Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh các lớp cuối cấp Trung học cơ sở thông qua khai thác các bài tập toán

i

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn
khoa học của Thầy giáo TS Chu Trọng Thanh. Nhân dịp này, tác giả xin bày
tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, đã trực tiếp giúp đỡ tác giả hoàn
thành Luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong chuyên
ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán, trường Đại Học
Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện
Luận văn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô,
Khoa sau đại học, Trường Đại Học Vinh. Phòng Giáo dục và Đào tạo Lộc Hà,
Ban Giám Hiệu cùng các bạn bè đồng nghiệp trường THCS Hồng Tân, trường
THCS Bình An Thịnh đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập
và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi tới tất cả người thân và các bạn bè lòng biết ơn sâu sắc.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được
và biết ơn các ý kiến đóng góp của quý thầy cô giáo và các bạn.
Tác giả


ii

MỞ ĐẦU................................................................................................................................1

1. Lý do chọn đề tài...................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu...........................................................................................2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu............................................................................................2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:......................................................................3

4.1. Đối tượng nghiên cứu..............................................................................................3
4.2. Phạm vi nghiên cứu:................................................................................................3

5. Phương pháp nghiên cứu......................................................................................3
6. Giả thuyết khoa học..............................................................................................4
7. Dự kiến đóng góp của luận văn............................................................................4
8. Dự kiến cấu trúc của luận văn..............................................................................4
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...................................................................5

1.1. Một số định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán.........................5
1.1.1. Mục đích, yêu cầu của việc dạy học môn Toán hiện nay....................................5
1.1.1.1. Mục tiêu về kiến thức, kỹ năng, phương pháp.............................................5
1.1.1.2. Mục tiêu phát triển trí tuệ.............................................................................5
1.1.1.3. Mục tiêu giáo dục.........................................................................................6
1.1.1.4. Mục tiêu phát hiện và bồi dưỡng nhân tài....................................................6
1.1.2. Phân tích nhiệm vụ phát triển trí tuệ học sinh trong dạy học môn Toán.............6
1.1.3. Sự cấp thiết của việc cần phải đổi mới phương pháp dạy học............................7

1.2. Một số vấn đề lý luận về tư duy sáng tạo..........................................................8
1.2.1. Khái niệm về tư duy.............................................................................................8
1.2.2. Tư duy sáng tạo....................................................................................................9
1.2.2.1. Tính mềm dẻo.............................................................................................12
1.2.2.2. Tính nhuần nhuyễn.....................................................................................13
1.2.2.3. Tính độc đáo................................................................................................15
1.2.2.4. Tính hoàn thiện............................................................................................16
1.2.2.5. Tính nhạy cảm vấn đề.................................................................................17
1.3.1. Sơ lược các tình huống điển hình trong dạy học môn Toán..............................18
1.3.1.1. Dạy học khái niệm......................................................................................18
1.3.1.2. Dạy học định lí...........................................................................................21
1.3.1.3. Dạy học giải bài tập Toán học....................................................................26

1.3.1.4. Dạy học các quy tắc, phương pháp............................................................26
1.3.2. Vị trí của bài tập toán........................................................................................27
1.3.2.1. Bài tập toán có chức năng củng cố, đào sâu, mở rộng kiến thức lý thuyết 28
1.3.2.2. Bài tập môn Toán có chức năng bồi dưỡng trí tuệ, phát triển tư duy, rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức Toán học vào các tình huống đa dạng cho học
sinh...........................................................................................................................28
1.3.2.3. Bài tập môn Toán có chức năng giáo dục toàn diện người học sinh theo
mục đích, yêu cầu của quá trình dạy học.................................................................29
1.3.2.4. Bài tập môn Toán có chức năng gây hứng thú học tập..............................29
1.3.2.5. Bài tập môn Toán có chức năng đánh giá..................................................29
1.3.3. Các hoạt động phổ biến của học sinh trong quá trình giải bài tập toán..............30


iii

1.3.3.1. Hoạt động liên tưởng...................................................................................30
1.3.3.2. Hoạt động nhận dạng...................................................................................30
1.3.3.3. Hoạt động dự đoán......................................................................................30
1.3.3.4. Hoạt động chia tách, phân lập.....................................................................31
1.3.3.5. Hoạt động suy diễn......................................................................................31
1.3.4. Lược đồ giải toán của G. Pôlia...........................................................................31

1.4. Thực trạng hình thành và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy
học môn Toán ở các trường Trung học cơ sở hiện nay..........................................32
1.4.1. Mục đích khảo sát..............................................................................................32
1.4.2. Địa bàn khảo sát:...............................................................................................32
1.4.3. Nội dung khảo sát..............................................................................................32
1.4.3.1. Thực tế năng lực giải toán của học sinh.....................................................32
1.4.3.2. Điều kiện dạy và học môn Toán của các trường Trung học cơ sở trên địa
bàn............................................................................................................................33

1.4.3.3. Nhận thức của giáo viên về bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trong
dạy học môn Toán nói chung và dạy học giải bài tập toán nói riêng.......................35
1.4.4. Kết luận về khảo sát thực tiễn...........................................................................35
1.4.4.1. Về thực tế năng lực giải toán của học sinh.................................................35
1.4.4.2. Về điều kiện dạy và học môn Toán của các trường Trung học cơ sở.........36
1.4.4.3. Về nhận thức của giáo viên về bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh
trong dạy học môn Toán nói chung và dạy học giải bài tập Toán nói riêng............36
1.4.4.4. Về nguyên nhân của những yếu kém về năng lực tư duy sáng tạo, năng lực
giải Toán của học sinh và những thiếu sót, hạn chế của giáo viên..........................37
Kết luận chương 1................................................................................................................38
Chương 2. BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO................................................................39

