Rèn luyện kĩ năng giải toán phương trình, bất phương trình cho học sinh Trung học cơ sở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
____________________________

NGUYỄN THỊ LINH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN - 2015

1


2


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
____________________________

NGUYỄN THỊ LINH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. PHẠM XUÂN CHUNG

NGHỆ AN - 2015

3


4


MỤC LỤC
Trang
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (9 tiết)................................................29

DANH MỤC BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

HS
GV
THCS
SGK

Học sinh

Giáo viên
Trung học cơ sở
Sách giáo khoa

5


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Xuất phát từ nhu cầu thực tế của thời đại, nhu cầu phát triển kinh
tế, Việt Nam đang đứng trước bài toán phải đổi mới một cách toàn diện từ
mục tiêu giáo dục, nội dung đến phương pháp, phương tiện dạy học. Mục tiêu
Giáo dục năm 2011 đã đề ra như sau:
“Xây dựng con người Việt Nam phát triển toàn diện, có lý tưởng, đạo
đức, có tính tổ chức và kỷ luật, có ý thức cộng đồng và tính tích cực cá nhân,
làm chủ tri thức hiện đại, có tư duy sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong
công nghiệp và có sức khoẻ, đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.”
Để thực hiện mục tiêu trên, Luật giáo dục đã quy định rõ: “Phương
pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng
tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, từng môn học, bồi
dưỡng năng lực tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú trong học tập cho HS”.
(Luật giáo dục, Chương 2- mục 2, điều 28)
1.2. Nghị quyết hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản,
toàn diện giáo dục đã chỉ rõ: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển
trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi
dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất
lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức,
lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến
thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập

suốt đời”.
1.3. Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung
dạy học. Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ năng thực hiện một loại hoạt
động nào đó nếu không chú ý trang bị kiến thức về lĩnh vực đó một cách vững
1


chắc. Ngược lại, việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi
lĩnh vực có tác dụng củng cố và mở rộng kiến thức, giúp cho người học tìm
thấy những tác dụng to lớn của kiến thức học được trong việc giải quyết các
tình huống trong thực tiễn và trong khoa học.
1.4. Chủ đề phương trình và bất phương trình có vị trí quan trọng trong
chương trình môn Toán THCS. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt
xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về phương trình và bất
phương trình còn là chìa khoá quan trọng để giúp học sinh học tốt các môn
học khác như vật lý, hóa học... Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức
lý thuyết về chủ đề phương trình, bất phương trình một cách đầy đủ theo quy
định của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất
phương trình cho học sinh có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất
lượng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trường THCS.
1.5. Có nhiều công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất lượng
dạy học nội dung Phương trình, bất phương trình. Dựa trên những kết quả
nghiên cứu đó, chúng tôi tập trung xét vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán
phương trình, bất phương trình cho học sinh. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài
của luận văn là: “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình
cho học sinh trung học cơ sở”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng các biện pháp rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải phương
trình, bất phương trình nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường
THCS.

3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học môn toán ở trường THCS.
3.2. Đối tượng nghiên cứu
Kỹ năng giải toán phương trình, bất phương trình.
2


4. Giả thuyết khoa học
Việc xây dựng hệ thống kỹ năng giải toán phương trình, bất phương
trình và rèn luyện các kỹ năng này cho học sinh trung học cơ sở là có thể thực
hiện được, đồng thời thông qua việc làm đó sẽ góp phần nâng cao chất lượng
dạy học toán ở trường phổ thông.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề kỹ năng, nội
dung và đặc điểm của phương trình, bất phương trình.
5.2. Điều tra, đánh giá thực trạng dạy phương trình, bất phương trình,
lựa chọn ra các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh trong giải phương trình,
bất phương trình.
5.3. Nghiên cứu và đề xuất một số định hướng sư phạm về việc rèn
luyện kỹ năng cho học sinh nhằm nâng cao năng lực giải Toán.
5.4. Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các biện pháp
sư phạm đã đề xuất.
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các tài liệu về triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý luận
dạy học môn toán.
Nghiên cứu các sách báo, các bài viết về khoa học toán, các công trình
khoa học giáo dục có liên quan trực tiếp đến đề tài.
6.2. Điều tra quan sát

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong
quá trình khai thác các bài tập ở sách giáo khoa.
6.3. Thực nghiệm sư phạm
Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của
luận văn.

