Về sự tồn tại các điểm bất động của ánh xạ cyclic trong không gian Dmeetric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH THỊ MIÊN

SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA
ÁNH XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN
D∗−MÊTRIC NÓN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH THỊ MIÊN

SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA
ÁNH XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN
D∗−MÊTRIC NÓN
Chuyên ngành Toán Giải Tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học
PGS. TS. ĐINH HUY HOÀNG

NGHỆ AN - 2015

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Lời nói đầu

2

1 KHÔNG GIAN D∗ -MÊTRIC NÓN

5

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Nón và không gian mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Không gian D∗ −mêtric nón

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CYCLIC

TRONG KHÔNG GIAN D∗ −MÊTRIC NÓN

15
2.1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co và tựa co trong không gian
D∗ −mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co kiểu Kannan và kiểu
Chatterjea trong không gian D∗ −mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Kết luận

30

Tài liệu tham khảo

31


2

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của
giải tích, nó có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành khoa học kĩ thuật
khác nên đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm
nghiên cứu. Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) trong không gian mêtric đầy đủ
là kết quả quan trọng đầu tiên trong lý thuyết điểm bất động. Sau đó, người ta
đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian. Một
trong những hướng mở rộng đó là đưa ra khái niệm ánh xạ co cyclic và nghiên
cứu sự tồn tại các điểm bất động của nó. Năm 2003, Krik và các cộng sự ([10])
đã mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện co
cyclic. Sau đó, sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co cyclic đã thu hút được
sự quan tâm của nhiều nhà toán học.
Huang và Zhang ([6]) đã mở rộng khái niệm không gian mêtric bằng cách thay

giả thiết hàm mêtric nhận giá trị trong không gian các số thực R bởi nhận giá
trị trong không gian Banach có thứ tự và đã đưa ra khái niệm không gian mêtric
nón. Vào năm 2011, Aage và Salunke ([5]) đã đã đưa ra khái niệm không gian

D∗ -mêtric nón và đạt được một số kết quả về tính chất tôpô và sự tồn tại các
điểm bất động trong không gian D∗ -mêtric nón.
Để tập dược nghiên cứu khoa học, để tìm hiểu lý thuyết điểm bất động chúng
tôi tiếp cận vấn đề này để nghiên cứu các ánh xạ cyclic và các điều kiện co để
ánh xạ cyclic tồn tại điểm bất động trong không gian D∗ -mêtric nón, tìm cách
mở rộng một số kết quả về điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian
mêtric cho không gian D∗ -mêtric nón.


3

Vì thế chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là "Sự tồn tại các điểm bất động của
ánh xạ cyclic trong không gian D∗ -mêtric nón".
Với mục đích đó, luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1. Không gian D∗ -mêtric nón
Trong chương này, đầu tiên, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của
tôpô đại cương, giải tích hàm có liên quan đến nội dung của luận văn. Trình bày
khái niệm nón trong không gian Banach. Sau đó, chúng tôi trình bày Định nghĩa,
ví dụ và một số tính chất của không gian D∗ -mêtric nón.
Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic trong không
gian D∗ -mêtric nón
Chương này đưa ra một số kết quả về sự tồn tại các điểm bất động của các ánh
xạ cyclic co suy rộng trong D∗ −mêtric nón.
Trong mục thứ nhất của chương này, chúng tôi mở rộng một số kết quả về sự
tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện cyclic co và tựa
co trong không gian mêtric cho không gian D∗ −mêtric nón. Trong mục thứ hai,

chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại các điểm bất động của ánh xạ cyclic
co kiểu Kannan và kiểu Chatterjea trong không gian D∗ −mêtric nón. Đó là các
Định lý 2.1.3, 2.1.5, 2.1.6, 2.2.1 và các Hệ quả 2.1.4, 2.1.7, 2.1.8, 2.2.2, ..., 2.2.10.
Các kết quả của chúng tôi là mở rộng của một số kết quả chính trong các tài liệu
[5, 8, 10, 11, 12].
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình,
chu đáo của Thầy giáo, PGS. TS Định Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm
Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán và cảm ơn các quý Thầy, Cô giáo
Tổ Giải Tích trong Khoa Toán.
Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt thời
gian học tập và hoàn thành đề cương, luận văn này.
Cuối cùng, tác giả xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các


4

bạn cùng lớp cao học 21, chuyên ngành Giải Tích đã giúp đỡ và động viên tác giả
trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế,
thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô
giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.

Vinh, ngày 18 tháng 10 năm 2015.


5

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN D∗ -MÊTRIC NÓN

Chương này trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian D∗ -mêtric
nón.

1.1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1 Định nghĩa. ([4]) Cho tập hợp X . Họ τ các tập con của X được gọi là
tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện
(i) X = ∅, X ∈ τ ;
(ii) Nếu Gi ∈ τ, i ∈ I thì

Gi ∈ τ ;
i∈I

(iii) Nếu G1 , G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ.
Tập hợp X cùng với τ trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu là (X, τ )
hay đơn giản hơn là X .
Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô.
Các phần tử thuộc τ được gọi là tập mở.
Giả sử A ⊂ X . Tập A được gọi là đóng nếu X\A là mở.
1.1.2 Định nghĩa. ([4]) Cho không gian tôpô X , tập con A của X được gọi
là lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊆ A.
Cho không gian tôpô X , x ∈ X , U(x) là họ tất cả các lân cận của x. Họ

B(x) ⊂ U(x) được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ U(x) tồn tại
V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U .