2.1. Phân tích nội dung môn Toán các lớp cuối cấp THCS...................................39
2.1.1. Nội dung chương trình môn Toán lớp 8.............................................................39
2.1.1.1. Số liệu tổng hợp:........................................................................................39
2.1.1.2. Nội dung chi tiết..........................................................................................39
2.1.2. Nội dung chương trình môn Toán lớp 9.............................................................52
2.1.2.1. Số liệu tông hợp:.........................................................................................52
2.1.2.2. Nội dung chi tiết..........................................................................................52

2.2. Về hệ thống bài tập môn Toán các lớp cuối cấp Trung học cơ sở................59
2.2.1. Hệ thống bài tập Đại số trong sách giáo khoa các lớp cuối cấp Trung học cơ sở
hiện hành của Việt Nam...............................................................................................59
2.2.1.1. Hệ thống bài tập Đại số trong sách Toán 8................................................60
2.2.1.2. Hệ thống bài tập Đại số trong sách Toán 9.................................................60
2.2.2. Hệ thống bài tập Hình học trong sách giáo khoa các lớp cuối cấp Trung học cơ
sở hiện hành..................................................................................................................60
2.2.2.1. Hệ thống bài tập Hình học trong sách Toán 8............................................60
2.2.2.2. Hệ thống bài tập Hình học số trong sách Toán 9........................................60
2.2.3. Hệ thống bài tập môn Toán cuối cấp Trung học cơ sở trong một số sách bài tập

và sách tham khảo xuất bản trong những năm gần đây................................................61


iv

2.2.3.1. Hệ thống bài tập môn Toán cuối cấp Trung học cơ sở trong sách bài tập. 61
2.2.3.2. Hệ thống bài tập môn toán cuối cấp Trung học cơ sở trong sách giáo khoa
toán của CHLB Nga.................................................................................................61

2.3. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác các bài tập toán.
.................................................................................................................................64
2.3.1. Một số quan điểm của tác giả khi xây dựng các biện pháp................................64
2.3.2. Hệ thống biện pháp bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác
bài tập toán...................................................................................................................65
Kết luận chương 2................................................................................................................81
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.............................................................................82

3.1. Mục đích thực nghiệm.....................................................................................82
3.2. Nội dung thực nghiệm.....................................................................................82
3.3. Tổ chức thực nghiệm.......................................................................................83
3.3.1. Chọn lớp thực nghiệm........................................................................................83
3.3.2. Hình thức tổ chức thực nghiệm..........................................................................83
3.3.2.1. Về nội dung.................................................................................................83
3.3.2.2. Về hình thức................................................................................................84

3.4. Kết luận chung về thực nghiệm.......................................................................86
3.4.1. Đánh giá định tính..............................................................................................86
3.4.2. Đánh giá định lượng...........................................................................................87
KẾT LUẬN..........................................................................................................................87
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................................88

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Một trong những quy luật phát triển của khoa học nói chung, toán học
nói riêng là sự phát triển có gia tốc dương, tức là kiến thức mới khám phá được
ngày càng nhiều. Trong lúc đó quá trình nhận thức của học sinh trong nhà
trường lại phải tuân theo những quy luật phát triển tâm lý nhất định. Không phải
mọi loại kiến thức khoa học đều có thể đưa vào chương trình dạy học.Tình trạng
đó làm cho nội dung dạy học trong nhà trường luôn có khoảng cách so với
những kiến thức mới do nhân loại khám phá được. Hơn nữa khoảng cách đó
ngày càng xa. Lý luận dạy học hiên đại đã đặt lại vấn đề: thay vì chú trọng đến
dạy học những nội dung khoa học cụ thể, cố gắng đưa được nhiều kiến thức vào
dạy học trong nhà trường, cố gắng làm cho kiến thức đưa vào dạy học tiếp cận
được với tri thức khoa học hiện đại, . . . các nhà lý luận dạy học chuyển sang chú
trọng đến vấn đề bồi dưỡng năng lực tự học và tư duy sáng tạo cho học sinh.
Đây sẽ là chìa giúp học sinh tự mình tìm đến với nguồn tri thức hiện đại theo
nhu cầu và khả năng của mình. Vấn đề dạy cho học sinh có được tư duy sáng tạo
đang ngày càng trở nên cấp thiết đối với mỗi môn học trong nhà trường.
1.2. Kiến thức môn Toán có tính lôgic chặt chẽ, có tính trừu tượng cao độ
và có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Quá trình nhận thức trong học tập môn
toán có tính đặc thù. Người học sinh muốn tiếp thu một cách có hiệu quả tri thức
môn Toán cần nắm được những phương pháp nhận thức, phương pháp học tập
thích hợp. Từ những năm cuối của thế kỷ XX các nhà tâm lý học và lý luận dạy
học đã đưa ra nhận định tâm lý của học sinh nói chung, nhận thức nói riêng cần
được hình thành và phát triển thông qua các hoạt động. Theo quan điểm này,
học sinh tự hình thành cho mình nhận thức, tâm lý thông qua quá trình hoạt
động. Đối với nhận thức môn Toán, hoạt động giải toán của học sinh có một vị

trí quan trọng. Vì vậy việc hình thành và phát triển cho học sinh tư duy sáng tạo
thông qua các khai thác các bài tập toán là một nhu cầu vừa có tính lý luận, vừa
có tính thực tiễn, nhất là trong công cuộc đổi mới phương pháp dạy học hiện


