Tính toán và mô phỏng uốn tấm nanocomposite nền polymer cốt graphene

Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
LỜI CẢM ƠN
Chúng em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong viện cơ khí – Trường
Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tận tình chỉ dạy chúng em trong suốt 5 năm qua.
Chúng em cũng xin cảm ơn các thầy cô trong bộ môn Cơ học vật liệu đã giúp đỡ
chúng em trong thời gian hoàn thành đồ án tốt nghiệp. Đặc biệt chúng em tỏ
lòng cảm ơn đến thầy Lê Minh Quý đã trực tiếp tận tình hướng dẫn chỉ bảo
chúng em hoàn thành đồ án này.
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
1
1
Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
LỜI NÓI ĐẦU
Trong quá trình phát triển, con người luôn có những phát minh phục vụ
cuộc sống của mình. Việc tìm ra vật liệu mới thay thế vật liệu truyền thống là
một bước tiến của khoa học mà công nghệ na nô được nhắc tới như là một điển
hình. Tất cả các máy, kết cấu và dụng cụ có thể được thiết kế từ kích thước
nguyên tử. Những tấm graphene có độ bền phá kỷ lục có thể là ý tưởng để thiết
kế những dụng cụ có cấu trúc na nô và kết cấu na nô-composite.
Kể từ khi “chất liệu nghi vấn” graphene – các tấm carbon chỉ dày một
nguyên tử - được khám phá ra vào năm 2004 do hai nhà khoa học người Nga là
Konstantin Novoselov và Andre Geim. Nó đã tỏ ra là một chất dẫn điện cực kì
tốt; một chất bán dẫn có thể dùng để chế tạo transistor; và là một vật liệu rất bền.
James Hone, Jeffrey Kysar, Changgu Lee và Xiaoding Wei ở trường đại học
Columbia đã chứng minh cho thấy nó là chất liệu bền nhất từ trước đến nay[1].
Do khó khăn trong nghiên cứu thực nghiệm, mô phỏng số được coi là
công cụ đắc lực mô hình hóa và xác định đặc trưng cơ học của Graphene và
Composite từ nó.
Với đề tài: “Tính toán và mô phỏng uốn tấm nanocomposite nền polymer
cốt graphene”. Đồ án sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và phần mềm Marc

để mô hình hóa và xác định đặc trưng cơ học của graphene và tính toán bài toán
uốn tấm nanocomposite nền polymer cốt graphene.
Nội dung chính của đồ án được trình bày như sau:
Chương 1 :trình bày về lịch sử phát triển và ứng dụng, cấu trúc và các đặc
tính của graphene. Cơ sở lựa chọn loaị vật liệu composite của graphene để
nghiên cứu
Chương 2 :mô hình hóa tấm graphene bằng phương pháp phần tử hữu hạn
và tính mô đun đàn hồi của tấm graphene.
Chương 3 : Mô hình phần tử hữu hạn của bài toán
Chương 4 : Kết quả cho bài toán uốn
Chương 5 : Kết Luận
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
2
2
Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
Mục lục
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
NH N XÉT C A GIÁO VIÊN H NG D NẬ Ủ ƯỚ Ẫ
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
3
3
Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý

SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
NH N XÉT C A GIÁO VIÊN PH N BI NẬ Ủ Ả Ệ
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
4
4
Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
Kí hiệu sử dụng trong đồ án
Kí hiệu Ý nghĩa
E Mô đun đàn hồi
E
d
Mô đun đàn hồi của phần tử dầm
Vs
% thể tích graphene trong composite
G
d
Mô đun trượt của phần tử dầm
L Chiều dài của phần tử dầm
d Đường kính của phần tử dầm
A
0
Diện tích mặt cắt ngang của phần tử dầm
L

0
Chiều dài ban đầu của Graphene
h Chiều dày tấm Composite
b Chiều rộng của tấm Composite
P Lực phân bố đều tác dụng lên Composite
J
x
Mô men quán tính mặt cắt ngang của dầm theo trục x
J
y
Mô men quán tính mặt cắt ngang của dầm theo trục y
J Mô men quán tính độc cực mặt cắt ngang của dầm
J
0
Mô men quán tính độc cực mặt cắt ngang của ống na nô các bon
k
r
Hệ số dãn dài trong hàm thế năng
k
θ
Hệ số uốn trong hàm thế năng
k
τ
Hệ số chống xoắn trong hàm thế năng
D Độ cứng uốn của Tấm Composite
M
x
Mô men uốn
M
z