6

1.1.3 Định nghĩa. ([4]) Dãy {xn } trong không gian tôpô được gọi là hội tụ
tới điểm x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho

xn ∈ U với mọi n ≥ n0 .
Khi đó, ta viết xn → x hoặc lim xn = x.
x→∞

1.1.4 Định nghĩa. ([4]) Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm
được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận B(x) có lực lượng
đếm được.
Không gian tôpô X được gọi là T2 −không gian hay không gian Hausdorff nếu
hai điểm bất kỳ x, y ∈ X , x = y tồn tại các lân cận tương ứng Ux , Uy của x và y
sao cho Ux ∩ Uy = ∅.
Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong X mà hội tụ thì hội tụ tới
một điểm duy nhất.
1.1.5 Định nghĩa. ([4]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X → Y .
Ánh xạ f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của f (x), tồn tại
lân cận U của x sao cho f (U ) ⊂ V . Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói
gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X .
1.1.6 Định nghĩa. ([2]) Giả sử X là tập khác rỗng và d : X × X → R. Hàm

d được gọi là mêtric trên X nếu các điều kiện sau thỏa mãn
(i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y ;
(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X ;
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X .
Tập hợp X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và ký
hiệu là (X, d) hoặc X .

7

1.1.7 Định nghĩa. ([2])Cho X là không gian mêtric. Một dãy {xn } trong X
gọi là dãy Cauchy nếu với mọi > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n và m ≥ n0
thì d(xn , xm ) < .
Mọi dãy hội tụ là dãy Cauchy.
Không gian mêtric X gọi là đầy đủ nếu moi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Tập con A ⊂ X gọi là đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh.
Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập con đóng của
một không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ.
1.1.8 Định nghĩa. ([2]) Giả sử E là không gian vectơ trên trường K = R hoặc
K = C. Hàm p : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điều
kiện sau
(i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E và p(x) = 0 ⇔ x = 0;
(ii) p(λx) = |λ|p(x), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K;
(iii) p(x + y) ≥ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E.
Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ x ∈ E . Ta thường kí hiệu chuẩn của x là

||x||. Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là không
gian định chuẩn.
1.1.9 Mệnh đề. ([2]) Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức

d(x, y) = ||x − y||, ∀x, y ∈ E,
xác định một mêtric trên E .
Ta goi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn.
Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh
bởi chuẩn được gọi là không gian Banach.

8

1.1.10 Định lý. ([2]) Nếu E là không gian định chuẩn thì
ánh xạ chuẩn: x → ||x||, ∀x ∈ E ;
phép cộng: (x, y) → x + y, ∀(x, y) ∈ E × E
và phép nhân với vô hướng: (λ, x) → λx, với mọi (λ, x) ∈ K × E là các ánh xạ
liên tục.
1.1.11 Định lý. Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó, với mỗi a ∈ E
và mỗi λ ∈ K, λ = 0 các ánh xạ

x → x + a, x → λx, ∀x ∈ E
là các phép đồng phôi E lên E .

1.2

NÓN VÀ KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN

Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của nón trong không
gian Banach.
1.2.1 Định nghĩa. ([6]). Cho E là không gian Banach trên trường số thực R.
Một tập con P của E được gọi là nón trong E nếu:
(i) P là đóng, P = ∅, P = {0};
(ii) Với a, b ∈ R, a, b ≥ 0 và x, y ∈ P thì ax + by ∈ P ;
(iii) Nếu x ∈ P và −x ∈ P thì x = 0.
1.2.2 Ví dụ. 1) Trong không gian số thực R với chuẩn thông thường, tập

P = {x ∈ R : x ≥ 0} là một nón.
2) Giả sử E = R2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R2 . Khi đó, P là nón trong

E.
3) Giả sử C[a,b] là tập tất cả các hàm nhận giá trị thực liên tục trên [a, b]. Ta
đã biết C[a,b] là không gian Banach với chuẩn


9

f = sup f (x)

∀f ∈ C[a,b] .

x∈[a,b]

Trên C[a,b] có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường ≤ được xác định bởi với

f, g ∈ C[a,b] :
f ≤ g ⇔ f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b]
Đặt

P = {f ∈ C[a,b] : 0 ≤ f }.
Khi đó, P thỏa mãn 3 điều kiện
(i) P là tập đóng, P = ∅, P = {0};
(ii) Với a, b ∈ R, a, b ≥ 0 và mọi f, g ∈ P ta có

0 ≤ af (x) + bg(x) ∀x ∈ [a, b].
Do đó af + bg ∈ P ;
(iii) Với f ∈ P và −f ∈ P thì f = 0.
Vậy P là một nón trên E .
Cho P là một nón trong không gian Banach E . Trên E , ta định nghĩa quan hệ
thứ tự ” ≤” xác định bởi P như sau: x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P . Ta viết

x < y nếu x ≤ y và x = y và viết x
trong của P ).

y nếu y − x ∈ intP (intP là kí hiệu phần

1.2.3 Bổ đề. {xn } Giả sử P là nón trong không gian Banach E, a, b, c ∈ E
và α là số thực dương. Khi đó,
(i) Nếu a

b và b

c thì a

c;

(ii) Nếu a ≤ b và b

c thì a

c;

(iii) Nếu a

b, c

(iv) αintP ⊂ intP ;

d thì a + c

b + d;


10

(v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP tồn tại 0 < γ < 1 sao cho ||γx < δ ;
(vi) Với mỗi c1 , c2 ∈ intP tồn tại d ∈ intP sao cho c1
(vii) Với mỗi c1 , c2 ∈ intP tồn tại e ∈ intP sao cho e

d và c2
c1 và e

d;
c2 ;

