Khảo sát quá trình lan truyền Soliton trong môi trường trong suốt cảm ứng điện từ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
----------------------------

PHẠM THỊ YẾN

KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON
TRONG MÔI TRƯỜNG TRONG SUỐT
CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Vinh - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
----------------------------

PHẠM THỊ YẾN

KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN
SOLITON TRONG MÔI TRƯỜNG
TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
Chuyên ngành: Quang học
Mã số:

60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học:
TS. BÙI ĐÌNH THUẬN

Vinh - 2015


3

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS
Bùi Đình Thuận đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo trong suốt quá trình viết luận
văn tốt nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, khoa vật ly
– công nghệ trường Đại học Vinh đã tận tình truyền đạt kiến thức trong 2 năm
học tập. Vốn kiến thức được tiếp thu trong quá trình học không chỉ là nền
tảng cho quá trình nghiên cứu luận văn mà còn là hành trang quy báu để tôi
tiếp tục theo đuổi ước mơ của mình.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã chia sẻ, động
viên, giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Vinh, tháng 5 năm 2015
Học viên

Phạm Thị Yến


4

MỤC LỤC

5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong lĩnh vực quang học, soliton là mối quan tâm đặc biệt bởi vì các
ứng dụng quan trọng của nó trong xử ly và truyền tải thông tin [1, 5]. Cho đến
nay, hầu hết các soliton quang được tạo ra trong các môi trường quang thụ
động, ví dụ như sợi thủy tinh. Tuy nhiên cũng chính do tính chất thụ động của
môi trường đã làm cho việc điều khiển hoạt động của soliton quang gặp nhiều
khó khăn.
Cùng với sự phát triển của công nghệ laser, trong những năm gần đây
nhiều nghiên cứu đã tập trung vào việc xem xét tính chất quang học của các
môi trường hoạt động thông qua hiện tượng trong suốt cảm ứng điện từ [1215]. Hiệu ứng này là kết quả của sự giao thoa lượng tử giữa các biên độ xác
suất của các kênh dịch chuyển trong nguyên tử dưới sự kích thích kết hợp của
một hoặc nhiều trường điện từ. Hệ quả của sự giao thoa lượng tử này là dẫn
đến sự trong suốt của môi trường đối với một chùm quang học nào đó (chùm
laser dò) dưới sự điều khiển của một chùm sáng khác (gọi là “chùm laser điều
khiển”). Đến nay, hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ đã được phát triển mở
ra nhiều lĩnh vực ứng dụng mới như: tạo ra các bộ chuyển mạch quang học,
làm chậm vận tốc nhóm ánh sáng, lưu trữ và xử ly thông tin lượng tử, tăng
cường hiệu suất các quá trình quang phi tuyến, phổ phân giải cao [12-15 ].
Các tính chất của hiện tượng này đã dẫn đến một loại soliton quang mới, là
soliton quang siêu chậm có thể có thể tồn tại trong môi trường nguyên tử
nhiều mức [12-15]. Trong luận văn này chúng tôi sẽ tập trung vào xem xét
các tính chất động học của quá trình lan truyền xung trong môi trường dưới
ảnh hưởng của hiện tượng trong suốt cảm ứng điện từ. Làm rõ sự khác biệt
giữa sự lan truyền soliton trong môi trường thụ động với các môi trường cộng
hưởng ( hoạt động).

6

Với mục đích nói trên, chúng tôi lựa chọn “Khảo sát quá trình lan
truyền soliton trong môi trường trong suốt cảm ứng điện từ” làm vấn đề
nghiên cứu cho luận văn của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là: Nghiên cứu động học của quá
trình lan truyền xung trong môi trường nguyên tử ba mức, từ đó đi xác định
điều kiện để tồn tại các soliton, và đưa ra một số ứng dụng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Sự lan truyền của soliton và sự va chạm của
chúng trong môi trường trong suốt cảm ứng điện từ theo điều kiện của sự
cộng hưởng trong môi trường nguyên tử ba mức.
- Phạm vi nghiên cứu:
+ Lan truyền soliton trong môi trường sợi quang, soliton và ứng dụng
của nó, hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ.
+ Lan truyền soliton trong môi trường trong suốt cảm ứng điện từ.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về sự lan truyền của soliton trong môi trường trong suốt cảm
ứng điện từ (EIT), từ đó nêu ra tính chất của soliton cũng như ứng dụng tiềm
tàng của nó.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn được tiến hành bằng phương pháp ly thuyết, phân tích, so sánh.
6. Đóng góp mới của đề tài
- Về khoa học: Từ các kết quả nghiên cứu được sẽ cung cấp những thông
tin về sự lan truyền của soliton và sự va chạm của chúng trong môi trường
trong suốt cảm ứng điện từ (EIT) theo điều kiện của sự cộng hưởng trong môi
trường nguyên tử ba mức, ứng dụng của nó trong thông tin lượng tử. Để từ đó
có những hướng nghiên cứu mới, đi sâu vào khảo sát được những hiện tượng

mới có ứng dụng trong thực tiễn đời sống.
- Về thực tiễn: Giúp các bạn sinh viên, học viên và người quan tâm có
một hệ thống kiến thức tương đối đầy đủ và vững chắc về tính chất động học
cơ bản của soliton khi lan truyền trong môi trường trong suốt cảm ứng điện
từ.