Mô men xoắn
N
z
Lực dọc trục
F Lực kéo tác dụng lên tấm Graphene
P
tl
Giá tri lớn nhất của lực kéo trong giai đoạn đàn hồi của mẫu thử
A Diện tích mặt cắt ngang của Graphene
u Chuyển vị
Kí hiệu sử dụng trong đồ án (tiếp)
Kí hiệu Ý nghĩa
U
r
Năng lượng liên kết khi kéo trong hàm thế năng
U
θ
Năng lượng liên kết khi uốn trong hàm thế năng
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
5
5
Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
U
Ф
Năng lượng liên kết khi xoắn trong hàm thế năng
U
ω
Năng lượng liên kết khi xoắn không cùng mặt phẳng
U

vdw
Năng lượng tương tác do lực Van der Waals
W Độ võng của tấm Composite
ΔL Biến dạng dài của tấm
Δr Độ giãn dài trong hàm thế năng
Δθ Góc uốn trong hàm thế năng
ΔФ Góc xoắn trong hàm thế năng
α Góc xoay của dầm
β Góc xoắn của điểm cuối dầm
γ Góc trượt (Độ trượt tương đối)
ε Biến dạng
θ Góc xoay tỉ đối mặt cắt ngang của ống khi chịu mô men xoắn
σ Ứng suất
σ
tl
Giới hạn tỉ lệ của vật liệu
σ
b
Ứng suất bền
τ Ứng suất tiếp
υ Hệ số Poát xông
φ Góc xoay của mặt cắt ngang
CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU CHUNG
1.1 Định nghĩa
Graphene là một dạng thù hình của các bon với kết cấu na nô.
Graphene là tấm phẳng dày bằng một lớp nguyên tử của các nguyên tử
cácbon với liên kết sp
2
tạo thành dàn tinh thể hình tổ ong. Tên gọi của nó được
ghép từ "graphit" (than chì) và hậu tố "-en" (tiếng Anh là "-ene"); trong đó chính

than chì là do nhiều tấm graphen ghép lại [1].
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
6
6
Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
Hình 1.1 Tấm Graphene
1.2 Lịch sử phát triển và ứng dụng của Graphene
Graphene – các tấm carbon chỉ dày một nguyên tử - được khám phá ra
vào năm 2004 do hai nhà khoa học người Nga là Konstantin Novoselov và
Andre Geim . Với sự khám phá đó năm 2010 giải Nobel Vật Lý đã được trao
cho hai nhà khoa học này[2].
Graphen có nhiều tính chất chưa từng gặp ở các vật liệu khác, và các số
đo tính năng của nó gây chấn động trong giới vật lý, hóa học và đặc biệt, điện tử
học.
Về tính chất vật lý, graphen là loại vật liệu rất cứng, cứng hơn cả kim
cương, độ bền cao hơn thép trên 200 lần, những ở dạng đơn lớp lại dẻo như một
miếng nhựa, có thể bẻ cong, gấp hoặc cuộn lại thành ống. Nó trong suốt cho
phép tối thiểu 90% ánh sáng đi qua, điện trở thấp hơn chất dẫn điện trong suốt
tiêu chuẩn là indi-thiếc oxit nên mở ra một ứng dụng rộng rãi trong việc sản xuất
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
7
7
Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
màn hình cảm ứng chất lượng cao, pin mặt trời, thiết bị lưu trữ năng lượng và
dần dần có thể thay thế silicon trong lĩnh vực sản xuất chip máy tính tốc độ
cao[2].
Nó dẫn điện tử nhanh hơn bất cứ vật liệu nào đã biết, giống như chuyển
động của một hạt không trọng lượng của thuyết tương đối (massless relativistic

