Chỉ số chính qui castelnuovomumford và các bất biến liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ QUỲNH TRANG

CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO-MUMFORD
VÀ CÁC BẤT BIẾN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ QUỲNH TRANG

CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNOUVO-MUMFORD
CÁC BẤT BIẾN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ
MÃ SỐ: 60.46.01.04

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. ĐÀO THỊ THANH HÀ

VINH 2015

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu

2

1

4

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Vành và môđun phân bậc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Chiều Krull. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Iđêan nguyên tố liên kết. Sự phân tích nguyên sơ của môđun.

. .

7

1.4. Dãy chính qui. Dãy lọc chính qui.

. . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5. Môđun đối đồng điều địa phương.

. . . . . . . . . . . . . . . .

9

2

CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNOUVO-MUMFORD

11

2.1. Chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Dãy lọc chính qui

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3. Chỉ số chính qui yếu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
KẾT LUẬN

23

TÀI LIỆU THAM KHẢO

24


2

MỞ ĐẦU

Cho R = k[x1 , ..., xn ] là một vành đa thức trên trường k . Giả sử M là
một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Cấu trúc của M được hiểu tốt nhất
theo giải tự do phân bậc tối tiểu của M
0 → Fs → F1 → ... → F0 → M → 0
Giả sử bi (M ) là kí hiệu bậc cực là đại của các phần tử sinh của Fi . Chỉ
số chính qui Castelnuovo-Mumford (hay chỉ số chính qui) của M được định
nghĩa bởi số
reg(M ) = max{bi (M ) − i | i = 0, ..., s}
Chỉ số chính qui được đưa ra bởi Mumford bằng việc tổng quát hóa ý
tưởng hình học của Castelnuovo. Có thể nói Chỉ số chính qui CastelnuovoMumford đo độ phức tạp của cấu trúc môđun phân bậc. Thật vậy, một số
bất biến của vành và môđun phân bậc có thể ước lượng bằng chỉ số chính
qui.
Trong bài báo “ Castelnuovo-Mumford regularity and related invariants”
của Ngô Việt Trung [8] giới thiệu một số kết quả cơ bản về chỉ số chính qui
Castelnuovo-Mumford và các bất biến liên quan, để nghiên cứu sâu hơn sau
này. Chúng tôi sẽ nghiên cứu và trình bày lại một cách chi tiết một số kết
quả của bài báo này.
Trong phần đầu tiên của bài báo chứng minh rằng tại sao có hai định
nghĩa tương đương về chỉ số chính qui và thảo luận về các hệ quả của chúng
khi R là một vành đa thức trên một trường. Chứng minh các đặc trưng của
chỉ số chính qui theo môđun Ext và Tor. Các định nghĩa và các đặc trưng

chứng tỏ tại sao chỉ số chính qui đo độ phức tạp của môđun.
Phần tiếp theo biểu diễn đặc trưng của chỉ số chính qui theo dãy các dạng
tuyến tính mà dáng điệu như dãy chính qui với bậc lớn hơn. Một dãy như
thế được gọi là dãy lọc chính qui. Đặc trưng này rút gọn sự tính toán chỉ số
chính qui về sự tính toán bậc không triệt tiêu lớn nhất của môđun thương
đơn mà có độ dài hữu hạn nếu vành cơ sở là một vành địa phương Artin.
Tiếp đến nghiên cứu khái niệm của dãy chính qui yếu điều khiển sự triệt
tiêu của môđun đối đồng điều địa phương theo độ dịch chuyển. Việc tính


3

toán chỉ số chính qui cần kiểm tra sự triệt tiêu của vô hạn các thành phần
đối dồng điều địa phương.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại các kết quả của bài
báo [8].
Ngoài lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận luận văn sẽ
được chia làm 2 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở có sử dụng
trong luận văn nhằm giúp cho người đọc dễ theo dõi nội dung của luận văn.
Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho
việc chứng minh ở chương 2.
Chương 2. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford.
Trong chương này chúng tôi trình bày các vấn đề của chỉ số chính qui
Castelnuovo-Mumford như khái niệm và tính chất của chỉ số chính qui, chỉ
số chính qui yếu.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 9 năm 2015 tại trường Đại học Vinh
dưới sự hướng dẫn của tiến sĩ Đào Thị Thanh Hà. Nhân dịp này tác giả xin
bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới cô, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và

nghiêm khắc suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin trân
trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Sư phạm toán học, khoa Sau đại
học, ban giám hiệu trường Đại học Vinh, tác giả xin cảm ơn các học viên
lớp Cao học 21 Đại số - Lý thuyết số, bạn bè và gia đình đã động viên giúp
đỡ và tạo điều kiện cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và
hoàn thành luận văn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không
tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 9 năm 2015
Tác giả


4

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Vành và môđun phân bậc.

1.1.1 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành Z-phân bậc nếu R =

Ri
i∈Z

xét như nhóm cộng và Ri Rj ⊆ Ri+j , với mọi i, j ∈ Z. Hơn nữa nếu Ri = 0
với mọi i < 0 thì R được gọi là vành phân bậc dương hay N-phân bậc.
Môđun M trên vành Z-phân bậc R được gọi là Z-phân bậc nếu như
M=

Mi xét như nhóm cộng, và Ri Mj ⊆ Mi+j , với mọi i, j ∈ Z.
i∈Z

Nếu M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R, thì gọi phần tử x của
Ri (hoặc Mi ) là phần tử thuần nhất bậc i, kí hiệu deg(x) = i. Ta qui ước
bậc của phần tử 0 là một số nguyên tùy ý. Như vậy, nếu a ∈ R, x ∈ M là
các phần tử thuần nhất, thì
deg(ax) = deg(a) + deg(x), hoặc ax = 0.

Từ định nghĩa ta suy ra R0 là một vành con của R và mỗi thành phần
phân bậc Mi là R0 -môđun. Nếu x ∈ M và
x = xi + xi+1 + ... + xj với xk ∈ Mk , i ≤ k ≤ j, i, j ∈ Z

thì xk (có thể xk = 0) được gọi là thành phần thuần nhất hoặc thành phần
phân bậc k của x. Mỗi phần tử chỉ có một biểu diễn duy nhất thành tổng
của các thành phần phân bậc.
Cho S là vành con của vành R (không nhất thiết phân bậc). Khi đó người
ta gọi R là S -đại số.
Nếu a1 , ..., an ∈ R, kí hiệu S[a1 , ..., an ] là tổ hợp tuyến tính trên S của
các phần tử ap1 , ..., apn với (p1 , ..., pn ) ∈ Nn . Tập này rõ ràng là tập con của
R. Có thể xem nó như là vành đa thức nhưng a1 , ..., an ở đây không phải là
các biến độc lập.


