Ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có mặt đồng thời hai thăng giáng

i
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
___________________________

NGUYỄN ĐĂNG TIẾN

MA TRẬN SUY GIẢM NGẪU NHIÊN
KHI CÓ MẶT ĐỒNG THỜI HAI THĂNG GIÁNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

VINH, 2015


ii
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
___________________________

NGUYỄN ĐĂNG TIẾN

MA TRẬN SUY GIẢM NGẪU NHIÊN
KHI CÓ MẶT ĐỒNG THỜI HAI THĂNG GIÁNG

CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC
Mã số: 60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN HUY CÔNG

VINH, 2015


i

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Vật lí,
Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện giúp đỡ tốt
nhất để tôi có môi trường nghiên cứu khoa học trong suốt khóa học.
Tôi xin phép được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo
PGS.TS. Nguyễn Huy Công. Thầy đã trực tiếp định hướng và tận tình giúp đỡ
tôi nhiều mặt cả về kiến thức, phương pháp nghiên cứu cũng như cung cấp
cho tôi tài liệu để hoàn thành luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thấy giáo chủ nhiệm chuyên
ngành Quang học TS. Nguyễn Huy Bằng, cùng các thầy cô giáo trong khoa đã
giúp đỡ, giảng dạy và có nhiều ý kiến đóng góp quý báu cho tôi trong quá
trình học tập và thực hiện luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình và đồng nghiệp
cùng các bạn học viên cao học 21 đã thường xuyên động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Vinh, tháng 5 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Đăng Tiến


ii

MỤC LỤC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH....................................................................................i
NGUYỄN ĐĂNG TIẾN.......................................................................................i
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ............................................................................i
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH...................................................................................ii
NGUYỄN ĐĂNG TIẾN......................................................................................ii
CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC.................................................................ii
Mã số: 60.44.01.09..........................................................................................ii
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ...........................................................................ii


iii

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

Ký hiệu

Đơn vị

A

1/s

Hệ số Einstein, đặc trưng cho tốc độ
phân rã ngẫu nhiên

D

Hệ số khuếch tán

1 / T1

1/s
1/s

1 / T2u

1/s

Tốc độ hồi phục của thành phần u của thành phần
thời gian hồi phục ngang (tương ứng với thành
phần u của xác suất chuyển giữa hai mức năng
lượng)

1 / T2v

1/s

Tốc độ hồi phục của thành phần v của thành phần
thời gian hồi phục ngang
(tương ứng với thành phần v của xác suất chuyển
giữa hai mức năng lượng)

τ

s

a

1/s

Tương ứng với biên độ của nhiễu telegraph
x(t)

b

1/s

Tương ứng với biên độ của nhiễu telegraph
y(t)

ω0

1/s

Tần số chuyển giữa hai mức năng lượng

ωL

1/s

Tần số của trường laser kích thích

∆ = ω L − ω0

1/s

Độ lệch tần số (hiệu giữ tần số của trường kích
thích và tần số chuyển mức)

Ω

1/s

Tần số Rabi

Ω∗

1/s

Liên hợp phức của tần số Rabi

u, v, w
∑

Nghĩa

Tốc độ hồi phục của thành phần thời gian hồi phục
dọc (tương ứng với hiệu xác suất tồn tại hạt ở hai
mức năng lượng)

Thời gian kết hợp của nhiễu telegraph

Các thành phần của véc tơ Bloch quang học
Ma trận suy giảm ngẫu nhiên
DANH MỤC CÁC HÌNH


iv

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH....................................................................................i
NGUYỄN ĐĂNG TIẾN.......................................................................................i
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ............................................................................i
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH...................................................................................ii
NGUYỄN ĐĂNG TIẾN......................................................................................ii
CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC.................................................................ii
Mã số: 60.44.01.09..........................................................................................ii
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ...........................................................................ii


1

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những vấn đề quan trọng nhất trong các cơ sở lý thuyết của
quang học lượng tử đó là việc nghiên cứu tương tác giữa trường điện từ với
môi trường.
Để nghiên cứu tương tác của trường điện từ (laser) với hệ nguyên tử, về
mặt lý thuyết nhiều tác giả đã sử dụng phương trình Bloch và thu được những
kết quả khá phù hợp với thực nghiệm.
Trong những năm đầu của thập kỷ 70 của thế kỷ XX đã xuất hiện một
số thực nghiệm, theo đó, nếu dùng phương trình quang học Bloch thông
thường, chúng ta không thể giải thích một cách trọn vẹn, đầy đủ và chính xác
vì chúng ta coi các đại lượng đặc trưng cho trường như biên độ, tần số trong
phương trình Bloch là không đổi, nhưng trong thực tế thì chúng luôn có sự
thay đổi. Theo ngôn ngữ của quang học lượng tử, những sự thay đổi này được
gọi là những thăng giáng.
Tương tự như phương trình Bloch trong cộng hưởng từ, trong quang
học lượng tử, người ta đã tìm ra các phương trình diễn tả sự thay đổi của các
thông số của hệ lượng tử (thông số của các nguyên tử) khi có mặt trường kích