(viii) Nếu a ∈ P và a ≤ x với mọi x ∈ intP thì a = 0;
(ix) Nếu a ≤ λa với a ∈ P, 0 < λ < 1 thì a = 0;
(x) Nếu 0 ≤ xn ≤ yn với mỗi n ∈ N và lim xn = x, lim yn = y thì 0 ≤ x ≤ y .
n→∞

n→∞

Chứng minh. (i) Vì phép cộng liên tục nên intP + intP ⊂ intP . Nếu a

b và
b
c thì b−a ∈ intP và c−b ∈ intP . Suy ra c−a = c−b+b−a ∈ intP +intP ⊂
intP . Vậy a
c.
(x + intP ) là tập mở và P là nón nên suy ra

(ii) Để ý rằng intP + P =
x∈P

x + intP ⊂ P . Do đó P + intP ⊂ intP . Nếu a ≤ b và b
c thì b − a ∈ P và
c − b ∈ intP . Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP hay c − a ∈ intP .
Vậy a
c.
b và c
d nên b − a ∈ intP và d − c ∈ intP suy ra
b − a + d − c ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP do đó a + c
b + d.
(iii) Ta có a

(iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên αintP ⊂ intP .
(v) Với mỗi 0 < γ < 1 và x ∈ intP chọn số tự nhiên n > 1 sao cho
Khi đó, với γ =

δ
< 1.
n||x||

δ
thỏa mãn: 0 < γ < 1 và
n||x||
δ
δ
γx ≤ γ x ≤
x ≤ <δ

n x
n

(vi) Chọn δ > 0 sao cho c1 + B(0, δ) ⊂ intP , trong đó B(0, δ) = {x ∈ E :

x < δ}. Do tính hút của B(0, δ) tồn tại m > 1 sao cho c2 ∈ mB(0, δ) suy ra
−c2 ∈ mB(0, δ) và mc1 − c2 ∈ intP . Đặt d = mc1 − c2 . Khi đó, d thỏa mãn (vi).
(vii) Chọn δ > 0 sao cho c1 + B(0, δ ) ⊂ intP, c2 + B(0, δ ) ⊂ intP , trong
đó B(0, δ ) = {x ∈ E : x < δ }. Do tính hút của B(0, δ ) tồn tại m > 0 sao


11

cho c1 ∈ mB(0, δ ), c2 ∈ mB(0, δ ) suy ra −c1 ∈ mB(0, δ ), −c2 ∈ mB(0, δ ) và

mc1 − c1 ∈ intP, mc2 − c2 ∈ intP .Đặt
mãn (vii).

= mc1 − c1 + mc2 − c2 . Khi đó,

thỏa

x
với mọi n = 1, 2, ... do
n
x
x
x
x
đó

− a ∈ P với mọi n = 1, 2, ... Vì
→ 0 nên
→ 0. Do đó
=
n
n
n
n
x
x
= a → −a. Mặt khác, vì dãy { − a) ⊂ P và P đóng trong E nên −a ∈ P .
n
n
Như vậy, a và −a ∈ P . Vì P là nón nên a = 0.
(viii) Giả sử x ∈ intP . Từ giả thiết suy ra a ≤

(ix) Vì a ≤ λa nên λa − a ∈ P hay (λ − 1)a ∈ P . Do 0 < λ < 1 nên 1 − λ > 0.
1
Từ đó suy ra −a =
a ∈ P hay −a ∈ P . Như vậy, a và −a ∈ P . Vì P là nón
1−λ
nên a = 0.
(x) Ta có xn ≤ yn suy ra yn − xn ∈ P . Do P đóng nên lim (yn − xn ) ∈ P. Mặt
n→∞

khác, lim xn = x, lim yn = y nên lim (yn − xn ) = y − x. Từ đó suy ra y − x ∈ P
n→∞

n→∞

n→∞

do đó x ≤ y . Hoàn toàn tương tự như trên, ta chứng minh được từ 0 ≤ xn suy ra

0 ≤ x. Vậy 0 ≤ x ≤ y.
1.2.4 Bổ đề. ([6]) Giả sử {xn } là dãy trong P . Khi đó, xn → 0 thì với mỗi

c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N sao cho xn

c với mọi n ≥ n0 .

Chứng minh. Giả sử {xn } là dãy trong P và xn → 0. Với mọi c ∈ intP , vì intP
là tập mở nên tồn tại δ > 0 sao cho c + BE (0, δ) ⊂ intP . Do đó, nếu x ∈ E mà

x < δ thì c − x ∈ intP . Với δ > 0 xác định như trên tồn tại n0 ∈ N sao cho
xn < δ, ∀n > n0 .
Suy ra c − xn ∈ intP với mọi n > n0 . Do đó xn

c với mọi n ≥ n0 .

1.2.5 Định nghĩa. ([6]) Cho X là tập khác rỗng, và d : X × X −→ E . Hàm

d được gọi là mêtric nón trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau:
(i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y ;
(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X ;


12

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X .

Tập hợp X cùng với một mêtric nón d trên nó được gọi là không gian mêtric
nón và ký hiệu (X, d) hay đơn giản hơn là X .
1.2.6 Định nghĩa. ([7]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón. Cho

{xn } là một dãy trong X và x ∈ X . Nếu với mỗi c ∈ E, c
0, tồn tại số tự nhiên
n0 sao cho với mọi n ≥ n0 , d(xn , x)
c thì {xn } được gọi là hội tụ đến x. Khi
đó ta kí hiệu là lim xn = x hoặc xn → x.
n→∞

1.2.7 Định nghĩa. ([7]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón. Cho

{xn } là một dãy trong X . Nếu với mỗi c ∈ E, c
0, tồn tại số tự nhiên n0 sao
cho với mọi n, m ≥ n0 , d(xn , xm )
c thì {xn } được gọi là dãy Cauchy trong X .
1.2.8 Định nghĩa. ([7]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric nón. Nếu mọi dãy
Cauchy trong X đều hội tụ thì X được gọi là đầy đủ.