5

Nếu tồn tại a1 , ..., an ∈ R để R = S[a1 , ..., an ] thì R được gọi là S -đại số
hữu hạn sinh.
1.1.2 Định nghĩa. Vành phân bậc dương R =

Ri được gọi là vành
i≥0

phân bậc chuẩn trên R0 nếu R = R0 [R1 ].
1.1.3 Ví dụ. Vành phân bậc chuẩn hay gặp nhất là vành đa thức A[x1 , ..., xn ]
trong đó A là một vành, với Ai là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức có bậc
tổng thể là i với hệ số thuộc A. Như vậy đa thức thuần nhất là tổng của các
đơn thức có bậc tổng thể bằng nhau.
I là iđêan thuần nhất của A[x1 , ..., xn ] nếu nó sinh bởi các đa thức thuần
nhất. Chẳng hạn:
i) Mọi iđêan đơn thức là thuần nhất;
ii) < x2 y 3 + xyz 3 − xy 2 z 2 , x2 y 2 z 2 + x3 y 3 + xy 2 z 3 > là iđêan thuần nhất
của vành k[x, y, z].
Khi I là iđêan thuần nhất của vành đa thức A[x1 , ..., xn ] thì vành thương
A[x1 ,...,xn ] / là một ví dụ khác về vành phân bậc chuẩn của vành thương.
I
1.1.4 Định nghĩa. Gọi môđun con N ⊆ M là môđun con thuần nhất
hay môđun con phân bậc nếu nó thỏa mãn một trong ba điều kiện tương
đương sau.
i) N sinh ra bởi các phần tử thuần nhất
ii) Với mỗi x ∈ N , mọi thành phần thuần nhất của nó thuộc N .
iii) N = (N ∩ Mi ).
i∈Z

1.1.5 Định nghĩa. Cho M và N là hai môđun phân bậc trên vành phân
bậc R. Đồng cấu R-môđun f : M −→ N được gọi là đồng cấu thuần nhất
(hay phân bậc) nếu với mọi n ∈ Z, f (Mi ) ⊆ Ni .
1.1.6 Mệnh đề. i) Nếu f là đồng cấu thuần nhất thì hạch (hạt nhân)
kerf và ảnh imf của nó là các môđun con thuần nhất
ii) Nếu có dãy khớp

... → M → N → L → ...

các môđun phân bậc với các đồng cấu thuần nhất, ta cũng có dãy khớp
sau với mọi i ∈ Z
... → Mi → Ni → Li → ...


6

1.2

Chiều Krull.

1.2.1 Định nghĩa. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành giao hoán
R
P0 ⊃ P1 ⊃ P2 ⊃ ... ⊃ Pn
được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n.
Cho P ∈ SpecR (SpecR là tập hợp các iđêan nguyên tố của R) cận trên
của tất cả các xích độ dài của các xích nguyên tố với P0 = P được gọi là độ
cao của P kí hiệu ht(P ), nghĩa là
ht(P ) = sup{ độ dài các xích nguyên tố với P0 = P }.

Cho I là một iđêan của vành R, khi đó độ cao của I được định nghĩa
ht(I) = inf {ht(P )|P ∈ SpecR, P ⊇ I}.

Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi
là chiều Krull của vành R kí hiệu là dim R hoặc dimk R.
Cho M là R-môđun. Với mỗi x ∈ M ta kí hiệu
AnnR (x) = {a ∈ R | ax = 0}

và ta kí hiệu
AnnR (M ) = {a ∈ R | aM = 0} = {a ∈ R | ax = 0,∀x ∈ M }.

Ta có AnnR (x) và AnnR (M ) là những iđêan của R. AnnR (x), AnnR (M )
lần lượt được gọi là linh hóa tử của x và linh hóa tử của môđun M . Để
đơn giản ta thường kí hiệu Ann(x) hoặc Annx thay cho AnnR (x), Ann(M )
hoặc AnnM thay cho AnnR (M ). Khi đó dim( R/Ann(M ) ) được gọi là chiều
Krull của môđun M , kí hiệu là dim M .
Vì vậy, ta có dim M dim R.
1.2.2 Ví dụ. a) dim K = 0 với K là một trường vì trường K chỉ có hai
iđêan là 0 và K , 0 là iđêan nguyên tố duy nhất của K .
b) dim Z = 1 vì Z có các iđêan nguyên tố là 0 hoặc pZ với p là số nguyên
tố. Mặt khác, mọi iđêan pZ với p là số nguyên tố cũng là iđêan cực đại. Vậy
xích nguyên tố của Z có độ dài lớn nhất là 0 ⊂ pZ.
c) Xét vành đa thức vô hạn biến R = k[x1 , x2 , ..., xn , ...] ta có dim R = ∞,
vì có dãy vô hạn các iđêan nguyên tố
0 ⊂< x1 >⊂< x1 , x2 >⊂ ... ⊂< x1 , x2 , ..., xn >⊂ ...


7

1.3

Iđêan nguyên tố liên kết. Sự phân tích nguyên sơ của
môđun.

1.3.1 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Một iđêan nguyên tố P của
R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử x ∈ M
để
P = 0 :R x = Annx = {r ∈ R | rx = 0}.

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR (M )
hoặc Ass(M ). Như vậy
Ass(M ) = {P ∈ SpecR | P = Annx với x ∈ M nào đó}

1.3.2 Mệnh đề. i) Nếu M là R-môđun Noether thì Ass(M ) là tập hữu
hạn.
ii) Nếu N là một môđun con của M thì Ass(N ) ⊆ Ass(M ).
iii) Cho 0 → M → M → M → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun.
Khi đó
Ass(M ) ⊆ Ass(M ) ⊆ Ass(M ) ∪ Ass(M ).
Để định nghĩa phân tích nguyên sơ chúng ta có khái niệm môđun con
nguyên sơ.
1.3.3 Định nghĩa. Môđun con N của M được gọi là môđun con nguyên
sơ nếu Ass(M /N ) chỉ gồm một phần tử, có nghĩa là tồn tại một iđêan nguyên
tố P sao cho Ass(M /N ) = {P }. Khi đó ta nói N là môđun con P -nguyên
sơ.
1.3.4 Định nghĩa. Cho N là môđun con của M , N được gọi là phân tích
nguyên sơ nếu N được biểu diễn dưới dạng
N = N1 ∩ N2 ∩ ... ∩ Ni