thích. Vì dạng của các phương trình này hoàn toàn giống như các phương
trình Bloch trong cộng hưởng từ nên chúng được gọi là các phương trình
Bloch quang học.
Như chúng ta đã biết, lý thuyết về tương tác của trường điện từ với một
đối tượng vật chất khác, được mô tả theo quá trình phát triển của lịch sử và
theo các mức độ sau đây:
Mô tả thuần tuý bằng lý thuyết cổ điển: Trường điện từ thay đổi theo
quy luật sóng, thoả mãn hệ phương trình Maxwell. Đối tượng vật chất vận


2

động theo quy luật cổ điển, tức là được mô tả bởi các định luật động lực học
Newton
Mô tả bằng lý thuyết bán cổ điển: Trường điện từ thay đổi theo quy luật
sóng thoả mãn hệ phương trình Maxwell. Còn đối tượng vật chất vận động
tuân theo quy luật của cơ học lượng tử, tức là quy luật vận động của đối tượng
vật chất lúc này tuân theo phương trình sóng Schrodinger.
Mô tả bằng lý thuyết bán lượng tử: Trường điện từ thay đổi theo quy


luật lượng tử, tức là trường ở đó các véc tơ cường độ điện trường E và các


véc tơ cảm ứng từ B đã được biểu diễn qua các toán tử sinh, huỷ pho ton và
sự thay đổi của trường được biểu diễn thông qua sự thay đổi theo thời gian
của các toán tử, còn sự vận động của đối tượng vật chất lại vẫn tuân theo quy
luật cổ điển Newton.
Mô tả bằng lý thuyết thuần tuý lượng tử: các véc tơ trường đều được
biểu diễn qua toán tử và sự thay đổi của chúng được biểu diễn thông qua sự

thay đổi theo thời gian của các toán tử, còn đối tượng vật chất cũng được
lượng tử hoá và vận động theo quy luật Schrodinger.
Thông thường, trong 4 loại mô tả tương tác đó, người ta hay sử dụng lý
thuyết bán cổ điển (ở đó trường điện từ vẫn được xem là trường cổ điển còn
môi trường được xem là hệ hạt lượng tử). Vì hệ lượng tử có rất nhiều mức
năng lượng nên khi nghiên cứu hệ này, thông thường chúng ta hay sử dụng sự
gần đúng nguyên tử hai mức, tức là chúng ta xem trong nguyên tử chỉ có hai
mức năng lượng tham gia vào quá trình tương tác. Hai mức đó đóng vai trò
như hạt có spin s =

1
đặt trong trường ngoài. Với lý thuyết bán cổ điển, sự
2


3
r r

biến đổi theo thời gian của các véc tơ trường E, B vẫn tuân theo các phương
trình Maxwell.
Khi đưa thăng giáng của một đại lượng nào đó vào phương trình quang
học Bloch, để tìm được quy luật thay đổi theo thời gian của các thông số
nguyên tử, chúng ta phải giải phương trình này. Vì có mặt thăng giáng (tức là
có mặt đại lượng thay đổi một cách ngẫu nhiên) nên để giải, chúng ta phải lấy
trung bình các giá trị của các thông số nguyên tử. Khi đó chúng ta được cái
gọi là phương trình quang học Bloch hiệu dụng. Trong phương trình quang
học Bloch hiệu dụng, dưới dạng ma trận, xuất hiện một ma trận chứa các
thông số của thăng giáng ngẫu nhiên và được gọi là ma trận suy giảm hiệu
dụng. Biết được ma trận suy giảm hiệu dụng này, chúng ta tính được sự thay
đổi của các thông số nguyên tử theo thời gian.

Thông thường cho đến nay, người ta chỉ mới đề cập đến những tính
toán lý thuyết liên quan đến một thăng giáng lượng tử. Vấn đề đặt ra là khi có
đồng thời hai thăng giáng lượng tử thì ma trận suy giảm hiệu dụng sẽ có dạng
ra sao? Các thời gian hồi phục dọc, ngang sẽ thay đổi như thế nào?
Trường hợp này, cho đến nay mới có rất ít các công trình khoa học đề
cập tới.
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề đó, tức là đề cập tới
việc xác định biểu thức của ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có mặt đồng thời
hai thăng giáng.
Như trên đã trình bày, trong biểu thức tổng quát của ma trận suy giảm
ngẫu nhiên chứa đựng các thông số đặc trưng cho loại thăng giáng (loại
nhiễu) mà chúng ta xem xét. Dạng cụ thể của ma trận suy giảm ngẫy nhiên sẽ
phụ thuộc vào việc chúng ta khảo sát sự thăng giáng của đại lượng nào, đồng
thời xem thăng giáng đó thuộc loại nào (thăng giáng nhiễu trắng hay thăng
giáng nhiễu màu).