1.3

KHÔNG GIAN D∗-MÊTRIC NÓN

Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của không
gian D∗ -mêtric nón.
Giả sử E là không gian Banach, P là nón trong E với intP = ∅, ≤ và

là các

thứ tự trên E được xác định bởi P .
1.3.1 Định nghĩa. ([5]). Giả sử X là tập khác rỗng và D∗ : X × X × X → E
là hàm thỏa mãn các điều kiện sau
(i) D∗ (x, y, z) ≥ 0,
(ii) D∗ (x, y, z) = 0 khi và chỉ khi x = y = z ,
(iii) D∗ (x, y, z) = D∗ (x, z, y) = D∗ (y, z, x) = ..., hàm đối xứng ba biến,
(iv) D∗ (x, y, z) ≤ D∗ (x, y, a) + D∗ (a, y, z), (bất đẳng thức tứ giác).
Khi đó, hàm D∗ được gọi là D∗ − mêtric nón trên X và cặp (X, D∗ ) được gọi là
không gian D∗ −mêtric nón.


13

1.3.2 Nhận xét. ([5]). Nếu (X, D∗ ) là không gian D∗ −mêtric nón thì

D∗ (x, x, y) = D∗ (y, y, x) ∀x, y ∈ X.
1.3.3 Định nghĩa. ([5]). Giả sử (X, D∗ ) là một không gian D∗ −mêtric nón.
Cho {xn } là một dãy trong X và x ∈ X . Nếu với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự
nhiên n0 sao cho với mọi m, n > n0 , D∗ (xm , xn , x)

c thì {xn } được gọi là hội
tụ đến x và x được gọi là giới hạn của {xn }. Khi đó, ta kí hiệu là xn → x hoặc
lim xn = x.
n→∞

1.3.4 Bổ đề. ([5]). Giả sử (X, D∗ ) là một không gian D∗ -mêtric nón, {xn } là
dãy trong X và x ∈ X . Khi đó, các điều kiện sau là tương đương.

(i) {xn } hội tụ đến x.
(ii) Với mọi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N sao cho D∗ (xn , xn , x)

c với mọi n ≥ n0 .

1.3.5 Bổ đề. ([5]). Giả sử (X, D∗ ) là một không gian D∗ -mêtric nón và {xn }
là một dãy trong X . Nếu {xn } hội tụ đến x và {xn } hội tụ đến y , thì x = y , tức
là giới hạn của {xn } nếu tồn tại thì duy nhất.
1.3.6 Định nghĩa. ([5]). Giả sử (X, D∗ ) là một không gian D∗ -mêtric, {xn }
là một dãy trong X . Nếu với bất kì c ∈ intP , tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với
mọi m, n, l > n0 , D∗ (xm , xn , xl )

c, thì {xn } được gọi là dãy Cauchy trong X .

1.3.7 Định nghĩa. ([5]). Giả sử (X, D∗ ) là một không gian D∗ -mêtric nón.
Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ thì X được gọi là không gian đầy đủ.
1.3.8 Bổ đề. Giả sử {xn } là dãy trong không gian D∗ -mêtric nón (X, D∗ ).
Khi đó, {xn } là dãy Cauchy khi và chỉ khi với mỗi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N sao
cho với mọi n và m ≥ n0 ta có D∗ (xn , xn , xm )

c.

Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Bây giờ, ta chứng minh điều kiện đủ.
Giả sử với mỗi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N sao cho

D∗ (xn , xn , xm )

c ∀n, m ≥ n0 .


14

Khi đó, với mọi n, m và l ≥ n0 ta có

D∗ (xn , xm , xl ) ≤ D∗ (xn , xn , xm ) + D∗ (xn , xn , xl )

2c.

Vì vậy {xn } là dãy Cauchy.
1.3.9 Bổ đề. Cho {xn } là dãy Cauchy trong không gian D∗ -mêtric nón (X, D∗ ).
Nếu {xn } có một dãy con {xnk } hội tụ tới x, thì {xn } hội tụ tới x.
Chứng minh. Giả sử c ∈ intP . Khi đó, tồn tại n0 ∈ N sao cho
c
D∗ (xn , xn , xm )
với mọi n, m > n0
4
và

D∗ (xnk , xnk , x)

c
với mọi nk > n0 .
4

Từ đó suy ra

D∗ (xn , xn , x) ≤ D∗ (xn , xn , xnk ) + D∗ (xnk , xnk , x)

c
với mọi n, nk > n0 .
2

Do đó xn → x.
1.3.10 Định nghĩa. Cho (X, D∗ ) là không gian D∗ −mêtric nón và A ⊂ X .
Khi đó A được gọi là tập đóng nếu mọi dãy {xn } ⊂ A mà {xn } → x ∈ X thì

x ∈ A. Tập A được gọi là đầy đủ nếu {xn } là dãy Cauchy trong A thì xn → x ∈ A.
1.3.11 Định lý. Nếu A là tập con đóng trong không gian D∗ −mêtric nón đầy
đủ thì A đầy đủ.
1.3.12 Định lý. ([3]) Nếu (X, d) là không gian mêtric nón thì hàm

D∗ (x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(z, x) ∀x, y, z ∈ X
là một D∗ −mêtric nón trên X và nếu (X, d) đầy đủ thì (X, D∗ ) đầy đủ.
1.3.13 Định nghĩa. Giả sử (X, D∗ ) là không gian D∗ −mêtric nón và T là
ánh xạ từ X → X . Ánh xạ T được gọi là liên tục nếu từ {xn } là dãy trong X và

xn → x ∈ X suy ra T xn → T x.
Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của T nếu T x = x.