(∗)

Trong đó Ni là môđun con Pi -nguyên sơ, i = 1, 2, ..., n. Phân tích nguyên
sơ (∗) được gọi là phân tích nguyên sơ thu gọn nếu các Pi từng đôi một
phân biệt và không thể bỏ đi môđun Ni nào trong phân tích trên.
1.3.5 Định lí. Nếu N là một môđun con của môđun Noether M thì N
có phân tích nguyên sơ. Hơn nữa N có phân tích nguyên sơ thu gọn.
1.3.6 Định lí. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether
R. Khi đó nêu môđun con N của M có dạng phân tích nguyên sơ thu

8

r

gọn N =

Ni , trong đó Ni là một môđun con Pi -nguyên sơ i = 1, ..., r,
i=1

thì Pi là duy nhất xác định bởi N , và ta có
Ass(M /N ) = {P1 , ..., Pr }.

1.3.7 Ví dụ. Xét I =< x21 , x32 , x1 x2 x3 >⊆ k[x1 , x2 , x3 ]. Có thể xem I như
một môđun con của k[x1 , x2 , x3 ]
I =< x21 , x32 , x1 > ∩ < x21 , x32 , x2 > ∩ < x21 , x32 , x3 >
N1 =< x21 , x32 , x1 > , N2 =< x21 , x32 , x2 > , N3 =< x21 , x32 , x3 >
⇒ N1 =< x1 , x32 > , N2 =< x21 , x2 > , N3 =< x21 , x32 , x3 >
Ta có P1 =< x1 , x2 > , P2 =< x1 , x2 > , P3 =< x1 , x2 , x3 >
Đặt
N1 = N1 ∩ N2 =< x21 , x32 , x1 x2 >
ta có N1 là môđun < x1 , x2 >- nguyên sơ. Vậy ta có phân tích nguyên sơ
thu gọn của I là
I =< x21 , x32 , x1 x2 > ∩ < x21 , x32 , x3 >

Và tập Ass(k[x1 ,x2 ,x3 ] /I ) = {P1 , P3 }.
1.4

Dãy chính qui. Dãy lọc chính qui.

1.4.1 Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán Noether, M là R-môđun.
Phần tử a ∈ R được gọi là M -chính qui nếu ax = 0 với mọi 0 = x ∈ M .
Hay nói cách khác, a không là ước của 0 trên M .
1.4.2 Ví dụ. M = R = k[x] là vành đa thức một biến trên trường k . Khi
đó x là phần tử chính qui trên M .
1.4.3 Định nghĩa. Một dãy các phần tử a1 , ..., at của R được gọi là dãy
chính qui của M hay M -dãy chính qui nếu hai điều kiện sau đây đúng
i) a1 là M -chính qui, a2 là M /a1 M -chính qui,...,, at là M /(a1 ,a2 ,...,at−1 )M
-chính qui
ii) M /(a1 ,a2 ,...,at−1 )M = 0
1.4.4 Ví dụ. x1 , ..., xt là dãy chính qui của vành đa thức k[x1 , ..., xt ].
Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. Nếu x1 , ..., xn
là dãy chính qui thì chuỗi (x1 ) ⊂ (x1 , x2 ) ⊂ ... ⊂ (x1 , x2 , ..., xn ) tăng ngặt.
Vì vậy, một M -dãy có thể mở rộng thành một dãy cực đại (vì R là vành
Noether), và do đó chuỗi phải dừng.


9

1.4.5 Định nghĩa. Cho I ⊆ R là một iđêan. Nếu x1 , ...xn ∈ I và là dãy
chính qui thì x1 , ..., xn được gọi là dãy chính qui cực đại nếu không tồn tại
y ∈ I để {x1 , ..., xn , y} là dãy chính qui và n được gọi là độ dài của dãy
trên.
Cho R là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó độ
dài của hai dãy M -chính qui cực đại nằm trong iđêan I luôn như nhau. Do
đó ta có định nghĩa sau.
1.4.6 Định nghĩa. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether. Khi đó độ
dài của dãy chính qui cực đại trong m kí hiệu là depth(m, M ) hay depth(M )
và được gọi là độ sâu của môđun M .
1.4.7 Chú ý. Cho M là R-môđun. Ta luôn có depth (M ) ≤ dim (M ).

1.4.8 Định nghĩa. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là
R-môđun.
( i) Phần tử x ∈ m được gọi là M -lọc chính qui nếu
0 :M x = {m ∈ M | xm = 0}

là môđun có độ dài hữu hạn, kí hiệu l(0 :M x) < ∞.
(ii) Nếu x1 , x2 , ..., xt ∈ m được gọi là dãy lọc chính qui nếu xi là phần
tử lọc chính qui của M /(a1 ,...,ai−1 M ) ,∀i = 1, ..., t.
1.4.9 Nhận xét. (i) Nếu x là phần tử chính qui thì theo Định nghĩa 1.4.1,
ta có
0 :M x = {m ∈ M | xm = 0} = {0}
nên l(0 :M x) = 0 < ∞. Vì vậy x cũng là phần tử lọc chính qui.
(ii) Nếu x1 , x2 , ..., xt ∈ m là một dãy M - chính qui thì x1 , x2 , ..., xt cũng
là M - dãy lọc chính qui.
1.4.10 Nhận xét. (i) Phần tử x ∈ m là M -chính qui khi và chỉ khi
x∈
/ P , ∀P ∈ AssM.
(ii) Tồn tại phần tử M -chính qui khi và chỉ khi m ∈
/ AssM .
(iii)Ta có x ∈ m là phần tử lọc chính qui khi và chỉ khi x ∈
/ P với mọi
P ∈ AssM \ {m}.
1.5

Môđun đối đồng điều địa phương.

