CHƯƠNG 3 THỦY ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC, BÀI GIẢNG MÔN HỌC THỦY LỰC CƠ SỞ

Bài giảngmơn học Thủy lực

CHƯƠNG 3

THỦY ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC

Thủy động học nghiên cứu đơn thuần sự chuyển động của chất lỏng và các thông
số đặc trưng của nó mà không quan tâm đến các nguyên nhân gây ra chuyển động
(các lực tác động).
Thủy động lực học nghiên cứu các quy luật chuyển động của chất lỏng, có xét đến
các lưc gây nên chuyển động đó
Để đi từ đơn giản đến phức tạp, ta bắt đầu nghiên cứu chuyển động của chất lỏng
lý tưởng (không nhớt), sau đó chuyển qua chất lỏng thực (có nhớt). Lúc chuyển phải
đưa vào những sữa chửa cần thiết để điều chỉnh sự sai lệch do bỏ qua tác dụng của
lực nhớt.
Ta vẫn coi chất lỏng là môi trường liên tục do vô số phân tử chất lỏng chuyển
động tạo nên, mỗi phần tử được đặc trđưng bằng các đại lượng cơ bản của sự chuyển
động, gọi là yếu tố chuyển động, như vận tốc u, áp suất thủy động p, khối lượng riêng
ρ, … Vì ta coi chất lỏng là môi trường liên tục nên các yếu tố chuyển động đều là hàm
số liên tục của tọa độ không gian và thời gian.
u = u (x, y, z, t)
p = p (x, y, z, t)
ρ = ρ (x, y, z, t)
Trong thủy lực, các yếu tố thường hay được xét đến nhất là vận tốc u và áp suất p,
còn khối lượng riêng ρ coi như không đổi, vì ta xem chất lỏng như không nén được.
Cần chú ý rằng áp suất thủy động có hướng khác nhau tùy theo chất lỏng ta
nghiên cứu là chất lỏng lý tưởng hay chất lỏng thực. Trong chất lỏng lý tưởng, áp suất
thủy động hướng theo pháp tuyến của mặt chòu tác dụng, còn trong chất lỏng thực, áp
suất động vẫn hướng vào mặt tác dụng nhưng không theo hướng pháp tuyến, vì nó là

1

Bài giảngmơn học Thủy lực

tổng hợp của thành phần ứng suất pháp tuyến và thành phần ứng suất tiếp tuyến do
lực nhớt gây ra.
Vận tốc của một phần tử chất lỏng đo tại một vò trí nhất đònh trong dòng chất lỏng
ở một thời điểm nhất đònh gọi là vận tốc điểm tức thời. Trong dòng chảy với vận tốc
điểm tức thời này luôn luôn thay đổi về hướng và giá trò. Việc đo vận tốc điểm tức
thời rất khó, đòi hỏi thiết bò rất tinh vi nên thường người ta thay vận tốc điểm tức thời
bằng giá trò trung bình của nó trong một thời gian nhất đònh T, gọi là vận tốc điểm
trung bình thời gian. Ký hiệu là u .
T

u=

1
udt
T ∫0

Khi không cần nghiên cứu những hiện tượng đặc biệt của chuyển động, người ta
thường lấy vận tốc điểm trung bình thay cho vận tốc điểm tức thời, nhưng vẫn dùng
ký hiệu u.
Trong kỹ thuật, thông thường người ta hay dùng khái niệm vận tốc trung bình của
toàn dòng chảy qua một mặt cắt ngang thẳng góc với trục dòng chảy, gọi là vận tốc
trung bình của dòng chảy hoặc lưu tốc trung bình, ký hiệu là v.
3.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA – KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN DÒNG CHẢY –
NHỮNG ĐẶC TRƯNG CƠ BẢN CỦA DÒNG CHẢY
3.1.1 Một số đặc trưng thủy lực của dòng chảy
Việc đưa ra các đặc trưng thủy lực của dòng chảy là nhằm tạo điều kiện thuận lợi

cho việc biểu diễn các quy luật chuyện động và tổn thất năng lượng.
1. Tiết diện ướt (ω) – Đơn vò tính : m2
Là tiết diện vuông góc với các vectơ vận tốc của dòng chảy. Tiết diện ướt có thể
là mặt phẳng hay mặt cong.

2


Bài giảngmơn học Thủy lực

ω

Hình 3.1
2. Chu vi ướt (χ) – đơn vò tính : m
Là đường tiếp xúc giữa tiết diện ướt và thành rắn giới hạn dòng chảy.

χ

A

D
C

A
C

B

B

Hình 3.2
3. Bán kính thủy lực (R) – Đơn vò tính : m
Là tỷ số giữa tiết diện ướt ω và chu vi ướt χ .
R=

ω
χ

Cần phân biệt bán kính thủy lực R với bán kính r.
Ví dụ : Nếu chất lỏng chảy đầy trong ống tròn bán kính r thì dòng chảy đó có
bán kính thủy lực R là :
R=

ω π .r 2 r
=
=
χ 2.π .r 2

3


Bài giảngmơn học Thủy lực

4. Lưu lượng Q
Là lượng chất lỏng chảy qua mặt cắt ướt trong một đơn vò thời gian. Lưu lượng
có thể tính theo thể tích, khối lượng hoặc trọng lượng.
Nếu phân bố vận tốc trên diện tích mặt cắt ướt là u thì ta có lưu lượng thể tích Q
được tính theo công thức :
(m3/s ; l/s)

Q = ∫ udω
ω

5. Vận tốc trung bình trên diện tích ướt (v)
Là một giá trò tưởng tượng mà mỗi phần tử chất lỏng phải chảy theo vận tốc đó
để đảm bảo cho lưu lượng đi qua tiết diện ướt được giữ nguyên như trong trường hợp
dòng chảy thực tế.
V =

Q

ω

=

1

ω ω∫

udω

(m/s)

3.1.2 Các đònh nghóa liên quan đến dòng chảy :
1. Dòng không dừng (không ổn đònh), dòng dừng (ổn đònh), dòng dừng trung
bình thời gian.
Trong trường hợp tổng quát, các thông số đặc trưng của dòng chất lỏng chuyển
động như vận tốc, áp suất, khối lượng riêng, … biến đổi theo thời gian và không gian.
Tính chất “ dừng” (hay ổn đònh) của chuyển động được đánh giá trên mức độ phụ
thuộc vào thời gian của các thông số này.