particle) là photon. Từ đó nó trở thành vật liệu để thực hiện trong phòng thí
nghiệm nhằm kiểm tra lại những dự đoán của cơ học lượng tử tương đối tính mà
trước đây người ta cho rằng chỉ có thể quan sát thấy trong các máy gia tốc hạt
Trong lĩnh vực sản xuất các thiết bị vi điện tử, nhờ tính chất độc đáo của
mình, các transistor graphen đã tạo ra những linh kiện rất đa dạng và ưu việt,
đáp ứng nhu cầu của nhiều thiết bị mà nếu không phải nhà chuyên môn, người ta
khó hình dung. Những mạch tích hợp (IC) dùng graphen đã thu nhỏ được kích
thước đến tối đa mà vẫn bảo đảm (và nâng cao) tính năng các thiết bị vi điện tử -
một hướng tiểu hình hóa (micronisation) thiết bị đang diễn ra.
Ngành Sinh học gần đây cũng “nhòm ngó” đến graphen. Người ta đang
thiết kế những thiết bị điện tử trên cơ sở những linh kiện chế tạo từ graphen để
phân tích ADN và bộ gen người và các động thực vật với hy vọng sẽ có năng
suất cao hơn và chính xác hơn. Viện Hàn lâm khoa học Trung quốc cũng phát
hiện những tấm ôxit graphene có tính sát khuẩn cao và có khả năng dùng làm
dụng cụ đựng thực phẩm có tác dụng bảo quản lâu dài.
Chính những thành công trong nghiên cứu ứng dụng, người ta triển khai
rất nhanh chóng các kết quả vào thực tế. Ngành công nghiệp graphene đã khai
thác các phương pháp tổng hợp vật liệu này trên quy mô công nghiệp (ở đây,
phương pháp hóa học có vai trò quan trọng) và giá thành sản xuất ngày càng
giảm [2].
1.3 Cấu trúc của Graphene.
Về cơ bản graphene là tấm phẳng dày bằng một lớp nguyên tử của
các nguyên tử cácbon (0.147nm) với liên kết sp
2
tạo thành dàn tinh thể hình tổ
ong (lục giác đều), độ dài liên kết 0.142nm . Graphene có hai phương chính là
phương zigzag và phương zrmchair[3].
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
8

8
Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
Hình 1.2 Cấu trúc của graphene
Phương y ( phương zigzag); Phương x (phương armchair)
1.4 Các đặc tính của Graphene.
1.4.1 Đặc tính về cơ học.
Graphen là chất cực kỳ cứng, hơn cả kim cương, độ bền cao hơn thép trên
200 lần, những ở dạng đơn lớp lại dẻo như một miếng nhựa, có thể bẻ cong, gấp
hoặc cuộn lại thành ống. Mô đun kéo và độ bền của Graphene nằm trong khoảng
2.3-2.6 TPa và 11-200 GPa [3]. Trong hình 1.4, graphene thể hiện tính vượt trội
về độ bền so với sợi các bon, thép.
Hình 1.3 Biểu đồ so sánh độ bền của một số vật liệu
1.4.2 Đặc tính về điện
Graphene có các tính chất về điện giống như kim loại và chất bán dẫn. các
điện tử mang điện tích di chuyển rất nhanh và thường hoạt động như thê
̉
chúng
có khối lượng nhỏ hơn nhiều so với khi ở trong các kim loại thường hay siêu
dẫn. Với đặc tính trên graphene có tính dẫn điện cao hơn các loại vật liệu khác.
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
x
y
9
9
Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
1.4.3 Đặc tính về nhiệt
Graphene có độ dẫn nhiệt và tản nhiệt cực tốt, thể hiện một đặc tính gọi là
ballistic conduction. Graphene được dự đoán có thể truyền nhiệt lên tới 6000
W/mK ; so sánh với đồng là kim loại dẫn nhiệt tốt là 385 W/mK. Nhiệt độ ổn