Khái niệm đối đồng điều địa phương được đưa ra bởi Grothendieck. Ta
gọi R là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R và M là

10

R-môđun. Ta có
0 :M I ⊆ 0 :M I 2 ⊆ ... ⊆ 0 :M I n ⊆ ...
(0 :M I n ) cũng là môđun

là dãy các môđun con lồng nhau của M nên
n∈N

con của M , kí hiệu là ΓI (M ) và gọi là môđun con I -xoắn của M .
Xét đồng cấu R-môđun f : M −→ N , khi đó
f (ΓI (M )) ⊆ ΓI (N ).
Kí hiệu ΓI (f ) hay f ∗ là ánh xạ hạn chế của f trên ΓI (M ).
ΓI (f )

f

ΓI (◦) : (M −→ N ) −→ (ΓI (M ) −→ ΓI (N ))

là hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái và được gọi là hàm tử I -xoắn.
1.5.1 Định nghĩa. Xét giải nội xạ của môđun M
d0

d1

di−1

di

E ◦ : 0 −→ M −→ E 0 −→ E 1 −→ ... −→ E i −→ E i+1 −→ ...

Khi đó ta có dãy phức
ΓI (d0 )

ΓI (E ◦ ) :0 → ΓI (M ) → ΓI (E 0 ) −→ ΓI (E 1 )
ΓI (d1 )

ΓI (di−1

ΓI (di )

−→ ... −→ ΓI (E i ) −→ Γ − I(E i+1 ) → ...
i

Đặt H i (ΓI (E ◦ )) = KerΓI (d ) /KerΓI (di−1 ) và gọi là môđun đối đồng điều
thứ i của M với giá là iđêan I .
1.5.2 Định nghĩa. Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I -xoắn ΓI
được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương với giá là I và kí hiệu là
HIi (◦).
1.5.3 Mệnh đề. Giả sử x1 , ..., xi ∈ I là dãy M -chính qui. Khi đó
HIi (M ) = 0 , ∀i < σ

Từ đó ta có hệ quả sau.
1.5.4 Hệ quả. HIi (M ) = 0 , ∀i < depthM .
1.5.5 Định lí. ( Định lý triệt tiêu của Grothendieck). Cho I là
iđêan của vành giao hoán Noether R và M là R-môđun hữu hạn sinh
chiều d. Khi đó
HIi (M ) = 0 , ∀i > d.

11

CHƯƠNG 2
CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNOUVO-MUMFORD

2.1

Chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford

Cho R = k[x1 , ..., xn ] là một vành đa thức trên trường k . Giả sử M là
một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh.
Theo định lý xoắn Hilbert, M có một giải tự do phân bậc tối tiểu có độ
dài hữu hạn
0 → Fs → F1 → F 0 → M → 0
Ở đây tất cả ánh xạ đều bậc 0. Giả sử bi (M ) ký hiệu là bậc cực đại của
các phần tử sinh của Fi hay còn gọi là bậc sinh cực đại của Fi . Chỉ số chính
qui Castelnuovo-Mumford hay chỉ số chính qui của M được định nghĩa
bởi số
reg(M ) = max{bi (M )−i : i = 0, ..., s}

(1)

Ví dụ:
Ta có:
• reg(R) = 0
• reg(R/f R) = deg(f ) − 1 với mọi đa thức thuần nhất f ∈ R
Theo định nghĩa trên, các thành phần phân bậc của M được xem tương
tự như bậc reg(M ).
Chẳng hạn nếu ta kí hiệu d(M ) là bậc sinh cực đại của M , khi đó:
d(M ) = b0 (M )

reg(M )

Sau đây là một vài tính chất thú vị của chỉ số chính qui đặc biệt hữu ích.
2.1.1 Mệnh đề.
reg(M ) = max{t | T oriR (M, k)t−i = 0 với i ≥ 0}
= max{t | ExtR
i (M, R)−t−i = 0 với i ≥ 0}

(2)


12

Chứng minh. Vì giải đã cho tối tiểu nên ta có T oriR (M, k) ∼
= Fi ⊗ k . Do đó
bi (M ) = max{t/T oriR (M, k)t = 0}

Suy ra công thức đầu của reg(M ).
Để chứng minh công thức thứ hai ta đặt r = reg(M ) và Fi∗ = HomR (Fi , R).
Từ Fi không có phần tử sinh có bậc lớn hơn r + i, Fi∗ phải bằng 0 ở bậc
< −r − i. Chú ý rằng ở đây ExtiR (M, R)t là đồng điều của giải đối ngẫu của
M tại Fi∗ . Khi đó ExtiR (M, R)t = 0 với t < −r − i . Bây giờ giả sử i là chỉ
R
số lớn nhất sao cho r = bi − i. Khi đó Fi∗ có hạng tử R(r + i), trái lại Fi+1
không có hạng tử dạng R(m) với m r + i. Vì là giải cực tiểu nên hạng tử
∗ . Ngoài ra , không có thành
R(r + i) của Fi∗ nhận giá trị không trong Fi+1
∗ sinh ra R(r + i) trong F ∗ . Vì vậy nó sẽ cho một lớp
phần nào trong Fi−1

i
khác không trong ExtiR (M, R)t có bậc −r − i. Do đó
r = max{t/ExtiR (M, k)−t−i = 0 ,∀i 0}
Định nghĩa và tính chất trên chỉ rõ vì sao chỉ số chính qui lại có thể đo
độ phức tạp của cấu trúc của M . Để biết thêm thông tin về điều này tham
khảo tại [2], [4], [9].
Bài báo cũng chỉ ra rằng chỉ số chính quy có thể được định nghĩa cho
môđun trên lớp rộng hơn của đại số phân bậc mà không có giải tự do tối
tiểu hữu hạn.
Từ bây giờ đặt R =
Rn là vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên
n 0

vành giao hoán Noether R0 , ở đây “chuẩn” nghĩa là được sinh bởi phần tử
của R1 . Với mọi R-môđun phân bậc M ta đặt:
ΓR+ (M ) = {e ∈ M | Rt e = 0 , ∀t

0}

Dễ dàng kiểm tra rằng ΓR+ (.) là hiệp biến và khớp trái trên phạm trù các
môđun trên R. Hàm tử đối đồng điều địa phương là hàm dẫn xuất phải của
i (M ) là môđun phân bậc đối đồng điều địa
ΓR+ (.). Với i 0 ta kí hiệu HR
+
phương thứ i của M .
Nhận xét. HR0 + (M ) = ΓR+ (M ) = ∪t>0 (0M : (R+ )t ), là giao của tất cả các
thành phần nguyên sơ của 0M mà iđêan nguyên tố liên kết không chứa R+ .
Giả sử M là một R-môđun hữu hạn sinh. Ta biết rằng HRi + (M ) là môđun
phân bậc với HRi (M )t = 0 với t 0. Hơn nữa, nếu M = 0 tồn tại số nguyên