2

nay. Vấn đề này tuy không còn mới nhưng vẫn đang cần tiếp tục nghiên cứu làm
sáng tỏ thêm.
1.3. Trong nước cũng như trên thế giới đã có nhiều công trình nghiên cứu
vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. Có thể dẫn ra một số công trình
ở trong nước đang được nhiều người quan tâm như luận án tiến sĩ của Trần Luận
[24], luận án tiến sĩ của Tôn Thân [31], .... Tuy nhiên, vấn đề bồi dưỡng cho học
sinh có được tư duy sáng tạo là vấn đề lớn, có ảnh hưởng sâu, rộng, lâu dài và
toàn diện đến quá trình dạy học và giáo dục học sinh nên cần được tiếp tục
nghiên cứu. Vấn đề bồi dưỡng cho học sinh có được tư duy sáng tạo thông qua
khai thác các bài tập toán là một vấn đề lý thú được nhiều giáo viên toán quan
tâm, nhất là những người có tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn
Toán. Bản thân tôi trong quá trình dạy học những năm qua đã có sự chú ý đến
việc tích lũy kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khai thác các bài Toán để giúp các
em (chủ yếu là học khá môn Toán) mở mang hiểu biết và tạo sự hứng thú học
toán.
1.4. Môn Toán ở các lớp cuối cấp Trung học cơ sở có nội dung khá phong
phú với nhiều hệ thống kiến thức mang tính suy diễn khá sâu sắc. Đây là điều
kiện thuận lợi để đặt vấn đề phát triển tư duy lôgic, tư duy sáng tạo cho học sinh.
Vì vậy chúng tôi chọn đề tài luận văn thạc sĩ của mình là: Bồi dưỡng tư duy
sáng tạo cho học sinh các lớp cuối cấp trung học cơ sở thông qua khai thác
các bài tập toán.
2. Mục đích nghiên cứu
Xác định một số yếu tố liên quan đến tư duy sáng tạo của học sinh và đề xuất

một số hướng khai thác bài tập toán vào tổ thức quá trình dạy học giải toán
nhằm hình thành và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh các lớp cuối cấp
trung học cơ sở, thông qua đó góp phần đổi mới phương pháp dạy học và nâng
cao chất lượng dạy học môn Toán.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu lý luận về phát triển tư duy đặc biệt là tư duy sáng tạo
cho học sinh thông qua hoạt động giải toán.


3

3.2. Nghiên cứu nội dung dạy học môn Toán các lớp 8, 9, đặc biệt tìm
hiểu sâu hệ thống bài tập có thể khai thác để tổ chức thành tình huống giúp học
sinh tìm cách phát hiện nhiều lời giải hoặc đề xuất thêm các bài tập mới.
3.3. Đề xuất một số biện pháp tiến hành quá trình dạy học giải toán để
giúp học sinh biết cách khai thác các bài toán nhằm thúc đẩy tư duy sáng tạo cho
học sinh.
3.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu
quả của các biện pháp đã đề xuất.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
4.1. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu hoạt động dạy học giải toán;
- Nghiên cứu hoạt động tư duy sáng tạo của học sinh các lớp cuối cấp
Trung học cơ sở.
4.2. Phạm vi nghiên cứu:
- Nghiên cứu các vấn đề về tư duy sáng tạo của học sinh các lớp cuối cấp
Trung học cơ sở thông qua khai thác các bài tập toán.
- Khảo sát thực tế tại một số trường Trung học cơ sở trên địa bàn huyện
Lộc Hà tỉnh Hà Tĩnh.
5. Phương pháp nghiên cứu

5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tư liệu về Tâm lý
học, Lý luận dạy học, Toán học phổ thông và Lý luận giải toán phục vụ cho việc
giải quyết vấn đề được đặt ra trong đề tài luận văn.
5.2. Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn: Phỏng vấn (bằng phiếu và
hỏi trực tiếp) các giáo viên toán, các chuyên gia về lý luận dạy học bộ môn
Toán, các cán bộ quản lý và phụ huynh học sinh để thu nhận các thông tin về
thực trạng dạy học và phát triển tư duy học sinh liên quan đến đề tài.
5.3. Phương pháp thực nghiệm: Tổ chức thực nghiệm để kiểm tra tính khả
thi và tính hiệu quả của những giải pháp, biện pháp sư phạm đề xuất trong luận
văn.


4

5.4. Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê Toán học.
6. Giả thuyết khoa học
Việc khai thác các bài tập toán và thiết kế, tổ chức các hoạt động dạy học
theo các định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải
bài tập toán ở trường trung học cơ sở là việc làm cần thiết và có thể thực hiện
được. Thông qua việc làm đó đó sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn
Toán nói riêng, nâng cao chất lượng giáo dục nói chung.
7. Dự kiến đóng góp của luận văn
7.1. Hệ thống hóa tư liệu về lý luận dạy học toán đặc biệt là các tư liệu về
bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh để làm tài liệu tham khảo trong công tác
chuyên môn.
7.2. Phân tích nội dung và khai thác các bài tập toán của các lớp 8; 9 để
phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh các lớp cuối cấp trung học cơ sở.
7.3. Thiết kế một số định hướng và giải pháp khai thác bài tập Toán vào
bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải toán.
8. Dự kiến cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 3
chương
Chương 1: dành cho việc trình bày cơ sở lý luận và thực tiễn của việc bồi
dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác các bài tập toán.
Chương 2: dành cho việc trình bày các giải pháp nằm góp phần bồi dưỡng
tư duy sáng tạo cho học sinh các lớp cuối cấp trung học cơ sở thông qua khai
thác các bài tập toán.
Chương 3: dành cho việc trình bày các công tác thực nghiệm sư phạm để
kiểm chứng tính khả thi và tính hiệu quả của các giải pháp sư phạm được đề
xuất trong luận văn.