định của Graphene có thể ước lượng lên tới 2800
0
C trong chân không và 750
0
C
trong không khí. Không những thế các nhà khoa học của ĐH Illinois (Mỹ) cho
thấy: đặc tính nhiệt điện (thermoelectric) của lớp tổ ong này có thể là lời giải
mới cho kỹ thuật tản nhiệt chip. Chỉ 1 lớp nguyên tử C rất khó quan sát. Song
nhờ kỹ thuật quan sát dựa trên đầu dò (tip) của kính hiển vi lực nguyên tử
(atomic force microscope – AFM), họ ghi nhận được mức biến thiên nhiệt ở độ
phân giải nhỏ đến từng nguyên tử. Và theo quan sát thì graphene có mức tản
nhiệt cao hơn mức sinh nhiệt [4].
1.5 Cơ sở lựa chọn đề tài
Kể từ khi ra đời graphene, nó đã tỏ ra là một chất dẫn điện cực kì tốt, một
chất bán dẫn có thể dùng để chế tạo transistor, và là một vật liệu rất bền. Với các
đặc tính về điện tử, nhiệt điện đã và đang được các nhà khoa học trên thế giới
nghiên cứu để chế tạo ra những thiết bị bán dẫn mới, chíp điện tử siêu nhỏ…
Việc ứng dụng các đặc tính cơ học của graphene để tạo ra những vật kiệu siêu
bền cơ vẫn là một bài toán khó đối với các nhà khoa học bởi lẽ hai lý do
sau : Việc chế tạo graphene phẳng đã rất khó khăn chưa nói đến việc phải định
hình chúng để tạo ra các kết cấu cơ học, việc chế tạo các tâm kích thước
nanomet trở thành những kết cấu lớn là một điều không tưởng và giá thành của
nó rất cao so với những vật liêu truyền thống. Thế nhưng với sự phát triển của
khoa học gần đây các nhà nghiên cứu trên thế giới đã phát hiện ra việc chế tạo
graphene không phải là một điều khó khăn và sắp tới sẽ phát triển ngành công
nghiệp chế tạo graphene.
‘‘Các nhà nghiên cứu ở Mĩ vừa nhận thấy việc chiếu một camera flash vào
graphite oxide đủ để tạo ra graphene – những tấm carbon dày một nguyên tử lần
đầu tiên được khám phá ra vào năm 2004 có những tính chất cơ và điện độc nhất
vô nhị. Quá trình mới này còn có thể sử dụng để những khuôn graphene phức

tạp có thể tích hợp vào các mạch điện tử gốc carbon nhanh và linh hoạt’’
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
10
10
Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
Mới đây Các nhà khoa học công nghệ Sydney (UTS) cho hay, họ tạo ra
được vật liệu hỗn hợp từ than chì mỏng như một tờ giấy nhưng bền gấp 10 lần
thép. Công trình này được công bố trên tờ Journal of Applied Physics. GS
Guoxiu Wang, thành viên trong nhóm nghiên cứu giới thiệu về mẫu cấu trúc
nano của giấy graphene, một vật liệu có thể làm thay đổi ngành công nghiệp chế
tạo ô tô, ngành hàng không và công nghiệp điện cũng như quang học.
Giấy graphene là một vật liệu được xử lý, định dạng và tái cấu trúc từ
trạng thái nguyên thủy của than chì. Các nhà khoa học ở UTS đã thành công khi
nghiền than chì thô, tinh lọc bằng hóa chất để định dạng và tái cấu trúc của nó
thành cấu trúc nano và như thế có thể dàn mỏng thành giấy.
Kim cương và graphene đều là những vật liệu hình thành từ carbon. Sự khác
nhau duy nhất giữa chúng là, kim cương bao gồm những tinh thể ba chiều, còn
graphene gồm những tinh thể hai chiều.
Hinh 1.4 : Giấy graphene
Qua hàng loạt quy trình xử lý, các nhà khoa học thu được một vật liệu mà nếu so
với thép, chúng nhẹ hơn 6 lần, tỉ trọng thấp hơn 5-6 lần, cứng hơn gấp 2 lần và
độ co dãn tốt hơn 10 lần, khả năng chịu uốn gấp 13 lần.
Ali Reza Ranjbartoreh, người đứng đầu nhóm nghiên cứu cho rằng:Việc tạo ra
giấy graphene sẽ mang lại lợi ích lâu dài cho ngành công nghiệp xe hơi và hàng
không, cho phép các nhà sản xuất tạo ra những chiếc xe ô tô và máy bay nhẹ
hơn, độ bền cao, tiêu thụ ít nhiên liệu, ít ô nhiễm, chi phí vận hành rẻ và góp
phần giữ gìn môi trường sinh thái [4].
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51