7

7. Cấu trúc luận văn
Nội dung của luận văn được trình bày với bố cục gồm: Mở đầu, hai
chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1: Lan truyền soliton trong môi trường sợi quang
Chương này sẽ thiết lập phương trình sóng mô tả lan truyền xung trong
sợi quang từ hệ phương trình Maxwell. Đồng thời trong chương này còn giới
thiệu về soliton, cơ chế hình thành soliton và một số loại soliton cùng ứng
dụng của nó trong thực tế. Tìm hiểu về hiện tượng trong suốt cảm ứng điện
từ.
Chương 2: Khảo sát quá trình lan truyền của soliton trong môi trường
trong suốt cảm ứng điện từ.
Trong chương này sẽ đưa ra hệ phương trình Maxwell-Bloch đối với quá
trình lan truyền các xung laser dò và laser điều khiển trong môi trường
nguyên tử ba mức có cấu hình Λ. Xác định các lời giải soliton và sự xuất hiện
của simulton ( một dạng đặc biệt của soliton, thuật ngữ này đã được sử dụng
trong [5,11]). Đồng thời nghiên cứu sự va chạm của soliton dưới điều kiện cụ
thể và từ đó rút ra tính chất của soliton cũng như ứng dụng của nó.

Chương 1
LAN TRUYỀN SOLITON TRONG MÔI TRƯỜNG SỢI QUANG VÀ
HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

1.1. Phương trình lan truyền xung trong môi trường sợi quang
1.1.1. Hệ phương trình Maxwell
Trong giới hạn cổ điển, sự lan truyền của các xung trong sợi quang có
thể mô tả một cách toán học bằng hệ phương trình Maxwell sau:


8



∂B
∇×E =−
∂t

(1.1.1)


  ∂D
∇× H = J +
∂t

∇⋅ D = ρ

∇⋅B = 0


(1.1.2)
(1.1.3)
(1.1.4)



Trong đó E , H lần lượt là vectơ cường độ điện trường và vectơ cường






độ từ trường. D , B là vectơ cảm ứng điện và vectơ cảm ứng từ, J là vectơ
mật độ dòng điện dẫn, và ρ f là mật độ điện tích tự do. Trong môi trường


không có điện tích tự do như sợi quang thì J = 0 và ρ = 0. Mối liên hệ giữa
các vectơ nói trên tuân theo các hệ thức sau

 
D = ε0E + P

 
B = µ0 H + M

(1.1.5)
(1.1.6)

Ở đây ε 0 là hằng số điện môi của chân không, µ 0 là hằng số từ thẩm của




chân không, P là phân cực của môi trường, M là từ hóa (vecto từ hóa). Đối


với môi trường không có từ tính như các loại sợi quang thì M = 0.
Phương trình Maxwell có thể được dùng để thu được phương trình sóng
mô tả lan truyền ánh sáng trong sợi quang. Bằng cách lấy Rot phương trình




(1.1.1) và dùng phương trình (1.1.2), (1.1.5) và (1.1.6) ta có thể khử B và D




có lợi cho E và D ta thu được:



1 ∂2E
∂2P
∇ × ∇ × E = − 2 2 − µ0 2
c ∂t
∂t

(1.1.7)

Trong đó c là vận tốc ánh sáng trong chân không và thỏa mãn mối liên


2
hệ µ 0 ε 0 = 1 / c . Nhìn chung, để đánh giá chính xác về vecto phân cực P đòi

hỏi tiếp cận bằng phương pháp cơ học lượng tử. Tuy nhiên đối với trường hợp


9

của sợi quang trong dải bước sóng 0,5 − 2 µm là mối quan tâm cho việc
nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến ta có thể tiếp cận nó theo phương pháp bán
cổ điển. Nếu chỉ có hiệu ứng phi tuyến bậc ba được chi phối bởi χ (3) , lúc đó
phân cực gồm có hai thành phần thỏa mãn:

 
 
P( r , t ) = PL ( r , t ) + PNL ( r , t )

(1.1.8)




Với phân cực phi tuyến PL và phân cực tuyến tính PNL phụ thuộc vào


điện trường E bởi các mối quan hệ tổng quát sau:
∞
 

PL ( r , t ) = ε 0 ∫ χ ( 1) t − t ' . E r , t ' dt '

(

) ( )

(1.1.9)

−∞

 
PNL ( r , t ) = ε 0 ∫∫∫ χ ( 3 ) ( t − t1 , t − t 2 , t − t 3 ) 
−∞
 

× E ( r , t1 ) E ( r , t 2 ) E ( r , t 3 ) dt1dt 2 dt3

(1.1.10)

Phương trình (1.1.7) và (1.1.10) cho ta một hình thức chung để nghiên
cứu các hiện tượng phi tuyến bậc ba trong sợi quang. Vì sự phức tạp nên cần
thiết phải thực hiện một số phép gần đúng để đơn giản hóa. Sự đơn giản hóa


quan trọng là phân cực phi tuyến PNL trong phương trình (1.1.8) được coi là
một sự nhiễu loạn nhỏ so với tổng phân cực cảm ứng. Điều này là hợp ly vì
các hiệu ứng phi tuyến là tương đối yếu trong sợi silica (đioxit silic). Do đó,


đầu tiên ta giải phương trình (1.1.7) với PNL = 0. Vì phương trình (1.1.7) sẽ


tuyến tính trong E , điều đó thuận lợi cho viết trong miền tần số:

~ 
ω 2 ~ 
∇ × ∇ × ∇ E ( r ,ω ) − ε ( ω ) 2 E ( r ,ω ) = 0
c

(1.1.11)


~
Trong đó E ( r, ω ) là biến đổi Fourier của E ( r , t ) được định nghĩa như sau:

~ 
E( r ,ω) =

∞


E
∫ ( r , t ) exp( iωt ) dt

−∞

(1.1.12)


10

Hằng số điện môi phụ thuộc vào tần số xuất hiện trong phương trình
(1.1.12) được định nghĩa là:

ε ( ω ) = 1 + χ~ ( 1) ( ω )

(1.1.13)

với χ~ ( 1) ( ω ) là biến đổi Fourier của χ ( 1) ( t ) . Nói chung χ~ ( 1) ( ω ) và ε ( ω ) cũng
vậy. Phần thực và phần ảo của nó liên quan đến chiết suất n( ω ) và hệ số hấp
thụ α ( ω ) bởi định nghĩa:

ε = ( n + iαc / 2ω )

2

(1.1.14)

Từ phương trình (1.1.13) và (1.1.14), n và α liên hệ với χ ( 1) bởi hệ thức sau:

]

(1.1.15)

ω
Im[ χ~ ( 1) ( ω ) ]
nc

(1.1.16)

n( ω ) = 1 +

α (ω ) =

[

1
Re χ~ 1 ( ω )
2

Ở đây Re và Im là phần thực và phần ảo tương ứng. Sự phụ thuộc tần số của
n và α đã được thảo luận ở trong một số tài liệu [1, 2, 8].
Có hai đơn giản hóa có thể tiếp tục được thực hiện trước khi giải phương
trình (1.1.11). Đầu tiên vì mất mát quang học trong sợi quang thấp ở vùng có
bước sóng mà chúng ta quan tâm, phần ảo của ε ( ω ) là nhỏ so với phần thực..
Thứ hai, n( ω ) thường độc lập với tọa độ không gian ở cả lõi và lớp vỏ của hệ
số bậc sợi, ta có thể dùng:

(

)





∇ × ∇ × E = ∇ ∇ ⋅ ∇E − ∇ 2 E = −∇ 2 E

(1.1.17)




Trong đó mối quan hệ ∇ ⋅ D = ε∇. E = 0 đã được sử dụng từ phương

trình (1.1.3), với việc đơn giản hóa phương trình (1.1.11) cho ta:

~ 2
ω 2 ~
∇ E + n (ω ) 2 E = 0
c
2

(1.1.18)

Đây là phương trình sẽ được giải trong phần tiếp theo ở dạng sợi quang.


11

1.1.2. Phương trình lan truyền xung
Các nghiên cứu của phần lớn hiệu ứng phi tuyến trong sợi quang liên
quan đến việc sử dụng xung ngắn với độ rộng từ ≈10 ns đến 10 fs. Khi xung
quang học lan truyền trong sợi quang, cả hai hiệu ứng tán sắc và phi tuyến
đều ảnh hưởng đến hình dạng và phổ của chúng. Trong phần này chúng tôi rút
ra được một phương trình cơ bản điều khiển sự lan truyền của xung trong sợi
tán sắc phi tuyến. Điểm xuất phát là phương trình sóng (1.1.7). Bằng cách sử
dụng phương trình (1.1.8) và (1.1.17), nó có thể được viết dưới dạng:



 1 ∂2E

∂ 2 PNL
∂ 2 PL
2
(1.1.19)
∇ E − 2 2 = µ0
+ µ0
c ∂t
∂t 2
∂t 2
Trong đó các thành phần tuyến tính và phi tuyến của hiện tượng phân


cực gây ra có liên quan đến điện trường E ( r , t ) thông qua phương trình (1.1.9)
và (1.1.10) tương ứng.
Để đơn giản hóa trước khi giải phương trình (1.1.19), chúng ta chú y




rằng: Thứ nhất PNL được xem như một sự nhiễu loạn nhỏ so với PL . Thứ hai
trường quang học được giả thiết duy trì độ phân cực dọc theo chiều dài sợi
sao cho cách tiếp cận vô hướng là phù hợp. Thứ ba, các trường quang học
được giả thiết gần như là đơn sắc, tức là xung phổ tập trung tại ω 0 , giả thiết
rằng phổ có độ rộng ∆ω sao cho ∆ω / ω 0 << 1 . Khi ω 0 ≈ 1015 s −1 , là giả thiết cuối
cùng phù hợp cho các xung ngắn cỡ 0.1 ps. Trong gần đúng đường bao biến
đổi chậm biểu thức của vecto cường độ điện trường có dạng:



1

E ( r , t ) = xˆ[ E ( r , t ) exp ( − iω0t ) + c.c ]
2

(1.1.20)



Trong đó xˆ là vecto phân cực đơn vị và E ( r , t ) là hàm bao biến đổi




chậm (so với chu kì quang học). Các thành phần phân cực PL và PNL có thể
được biểu diễn theo cách tương tự như sau:


12

 

1
PL ( r , t ) = xˆ[ PL ( r , t ) exp( − iω0 t ) + c.c ]
2

(1.1.21)



1
PNL ( r , t ) = xˆ[ PNL ( r , t ) exp ( − iω 0 t ) + c.c ]

2

(1.1.22)

Thành phần tuyến tính PL có thể thu được bằng cách thay phương trình
(1.1.21) vào phương trình (1.1.9) và được cho bởi:
∞



PL ( r , t ) = ε 0 ∫ χ xx( 1) ( t − t ′) E ( r , t ′) exp [ iω0 ( t − t ′) ] dt ′
−∞

ε
= 0
2π

(1.1.23)

∞

~ ( 1) ( ω ) E~( r, ω − ω ) exp [ − i( ω − ω ) t ] dω
χ
0
0
∫ xx

−∞



~ 
Trong đó E ( r , ω ) là biến đổi Fourier của E ( r , t ) và được định nghĩa tương

tự như phương trình (1.1.12).