5

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
CỦA VIỆC BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
THÔNG QUA KHAI THÁC CÁC BÀI TẬP TOÁN

1.1. Một số định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán
1.1.1. Mục đích, yêu cầu của việc dạy học môn Toán hiện nay
Trên cơ sở mục tiêu giáo dục Quốc gia, dạy học môn Toán cần đạt được
những mục tiêu nhất định, qua đó góp phần giáo dục toàn diện người học sinh
theo yêu cầu của đất nước. Theo GS. Nguyễn Bá Kim [20], mục đích dạy học
môn Toán bao gồm những điểm sau đây:
1.1.1.1. Mục tiêu về kiến thức, kỹ năng, phương pháp
Dạy học môn Toán cần làm cho học sinh nắm vững hệ thống kiến thức,
kỹ năng, phương pháp toán học đã được xác định trong chương trình dạy học.
Về mặt kiến thức bao gồm hệ thống tri thức sự vật, tri thức phương pháp,
tri thức chuẩn và tri thức giá trị.
Về kỹ năng bao gồm các kỹ năng toán học cơ bản, kỹ năng ứng dụng các

kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề của nội bộ môn Toán, các vấn đề
thuộc các môn học khác trong nhà trường và những vấn đề xuất hiện trong thực
tiễn đời sống phù hợp với khả năng giải quyết của kiến thức toán phổ thông.
Về phương pháp toán học bao gồm các phương pháp thông dụng được
dùng trong việc xây dựng hệ thống tri thức toán học học, các phương pháp toán
học được sử dụng trong thực tiễn đời sống lao động sản xuất và nghiên cứu khoa
học.
1.1.1.2. Mục tiêu phát triển trí tuệ
Dạy học môn Toán cần góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh.
Xuất phát từ đặc điểm của hệ thống tri thức toán học, dạy học môn Toán có thể
góp phần phát triển trí tuệ cho học sinh trên các phương diện sau: Rèn luyện
năng lực thực hiên các hoạt động trí tuệ cơ bản (tức là các thao tác tư duy); Bồi
dưỡng các phẩm chất trí tuệ (các thuộc tính cơ bản của tư duy);...


6

1.1.1.3. Mục tiêu giáo dục
Dạy học môn Toán góp phần giáo dục thế giới quan duy vật biện chứng;
giáo dục tình yêu quê hương đất nước và trách nhiệm công dân; giáo dục các
phẩm chất của người lao động phù hợp với nền sản xuất trong thời đại mới;...
1.1.1.4. Mục tiêu phát hiện và bồi dưỡng nhân tài
Trên cơ sở đảm bảo chất lượng chung, trong quá trình dạy học môn Toán
cần phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về Toán. Việc bồi
dưỡng học sinh có năng khiếu Toán học nhằm tạo nguồn đào tạo những người
lao động có trình độ cao, phục vụ cho nghiên cứu khoa học và nền kinh tế tri
thức, nền sản xuất dựa trên thành tựu khoa học kỹ thuật tiên tiến.
1.1.2. Phân tích nhiệm vụ phát triển trí tuệ học sinh trong dạy học môn
Toán
Trong quá trình học tập, trí tuệ của học sinh được phát triển nhờ sự tích

cực hoá các mặt khác nhau của hoạt động tư duy, nhờ việc tạo ra những điều
kiện thuận lợi cho sự phát triển khác nhau của hoạt động tâm lí: tri giác, biểu
tượng, trí nhớ… Việc sử dụng các bài tập toán một cách thích hợp đúng nguyên
tắc, hợp với những phương pháp dạy học tích cực của giáo viên sẽ giúp học sinh
phát triển óc quan sát, khả năng phân tích, tổng hợp và so sánh
Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên, nó chiếm một vai trò rất quan
trọng trong các trường học. Toán học là bộ môn khoa học có từ lâu đời, nó
nghiên cứu rất nhiều thể loại, đa dạng và phong phú và có ý nghĩa rất quan trọng
trong thực tế đời sống và các ngành khoa học khác.
Hiện nay chúng ta đang thực hiện đổi mới phương pháp dạy học với nội
dung kiến thức ngày càng phong phú, đa dạng nhằm đạt được mục tiêu, nhiệm
vụ dạy học môn Toán Trung học cơ sở. Chính vì vậy đòi hỏi trước hết học sinh
phải nắm bắt được kiến thức cơ bản một cách thực sự. Đặc biệt mỗi người thầy
chúng ta phải thực hiện mục tiêu, nhiệm vụ đào tạo học sinh thành những người
lao động trong xã hội mới: tự chủ, sáng tạo, năng động, cần cù, chịu khó, tinh
thần trách nhiệm, khả năng hợp tác lao động. Tạo tiền đề để học sinh có thể vào
cuộc sống lao động sản xuất hoặc học tiếp những bậc học cao hơn. Việc bồi