11
11
Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
Với những nghiên cứu đột phá của các nhà khoa học trên thế giới chúng
ta thấy việc nghiên cứu các đặc tính cơ học của vật liệu nanocomposite với cốt
là các tấm graphene là điều sớm muộn. Với sự hỗ trợ của máy tính và phầm
mềm Marc bọn em đã lựa chọn đề tài nghiên cứu các đặc trưng cơ học của
graphene và nanocomposite của nó với polymer. Đồ án trình bày bài toán uốn
tấm nanocomposite và sự phụ thuộc của độ võng tấm khi chịu uốn vào tỉ lệ
graphene có trong tấm nanocoposite từ đó đưa ra các nhận định về loại vật liệu
mới này.
CHƯƠNG 2
MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ TÍNH MODUN ĐÀN HỒI CỦA
TÂM GRAPHENE
2.1 Mô hình phần tử hữu hạn cho tấm Graphene
Như đã nói ở trên, các nguyên tử các bon của graphene liên kết với nhau
theo mối liên kết đồng hóa trị tạo thành lưới lục giác. Các liên kết này có đặc
trưng liên kết là chiều dài liên kết và góc liên kết trong không gian. Chuyển vị
của mỗi nguyên tử riêng biệt dưới tác dụng của ngoại lực bị ràng buộc bởi các
liên kết. Do đó, tổng biến dạng của graphene là kết quả tương tác giữa các liên
kết. Bằng cách coi các liên kết như phần tử liên kết mang tải trọng, và nguyên tử
như khớp của phần tử liên kết, Graphene có thể được mô phỏng như kết cấu
khung không gian.
Với việc coi Graphene như kết cấu khung không gian, các ứng xử cơ học
có thể được phân tích sử dụng phương pháp cơ học kết cấu cổ điển. Trong đồ án
này, mô hình phần tử hữu hạn 3 chiều được đưa ra để xác định các đặc tính cơ
học của Graphen. Mô hình phần tử hữu hạn 3 chiều được xây dựng bởi phần
mềm MARC và phần tử được sử dụng để thay cho liên kết là phần tử dầm 52.
Mỗi phần tử có 6 bậc tự do tại mỗi nút: tịnh tiến dọc trục Ox, Oy, Oz; quay
quanh trục Ox, Oy, Oz, với Oxyz là hệ tọa độ đặt tại nút. Phần tử được sử dụng

là phần tử 2 nút.
Hình 2.1 miêu tả các lục giác, là thể liên tục của phần tử của kết cấu na
nô, được mô phỏng như phần tử kết cấu của khung không gian. Nói cách khác,
toàn bộ lưới Graphen được mô phỏng. Mô hình cần có sự tương ứng giữa chiều
dài liên kết
c c
α
−
với chiều dài phần tử L cũng như bề dày tấm t với độ dày phần
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
12
12
Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
tử. Bằng cách thừa nhận diện tích mặt cắt ngang của phần tử thì t tương ứng với
đường kính d của phần tử.
Đặc điểm về hình học và mô đun của các phần tử dầm sử dụng để thay thế cho
các liên kết sẽ được tính toán qua mối liên kết giữa các nguyên tử và phương
pháp cơ học môi trường liên tục.
Hình 2.1 Mô hình tấm Graphene trong kết cấu không gian
2.2 Mô đun đàn hồi của phần tử dầm.
2.2.1 Hàm thế năng
Để tính mô đun đàn hồi của phần tử dầm, liên kết giữa phân tử và cơ học
liên tục được sử dụng.
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
Liên k t C-C ph n t d mế → ầ ử ầ
Nguyên t C nútử →
Kéo
13