3


7. Đóp góp của luận văn
Góp phần làm rõ vai trò của kỹ năng toán học và một số thành phần
trong năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc rèn luyện kỹ năng giải
phương trình, bất phương trình.
Đưa ra được các biện pháp rèn luyện khả năng suy nghĩ góp phần nâng
cao năng lực tư duy toán học cho học sinh.
Luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên
Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THCS
Ngoài phần phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn còn có những nội
dung chính sau:
8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận luận văn có 3 chương
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện cho học sinh THCS kỹ năng giải toán phương
trình, bất phương trình.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

4


CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề về kỹ năng giải toán
1.1.1. Kỹ năng
Trong bất kỳ một hoạt động nào, muốn đảm bảo kết quả, con người
không những chỉ cần có tri thức, có ý chí mà phải có những kỹ năng, kỹ xảo
nhất định.
Trong tâm lý học tồn tại hai quan niệm khác nhau về kỹ năng:
Quan niệm thứ nhất: Coi kỹ năng là mặt kỹ thuật của thao tác hành
động hay hoạt động.
Đại diện cho quan niệm này là các tác giả như: Ph.N.Gônôbôlin,
V.A.Krutretxki, V.X.Cudin, A.G.Kôvaliôv… Các tác giả này cho rằng, muốn
thực hiện được một hành động, cá nhân phải có tri thức về hành động đó, tức
là phải hiểu được mục đích, phương thức và các điều kiện để thực hiện nó. Vì
vậy, nếu ta nắm được các tri thức về hành động, thực hiện được nó trong thực
tiễn theo các yêu cầu khác nhau, tức là ta đã có kỹ năng hành động.
Quan niệm thứ hai: Coi kỹ năng không đơn thuần là mặt kỹ thuật của
hành động mà nó còn là một biểu hiện về năng lực của con người. Kỹ năng
theo quan niệm này vừa có tính ổn định, lại vừa có tính mềm dẻo, tính linh
hoạt và tính mục đích.
Đại diện cho quan niệm này là các tác giả: N.D.Lêvitôv, X.I.Kixegof,
K.K.Platônoov (1963, 1967), A.V.Barabasicoov (1963), v.v…
N.D.Lêvitôv cho rằng, kỹ năng là sự thực hiện có kết quả một động tác
nào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằng cách lựa chọn và áp dụng những
cách thức đúng đắn có chiếu cố đến những điều kiện nhất định. Như vậy,
Lêvitôv chú ý đến kết quả hành động, có nghĩa là phải biết chọn cách hành
động đúng đắn, phù hợp với các điều kiện cho phép.
5


V.V.Bôgxloxki cho rằng, kỹ năng có hai mức độ: kỹ năng sơ đẳng và kỹ

năng thành thạo. Kỹ năng sơ đẳng ban đầu là những hành động - những cái
được hình thành trên cơ sở của tri thức hay là kết quả của sự bắt chước. Còn
kỹ năng thành thạo được hình thành trên cơ sở của các tri thức và kỹ xảo những cái đã được lĩnh hội từ trước [ 2] .
X.I.Kixegof (1977) cũng có quan niệm giống như Bôgxloxki. Theo ông
thì có hai loại kỹ năng: kỹ năng bậc thấp (kỹ năng nguyên sinh) và kỹ năng
bậc cao (kỹ năng thứ sinh). “Kỹ năng nguyên sinh” được hình thành lần đầu
tiên qua các hành động đơn giản nó là cơ sở để hình thành kỹ xảo. Còn “kỹ
năng thứ sinh” là kỹ năng nảy sinh lần thứ hai sau khi đã có các tri thức và
các kỹ xảo [ 2] .
Theo K.K.Platônoov thì người có kỹ năng không chỉ hành động có kết
quả trong một hoàn cảnh cụ thể mà còn phải đạt được kết quả tương tự trong
những điều kiện khác nhau. Do vậy, theo ông kỹ năng của con người thực
hiện một hành động trên cơ sở của kinh nghiệm - những cái đã được lĩnh hội
từ trước. Hay nói cách khác, kỹ năng được hình thành trên cơ sở của các tri
thức và các kỹ xảo [ 31] .
Quan niệm của các nhà giáo dục Việt Nam như: Nguyễn Ánh Tuyết,
Ngô Công Hoan, Lê Văn Hồng và Nguyễn Quang Uẩn cũng tương tự như
quan niệm của hai tác giả nói trên.
Chẳ ng hạ n, Lê Văn Hồ ng có viế t: “kỹ năng là khả năng vậ n dụ ng
kiế n thứ c (khá i niệ m, cá ch thứ c, phương phá p…) để giả i quyế t mộ t
nhiệ m vụ mớ i” [ 21] .
Trong Từ điển Tâm lý học của Liên Xô (cũ) , kỹ năng là giai đoạn giữa
của việc nắm vững một phương thức hành động mới - cái dựa trên một quy