4

Trong luận văn này, ngoài việc đưa ra biểu thức tổng quát của ma trận
suy giảm ngẫu nhiên, chúng tôi sẽ xét cụ thể cho trường hợp có mặt đồng thời
của thăng giáng độ lệch tần và thăng giáng cường độ trường laser kích thích.
Từ biểu thức cụ thể của ma trận suy giảm này, chúng ta sẽ xác định được sự
thay đổi của các thông số nguyên tử, cụ thể là sự thay đổi của các thời gian
hồi phục khi có mặt đồng thời hai thăng giáng trên.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
- Tìm hiểu về ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có mặt đồng thời hai
thăng giáng của trường kích thích.
- Tìm hiểu ảnh hưởng Thời gian hồi ngang khi có mặt đồng thời hai
thăng giáng; Thăng giáng nhiễu telegraph của độ lệch tần và thăng giáng

nhiễu trắng của cường độ trường kích thích
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng
+ Hệ lượng tử khi có mặt trường kích thích và phương trình Bloch hiệu
dụng.
+ Thời gian phục hồi dọc và ngang.
+ Ảnh hưởng của các thăng giáng lên các thời gian hồi phục.
3.2. Phạm vi
Nghiên cứu trong phạm vi lý thuyết bán cổ điển, tức là lý thuyết về
tương tác giữa trường kích thích với môi trường vật chất, trong đó trường kích
thích vẫn là trường cổ điển (các véc tơ trường vẫn được mô tả bằng các hàm
sóng sin, cos và phương trình của các véc tơ trường vẫn là các phương trình
Maxwell) còn môi trường vật chất là một hệ lượng tử, sự tiến hoá theo thời
gian của các thông số môi trường tuân theo phương trình Schrodinger.
4. Các nội dung chính


5

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, trong phần nội
dung, luận văn đề cập đến các vấn đề sau:
• Phương trình Bloch quang học trong lý thuyết bán cổ điển.
• Khái niệm về nhiễu lượng tử và hàm tương quan.
• Phương trình Bloch quang học hiệu dụng khi có mặt đồng thời hai
thăng giáng.
• Ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có mặt đồng thời hai thăng giáng
• Ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có mặt đồng thời hai thăng giáng
nhiễu trắng và nhiễu màu
• Các thời gian phục hồi dọc và ngang khi có mặt hai nhiễu
• Các nhận xét về ảnh hưởng của nhiễu lên các thời gian hồi phục này.

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết kết hợp với so sánh các kết quả thu được từ thực
nghiệm rồi rút ra kết luận.


6

PHẦN NỘI DUNG
Chương 1
MA TRẬN SUY GIẢM NGẪU NHIÊN
KHI CÓ MẶT THĂNG GIÁNG
Mở đầu
Như trên đã trình bày, vì có mặt thăng giáng (tức là có mặt đại lượng
thay đổi một cách ngẫu nhiên) nên để giải phương trình Bloch quang học,
chúng ta phải lấy trung bình các giá trị của các thông số nguyên tử. Khi đó
chúng ta được cái gọi là phương trình quang học Bloch hiệu dụng. Trong
phương trình quang học Bloch hiệu dụng, dưới dạng ma trận, xuất hiện một
ma trận chứa các thông số của thăng giáng ngẫu nhiên và được gọi là ma trận
suy giảm ngẫu nhiên. Biết được ma trận suy giảm ngẫu nhiên này, chúng ta
tính được sự thay đổi của các thông số nguyên tử theo thời gian.
1.1 Phương trình quang học Bloch trong lý thuyết bán cổ điển
Xét hệ hai mức 1 và 2 có năng lượng là W1 và W2 . Ta có mô hình hệ
nguyên tử hai mức:

W2

2

W1

1

Hình 1.1. Mô hình hệ nguyên tử hai mức

Chúng ta khảo sát hệ nguyên tử hai mức bằng lý thuyết bán cổ điển.
Tức là lý thuyết trong đó môi trường vật chất được lượng tử hoá còn trường
vẫn là trường cổ điển.
Khi đặt hệ trong trường ngoài, Hamilton toàn phần của hệ là:


7

H = H0 + Ht

(1.1)

Trong đó: H 0 là Hamilton của nguyên tử tự do (không có tương tác)
H t là Hamilton tương tác giữa nguyên tử với trường
urur
H t = −d .E ( r , t )

(1.1)

r

r

ở đây E là cường độ điện trường tại điểm đặt lưỡng cực; d là mômen lưỡng
cực biểu diễn phép chuyển giữa hai mức của nguyên tử.
Hai trạng thái riêng của toán tử H 0 được ký hiệu là: 1 và 2 .

