Tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu kerr trong hệ nguyên tử bốn mức dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH THỊ HỒNG

TĂNG CƯỜNG HỆ SỐ KHÚC XẠ PHI
TUYẾN KIỂU KERR TRONG HỆ NGUYÊN TỬ
BỐN MỨC DỰA TRÊN HIỆU ỨNG TRONG
SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

VINH, 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH THỊ HỒNG

TĂNG CƯỜNG HỆ SỐ KHÚC XẠ PHI
TUYẾN KIỂU KERR TRONG HỆ NGUYÊN TỬ
BỐN MỨC DỰA TRÊN HIỆU ỨNG TRONG
SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC
MÃ SỐ: 60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đinh Xuân Khoa

VINH, 2012


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Vật lí,
Phịng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại Học Vinh đã tạo điều kiện giúp đỡ
tốt nhất để tơi có mơi trường nghiên cứu khoa học trong suốt khố học.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS. TS. Đinh Xuân
Khoa, người đã định hướng và tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy giáo chủ nhiệm chuyên
ngành Quang học TS. Nguyễn Huy Bằng, cùng các thầy cô giáo đã giúp đỡ,
giảng dạy và có nhiều ý kiến đóng góp q báu cho tơi trong q trình học
tập và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã giúp
đỡ, động viên tơi vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập.
Vinh, tháng 8 năm 2012
Tác giả


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
Chương 1. CƠ SỞ VỀ ĐỘ CẢM PHI TUYẾN...............................................4
1.1. Phương trình ma trận mật độ...................................................................4
1.1.1. Thiết lập phương trình ma trận mật độ...................................................5
1.1.2. Nghiệm nhiễu loạn của phương trình ma trận mật độ..........................11
1.2. Độ cảm phi tuyến....................................................................................13
1.2.1. Độ cảm phi tuyến trong mơ hình Lorentz.............................................13
1.2.2. Mơ tả lượng tử cho độ cảm phi tuyến...................................................19

1.3. Hiệu ứng Kerr.........................................................................................23
Kết luận chương 1..........................................................................................30
Chương 2. HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ CHO HỆ
NGUN TỬ BỚN MỨC CẤU HÌNH BẬC THANG.................................31
2.1. Phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử bốn mức cấu hình bậc
thang...............................................................................................................31
2.2. Giải phương trình ma trận mật độ trong gần đúng cấp một.................36
2.3. Hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ cho hệ nguyên tử bốn mức cấu
hình bậc thang................................................................................................38
2.3.1. Hệ số hấp thụ và hệ số khúc xạ.............................................................38
2.3.2. Hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ...................................................40
Kết luận chương 2..........................................................................................44
Chương 3. TĂNG CƯỜNG HỆ SỐ KHÚC XẠ PHI TUYẾN KIỂU KERR
TRONG HỆ NGUYÊN TỬ BỐN MỨC CẤU HÌNH BẬC THANG DỰA TRÊN
HIỆU ỨNG TRONG ŚT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ..........................................45
3.1. Giải phương trình ma trận mật độ trong gần đúng bậc ba...................45
3.2. Dẫn ra biểu thức hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr............................47


3.3. Nghiên cứu sự tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr............48
3.3.1. Tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr dựa trên hiệu ứng trong
suốt cảm ứng điện từ.......................................................................................48
3.3.2. Điều khiển sự tăng cường hệ số khúc phi tuyến kiểu Kerr...................50
Kết luận chương 3..........................................................................................54
KẾT LUẬN CHUNG......................................................................................55
PHỤ LỤC…………………………………………………………………...57
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................58