+ Dòng không dừng (không ổn đònh) là dòng khi các thông số đặc trưng của dòng
chảy biến đổi theo thời gian.
u = f 1 (x, y, z, t) ;

∂u
≠0
∂t

p = f 2 (x, y, z, t) ;

∂p
≠0
∂t

+ Nếu các thông số này không phụ thuộc vào thời gian, dòng được gọi là dòng
dừng (ổn đònh).

4


Bài giảngmơn học Thủy lực

u = f 1 (x, y, z, t) ;

∂u
=0
∂t

p = f 2 (x, y, z, t) ;

∂p
=0
∂t

+ Dòng dừng trung bình thời gian : Đối với các dòng chảy trong kỹ thuật công
nghiệp, các yếu tố u, p, ρ, … phụ thuộc vào thời gian và không gian, nhưng xét về trò
số trung bình trong một thời gian T đủ dài thì chúng gần như không đổi, tức là các đại
lượng như :
1
ux =
T

t +T

∫u

uy =

x

: Vận tốc trung bình thời gian theo ox.

.dt

t

1
T

1

uz =
T

t +T

.dt

: Vận tốc trung bình thời gian theo oy.

∫ u .dt

: Vận tốc trung bình thời gian theo oz.

∫u

y

t

t +T

z

t

2. Dòng đều
Dòng chảy là đều nếu trong dòng chảy đó có sự phân bố vận tốc trên mọi mặt
cắt ướt dọc theo dòng chảy đều giống nhau.
Điều kiện này có được khi dòng là dừng mà hình dạng tiết diện ướt và vận tốc
trung bình tiết diện dọc theo dòng chảy là không đổi. Chẳng hạn, ở dòng chảy dừng

trong ống có đường kính không đổi, trong các đoạn kênh thẳng có mặt cắt ướt và độ
sâu không đổi dọc theo dòng chảy.
3. Chảy có áp và không có áp
Các loại dòng chảy trên đây (dòng dừng, dòng không dừng, dòng đều, …) có thể
phân chia thành dòng chảy có áp và dòng chảy không áp.
+ Dòng chảy có áp không có mặt thoáng : chất lỏng chuyển động do chênh
lệch áp nặng giữa các mặt cắt. Ví dụ : dòng chảy đầy trong các ống dẫn nước.

5


Bài giảngmơn học Thủy lực

+ Dòng chảy không áp là dòng chảy có mặt thoáng. Ví dụ : dòng chảy không
đầy trong ống hoặc máng kín trong các ống lớn, cống ngầm, hoặc dòng chảy trong
kênh, máng hở.

Mặt cắt dòng chảy có áp

Mặt cắt dòng chảy không áp

Hình 3.3
3.1.3 Đường dòng – Ống dòng – Dòng nguyên tố – Dòng chảy.
1. Đường dòng : là đường cong mà tiếp tuyến tại mỗi điểm trùng với vectơ vận
tốc của phần tử chất lỏng tại điểm đó.
u3

u2
u1

M3

M4

u4

M5

u5

M2

M1

Hình 3.4
2. Ống dòng : là tập hợp các đường dòng tựa trên một đường cong kín cho ta hình
ảnh một ống dòng.

đường dòng
ống dòng

Hình 3.5

6


Bài giảngmơn học Thủy lực

3. Dòng nguyên tố : dòng chất lỏng chảy đầy trong ống dòng gọi là dòng nguyên
tố.

4. Dòng chảy : là tập hợp hữu hạn các dòng nguyên tố.

dω
dòng nguyên tố
dòng chảy

ω

Hình 3.6
3.2 PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC CỦA CHẤT LỎNG CHUYỂN ĐỘNG ỔN
ĐỊNH
Muốn nghiên cứu chuyển động của dòng chảy có kích thước hữu hạn, ta sẽ nghiên
cứu chuyển động của dòng nguyên tố rồi mở rộng cho toàn dòng chảy.
3.2.1 Phương trình liên tục của dòng nguyên tố
Trong một dòng nguyên tố chuyển động ổn đònh, ta xét đoạn giới hạn giữa hai mặt
cắt 1-1 và 2-2.

1

2

dω1

u1

dω2

u2

2

1

Hình 3.7

Tại mặt cắt 1-1 có mặt cắt ướt dω1 và vận tốc u 1 .
Tại mặt cắt 2-2 có mặt cắt ướt dω2 và vận tốc u 2 .

7


Bài giảngmơn học Thủy lực

Trong thời gian dt, thể tích chất lỏng chảy vào qua mặt cắt 1-1 là u 1 .dω1 .dt và qua
mặt cắt 2-2 là u 2 .dω2 .dt.
Theo đặc điểm của dòng nguyên tố chuyển động ổn đònh, nếu thể tích chất lỏng
chảy vào không bằng thể tích chất lỏng chảy ra thì hoặc là thể tích chất lỏng bò nén
lại (điều này không thể được vì ρ = const), hoặc là chất lỏng có lỗ hỏng mất liên tục
(điều này cũng không thể có được, bởi vì ta giả thuyết chất lỏng là môi trường liên
tục).
Do đó trong chuyển động ổn đònh của dòng nguyên tố chất lỏng liên tục không
nén được (ρ = const), ta có :
u 1 .dω1 .dt = u 2 .dω2 .dt
u 1 .dω1 = u 2 .dω2
dQ 1 = dQ 2

hay

(3.1)

3.2.2 Phương trình liên tục của toàn dòng chảy :
Muốn lập phương trình liên tục của dòng chảy có kích thước hữu hạn, ta mở rộng
phương trình liên tục của dòng nguyên tố bằng cách tích phân phương trình của dòng
nguyên tố trên mặt cắt ướt ω.

