
quy, suy ra

depthA M/N = t + 2 và depthA M/(xs M, N ) = t + 1 với mọi s ≥ 1.
Vì vậy ta có dãy khớp ngắn sau

0 → N → M/xs M → M/(xs M, N ) → 0
Xét s = r + 1 với depthA N = t + 2. Sau đó ta xét dãy tương tự cho trường
hợp s = r ta có depthA M/xr M ≥ t + 1, mâu thuẫn.
Vì vậy, M/xr M là một môđun Cohen-Macaulay (d − 1)− chiều. Ta chứng
minh được dãy khớp ngắn trên M/(xs M, N ) là một môđun Cohen-Macaulay
và vì vậy M/N cũng là môđun Cohen-Macaulay.
Hơn nữa theo dãy khớp trước đã được xét với s = r chứng minh rằng N là
môđun Cohen-Macaulay có chiều d − 1. Theo Mệnh đề 2.1.4 ta có điều phải
chứng minh.