MỞ ĐẦU

Từ khi laser ra đời đã mở ra cho con người một cái nhìn mới mẻ về ánh
sáng . Với tính chất độ kết hợp cao, độ đơn sắc cao và cơng suất lớn, nó đã
tạo ra nhiều hiệu ứng phi tuyến cực kì thú vị mà trước đây đối với những
nguồn sáng thơng thường khơng thể có được. Thí nghiệm mở màn của
Franken 1961 đã trở thành điểm mốc trong lịch sử, đánh dấu sự ra đời của
một lĩnh vực nghiên cứu mới “Quang học phi tuyến”. Lĩnh vực này đã và
đang khẳng định vị thế của mình với những thành tựu khoa học nổi bật và sẽ
là một lĩnh vực đầy triển vọng trong tương lai.
Hấp thụ và tán sắc là hai thông số cơ bản đặc trưng cho tính chất quang
học của mơi trường, chúng có mơi quan hệ khăng khít với nhau thơng qua hệ
thức Kramer – Kronig. Trong miền cộng hưởng, các hệ số này thay đổi nhanh
theo tần số và quy luật thay đổi hoàn toàn phụ thuộc vào cấu trúc của nguyên
tử ( phân tử). Tuy nhiên, với sự có mặt của laser, quy luật này lại có thể được
“điều khiển” bởi các tác nhân kích thích lên hệ nguyên tử. Tiêu biểu cho điều
này là sự tạo hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ (Electromagnetically
Induced Transparency – EIT ). Đây là hiệu ứng được đề xuất vào năm 1989
[1] và kiểm chứng thực nghiệm vào năm 1991 bởi nhóm nghiên cứu ở
Stanford. Hiệu ứng này là kết quả của sự giao thoa giữa các biên độ xác suất
của các kênh dịch chuyển trong nguyên tử dưới sự kích thích kết hợp của một
hoặc nhiều trường điện từ dẫn đến sự trong suốt của môi trường đối với một
chùm quang học nào đó (gọi là “cửa sổ EIT”). Điều khiển sự hấp thụ và tán
sắc dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ hiện đang được chú ý
nghiên cứu trên cả hai phương diện lý thuyết và thực nghiệm đối với các hệ
nguyên tử khác nhau và đang được kỳ vọng sẽ tạo đột phá trong các nghiên

1


cứu về chuyển mạch quang học [2], làm tăng hiệu suất của các quá trình
quang phi tuyến [3], làm chậm vận tốc nhóm [4]….

Gần đây, đã có rất nhiều sự quan tâm về việc tạo ra môi trường quang
học phi tuyến có hệ số khúc xạ Kerr lớn, bởi vì nó có thể được sử dụng cho
nhiều ứng dụng thú vị, chẳng hạn như sự điều biến chéo pha cho các khóa
quang học [5], tự điều biến pha cho sự tạo ra của các soliton quang học, quá
trình trộn bốn sóng cho sự biến đổi tần số [6], trạng thái pha tạp của q trình
thơng tin lượng tử .... Trong mơi trường Kerr truyền thống, chỉ số phi tuyến
của nó là quá nhỏ (cỡ 10-12 -10-14cm2/W) để hiệu ứng phi tuyến là đáng kể đối
với ánh sáng có cường độ lớn. Ứng dụng hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ
đã mở ra một con đường đầy hứa hẹn để tăng cường đáng kể hệ số khúc xạ
phi tuyến kiểu Kerr đồng thời giảm thiểu tối đa sự hấp thụ trong lân cận của
tần số cộng hưởng.
Với tầm quan trọng của lĩnh vực này, chúng tôi chọn “Tăng cường hệ
số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr trong hệ nguyên tử bốn mức dựa trên hiệu
ứng trong suốt cảm ứng điện từ” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.
Ngồi phần mở đầu và kết luận chung, luận văn được trình bày trong ba
chương có nội dung như sau:
Chương 1. Cơ sở về độ cảm phi tuyến
Trong chương này, chúng tơi trình bày cơ sở của độ cảm phi tuyến theo
quan điểm cổ điển dựa trên mơ hình Lorentz và theo quan điểm lượng tử dựa
trên hình thức luận ma trận mật độ với các phép khai triển nhiễu loạn. Từ đó,
chúng tơi trình bày lý thuyết về độ cảm phi tuyến bậc ba và trường hợp đặc
biệt là “phi tuyến kiểu Kerr ” cùng với một số hiệu ứng liên quan đến loại môi
trường này.