∫ u .dω
1

ω1

Hoặc là :

1

= ∫ u 2 .dω 2

⇔ Q1 = Q2

(3.2)

ω2

V 1 .ω1 = V 2 .ω2

⇔

V1 ω 2
=
V2 ω1

Đây là phương trình liên tục của toàn dòng chảy ổn đònh có kích thước hữu hạn.
Trong dòng chảy ổn đònh, lưu lượng qua mọi mặt cắt ướt đều bằng nhau và vận
tốc trung bình V tỷ lệ nghòch với diện tích mặt cắt ướt.

3.2.3 Phương trình vi phân liên tục của dòng ổn đònh
Trong không gian chứa đầy chất lỏng đang chuyển động ổn đònh, ta tưởng tượng
một hình hộp cố đònh, có cạnhdx, dy, dz có tâm A với tọa độ là x, y, z. Chất lỏng ra

8


Bài giảngmơn học Thủy lực

vào các mặt cắt của hình hộp có vận tốc tại A là u (x, y, z), hình chiếu của vận tốc u
lên các trục là u x , u y , u z . Chất lỏng có khối lượng riêng không đổi (ρ = const).

3

z

4

M

ux- ux dx
x 2

7

O

A

2
dx

1

dz
ux dx
8 N ux+ x 2
6
dy
5

x

y

Hình 3.8
Vận tốc theo phương x tại trọng tâm M và N của các mặt 1-2-3-4 và 5-6-7-8 (cách
A một đoạn là

dx
) bằng :
2
ux −

∂u x dx
.

∂x 2

và

ux +

∂u x dx
.
∂x 2

Trong thời gian dt khối lượng chất lỏng qua mặt cắt 1-2-3-4 để vào hình hộp là:
ρ.( u x −

∂u x dx
. ).dy.dz.dt
∂x 2

Đồng thời khối lượng chất lỏng đi ra khỏi hình hộp qua mặt 5-6-7-8 là :
ρ.( u x +

∂u x dx
. ).dy.dz.dt
∂x 2

Vậy lượng biến đổi của khối lượng chất lỏng trong hình hộp theo phương x bằng:
dm y = ρ.( u x −
dm x = - ρ.(

∂u dx
∂u x dx

. ).dy.dz.dt - ρ.( u x − x . ).dy.dz.dt
∂x 2
∂x 2

∂u x
).dx.dy.dz.dt
∂x

Cũng lý luân tương tự như vậy , ta có :
dm y = - ρ.(

∂u y
∂y

).dx.dy.dz.dt

9


Bài giảngmơn học Thủy lực

dm z = - ρ.(

∂u z
).dx.dy.dz.dt
∂z

Toàn bộ lượng biến đổi của khối lượng chất lỏng khi chảy qua hình hộp trong thời
gian dt là :
dm = - ρ.(

∂u x ∂u y ∂u z
).dx.dy.dz.dt
+
+
∂x
∂y
∂z

Trong điều kiện chất lỏng chảy qua hình hộp là liên tục (không có lỗ hỏng) thì sự
biến đổi khối lượng chất lỏng trong hình hộp chỉ xảy ra khi có sự biến đổi về khối
lượng riêng ρ. Nhưng ta nghiên cứu chất lỏng có ρ = const cho nên dm= 0
Mặt khác :

ρ.dx.dy.dz.dt ≠ 0

Vậy thì :

∂u x ∂u y ∂u z
=0
+
+
∂x
∂y
∂z

(3.3)

div u = 0

hoặc

Đây là phương trình vi phân liên tục của chất lỏng chuyển động ổn đònh (ρ=const).
Phương trình vi phân liên tục là biểu thức của một trong những nguyên lý quan
trọng nhất của vật lý học : nguyên lý bảo toàn khối lượng.

3.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG
Trong chương thủy tónh, ta đã nghiên cứu điều kiện cân bằng của một phân tử chất
lỏng hình hộp dưới tác dụng của ngoại lực và lập ra phương trình vi phân cân bằng
của Ơle.
→

F−

1

ρ

→

grad p = 0

Nếu chất lỏng chuyển động, phần tử chất lỏng hình hộp sẽ có vận tốc u và gia tốc
du
. Theo nguyên lý cơ bản của động lực học (Đònh luật thứ hai của Newton) :
dt
→

1

→

→

du
F − grad p =
ρ
dt

(3.4)

Chiếu lên các trục tọa độ, phương trình trên trở thành :

10


Bài giảngmơn học Thủy lực
1 ∂p du x
. =
ρ ∂x
dt
1 ∂p du y
Y− . =
dt
ρ ∂y
1 ∂p du
Z− . = z
dt
ρ ∂z
X−

(3.5)

Trong đó : X, Y, Z là hình chiếu của lực khối đơn vò F.
Phương trình (3-4) hoặc hệ phương trình (3-5) là dạng tổng quát của phương trình
vi phân chuyển động của chất lỏng và chất khí lý tưởng (không nhớt) do Ơle lập ra.
Ta có các trường hợp sau :
a) Chất lỏng chuyển động thẳng và đều

du
= 0 thì hệ phương trình (3-5) sẽ giống
dt

như phương trình vi phân của chất lỏng cân bằng (chương II). Sự phân bố áp suất
trong dòng chảy đều tuân theo đònh luật thủy tónh.
b) Chất lỏng chuyển động trong một ống dòng có độ cong không đáng kể, nếu
chọn mặt phẳng Oyz thẳng góc với trục ống dòng thì vectơ vận tốc u và gia tốc

du
dt

đều thẳng góc với mặt phẳng Oyz. Ta có :
du y
dt

=

du z
=0 ;
dt

∂p
= ρ .Y
∂y

;