7

dưỡng năng lực sáng tạo, phát triển trí tuệ cho học sinh là một nhiệm vụ trọng
tâm của nhà trường, trong đó môn toán giữ vai trò quan trọng. Do đó trang bị
cho học sinh những kiến thực Toán học không chỉ gồm các định nghĩa, khái
niệm, định lý, quy tắc, mà còn phải trang bị cho học sinh các kỹ năng và phương
pháp giải bài tập, vận dụng Toán học vào thực tế cuộc sống vì thế hệ thống tri
thức Toán học không chỉ có trong bài giảng lý thuyết mà còn phải suy luận, đúc
rút từ hệ thộng bài tập. Khi giải bài tập toán học không những đòi hỏi học sinh
phải linh hoạt trong việc vận dụng lý thuyết mà phải biết đào sâu khai thác, phát
triển bài toán giúp các em phát triển trí tuệ một cách hoàn thiện.

1.1.3. Sự cấp thiết của việc cần phải đổi mới phương pháp dạy học
Các văn bản mang tính pháp lí của Đảng, Nhà nước và Bộ Giáo dục - Đào
tạo đã chỉ rõ cần thiết phải đổi mới phương pháp dạy học. Định hướng chung
của việc đổi mới phương pháp dạy học là: Phương pháp dạy học phải hướng vào
việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,
tích cực, sáng tạo, được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu. Nói cách khác,
cần vận dụng các phương pháp dạy học hiện đại, các phương pháp dạy học đảm
bảo "hoạt động hóa người học" vào các trường phổ thông. Định hướng này đã
được GS. Nguyễn Bá Kim trình bày trong [20], bao gồm:
(i) Xác lập vị trí chủ thể của người học, bảo đảm tính tự giác tích cực,
sáng tạo của hoạt động học tập.
(ii) Xây dựng những tình huống có dụng ý sư phạm cho học sinh học tập
trong hoạt động và bằng hoạt động được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
(iii) Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.
(iv) Chế tạo và khai thác những phương tiện phục vụ quá trình dạy học.
(v) Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản
thân người học.
(vi) Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách là người thiết kế, ủy
thác, điều khiển và thể chế hóa.


8

Sáu định hướng trên đây được xác định trên cơ sở những nghiên cứu sâu
sắc hoạt động học của người học theo hướng tiếp cận toàn diện quá trình dạy
học. Những định hướng này phù hợp với việc vận dụng các lý thuyết tâm lý học
mới như Lý thuyết hoạt động, Lý thuyết kiến tạo, Lý thuyết tình huống, ... vào
dạy học. Các định hướng trên cũng đề cập một cách toàn diện về các phương
diện phương pháp dạy học, trang thiết bị, đội ngũ giáo viên và sự tham gia tích
cực của học sinh.

1.2. Một số vấn đề lý luận về tư duy sáng tạo.
1.2.1. Khái niệm về tư duy
Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ của
cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái chưa
biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái
bản chất và những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó gọi là tư
duy.
Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối
liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện
thực khách quan mà trước đó ta cha biết (theo tâm lý học đại cương - Nguyễn
Quang Cẩn)
Theo từ điển triết học: "Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ
chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách
quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình
hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách
gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối
liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ
tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện
trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi
nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng
hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách
giải quyết chung, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm. Kết quả của quá
trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó".


9

Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của tư duy.
- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh

tích cực thế giới khách quan.
- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể
hiện qua ngôn ngữ.
- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng
được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng.
- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ
thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người.
1.2.2. Tư duy sáng tạo
Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải
quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng
tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị
hơn cái cũ). Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội
loài người. Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một
quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một
năng lực của con người.
Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo.
Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập và tính phê phán là những
điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác
nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng
tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" (Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học bộ môn Toán)
Theo Tôn Thân quan niệm: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập
tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao". Và theo tác
giả "Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái
đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm


10

giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi
cá nhân đã tạo ra nó. (Tôn Thân - Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm
bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi toán ở
trường trung học cơ sở Việt Nam, luận án phó Tiến sỹ khoa học sư phạm - Tâm
lý, Viện khoa học giáo dục Hà Nội)
Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho rằng "Tư duy sáng tạo là hạt
nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục" Theo
ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động
trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác. Trong
khi đó, J. DanTon lại cho rằng "Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy
những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến
thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao
gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát
sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm".
Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một tư duy gọi là
có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi
là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau
này. Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn,
có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ:
lúc những cố gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng
cho những bài toán khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách
gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì
đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả".
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học toán: "Đối
với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với
những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết. Như vậy,
một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó
không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu
người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi

11

chưa biết trước. Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt
động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.
Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì đó
là tư duy sáng tạo ra cái mới. Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức
mới về thế giới về các phương thức hoạt động. Lene đã chỉ ra các thuộc tính sau
đây của tư duy sáng tạo:
- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo.
- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách"
- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu.
- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu
lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành một
phương thức mới).
- Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưng
phương thức khác (Lene - dạy học nêu vấn đề – Nhà xuất bản Giáo dục - 1977)
Tư duy sáng tạo là tư duy tích cực và tư duy độc lập nhưng không phải
trong tư duy tích cực đều là tư duy độc lập và không phải trong tư duy độc lập
đều là tư duy sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái niệm dưới
dạng vòng trong đồng tâm
Tư duy tích cực
Tư duy độc lập
Tư duy sáng tạo
Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng
minh mà học sinh đó chưa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo
giải quyết mâu thuẫn tồn tạo trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp
lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp.