2


Chương 2. Hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ trong hệ nguyên tử bốn
mức cấu hình bậc thang
Đây là chương cơ sở cho việc xét khả năng tăng cường hiệu ứng phi

tuyến kiểu Kerr dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ. Trong gần
đúng lưỡng cực và gần đúng sóng quay, chúng tơi thiết lập hệ phương trình
ma trận mật độ cho nguyên tử bốn mức cấu hình bậc thang được cảm ứng bởi
hai trường laser. Từ đó, sử dụng nhiễu loạn cấp 1 để dẫn ra biểu thức cho hệ
số hấp thụ và hệ số khúc xạ của môi trường. Đây là cơ sở để khảo sát hiệu
ứng trong suốt cảm ứng điện từ và để tính các nghiệm nhiễu loạn cấp 3 được
trình bày ở chương tiếp theo.
Chương 3. Tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr trong hệ
nguyên tử bốn mức cấu hình bậc thang dựa trên hiệu ứng trong suốt
cảm ứng điện từ
Trong chương này, dựa trên phương trình ma trận mật độ cho hệ 4 mức
được xây dựng ở chương 2, chúng tơi tiến hành tìm nghiệm nhiễu loạn cấp 3
để dẫn ra biểu thức giải tích cho hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr. Từ đó,
chúng tơi tiến hành nghiên cứu khả năng điều khiển sự tăng cường hệ số khúc
xạ phi tuyến kiểu Kerr theo các thông số của trường điều khiển.

3


Chương 1
CƠ SỞ VỀ ĐỘ CẢM PHI TUYẾN
Sự tương tác của trường điện từ với môi trường vật chất là bài tốn trọng tâm


của ngành quang học. Trong đó, mối liên hệ giữa độ phân cực P và cường độ


điện trường E là ranh giới phân biệt giữa quang học tuyến tính với quang học
phi tuyến. Quang học tuyến tính thường chỉ áp dụng cho những chùm sáng có
cường độ yếu mà trong đó độ phân cực vĩ mơ của mơi trường tỉ lệ tuyến tính

với cường độ điện trường theo hệ thức:


P  0  E ,

(1.1)

 là độ cảm tuyến tính,  0 là hằng số điện của chân không. Khi cường độ

điện trường tăng đến một giới hạn nào đó sẽ nảy sinh các hiệu ứng mới mà ta
khơng thể giải thích được nếu chỉ xét đến mối quan hệ tuyến tính như hệ thức




(1.1). Khi đó, mối liên hệ giữa P và E phải được thay thế bởi hệ thức phi
tuyến:




P  0  E   (2) E 2   (3) E 3  ... ,





(1.2)

với  (2) ,  (3) tương ứng được gọi là độ cảm phi tuyến bậc 2 và bậc 3 (ta gọi

chung là độ cảm phi tuyến). Thực nghiệm cho thấy, giá trị của các độ cảm
phi tuyến là rất bé so với độ cảm tuyến tính nên phân cực phi tuyến chỉ đáng
kể đối với các trường sáng có cường độ lớn. Rõ ràng, độ cảm là đại lượng phụ
thuộc vào cấu trúc vi mô của các nguyên tử trong mơi trường. Vì vậy, để mơ
tả đầy đủ độ cảm ta cần sử dụng cơ học lượng tử.
1.1. Phương trình ma trận mật độ
Có bốn cách để mơ tả bài toán tương tác: cổ điển, bán cổ điển, bán
lượng tử và lượng tử. Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tơi trình bày cách
mơ tả bán cổ điển, ở đó hệ nguyên tử (phân tử) tuân theo các quy luật lượng

4


tử và được gọi là “hệ lượng tử”. Khảo sát tương tác của trường kích thích với
hệ lượng tử, chúng ta tìm được thay đổi của các thơng số đặc trưng cho hệ
thơng qua việc giải phương trình chuyển động. Đó là phương trình liên quan
đến thay đổi các thơng số đặc trưng cho hệ theo thời gian.
Khi mô tả hệ lượng tử ta cần chú ý, nếu trạng thái của hệ được biết
chính xác thì hệ nằm trong trạng thái thuần khiết và được biểu diễn bởi hàm


sóng  (r , t ) . Sự tiến triển theo thời gian của hệ được biểu diễn thơng qua
phương trình Schrưdinger phụ thuộc thời gian. Tuy nhiên, trong nhiều bài
toán trạng thái của hệ khơng biết được một cách chính xác, hay nói khác đi
hệ nằm trong trạng thái hỗn hợp ( theo [7] đây là loại bất định thứ hai khi xem
xét hệ lượng tử). Trường hợp này sẽ được xử lý bằng phương trình ma trận
mật độ.
1.1.1. Thiết lập phương trình ma trận mật độ
Chúng tơi xem xét hình thức luận ma trận mật độ theo sau các định luật
cơ bản của cơ học lượng tử. Nếu một hệ lượng tử (chẳng hạn như một nguyên

tử) được biết trong trạng thái lượng tử s , ta hồn tồn có thể mơ tả tất cả các


tính chất vật lý của hệ thơng qua hàm sóng  (r , t ) . Hàm sóng này tn theo
phương trình Schrưdinger [8]

 s (r , t ) ˆ

i
H s (r , t ) ,
t

(1.3)

trong đó Hˆ là tốn tử Hamilton tồn phần của hệ và được xác định
Hˆ H 0  Vˆ (t ) .

