SKKN xây dựng được một cách giải các bài tập vật lý không rời rạc

I – ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lý do chọn đề tài
Khi làm các bài tập vật lý chúng ta sẽ gặp một kiểu bài toán khó không có
công thức tường minh. Nếu dùng các công thức cơ bản quen thuộc thì không thể
giải được. Ví dụ như bài toán tính công của lực ma sát khi vật chuyển động trên
cung tròn. Bài toán tính lực từ tác dụng lên một đoạn dây không thẳng mang
dòng điện đặt trong từ trường, bài toán tính điện trường do nửa vòng tròn mang
dòng điện gây ra tại tâm vòng tròn đó…
Muốn giải đầy đủ, dứt điểm bài toán thì chúng ta cần tới phương pháp
tính tích phân, mà ở lớp 10, lớp 11 học sinh chưa có công cụ tích phân để giải
do đó khi gặp dạng bài tập này học sinh thường lúng túng thậm chí mơ hồ,
không biết hướng giải quyết tìm ra đáp số.
Để giải quyết được những khó khăn trên tôi nêu ra phương pháp giải
bằng cách chia nhỏ vật thành các đoạn vi phân, từ đó áp dụng các công thức
quen thuộc đã học. Sau đó tính tổng của các đoạn chia nhỏ ta sẽ được kết quả
cuối cùng của bài toán.
1.2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu là các bài tập vật lý không rời rạc với phạm vi các
bài tập cơ, nhiệt, điện không có công thức tường minh vì các đại lượng vật lý
trên biến thiên một cách liên tục.
1.3. Giả thiết khoa học của đề tài:
Khi tính các đại lượng vật lý bằng tổng các đại lượng vật lý khác phân bố
một cách rời rạc. Nếu là đại lượng véc tơ thì ta dùng biểu thức cộng véc tơ

  

A = A1 + A2 + ... + An . Nếu là biểu thức đại số ta dùng cách tính tổng đại số

A=A1+A2+…+ An. Giả thiết nếu các đại lượng trên biến thiên một cách liên tục
thì ta có thể chia nhỏ chúng tạo thành các đại lượng ∆ Ai rời rạc sau đó tính tổng
được không? Giải quyết được vấn đề này thì chúng ta sẽ hoàn thiện được một

phương pháp mới trong giải toán Vật lý.
Phương pháp giải bằng cách chia nhỏ vật thành các đoạn vi phân giúp
học sinh có kỹ năng giải bài tập vật lý một cách hoàn thiện. Sau khi truyền đạt
cho học sinh kiến thức trong đề tài tôi thấy học sinh có cách nhìn tổng quát,
hiểu sâu vấn đề đang nghiên cứu và tự tin giải bài tập.
1


1.4. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu: Đề tài này xây dựng cho học
sinh một phương pháp giải toán Vật lý bằng cách chia các đại lượng thành các
đoạn vi phân, xây dựng một hệ thống bài tập giải bằng phương pháp trên từ đó
nêu kết luận và đề xuất hướng nghiên cứu chuyên sâu.
1.5. Phương pháp nghiên cứu: Để thực hiện được mục tiêu và nhiệm vụ
nêu trên trong quá trình hoàn thiện đề tài tôi đã áp dụng chủ yếu các phương
pháp sau: Phương pháp điều tra các số liệu và các bài tập liên quan trong SGK,
trong sách tham khảo, điều tra kiến thức kỹ năng làm bài tập dạng này của học
sinh, điều tra những đề tài mà các tác giả khác đã nói về vấn đề này và mức độ
khai thác đến đâu sau đó dùng phương pháp phân tích và tổng hợp kiểm tra và
đánh giá phỏng vấn và đàm thoại (lấy ý kiến của đồng nghiệp và học sinh)
nhằm hoàn thiện đề tài.
1.6. Tính mới của đề tài: Đề tài xây dựng được một cách giải các bài tập
Vật lý không rời rạc, tuy các bài tập này đâu đó đã xuất hiện trong các sách
tham khảo nhưng chưa ai xây dựng tạo thành một hệ thống phương pháp giải
bài tập. Đề tài xây dựng trên cơ sở của lý thuyết vi phân, tích phân. Đây thực sự
là một tài liệu bổ ích phục vụ cho giảng dạy và học tập ở trường phổ thông cũng
như tạo điều kiện để học sinh có kiến thức vững chắc sau này học cao hơn.
Phương pháp giải toán dạng này thường dành cho các em khá giỏi. Tuy
vậy đề tài cần được nghiên cứu sâu hơn vì nội dung đề tài mới chỉ đưa ra các
dạng bài toán hay gặp trong các kỳ thi mà chưa thực sự đi sâu vào nghiên cứu
kỹ phương pháp tích phân trong giải toán. Mong rằng đề tài sẽ đóng góp một

phương pháp giải toán bổ ích cho các em học sinh và cho các bạn yêu thích môn
Vật lý.
II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. Cơ sở lý thuyết:
a. Nguyên tắc chung: Để xác định đại lượng vật lý A ta chia A ra một số
rất lớn các đại lượng vô cùng nhỏ bằng phép phân hoạch:
A = a1 + a2+ … + an
Xét đại lượng vô cùng bé ai. ai biểu diễn qua một biến số x theo dạng
ai = f(x) ∆x (trong đó ∆x = ai+1 – ai)
A=