1
hω0 ( 2 2 + 1 1 )
2
H t = − d .E ( 1 2 + 2 1 )
H0 =

Ta có:

(1.2)

hω0 = W2 − W1

Ta đưa vào các kí hiệu:
σ=1 2

đặc trưng cho phép chuyển từ mức 2 về mức 1.

σ+ = 2 1

đặc trưng cho phép chuyển từ mức 1 lên mức 2.

σz = 2 2 − 1 1

đặc trưng cho hiệu mật độ cư trú giữa hai mức.

Khi đó ta có các giao hoán tử:
σ , σ +  = −σ z

[ σ , σ z ] = 2σ

(1.3)

σ z , σ +  = 2σ +

Và (1.2) có dạng:
1
H 0 =  ω0σ z
2
H t = −dE (σ + σ + )

(1.4)

Sở dĩ H 0 được biểu diễn bằng công thức đó là do ta biến đổi như sau:
H 0 = W1 ( 1 1 ) + W2 ( 2 2 ) = W1σ 11 + W2σ 22 =

ở đây chúng ta đã sử dụng:

1
1
 ω 0 ( σ 22 − σ 11 ) + (W2 + W1 )
2
2


8

W2 -W1 = hω0 ; σ 22 + σ 11 = 1

Vì ( σ 22 − σ 11 ) = σ z nên:
1

1
H 0 =  ω 0σ z + (W2 + W1 )
2
2

Vì trong thực tế chúng ta chỉ quan tâm đến hiệu năng lượng giữa hai
mức nên ta có quyền chọn gốc để tính năng lượng mà không làm thay đổi bản
chất của các hiện tượng được nghiên cứu. Nghĩa là năng lượng có thể chọn sai
khác một hằng số. Bởi vậy ta có quyền chọn gốc năng lượng sao cho có thể
bỏ đi đại lượng thứ hai của biểu thức trên [1], [2].
Với cách lập luận đó thì biểu thức toán tử năng lượng của nguyên tử chỉ
còn lại số hạng thứ nhất mà thôi, nghĩa là:
H0 =

1
 ω 0σ z
2

(1.5)

Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình cho một toán tử tuỳ ý có
dạng:
•

i Q = [ Q, H ]

(1.6)

Áp dụng (1.6) cho toán tử σ ,σ + , σ z ta có:

[

1
•
+
i σ = [σ , H ] = [σ , H 0 + H t ] = 2  ω 0 [σ ,σ z ] − dE σ ,σ

]

⇔ ihσ• =  ω 0σ + dEσ z
⇒

•

σ = −iω 0σ −

idE
σz


(1.7)

Tương tự (1.7), ta tính được:
•

σ + = iω 0σ + +
•

σz =

[

idE
σz


2idE +
σ −σ


]

Đặt E = E0 [ exp(iωt ) + exp(−iωt )] với ω là tần số trường ngoài.

(1.8)
(1.9)


9

Đại lượng:
Ω=

2dE0
h

(1.10)

gọi là tần số Rabi đặc trưng cho cường độ trường ngoài. Vì ở trên ta giả thiết
rằng d là thực nên Ω là đại lượng thực do vậy Ω = Ω* .

Ta đưa các phương trình (1.7), (1.8), (1.9) về hệ:
iΩ
•
iωL t
− iω L t

σ = −iω0σ − 2 σ z e + e
 •
iΩ
 +
− iω t
iω t
+
σ = iω0σ + σ z  e L + e L 
2

•

iωL t
− iωL t
+

σ z = iΩ σ − σ  e + e


(1.11)

Bằng phép đặt:
σ = r ( t ) .e − iωLt ⇒ σ + = r ( t ) .eiωLt
σ z = w;

∆ = ω L − ω0

Ta đưa hệ phương trình (1.11) về dạng:
iΩ
•
2 iωL t

 r = −i ∆r − 2 w 1 + e
•
iΩ
 +
+
w 1 + e −2iωLt 
 r = i ∆r +
2

•

+
+ 2 iω L t
− re −2 iωLt 
 w = i Ω  r − r + r e


(1.12)

Áp dụng phương pháp gần đúng sóng quay (RWA), ta bỏ qua các số
hạng dao động mạnh (chứa số mũ 2ω) trong (1.12), ta được:
iΩ

•
 r = −i∆r − 2 w
•
iΩ
 +
+
w
 r = i∆r +
2

•
+
 w = iΩ  r − r 


(1.13)


10

Ta đưa vào các kí hiệu:

1

 r = 2 (u − iv)
; Khi đó ta có:

 r + = 1 (u + iv)

2

u = r + r +

+
v = i (r − r )

Từ đó hệ phương trình (1.13) trở thành:
•
u = −∆u
•
v = ∆u + Ωw
•
 w = −Ωv


(1.14)