(1.4)

Hˆ 0 là Hamilton cho nguyên tử tự do và Vˆ  t  biểu diễn năng lượng tương tác.

Nếu chọn các hàm riêng của toán tử Hˆ 0 làm hệ cơ sở, theo tiên đề 3 cơ học
lượng tử ta có thể biểu diễn hàm sóng dưới dạng tổ hợp tuyến tính các hàm
riêng này

5





 s (r , t )  Cns (t )un (r ) .
n

(1.5)



Với un (r ) là các nghiệm riêng năng lượng của phương trình Schrưdinger
khơng phụ thuộc thời gian:


Hˆ o un (r ) Enun (r ) .

(1.6)

Các hàm riêng này thoả mãn tính chất trực giao theo hệ thức:

u

*
m



(r )un (r )d 3r  mn .

(1.7)

Hệ số khai triển CnS cho biên độ xác suất của nguyên tử trong trạng thái s rơi
vào trạng thái năng lượng riêng n ở thời điểm t . Sự tiến triển theo thời gian



của  s (r , t ) có thể được xác định thông qua sự tiến triển theo thời gian của
S
mỗi hệ số khai triển Cn  t  . Để xác định các hệ số đó tiến triển theo thời gian

như thế nào chúng ta đưa khai triển (1.5) vào phương trình Schrưdinger (1.3):
dCns (t ) 
ˆ (r) .
i 
un (r )  Cns (t )Hu
n
dt
n
n

(1.8)

Mỗi vế của phương trình này đều liên quan đến cách lấy tổng trên tất cả các
trạng thái riêng năng lượng của hệ. Để đơn giản, ta nhân bên trái mỗi vế của


phương trình (1.8) với um* (r ) sau đó lấy tích phân trên tồn bộ khơng gian
dCns (t ) * 



i 
um  r  un (r )d 3r  Cns (t ) um*  r  Hˆ un (r ) d 3r .


dt
n
n

Gọi yếu tố ma trận của toán tử Hˆ là
 ˆ  3
H mn um* ( r ) Hu
n (r )d r .

(1.9)

Thay (1.9) vào (1.8) ta thu được kết quả:
i

d s
Cm (t )  H mn Cns (t ) .
dt
n

(1.10)

Phương trình (1.10) hồn tồn tương đương với phương trình Schrưdinger
s
(1.3) nhưng nó được viết cho các biên độ xác suất Cn  t  , hay nói khác đi

phương trình (1.10) là phương trình Schrưdinger trong biểu diễn năng lượng.

6

Giá trị kỳ vọng của một biến số động lực bất kì đều có thể được tính
tốn dựa vào hàm sóng. Theo tiên đề 2 cơ học lượng tử mỗi biến số động lực
A bất kỳ đều được biểu diễn bởi một tốn tử hermite Aˆ . Giá trị kì vọng của A
được tính theo cơng thức
A  s* Aˆ s d 3 r .

Mối liên hệ này có thể viết trong kí hiệu Dirac
A   s Aˆ  s  s Aˆ s .