∑a

i

=

∑ f ( x)∆x . Tính tổng trên ta được đại lượng A cần tìm
2


b

Đại lượng A được tính bằng phép tích phân A =

∫ f ( x)dx
a

b. Tình hình thực tiễn và thực trạng của vấn đề
Khi giải bài tập vật lý đa số học sinh dùng công thức tường minh đã biết

trong SGK, trong quá trình giảng dạy tôi đã cho học sinh làm hai ví dụ sau
Ví dụ 1: Tính cường độ điện trường do hai điện tích điểm tích điện dương
q1= q2=q đặt tại hai điểm A và B trong chân không cách nhau một đoạn a gây ra
tại một điểm M nằm trên đường trung trực của AB cách AB một đoạn h.
Với bài toán này học sinh dùng công thức tính cường độ điện trường E =
kq
từ đó tính được các thành phần điện trường do E 1, E2 ,sau đó dùng công thức
r2
  
tổng véc tơ E = E1 + E 2 tìm được điện trường do 2 điện tích đó gây ra tại M. Đa

số học sinh làm được bài tập này nhưng khi đến ví dụ 2:
Ví dụ 2: Yêu cầu học sinh tính cường độ điện trường do một vòng dây
tích điện đều gây ra tại một điểm M trên trục đi qua tâm và vuông góc với mặt
phẳng chứa vòng tròn thì đa số học sinh không hình dung ra cách giải .
Quá trình kiểm tra lớp 11A1 và 11A2 về hai bài trên ta thu được bảng số
liệu
Lớp

Số
lượng

Số học sinh giải
đúng

Số học sinh giải
sai

Số học sinh chưa
có cách giải

Câu1

Câu2

Câu1

Câu2

Câu1

Câu2

Lớp 11A1

45

33/45

1/45

7/45

4/45

5/45

40/45

Lớp 11A2

46

32/46

0/46

9/45

3/46

5/45

43/46

Với tình trạng trên buộc giáo viên phải hướng dẫn đưa ra cách giải quyết
bài bài tâp ví dụ hai bằng cách chia vòng tròn thành các đoạn vi phân. Khi đã
được truyền thụ kiến thức này thì đa số học sinh hiểu và làm bài tốt vì vậy
phương pháp chia đại lượng vật lý thành các đoạn vi phân giúp học sinh có tư
duy sáng tạo, rèn luyện kỹ năng giải bài tập rất cần thiết cho việc dạy học sinh
khá giỏi.

Từ đó tôi có ý tưởng viết thành một đề tài về phương pháp này
3


2.2 cách giải chung :
Khi gặp dạng bài tập vật lý mà có các đại lượng biến thiên một cách liên
tục ta có cách giải tổng quát theo 4 bước như sau :
Bước 1: chia các đại lượng vật lý thành các phần vô cùng bé và xác định

những giá trị cần thiết như( khối lượng,điện tích,vv…) cho các phần rất nhỏ nói
trên
Bước 2: áp dụng các công thức đã học tính các đại lượng cần thiết (như
lực, công, cường độ điện trường, quảng đường vv…)do mỗi thành phần vô cùng
nhỏ gây nên
Bước 3: nếu là đại lượng véc tơ thì ta lấy tổng véc tơ tất cả các giá trị
vừa tính được ở bước 2( chú ý :thường ta xét trên hai phương vuông góc nhau
vì một phương các véc tơ thành phần triệt tiêu nhau nên chỉ cần tính tổng trên
một phương còn lại) nếu là đại lượng vô hướng ta dùng tổng đại số tính các giá
trị cần thiết theo yêu cầu bài ra
Bước 4 : tính toán rút gọn và đưa ra kêt quả cuối cùng
2.3. Một số ví dụ điển hình trong sách giáo khoa:
Xuất phát từ cách tính công của trọng lực (SGK nâng cao 10) để xây
dựng biểu thức thế năng của vật chuyển động trong trọng trường ta đi đến ví dụ:
Câu 1: Một vật có khối lượng m được coi như một chất điểm di chuyển
từ điểm B có độ cao ZB đến điểm C có độ cao Zc so với mặt đất hãy tính công
do trọng lực tác dụng lên vật thực hiện trong dịch chuyển từ B đến C
Giải:
Z
ZB

B

C

ZC

X

O

4


Trên đoạn đường BC ta chia thành các đoạn ∆ S rất nhỏ ta có: ∆ Scos α = ∆ Z
Công của trọng lực trên đoạn ∆ S là:
∆ A = p ∆ Scos α = p. ∆ Z . Công của trọng lực trên đoạn BC

ABC = ∑ ∆A = P ∑ ∆Z = P.( Z B − Z C ) ⇒

ABC = mg( Z B − Z C )

Một cách tính hoàn toàn tương tự để tìm công thức đường đi trong
chuyển động thẳng biến đổi đều.
Câu 2: Cho chuyển động thẳng biến đổi đều theo công thức vận tốc:
v=v0+at. Xác định quảng đường vật đi được trong thời gian t
Giải:
Theo bài ra ta có đồ thị vận tốc thời gian:
Xét một khoảng thời gian ∆ t rất bé
ta coi như trong thời gian đó vận tốc
không thay đổi v = vB. Quảng đường vật