15

CHƯƠNG 2

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CYCLIC
TRONG KHÔNG GIAN D∗ −MÊTRIC NÓN

Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại các điểm bất
động của các ánh xạ cyclic thoả mãn các điều kiện co và co suy rộng trong không
gian D∗ −mêtric nón.

2.1

Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co và tựa
co trong không gian D∗−mêtric nón

Mục này mở rộng một số kết quả về sự tồn tại các điểm bất động của ánh xạ
cyclic co và tựa co trong không gian mêtric nón cho không gian D∗ −mêtric nón.
2.1.1 Định nghĩa. ([10]) Cho A1 , A2 , ..., Ap , Ap+1 = A1 là các tập con khác
p

p

Ai →

rỗng của tập X và ánh xạ T :
i=1

Ai . Ánh xạ T được gọi là p−cyclic (nói
i=1

gọn là cyclic) nếu T (Ai ) ⊂ Ai+1 với mọi i = 1, 2, ..., p.
Chú ý. Từ định nghĩa này suy ra rằng, nếu T là ánh xạ p−cyclic có điểm bất
p

động x thì x ∈

Ai .
i=1

2.1.2 Định nghĩa. Giả sử (X, D∗ ) là không gian D∗ −mêtric nón và T : X →

X . Ánh xạ T được gọi là co trên X nếu tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho
D∗ (T x, T y, T z) ≤ αD∗ (x, y, z) ∀x, y, z ∈ X.
Ta nhận thấy rằng, nếu T là ánh xạ co thì T liên tục tại mọi điểm x ∈ X . Thật
vậy, giả sử {xn } là dãy trong X, xn → x. Khi đó, với mọi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N


16

sao cho với mọi n > n0 ta có

0 ≤ D∗ (T xn , T xn , T x) ≤ αD∗ (xn , xn , x)

c.

Do đó T xn → T x. Vậy T liên tục tại x.
2.1.3 Định lý. Giả sử (X, D∗ ) là không gian D∗ −mêtric nón đầy đủ và T :

X → X là ánh xạ liên tục (nghĩa là từ {xn } là dãy trong X và xn → x kéo theo
T xn → T x). Khi đó, nếu tồn tại a ∈ [0, 1) sao cho
D∗ (T x, T x, T 2 x) ≤ aD∗ (x, x, T x) ∀x ∈ X
thì T có điểm bất động.
Chứng minh. Lấy bất kỳ x0 ∈ X và đặt xn = T xn−1 với n = 1, 2, .... Với mọi

n ≥ 1 ta có
D∗ (xn , xn , xn+1 ) = D∗ (T xn−1 , T xn−1 , T 2 xn−1 ) ≤ aD∗ (xn−1 , xn−1 , T xn−1 )
≤ a2 D∗ (xn−2 , xn−2 , T xn−2 ) ≤ ... ≤ an D∗ (x0 , x0 , T x0 )
= an D∗ (x0 , x0 , x1 ).
Do đó với mọi n ≥ 1 và với mọi p ∈ N, ta có

D∗ (xn , xn , xn+p ) ≤ D∗ (xn , xn , xn+1 ) + D∗ (xn+1 , xn+1 , xn+2 )

+ ... + D∗ (xn+p−1 , xn+p−1 , xn+p )
≤ an D∗ (x0 , x0 , x1 ) + an+1 D∗ (x0 , x0 , x1 )
1 − ap ∗
D (x0 , x0 , x1 )
+ ... + an+p−1 D∗ (x0 , x0 , x1 ) = an
1−a
an
≤
D∗ (x0 , x0 , x1 ).
1−a
an
Từ a ∈ [0, 1) suy ra
D∗ (x0 , x0 , x1 ) → 0 khi n → ∞. Do đó, với mọi c ∈ intP
1−a
tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ 1 và mọi p ∈ N ta có
D∗ (xn , xn , xn+p )

c.

Từ đó suy ra {xn } là dãy Cauchy. Vì (X, D∗ ) đầy đủ nên tồn tại x ∈ X sao
cho xn → x. Khi đó, T xn = xn+1 → x. Mặt khác, từ tính liên tục của T ta có

T xn → T x. Do đó theo Bổ đề 1.3.5 ta có T x = x, tức x là điểm bất động của
T.


17

2.1.4 Hệ quả. Nếu (X, D∗ ) là không gian D∗ −mêtric nón đầy đủ thì mọi ánh
xạ co trên X có duy nhất điểm bất động.

Chứng minh. Giả sử T : X → X là ánh xạ co trên X . Khi đó, tồn tại α ∈ [0, 1)
sao cho

D∗ (T x, T y, T z) ≤ αD∗ (x, y, z) ∀x, y, z ∈ X.
Do đó với mọi x ∈ X ta có

D∗ (T x, T x, T 2 x) ≤ αD∗ (x, x, T x).
Vì thế theo Định lý 2.1.3, T có điểm bất động, kí hiệu bởi x.
Giả sử y cũng là điểm bất động của T . Khi đó, ta có

D∗ (x, x, y) = D∗ (T x, T x, T y) ≤ αD∗ (x, x, y).
Vì α ∈ [0, 1) nên theo Bổ đề 1.2.4 ta có D∗ (x, x, y) = 0, do đó x = y .
2.1.5 Định lý. Cho A, B là hai tập con đóng khác rỗng của không gian D*mêtric nón đầy đủ (X, D∗ ) và F : X → X thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) F (A) ⊆ B và F (B) ⊆ A (tức F : A ∪ B → A ∪ B là ánh xạ cyclic);
(2) D∗ (F x, F x, F y) ≤ kD∗ (x, x, y)