6


tắc (tri thức) nào đó và trên quá trình giải quyết một loạt các nhiệm vụ tương
ứng với tri thức đó, nhưng còn chưa đạt đến mức độ kỹ xảo.
Trong Từ điển tiếng Việt, kỹ năng lại được định nghĩa theo quan niệm

thứ hai như sau: Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận
được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế.
Trong Từ điển tiếng Nga, kỹ năng cũng được hiểu theo quan niệm thứ
hai như sau:
Một: Kỹ năng là khả năng làm một cái gì đó;
Hai: Khả năng này được hình thành bởi tri thức, kinh nghiệm;
Ba: Khi có kỹ năng tất cả đều có thể làm được.
Với nội hàm cần có trong khái niệm như trên, khái niệm về kỹ năng
theo quan niệm thứ hai, cụ thể là khái niệm kỹ năng của nhà tâm lý học người
Nga A.V.Barabansicôv - cái đã được nhiều tác giả sử dụng trong các công
trình nghiên cứu khác nhau là đầy đủ hơn cả. Theo tác giả: “Kỹ năng là khả
năng sử dụng tri thức và các kỹ xảo của mình một cách có mục đích và sáng
tạo trong quá trình của hoạt động thực tiễn. Khả năng này là khả năng tự tạo
của con người”.
Tóm lại, dù phát biểu khái niệm ở bất cứ góc độ nào, các tác giả
đều thống nhất kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách
thức, phương pháp,...) để giải quyết một nhiệm vụ mới, giải quyết các
bài tập cụ thể.
Học sinh thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra
khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn
có giữa kiến thức và đối tượng. Sở dĩ như vậy là do kiến thức không chắc
chắn, khái niệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ 0sở của kỹ năng.
Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc
tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định.
Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành
7


động, để hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra
thu được thông tin mới). Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức

(hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát
hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và
những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho.
Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hưởng của
các yếu tố sau:
- Nội dung của bài toán đặt ra, được tách ra một cách rõ ràng hay che
đậy quan hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch hướng
tư duy
Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 - 13x2 + 36 = 0

(1)

Đây là tình huống có vấn đề khi họ c sinh mớ i họ c về phương
trì n h bậ c hai.
Học sinh cần phải quan sát, phân tích tất cả các số hạng có mặt trong
phương trình (so sánh với kiến thức đã học giải phương trình bậc 2), từ đó
mới phát hiện được mối quan hệ bản chất có mặt trong bài toán đó. Đặt
x 2 = y khi đó bài toán (1) trở thành giải phương trình:
y 2 − 13 y + 36 = 0 với y ≥ 0
Như vậy, bài toán chỉ là cái áo ngụy trang, việc lột bỏ hình thức bề
ngoài của bài toán, phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa trong bài toán,
giúp học sinh xác định đúng bản chất của bài toán.
Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, học sinh chỉ
nhìn thấy, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm
toàn bộ những yếu tố có mặt trong bài toán.
- Khả năng khái quát, mở rộng ảnh hưởng không nhỏ đến việc hình
thành kỹ năng.