13

s = 0 và H i (M ) = 0 với i > s. Tìm hiểu thêm chi
s ≤ dim M sao cho HR
R+
+
tiết hơn tại [3].
Để nghiên cứu về cấu trúc phân bậc của HRi + (M ) người ta sử dụng khái
niệm sau Với R-môđun phân bậc H tùy ý có Ht = 0, t 0 ta đặt

a(H) := sup{t | Ht = 0}

với quy ước a(H) = −∞ nếu H = 0. Bất biến này có thể được hiểu như bậc
không triệt tiêu lớn nhất của H .
Nếu ta đặt ai (M ) := a(HRi + (M )), khi đó chỉ số chính quy Castelnuovo
của M được định nghĩa là số:
reg(M ) := max{ai (M ) + i | i

0}

Từ các tính chất trên của môđun đối đồng điều địa phương ta có thể thấy
rằng reg(M ) là số hữu hạn nếu M = 0.
0 (M ) = M và H i (M ) = 0
Nhận xét. Nếu Mt = 0 với t
0, ta có HR
R+
+
với i > 0. Do đó reg(M ) = a0 (M ) = max{t | Mt = 0}, trong trường hợp
này reg(M ) là bậc không triệt tiêu lớn nhất của M .

Nếu R là vành đa thức trên một trường, định nghĩa mới của chỉ số chính
quy trùng với định nghĩa trước. Đây là một hệ quả của định lý đối ngẫu địa
phương sau (xem [3]).
2.1.2 Định lí. (Đối ngẫu địa phương). Cho R là vành đa thức trên
trường K với n biến. Khi đó
H i (M )t ∼
= Extn−i (M, R)−t−n
R+

R

với mọi i và t.
Bây giờ, từ ExtjR (M ) = 0 với j > n, ta thu được:
max{ai (M ) + i | i > 0} = max{t | Extn−i
R (M, R)−t−n+i = 0 i = 0, ..., n} .
= max{t | ExtjR (M, R)−t−j = 0 với j 0}

Theo Mệnh đề 2.1.1, nó chỉ ra rằng định nghĩa mới của chỉ số chính qui
trùng với định nghĩa (1) trong trường hợp R là vành đa thức trên một trường.
Định nghĩa mới của chỉ số chính qui có nhiều ưu thế hơn. Thứ nhất, nó
đúng cho lớp rộng hơn các đại số phân bậc khi mà không phải tất cả môđun
đều có giải tự do hữu hạn. Thứ hai, nó giúp chúng ta linh hoạt hơn trong
việc lựa chọn vành cơ sở.


14

Thứ nhất, nếu R là vành thương của đại số phân bậc, HRi + (M ) = HSi + (M )
với mọi i. Do đó, chỉ số chính quy của R-môđun phân bậc hữu hạn sinh M
không thay đổi nếu ta xem M là S -môđun.

Thứ hai, nếu tồn tại một đại số con phân bậc chuẩn A của R sao cho R là
A-môđun hữu hạn. Mọi phần tử của R+ là nguyên trên A. Do đó R+ được
chứa trong căn của A+ R. Nó có nghĩa HRi + (M ) = HSi + (M ) với mọi i. Do đó
reg(M ) không thay đổi nếu xem M như A-môđun phân bậc.
Nhận xét. Nếu R là đại số phân bậc chuẩn trên một trường, ta có thể xem
R như vành thương của vành đa thức trên một trường. Trong trường hợp
này chúng ta có thể sử dụng định nghĩa chỉ số chính qui bằng cách dùng giải
tối tiểu hữu hạn một lần nữa.
Sử dụng định nghĩa theo ngôn ngữ đối đồng điều địa phương chúng ta có
thể dễ dàng suy luận một số tính chất cơ bản của chỉ số chính qui. Ví dụ
như chỉ số chính quy được sử dụng tốt trong dãy khớp ngắn.
2.1.3 Định lí. Cho
0→E→M →F →0
là dãy khớp ngắn của R môđun hữu hạn sinh. Khi đó
a) reg(E) max{reg(M ), reg(F ) + 1}
b) reg(M ) max{reg(E), reg(F )}
c) reg(F ) max{reg(M ), reg(E) − 1}

Chứng minh. Chúng ta chỉ cần xét dãy khớp dài các môđun đối đồng điều
địa phương
i−1
i
i
i
i+1
... → HR
(F )t → HR
(E)t → HR
(M )t → HR
(F )t → HR

(E)t → ...
+
+
+
+
+

Từ đó ta có:

ai (E)
ai (M )
ai (F )

max{ai−1 (F ), ai (M )},
max{ai (E), ai (F )},
max{ai (M ), ai+1 (M )}.

Từ định nghĩa của chỉ số chính qui ta có điều cần chứng minh.
Nhiều thông tin cơ bản được chúng tôi tham khảo tại [3], [4].
2.2

Dãy lọc chính qui

Cho R là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành Noether. M là
R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Ta gọi phần tử thuần nhất z ∈ R là phần


15

tử M -lọc chính qui nếu (0M : z)t = 0 với t

0. Nó có nghĩa z giống như
phần tử M -chính quy trong bậc cao hơn.
Dễ dàng nhận thấy z là phần tử M -lọc chính qui nếu và chỉ nếu z ∈
/ ρ với
+
mọi iđêan nguyên tố liên kết ρ R của M . Ngoài ra, phần tử M -lọc chính
qui có bậc tùy ý đều tồn tại nếu R0 là vành địa phương với trường thặng dư
vô hạn.
Sử dụng phần tử M -lọc chính qui ta có thể dễ dàng tính toán a0 (M ).
2.2.1 Bổ đề. Cho z là M -lọc chính qui dạng tuyến tính bất kỳ. Khi đó
a0 (M ) = a(0M : z) = a(0M : R+ )

Chứng minh. Theo đặc trưng trên của phần tử lọc chính qui, ∪i≥1 (0M : z t )
là giao của tất cả thành phần nguyên sơ của 0M mà iđêan nguyên tố liên
kết không chứa R+ . Theo đó ta có
∪i≥1 (0M : z i ) = ∪i≥1 (0M : (R+ )i )

Do đó, 0M : R+ ⊆ 0M : z ⊆ ∪i≥1 (0M : (R+ )i ) = HR0 + (M ). Có nghĩa:
a(0M : R+ )

a(0M : z)

a0 (M )

mặt khác, mọi phần tử có bậc không triệt tiêu lớn nhất của HR0 + (M ) được
chứa trong 0M : R+ . Do đó a(0M : R+ ) = a0 (M ), cùng với bất đẳng thức
trên ta có điều cần chứng minh.
Dưới đây là mối quan hệ giữa reg(M ) và reg(M/zM ).
2.2.2 Bổ đề. Cho z là M -lọc chính quy dạng tuyến tính bất kỳ. Khi đó
reg(M ) = max{a0 (M ), reg(M/zM )}