du x
≠0
dt

∂p
= ρ .Z
∂z

Vậy trong mặt cắt ướt của ống dòng có độ cong không đáng kể áp suất phân bố
theo quy luật thủy tónh.
Trong trường hợp tổng quát nghiên cứu một dòng chảy, cần biết 6 ẩn số u x , u y , u z ,
p, ρ, T (nhiệt độ) phụ thuộc 4 biến số (x, y, z, t). Hệ phương trình vi phân chuyển
động (3-5) đã cho 3 phương trình, vậy còn cần 3 phương trình nữa đó là:
a) Phương trình vi phân liên tục.
b) Phương trình trạng thái của chất lỏng.
Đối chất lỏng ta coi ρ = const (không nén được). Nếu muốn chính xác hơn thì lấy ρ
= f(T) hoặc ρ = f(T, p).
11


Bài giảngmơn học Thủy lực

c) Luật chuyển hóa của quá trình.

Quá trình chuyển hóa có thể đẳng nhiệt, đoạn nhiệt, đẳng Entrôpi. Việc xét luật
chuyển hóa này chỉ quan trọng đối với chất khí (nén được), còn đối với chất lỏng (coi
như không nén được) thông thường sự biến đổi nhiệt độ không đáng kể.
Như vậy bài toán về dòng chảy chất lỏng (không nén được) gồm 5 ẩn số, ngoài hệ
phương trình vi phân chuyển động còn lại phương trình bổ sung là:
-

Phương trình trạng thái : ρ = const.

-

Phương trình liên tục : divu = 0 hoặc V.ω = const.

3.4 PHƯƠNG TRÌNH BECNULI ĐỐI VỚI DÒNG NGUYÊN TỐ CHẤT LỎNG
LÝ TƯỞNG – CHẢY ỔN ĐỊNH
Trong phần trước ta đã trình bày đối với chất lỏng (không nén được), ta có thể xác
đònh được các yếu tố chuyển động p, u x , u y , u z bằng các phương trình vi phân chuyển
động của Ơle kết hợp với phương trình vi phân liên tục. Nhưng việc giải quyết
phương trình vi phân đó khá phức tạp.
Để giải những bài toán kỹ thuật thông thường liên quan đến dòng chảy ổn đònh,
chất lỏng không nén được, lực khối tác dụng là trọng lực, ta có thể suy từ hệ phương
trình vi phân chuyển động của Ơle ra một phương trình đơn giản hơn, gọi là phương
trình Becnuli – Hay phương trình năng lượng.
Ta nhân lần lượt hai vế của hệ phương trình (3-5) cho dx, dy, dz và cộng lại sẽ
được :
Xdx + Ydy + Zdz −

du y
du
du

1 ∂p
∂p
∂p
( dx +
dy +
dz ) = x dx +
dy + z dz
∂y
∂z
dt
dt
dt
ρ ∂x

Vì lực khối chỉ có trọng lực nên X = Y = 0, Z = -g. Mặt khác do giả thiết chuyển
động ổn đònh nên p = f (x, y, z), tức là :
dp = (

∂p
∂p
∂p
dx +
dy +
dz )
∂x
∂y
∂z

Vế phải của phương trình có thể biến thành :
u x dx + u y dy + u z dz = d(

u2
)
2

12


Bài giảngmơn học Thủy lực

Thay các kết quả vào phương trình trên :
1





 u2
gdz + dp + d 
ρ
 2


 = 0


− gdz −

 u2
dp = d 

ρ
 2

1

(3.6)

Các phương trình vi phân chuyển động Ơle đều tính cho một đơn vò khối lượng
chất lỏng, vì vậy nếu ta chia phương trình (3-6) cho gia tốc trọng lực g, ta sẽ được một
phương trình tính cho một đơn vò trọng lượng chất lỏng.

dz +

 u2 
 = 0
+ d 
g
2
γ



dp

Tích phân phương trình trên ta được :
z+

p

γ

+

u2
= const
2g

(3-7)

Phương trình (3-7) là một phương trình cơ bản của thủy lực học và của thủy khí
động lực học, thường được dùng để giải các bài toán kỹ thuật có liên quan đến
chuyển động ổn đònh, chất lỏng lý tưởng (hoặc chất khí không bò nén ρ =const), lực
khối là trọng lực.
* Phương trình Becnuli chứng minh từ đònh luật động năng theo quan điểm
của chính Becnuli :
Xét một dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chuyển động ổn đònh ở thời điểm t, ta
khảo sát một đoạn dòng chảy giới hạn bởi hai mặt cắt A 1 B 1 và A 2 B 2 . Thể tích chứa
trong đoạn dòng chảy này là thể tích kiểm tra. Tại trọng tâm của A 1 B 1 và A 2 B 2 ta có
:
-

Độ cao hình học z 1 và z 2 .

-

p suất p 1 và p 2 .

-

Vận tốc u 1 và u 2 .

13


Bài giảngmơn học Thủy lực
∆S1

p1

A1

u1

B1

A' 1
p2

∆S2

A2
u2

B'1
B2

z1

A'2

z2

B2
Mặt chuẩn

O

O

Hình 3.9
Diện tích hai mặt cắt ướt ∆ω1 và ∆ω2 vô cùng bé nên tại mỗi điểm p 1 , u 1 và p 2 , u 2
không đổi.
Đến thời gian t + ∆t, đoạn dòng A 1 B 1 A 2 B 2 di chuyển đến vò trò mới A’ 1 B’ 1 A’ 2
B’ 2 .
Ta áp dụng đònh luật động năng vào đoạn chảy A 1 B 1 A 2 B 2 trong khi nó di chuyển
qua thể tích kiểm tra : “ Sự biến thiên động năng của một khối lượng khi nó di
chuyển trên một đoạn đường bằng công của các lực tác dụng lên khối lượng đó trên
đoạn đường đó “.
Trong sự di chuyển này ta có thể coi như dòng chảy trong đoạn A’ 1 B’ 1 A 2 B 2
không thay đổi vò trí mà chỉ có chất lỏng trong đoạn A 1 B 1 A’ 1 B’ 1 di chuyển đến A 2
B 2 A’ 2 B’ 2 .
+ Đoạn đường di chuyển của hai mặt cắt A 1 B 1 và A 2 B 2 là ∆S 1 và ∆S 2
∆S 1 = A 1 A’ 1 =u 1 ∆t