Các hệ phương trình (1.13) hoặc (1.14) có dạng giống hệ phương trình
Bloch trong cộng hưởng từ nên chúng được gọi là những phương trình Bloch
quang học.
Nếu xét đến sự có mặt các dao động nhiệt, khi đó trong phương trình
Bloch quang học (1.13) có xuất hiện thêm các hằng số tắt dần đặc trưng cho
quá trình này. Lúc đó phương trình (1.13) được viết lại dưới dạng:
iΩ
•
 r = ( −i∆ − 1/ T2 ) r − 2 w
•
iΩ*
 +
+

r
=
i
∆
−
1/
T
r
+
w
(
)

2
2

•
+
*
 w = ( ωeq − 1/ T1 ) w − 1/ T1 + i ( r Ω − r Ω )


Và phương trình (1.14) được viết lại dưới dạng:
•
 Ω − Ω* 
u
=
−
1/
T

u
−
∆
v
−
i
(


÷w
2)
2



*
 •
Ω+Ω 
v = ∆u + ( −1/ T2 ) v + 
÷w
 2 

•
*
*

 

 w = iu  Ω − Ω ÷− v  Ω + Ω ÷+ (−1/ T1 − weq ) w


 2   2 

Trong đó:

(1.15)


11

- weq là giá trị của w trong trạng thái cân bằng với bể nhiệt. Thông
thường, đại lượng này có giá trị weq = −1 .
- T1 được gọi là thời gian sống dọc tương ứng với thành phần M z nằm
dọc theo phương từ trường ngoài của mô men từ nguyên tử
- T2 được gọi là thời gian sống ngang tương ứng với hai thành phần
M x , M y nằm vuông góc với phương của từ trường ngoài của mô men từ

nguyên tử.
Để tiện cho việc xem xét sau này, ta biểu diễn các thành phần nghịch
đảo của các thời gian sống ngang và dọc bằng các ký hiệu:
1 A
= =γ;
T2 2

1
= A = 2γ
T1

(1.16)

Rõ ràng, hệ số γ (hoặc A ) đặc trưng cho tốc độ suy giảm do phát xạ tự phát

gây ra.
Đồng thời ta giả thiết tần số Rabi Ω (1/s) là đại lượng thực Ω = Ω* thì
phương trình (1.14) có thể được viết dưới dạng ma trận:
 u    0 −∆ 0   γ 0 0    u   0 
d  ÷ 
÷
÷ 
÷÷ ÷ 
v ÷ =   ∆ 0 Ω ÷−  0 γ 0 ÷÷ v ÷+  0 ÷

dt  ÷  
÷ 
÷÷ ÷ 
÷
 w    0 −Ω 0   0 0 2γ    w   weq 

(1.17)

Ngoài ra, để đơn giản, thông thường chúng ta bỏ qua giá trị weq = −1 vì
nó không có đóng góp gì vào sự thay đổi của các thông số của hệ lượng tử
theo thời gian. Khi đó phương trình ma trận (1.17) có dạng đơn giản như sau:
 u    0 −∆ 0   γ 0 0    u 
d  ÷ 
÷ 
÷÷ ÷
v ÷ =   ∆ 0 Ω ÷−  0 λ 0 ÷÷ v ÷

dt  ÷  
÷ 
÷÷ ÷

 w    0 −Ω 0   0 0 2γ    w 

Hay:

dV
= MV
dt

(1.18)

(1.19)


12

Với:

u
 ÷
V =v÷ ;
 w÷
 

 γ −∆ 0 

÷
M = ∆ γ
Ω÷
 0 −Ω 2γ ÷




(1.20)

Nếu để ý đến cả giá trị weq = −1 thì (1.18) được viết lại dưới dạng
phương trình ma trận bậc 4 như sau:
 u   −γ
 ÷ 
d v÷  ∆
=
dt  w ÷  0
 ÷ 
1  0

−∆
0
−γ
Ω
−Ω −2γ
0
0

0  u 
÷ ÷
0 ÷ v ÷
−2γ ÷ w ÷
÷ ÷
0  1 

(1.21)

Hay:
dV
= MV
dt

(1.22)

Trong đó V, M là các ma trận có dạng:
u
 −γ
 

∆
v
V = ; M =
 0
w
 

1
 0
 

−∆
0
−γ
Ω
−Ω −2γ
0

0

0 
÷
0 ÷
−2γ ÷
÷
0 

(1.23)

Như vậy với việc xem nguyên tử hai mức giống như hạt có spin s =

1
2

đặt trong trường ngoài, chúng ta đã xuất phát từ hình thức luận véctơ spin
trong cộng hưởng từ để áp dụng cho các vấn đề về cộng hưởng quang.
Phương trình (1.17) hay (1.22) với ma trận một cột V và ma trận M
được xác định từ (1.20) hay (1.23) được gọi là phương trình Bloch quang học.
Sở dĩ có tên gọi này là vì chúng có dạng giống phương trình Bloch trong cộng
hưởng từ [1], chỉ có điều các thông số trong phương trình là các thông số
quang học lượng tử ( ∆, Ω ) chứ không phải là các thành phần của mô men từ
như trong phương trình Bloch của cộng hưởng từ.