13
Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
Hình 2.2 Tương tác giữa các nguyên tử
Dưới quan điểm của cơ học phân tử, Graphen được coi như phân tử lớn
chứa các nguyên tử các bon. Nhân nguyên tử được coi như chất điểm và chuyển
động của chúng được quy định bởi trường lực tạo bởi tương tác electron – nhân,
nhân – nhân. Trường lực được biểu diễn dưới dạng thế năng trong không gian,
và chỉ phụ thuộc duy nhất vào vị trí tương đối của các nguyên tử cấu thành nên
phân tử. Tổng thế năng không gian, khi bỏ qua tương tác tĩnh điện, sẽ là tổng
năng lượng để liên kết hay là tương tác giữa các liên kết và tương tác giữa các
liên kết - không liên kết. Theo [5]
wtotal r vd
U U U U U U
θ ϖ
Φ
= + + + +
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
(2.1)

Trong đó:
r
U
,
U
θ
,
U
Φ
,
U

ω
,
wvd
U
lần lượt là năng lượng liên kết khi kéo, năng
lượng liên kết uốn, năng lượng liên kết xoắn trong góc nhị diện, năng lượng liên
kết xoắn không cùng mặt phẳng, năng lượng tương tác do lực Van der Waals.
Trong một hệ liên kết đồng hóa trị, tổng năng lượng liên kết trong không
gian chủ yếu phụ thuộc vào 4 thành phần đầu. Với giả định biến dạng nhỏ, việc
xấp xỉ điều hòa có thể được dùng để biểu diễn liên kết. Để cho bài toán đơn giản
và tiện lợi, ta chấp nhận dạng dao động điều hòa đơn giản nhất và kết hợp góc
xoắn nhị diện và xoắn lệch trong một phương trình tương đương đơn giản [5]:
( )
2
2
0
1 1
( )
2 2
r r r
U k r r k r= − = ∆
(2.2)
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
Xo nắ
U nố
L c Van der Waalsự
Xo n không cùngắ
m t ph ngặ ẳ
14

14
Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
( )
2
2
0
1 1
( )
2 2
U k k
θ θ θ
θ θ θ
= − = ∆
(2.3)
( )
2
1
2
r
U U U k r
τ ω
Φ
= + = ∆
(2.4)
Trong đó: k
r
, k
θ
, k
τ

là hệ số giãn dài, hệ số góc uốn, hệ số chống xoắn

, ,r
θ
∆ ∆ ∆Φ
là dộ giãn dài, sự thay đổi góc uốn và góc xoắn.
2.2.2 Quan hệ giữa các thông số của mặt cắt ngang và lực
Trong Graphene, các nguyên tử các bon liên kết với nhau bằng mối liên
kết đồng hóa trị dưới dạng lưới hexa trên tấm Graphene. Mỗi liên kết này có đặc
điểm liên kết là chiều dài liên kết và góc liên kết trong không gian 3 chiều. Khi
Graphene chịu tác dụng của ngoại lực, chuyển vị của mỗi nguyên tử riêng biệt bị
ràng buộc bởi những liên kết này. Tổng biến dạng của Graphene là của tương
tác giữa các liên kết. Bằng việc coi mỗi liên kết đồng hóa trị như một phần tử
liên kết giữa các nguyên tử các bon, Graphene có thể được mô hình hóa như một
kết cấu khung không gian. Mỗi nguyên tử các bon được coi như một khớp của
phần tử liên kết.
Hình 2.3 Kéo (a), uốn (b) và xoắn (c) thuần túy phần tử
Dưới đây chúng ta thiết lập quan hệ giữa các thông số của mặt cắt ngang
trong cơ học kết cấu và lực trong cơ học phân tử. Để đơn giản, mặt cắt của các
liên kết coi như đồng nhất và giống nhau. Theo đó có thể thừa nhận J
x
= J
y
và chỉ
có 3 thông số độ cứng E
d
A, E
d
J
x

, G
d
J cần xác định.
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
15
15
Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
Vì biến dạng của khung không gian là kết quả của sự thay đổi năng lượng
biến dạng, nên 3 thông số độ cứng được xác định trên cơ sở các năng lượng
tương đương. Chú ý rằng mỗi hàm năng lượng trong cơ học phân tử được biểu
diễn trong một tương tác riêng biệt và không có sự sự liên quan nào giữa các
liên kết, năng lượng biến dạng của phần tử cần được xem xét dưới dạng các lực
riêng biệt.
Theo lý thuyết cơ học kết cấu cổ điển, năng lượng biến dạng của dầm có
chiều dài L chịu kéo thuần túy dọc trục với lực độ lớn N
z
là (công thức (13),[6]):
( )
2 2
2
0
1 1 1
2 2 2
L
d
z z
A
d
E A