8

- Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến sự hình
thành kỹ năng. Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp họ dễ
dàng hình thành kỹ năng, còn ngược lại sẽ cản trở việc học tập. Thói quen tâm
lý là một trở ngại thường gặp trong học tập. Nguyên nhân chủ yếu hình thành
thói quen tâm lý đó là tư duy của con người có tính phương hướng. Một loại
kiến thức hoặc phương pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tượng sâu làm cho
học sinh không bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen tư duy cũ để mở ra một
hướng suy nghĩ mới.
- Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là
nhận thức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng
bài toán cụ thể.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2(2 x − 1) 2 − x +

1
=0
2

Nếu chỉ quan sát trên bề mặt thông thường học sinh lớp 9 sẽ chỉ nghĩ
đến việc khai triển rồi đơn giản đưa ra phương trình bậc hai:
4 2 x 2 − (4 2 + 1) x + 2 +

1
=0
2

và tìm nghiệm theo công thức quen thuộc rất cồng kềnh, phức tạp:
1


(4 2 + 1) ± (4 2 + 1) 2 − 4.4 2  2 + ÷
2

x1,2 =
= ...
2.4 2
Tuy nhiên, nếu chú ý quan sát, phân tích đặc điểm bài toán thấy giữa
các hệ số hình thành tỉ lệ, thực hiện biến đổi đơn giản các hệ số đưa phương
trình về dạng:
thì ta có:

a( x + b)( x + c) = 0
1
2(2 x − 1) 2 − (2 x − 1) = 0
2

9


1

⇔ (2 x − 1)  2(2 x − 1) −  = 0
2

(2 x − 1) = 0
⇔
1
 2(2 x − 1) − = 0

2

Như vậy, thói quen tâm lý là một thứ tiêu cực, làm cho tư duy trở nên
cứng nhắc, bảo thủ và cản trở quá trình học tập của học sinh.
1.1.2. Kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải toán là một thành phần của kỹ năng toán học, được hình
thành, rèn luyện và phát triển chủ yếu thông qua hoạt động giải toán. Do đó,
kỹ năng giải toán có thể hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân, đáp ứng cao
yêu cầu lĩnh hội tri thức, có khả năng độc lập huy động tri thức, kỹ năng, kinh
nghiệm trong hoạt động giải toán, hướng đến việc góp phần hình thành, bồi
dưỡng và phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh.
1.1.3. Các thành phần kỹ năng giải toán
a) Kỹ năng dự đoán vấn đề
Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tục trong một
quãng thời gian, sau đó đưa ra ý kiến nhận xét về những gì có khả năng xảy ra
thì ta đã làm công việc dự đoán. Để có dự đoán mang tính chuẩn xác cao, cần
phải xem xét các bằng chứng một cách cẩn thận trước khi đưa ra điều dự đoán
của mình.
Theo tác giả Đào Văn Trung mô tả: “Dự đoán là một phương pháp tư
tưởng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học. Đó là căn cứ vào
các nguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa
biết. Hay dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận” [25].
Dự đoán có vai trò quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống,
vậy liệu có cách nào học được dự đoán hay không? Theo G.Polya thì “...trừ
những người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải

10


học tập để có được năng khiếu dự đoán đó. Quá trình dự đoán có kết quả khi
phán đoán mà chúng ta đưa ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đoán
của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và như

vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự đoán sai và các dự
đoán đúng. Những dự đoán có thể rất táo bạo nhưng phải có căn cứ dựa trên
những qui tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, càng không
phải là nghĩ liều” [8].
Để có kỹ năng dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là học
sinh phải giải thật nhiều dạng toán, phải biết tích luỹ kinh nghiệm. Họ cần
phải được rèn luyện các kỹ năng thành tố như: Kỹ năng xem xét các đối
tượng Toán học, kỹ năng tư duy biện chứng; kỹ năng so sánh, phân tích, tổng
hợp, đặc biệt hoá, tổng quát hoá; kỹ năng liên tưởng các đối tượng, quan hệ
đã biết với các đối tượng tương tự, quan hệ tương tự.
b) Kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ
Đứng trước một vấn đề, học sinh có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải
quyết hoặc là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau. Một trong những
phương án có thể đáp ứng được nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngôn ngữ
của bài toán.
Kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng
để huy động kiến thức đối với việc giải toán.
Việc chuyển đổi ngôn ngữ có thực hiện được hay không còn phụ thuộc
vào kỹ năng phân tích bài toán tức là bài toán đó có thể chuyển sang được
ngôn ngữ nào.
Kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ giúp học sinh có thêm những định
hướng, những đường lối cho việc tìm tòi nhiều phương pháp, cách giải
khác nhau.
c) Kỹ năng quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự

11


Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán
được gọi là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc

cùng giả thiết, hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giống
nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau. Khai thác chức năng của bài
tập tương tự là một trong những việc làm quan trọng trong dạy học bởi nó có
vai trò khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo.
Biến đổi về dạng tương tự là một hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt
động này thể hiện trong tiến trình người giải toán phải làm bộc lộ đối tượng
của hoạt động (các khái niệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các
đối tượng toán học, các quan hệ giữa chúng). Những hoạt động đó là để biến
đổi cấu trúc, nội dung và hình thức của đối tượng, sao cho các tri thức mới
tương thích với các tri thức đã có; từ chủ thể xâm nhập vào đối tượng, hiểu và
giải thích chúng, vận dụng chúng với tư cách là sản phẩm của hoạt động nhận
thức. Để sự tìm tòi được thuận lợi, nhiều khi cũng cần có những thủ thuật để
biến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụ thể.
Biến đổi về dạng tương tự thực chất là đi tìm những điểm tiếp xúc của
bài toán với kiến thức đã có thể hiện ở các góc độ khác nhau. Việc biến đổi đó
có thể thực hiện nhờ biến đổi hình thức để tương thích với tri thức đã có của
học sinh hoặc là biến đổi nội dung để có thể tìm ra mối liên hệ giữa bài toán
này với bài toán khác. Khi nghiên cứu một đối tượng cần phải xem xét nó
trong mối liên hệ với các đối tượng khác và cần xét kĩ cái chưa biết để huy
động những kiến thức gần nhất với bài toán đang giải hoặc ít ra là đã giải bài
toán tương tự.
Nhờ quá trình biến đổi vấn đề, biến đổi các bài toán học sinh có thể quy
các vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ về các vấn đề quen thuộc, về
các bài toán tương tự đã giải.
d) Kỹ năng nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

12


Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vật

biện chứng ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận dưới nhiều
góc độ, có nhiều hình thức biểu đạt khác nhau. Một bài toán có thể ta phải
chuyển đổi ngôn ngữ bằng các cách khác nhau. Hoặc có thể nhìn nhận nó
dưới nhiều “cái riêng” khác nhau.
Nếu đứng trước một vấn đề mỗi người làm toán có thói quen nhìn nhận
theo nhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã
có thì sẽ hình thành dần nên trong họ một tư duy nhạy bén, sắc sảo một niềm
tin sẽ giải quyết được vấn đề bởi lẽ bài toán đang giải đó nó còn tiềm ẩn
những cách giải ở những góc độ nào đó mà chúng ta phải khám phá ra.
e) Kỹ năng phân chia trường hợp
Trong việc trình bày lý thuyết, hệ thống hoá các kiến thức, cũng như
khi giải toán biện luận,... ta cần phải phân chia một khái niệm.
Trong lôgic học, người ta quan niệm: “Phân chia khái niệm là thao tác
lôgic, chia các đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm cần phải phân chia thành
các nhóm theo những tiêu chuẩn nhất định” [22].
Nói cách khác, phân chia một khái niệm tức là đem ngoại diên của khái
niệm ấy chia thành nhiều bộ phận [4].
Phân loại là phân chia một tập hợp đối tượng cho trước thành những
tập hợp con, dựa trên cơ sở một dấu hiệu chung.
Giữa phân chia khái niệm và phân loại thường không có sự phân biệt
rõ ràng, người ta thường dùng phân loại theo nghĩa phân chia khái niệm.
Việc phân chia, phân loại phải tuân theo một số quy tắc nhất định:
+ Sự phân chia (phân loại) phải triệt để, không bỏ sót;
+ Sự phân chia (phân loại) không trùng lặp;
+ Cùng một lúc không được đưa vào nhiều dấu hiệu khác nhau để
phân chia;
+ Phân chia phải liên tục [22].
13