;

∆S 2 = A 2 A’ 2 =u 2 ∆t

+ Khối lượng chất lỏng trong đoạn A 1 B 1 A’ 1 B’ 1 và A 2 B 2 A’ 2 B’ 2 là :
∆m 1 = ρ.∆S 1 . ∆ω1 = ρ.u 1 . ∆ω1 ∆t

∆m 2 = ρ.∆S 2 . ∆ω2 = ρ.u 2 . ∆ω2 ∆t
+ Theo phương trình của dòng ổn đònh thì :
u 1 . ∆ω1 = u 2 . ∆ω2 = dQ
Cho nên : ∆m 1 = ∆m 2 = ρ.dQ.∆t
+ Động năng của chất lỏng trong hai đoạn là :
14


Bài giảngmơn học Thủy lực

A 1 B 1 A’ 1 B’ 1 :

∆E 1 =

1
∆m 1 .u 1 2
2

A 2 B 2 A’ 2 B’ 2

∆E 2 =

1
∆m 2 .u 2 2
2

:

Còn động năng trong đoạn A’ 1 B’ 1 A 2 B 2 không thay đổi trong quá trình di
chuyển của chất lỏng.

Vậy biến thiên động năng ∆E đ của dòng chảy A 1 B 1 A 2 B 2 là :
1
1
1
∆m 2 .u 2 2 - ∆m 1 .u 1 2 = .ρ.dQ.( u 2 2 - u 1 2). ∆t
2
2
2

∆E đ =

+ Công của lực tác dụng lên khối lượng chất lỏng trong đoạn A 1 B 1 A 2 B 2 gồm có
công của áp lực và công của trọng lực.
- Công của áp lực : ∆E p = p 1 .∆S 1 . ∆ω1 – p 2 .∆S 2 . ∆ω2
- Công của trọng lực : theo cách phân tích hiện tượng đã nói ở trên, bằng công
của trọng lượng chất lỏng ρ.g.dQ. ∆t trong đoạn A 1 B 1 A’ 1 B’ 1 khi nó di chuyển tới
A 2 B 2 A’ 2 B’ 2 , tức từ độ cao z 1 đến độ cao z 2 .
∆E g = (z 1 - z 2 ). ρ.g.dQ. ∆t = (z 1 - z 2 ). γ.dQ. ∆t
- Công của các lực khác thẳng góc với mặt ống dòng bằng 0.
- Vậy :
⇔

∆E đ = ∆E p + ∆E g

1
.ρ.dQ.( u 2 2 - u 1 2). ∆t = p 1 .∆S 1 . ∆ω1 – p 2 .∆S 2 . ∆ω2 + (z 1 - z 2 ). γ.dQ. ∆t
2

Thay :

∆S 1 . ∆ω1 = u 1 .∆t. ∆ω1 = dQ. ∆t

∆S 2 . ∆ω2 = u 2 .∆t. ∆ω2 = dQ. ∆t
Chia cả hai vế của phương trình trên cho ρ.g.dQ. ∆t = γ.dQ. ∆t , tức là viết
phương trình cho một đơn vò trọng lượng chất lỏng, ta có :
u 22 − u12 p1 − p 2
=
+ ( z1 − z 2 )
2g
γ

Hay : z1 +

p1

γ

+

u12
p
u2
= z2 + 2 + 2
γ 2g
2g

(3.8)

Vì mặt cắt A 1 B 1 và A 2 B 2 ta chọn tùy ý, nên có thể viết :

15


Bài giảngmơn học Thủy lực

z +

p

γ

+

u2
2g

(3-9)

= const

Như vậy ta đã lập lại phương trình Becnuli cho dòng nguyên tố chất lỏng lý
tưởng chảy ổn đònh dựa vào đònh luật động năng.
3.5 Ý NGHĨA NĂNG LƯNG – THỦY LỰC VÀ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA
PHƯƠNG TRÌNH BECNULI ĐỐI VỚI DÒNG NGUYÊN TỐ CHẤT LỎNG LÝ
TƯỞNG CHẢY ỔN ĐỊNH
3.5.1 Ý nghóa năng lượng của phương trình Becnuli
Tổng của ba thành phần trong phương trình Becnuli biểu diễn cơ năng của một
đơn vò trọng lượng chất lỏng được gọi là cơ năng đơn vò, trong đó các thành phần có ý
nghóa như sau:
+ z : biểu diễn năng lượng do vò trí gây nên, tính từ mặt chuẩn bất kỳ, được gọi

là vò năng đơn vò.
+ p/γ: năng lượng do áp suất gây nên, gọi là áp năngđơn vò.
+ z+ p/γ = E t : thế năng đơn vò.
+ u2/2g = E đ : biểu diễn động năng đơn vò.
E = Et +
3.5.2 Ý nghóa thủy lực của phương trình Becnuli
+ z: độ cao đặc trưng của điểm được xét so với mặt chuẩn nào đó, gọi là độ cao
hình học.
+ p/γ: độ cao đo áp.
h t = z + p/γ: được gọi là cột áp tónh.
+ u2/2g: độ cao vận tốc, đó chính là chiều cao của cột chất lỏng đạt được khi ta
cho chất lỏng phun lên từ 1 vòi theo phương thẳng đứng với vận tốc u trong điều kiện
chất lỏng không bò cản trở của môi trường ngoài. Thành phần này được gọi là cột áp
động h đ .
Cột áp toàn phần, được gọi là cột áp thủy động h tđ và được viết lại như sau:
h tđ = h t + h đ
16


Bài giảngmơn học Thủy lực

3.5.3 Biểu diễn hình học độ dốc đo áp
Độ dốc đo áp: để đánh giá mức độ biến thiên của thế năng đơn vò, hoặc của cột áp
tónh h t , trên mặt đơn vò dài của dòng chảy gọi là độ dốc đo áp J đa (không thứ nguyên).