12

Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới
độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Tính mới mẻ của sản phẩm tư duy,
tính độc đáo của cách tiếp cận vấn đề và các các giải pháp giải quyết vấn đề là
những dấu hiệu quan trọng nhất của tư duy sáng tạo.
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học về cấu trúc của tư
duy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau:
- Tính mềm dẻo
- Tính nhuần nhuyễn
- Tính độc đáo
- Tính hoàn thiện
- Tính nhạy cảm vấn đề
Sau đây chúng tôi hệ thống hóa lại một số vấn đề về 5 đặc trưng cơ bản
này của tư duy sáng tạo.
1.2.2.1. Tính mềm dẻo
Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này
sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác,
vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá,
khái quát hóa, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn,
tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp
thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng
trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan
niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây
dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới, hoặc
chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán. Suy nghĩ
không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã
có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi,

có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những
phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước. Đó là nhận ra vấn đề mới
trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.


13

Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy
sáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em
giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy.
1.2.2.2. Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh
chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đưa ra
giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng
sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất
định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất
hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng.
Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:
- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn
để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất
được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu.
Ví dụ: Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc ở đáy bằng 800. Trên AB
lấy D sao cho AD = BC. Tính số đo góc ACD.
Hướng giải quyết:
Giáo viên có thể gợi ý cho các em đi tìm mối liên hệ giữa các góc của tam
giác ABC. Có thể các em sẽ phát hiện thấy (hoặc giáo viên chỉ ra): tam giác cân
A

ABC đã cho có góc 800, 800, 200. Mà 800 – 200 = 600 chính
là các góc của tam giác đều. Từ đó hướng dẫn học sinh
thử đi vẽ thêm một tam giác đều nào đó, xem có nhận
thấy điều gì không?

D

Từ sự gợi ý trên, đa số học sinh đều làm theo cách sau:
- Cách 1:

E

Vẽ tam giác đều BEC nằm trong tam giác ABC để tạo ra
∠ ECA = 200, bằng Â.

0
B 80

C


14

 EC = DA

Khi đó ∆ ECA = ∆ DAC (c.g.c) vì:  AC chung
)

∠ECA = A
1

⇒ ∠ACD = ∠EAC = ∠BAC (1)
2
 AB = AC

Mà ∆ ABE = ∆ ACE (c.c.c) vì: AE chung ⇒ ∠BAE = ∠EAC (2)
 EB = BC

1
2

Từ (1) và (2) ⇒ ∠ACD = ∠BAC = 100
- Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có
A

một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và
E

hiện tượng chứkhông phải cái nhìn bất biến,phiến
diện, cứng nhắc.

D

Trở lại ví dụ trên ta có:
- Cách 2:
Vẽ tam giác đều EAD nằm ngoài tam giác ABC, tạo
ra ∠ EAC = 800= Bˆ
EA = BC
Khi đó ∆ EAC = ∆ CBA (c.g.c) vì:
=> CE=CA và ∠ ECA = ∠ BAC.
Do đó ∆CDA=∆CDE (c.c.c) vì:



∠EAC =∠E
AC = AB


C

A
1

dẫn học sinh làm hai cách trên,
có thể hướng dẫn học sinh làm

E

1

D

2

thêm theo cách sau:
- Cách 3:
Vẽ tam giác đều EAC nằm ngoài
bằng góc B. Khi đó:

0
B 80

DA = DE

CD chung
CA = CE


1
1
⇒ Cˆ 1 = Cˆ 2 = ∠ ECA = ∠ BAC = 100
2
2
Sau khi phân tích, hướng

tam giác ABC, tạo ∠ DAE = 800,

?
2
1

?

0
B 80

C


15

∆ DAE = ∆ CBA (c.g.c) vì :

(

AE = BA

∠DAE =∠B
AD = BC


)

ˆ = 20o A
ˆ = 20o Vậy ∆ DEC cân tại đỉnh E, có góc ở đỉnh
⇒ Eˆ 1 = A
1
1
=> Góc đáy ECD = (1800 – 400) : 2 = 700.
Do đó: ∠ DCA+ ∠ DCE - ∠ ACE =700 –600 = 100.
Cũng có thể đi đến lời giải khác như sau:

A
1

- Cách 4:
Vẽ ∆ đều ABE (E,C nằm cùng phía đối với AB)
tạo ra ∠ CBE = 200 = ∠ A . Khi đó
∆ CBE = ∆ DAC (c.c.c)vì :

D

AB = AD

BE = AC
∠CBE =∠BAC


ˆ =E
ˆ
⇒C
1
1
ˆ ta chỉ cần tính Eˆ 1
Vậy để tìm C
1

0
B 80

E
?
1

C

Dễ thấy ∆ AEC cân tại A vì có góc ở đỉnh A bằng: 60 0 – 200 = 40 => Góc ở
đáy ∠ AEC = (1800 – 400) : 2 = 700. Mà góc E2 = 600 (góc trong tam giác đều)
=> Góc E1 = 700 – 600 = 100. Vậy ∠ ACD = 100
1.2.2.3. Tính độc đáo
Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng.

- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới.
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài
liên tưởng như không có liên hệ với nhau.
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ
mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt
động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho
việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính
nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể
tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố này có quan hệ khăng


16

khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn
đề. Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo,
đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.
Ví dụ sau đây minh họa một lối suy nghĩ có tính độc đáo khi giải một bài
toán cho trước.
Ví dụ : Cho a , b , c thoả mãn điều kiện a > c > 0 và b > c > 0
Chứng minh rằng : c(a − c) + c(b − c) ≤

ab

Giải
Theo giả thiết a , b, c > và đồng thời a > c , b > c
nên tồn tại tam giác ABC có các cạnh AB = a ,

A

AC = b và đường cao AH = c
b

Áp dụng định lí Py ta go cho

a

hai tam giác vuông AHB và AHC ta có :
BH = a − c

B

c
H

C

CH = b − c
Do đó diện tích ∆ ABC là :
S=

1
2

c(

a−c +

Mặt khác S =

1
2

a

b−c ) =

1
(
2

b sinA ≤

1
2

c( a − c) +

c(b − c)

ab

(do sinA ≤ 1 ) a + b + b + c + c + a ≤
Từ đó suy ra : c ( a − c + b − c ) ≤

6

ab

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ∆ ABC vuông tại A tức là khi

1
1
1
=
+
AC 2
AH 2
AB 2

⇔

1
1
1
= +
c
a
b

(đpcm)

1.2.2.4. Tính hoàn thiện
Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành
động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng.
Ví dụ khi giải bài toán: Chứng minh rằng với mọi a , b ta đều có :
a2 + 4 +

a 2 − 2ab + b 2 + 1 +

b 2 − 6b + 10 ≥ 5

17

Ta có thể gợi ý để học sinh ý tưởng sử dụng bất đẳng thức tam giác: Với
ba điểm A ,B ,C bất kì ta có : AB + BC ≥ AC. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi
B nằm giữa B và C. Việc kiểm chứng ý tưởng sẽ đưa các em đến lời giải bài
toán:
Giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
a 2 + 22 +

(a - b) 2 + 12 +

(b - 3) 2 + 12 ≥ 5

Trên mặt phẳng toạ độ lấy : A(0 ; -1) ; B(a ; 1) ; C(b ; 2) ; D(3 ; 3)
Ta có : AB = a 2 + 4
BC = (a − b) 2 + 12
CD = (b − 3) 2 + 12
Từ bất đẳng thức AB + BC + CD ≥ AD ta có :
a 2 + 22 +

(a - b) 2 + 12 +

(b - 3) 2 + 12 ≥

32 + 4 2 = 5

Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi A, B, C, D thẳng hàng và xếp theo thứ tự đó
1.2.2.5. Tính nhạy cảm vấn đề

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:
- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề
- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó
có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở học
sinh nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi. Trong học tập toán
mà cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay đổi các
hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng phân tích
trong khi tìm tòi lời giải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải. Ở học sinh khá
và giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo. Điều quan
trọng là người giáo viên phải có phương pháp dạy học thích hợp để có thể bồi
dưỡng và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo ở các em.

1.3. Một số vấn đề lý luận về dạy học giải toán


18

1.3.1. Sơ lược các tình huống điển hình trong dạy học môn Toán
Những tình huống điển hình trong dạy học môn Toán là: dạy học khái
niệm toán học, dạy học định lý toán học, dạy học quy tắc thuật toán, dạy học
giải bài tập toán học.
1.3.1.1. Dạy học khái niệm
(i) Các yêu cầu cơ bản của dạy học khái niệm
Những vấn đề về mục đích và yêu cầu của việc dạy học khái niệm đã
được tác giả Nguyễn Bá Kim trình bày trong sách [20]. Sau đây chúng tôi trình
bày một số yêu cầu của việc thiết kế, tổ chức quá trình dạy học các khái niệm
Toán học có liên hệ trực tiếp đến hoạt động của giáo viên toán Trung học cơ sở.
Yêu cầu cơ bản về dạy học khái niệm là:
- Chọn được con đường phù hợp để tiếp cận khái niệm.

- Cần làm rõ nội hàm và ngoại diên của khái niệm thông qua các ví dụ.
Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diên của nó. Nội hàm của khái
niệm là dấu hiệu bản chất của khái niệm, là tính chất đặc trưng, là thuộc tính của
khái niệm. Ngoại diên của khái niệm là những hình thức biểu hiện bên ngoài, là
tập hợp các đối tượng thuộc phạm vi khái niệm. Chẳng hạn với khái niệm hình
thang cân. Nội hàm đó là tứ giác có tính chất có 2 cạnh song song, 2 góc đáy
bằng nhau. Ngoại diên là những hình như hình chữ nhật, hình vuông, hình có
hai cạnh song song và 2 cạnh bên bằng nhau.
- Xác định được các dạng hoạt động nhận thức phù hợp của học sinh, đặc
biệt là các hoạt động củng cố khái niệm thông qua các ví dụ áp dụng đa dạng.
(ii) Những con đường tiếp cận khái niệm
a. Con đường suy diễn.
Là cách định nghĩa khái niệm mới xuất phát từ khái niệm cũ mà học sinh
đã biết. Quy trình như sau:
-Từ những khái niệm đã biết thêm vào đặc điểm (nội hàm) của nó một số
đặc điểm mà ta quan tâm.
-Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới nhờ một định
nghĩa tổng quát hơn cùng những đặc điểm hạn chế của một bộ phận trong khái
niệm đó.


19

-Đưa ra ví dụ đơn giản minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa.
Việc hình thành khái niệm bằng con đường suy diễn tiềm tàng khả năng
phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh, tiết kiệm thời gian. Tuy nhiên con
đường này hạn chế sự phát triển trí tuệ chung như: phân tích, so sánh,....
Ví dụ: Từ hình thành khái niệm: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối
song song => Khái niệm: Hình thang vuông là hình thang có một cạnh bên
vuông góc với hai cạnh đáy.