∀x ∈ A và y ∈ B ,

trong đó k ∈ [0, 1).
Khi đó, F có duy nhất điểm bất động trong A ∩ B .
Chứng minh. Với mỗi x ∈ A ∪ B , từ (1) và (2) suy ra

D∗ (F x, F x, F 2 x) ≤ kD∗ (x, x, F x).
Mặt khác, vì A và B đóng trong X nên A ∩ B đóng trong X . Do X đầy đủ nên
theo Định lí 1.3.12 và A ∩ B đầy đủ. Do đó theo Định lí 2.1.3, F có điểm bất động
trong A ∩ B . Từ (2) suy ra điểm bất động của F là duy nhất.
2.1.6 Định lý. Cho {Ai }pi=1 là họ các tập con đóng, khác rỗng của không
p

gian D∗ −mêtric nón đầy đủ X và T :

p

Ai →
i=1

Ai , là ánh xạ cyclic tức là
i=1


18

T (Ai ) ⊂ Ai+1 ; i = 1, 2, ..., p trong đó Ap+1 = A1 .
1
Khi đó, nếu tồn tại a ∈ [0, ) sao cho với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , với mọi i =
2
1,2,...,p ta có
D∗ (T x, T x, T y) ≤ asup{D∗ (x, x, y), D∗ (x, x, T x), D∗ (x, x, T y),
D∗ (y, y, T x), D∗ (y, y, T y), D∗ (x, y, T x), D∗ (x, y, T y),
D∗ (x, T x, T y), D∗ (y, T x, T y)}

(2.1.1)

p
∗

Ai và {T n x0 } hội tụ tới x∗ với mọi

thì T có điểm bất động duy nhất x trong
i=1

p

x0 ∈

Ai .
i=1
p

Chứng minh. Lấy x0 ∈
p

có dãy {xn } ⊂

Ai và đặt xn = T xn−1 , với mọi n = 1, 2, .... Khi đó, ta
i=1

Ai . Vì T là ánh xạ cyclic nên nếu xn ∈ Ai thì xn+1 ∈ Ai+1 . Do
i=1

đó, theo điều kiện (2.1.1), với mọi n ≥ 1 ta có

D∗ (xn , xn , xn+1 ) = D∗ (T xn−1 , T xn−1 , T xn )
≤ a sup{D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ), D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ),
D∗ (xn−1 , xn−1 , xn+1 ), D∗ (xn , xn , xn ),
D∗ (xn , xn , xn+1 ), D∗ (xn−1 , xn , xn ),
D∗ (xn−1 , xn , xn+1 ), D∗ (xn−1 , xn , xn+1 ),
D∗ (xn , xn , xn+1 )}
= a sup{D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ), D∗ (xn−1 , xn−1 , xn+1 ),
D∗ (xn , xn , xn+1 ), D∗ (xn−1 , xn , xn+1 )}

≤ a sup{D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ), D∗ (xn , xn , xn+1 ),
D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + D∗ (xn , xn , xn+1 )}
= a[D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + D∗ (xn , xn , xn+1 )].
Do đó, với mọi n ≥ 1 ta có

D∗ (xn , xn , xn+1 ) ≤

a
D∗ (xn−1 , xn−1 , xn )
1−a


19

:= bD∗ (xn−1 , xn−1 , xn ).
trong đó b =

a
1
∈ [0, 1) (vì a ∈ [0, )).
1−a
2

Từ đó suy ra

D∗ (xn , xn , xn+1 ) ≤ bn D∗ (x0 , x0 , x1 ), ∀n ≥ 1.

(2.1.2)

Áp dụng bất đẳng thức tứ giác và (2.1.2) ta có:

D∗ (xn , xn , xn+p ) ≤ D∗ (xn , xn , xn+1 ) + D∗ (xn+1 , xn+1 , xn+2 )
+ ... + D∗ (xn+p−1 , xn+p−1 , xn+p )
≤ (bn + bn+1 + ... + bn+p−1 )D∗ (x0 , x0 , x1 )
p
n1 − b
D∗ (x0 , x0 , x1 )
=b
1−b
bn
D∗ (x0 , x0 , x1 ), ∀n ≥ 1, ∀p ≥ 0.
≤
1−b
bn
Vì b ∈ [0, 1) nên
D∗ (x0 , x0 , x1 ) → 0 khi n → ∞. Do đó, theo Bổ đề 1.2.5,
1−b
bn
với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n0 sao cho
D∗ (x0 , x0 , x1 )
c với mọi
1−b
n ≤ n0 . Từ đó suy ra rằng với mọi c ∈ intP, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0
và mọi p ≥ 0 ta có D∗ (xn , xn , xn+p )
c. Do đó {xn } là dãy Cauchy. Vì X là
không gian đầy đủ nên xn → x∗ ∈ X .
Bây giờ, ta sẽ chứng minh x∗ là điểm bất động của T .
Theo cách xây dựng dãy {xn } và tính cyclic của T suy ra rằng với mọi i ∈

{1, 2, ..., p} tồn tại dãy con {xin } của {xn } sao cho {xin } ⊂ Ai . Mặt khác, vì Ai

đóng trong X và {xin } hội tụ tới x∗ nên x∗ ∈ Ai với mọi i = 1, 2, ..., p. Do đó,
theo (2.1.1) và bất đẳng thức tứ giác ta có:
D∗ (x∗ , x∗ , T x∗ ) ≤ D∗ (x∗ , x∗ , T xn ) + D∗ (T xn , T xn , T x∗ )
≤ D∗ (x∗ , x∗ , xn+1 ) + a sup{D∗ (xn , xn , x∗ ),
D∗ (xn , xn , xn+1 ), D∗ (xn , xn , T x∗ ), D∗ (x∗ , x∗ , xn+1 ),
D∗ (x∗ , x∗ , T x∗ ), D∗ (xn , x∗ , xn+1 ), D∗ (xn , x∗ , T x∗ ),
D∗ (xn , xn+1 , T x∗ ), D∗ (x∗ , xn+1 , T x∗ )}
≤ D∗ (x∗ , x∗ , xn+1 ) + a[D∗ (x∗ , x∗ , T x∗ )