Thành phần tuyến tính PNL ( r , t ) thu được bằng cách thế phương trình
(1.1.22) vào phương trình (1.1.10). Việc đơn giản hóa sẽ được sử dụng nếu
đáp ứng phi tuyến được giả thiết là tức thời do đó sự phụ thuộc thời gian của
χ ( 3 ) trong phương trình (1.1.10) được cho bởi tích của ba hàm delta có dạng
δ ( t − t1 ) . Phương trình (1.1.10) được đơn giản là:

 
  
PNL ( r , t ) = ε 0 χ ( 3 ) E ( r , t ) E ( r , t ) E ( r , t )

(1.1.24)

Chú y rằng phản ứng phi tuyến tức thời bỏ qua sự đóng góp của dao
động phân tử χ ( 3) (Hiệu ứng Raman). Nhìn chung cả electron và hạt nhân
phản ứng với trường quang học một cách phi tuyến. Các phản ứng hạt nhân
vốn đã chậm hơn so với phản ứng các điện tử. Đối với sợi silica dao động
hoặc phản ứng Raman xảy ra trên khoảng thời gian 60 – 70 fs. Như vậy
phương trình (1.1.24) có giá trị độ rộng xung trong khoảng > 1ps.




Khi thế phương trình (1.1.20) vào phương trình (1.1.24), PNL ( r , t ) được

tìm thấy có một số hạng dao động tại ω 0 và một số hạng dao động khác tại
họa âm bậc ba tần số 3ω 0 . Số hạng thứ hai đòi hỏi có giai đoạn phù hợp và


13

thường là không đáng kể trong sợi quang. Bằng cách sử dụng phương trình


(1.1.22), PNL ( r , t ) được cho bởi:


PNL ( r , t ) ≈ ε 0ε NL E ( r , t )

(1.1.25)

Trong đó sự đóng góp phi tuyến với hằng số điện môi được xác định như
sau:
ε NL =

 2
3 ( 3)
χ xxxx E ( r , t )
4

(1.1.26)


Có được phương trình sóng với biên độ biến thiên chậm E ( r , t ) sẽ thuận
lợi hơn khi xét trong miền Fourier. Nó không phi tuyến như phương trình

(1.1.19) vì phi tuyến là sự phụ thuộc vào cường độ của ε NL . Phương pháp tiếp
cận xem ε NL là một hằng số trong phép lấy đạo hàm của phương trình lan
truyền [7]. Phương pháp này là hợp ly với quan điểm gần đúng đường bao
biến đổi chậm và tính chất nhiễu loạn của PNL. Thay phương trình (1.1.20) –
(1.1.22) vào phương trình (1.1.19), biến đổi Fourier E ( r , ω − ω 0 ) , được định
nghĩa là:
∞


~ 
E ( r , ω − ω 0 ) = ∫ E ( r , t ) exp [ i( ω − ω0 ) t ] dt

(1.1.27)

−∞

Được tìm thấy để thỏa mãn phương trình Helmholtz:
~
~
∇ 2 E + ε ( ω ) k 02 E = 0

(1.1.28)

Trong đó k 0 = ω / c và:

ε ( ω ) =1 + χ~xx( 1) ( ω ) + ε NL

(1.1.29)

Là hằng số điện môi có thành phần phi tuyến ε NL được cho bởi phương

trình (1.1.26). Tương tự như phương trình (1.1.14), hằng số điện môi có thể
được sử dụng để xác định chiết suất khúc xạ n~ và hệ số hấp thụ α~ . Tuy
nhiên, cả n~ và α~ trở nên phụ thuộc vào cường độ vì ε NL . Điều đó là thông
thường để đưa ra:


14

2
α~ = α + α 2 E

2
n~ = n + n 2 E ,

(1.1.30)

2
Sử dụng ε = ( n~ + iα~ / 2k 0 ) và phương trình (1.1.26), (1.1.29), hệ số chiết

suất phi tuyến n2 và hệ số hấp thụ hai photon α 2 được cho bởi:

n2 =

(

)

3
3)
Re χ(xxxx

,
8n

α2 =

(

3ω0
3)
Im χ(xxxx
4nc

)

(1.1.31)

Chiết suất tuyến tính n và hệ số hấp thụ α có liên quan đến phần thực và
phần ảo của χ~xx( 1) như trong phương trình (1.1.15) và (1.1.16). Đối với sợi
silica thì α 2 là tương đối nhỏ vì thế thường được bỏ qua. Tham số n2 không
nên nhầm lẫn với các chỉ số ở mục 1.1.2, mặc dù sử dụng kí hiệu tương tự. Từ
đây trở về sau n2 là số đo của sợi phi tuyến.
Phương trình (1.1.28) có thể được giải bằng phương pháp tách biến. Nếu
giả thiết rằng lời giải có dạng:
~
~ 
E ( r , ω − ω0 ) = F ( x, y ) A( z , ω − ω0 ) exp ( iβ 0 z )

(1.1.32)

~

Trong đó A( z , ω ) là một hàm biến đổi chậm của z và β 0 là số sóng,
~
phương trình (1.1.28) dẫn đến hai phương trình sau cho F ( x, y ) và A( z , ω ) :

[

]

∂2F ∂2F
~
+ 2 + ε ( ω ) k 02 − β 2 F = 0
2
∂x
∂y

(1.1.33)

~
∂A ~ 2
~
2iβ 0
+ β − β 02 A = 0
∂z

(1.1.34)

(

)

Ta thu được phương trình (1.1.34) bằng cách đạo hàm bậc hai ∂ 2 A~ / ∂z 2
~

đã được bỏ qua khi A( z , ω ) được giả thiết là một hàm biến đổi chậm của z. Số
~

sóng β được xác định bằng cách giải phương trình trị riêng (1.1.33) cho
mode sợi. Hằng số điện môi ε ( ω ) trong phương trình (1.1.33) có thể đúng
bằng:

ε = ( n + ∆n ) ≈ n 2 + 2n∆n
2

(1.1.35)


15

Trong đó ∆n là nhiễu loạn nhỏ được cho bởi:
iα~
2
∆n = n2 E +
2k 0

(1.1.36)

Phương trình (1.1.33) có thể được giải bằng cách sử dụng ly thuyết nhiễu
loạn bậc nhất [7]. Đầu tiên chúng ta thế ε bằng n 2 và thu được hàm phân bố
F ( x, y ) và số sóng tương ứng β ( ω ) . Trong ly thuyết nhiễu loạn bậc một ∆n
~

không ảnh hưởng đến hàm phân bố F(x, y) . Tuy nhiên, giá trị riêng β trở thành:
~
(1.1.37)
β ( ω ) = β ( ω ) + ∆β
Trong đó:

k 0 ∫∫ ∆n F ( x, y ) dxdy
2

∆β =

−∞

(1.1.38)

∫∫ F ( x, y ) dxdy
2

−∞



Dùng phương trình (1.1.20) và (1.1.30), điện trường E ( r , t ) có thể được
viết như sau:

1
E ( r , t ) = xˆ{ F ( x, y ) A( z , t ) exp [ i ( β 0 z − ω0 t ) ] + c.c}
2

(1.1.39)

Trong đó A(z, t) là đường bao biến đổi chậm. Biến đổi Fourier
~
A( z , ω − ω 0 ) của A( z, t ) thỏa mãn phương trình (1.1.34), có thể được viết như

sau:
~
∂A
~
= i[ β ( ω ) + ∆β − β 0 ] A
∂z

(1.1.40)
~

Trong đó chúng tôi sử dụng phương trình (1.1.37) và gần đúng β 2 − β 02
bằng 2β 0 ( β − β 0 ) . Ý nghĩa vật ly của phương trình này là rất rõ ràng. Mỗi
~

thành phần quang phổ trong phạm vi hàm bao xung thu được khi nó lan
truyền xuống sợi, sự chuyển đổi pha có độ lớn phụ thuộc vào cả tần số và
cường độ.


16

Lúc này ta trở lại miền thời gian bằng cách lấy biến đổi Fourier ngược
của phương trình (1.1.40), và thu được phương trình lan truyền cho A( z, t ) .
Tuy nhiên, dạng hàm số chính xác của β ( ω ) rất hiếm khi được biết đến, nó

thuận lợi cho việc khai triển β ( ω ) trong chuỗi Taylor về tần số mang ω 0 như
sau:
β ( ω ) = β 0 + ( ω − ω 0 ) β1 +

1
( ω − ω0 ) 2 β 2 + 1 ( ω − ω0 ) 3 β 3 + ...
2
6

(1.1.41)

Trong đó:

 d mβ 
β m =  m 
 dω  ω =ω0

(m = 1,2,…)

(1.1.42)

Số hạng lập phương và bậc cao trong khai triển này là không đáng kể nếu
độ rộng phổ ∆ω << ω 0 . Bỏ qua chúng là phù hợp với giả thiết đơn sắc trong phép
lấy đạo hàm phương trình (1.1.40). Nếu β 2 ≈ 0 sẽ có một vài giá trị cụ thể của ω 0
(trong vùng lân cận các bước sóng không tán sắc trong sợi), thì có thể cần thiết
đưa vào số hạng bậc ba. Chúng ta thế phương trình (1.1.41) vào phương trình
(1.1.40) và lấy biến đổi Fourier ngược bằng cách sử dụng:
1
A( z, t ) =
2π

∞

~
∫ A( z, ω − ω ) exp [ − i( ω − ω ) t ]dω
0

0

(1.1.43)

−∞

Trong thao tác biến đổi Fourier, ω − ω 0 được thay thế bởi toán tử khác
biệt i ( ∂ / ∂t ) . Kết quả phương trình cho A( z, t ) trở thành:

∂A
∂A iβ 2 ∂ 2 A
= − β1
−
+ i∆βA
∂z
∂t
2 ∂t 2

(1.1.44)

Số hạng ∆β bao gồm ảnh hưởng của mất mát sợi và phi tuyến. Bằng
cách sử dụng phương trình (1.1.36) và (1.1.38), ∆β có thể được tính và thay
vào phương trình (1.1.44) kết quả là:

17

∂A
∂A iβ 2 ∂ 2 A α
2
+ β1
+
+
A
=
i
γ
A
A
∂z
∂t
2 ∂t 2 2

(1.1.45)

Trong đó tham số phi tuyến γ được định nghĩa như sau:

γ=

n2ω 0
cAeff

(1.1.46)

Trong phương trình (1.1.45) biên độ A được giả thiết là chuẩn hóa sao
2

2

cho A thể hiện năng lượng quang học. Đại lượng γ A được đo bằng đơn vị
m-1 nếu n2 có đơn vị m2/W. Tham số Aeff được biết đến như vùng lõi hiệu
dụng và được xác định:

Aeff



 ∫∫ F ( x, y ) 2 dxdy 



=  −∞
4
∫∫ F ( x, y ) dxdy

2

(1.1.47)

−∞

Việc tính giá trị của nó đòi hỏi sửa dụng hàm phân bố F(x, y) cho mode
sợi cơ bản. Rõ ràng Aeff phụ thuộc vào các thông số sợi như bán kính lõi và