(1.11)

Các kí hiệu  s hoặc s có thể sử dụng để biểu diễn trạng thái s của hệ.
s
Chúng ta cũng có thể biểu diễn giá trị kỳ vọng A theo biên độ xác suất Cn  t 

bằng cách đưa (1.5) vào (1.11)
A  Cms*Cns Amn ,
mn

(1.12)

trong đó Amn  um Aˆ un là yếu tố ma trận của toán tử Aˆ trong cở sở của Hˆ 0 .
Khi trạng thái ban đầu và tốn tử Hamilton Hˆ của hệ được biết, hình
thức luận được mô tả từ (1.3) đến (1.12) cho ta khả năng mơ tả hồn chỉnh sự
phụ thuộc thời gian của hệ. Tuy nhiên, có những trường hợp trạng thái của hệ
khơng được biết một cách chính xác, chẳng hạn một tập hợp các nguyên tử
trong một đám hơi nguyên tử, ở đó mỗi nguyên tử có thể tương tác với
nguyên tử khác do sự va chạm dẫn đến hàm sóng của mỗi nguyên tử thay đổi.
Nếu trong các va chạm là yếu, sự thay đổi có thể chỉ dẫn đến sự thay đổi về
pha nói chung của hàm sóng. Tuy nhiên, trên thực tế ta không thể theo dõi

pha của mỗi nguyên tử trong đám hơi, hay nói khác đi trạng thái của mỗi
ngun tử khơng được xác định chính xác.
Đối với trường hợp như vậy (tức là trạng thái của hệ khơng được biết
chính xác), hình thức ma trận mật độ có thể được sử dụng để mơ tả hệ theo

7


nghĩa thống kê. Gọi p  s  là xác suất hệ ở trạng thái s . Ta định nghĩa các
phần tử của ma trận mật độ của hệ như sau
 nm  p ( s )Cms*Cns .
s

(1.13)

Mối quan hệ này cũng có thể viết tương đương
 nm Cm* Cn ,

(1.14)

dấu nằm ngang chỉ trung bình thống kê, tức là lấy trung bình trên tất cả các
trạng thái khả dĩ của hệ. Trong cả hai kí hiệu, chỉ số n và m chạy trên toàn bộ
các thái riêng năng lượng của hệ.
Các phần tử ma trận mật độ có ý nghĩa vật lý như sau: phần tử đường
chéo  nn cho ta xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái riêng n . Các phần tử ngoài
đường chéo  nm cho “sự kết hợp” giữa mức n và m , với ý nghĩa này  nm sẽ
chỉ khác 0 nếu hệ là chồng chất kết hợp của trạng thái riêng năng lượng n và
m . Các phần tử ngoài đường chéo của ma trận mật độ trong một số trường

hợp xác định sẽ tỷ lệ với mô men lưỡng cực điện của nguyên tử.

Với cách mô tả này chúng ta có thể tính giá trị kì vọng của biến số
động lực A bất kì. Như đã trình bày ở trên, khi trạng thái của hệ được biết
*

Cms Cns Amn ,
chính xác trong trạng thái s thì giá trị kì vọng được tính bởi A 
s

do đó đối với trường hợp trạng thái của hệ khơng được biết chính xác thì giá
trị kì vọng sẽ nhận được bằng cách lấy trung bình phương trình (1.12) trên
tồn bộ trạng thái khã dĩ của hệ
A  p ( s ) Cms*Cns Amn .
s

nm

(1.15)

Kí hiệu được sử dụng bên tay trái của phương trình này có nghĩa là tính tốn
trung bình thống kê cho giá trị kì vọng theo cơ học lượng tử của đại lượng
quan sát A. Sử dụng (1.14) có thể viết lại (1.15) trong dạng

8


A   nm Amn .
nm

(1.16)

Tổng kép trong phương trình có thể phân tích


nm

nm

Amn  (  nm Amn )  ( ˆ Aˆ ) nn tr ( ˆ Aˆ ) ,
n

m

n

(1.17)

ở đây chúng ta đưa vào vết của toán tử, nó được định nghĩa cho một tốn tử
ˆ
M nn [9]. Do đó giá trị kì vọng của A được cho bởi
Mˆ bất kì là Tr ( M ) 
n
A tr ( ˆ Aˆ )

(1.18)

Với ˆ là toán tử mật độ có phần tử ma trận là  mn ; ˆ Aˆ là tích của tốn tử ˆ
với tốn tử Aˆ và ( ˆ Aˆ )nm là phần tử ma trận của tích này.
Để tìm phương trình chuyển động của ma trận mật độ, ta đạo hàm theo
biểu thức (1.13) theo thời gian
 nm 

s

 s* dCns dCms* s 
dp( s ) s* s
Cm Cn   p ( s )  Cm

Cn  .
dt
dt
dt
s



(1.19)

Giả sử p( s) không thay đổi theo thời gian, số hạng thứ nhất trong biểu thức
này sẽ triệt tiêu. Số hạng thứ hai được tính trực tiếp nhờ phương trình
Schrưdinger (1.8). Ta thu được:
Cms*

dCns  i s*
 Cm  H n Cs ,
dt



dCms  i s
i
C

 Cn  H m* Cs*  Cns  H mCs* .
dt





(1.20)

s*
n

Thay (1.20) vào (1.19) và bỏ qua số hạng thứ nhất bên vế phải ta có
 nm  p( s )
s

i
 (CnsCs* Hm  Cms*Cs H n ) .
 