C
p
v =
k
v

đi trong thời gian ∆ t là ∆ s = vB . ∆ t. bằng

vB C

điện tích phần gạch chéo trong hình vẽ.
Tổng quảng đường vật đi được trong thời
gian t là:

vo

C

S = ∑ ∆S = diện tích hình thang OV0CT.
O
v +v

0
S =  2 t =

v0 + v0 + at
at 2
.t = v 0 t +
2
2

t
;S

at 2

= v0t + 2

là công thức tính đường đi của vật cần tìm.
Với phương pháp trên SGK Vật lý nâng cao 10 đưa ra cách tìm thế năng
đàn hồi khi vật chịu tác dụng của lực đàn hồi (F = -kx), xét câu 3 như sau:
Câu 3: Xét một con lắc lò xo gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m gắn ở
đầu một lò xo nằm ngang, đầu kia được giữ cố định. Xác định công do lực đàn
hồi thực hiện khi đầu lò xo di chuyển tại vị trí x1 đến vị trí x2 . Từ đó xây dựng
công thức tính thế năng đàn hồi.
Giải:

5

t


Từ bài ra ta có đồ thị biểu diễn lực
theo độ dịch chuyển x

|F|

Ta chia đoạn nhỏ ∆ x để xem
như lực đàn hồi coi như không đổi.

F=kx

kx2

Công do lực đàn hồi thực hiện
trên đoạn ∆ x có giá trị là:

C

p=
kv
C

kx

∆ A = F ∆ x = -kx. ∆ x độ lớn

kx1

công này được biểu diễn bằng phần
gạch chéo trên hình vẽ. Công của lực
đàn hồi trên đoạn x1 đến x2

B

x1

O

x2

kx x 
 kx x
A12 = ∑ ∆A = − 2 2 − 1 1 
2 
 2

Độ lớn công này được tính bằng diện tích hình thang x1 BCx2 .
2

kx1
kx 2 2
A12 =
−
2
2

thế năng đàn hồi

Wt =

kx 2
2

2.4. Bài toán tính lực hấp dẫn và cường độ điện trường tác dụng lên
một vật nằm trên trục đi qua tâm vòng tròn và vuông góc với đường tròn
đó:
Để giải dạng bài toán này ta xét hai đoạn ∆s1 và ∆s2 nằm trên vòng tròn
và đối xứng với nhau qua trục biểu diễn véc tơ lực hấp dẫn hoặc véc tơ cường
độ điện trường tại điểm tính. Chỉ thành phần theo trục tồn tại còn các thành
phần vuông góc với trục triệt tiêu lẫn nhau. Tính một thành phần theo trục và
lấy tổng ta được kết quả cần tìm.
Câu 4: Một vòng tròn khối lượng m bán kính R tác dụng một lực hấp dẫn
bằng bao nhiêu vào vật khối lượng m đặt tại một điểm trên trục đi qua tâm vòng
tròn và vuông góc với mặt phẳng chứa vòng tròn. Điểm M cách tâm O vòng
tròn một đoạn h.

Giải:
6

R
h

O

Chia
thành

vòng tròn
các đoạn ∆ S vô cùng nhỏ
Xét hai phần tử ∆ S đối xứng nhau qua tâm O của vòng tròn:
Khối lượng mỗi phần tử đó là: ∆ M =

M
G∆M .m
∆l , F1 = 2
= F2 = ∆ F
l
h + h2

Các thành phần lực vuông góc Ox triệt trên lẫn nhau còn lại các thành
phần lực trên phương Ox
∆ F x = ∆ F.cosα = ∆ F.

h
R

G∆Mm

h

, ∆ F x = ( R2 + h2 ) . 2 2 =
R +h

G∆Mmh
(R 2 + h 2 )3

Tổng hợp

lực tác dụng lên điểm có khối lượng m
F

x

= ∑ ∆F

x

GMmh

= (R 2 + h 2 )3

∑ ∆l
.
L

=

GMmh
(R 2 + h 2 )3

Nếu xét vòng tròn trên tích điện ta lại có bài toán tính cường độ điện
trường trên trục tại điểm M đi qua tâm vòng tròn và vuông góc với vòng tròn đó
như sau:
Câu 5: Cho vòng tròn tích điện đều (Q>0) tính cường độ điện trường do
vòng tròn đó gây ra tại một điểm M trên trục đi qua tâm vòng tròn vuông góc
với mặt phẳng chứa vòng tròn, M cách tâm vòng tròn một đoạn h
Giải:
Xét hai phần tử sợi dây ∆ l 1 và ∆ l 2 đối xứng với nhau qua tâm O . Điện
tích mỗi phần tử:

7


∆ Q = Q 1 = Q 2 = Q.



∆l
ta có E1 và E2 do Q 1 và Q 2 gây ra tại M được
L

biểu diễn như hình vẽ

1

h
O

R

KQ∆l
K∆Q
Độ lớn cường độ điện trường đó: ∆ E 1 = ∆ E 2 = 2 2 = L( R 2 + h 2 )
R +h

Các thành phần theo phương vuông góc với phương Ox triệt tiêu lẫn nhau
chỉ còn lại thành phần theo Ox
KQ∆l
h
.
∆ E x = ∆ E 1x = ∆ E 2 x = ∆ E 1 cosα =
2
2
L( R + h ) R 2 + h 2

E=

∑ ∆E

x

=

KQh
L (R + h )
2

2 3

∑ ∆l

=

KQh
(R + h )
2

2 3

Đáp số: E =

KQh
(R 2 + h 2 )3

2.5. Bài toán xác định lực hấp dẫn, cường độ điện trường tại tâm của
nửa đường tròn.
Khi gặp loại toán này ta vẽ trục đối xứng của nửa vòng tròn và giải tương
tự như đối với vòng tròn, tính các thành phần theo trục đối xứng (các thành
phần vuông góc với trục triệt tiêu nhau) lấy tổng các thành phần trên để tìm ra
kết quả:
Câu 6: Nửa vòng tròn tích điện đều (Q>0); bán kính R. Tìm cường độ
điện trường do nửa vòng tròn đó gây ra tại tâm O của vòng tròn.