Chứng minh. Từ (0M : z)t = 0 với t
Bây giờ từ dãy khớp ngắn

i (0 : z) = 0 với i ≥ 1.
0, ta có HR
M
+

0 → (0M : z) → M → M/(0M : z) → 0
i (M/(0 : z)) với i
ta thu được HRi + (M ) ∼
= HR
M
+

1. Từ dãy khớp ngắn

z

0 → M/(0M : z) −→ M → M/zM → 0

ta thu được dãy dài khớp các môđun đối đồng điều địa phương
i−1
i−1
i
... → HR
(M )t → HR
(M/zM )t → HR
(M )t−1

+
+
+


16

i
i
→ HR
(M )t → HR
(M/zM )t → ...
+
+

Như một hệ quả, ánh xạ HRi + (M )t−1 → HRi + (M )t là đơn ánh với điều kiện
i (M ) = 0 với t
i (M )
t > ai−1 (M/zM ). Từ HR
0, có nghĩa HR
t
t−1 = 0 với
+
+
t > ai−1 (M/zM ) . Do đó ai (M ) ai−1 (M/zM ) − 1. Dãy khớp trên của đối
đồng điều địa phương kéo theo ai−1 (M/zM ) max{ai−1 (M ), ai (M ) + 1}.
Do vậy
ai (M ) + i

ai−1 (M/zM ) + (i − 1) ≤ max{ai−1 (M ) + (i − 1), ai (M ) + i}

với i > 0. Từ đó ta có:
max{ai (M ) | i ≥ 1} ≤ reg(M/zM ) ≤ reg(M )

ngay lập tức suy ra reg(M ) = max{a0 (M ), reg(M/zM )}.
Từ mọi phần tử M -chính qui là M -lọc chính qui, Bổ đề 2.2.2 suy ra tính
chất sau.
2.2.3 Hệ quả. Giả sử rằng z là M -lọc chính qui dạng tuyến tính M chính qui. Khi đó
reg(M ) = reg(M/zM ).
Chứng minh. Sự tồn tại của dạng M -lọc chính qui có nghĩa 0M không có
iđêan nguyên tố liên kết chứa R+ nghĩa là HR0 + (M ) = 0. Do đó từ Bổ đề 2.
2.2 ta có điều cần chứng minh.
Ta gọi dãy các phần tử thuần nhất z1 , ..., zs là dãy M -lọc chính qui nếu
zi+1 là phần tử M/Qi M -lọc chính qui với i = 0, ..., s − 1, ở đây Q0 = 0 và
Qi = (z1 , ..., zi ).
Điều kiện trên có nghĩa a((Qi M : zi+1 )/Qi M ) < ∞ với i = 0, ..., s − 1.
Để đơn giản ta đặt
a(z1 , ..., zi ; M ) = max{a((Qi M : zi+1 )/Qi M ) | i = 0, ..., s − 1}.

Nhận xét. Dãy lọc chính qui nói chung không có tính giao hoán. Ví dụ,
giả sử R = k[x, y, z]/(x) ∩ (x2 , y), ta có z, y là dãy R-lọc chính qui nhưng
y, z thì không phải là dãy lọc chính qui.
Ta gọi iđêan thuần nhất Q ⊆ R+ là M -rút gọn của R+ nếu Q được sinh
bởi dạng tuyến tính và (M/QM )t = 0 với t 0.
Các bổ đề trên dẫn đến một đặc trưng không đối đồng điều sau của chỉ
số chính qui.


17

2.2.4 Định lí. Cho z1 , ..., zs là dãy M -lọc chính qui của các dạng tuyến
tính sao cho Q = (z1 , ..., zs ) là M - rút gọn của R+ . Khi đó
reg(M ) = max{a(z1 , ..., zi ; M ), a(M/QM )}
= max{a((Qi M : zi+1 )/Qi M )/i = 0, ..., s − 1}

Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.2.2 cho môđun thương M/Qi−1 M với i =
1, ..., r, ta thu được
reg(M ) = max{a0 (M/Q0 M ), ..., a0 (M/Qs−1 M ), reg(M/QM )}
theo Bổ đề 2.2.1, ta có
a0 (M/Qi M ) = a((Qi M : zi+1 )/Qi M ) = a((Qi M : R+ )/QM )
reg(M/QM ) = a0 (M/QM ) = a(QM : R+ )/QM ).

Do đó ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ: Cho R = R0 [x1 , ..., xn ] là một vành đa thức trên trường R0 . Khi
đó x1 , ..., xn là dãy chính qui trong R . Do đó a(x1 , ..., xn ) = 0, kéo theo
reg(R) = a(R0 ) = 0.
Trong trường hợp tổng quát, mọi M -rút gọn của R+ có thể được sinh bởi
dãy M -lọc chính qui trong mở rộng phẳng của R.
2.2.5 Bổ đề. Cho Q là M -rút gọn được sinh bởi các dạng tuyến tính
s

uij xj , ở đây U = {uij | i, j = 1, ..., s}

x1 , ..., xs . Với i = 1, ..., s đặt zi =
j=1

là ma trận vô định. Đặt
A = A[U, det(U )−1 ], R = R ⊗A A , M = M ⊗A A .

Nếu xem R như một đại số phân bậc chuẩn trên R và M như R -môđun

phân bậc, khi đó z1 , ..., zs là dãy M -lọc chính qui.
Chứng minh. Ta thấy rằng z1 là M -lọc chính qui. Nó sẽ kéo theo zi là
(M/(z1 , ..., zi−1 )M )-lọc chính qui với i = 2, ..., s. Chúng ta sẽ chỉ ra z1 ∈
/P
với mọi iđêan nguyên tố liên kết P R+ của M . Theo định nghĩa của R ,
mọi iđêan nguyên tố phải có dạng ρR với iđêan nguyên tố liên kết P R+
nào đó của M . Nếu Q ⊆ ρ, khi đó (M/ρM )n = 0 với n
0 vì M/ρM
là môđun thương của M/QM . Từ đó có một số t sao cho (R+ )t M ⊆ ρM .
Từ ann(M ) ⊆ ρ, có nghĩa rằng R+ ⊆ ρ, mâu thuẫn. nên ta được Q ρ.
Từ Q = (x1 , ..., xs ), ta có z1 = u11 x1 + ... + u1s xs ∈
/ ρR = P , như mong
muốn.