f) Kỹ năng suy luận lôgic
Trong lôgic học người ta quan niệm rằng:“Suy luận là quá trình suy
nghĩ để rút ra một mệnh đề từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có trước” [7].
Các mệnh đề có trước gọi là tiền đề của suy luận, các mệnh đề mới rút
ra gọi là hệ quả hay kết luận của suy luận.
Một suy luận bất kỳ nói chung có cấu trúc lôgic A ⇒ B , trong đó A là
tiên đề, B là kết luận. Cấu trúc lôgic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là
cách lập luận.
Xét suy luận với cấu trúc lôgic A ⇒ B , nếu suy luận kéo theo A ⇒ B
đúng thì suy luận được gọi là suy luận hợp lôgic.
Ta phải phân biệt hai hình thức suy luận: suy luận diễn dịch (suy diễn)
và suy luận quy nạp.
+ Suy luận diễn dịch (phép suy diễn) là suy luận theo những quy tắc
(quy tắc suy diễn) xác định rằng nếu tiền đề (các tiền đề) là đúng thì kết luận
rút ra cũng đúng [4].
Suy luận suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng. Vậy để đảm bảo
tính chất đúng đắn của một suy diễn thì các tiền đề của suy luận phải đúng
đồng thời suy luận phải hợp lôgic.
+ Suy luận quy nạp: chúng ta gọi các kết luận được rút ra trên cơ sở các
quan sát và thực nghiệm, tức là những kết quả nhận được bằng con đường
xem xét các trường hợp riêng và sau đó khái quát lên thành những quy luật
cho các trường hợp tổng quát gọi là suy luận quy nạp [7].
* Quy nạp hoàn toàn được sử dụng rộng rải để chứng minh các định lý
và giải Toán. Trong phương pháp quy nạp hoàn toàn, khẳng định chung được
chứng minh là đúng trong mỗi trường hợp riêng có thể xảy ra, do đó, mặc dù
được gọi là quy nạp, nhưng ta vẫn phải xem quy nạp hoàn toàn là suy luận
thuộc loại suy diễn [7].

14

Thật vậy, để có thể áp dụng được phương pháp suy luận này, ta phải
đưa về việc phân chia các trường hợp chung thành một số hữu hạn các
trường hợp riêng có thể có và chứng minh khẳng định đúng trong tất cả các
trường hợp riêng.
Từ những đặc điểm trên về suy luận quy nạp hoàn toàn, để tránh sự
trùng lặp nhiều, trong Luận văn chúng tôi sẽ không bàn nhiều về phát triển
năng lực suy luận lôgic ở góc độ này. Vì năng lực này được phát triển nếu
chúng ta phát triển được ở học sinh năng lực suy diễn, năng lực phân chia các
trường hợp riêng.
* Quy nạp không hoàn toàn là phép đi từ cái đúng riêng đến kết luận
cho cái chung, đi từ một hiện tượng đơn nhất cho các hiện tượng phổ biến [7].
Đối với phép quy nạp không hoàn toàn, đặc biệt hoá và khái quát hoá,
tương tự hoá, được xem là các thủ thuật lôgic tư duy chủ yếu, có ý nghĩa cực
kỳ quan trọng trong khi tiến hành suy luận.
Theo GS. Nguyễn Cảnh Toàn: “Để đi đến cái mới trong Toán học phải
biết được tư duy lôgic và tư duy biện chứng. Trong việc phát hiện vấn đề và
định hướng giải quyết vấn đề thì tư duy biện chứng giữ vai trò chủ đạo, còn
hướng giải quyết vấn đề đã rõ thì tư duy lôgic giữ vai trò chính” [24].
Ngoài ra, trong quá trình giải toán, khi đứng trước một vấn đề cần giải
quyết thì hoặc phải biến đổi giả thiết và kết luận sao cho chúng xích lại gần
nhau hơn, hoặc biến đổi tìm kiếm nhiều thông tin liên quan đến bài toán. Có
nghĩa, vai trò của suy luận lôgic là rất quan trọng trong quá trình học và
nghiên cứu toán.
g) Kỹ năng khái quát hoá
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp
đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật
một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [15].