Giải:
8

'
Chọn hai phần tử vô cùng bé ∆ l 1 và ∆ l 2 đối xứng với nhau qua Ox các

vectơ cường độ điện trường do hai phần tử này gây ra tại O được minh họa như
hình vẽ.

Các

thành
trường
vuông
tiêu lẫn
thành

phần
điện
theo
phương
góc với Ox triệt
nhau còn lại các
phần điện trường theo phương Ox
∆ E1 = ∆ E 2 =

E=

∑ ∆E

x

=

K∆Q
với ∆ Q =
R2
KQ
LR 2

∑ ∆S cos α

=

Q∆S
K∆Q
; ∆ E 1x = ∆ E 2 x = ∆ E x =
cos
L
R2
KQ
LR 2

∑ ∆h

KQ.2 R
2 KQ
⇒ E = KQ.22 R =
=
2
LR
πR.R
πR 2

Đáp số: E =

2 KQ
πR 2

* với cánh giải tương tự như câu 6 ta tính được lực hấp dẫn do nửa vòng
tròn tác dụng lên một vật đặt tại tâm vòng tròn đó
Câu 7: Cho nửa vòng tròn khối lượng m phân bố đều bán kính R. Tìm
lực hấp dẫn cho nửa vòng tròn trên tác dụng vào vật khối lượng m đặt tại tâm vòng
tròn
Giải:
Chia nhỏ nửa vòng tròn thành các đoạn
∆ l vô cùng bé
Chọn hai phần tử vô cùng bé ∆ l 1 , ∆ l 2
đối xứng với nhau qua trục Ox

9


∆ m = ∆ m1 = ∆ m 2 =

m∆l
G.m.∆m
GMm.∆l
, ∆ F = ∆ F1 = ∆ F 2 =
=
2
L
R

LR 2

Tương tự ∆ F x = ∆ F.cosα
∆ F x = ∆ F 1x = ∆ F 2 x =

F =

∑ ∆F

x

Đáp số:

=

GMm
LR 2

F=

GM .m.∆S . cos α
GMm∆R
=
2
LR 2
LR

∑ ∆R

=

GMm.2 R
LR 2

⇒ F = 2GMm
ΠR 2

2GMm
ΠR 2

*Nếu đoạn dây trên mang dòng điện đặt trong từ trường thì ta đi đến bài
toán xác định lực từ tác dụng lên nửa vòng dây:
Câu 8: Cho nửa vòng tròn bán kính R. mang dòng điện I chạy qua đặt


trong từ trường có véc tơ cảm ứng từ B vuông góc với mặt phẳng vòng tròn tìm
lực từ tác dụng lên đoạn dây đó.
( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh)
Giải:
Do đoạn dây không thẳng nên chúng ta
không thể trực tiếp áp dụng được công thức tính
lực
từ mà phải chia nửa vòng dây ra thành từng đoạn
nhỏ ∆ S.
∆ F = ∆ F1 = ∆ F2 = BI ∆l các thành phần lực theo

phương vuông góc với Ox triệt tiêu lẫn nhau chỉ
có thành phần lực theo phương Ox.
∆ Fx = ∆ F1x = ∆ F2x = ∆ F.cosα = BI ∆l cosα

F=

∑ ∆F

x

= BI ∑ ∆l. cos α = BI ∑ ∆R = 2BIR.

ĐS: F= 2BIR

- Mở rộng dạng toán này cho các đoạn dây có dạng đối xứng mang dòng
điện đặt trong từ trường.
Câu 9: Cho đoạn dây uốn theo một đường Parabol y = ax2

10


(ĐK: - 2 ≤ x ≤ 2, x tính bằng mét) mang dòng điện I đặt trong một từ

trường đều cảm ứng từ B vuông góc với mặt phẳng xOy xác định lực từ tác
dụng lên đoạn dây đó
Giải
Theo bài ra ta vẽ hình dạng sợi dây:
Xét hai đoạn dây ∆ l1 và ∆ l2 vô cùng
bé nằm đối xứng nhau qua Oy

-2

-1

O

1

2

∆ F = F1 = F2 = BI ∆ l các thành phần

theo phương Ox triệt tiêu lẫn nhau. Chỉ có
thành phần theo phương Oy độ lớn lực từ
Fx = ∆ F1 cosα = BI ∆ lcosα = BI ∆ x
⇒F =

∑ ∆F

x

= BI.4
Đáp số: F = 4BI

2.6. Bài toán tính công của lực ma
sát trên cung tròn
Để xác định công của lực ma sát tác
dụng lên vật chuyển động trên một cung
tròn ta xét các đoạn ∆s rất bé sau đó áp
dụng biểu thức tính công ∆ A=F ∆ Scos α từ
đó tính tổng công của lực trên cả đoạn đường ta được kết quả cần tìm.
Câu 10: Một vật nhỏ khối lượng m=50g được kéo trượt thật chậm trên
đoạn đường là ¼ vòng tròn. Bán kính R = 1m. Hệ số ma sát µ =0,1 (hình vẽ) lực
tác dụng hướng tiếp tuyến với quỹ đạo. Tính công của lực ma sát