(1.21)

Sử dụng (1.13), phương trình (1.21) được viết đơn giản như sau
 nm 

i
 ( n Hm  H n m ),
 

cuối cùng lấy tổng trên  ta thu được phương trình

9

(1.22)


i
i
 mn  ( ˆ Hˆ  Hˆ ˆ ) nm   Hˆ , ˆ 
nm



(1.23)

Phương trình (1.23) mơ tả sự tiến triển theo thời gian của các phần tử ma trận
mật độ như là kết quả của các tương tác được bao gồm trong Hamilton Hˆ .
Tuy nhiên như đã đề cập ở trên, có những tương tác nhất định (ví dụ do sự va
chạm giữa các nguyên tử) dẫn đến xác suất của hệ ở trạng thái s khơng được
xác định, do đó tỉ số dp  s  / dt không bị triệt tiêu. Để đầy đủ hơn ta thêm vào
số hạng tắt dần mô tả những tương tác này cho phương trình chuyển động
(1.23). Theo [6] có hai cách để mơ tả những q trình như vậy :
Cách thứ nhất là xem phương trình ma trận mật độ có dạng:
i
eq
)
`  mn  ( ˆ Hˆ  Hˆ ˆ )nm  nm (  nm   nm

(1.24)



ở đây số hạng thứ hai bên phía tay phải là một thành phần tắt dần mang tính
( eq )
hiện tượng luận, nó chỉ ra rằng  nm hồi phục đến giá trị cân bằng  nm
với tốc

độ nm .Vì nm là tốc độ phân rã. Ngồi ra, ta thực hiện giả thiết vật lý
( eq )
 nm
0, n m ,

(1.25)

có nghĩa là ở trạng thái cân bằng không xảy ra sự kêt hợp.
Cách thứ hai là xem các phần tử ngoài đường chéo của ma trận mật độ bị tắt
dần do sự phân rã từ các mức cao đến các mức thấp. Trong trường hợp như
vậy phương trình ma trận mật độ được xác định
 nm  i  1  Hˆ , ˆ 

 nn  i  1  Hˆ , ˆ  
nn



nm

 nm  nm , n m ,

nm mm 

Em  En



Em  En

mn nn

(1.26)
(1.27)

Trong đó, các tốc độ phân rã được hiểu như sau:
mn là tốc độ phân rã tự phát từ mức m tới n , mn là tốc độ tắt dần của độ kết

hợp  nm và được biểu thị :

10


1
( col )
mn  (n  m )  nm
,
2

(1.28)

ki  ( col )
với i E

. nm là tốc độ lệch pha lưỡng cực, hay còn gọi là tốc độ lệch
E
k

i

pha riêng, nó là do các q trình (chẳng hạn như va chạm đàn hồi) mà chỉ làm
thay đổi pha chứ khơng làm thay đổi độ cư trú hay nói khác đi không làm
thay đổi mức năng lượng.
1.1.2. Nghiệm nhiễu loạn của phương trình ma trận mật độ
Theo cách mơ tả thứ nhất trình bày trong mục (1.1.1) ta đã dẫn ra phương
trình:
 nm 

i ˆ 
( eq )
H , ˆ   mn (  nm   nm
).

nm


Nói chung phương trình này thường khơng thể giải một cách chính xác, vì
vậy người ta sử dụng kỹ thuật nhiễu loạn để giải nó.
Hˆ Hˆ o  Vˆ (t ) .