15

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đến
phương pháp tư duy khái quát. Không có khái quát thì không có khoa học;
không biết khái quát là không biết cách học. Kỹ năng khái quát là kỹ năng
học tập vô cùng quan trọng, kỹ năng khái quát Toán học là một khả năng đặc
biệt [25].
Trong số các năng lực trí tuệ thì kỹ năng khái quát hoá tài liệu Toán học
là thành phần cơ bản nhất của kỹ năng toán học; điều này đã được các nhà Sư
phạm, nhà Toán học như: V. A. Krutretxki, A. I. Marcusêvich, Pellery,...
khẳng định trong sơ đồ cấu trúc năng lực toán học của mình.
Để giúp học sinh phát triển năng lực khái quát hoá cần tập luyện cho họ
hoạt động khái quát hoá và điều cốt yếu nhất là nắm vững phương pháp khái
quát hoá. Trên tinh thần đó, để phát triển kỹ năng khái quát hoá cho học sinh
có thể thực hiện theo các cách sau:
+ Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở so sánh
các trường hợp riêng có sự tham gia của hoạt động phân tích - tổng hợp
Khái quát hoá có ý nghĩa là sự chuyển những kiến thức đã có lên một
mức độ cao hơn dựa trên cơ sở xác định tính chất chung hay quan hệ phổ biến
của các đối tượng đang xét. Chính vì vậy, trong khi tiến hành khái quát hoá
phải thấy được những nét chung duy nhất trong các mệnh đề riêng biệt.
Hoạt động phân tích và tổng hợp bao giờ cũng diễn ra khi hoạt động so
sánh chưa tìm ra được đặc điểm bản chất - chung để khái quát hoá. Kết quả
hoạt động khái quát hoá chỉ là dự đoán, vì vậy để có độ chính xác về mặt
Toán học cần có bước chứng minh. Đường lối chứng minh kết quả khái quát
có thể tìm thấy sau quá trình phân tích, quá trình giải các bài toán cụ thể
nhưng cũng có những trường hợp đường lối giải quyết bài toán cụ thể chưa
thể áp dụng để giải quyết bài toán tổng quát lúc này giáo viên cần gợi động cơ
để học sinh có thể tìm kiếm con đường giải quyết khác mà nó có thể giúp ích
cho việc giải quyết bài toán tổng quát.

16


Khái quát hoá trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ là một con
đường khái quát hoá, nhưng không phải là con đường duy nhất. Bên cạnh con
đường này (con đường của số đông học sinh) còn tồn tại một con đường khác
(con đường của một số học sinh có nhiều khả năng) không dựa vào sự so sánh
mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giống
nhau. Việc nhận biết một số bài tập cụ thể như là đại diện của một lớp bài tập
cùng kiểu thuộc về dạng khái quát hoá này. Vì vậy, ta coi trọng đúng mức
nhưng không quá cường điệu vai trò của so sánh trong khái quát hoá.
+ Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở trừu
tượng hoá cùng với hoạt động phân tích và tổng hợp.
Đặc điểm của phương pháp này là từ phân tích một sự vật cụ thể, riêng
lẻ suy ra tính chất chung của loại sự vật đó. Khái quát từ trừu tượng cũng là
phương pháp vô cùng quan trọng. Nó bắt đầu từ phân tích, từ ngoài vào trong,
từ thô đến tinh, chọn lấy cái cốt lõi.
+ Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở hoạt động
tương tự hoá và đặc biệt hoá
Các phương pháp đặc biệt hoá, tổng quát hoá và tương tự hoá đặc biệt
có ý nghĩa rất quan trọng trong sáng tạo toán học. Có thể vận dụng chúng để
giải các bài toán đã cho; để mò mẫm và dự đoán kết quả, tìm ra phương
hướng giải bài toán; để mở rộng đào sâu, và hệ thống hoá các kiến thức.
Khi giải một bài toán, phương pháp tổng quát là tìm cách đưa bài toán
phải giải thành một bài toán tương tự, đơn giản hơn; sao cho nếu giải được bài
toán sau thì sẽ giải được bài toán đã cho. Đây là một hoạt động mà chúng ta
cần phải bồi dưỡng cho học sinh. Tuy nhiên, chúng ta cũng phải biết hình
thành ở học sinh khả năng ngược lại; tức là từ những trường hợp đặc biệt rồi
cho học sinh dự đoán kết quả khái quát hoá.
h) Kỹ năng diễn đạt nội dung bài toán theo những cách khác nhau