(Sách giải toán Vật lý 10 – tác giả Bùi Quang Hân)

Giải
Để tính công của lực ma sát ta xét một đoạn
đường ∆ S rất bé, phân tích các lực tác dụng lên vật
chuyển động trên đoạn đường đó (hình vẽ)

11

x


Ta có: công của lực ma sát trên đoạn đường này là:
∆ A = Fms ∆ S = - µN ∆ S;

trong đó

N = mgcosα
∆ A = - µmg ∆ Scosα ;

A=

∑ ∆A

mà ∆ Scosα = ∆ R => ∆ A = - µmg ∆ R

= -µmg ∑ ∆R = -µmgR ⇒ A ms = - 0,1 . 0,05 . 10 . 1 = -0,05

(J)
Đáp số: A ms = -0,05 (J).

* Khi vật chuyển động trên cung tròn với tốc độ v không đổi ta đi đến bài
toán mới.
Câu 11: Một ô tô (coi như chất điểm) nặng một tấn đi trên đoạn đường dốc
ABC có dạng như hình vẽ với tốc độ v = 36km/h và được lái xe điều chỉnh luôn
có giá trị không đổi. Đoạn đường AB là một cung tròn bán kính R = 200m có
tâm là O1 với O1A vuông góc
O1
với đường ngang và chắn cung
0
β1 = 30 . Đoạn đường BC là
300
cung tròn bán kính R 1 = R 2 có
tâm là O2 với O2C vuông góc
C
với đường ngang và chắn cung
0
R
β2 = 30 . Hệ số ma sát lăn giữa
B
bánh xe với mặt đường không
đổi và bằng µ=0,05; hệ số ma
R
sát nghỉ đủ lớn để các bánh xe
không trượt trên đường. Tính
A
công của động cơ ô tô trên
300
đoạn đường AB và trên toàn
bộ đoạn đường ABC. Lấy g =
O2

10 m/s2
C
(Sách tổng hợp đề thi ôlympic 30/4)
B

C’

Giải
R2là xác định công của
Để giải quyết được bài toán này vấn đề khó ở chỗ
lực ma sát trên các cung tròn khi đã xác định được công của lực ma sát thì dùng
O2
định luật bảo toàn năng lượng tìm ngay ra công của động cơ ô tô.

12


O1
B

B’
R1
A

Trên
đi trên đoạn
rất nhỏ. Các
lên xe minh
hình vẽ.

đoạn AB xét
đường ∆ S
lực tác dụng
họa
như







P + N + Fms + N = ma (1) : Chiếu (1) trên phương N ta có :
mv 2
mv 2
N - mgcosα =
; N= mgcosα +
; ∆ Ams = -Fms. ∆ S = - µN ∆ S
R
R
∆ Ams = - (µmgcosα. ∆ S + µ

Ams = ∑ ∆A

ms

mv 2
.∆S )
R

Mà ∆ S.cosα = ∆ x

µmv 2 πR
µmv 2π
0
.
µ
mgR
sin
30
−
= - µmg. BB - R 6 ⇒ Ams = 6
'

µmg.R µmv 2π
+
Ams = - (
)
2
6

Tính công của lực kéo theo định luật bảo toàn năng lượng
Ađộng cơ = mgR(1 – cos300) – Ams = 320567,2 (J)
Xét chuyển động của ô tô trên cung BC




'
P + N + Fms + F ' = ma

(2)


Chiếu (2) xuống hướng ngược hướng N '
⇒ mgcosα - N =
'

'

mv 2
v2
v2
⇒ N’ = m(g.cosα’ - ) ⇒Fms = µm(g.cosα’ - )
R
R
R

Xét khi ô tô đi đoạn rất nhỏ ∆ S
13


∆ Ams = - Fms. ∆ S = -µm.(g ∆ S.cosα’ 2
AmsBC = -µm(g.BC’ - v

v2
. ∆ S)
R

π

2 π
) = -µm(gRsin300 - v )
6
6

Theo định luật bảo toàn năng lượng:
AF = 2mgR(1-cos300) + 2µmgsin300 ≈ 635898,4 (J)
Đáp số: Ađộng cơ AB = 320567,2 (J); Ađộng cơ ABC = 635898,4 (J)

2.7.Bài toán tính lực căng của vòng dây khi chuyển động tròn
Lực căng của dây khi chính là lực đàn hồi do sợi dây biến dạng sinh ra
lực căng luôn hướng theo trục của sợi dây khi sợi dây có dạng tròn thì lực căng
hướng theo phương tiếp tuyến nếu xét một đoạn ∆s rất bé ta được hai thành




phần lực căng T1 và T2 , tổng hợp hai thành phần lực này chính là lực hướng tâm
làm đoạn ∆s chuyển động tròn. Viết biểu thức định luật II Niu tơn cho đoạn đó
chiếu vào phương hướng tâm ta được kết quả cần tìm.
Câu 12:
Một sợi dây xích có chiều dài l, hai đầu nối liền với nhau được đặt trên
một đĩa gỗ nằm ngang như hình vẽ. Người ta cho đĩa quay với tốc độ góc vừa
phải, xác định sức căng của dây xích biết khối lượng dây xích là m
Giải:
Xét đoạn dây xích chiều dài ∆s , gọi n là tần số
∆S = R∆α ,