13

1.2 Các loại thăng giáng của các thông số nguyên tử và trường
Như trên đã đề cập, trong các phương trình quang học Bloch, các đại

lượng đặc trưng cho trường và nguyên tử ( ∆, Ω ) được xem là những đại lượng
không có sự thay đổi theo thời gian. Điều đó thuần túy chỉ là những điều kiện
lý tưởng hóa, chỉ thỏa mãn trong những trường hợp khi các yêu cầu chính xác
hóa các kết quả tính toán ở mức vĩ mô thông thường.
Trong thực tế, các đại lượng đặc trưng cho trường (biên độ E0 , tần số
ωL và pha ϕ ) cũng như đặc trưng cho hệ nguyên tử (mô men lưỡng cực

nguyên tử d , hay tần số chuyển giữa hai mức của hệ ω0 ) đều có sự thăng
giáng. Kết quả là các đại lượng:
Cường độ trường biểu diễn thông qua tần số Rabi Ω =

2dE0
hay độ lệch
h

tần ∆ = ωL − ω0 hoặc pha của trường ϕ = ωLt sẽ thăng giáng theo thời gian. Đại
lượng đặc trưng cho sự thay đổi (thăng giáng) được ký hiệu là x ( t ) và được
gọi là thăng giáng (hay là nhiễu).
Mối liên hệ giữa các giá trị của thăng giáng giữa hai thời điểm gần
nhau t và t ' được biểu diễn qua giá trị trung bình của tích hai giá trị của
thăng giáng được gọi là hàm tương quan về thời gian của thăng giáng đó.
Mối liên hệ giữa các giá trị của thăng giáng giữa vị trí không gian gần
nhau r và r ' được biểu diễn qua giá trị trung bình của tích hai giá trị của
thăng giáng được gọi là hàm tương quan về không gian của thăng giáng đó.
Thông thường người ta quan tâm chủ yếu đến hàm tương quan thời gian.
Nếu khi chúng ta đưa sự phụ thuộc của thăng giáng vào phương trình
quang học Bloch, nếu thăng giáng có dạng Gaussian bất kỳ, chúng ta không
thể lấy trung bình được phương trình nếu không biết được hàm tương quan
của thăng giáng đó.

14

Thông thường, thay cho một thăng giáng có dạng Gaussian, chúng ta
xét cho những thăng giáng có dạng đơn giản hơn. Cụ thể là chúng ta sẽ khảo
sát các loại thăng giáng có các hàm tương quan như sau:
a) Thăng giáng được gọi là nhiễu trắng là loại thăng giáng mà hàm
tương quan [3] của nó có dạng:
x( t ) = 0 và x( t ') x( t ) = 2 Dδ ( t '−t ) ,

(1.24)

Đồ thị của nó là một đường thẳng, tức đại lượng bổ sung là một lượng
không đổi.
b) Thăng giáng được gọi là nhiễu màu (hay còn có tên gọi là nhiễu
telegraph hoặc nhiễu điện tín) là loại thăng giáng mà hàm tương quan của nó
có dạng:
x( t ) = 0 và x( t ') x( t ) = a 2 exp( − τ / τ c )

(1.25)

ở đâyτ c là thời gian kết hợp, tức thời gian khi hai giá trị nhiễu ở hai thời điểm
kết tiếp còn có quan hệ với nhau, còn τ = t '−t . Như vậy đại lượng bổ sung là
thay đổi ngẫu nhiên theo hai giá trị biên độ a và −a . Ta có nhận xét là khi
τ → 0 và a 2τ c → const = D thì nhiễu telegraph sẽ trở về nhiễu trắng.

Để nhiễu mà chúng ta gán cho nó gần đúng hơn với một nhiễu hỗn loạn
trong thực tế thì chúng ta phải tổ hợp nhiều nhiễu telegraph lại, lúc đó chúng
ta có được nhiễu gọi là nhiễu tiền – Gaussian, tức là dẫn đến nhiễu Gaussian
thông thường.

1.3 Phương trình quang học Bloch khi có thăng giáng ngẫu nhiên
Phương trình trên là phương trình đúng cho trường hợp lý tưởng, khi
cường độ, pha và tần số của trường kích thích là hoàn toàn đơn sắc và các
mức năng lượng của hệ lượng tử không suy biến. Trong thực tế không phải
như vậy, do nhiều nguyên nhân, các thông số của trường có thể thăng giáng
và các mức năng lượng của hệ có thể suy biến với một độ rộng phổ nào đó.