17


Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm
một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt đến mục đích trông thấy rõ
ràng, nhưng không thể đạt được ngay. Giải toán tức là tìm phương tiện đó.
Như vậy, bài tập là một tình huống kích thích đòi hỏi người giải một lời
giải đáp, mà lời giải đáp này về toàn bộ hoặc từng phần không ở trạng thái có
sẵn ở người giải tại thời điểm bài tập được đưa ra.
Trong tự nhiên và xã hội, các sự vật có mối quan hệ với nhau và trong
những điều kiện nào đó chúng có thể chuyển hoá qua nhau. Trong lĩnh vực
Toán học cũng vậy, có nhiều loại toán có liên quan với nhau. Mối quan hệ
giữa chúng trong những điều kiện nào đó cho phép ta có thể chuyển từ việc
giải bài toán này qua việc giải bài toán khác (có nội dung khác nhau).
Ta biết rằng, hiểu sâu vấn đề cần giải quyết là then chốt để giải
quyết vấn đề. Độ sâu của sự hiểu biết này chủ yếu thể hiện ở việc nắm
vững bản chất vấn đề và biểu đạt nó dưới những dạng khác nhau. Học
cách biến hoá, thay đổi sự diễn đạt vấn đề không những có lợi để nối
thông các kiến thức liên quan với nhau mà còn có lợi cho việc vận dụng
linh hoạt các kiến thức đó.
1.1.4. Đặc điểm của kỹ năng giải toán
Là tập hợp tất cả những nét riêng biệt và tiêu biểu được xem là dấu hiệu
để phân biệt với các kỹ năng khác, gồm:
- Kỹ năng giải toán là một dạng năng lực hoạt động của các nhân được
nảy sinh xuất hiện những tình huống có vấn đề, có nhu cầu hay mâu thuẫn cần
giải quyết; được hiểu là một biểu hiện của năng lực khám phá trong quá trình
giải một bài toán cụ thể.
- Kỹ năng giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độc
lập, sáng tạo của học sinh; tận lực huy động tri thức và kinh nghiệm trong tiến

trình giải toán để đi đến lời giải; để tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho
và xác định hướng giải các bài toán mới có từ bài toán ban đầu.
18


- Kỹ năng giải toán của chủ thể (học sinh) luôn thể hiện ở "trạng thái
động" bởi tính linh hoạt, mềm dẻo thích ứng của tư duy và thay đổi các
phương thức khác nhau để khám phá giải bài toán.
- Kỹ năng giải toán được đặc trưng bởi tính hướng đích và tính kết
quả cao: Phát hiện, tiếp cận vấn đề, áp dụng mọi kiến thức để đi đến kết
quả bài toán.
Tiến trình giải một bài toán cụ thể có 3 mức độ của kỹ năng giải toán:
+ Mức độ 1: Tập trung vào sự đáp ứng những yêu cầu mà bài toán
đặt ra (đối với học sinh trung bình với biểu hiện chưa rõ nét của kỹ năng
giải toán).
+ Mức độ 2: Tập trung vào sự lựa chọn những tri thức và phương pháp
giải toán thích hợp; việc sử dụng có hiệu quả những tri thức và phương pháp
đó để hoàn tất tiến trình giải toán (đối với học sinh khá nắm được bản chất
của năng lực giải toán, vận dụng cụ thể, sáng tạo các thành phần của kỹ năng
giải toán).
+ Mức độ 3: Tập trung vào việc tiên liệu những điều kiện đã làm nảy
sinh các vấn đề khó khăn hay mâu thuẫn cần giải quyết trong bài toán và việc
"phán xét", cách tiếp cận, giải quyết các vấn đề trong tiến trình giải toán,
(điều này thể hiện năng lực giải toán ở học sinh khá, giỏi).
1.1.5. Vai trò của kỹ năng giải toán
Cùng với vai trò của cơ sở tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ
năng, sự nhấn mạnh này đặc biệt cần thiết đối với các môn Toán, vì vậy kỹ
năng được coi là một công cụ. Vị trí quan trọng của nó trong việc thực hiện
nhiệm vụ phát triển nhân cách học sinh trong nhà trường, vì vậy cần hướng
hướng mạnh vào việc vận dụng tri thức và rèn luyện kỹ năng.

Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn nói rằng: “Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ
năng, tư duy và tính cách. Trong đó kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng,

19


bởi vì nếu không có kỹ năng thì sẽ không phát huy được tư duy và cũng không
đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề.”
Rèn luyện kỹ năng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mỗi quan hệ
giữa học với hành. Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết
học thuộc lòng định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng không thành thạo
vào việc giải bài tập.

20