J da


p
d  z + 

γ
= 
d .L

(3.10)

Độ dốc đo áp chính là độ dốc của đường đo áp.
3.6 PHƯƠNG TRÌNH BECNULI ĐỐI VỚI DÒNG NGUYÊN TỐ CHẤT LỎNG
THỰC CHẢY ỔN ĐỊNH – ĐƯỜNG NĂNG CỦA DÒNG CHẢY CHẤT LỎNG
THỰC – ĐỘ DỐC THỦY LỰC
Ta biết rằng, chất lỏng thực có tính nhớt. Khi chất lỏng chuyển động, tính nhớt
gây ra những lực ma sát trong nội bộ chất lỏng, cản trở sự chuyển động, một phần cơ
năng của chất lỏng bò tiêu hao để khắc phục các lực cản đó. Phần cơ năng này biến
thành nhiệt năng không thu hồi được,vì vậy năng lượng đơn vò của chất lỏng thực
giảm dần dọc theo dòng chảy và z +

p

γ

+

u2
≠ const
2g

Nếu chất lỏng thực chuyển động từ mặt cắt 1-1 đến mặt cắt 2-2, ta sẽ có:
u12
p 2 u 22
z1 + +

> z2 +
+
γ 2g
γ 2g
p1

Hay

z1 +

p1

γ

+

u12
p
u2
= z 2 + 2 + 2 + hw1−2
2g
γ 2g

(3.11)

Trong đó: h w1-2 là phần năng lượng của một đơn vò trọng lượng chất lỏng bò tiêu
hao khi chất lỏng di chuyển từ 1-1 đến 2-2, nó được gọi là tổn thất năng lượng đơn vò
hoặc là tổn thất cột áp.
Phương trình (3.11) là phương trình Becnuli cho dòng nguyên tố chất lỏng thực
chuyển ổn đònh.

Đường biểu diễn sự biến thiên năng lượng đơn vò (hoặc của cột áp thủy động h tđ )
trong dòng nguyên tố chất lỏng thực không còn là một đường thẳng song song với mặt

17


Bài giảngmơn học Thủy lực

chuẩn như chất lỏng lý tưởng mà phải là đường dốc xuống dọc theo chiều dòng chảy,
bởi vì năng lượng đơn vò giảm dần, tổn thất năng lượng h w tăng dần.
Để đánh mức độ biến thiên của năng lượng chất lỏng dọc theo chiều dòng chảy, ta
xét tổn thất năng lượng đơn vò trên một đơn vò dài, gọi là độ dốc thủy lực.
J=

dhw
d .L

Trong tính toán thủy lực hay dùng độ dốc thủy lực trung bình J tb .
J tb =

hw
L

Độ dốc thủy lực chính là độ dốc đường năng.
Trong phần biểu diễn hình học phương trình Becnuli chất lỏng lý tưởng, ta đã đònh
nghóa độ dốc đo áp J đa . So sánh hai loại độ dốc J và J đa ta có thể nhận xét rằng: độ
dốc đo áp có thể âm hoặc dương, còn độ dốc thủy lực luôn luôn dương, vì tổn thất h w
luôn luôn tăng dọc dòng chảy.
Cũng cần nhận xét là đọ dốc đo áp trong dòng chảy chất lỏng thực khác độ dốc đo
áp trong dòng chảy chất lỏng lý tưởng.

Trong trường hợp chuyển động đều, đường đo áp và đường năng song song, do đó
độ dốc đo áp bằng độ dốc thủy lực.
3.7 MỞ RỘNG PHƯƠNG TRÌNH BECNULI ĐỐI VỚI DÒNG NGUYÊN TỐ
CHO TOÀN DÒNG CHẤT LỎNG THỰC CHẢY ỔN ĐỊNH
Trong thực tế, các dòng chảy có kích thước nhất đònh, vì vậy không thể dùng
phương trình Becnuli cho dòng nguyên tố để giải quyết các bài toán kỹ thuật liên
quan đến dòng chảy thực tế. Ta biết rằng dòng có kích thước hữu hạn có thể coi như
vô số dòng nguyên tố,nhưng trong một mặt cắt, các yếu tố chuyển động p, u tại các
điểm phân bố khác nhau và thường không biết quy luật phân bố đó. Cho nên giá trò
của z, p/γ và u2/2g, h w trong các dòng nguyên tố tại cùng một mặt cắt ngang toàn
dòng chảy không giống nhau.

18


Bài giảngmơn học Thủy lực

Ta không thể lấy năng lượng đơn vò và tổn thất năng lượng h w của một dòng
nguyên tố bất kỳ để đại diện cho các đại lượng tương đương của các dòng nguyên tố
khác, mà phải tìm giá trò trung bình của năng lượng đơn vò và h w đại diện cho toàn
dòng chảy. Muốn thế phải mở rộng phương trình Becnuli cho toàn dòng chảy. Vấn đề
này có thể giải quyết theo nhiều phương pháp khác nhau, nhưng đứng về quan điểm
năng lượng, ta có thể vận dụng nguyên lý bảo toàn năng lượng qua hai bước như sau:
Viết phương trình thể hiện sự bảo toàn năng lượng giữa hai mặt cắt của dòng
chảy, cụ thể là:
- Tính năng lượng chứa trong chất lỏng chảy qua hai mặt cắt trong một đơn vò
thời gian, tức là tính cơ năng trong lưu lượng qua hai mặt cắt của dòng chảy.
- Chia cơ năng trong lưu lượng đó cho trọng lượng của lưu lượng, ta sẽ được năng
lượng đơn vò trung bình qua hai mặt cắt đang xét.
3.8.1 Tính toán cơ năng trong lưu lượng qua hai mặt cắt