15

Sự mở rộng đó có thể là do va chạm, do sự mở rộng tự nhiên, mở rộng
Doppler, v.v.. Vì vậy để sát với thực tế chúng ta phải chú ý bổ sung ảnh
hưởng của các thăng giáng này vào trong phương trình, tức là chúng ta phải
đưa thêm vào ma trận suy giảm tương ứng với các thăng giáng. Phương trình
chứa thêm các ma trận suy giảm này gọi là phương trình Bloch ngẫu nhiên
(Stochastic Bloch Equations) (SBE).
Khi có thăng giáng ngẫu nhiên (có nhiễu), phương trình Bloch mô
tả sự tiến hoá động lực của các thông số của hệ lượng tử sẽ có dạng tổng
quát như sau:
V&= −iM ( x(t ) ) V =  −iM S − iM nh ( x ( t ) )  V ( t )

(1.26)

ở đây V là véc tơ Bloch, là ma trận một cột, chứa các thành phần của véc tơ
Bloch.
M là ma trận vuông có số hàng bằng số cột và bằng số hàng của véc tơ
V còn x( t ) là một thăng giáng (nhiễu) ngẫu nhiên. Ma trận M là ma trận

không những chứa các phần tử kết hợp (bao gồm các thành phần không đổi
của các thông số: độ lệch tần ∆ , tần số Rabi Ω liên quan đến cường độ trường

ngoài và hệ số Einstein A đặc trưng cho sự suy giảm tự phát (phân rã ngẫu
nhiên) mà còn chứa cả đại lượng đặc trưng cho thăng giáng, tức là chứa các
thông số nhiễu.
M S là ma trận chỉ chứa những phần tử kết hợp (bao gồm các thành phần

không đổi của các thông số: độ lệch tần ∆ , tần số Rabi Ω liên quan đến
cường độ trường ngoài và hệ số Einstein A đặc trưng cho sự suy giảm tự phát
(phân rã ngẫu nhiên)
M nh là ma trận chứa nhiễu ngẫu nhiên x ( t )


16

1.4 Phương trình quang học Bloch hiệu dụng
Trở lại với phương trình (1.26). Vì nó là một phương trình vi phân ngẫu
nhiên nên để giải nó, chúng ta phải lấy trung bình.
Như chúng ta đã biết, nếu nhiễu mà chứng ta đưa vào trong phương
trình quang học (1.26) ở trên là hoàn toàn hỗ loạn, không có dạng cụ thể của
hàm tương quan thì ta không thể lấy trung bình thống kê của hàm đó được.
Muốn lấy trung bình thống kê của hàm thì chúng ta phải biết được hàm tương
quan của nhiễu đó.
Như trên ta đã thấy, đối với trường hợp nhiễu trắng thì hàm tương quan
của chúng khá đơn giản, bản thân nhiễu đó không phản ánh được các thăng
giáng ngẫu nhiên trong thực tế.
Trong khoảng vài chục năm trở lại đây, thông thường người ta sử dụng
nhiễu telegraph. Vì nó cáo hàm tương quan xác định nên tuy có phức tạp hơn
nhiễu trắng nhưng cũng không phải là quá phức tạp để khôn giải được
phương trình quang học Bloch một cách giải tích.
Trên cơ sở tính chất của nhiễu telegraph, chúng ta sẽ lấy trung bình
phương trình quang học Bloch, tức là xác định biểu thức của ma trận suy

giảm ngẫu nhiên khi có nhiễu này. Mặt khác, như trên ta đã thấy, ma trận suy
giảm ngẫu nhiên này không những phụ thuộc vào vào loại nhiễu mà còn phụ
thuộc vào nguồn nhiễu. Do đó để có dạng tường minh cho ma trận suy giảm,
chúng ta cần phải lưu ý đến các nguồn nhiễu khác nhau, chẳng hạn đó là
nguồn nhiễu của độ lệch tần số, nguồn nhiễu của cường độ trường kích thích
hay nguồn nhiễu của pha.
Từ phương trình (1.26), chúng ta tìm được nghiệm của nó có dạng [2],
[4], [6] dưới dạng sau:
V ( t) = e

− iM S t

t

V ( 0 ) + ∫ ds exp  −iM S ( t − s ) .x ( t ) ( −iM nh ) V ( s )
0

(1.27)


17

Lấy trung bình hai vế phương trình (1.26) ta được:
V&( t ) = −iM S V ( t ) − iM nh x ( t ) V ( t )

Đặt:

Y ( t) = x( t) V ( t)

(1.28)

(1.29)

Từ các công thức (1.27), (1.28) và (1.29), chúng ta tìm được biểu thức
của Y ( t ) như sau:
t

Y ( t ) = ∫ ds exp  −iM S ( t − s ) . ( −iM nh ) x ( t ) x ( s ) V ( s )

(1.30)

0

Sử dụng hàm tương quan (1.25) của nhiễu telegraph, chúng ta biểu diễn
được hàm Y ( t ) dưới dạng sau:
t