20

+ D∗ (xn , xn , x∗ ) + D∗ (xn+1 , x∗ , x∗ )], ∀n = 1, 2, ...
Từ đó suy ra

D∗ (x∗ , x∗ , T x∗ ) ≤

1
[D∗ (x∗ , x∗ , xn+1 ) + aD∗ (xn , x∗ , x∗ )
1−a
+ aD∗ (xn+1 , x∗ , x∗ )], ∀n = 1, 2, ...

Từ bất đẳng thức này và xn → x∗ suy ra D∗ (x∗ , x∗ , T x∗ )

c với mọi c ∈ intP.

Do đó D∗ (x∗ , x∗ , T x∗ ) = 0 tức là x∗ = T x∗ .
p
∗

Cuối cùng, ta chứng minh x là điểm bất động duy nhất của T . Giả sử y ∈
i=1

p

cũng là điểm bất động của T . Khi đó, từ x∗ và y ∈

Ai

Ai . Ta có:
i=1

D∗ (x∗ , x∗ , y) = D∗ (T x∗ , T x∗ , T y)
≤ a sup{D∗ (x∗ , x∗ , y), D∗ (x∗ , x∗ , x∗ ),
D∗ (x∗ , x∗ , y), D∗ (y, y, x∗ ), D∗ (y, y, y),
D∗ (x∗ , y, x∗ ), D∗ (x∗ , y, y), D∗ (x∗ , x∗ , y),
D∗ (x∗ , y, y)}
= a.D∗ (x∗ , x∗ , y).
1
Vì a ∈ [0, ) nên từ bất đẳng thức này suy ra D∗ (x∗ , x∗ , y) = 0, tức x∗ = y . Vậy
2
x∗ là điểm bất động duy nhất của T.
2.1.7 Hệ quả. ([5]. Định lý 2.3) Cho {Ai }pi=1 là các tập con đóng, khác rỗng
p

p

Ai →

của không gian mêtric nón đầy đủ (X, d) và T :

i=1

Ai là ánh xạ p-cyclic
i=1

tức là T (Ai ) ⊂ Ai+1 ; i = 1, 2, ..., p trong đó Ap+1 = A1 .
1
Khi đó, nếu tồn tại a ∈ [0, ) sao cho với mỗi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 ta có
2

d(T x, T y) ≤ asup{d(x, y), d(x, T x), d(x, T y), d(y, T x), d(y, T y)}
p
∗

thì T có điểm bất động duy nhất x ∈
hội tụ tới x .

p

Ai , dãy {T n x0 }

Ai và với mọi x0 ∈
i=1

∗

(2.1.3)

i=1

21

Chứng minh. Ta xác định hàm D∗ : X × X × X → P với D∗ (x, y, z) = d(x, y) +

d(x, z)+d(y, z), với mọi x, y, z ∈ X . Khi đó, theo Định lí 1.3.12, D∗ là D∗ −mêtric
nón trên X và (X, D∗ ) là không gian D∗ −mêtric nón đầy đủ. Với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 ,
theo điều kiện (2.1.3) ta có:
D∗ (T x, T x, T y) = 2d(T x, T y) ≤ 2a sup{d(x, y),
d(x, T x), d(x, T y), d(y, T x), d(y, T y)}
= a sup{D∗ (x, x, y), D∗ (x, x, T x), D∗ (x, x, T y),
D∗ (y, y, T x), D∗ (y, y, T y)}
≤ a sup{D∗ (x, x, y), D∗ (x, x, T x), D∗ (x, x, T y),
D∗ (y, y, T x), D∗ (y, y, T y), D∗ (x, y, T x),
D∗ (x, y, T y), D∗ (x, T x, T y), D∗ (y, T x, T y)}.
Do đó theo Định lý 2.1.6 thì ta có điều phải chứng minh.
Trong Định lý 2.1.6, nếu lấy Ai = X với mọi i = 1, 2, ..., p thì ta nhận được hệ
quả sau.
2.1.8 Hệ quả. Giả sử (X, D∗ ) là không gian D∗ −mêtric nón đầy đủ và T :
1
X → X . Khi đó, nếu tồn tại a ∈ [0, ) sao cho
2
∗
∗
D (T x, T x, T y) ≤ asup{D (x, x, y), D∗ (x, x, T x), D∗ (x, x, T y),

D∗ (y, y, T x), D∗ (y, y, T y), D∗ (x, y, T x),
D∗ (x, y, T y), D∗ (x, T x, T y), D∗ (y, T x, T y)}
với mọi x, y ∈ X .
thì T có duy nhất điểm bất động trong X và với mọi x0 ∈ X dãy {T n x0 } hội tụ

tới điểm bất động x∗ của T .