Ta nhân hai vế của phương trình Becnuli đối với dòng nguyên tố chất lỏng thực
chảy ổn đònh với γ.dQ và tích phân trên toàn mặt cắt dòng chảy.


p1 u12 
p 2 u 22 
∫  z1 + γ + 2 g .γ .dQ = ω∫2 z 2 + γ + 2 g .γ .dQ + ω∫2hw1−2 .γ .dQ
ω1


Có thể tách riêng các tích phân có dạng ∫  z +
ω



(3.12)

p
.γ .dQ và tính chúng dễ dàng nếu
γ 

z + p/γ = const.
Ta biết rằng áp suất thủy động trong dòng chảy đều và dòng biến đổi chậm phân
bố theo quy luật thủy tónh z + p/γ = const trên một mặt cắt ướt.
Với điều kiện hạn chế đó ta tính được:
 
p1 
p1 

 ∫  z1 + .γ .dQ = γ .Q. z1 + 

γ 
γ 

ω1

  z + p 2 .γ .dQ = γ .Q. z + p 2 
 2 γ 
 ∫  2 γ 


ω 2

Các tích phân này biểu thò thế năng của lưu lượng γ.Q .

19

(3.13)


Bài giảngmơn học Thủy lực

Tích phân

∫h

w1− 2

.γ .dQ biểu thò các tổng số các tổn thất năng lượng đơn vò của tất

ω2

cả các dòng nguyên tố trong toàn dòng chảy từ mặt cắt 1-1 đến mặt cắt 2-2.
Gọi h w1-2 là tổn thất năng lượng đơn vò trung bình trong đoạn dòng chảy đó, ta có:

∫ω h

w1− 2

.γ .dQ = γ.Q.H w1-2

(3.14)

2

Các tích phân có dạng

u2
∫ γ .dQ biểu thò tổng số các động năng đơn vò của các
ω 2g

dòng nguyên tố, ký hiệu E dn"
γ
u2
u2
.γ .dQ = ∫ .γ .u.dω =
u 3 .dω
∫
2g ω
ω 2g
ω 2g

"
=∫
E dn

Việc tính tích phân này tương đối phức tạp vì chưa biết quy luật phân bố vận tốc u.
Để đơn giản, thay vận tốc tức thời u bởi vận tốc trung bình mặt cắt v. Ta được biểu
thức:
V2
V2
V2
.γ .dQ =
.
.
.
γ
γ
=
dQ
Q
2 g ω∫
2g
ω 2g

V
=∫
E dn

V
Đại lượng E dn

= γ .Q.

V2
biểu thò động năng của trọng lượng chất lỏng chưa trong
2g

lưu lượng dòng chảy tính với vận tốc trung bình mặt cắt V. Rõ ràng là sự phân bố của
V
u trong dòng chảy hoàn toàn khác phân bố của v nên E dn" ≠ E dn
.

Muốn thay

u2
∫ω 2 g γ .dQ bởi tích phân

V2
∫ω 2 g γ .dQ , tức là thay động năng có thực của lưu

V
, ta phải
lượng dòng chảy E dn" bởi động năng tính theo vận tốc trung bình mặt cắt E dn

xét đến sự chênh lệch đó. Vì vậy ta nên đặt:
V
"
= α .E dn
⇔
E dn

u2
V2
γ
=
α
.
.γ .Q
dQ
∫ω 2 g
2g

20

(3.15)


Bài giảngmơn học Thủy lực

Trong đó:α là hệ số để sửa chữa sự phân bố không đều trong tính toán động năng,
gọi tắt là hệ số sửa chữa động năng.
Trò số của α phụ thuộc vào sự phân bố vận tốc trong mặt cắt dòng chảy. Lý luận
và thực nghiệm cho biết rằng :
- α = 2 : nếu vận tốc phân bố theo qui luật Parabol (trạng thái chảy tầng).
- α = 1,01 – 1,10 : nếu vận tốc phân bố theo qui luật logarit (trạng thái chảy
rối).
- α ≈ 1: trong các dòng chảy kích thước bé (dòng chảy rối trong các ống công
nghiệp, kênh, máng nhỏ).
3.8.2 Phương trình Becnuli cho toàn dòng chất lỏng thực chảy ổn đònh
Cuối cùng, ta đem các kết quả tính được là (3.13), (3.14), (3.15) vào phương trình
cân bằng năng lượng (3.12) trong phần đầu và chia cả hai vế cho γ.Q, tức là tính cho

một đơn vi chất lỏng, ta được phương trình sau đây :
p2
V22
V12
z1 +
+ α1
= z2 +
+α2
+ H w1− 2
γ
γ
2g
2g
p1

(3.16)

Đây là phương trình Becnuli ứng với dòng chất lỏng thực có kích thước hữu hạn,
biến đổi chậm. Nó được dùng rộng rãi để giải các bài toán thủy lực và thủy khí động,
nhưng khi dùng cần chú ý các điều kiện lập phương trình và một số điểm khác sẽ
được giới thiệu trong các phần sau.
3.9 VẬN DỤNG PHƯƠNG TRÌNH BECNULI
3.9.1 Những bài toán, liên quan đến vận tốc, lưu lượng, áp suất, năng lượng:
Trong các dòng chảy và các máy thủy lực, nếu phù hợp điều kiện lập phương trình
Becnuli, đều có thể dùng phương trình để giải.
21