1
Y ( t ) = a 2 ∫ ds exp  −iM S − ÷( t − s ) . ( −iM nh ) V ( s )
τc 
0



(1.31)

Thay (1.31) vào (1.28) chúng ta được phương trình vi-tích phân sau đây
đối với V ( t ) :
t



1
2
&
V ( t ) = −iM S V ( t ) − a M nh ∫ ds exp  −iM S − ÷( t − s ) M nh V ( s )
τc 
0



(1.32)

Như vậy từ (1.31) và (1.32) ta có hệ phương trình:
V&( t ) = −iM S V ( t ) − iM nhY ( t ) ;
Y&( t )


1
= −ia 2 M nh V ( t ) +  −iM S − ÷Y ( t )
τc 


(1.33)

Với điều kiện ban đầu:
Y ( t = 0) = 0 ; V ( t = 0) = V ( 0) ;

(1.34)

Khi đó phương trình đối với ảnh Laplace của (1.33) có dạng:

z V%( z ) = V ( 0 ) − iM S V%( z ) − iM nhY%( z ) ;
zY%( z )


1
= −ia 2 M nh V%( z ) +  −iM S − ÷Y%( z )
τc 


(1.35)


18




÷
2
a
M nh ÷
Khử Y%( z ) ta được: V ( 0 ) = V%( z )  z + iM S + M nh
1

÷
z + iM S +

÷
τc




(1.36)

Nghiệm của nó có dạng qua phép biến đổi Laplace ngược như sau:
dz zt
V ( t) = Ñ
∫ 2π i e

e zt
z + iM S + a M nh

1

2

1
z + iM S +
τc

M nh

V ( 0)

(1.37)

Khi chúng ta chỉ quan tâm đến động học gần trạng thái dừng hoặc khi
các thời gian tham gia trong hiện tượng đủ dài để Y ( t ) giảm chậm hơn so với
V ( t ) thì trong công thức (1.33) thì chúng ta có thể sử dụng đến cái gọi là sự

gần đúng đoạn nhiệt, nghĩa là đặt Y&( t ) = 0 . Từ đó ta có:
Y ( t ) = −i

V&( t )

a2
1
iM S +
τc

M nh V ( t )

(1.38)




÷
1
=  −iM S + a 2 M nh
M nh ÷ V ( t )
1

÷
iM
+
S

÷
τc




(1.39)

Phương trình (1.39) được gọi là phương trình quang học Bloch hiệu
dụng.
1.5 Ma trận suy giảm ngẫu nhiên
Ta viết lại phương trình trên dưới dạng:
×

V ( t ) = ( −iM S − ∑ ) V ( t )

(1.40)

Trong đó
∑ = − a 2 M nh

1
1
iM S +
τc

M nh = M A

1
1
iM S +
τc

MA

(1.41)


19

với:

M A = iaM nh

(1.42)

được gọi là ma trận suy giảm ngẫu nhiên.
Rõ ràng, từ biểu thức của ma trận này ta thấy ma trận này phụ thuộc
vào tính chất của các thăng giáng của các đại lượng mà ta đang khảo sát sự
tiến hoá của chúng, tức là phụ thuộc vào hàm tương quan của đại lượng thăng
giáng.
Dưới ảnh hưởng của các thăng giáng, một loạt các thông số của hệ
nguyên tử sẽ có sự thay đổi phụ thuộc vào dạng của ma trận này.
Phương trình (1.40) chứa ma trận suy giảm ngẫu nhiên và được gọi là
phương trình quang học Bloch hiệu dụng. (1.40) còn có tên gọi là phương
trình cộng hưởng quang (Optical Resonance Equation: ORE) thay thế cho
phương trình quang học Bloch thông thường khi chưa có nhiễu.
Từ (1.40) cũng cho ta xác định được nghiệm dừng của phương trình
quang học Bloch hiệu dụng:
d V ( t)
dt

= ( −iM S − ∑ ) V ( ∞ ) = 0

(1.43)

Phương trình (1.43) cho thấy rằng ở trạng thái dừng, chúng ta có thể
giải được một cách giải tích phương trình cộng hưởng quang (1.40) nếu biết
dạng cụ thể của ma trận suy giảm ngẫu nhiên ∑ .
Trở lại phương trình (1.18) ta thấy, trong trường hợp phương trình
quang học Bloch được biểu diễn bằng ma trận 3 x 3, các số hạng trên đường
chéo chính của nó chứa được phần suy giảm do phát xạ tự phát được đặc
A

1

trưng bởi hệ số Einstein: γ = 2 = T .
2
Để tách phần không phụ thuộc vào các đặc trưng của nhiễu ngẫu nhiên,
chúng ta viết lại ma trận M S dưới dạng sau:
−iM S = −iM 0 − Γ

(1.44)