(1.29)
Trong đó, năng lượng tương tác được giả thiết là yếu với ý nghĩa giá trị kỳ
vọng Vˆ rất nhỏ so với giá trị kỳ vọng của Hˆ 0 . Ta giả sử năng lượng tương
tác này được cho ở gần đúng lưỡng cực điện [9]

Vˆ  ˆ .E (t ) ,

(1.30)

ở đây   erˆ chỉ tốn tử mơmen lưỡng cực điện của nguyên tử. Gọi trạng thái
n là hàm riêng năng lượng un của Hamilton không bị nhiễu loạn Hˆ o , tức là
Hˆ o un En un . Như một hệ quả, ma trận của toán Hˆ 0 là ma trận chéo trong cơ sở

của chính nó
H 0,nm En nm .

Khi đó ta có

11

(1.31)


 Hˆ 0 , ˆ  ( Hˆ 0 ˆ  ˆ Hˆ 0 ) nm  ( H 0, n  m   n H 0, m )

 nm

 ( En n  m   n m Em )


En  nm  Em  nm ( En  Em )  nm .

(1.32)

Ta định nghĩa tần số dịch chuyển (theo đơn vị tần số góc) theo cơng thức sau

nm 

En  Em
.


(1.33)

Thay (1.30), (1.32) và (1.33) vào phương trình (1.24), thu đươc
 nm  inm  nm 

iˆ 
( eq )
V , ˆ   nm (  nm   nm
).

nm


(1.35)

Khai triển giao hoán tử của Vˆ với ˆ có thể nhận được phương trình ma trận
mật độ dưới dạng:
 nm  inm nm 

i
 (Vn m  nVm )  nm ( nm  nm(eq) ) .
 

(1.35)

Để giải phương trình này chúng ta thay thế Vij bởi Vij , với  là tham số chạy
từ 0 đến 1, nó đặc trưng cho cường độ của nhiễu loạn. Giá trị  1 tương ứng
với tình trạng vật lý thực. Mỗi yếu tố ma trận được khai triển dưới dạng
(0)
(1)
(2)
 nm  nm
  nm
  2  nm
 ...

(1.36)

Phương trình (1.36) là nghiệm của phương trình (1.35) cho bất kì giá trị nào
của  . Do đó ta nhận được một tập hợp các phương trình
(0)
(0)
(0)
( eq )
 nm
 inm nm
 nm ( nm
 nm
),

(1.37a)

(1)
 nm

 (inm  nm )  (1)  i  1  Vˆ , ˆ (0) 

nm

,

(1.37b)

(2)
 nm
 (inm  nm )  (2)  i  1  Vˆ , ˆ (1) 

nm

.

(1.37c)

Phương trình (1.37a) mơ tả sự tiến triển theo thời gian của hệ khi khơng có
trường ngồi. Nghiệm trạng thái dừng của phương trình này là:
(0)
( eq )
 nm
 nm
 n m ,

12

(1.38)

(0)
 nm
0

ở đây

n m .

(1.39)

(0)
Vì  nm
đã được biết nên phương trình (1.37b) có thể lấy tích phân, muốn vậy
(1)
ta thay đổi các biến số bằng cách biễu diễn  nm
như
(1)
(1)
 nm
(t ) S nm
(t )e  ( inm nm ) t .

(1.40)

(1)
(1)
Đạo hàm  nm
có thể được biểu diễn thông qua Snm
(1)

(1)  ( inm nm ) t
(1)  ( inm nm ) t
 nm
 (i nm nm ) Snm
e
 S nm
e
,

(1.41)

các công thức này được thay vào (1.37b) ta thu được
i
(1)
S nm
  Vˆ , ˆ (0)  e( inm nm ) t .
nm


(1.42)

Lấy tích phân của (1.42) ta có
t

S

(1)
nm

'

i
   Vˆ (t ' ), ˆ (0)  e( inm nm ) t dt ' .
nm



(1.43)

Các biểu thức này được thay trở lại (1.40) và kết quả cuối cùng là
t

'
i
 (t )    Vˆ (t ' ), ˆ (0)  e(inm nm )(t  t ) dt ' .
nm



(1)
nm

(1.44)

Hồn tồn tương tự ta có thể tính đến các đóng góp bậc cao hơn đối cho các
N
phần tử trận mật độ, chẳng han đối với  nm
ta có thể nhận được bằng cách

thay thế ˆ  0 bởi ˆ  N  1 ở bên vế phải của phương trình (1.42). Ví dụ cụ thể
như đóng góp bậc ba được viết

t



(3)
nm

( i  ) t '  t 
i
   Vˆ (t ), ˆ (2)  e nm nm
dt '
nm



(1.45)

1.2. Độ cảm phi tuyến
1.2.1. Độ cảm phi tuyến trong mơ hình Lorentz
Để mơ tả độ cảm phi tuyến theo quan niệm cổ điển người ta thường sử
dụng mơ hình Lorentz, trong đó xem ngun tử như một dao động tử điều hịa
có tần số 0 và đưa thêm một thành phần lực hồi phục phi tuyến tác động lên
mỗi electron [6].