Bài giảngmơn học Thủy lực

Khi vận dụng phương trình cần chú ý:
a) Các điều kiện lập phương trình
- Dòng chảy phải ổn đònh, lưu lượng không đổi trên các đoạn dòng đang xét.
- Đoạn dòng qua mặt cắt viết phương trình phải chảy đều, hoặc biến đổi chậm
(ngoài đoạn này ra, dòng chảy có thể biến đổi gấp hoặc không đều).
- Chất lỏng không nén được.
- Lực khối tác dụng vào chất lỏng chỉ có trọng lực.
b) Các điều kiện cụ thể của bài toán
- Chọn mặt cắt phù hợp điều kiện lập phương trình nói trên và tạo điều kiện dễ
dàng giải bài toán, như qua những mặt cắt, qua những điểm tại đó có một số yếu tố
cần thiết hoặc cần tìm.
- Chọn điểm viết phương trình: trong mặt cắt chọn điểm nào cũng được, nhưng
nên chọn thế nào để viết phương trình cho đơn giản, giảm bớt các ẩn số không cần
thiết.
- Chọn mặt chuẩn cũng chú ý làm đơn giản phương trình, nên tránh chọn những
trò số âm cho độ cao hình học z và cho z + p/γ.
Nói chung việc chọn mặt cắt, chọn điểm viết phương trình, chọn mặt chuẩn phải
kết hợp với nhau để giảm các ẩn số không cần thiết. Tốt nhất là còn lại một ẩn số,
nếu còn lại hai ẩn số thì thường phải kết hợp với phương trình liên tục.
- p suất p có thể tính theo áp suất tuyệt đối hoặc dư, nhưng trong hai vế của
phương trình phải thống nhất một loại. Trong các bài toán liên quan đến hiện tượng
chân không nên dùng áp suất tuyệt đối.
- Trò số của hệ số sửa chữa phân bố động năng α tại các mặt cắt thường khác
nhau. Cần kiểm tra trạng thái dòng chảy qua các mặt cắt, viết phương trình để chọn

22


Bài giảngmơn học Thủy lực

hệ số thích đáng. Nếu hai trạng thái dòng chảy tại các mặt cắt với phương trình giống
nhau thì có thể cho α 1 = α 2 .
- Cần chú ý chiều dòng chảy khi tính tổn thất năng lượng: H w chỉ dương khi tính
theo chiều dòng chảy, năng lượng đơn vò tại mặt cắt thượng lưu lớn hơn năng lượng
đơn vò tại mặt cắt hạ lưu.
3.9.2. Ứng dụng phương trình Becnuli
a) Ống đo vận tốc Pitô (dụng cụ đo vận tốc điểm)
Cấu tạo : gồm hai ống nhỏ có đường kính vài mm.
-

Ống đo thẳng A (ống đo áp)

-

Ống uốn cong 900 B (ống Pitô).
h= u
2g
B
2

A
P1
γ

P2
γ

2
1
M

1 2

Hình 3.10
Cách đo: Hai miệng ống đặt cạnh nhau, khi muốn đo vận tốc ở điểm nào đó ta đặt
miệng ống vào điểm đo sao cho hướng dòng chảy song song với miệng ống A và
thẳng góc với miệng ống B. Chất lỏng sẽ dâng lên trong hai ống. Sau khi mực nước
tương đối ổn đònh ta đọc độ chênh lệch h giữa hai mực, ta xác đònh được vận tốc theo
công thức:
u = 2 gh

Ứng dụng phương trình Becnuli để chứng minh công thức trên:
23


Bài giảngmơn học Thủy lực

Viết phương trình Becnuli cho dòng nguyên tố chảy ổn đònh qua hai mặt căt sau
đây:
-

Mặt cắt 1-1 qua miệng ống đo áp A

-

Mặt cắt 2-2 qua miệng ống Pitô B.

Các điểm viết phương trình là M sát miệng ống đo áp A trong mặt cắt 1-1 và N sát
miệng ống Pitô trong mặt cắt 2-2. Lấy mặt chuẩn qua các điểm M và N. Ta có:
Z1 = z2 = 0
u2 = 0

h w1-2 =0 (vì đoạn 1-2 rất ngắn)
Thay các số hạng vào phương trình Becnuli đối với dòng nguyên tố:
p1

γ

+

u12
p
u2
p − p1
= 2 ⇒ 1 = 2
=h
2g γ
2g
γ

Vậy: u1 = 2 gh
Như vậy ta đo được h thì tính được u. Để xét đến tính ảnh hưởng của tính nhớt và
sự phá hoại kết cấu dòng chảy khi đặt ống Pitô, cần đưa vào công thức tính u hệ số
sửa chữa ϕ xác đònh bằng thực nghiệm .
u = ϕ 2 gh với ϕ = 1,00 – 1,04

b) Ống đo lưu lượng Venturi (lưu lượng kế Venturi)
Cấu tạo: gồm một đoạn hình côn thu hẹp và một đoạn hình côn mở rộng ghép
với nhau, ở mỗi đoạn ống có lắp ống đo áp.

24

Bài giảngmơn học Thủy lực

Cách đo: Trên đường ống cần đo lưu lượng, ta lắp ống Venturi. Đường kính tại
hai đoạn ống là D và d. Khi chất lỏng chảy qua ống Venturi, do hình dạng dòng chảy
bò thay đổi, vận tốc tại hai mặt cắt lớn và bé khác nhau gây ra đọ chênh lệch áp suất
∆h trong các ống đo áp.
Lưu lượng chảy qua ống tính theo công thức:
Q = µ . ∆h

Với:

µ=

π .D 2

2g

4

D
  −1
d

4

A
P1
γ

∆h

1
D

O

B
P2
γ

2
2

d

O'

1

Hình 3.11
ng dụng phương trình Becnuli để chứng minh công thức trên:
Viết phương trình Becnuli cho mặt cắt 1-1 và 2-2, mặt chuẩn O’O (trùng với
trục ống). Nếu bỏ qua H w1-2 .
z1 +

p1

γ

+ α1

V12
p
V2
= z 2 + 2 + α 2 2 + H w1−2
2g
2g
γ

Ta có:
+ z1 = z2 = 0

25