2
các chỉ số lõi – vỏ. Nếu F(x,y) gần đúng bằng phân bố Gauss [3] thì Aeff = πw ,

thông số chiều rộng phụ thuộc vào thông số sợi. Thông thường Aeff có thể
thay đổi trong khoảng 20 −100µm 2 trong miền 1.5µm tùy thuộc vào cấu tạo của
sợi. Do đó, γ có giá trị trong khoảng 1 − 10W −1 / km nếu n2 ≈ 2.6 × 10 −20 m 2 / W .
Trong vùng sợi có ảnh hưởng lớn (LEAF), Aeff được tăng để giảm ảnh hưởng
của sợi phi tuyến.
Phương trình (1.1.45) mô tả sự lan truyền xung cỡ ps trong sợi đơn
mode. Nó được gọi là phương trình Schrodinger phi tuyến (NLS) và có thể rút
gọn dạng dưới điều kiện cụ thể. Nó bao gồm ảnh hưởng của mất mát sợi
thông qua α , của tán sắc thông qua β1 và β 2 , và của phi tuyến thông qua γ .
Tóm lại đường bao xung lan truyền với vận tốc nhóm ν g ≡ 1 / β1 trong khi ảnh


18

hưởng tán sắc của vận tốc nhóm được điều khiển bởi β 2 . GVD tham số β 2 có
thể dương hoặc âm tùy thuộc vào bước sóng λ là dưới hay trên bước sóng
không tán sắc λ D của sợi. Trong tán sắc dị thường ( λ > λ D ), β 2 âm và sợi có
thể hỗ trợ soliton quang. Tiêu chuẩn trong sợi silica là β 2 ≈ 50 ps 2 / km trong
vùng nhìn thấy nhưng trở nên gần − 20 ps 2 / km gần vùng bước sóng ≈ 1.5µm ,
sự thay đổi dấu xuất hiện ở vùng cận với 1.3µm .
1.2. Soliton quang học và ứng dụng
Một sự xuất hiện thú vị về quang phi tuyến xảy ra thông qua soliton
quang, hình thành do kết quả của sự tương tác giữa các hiệu ứng tán sắc và
phi tuyến. Từ soliton dùng để chỉ một loại bó sóng đặc biệt có thể lan truyền
trên một khoảng cách dài mà không bị biến dạng. Soliton đã được phát hiện ở
nhiều ngành của vật ly. Trong điều kiện của sợi quang học không chỉ có
soliton là mối quan tâm cơ bản nhưng người ta cũng đã tìm thấy các ứng dụng

thực tế trong lĩnh vực truyền thông sợi quang. Phần này dành cho việc nghiên
cứu về lan truyền xung trong sợi quang ở trạng thái mà trong đó tán sắc vận
tốc nhóm (GVD) và tự biến điệu pha (SPM) là quan trọng như nhau và phải
được xem xét đồng thời.
1.2.1. Cơ chế hình thành soliton
Từ Soliton được đưa vào năm 1965 để miêu tả thuộc tính phân tử của
đường bao xung trong môi trường phi tuyến tán sắc. Dưới điều kiện nào đó
đường bao xung không chỉ lan truyền không méo mó mà còn tồn tại sự va
chạm như các phân tử.
Như vậy, Soliton là thuật ngữ biểu diễn các xung lan truyền qua khoảng
cách dài mà không thay đổi hình dạng do đó đưa ra khả năng đặc biệt để
truyền các xung không nhạy cảm với tán sắc. Bây giờ ta xét cơ chế hình thành
soliton quang học như sau:


19

Khi xung quang học lan truyền trong môi trường tán sắc thì dạng của nó
liên tục thay đổi do các thành phần tần số khác nhau lan truyền với các vận
tốc nhóm khác nhau. Còn khi lan truyền trong môi trường phi tuyến thì quá
trình tự biến điệu pha sẽ làm pha cũng như tần số của xung thay đổi. Quan hệ
giữa hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha sẽ làm cho
xung giãn ra hoặc co lại phụ thuộc vào độ lớn và chiều của hai hiệu ứng trên.
Trong điều kiện nhất định khi hiệu ứng tự biến điệu pha và hiệu ứng tán sắc
vận tốc nhóm bù trừ cho nhau thì dạng ban đầu của xung sẽ giữ nguyên không
đổi trong quá trình lan truyền. Các xung lan truyền ổn định như vậy gọi là
soliton. Các soliton quang học là các sóng trực giao theo nghĩa khi hai sóng
lan truyền qua nhau trong môi trường thì đường bao biên độ không đổi mà chỉ
có sự dịch pha do quá trình tương tác. Do vậy nó vẫn tiếp tục lan truyền như
hình dạng ban đầu.

Xét xung Gauss đưa vào sợi quang với tần số của xung là ω 0 và tần số của
nó được giữ nguyên là hằng số trên toàn bộ xung (xung Gauss không chirp).
Nếu xung này lan truyền qua sợi quang với hệ số tán sắc vận tốc nhóm

β 2 < 0 nó sẽ bị ảnh hưởng bởi hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm. Do đó tần số ở
phần đầu xung sẽ lớn hơn tần số ở phần đuôi xung. Các thành phần tần số lớn
hơn sẽ lan truyền nhanh hơn một ít so với các thành phần tần số nhỏ hơn do
đó chúng sẽ đến cuối sợi quang trước. Kết quả là tín hiệu ta nhận được sẽ
rộng hơn tín hiệu ban đầu và đuôi xung bị dịch tần.
Bây giờ nếu giả thiết xung lan truyền trong môi trường phi tuyến không tán
sắc, xung sẽ bị ảnh hưởng của hiệu ứng tự biến điệu pha. Độ dịch tần của xung có
giá trị âm ở phần đầu xung và có giá trị dương ở phần cuối xung. Do đó tần số ở
phần đầu xung sẽ bé hơn ở phần cuối xung, phần đầu xung bị giãn.
Xung lan truyền bị ảnh hưởng bởi mỗi hiệu ứng trên được mô tả bởi
hình 1.1 [2]:


20

Môi trường tán sắc
tuyến tính

Môi trường phi
tuyến không tán
sắc

Hình 1.1: Xung lan truyền bị ảnh hưởng bởi mỗi hiệu ứng GVD và SPM.