∆m =

S
mR∆α
m =
l
L

Khi đĩa quay tròn lực hướng tâm tác dụng lên
đoạn dây là:
∆α
∆mv 2
mR 2 ∆α ⇒
2
ω
∆
Fht =
= m R=
Fht = 2T.sin
2
R
L

Vì ∆ α bé ⇒ sin
Suy ra:

∆α
∆α
≈
(rad)
2
2

R 2 ∆α
∆α
(2nΠ ) 2 = 2T
m
L
2

14

mR 2 (2nπ ) 2
⇒T=
L

R


Với L= 2 ΠR ; lực căng dây tính T=m.l.n2
Đáp số: T=m.l.n2
Từ bài toán này ta có thể đi đến bài toán trong thực tế ( tìm sức căng của
ống tròn khi nước trong nó chảy với vận tốc v).
Cách giải chung xét chuyển động của phần nước chảy trong một đoạn
v2
ống rất nhỏ dài R∆α phần ống này đã tác dụng vào chất lỏng một lực ∆F=∆m
R

. Trong đó ∆m là khối lượng chất lỏng trong đoạn ống R∆α,

v2
là gia tốc hướng

R

tâm làm ∆m lượn quanh đoạn ống.
∆m = ρ

πd 2
v2
ρπd 2
2
R∆α ,F = ∆m =
∆α v
4
R
4

riêng của nước,Ta có ∆F = Fht = 2Tsin

Trong đó là ρ khối lượng

∆α
∆F
1
2 2
≈ T∆α; T =
= ρπ d v
2
∆α
4

Câu 13: Trong một ống rỗng được uốn thành dạng nhẫn người ta cho

nước chảy với vận tốc v. Cho biết bán kính nhẫn là R và đường kính của ống là
d. Hãy xác định lực căng của ống
Tìm sức căng của ống tròn khi nước trong nó chảy với vận tốc v
Giải:
Xét một đoạn ống nhỏ, do khối lượng nước trong ống chuyển động tròn
mv 2
nên nó chịu một lực hướng tâm Fht =
Lực hướng tâm này có nguyên nhân
R

là sự ép của ống lên mức theo định luật III Niu tơn khối lượng nước tác dụng
lên ống một lực là N = Fht =
N = 2Tsin

mv 2
.
R

∆α
, ∆α : là góc ở tâm chắn cung
2

N
mv 2
∆α
T = 2 sin ∆α ⇒ T =
2 R sin
2
2

T1

≈

mv 2
mv 2
=
= Mv 2
Rα
S

M là khối lượng nước trên một đơn vị dài của ống.
2
Đáp số: T = Mv

15

T2


Câu 14: Một vòng dây cao su có chu vi là l0 ,
khối lượng m. Hệ số đàn hồi k của vòng dây không
đổi theo độ giãn, vòng dây được đặt nằm ngang trên
một đĩa trục thẳng đứng đi qua tâm vòng dây. Khi
chuyển động ổn định vòng dây và đĩa cùng quay đến

T1

T2

quanh trục với cùng vận tốc góc ω. Tìm bán kính của
vòng dây theo l0,k, m và ω
Giải:
- Chu vi ban đầu của vòng dây là l0; chu vi của vòng dây khi quay là 2πR; xét
đoạn dây rất ngắn ∆l có khối lượng: ∆m =










m
m∆l
∆l =
; Hai đầu dây chịu lực
l
2πR

căng dây T1 và T2 với hợp lực: F = T1 + T2
F = 2Tsin
Vì α bé nên sin
nên: F =

α
,T1 = T2 = T = k(L – L0) = k(2πR – L0)
2

α α
∆l
k (2πR − L0)∆l
≈ =
,F=
đóng vai trò là lực hướng tâm
2 2
2R
R

k (2πR − L0 )∆l
2πkl0
m∆l 2
ω R ⇒R=
=
2
R
2πR
4π k − mω 2

2.8. Bài toán tính các đại lượng vật lý bằng đồ thị:
Để giải bài toán này chúng ta vẽ đồ thị biểu diễn mối liên hệ giữa các đại
lượng vật lý, dùng cách chia thành các đoạn vi phân (đã làm ở bài tập mẫu) ta
xác định được đại lượng tổng cần tìm bằng cách tính toán các số liệu trên đồ thị.
Câu 15: Trên một nền phẳng có hai miền, miền 1 nhẵn, miền 2 nhám.
Một thanh đồng chất tiết diện đều có chiều dài l được truyền với vận tốc ban
đầu v0 từ miền 1 không ma sát sang miền II có ma sát với hệ số ma sát µ
a/ Tìm điều kiện v0 để toàn bộ thanh nằm trọn trong vùng có ma sát
b/ Tìm thời gian từ lúc thanh chạm vào vùng ma sát đến lúc thanh vừa
nằm trọn trong vùng ma sát

(Ôlympic 2007)

Miền II

Miền I

16


Giải:
Xét phần thanh đã chạm vào miền ma sát mép phải của thanh cách đường
phân cách một đoạn x
Khi đó lực ma sát tác dụng lên thanh là Fms = - µρgx ( ρ khối lượng của
một đơn vị độ dài của thanh). Biểu thức lực ma sát tương tự như đối với lực đàn
hồi của lò xo ta có đồ thị như hình vẽ:
Độ lớn công của lực ma sát khi thanh dịch chuyển một đoạn ∆x vô cùng bé là
∆A = µρgx∆x
1
2