13


Chúng ta khảo sát độ cảm phi tuyến trong hai mơi trường dưới đây.
Mơi trường khơng đối xứng tâm
Phương trình chuyển động của mỗi electron

x  2 x   2 x  ax 2  eE (t ) / m .
0

(1.46)

Trong đó: E (t ) là cường độ điện trường của trường ngồi, e là điện tích
electron,  2m x biểu diễn lực tắt dần và lực hồi phục được cho dưới dạng
Fphuchoi  m02 x  max 2 ,

(1.47)

trong đó a là thơng số đặc trưng cho cường độ của phi tuyến.
Hàm thế năng tương ứng có dạng:
1
1
U ( x )  Fhp dx  m02 x 2  max 3 .
2
3

(1.48)

Số hạng thứ nhất trong (1.48) tương ứng với thế năng điều hòa và số hạng thứ
hai tương ứng với thành phần phi điều hòa được minh họa trên hình 1.1.

Hình 1.1. Hàm thế năng của mơi trường khơng đối xứng tâm

Đây là mơ hình mơ tả mơi trường khơng đối xứng xun tâm bởi vì hàm thế
năng (1.48) chứa cả bậc chẵn và bậc lẻ của x .
Giả sử rằng trường quang học đặt vào có dạng:
E (t ) E1e  i1t  E2e  i2t  c.c ,

(1.49)

Khi đó phương trình (1.46) sẽ khơng có lời giải chính xác. Tuy nhiên, nếu
trường đặt vào đủ yếu thì số hạng phi tuyến ax 2 sẽ nhỏ hơn nhiều so với số

14


hạng tuyến tính 02 x cho mọi dịch chuyển x mà trường có thể gây ra. Trong
trường hợp đó phương trình (1.46 ) có thể được giải bằng phương pháp nhiễu
loạn . Thay E (t ) trong phương trình (1.46) bằng  E (t ) , khi đó phương trình
(1.46) trở thành
x  2 x   2 x  ax 2   eE (t ) / m .
0

(1.50)

Ta tìm một nghiệm của (1.50) trong dạng của một khai triển chuỗi năng lượng
theo cường độ nhiễu loạn  , nghĩa là nghiệm có dạng:
x  x (1)   2 x (2)   3 x (3)  ... .

(1.51)

Để phương trình (1.51) là nghiệm của phương trình (1.50) cho mọi giá trị của
 thì các số hạng trong phương trình (1.50) phải thoả mãn:
x (1)  2 x (1)   2 x (1)  eE (t ) / m ,
0

(1.52a)

x (2)  2 x (2)   2 x (2)  a  x (1)  2 0 ,
0
 

(1.52b)

x (3)  2 x (3)   2 x (3)  2ax (1) x (2) 0 .
0

(1.52c)

Từ phương trình (1.52a), ta thấy rằng đóng góp bậc thấp nhất x (1) tn theo
phương trình giống như mơ hình Lorentz thơng thường (tuyến tính). Do đó
nghiệm của nó là:
x (1) (t )  x (1) (1 )e i1t  x (1) (2 )e i2t  c.c ,

(1.53)

(1)
ở đây các biên độ x ( j ) có dạng:

x (1) ( j ) 

e Ej
,
m D( j )

(1.54)

ở đây đưa vào ký hiệu
D( j ) 02   2j  2i j .

(1.55)

Bình phương x (1) và thay vào phương trình(1.52b), sau đó giải phương trình
(1.52b) để tìm số hạng hiệu chỉnh bậc thấp nhất x (2) . Bình phương của x (1) bao
gồm các tần số 21 , 22 , (1  2 ), (1  2 ) và 0 . Chẳng hạn, để xác định độ
đáp ứng tại tần số 21 chúng ta phải giải phương trình:

15