Bây giờ trên thực tế xung lan truyền trong sợi quang chịu tác dụng
đồng thời của hai hiệu ứng sẽ dẫn tới sự dịch chuyển tần số theo cả hai hướng

đối diện nhau. Điều đó có thể tạo ra một xung sao cho hai hiệu ứng tự biến
điệu pha và tán sắc vận tốc nhóm cân bằng với nhau. Như vậy tổng hợp cả hai
hiệu ứng sẽ làm cho xung không thay đổi trong quá trình lan truyền. Xung có
tính chất đặc biệt như vậy gọi là soliton thời gian.
1.2.2. Phân loại Soliton
a) Soliton Tối (Dark soliton)
Phương trình NLS có thể được giải bằng phương pháp tán xạ ngược
ngay cả trong trường hợp tán sắc bình thường. Dạng cường độ của kết quả
đưa ra một độ dốc trong nền đồng bộ và độ dốc này không thay đổi trong quá
trình lan truyền trong sợi. Những nghiệm như vậy của phương trình NLS
được gọi là Soliton tối.
Ta giả thiết hàm đầu vào có dạng u (0,τ ) = tanh(τ )
Xét đối với môi trường có β 2 > 0 khi đó thực hiện chuẩn hóa phương trình
(1.1.45) và viết trong hệ tọa độ mới chúng ta thu được phương trình sóng có
dạng:


21

∂u 1 ∂ 2 u
2
i
−
+ u u =0
2
∂ξ 2 ∂τ

(1.2.1)

Trong đó các biến mới được xác định bởi:

τ=

t − β1 z
z
;ξ =
T0
LD

với LD là quãng đường đặc trưng tán sắc và T0 là độ rộng ban đầu của xung.
Giả sử:

u (ξ ,τ ) = V (τ ) exp[ iφ (ξ ,τ )] và φ (ξ ,τ ) = Kξ

(1.2.2)

Ta có:

1 ∂ 2V (τ )
iV (τ )iK exp(iφ ) −
exp(iφ ) + V 2 (τ )V (τ ) exp(iφ ) = 0
2
2 ∂τ
⇔ − KV −

1 ∂ 2V
+V 3 = 0
2
2 ∂τ

∂ 2V
= 2V ( − K + V 2 )
2
∂τ
 ∂ 2V

 ∂τ

2


 = V 4 − 2 KV 2 + C


(1.2.3)

trong đó C = const. Tại đỉnh soliton có:
V = 0,

∂V
= 0 ⇒ C = 0.
∂τ

Vì
Lim V =
τ →∞

)

2

u d ( ξ ,τ ) = (η tanh ς − iK ) exp iu 02ξ

)

2u 0 , Lim
τ →∞

∂V
=0⇒
∂τ

Suy ra nghiệm chung có dạng:

(

2u 0

)

4

(

− 2 2u 0 K = 0 ⇒ K = U 02

(

Với
ς =η (τ − Kξ ) , η = u 0 cos φ , K = u 0 sin φ

Trong đó:
+ u 0 là biên độ của nền liên tục

(1.2.4)


22
+ φ là góc pha trong ( 0 < φ < π / 2)
+ η , K biên độ và vận tốc của Soliton tối
Soliton tối có một điểm khác cơ bản với Soliton sáng là vận tốc K của
Soliton tối phụ thuộc vào biên độ η của nó qua góc pha trong φ :

2
+ φ = 0 ⇒ u d ( ξ ,τ ) = (η tanh u 0τ ) exp( iu 0 ξ ) ⇒ u d ( ξ ,0) = 0 tức là công suất

Soliton giảm xuống bằng 0 ở trung tâm của độ dốc (những soliton như vậy
gọi soliton đen)
+ φ ≠ 0 , cường độ không giảm xuống 0 ở trung tâm của độ dốc (những
soliton như vậy gọi là soliton xám)
Tham số đen B = cos φ để phân biệt các soliton.
Khác với soliton sáng có pha không đổi, pha của soliton tối thay đổi
qua độ rộng của nó.
Với soliton tối ( φ = 0) xảy ra một sự dịch pha π ở trung tâm độ dốc.
Với các giá trị φ khác, pha thay đổi một lượng π − 2φ .
Soliton tối đã được chứng minh qua thực nghiệm bằng việc sử dụng các
xung quan rộng tương đối với một độ dốc hẹp ở giữa xung. Sự mô phỏng
bằng số cho thấy rằng trung tâm độ dốc có thể lan truyền như một soliton tối
ngay cả khi nền không đồng bộ miễn là cường độ nền đồng dạng trong
khoảng của độ dốc.

Soliton tối bậc cao không cho phép một dạng tiến triển hoàn toàn sau
mỗi chu kì như soliton sáng bậc cao. Với N>1, xung đầu vào hình thành một
soliton tối cơ bản bằng việc thu hẹp độ rộng của nó trong quá trình phát ra
nhiều cặp soliton tối.
Có thể tạo ra các cặp soliton tối bằng nhiều cách khác nhau như sử
dụng giao thoa kế Mach-Zender, chuyển đổi phi tuyến tín hiệu beat trong sợi
giảm tán sắc và chuyển đổi một tín hiệu mã NRZ thành tín hiệu RZ, sau đó
thành các soliton tối.