Ví dụ: hình thoi được hình thành từ hình bình hành.
b. Con đường quy nạp.
Con đường này nên dành cho đối tượng học sinh có trình độ còn thấp và
vốn kiến thức chưa nhiều và thường sử dụng trong điều kiện chưa phát hiện ra
một khái niệm nào làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn. Xuất phát từ
một số trường hợp riêng lẻ hay những đối tượng riêng lẻ. Giáo viên dẫn dắt học
sinh phân tích so sánh, trừu tượng hóa khái quát hóa để tìm ra dấu hiệu đặc
trưng của khái niệm thể hiện từ các đối tượng này. Từ đó dẫn tới định nghĩa
tường minh hay sự hiểu biết trực giác của khái niệm tùy theo yêu cầu của
chương trình.
Quy trình như sau:
-Giáo viên đưa ra một số ví dụ cụ thể để học sinh thấy được sự tồn tại hoặc tác
dụng của một loạt đối tượng đưa ra lên các giác quan của học sinh.
-Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh nêu bật những đặc điểm chung
của các đối tượng đang xét (có thể cả những đối tượng không có đặc điểm đó)
-Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm bằng cách nêu
những tính chất đặc trưng của khái niệm.
Quá trình hình thành khái niệm bằng con đường quy nạp chứa đựng khả năng
phát triển những năng lực trí tuệ như: phân tích, so sánh, khái quát hoá, đặc biệt
hoá,...thuận lợi cho việc hoạt động tích cực của học sinh. Vì thế cần chú trọng
khả năng này trong dạy học môn Toán. Tuy nhiên con đường này đòi hỏi tốn
nhiều thời gian và có các điều kiện nói ở trên.
Ví dụ 1:


20

Khái niệm phân thức đại số được hình thành thông qua quan sát các biểu
thức có dạng

4x − 7
15
A
x − 12
dưới đây:
;
;
2 x 3 + 4 x − 5 3x 2 + 4 x − 5
B
1

Từ đó đi đến định nghĩa: Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng

A
trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.
B
Từ một số truờng hợp cụ thể, tìm ra dấu hiệu bản chất, tính chất đặc
trưng, khái quát hoá thành một khái niệm mới.
Ví dụ 2. Khái niệm cấp số cộng.
Ví dụ 3. Hình thành khái niệm Hàm số bằng con đường quy nạp: Từ
những trường hợp cụ thể hàm số được cho bằng bảng, bằng biểu đồ Ven, bằng
một biểu thức giải tích, khái quát hoá ta được khái niệm Hàm số.
c. Con đường kiến thiết.
Con đường tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra như
sau:
1. Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hình
thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ
Toán học hay từ thực tiễn;
2. Khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc
điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành;

3. Phát biểu định ghĩa được gợi ý do kết quả bước (2).
Con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn. Yếu tố suy diễn
thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tổng quát để xây dựng một hay nhiều
đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành. Yếu tố quy nạp thể hiện ở chỗ
khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng lẻ đi đến đặc
điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa.
Tuy nhiên con đường này ít được áp dụng để dạy các khái niệm trong
chương trình của các lớp Trung học cơ sở.
So sánh ba con đường.


21

- Con đường suy diễn có ưu điểm là tiết kiệm được thời gian và có thể tập
dượt cho học sinh tự học các khái niệm.
- Con đường quy nạp có ưu điểm là thuận lợi cho việc kích thích các hoạt
động tích cực của học sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tập
dượt khả năng độc lập đưa ra định nghĩa cho học sinh. Tuy nhiên con đường này
đòi hỏi nhiều thời gian.
- Con đường kiến thiết thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giác tích
cực của học sinh và rèn luyện cho họ khả năng giải quyết vấn đề. Tuy nhiên con
đường này dài và tốn nhiều thời gian. Trong con đường kiến thiết có cả suy diễn
(dựa trên những khái niệm đã có), có cả quy nạp (từ những đối tượng cụ thể).
Con đường kiến thiết khó khăn hơn hai con đường kia.
Ba con đường đều nhằm hình thành khái niệm mới, nhưng khác nhau về
quy trình thực hiện, về ưu nhược điểm, về điều kiện sử dụng (sử dụng trong điều
kiện nào)
(iii) Các hoạt động củng cố khái niệm.
- Hoạt động ngôn ngữ (học sinh trình bày định nghĩa theo cách của mình).
- Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm:

Nhận dạng một khái niệm là xét xem một đối tượng cho trước có thoả
mãn định nghĩa một khái niệm hay không. Thể hiện một khái niệm là tạo ra một
đối tượng thoả mãn định nghĩa khái niệm.
Xác lập mối quan hệ giữa khái niệm mới và các khái niệm đã biết bằng
cách : Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá những khái niệm đã học.
Trên cơ nội hàm mà xác định phần giao của ngoại diên của các khái niệm.
- Các hoạt động vận dụng.
1.3.1.2. Dạy học định lí.
(i) Các yêu cầu cơ bản của dạy học định lí.
Yêu cầu cơ bản về dạy học định lí là:
- Biết tạo tình huống dẫn dắt học sinh hình thành định lí.
- Gợi động cơ chứng minh hoặc kiểm nghiệm định lí.
- Có các dạng hoạt động củng cố định lí.