Độ lớn công của lực ma sát tác dụng bằng hoặc A = µρgx 2 khi thanh vừa
nằm trọn trong miền có ma sát thì:

A=

1
1
µρgx 2 = µρgl 2
2
2

Để thanh nằm trọn trong miền có ma sát là:
2
∆E đ ≥ Am ⇒ mv ≥ 1 µρgl 2
2
2

⇒

V ≥ µgl

b/ Thời gian chuyển động của thanh:
Áp dụng định luật II Niutơn
ω=

a= −

T
π π
m
π
µρg
=
=
; t= =
4 2ω 2 µρg 2
m

µρg ⇒ a = −ω 2 x
x

m

L
gµ

Đáp số: a/ V ≥ µgl ; b/ t =

π
2

L
gµ

Câu 16: Cho đồ thị vận tốc thời gian của một vật chuyển động như hình vẽ
v (m/s)
20

5
O

C
S2
p=
kv 2
C

17

S3
4

8

t (s)


Tính quảng đường vật đi được
Giải:
Bằng cách chia nhỏ thời gian như trên ta thấy quảng đường vật đi được
bằng tổng diện tích s1, s2, s3 (hình vẽ) dễ dàng tính được quảng đường vật đi
được
5 + 20
20.4
.2 +
= 75m
2
2

S= s1 + s2 + s3 = 5.2 +

Đáp số: S = 75m
Xét bài toán tương tự như sau:
Câu 17: Một thang máy chuyển động đi xuống theo 3 giai đoạn liên tiếp
+ Giai đoạn 1: Chuyển động nhanh dần đều, không vận tốc đầu sau thời
gian 5 giây đạt vận tốc 10m/s
+ Giai đoạn 2: Chuyển động đều trong thời gian 5 giây tiếp theo.
+ Giai đoạn 3: Chuyển động chậm dần đều và dừng lại sau 10 giây kế tiếp
Tính độ cao ban đầu của thang máy
Giải:
Từ đề ra ta xác định được đồ thị vận tốc thời gian như hình vẽ

v (m/s)
B

A

10

S1

O

S2

5

S3

10

C
p=
20
kv

t (s)

C

Lập
luận

tương tự như bài trên độ cao của thang máy chính bằng quảng đường vật đi
được S=S1 + S2 +S3 và bằng diện tích hình thang OABC
S=

20 + 5
.10 = 125 (m)
2

Đáp số: S=125 (m)

18


Câu 18. Một khối khí xác định có áp suất biến thiên theo thể tích bằng
công thức P=K.V. Tính công của khối khí thực hiện khi thể tích tăng từ v 1 đến
v2.
p

Giải:
Theo bài ra ta có đồ thị biểu diễn
bằng hình vẽ:

p2

Xét vi phân thể tích ∆v ta có khối
khí thực hiện công ∆A = p∆ v , khi thể
tích khối khí thay đổi từ v1 đến v2 khối
khí thực hiện công bằng diện tích hình
thang v1BCv2
( p1 + p2 ).(v2 − v1 )

A
=
2
2
K (v1 + v2 )(v2 − v1 ) Kv2
Kv 21
=
−
2
2
2

C
p=kv
C

pj
p1

=

v1

O

v2

2

Kv2

Kv 21
Đáp số: A =
−
2
2

2.9. Một vài ví dụ giải bài tập bằng cách chia các đoạn vi phân và ứng
dụng tích phân tính tổng các đại lượng vật lý:
Khi bài toán phức tạp hơn thì chúng ta phải chia nhỏ thành các đoạn vi
phân và dùng phương pháp tính tích phân để tính. Xét hàm số f(x) ta có: df(x) =
f’(x)dx
f (x) = ∫ df ( x) = ∫ f ' ( x)dx
Sau đây là một vài ví dụ cơ bản về cách dùng tích phân để tính các đại lượng vật
lý.
Câu19: Cho dòng điện xoay chiều i= Iocos ωt ( A). tìm điện lượng q
chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn trong thời gian

T
tính từ thời điểm ban đầu.
4

(Đề thi thử ĐH vinh)
GIẢI:
Xét thời gian ∆t rất bé ta có: ∆q = i∆t hay dq=idt điện lượng ∆ q chuyển
qua tiết diện thẳng của dây dẫn trong thời gian

19

T
:

4

v


T
4

T
4

T
4

0

0

0

q= ∫ dq = ∫ idt q= ∫ I0cos(

2π
T
2π
t )dt=I0
sin( t )
T
2π
T

T
4
0

= I0.

T
2π

T
2π

Đáp số: q = I0.