23

Do tính không đối xứng của các soliton tối xuất phát từ đáp ứng thời
gian của mạch điện tạo ra chúng làm hạn chế khoảng cách truyền dẫn. Vì vậy
chúng ít được sử dụng hơn các soliton sáng trong các hệ thống quang thực tế.
b) Soliton cơ bản
Phương trình NLS có thể có các lớp nghiệm soliton cho cả GVD bình
thường và dị thường, nhưng các soliton sáng chỉ được tìm thấy trong các
trường hợp tán sắc dị thường ( β 2 < 0 ). Soliton sáng được sử dụng hầu hết
trong các hệ thống truyền thông quang.
Thực hiện phép chuẩn hóa như trường hợp soliton tối với chú y là
β 2 < 0 nên phương trình sóng có dạng:

i

∂u 1 ∂ 2 u
2
+
+u u =0
2

∂ξ 2 ∂τ

(1.2.5)

Phương trình này có thể giải bằng phương pháp tán xạ ngược [2]. Giả
sử rằng với hàm ban đầu u(0, τ ) = N.sech τ đặt vào trong sợi quang, hình
dạng của nó không thay đổi trong suốt quá trình lan truyền khi N = 1, còn khi
N > 1 dạng đầu vào được khôi phục tại ξ = mπ / 2 (m ∈ Z ) . Với N là bậc của
soliton thì xung quang tương ứng với N = 1 được gọi là soliton cơ bản.
Ta có thể giải trực tiếp các soliton cơ bản từ phương trình (1.2.5) mà
không sử dụng phương pháp tán xạ ngược. Giả thiết rằng một soliton có dạng
như biểu thức (1.2.2) và V (τ ) không phụ thuộc vào ξ để phương trình (1.2.5)
trình bày lại một soliton cơ bản mà duy trì hình dạng của nó trong suốt quá
trình lan truyền. Pha φ có thể phụ thuộc vào cả ξ và τ . Tương tự như soliton
tối ta có:
1 ∂ 2V (τ )
iV (τ )iK exp(iφ ) +
. exp(iφ ) + V 3 (τ ) exp(iφ ) = 0
2
2 ∂τ
1 ∂ 2V
⇔ − KV +
+V 3 = 0
2
2 ∂τ
∂ 2V
⇔ 2 = 2V ( K − V 2 )
∂τ

24

2

 ∂V 
2
4
⇔
 = 2 KV − V + C
 ∂t 

(1.2.6)

= 0 và Lim ∂V = 0 nên C = 0. Tại đỉnh soliton có V = 1 và
Vì ta có: LimV
τ →∞
τ →∞
∂τ

∂V
= 0 suy ra (2K – 1) = 0 suy ra K = 1/2:
∂τ
2

1
 ∂V 
2
4
⇒φ = ξ ⇒
 = V −V

2
 ∂τ 
⇒τ = ∫
⇒V =

∂V
V 1−V 2

1  1 + 1 − V 2
= ln
2  1 − 1 − V 2






2e τ
2
=
= sec h(τ )
e 2τ + 1 eτ + e −τ

⇒ u (ξ ,τ ) = sec h(τ ) exp(iξ / 2)

(1.2.7)

Phương trình (1.2.7) cho thấy xung đầu vào thu được một sự dịch pha
ξ / 2 khi nó lan truyền trong sợi nhưng biên độ không thay đổi (hình 1.2). Đây

chính là thuộc tính quan trọng của soliton cơ bản, làm cho nó trở nên ly tưởng
với các hệ thống truyền thông quang.

Hình 1.2. Lan truyền của các soliton bậc nhất trong sợi quang


25

c) Soliton bậc cao
Ta giả thiết hàm đầu vào có dạng:

u ( 0,τ ) = N sec h(τ )

(1.2.8)

Trong đó bậc soliton N là số nguyên, đối với các soliton bậc hai (N =
2), phân bố trường thu được từ phương trình sau:
N

u ( ξ ,τ ) = −2∑ λ*jψ 2* j
j =1

ψ

*
2j

N

λ*j λk

k =1

ζ −ζ k

−∑

*
j

ψ 1k = λ*j

với ζ j ( j = 1 − N )

(1.2.9)
(1.2.10)

Sử dụng ζ 1 = i / 2 và ζ 2 = 3i / 2 cho hai giá trị riêng, các soliton bậc hai
được cho bởi:

u ( ξ ,τ ) =

4[ cosh ( 3τ ) + 3 exp( 4iξ ) cosh (τ ) ] exp( iξ / 2 )
[ cosh ( 4τ ) + 4 cosh( 2τ ) + 3 cos( 4ξ ) ]

(1.2.11)

2
Một tính chất thú vị của lời giải trên là u ( ξ ,τ ) là tuần hoàn trong ξ với

chu kì ξ0 = π / 2 , trong thực tế chu kì này xảy ra cho tất cả các soliton bậc cao.
Sử dụng định nghĩa ξ = z / LD các chu kì soliton z0 trong đơn vị thực trở thành:

π
π T02
z0 = LD =
2
2 β2

(1.2.12)

Chu kì tiến hóa của soliton bậc 4 qua hai chu kì soliton được thể hiện
trong hình 1.3. Khi xung lan truyền dọc theo sợi, đầu tiên nó kết hợp với phần
chiều rộng ban đầu của nó, chia tách thành hai xung khác biệt tại z 0 = 2 và
sau đó sát nhập một lần nữa để khôi phục hình dạng ban đầu vào cuối chu kì
soliton tại z = z 0 . Mô hình này lặp đi lặp nhiều lần qua từng phần của chiều
dài z 0 . Xét đối với phương trình NLS đã chuẩn hóa thì từ công thức (1.2.12)
chúng ta suy ra chu kỳ của soliton bậc cao bằng π/2.