18

Bổ đề 2.2.5 thừa nhận việc sử dụng Định lý 2.2.4 để tính toán reg(M ).
Thật vậy, từ R là mở rộng phẳng của R, ta có HRi + (M )n với mọi n và i ≥ 0,
do đó
reg(M ) = reg(M )
Kí hiệu d(M ) là bậc cực đại của hệ sinh thuần nhất tối tiểu của M . Hệ quả
sau của Định lý 2.2.4 đã biết trong trường hợp R là vành đa thức.
2.2.6 Hệ quả.
d(M ) ≤ reg(M ).

Chứng minh. Dễ dàng nhận thấy rằng
d(M ) = d(M/R+ M ) = a(M/R+ M ).

Theo Bổ đề 2.2.5 ta giả sử rằng R+ được sinh bởi dãy M -lọc chính qui

các dạng tuyến tính. Áp dụng Định lý 2.2.4 ta thu được
a(M/R+ M ) ≤ reg(M ).

Do đó ta trực tiếp thu được khẳng định trên.
2.3

Chỉ số chính qui yếu.

Theo định nghĩa, để đánh giá chỉ số chính qui ta cần kiểm tra sự triệt tiêu
của vô hạn các thành phần của môđun đối đồng đều địa phương. Chúng ta
sẽ thấy rằng nó đủ để kiểm tra một vài thành phần. Khái niệm sau được
giới thiệu với mục đích này.
Cho R là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành noether. M là
R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Với số nguyên t tùy ý ta nói rằng M là
i (M )
t-chính qui nếu Hm
0 và n t. Dễ dàng kiểm tra rằng
n−i+1 = 0 với i
reg(M ) = min{t ∈ Z | M là t − chính qui }.
i (M )
Ta nói rằng M là t-chính qui yếu nếu Hm
0. Trong
t−i+1 = 0 với i
trường hợp tổng quát t-chính qui yếu không kéo theo t-chính qui.
Ví dụ:
Cho M = R = k là một trường. Khi đó HRi + (M ) = 0 và HRi + (E) = 0 với
i ≥ 1. Do đó M là t-chính qui yếu nhưng không là t-chính qui với t ≤ −2.
Tuy nhiên, hai khái niệm này trùng nhau trong một số thu hẹp.

19

2.3.1 Định lí. Giả sử t ≥ d(M ). Khi đó M là t-chính qui nếu M là
t-chính qui yếu.
Chứng minh. Sử dụng định Bổ đề 2.2.5 ta giả sử rằng tồn tại một dãy M -lọc
chính qui của các dạng tuyến tính z1 , ..., zs sao cho R+ = (z1 , ..., zs ).
Nếu s = 0,R+ = 0. Trong trường hợp này, HR0 + (M ) = M và HRi + (M ) = 0
với i > 0. Do đó, M là t-chính qui nếu Mn = 0 với n > t, các điều kiện sau
thỏa mãn vì t > d(M ) và R+ = 0.
Nếu s > 0, ta đặt z = z1 . Như trong chứng minh của Bổ đề 2.2.2 ta có
dãy khớp
i
i
i
i+1
HR
(M )n−1 → HR
(M )n → HR
(M/zM )n → HR
(M )n−1
+
+
+
+

với i 0.
i (M/zM )
Từ HRi + (M )t−i+1 = 0 và HRi+1
(M )t−i = 0 ta có HR
t−i+1 = 0

+
+
với i ≥ 0. Do đó M/zM là t-chính qui yếu. Từ d(M/zM ) = d(M ), sử dụng
phương pháp quy nạp ta có thể giả thiết M/zM là t-chính qui. Có nghĩa
reg(M/zM ) ≤ t .
Như một hệ quả, HR0 + (M/zM )n = 0 và do đó
0
0
HR
(M/(0M : z))n−1 = HR
(M )n
+
+

với n ≥ t + 1. Mặt khác, từ HR1 + (0M : z) = 0 và từ dãy khớp
0 → (0M : z) → M → M/(0M : z) → 0

ta có thể suy ra ánh xạ HR0 + (M ) → HR0 + (M/(0M : z)) là toàn ánh. Do đó
0 (M )
0
0
HR
n−1 → HR+ (M )n là toàn ánh ∀ n ≥ t + 1. Từ HR+ (M )t+1 = 0, nó
+
có nghĩa HR0 + (M )n = 0 với n ≥ t + 1 hoặc tương đương a0 (M ) ≤ t.
Tóm lại, ta có
reg(M ) = max{a0 (M ), reg(M/zM )} ≤ t.
Do đó M là t-chính qui.
2.3.2 Hệ quả. reg(M ) = min{t ≥ d(M )|M là t − chính qui yếu}.
Chứng minh. Từ reg(M ) ≥ d(M ), ta có

reg(M ) = min{t ≥ d(M )|M là t − chính qui}
= min{t ≥ d(M )|M là t − chính qui yếu}

như yêu cầu.


20

Chỉ số chính qui trong trường hợp hình học đại số được định nghĩa hơi
khác hơn trong trường hợp đại số. Ta có khái niệm sau đây.
Cho R là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành Noether và M
là R- môđun phân bậc hữu hạn sinh. Ta nói M là t-chính qui hình học nếu
i (M )
HR
n−i+1 = 0 với mọi n ≥ t và i ≥ 1. Kết quả sau của Mumford thể
+
hiện rằng chúng ta chỉ cần kiểm tra điều kiện trên với n = t.
2.3.3 Định lí. M là t-chính qui hình học nếu HRi + (M )t−i+1 = 0 với
i ≥ 1.
Chứng minh. Sử dụng Bổ đề 2.2.5 ta có thể giả sử rằng tồn tại dãy t-lọc
chính qui của các dạng tuyến tính z1 , ..., zs sao cho R+ = (z1 , ..., zs ). Như
chứng minh của Định lý 2.3.1 trong trường hợp s = 0 là tầm thường và nếu
i (M/zM )
s > 0 ta giả sử rằng HR
n−i+1 với mọi n ≥ t và i ≥ 1, ở đây z = z1 .
+
Có nghĩa rằng HRi + (M )n−i → HRi + (M )n−i+1 là toàn ánh với mọi n ≥ t và
i (M )
i
i ≥ 1. Từ HR

t−i+1 = 0 suy ra HR+ (M )n−i+1 = 0 với mọi n ≥ t và
+
i ≥ 1. Điều phải chứng minh.
Định lý 2.3.3 chỉ ra rằng t-chính qui hình học yếu hơn t-chính qui yếu
và t-chính qui. Tuy nhiên nếu HR0 + (M ) = 0, ba khái niệm trên trùng nhau.
Trong trường hợp này Định lý 2.3.3 được diễn đạt lại như sau.
2.3.4 Hệ quả. Giả sử rằng HR0 + (M ) = 0. Khi đó M là t-chính qui nếu
M là t-chính qui yếu.
Ta gọi số
g − reg(M ) := max{ai (M ) + i|i ≥ 1}
là chỉ số chính qui hình học của M . Vậy rõ ràng
g − reg(M ) = min{t|M là t − chính qui hình học }.