2.2

Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co kiểu
Kannan và kiểu Chatterjea trong không gian D∗−mêtric
nón
Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ

cyclic thỏa mãn điều kiện co kiểu Kannan và kiểu Chatterjea trong không gian


22

D∗ −mêtric nón.
2.2.1 Định lý. Cho {Ai }pi=1 là họ các tập con đóng, khác rỗng của không gian
p

∗

∗

D −mêtric nón đầy đủ (X, D ) và ánh xạ T :

p

Ai →
i=1

Ai là các ánh xạ cyclic

i=1

tức là T (Ai ) ⊂ Ai+1 ; i = 1, 2, ..., p trong đó Ap+1 = A1 .
Khi đó, nếu tồn tại các hằng số không âm aj (j = 1, 2, ..., 9) sao cho

a1 + a2 + 2a3 + a4 + 2a5 + a7 + 2a8 + a9 < 1
và
D∗ (T x, T x, T y) ≤ a1 D∗ (x, x, y) + a2 D∗ (x, x, T x) + a3 D∗ (x, x, T y)

+ a4 D∗ (x, y, T x) + a5 D∗ (x, y, T y) + a6 D∗ (y, y, T x)

(2.2.1)

+ a7 D∗ (y, y, T y) + a8 D∗ (x, T x, T y) + a9 D∗ (y, T x, T y)
với mọi x ∈ Ai ; y ∈ Ai+1 thì T có điểm bất động. Nếu thêm giả thiết a1 + a3 +

a4 + a5 + a6 + a8 + a9 < 1 thì điểm bất động của T là duy nhất.
p

Chứng minh. Lấy x0 ∈

Ai và đặt xn = T xn−1 ; n = 1, 2, .... Khi đó, với mỗi
i=1

n ≥ 1 tồn tại i ∈ {1, 2, ..., p} sao cho xn−1 ∈ Ai , xn ∈ Ai+1 . Do đó, với mỗi
n = 1, 2, ... ta có
D∗ (xn , xn , xn+1 ) = D∗ (T xn−1 , T xn−1 , T xn )
≤ a1 D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + a2 D∗ (xn−1 , xn−1 , T xn−1 ) + a3 D∗ (xn−1 , xn−1 , T xn )
+ a4 D∗ (xn−1 , xn , T xn−1 ) + a5 D∗ (xn−1 , xn , T xn ) + a6 D∗ (xn , xn , T xn−1 )
+ a7 D∗ (xn , xn , T xn ) + a8 D∗ (xn−1 , T xn−1 , T xn ) + a9 D∗ (xn , T xn−1 , T xn )

= a1 D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + a2 D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + a3 D∗ (xn−1 , xn−1 , xn+1 )
+ a4 D∗ (xn−1 , xn , xn ) + a5 D∗ (xn−1 , xn , xn+1 ) + a6 D∗ (xn , xn , xn )
+ a7 D∗ (xn , xn , xn+1 ) + a8 D∗ (xn−1 , xn , xn+1 ) + a9 D∗ (xn , xn , xn+1 )
≤ (a1 + a2 + a4 )D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + a3 [D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + D∗ (xn , xn , xn+1 )]
+ a5 [D∗ (xn−1 , xn , xn ) + D∗ (xn , xn , xn+1 )] + a7 D∗ (xn , xn , xn+1 )
+ a8 [D∗ (xn−1 , xn , xn ) + D∗ (xn , xn , xn+1 )] + a9 D∗ (xn , xn , xn+1 )
Từ đó, với mọi n ≥ 1 ta có

(1 − a3 − a5 − a7 − a8 − a9 )D∗ (xn , xn , xn+1 )


23

≤ (a1 + a2 + a4 + a3 + a5 + a8 )D∗ (xn−1 , xn−1 , xn )
hay

a1 + a2 + a4 + a3 + a5 + a8 ∗
D (xn−1 , xn−1 , xn )
1 − a3 − a5 − a7 − a8 − a9
= bD∗ (xn−1 , xn−1 , xn ),

D∗ (xn , xn , xn+1 ) ≤

trong đó b =

(2.2.2)

a1 + a2 + a4 + a3 + a8 + a5
< 1.
1 − a3 − a5 − a7 − a8 − a9

Như vậy ta có

D∗ (xn , xn , xn+1 ) ≤ bD∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) ≤ b2 D∗ (xn−2 , xn−2 , xn−1 )
≤ ... ≤ bn D∗ (x0 , x0 , x1 )∀n ≥ 1.

(2.2.3)

Sử dụng bất đẳng thức tứ giác và (2.2.3) ta có

D∗ (xn , xn , xn+p ) ≤ D∗ (xn , xn , xn+1 ) + D∗ (xn+1 , xn+1 , xn+2 )
+ ... + D∗ (xn+p−1 , xn+p−1 , xn+p )
≤ (bn + bn+1 + ... + bn+p−1 )D∗ (x0 , x0 , x1 )
p
bn
n1 − b
∗
=b
D (x0 , x0 , x1 ) ≤
D∗ (x0 , x0 , x1 )
1−b
1−b

(2.2.4)

với mọi n ≥ 1 và với mọi p ∈ N.
bn
D∗ (x0 , x0 , x1 ) → 0 khi n → ∞. Do đó, từ Bổ đề 1.3.4 và
Vì b ∈ [0, 1) nên
1−b

(2.2.4) suy ra, với mọi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 và mọi

p ∈ N ta có
D∗ (xn , xn , xn+p )

c.

Theo Bổ đề 1.3.8, {xn } là dãy Cauchy trong (X, D∗ ). Vì (X, D∗ ) đầy đủ nên

xn → x ∈ X . Từ đó, ta có T xn = xn+1 → x. Từ cách xây dựng {xn } và tính
cyclic của T suy ra rằng với mỗi i ∈ {1, 2, ..., p} ắt tồn tại dãy con {xin } của
{xn } sao cho {xin } ⊂ Ai . Mặt khác, vì Ai đóng và xin → x nên x ∈ Ai với mọi
p

i = 1, 2, ..., p, hay x ∈

Ai . Do đó, từ bất đẳng thức tứ giác và điều kiệu (2.2.1)
i=1

ta có

D∗ (x, x, T x) ≤ D∗ (x, x, T xn ) + D∗ (T xn , T xn , T x)