N N L
U dL L
EA E A L
= = = ∆
∫
(2.5)
Trong đó:
L
∆
là biến dạng dài dọc trục.
Năng lượng biến dạng của dầm khi chịu uốn thuần túy với mô men M
x
là [5]:
( )
2
2
2
0
2
1 1
2
2 2
L
x d x d x
M
d x
M E J E J
U dL
E J L L
α α

= = =
∫
(2.6)
Trong đó: α biểu thị góc xoay của điểm cuối của dầm.
Năng lượng biến dạng của dầm khi chịu xoắn thuần túy với mô men M
z
là [5]:
( )
2 2
2
0
1 1 1
2 2 2
L
d
z z
r
d d
G J
M M L
U dL
G J G J L
β
= = = ∆
∫
(2.7)
với
β
∆
là góc xoắn của điểm cuối dầm.

So sánh hai phương trình tương ứng từ (2.1) đến (2.7) ta thấy: cả U
r
và U
A
đều biểu diễn năng lượng kéo, cả
U
θ
và
M
U
đều biểu diễn năng lượng uốn, và cả
U
τ
và
T
U
đều biểu diễn năng lượng xoắn. Như vậy là hoàn toàn hợp lí khi thừa
nhận rằng góc quay
α
2
tương ứng với tổng sự thay đổi của góc liên kết
θ
∆
,
L∆
tương ứng
r
∆
, và
β

∆
tương ứng
φ
∆
. Bằng việc so sánh hai phương trình tương
ứng (2.2) – (2.7) và (2.3) – (2.6), ta suy ra liên hệ giữa các thông số kết cấu cơ
học EA, EJ
x
, GJ và các thông số cơ học phân tử
, ,
r
k k k
θ τ
như sau (công thức (16)
[6],
, ,
d d x d
r
E A E J G J
k k k
L L L
θ τ
= = =
(2.8)
Phương trình (2.4) thiết lập cơ sở của việc áp dụng cơ học kết cấu vào mô
hình Graphene. Vì vậy với phương pháp ma trận độ cứng cho kết cấu khung,
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
16
16

Đồ án tốt nghiệp GVHD : Lê Minh Quý
biến dạng và ứng xử đàn hồi của tấm Graphene ở tỉ lệ nguyên tử có thể được mô
phỏng.
Coi dầm có đường kính d, và với
2
/ 4A d
π
=
,
4
/ 64
x
J d
π
=
và
4
/ 32J d
π
=
,
thay vào phương trình (2.8) ta được:
2
2
2
4 , ,
4 8
r
r
d d

r
k k k L
k L
d E G
k k k
θ τ
θ θ
π π
= = =
(2.9)
Bán kính liên kết và mô đun đàn hồi có thể xác định được từ phương trình
(2.7) nếu biết các hằng số lực tác dụng
r
k
,
k
θ
,
k
τ
,. Đồ án sử dụng các hằng số
lực
2
1 7 1
938 6,52.10
o
r
k kcalmol A Nnm
−
− − −

= =
,
1 2 10 2
126 8,76.10k kcalmol rad Nnmrad
θ
− − − −
= =
,
1 2 10 2
40 2,78.10k kcalmol rad Nnmrad
τ
− − − −
= =
, [5]
và L = a
C-C
= 0,1421 nm. Từ phương trình (2.9) suy ra: d = 0,147 nm, E
d
= 5,49
TPa, G
d
= 0,871 TPa.
Hình 2.4 Mô hình khung không gian của Graphene.
2.3 Sơ lược về phương pháp cơ học kết cấu đối với hệ khung không gian.
Phân tích kết cấu cơ học có thể là sự xác định chuyển vị, biến dạng, ứng
suất của kết cấu dưới điều kiện tải trọng đặt. Trong đó, phương pháp ma trận độ
SVTH: Hoàng văn Tình
Lớp : Sản Phẩm Chất Dẻo – K51
17
17