Chỉ số chính qui có liên hệ với chỉ số chính quy hình học theo công thức
reg(M ) = max{a0 (M ), g − reg(M )}

So sánh với chỉ số chính quy, chỉ số chính quy hình học thuận lợi hơn vì
nó có thể ước lượng được theo quan điểm của chỉ số chính quy hình học của
“lát cắt siêu phẳng” tổng quát. Từ đó chúng ta cần có nhận xét sau.
Cho R là đại số trên vành địa phương Artin R0 . Với mọi t ∈ Z thành phần
phân bậc Mt là R0 -môđun có độ dài hữu hạn. Chúng ta có thể xem xét
hàm Hilbert hM (t) := l(Mt ). Ta biết rằng hM (t) trở thành đa thức pM (t)


21

với t
0. Ta gọi pM (t) là đa thức Hilbert của M . Hiệu hM (t) − pM (t) có
thể được biểu thị theo ngôn ngữ của môđun đối đồng điều địa phương, dựa
trên kết quả của Serre( xem [3]).

2.3.5 Định lí. Cho R là đại số trên vành địa phương Artin. Khi đó
dimM
i
(−1)i l(HR
(M )t ).
+

hM (t) − pM (t) =
i=0

Công thức trên sẽ được sử dụng trong chứng minh của ước lượng sau đây
về chỉ số chính qui hình học dựa trên một ý tưởng của Mumford. ( [6] trang
101, chứng minh định lý).
2.3.6 Định lí. Cho R là đại số trên vành địa phương Artin. Cho z là
M -lọc chính qui dạng tuyến tính. Cho t ≥ d(M ) sao cho M/zM là tchính qui hình học. Khi đó M là (t + pM (t) − hM/L (t))-chính qui hình
học, ở đây L = ΓR+ (M ).
Chứng minh. Chúng ta phải chứng minh rằng
g − reg(M ) ≤ t + pM (t) − hM/L (t).
i (L) = 0 với
Xét môđun thương M/L. Từ Ln = 0 với n
0, ta có HR
+
i
i
i ≥ 1 và do đó HR+ (M ) = HR+ (M/L) với i ≥ 1. Vì vậy

g − reg(M/L) = g − reg(M ).

Hơn nữa, ta có hM (n) = hM/L (n) với n 0, kéo theo pM (n) = pM/L (n).
Mặt khác, d(M/L) ≤ d(M ) suy ra t ≥ d(M/L). Từ ((L + zM )/zM )n = 0

với n 0, HRi + ((L + zM )/zM )n = 0 và do đó
i
i
HR
(M/(L + zM )) ∼
(M/zM )
= HR
+
+

với i ≥ 1. Như vậy, M/(L + zM ) là t-chính quy hình học giống như M/zM .
Nên ta có thể thay thế M bởi M/L. Nó có nghĩa rằng ta có thể giả sử L = 0
và z là M -chính qui. Như ta đã nhận thấy trong chứng minh của Bổ đề 2.2.2
ai (M ) + i ≤ ai−1 (M/zM ) + i − 1

với i ≥ 1. Từ M/zM là t-chính qui hình học, ai−1 (M/zM ) + i − 1 ≤ t với
i ≥ 2. Do đó ai (M ) + i ≤ t với i ≥ 2.


22

Cho s là số nguyên nhỏ nhất ≥ t sao cho HR0 + (M/zM ) = 0. Khi đó
M/zM là t-chính qui yếu. Theo Định lí 2.3.1 thì reg(M/zM ) ≤ s. Như
vậy,a1 (M ) + 1 ≤ a0 (M/zM ) ≤ s. Trước đây ta đã có
ai−1 (M ) + i ≤ ai−1 (M/zM ) + i − 1 ≤ s

với i ≤ 2, ta có được g − reg(M ) ≤ s. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng
s ≤ t + pM (t) − hM (t).
Từ HR0 + (M ) = L = 0 và HR1 + (M/zM )n = 0 đối với n ≤ t, từ dãy khớp
z

0 → M −→ M → M/zM → 0

ta thu được dãy khớp
0
1
1
0 → HR
(M/zM )n → HR
(M )n−1 → HR
(M )n → 0
+
+
+

với n ≥ t.
Từ HR0 + (M/zM )n = 0 với l n < s, ta có l(HR1 + (M )n−1 > 1(HR1 + (M )n
với t ≤ n < s. Do đó s − t ≤ l(HR1 + (M )t ).
Mặt khác pM (t) − hM (t) = l(HR1 + (M ))t theo Định lí 2.3.5. Nên ta thu
được s ≤ t + pM (t) − hM (t), như yêu cầu.
Sự đánh giá trên là đặc biệt hữu ích trong việc tìm chặn trên của chỉ số
chính qui theo bậc. Tham khảo [5].


23

KẾT LUẬN

Tóm lại, trong luận văn này chúng tôi đã trình bày một cách tường minh
các kết quả của bài báo [8] của Ngô Việt Trung. Cụ thể chúng tôi đã hoàn

thành được những nội dung chính sau:
1. Chỉ ra rằng hai định nghĩa tương đương (1) và (2) này trùng nhau khi
R là vành đa thức trên một trường (các định nghĩa về chỉ số chính qui và
mệnh đề 2.1.1)
2. Các đặc trưng về chỉ số chính qui thông qua khái niệm dãy lọc chính
qui.
3. Nghiên cứu các khái niệm chỉ số chính qui yếu, chỉ số chính qui hình
học để tìm ra các đặc trưng hoặc tìm chặn trên của chỉ số chính qui (hệ quả
2.3.2, định lí 2.3.6)