Câu 20: Xét khối khí có khối lượng xác định, biến đổi đẳng nhiệt từ trạng
thái có thể tích v1 áp suất p1 sang trạng thái có thể tích v2, áp suất p2. Tìm công
thức tính công do khối khí thực hiện trong quá trình trên.
Giải:
nR
T
Từ phương trình trạng thái của khí lý tưởng: PV = nRT ⇒ P =
V

Xét vi phân thể tích dv ta có dA = Pdv =

nR
T
V .dv Công của khối khí

thực hiện trong quá trình trên
A=

∫

v2

v1

dA =

∫

v2

v1

pdv = nRT ∫

dv
= nRT . ln v
V

v2
v1

= nRT(lnv2 – lnv1)
Đáp số: A= nRT(lnv2 – lnv1)

2.10. Số liệu điều tra, kết quả thực hiện đề tài:

Đề tài đã xây dựng được một phương pháp giải toán Vật lý hoàn chỉnh,
để kiểm tra tính ứng dụng thực tế của đề tài tôi cho học sinh làm 2 bài tập nội
dung tính cường độ điện trường do nửa vòng tròn gây ra tại tâm trước khi thực
hiện đề tài thì không có học sinh nào có cách giải đúng, khi đã hướng dẫn cho
học sinh kiến thức trong đề tài thì kết quả kiểm tra của lớp 11A 1 và 12A1 như
sau:
Số
lượng

Số lượng

Tỷ lệ

Số lượng

Tỷ lệ

Số lượng

Tỷ lệ

Lớp 11A1

45

15

33,3%

28

62,2%

2

4,5%

Lớp 12A1

46

17

37%

28

60,9%

1

2,1%

Lớp

Điểm trên 8

Điểm từ 5 đến 8

Điểm dưới 5

Qua số liệu trên tôi thấy đề tài đã thực sự là một phương pháp giải toán
Vật lý hữu hiệu có tác dụng tích cực tới các em học sinh khá và giỏi, các em
không còn mơ hồ lúng túng khi gặp bài toán dạng này, tôi đã áp dụng bồi dưỡng
học sinh giỏi mấy năm liền và đạt kết quả rất tốt. Với tâm huyết nghề nghiệp tôi
20


đã nghiên cứu và viết đề tài trên mong được sự đồng tình, chia sẻ, góp ý của các
thầy cô giáo và ban giám khảo.
III – KẾT LUẬN:
Qua nghiên cứu và hoàn thiện đề tài bản thân tôi thấy đã hệ thống được
một phương pháp giải toán vật lý, nâng cao năng lực chuyên môn vì giải toán
vật lý là cần những phương pháp giải hay và sáng tạo. Đối với học sinh khi
được hướng dẫn các kiến thức trong đề tài giúp các em có cách nhìn về việc ứng
dụng toán học vào giải bài tập vật lý, kích thích được tính tò mò sáng tạo và làm
tốt những bài tập của các em đặc biệt bổ ích cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi,
nâng cao chất lượng mũi nhọn trong công tác chuyên môn.
Để mở rộng Đề tài ta nghiên cứu phương pháp tổng quát hơn là dùng tích
phân để giải toán Vật lý mong các thầy cô giáo và các bạn tiếp tục nghiên cứu
sâu vấn đề này vì phương pháp tích phân, vi phân là một phương pháp chủ yếu
trong việc xây dựng kiến thức vật lý đại cương. Tác giả rất mong nhận được ý
kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các em học sinh và các bạn độc giả để đề
tài ngày một hoàn thiện hơn ,thực sự là một phương pháp giải toán bổ ích cho
môn Vật lý.
*KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT
Nếu đề tài được công nhận ở ngành tôi đề nghị phổ biến rộng rãi đề tài
tạo thành một tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh khá và giỏi đặc biệt bồi
dưỡng đội tuyển học sinh giỏi đi dự thi học sinh giỏi các cấp.
Đề xuất nội dung tiếp tục nghiên cứu: Tìm thêm các dạng bài tập ở các

phần cơ, nhiệt, điện, quang cùng dạng; tiếp tục nghiên cứu phương pháp tích
phân trong xây dựng kiến thức Vật lý.
Tôi xin chân thành cảm ơn/.
IV – TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. SGK nâng cao Vật lý 10
2. Sách giải toán Vật lý 10, 11 (tác giả Bùi Quang Hân)
3. Sách tuyển tập các đề thi Olympic Vật lý 30/4
4.Các đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi thử Đại học của các trường THPT
5. Các tài liệu liên quan khác
21


00

V – MỤC LỤC

TT

NỘI DUNG

Trang

I

ĐẶT VẤN ĐỀ

1

1.1

Lý do chọn đề tài

1

1.2

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

1

1.3

Giả thiết khoa học của đề tài

1

1.4

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

2

1.5

Phương pháp nghiên cứu

2

1.6

Tính mới của đề tài

2

II

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2

2.1

Cơ sở lý thuyết

2

2.2

Cách giải chung

4

2.3

Một số ví dụ điển hình trong sách giáo khoa

4

2.4

Bài toán tính lực hấp dẫn và cường độ điện trường tác dụng lên một vật nằm
trên trục đi qua tâm vòng tròn và vuông góc với đường tròn đó

6

2.5

Bài toán xác định lực hấp dẫn, cường độ điện trường gây ra tại tâm của nữa

8

22


vòng tròn
2.6

Bài toán tính công của lực ma sát trên khung tròn

11

2.7

Bài toán tính lực căng của vòng dây khi chuyển động tròn

14

2.8

Bài toán tính các đại lượng vật lý bằng đồ thị

16

2.9

Một vài ví dụ giải bài tập bằng cách chia các đoạn vi phân và ứng dụng tích
phân tính tổng các đại lượng vật lý

19

2.10

Số liệu điều tra, kết quả thực hiện đề tài:

20

III

KẾT LUẬN

20

IV

TÀI LIỆU THAM KHẢO

21

23