hệ phương trình và các phương pháp giải hệ phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.39 MB, 50 trang )
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Phần1
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA PEN – C 2015 - 2016
MÔN TOÁN
NGUYỄN BÁ TUẤN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
& CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
(Phần 1: Biến đổi đại số và phép thế)
Trang 1
Tổng hợp tuyệt kỹ bấm máy casio giải phương trình hệ phương trình bất phương trình
/>
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Phần1
Khi gặp 1 bài hệ phương trình thì ta có thứ tự ưu tiên cho các hướng giải sau:
+ Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích và phép thế
-
-
-
Phép thế : Hệ có phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc y thì rút x theo y hoặc y theo x và
thay vào phương trình còn lại. Ngoài ra còn tùy thuộc vào từng đề bài cụ thể mà ta có thể
thế cụm biểu thức hay thế hằng số.
Nếu 1 trong 2 phương trình của hệ có dạng là hàm bậc 2 của x (y) thì giải PT bậc 2 đó
như bình thường để tìm mối quan hệ giữa x và y.
Phương pháp hệ số bất định (UCT): Với 1 vài hệ đơn giản ta quan sát nếu thấy 2
phương trình của hệ có form giống nhau thì thử cộng (trừ) 2 vế tương ứng của các
phương trình trong hệ khi đó sẽ xuất hiện nhân tử chung. Đỉnh cao của việc kết hợp 2
phương trình để tìm ra mối liên hệ x, y đó là phương pháp hệ số bất định (UCT).
Phương pháp liên hợp: biến đổi đưa 1 phương trình trong hệ về dạng nhân tử.
+ Sử dụng PP đặt ẩn phụ:
-
Quan sát phương trình có chứa các biệt thức: xy, x y, ( x y ) 2 , x y, ( x y )2 ...... thì đặt
tổng – tích (P=x+y, S=xy).
-
Sơ chế hệ bằng các phép nhân, chia x, y, xy, x 2 , y 2 , x k , y k .... để xuất hiện dấu hiệu đặt ẩn
-
phụ.
Với những bài có chứa căn thì thường đặt căn thức đó làm ẩn phụ.
+ Sử dụng PP hàm số
+ Sử dụng PP đánh giá
+ Sử dụng PP lượng giác
+ Kết hợp vận dụng nhiều phương pháp
Tài liệu tinh giảm, ngắn gọn để đạt 7 điểm môn toán trong ký thi THPT quốc gia 2016
/>
Trang 2
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Phần1
CHUYÊN ĐỀ 1
Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích và phép thế
1.1 Phép rút - thế
x 4 x 3 y 9 y y 3 x x 2 y 2 9 x (1)
Bài 1. Giải hệ phương trình:
3
3
(2)
x y x 7
Giải
Dựa vào PT(2) => x=y không phải là nghiệm=> x y
Từ PT(1) nhận thấy các hệ số tương ứng của các hạng tử cùng bậc là như nhau, ta dễ dạng ghép
cặp để tìm nhân tử chung:
(1) x 4 xy 3 x3 y x 2 y 2 9 x y 0
x y x x 2 xy y 2 x 2 y 9 0
2
x y x x y 9 0
x x y 9 0 (do x y )
2
x x y 9 (3)
x 0
2
(2) y 3 x3
7
7
y 3 x3
x
x
Thay vào (3) ta được:
2
7
x x 3 x 3 9
x
2
7
7
2
3
3
3
3
x x 2 x. x x 9 0
x
x
2
x3 2 x 2 . 3 x3
7
7
x. 3 x 3 9 0
x
x
x 3 2 x. 3 x 6 7 x 2 3 x x 4 7 9 0 (4)
2
Xét hàm số: f ( x) x 3 2 x 3 x 6 7 x 2 3 x x 4 7 9, x 0
2
Trang 3
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
6 x 6 14 x 2
3 6
2
f '( x) 3x 2 x 7 x
2
3 3 x6 7 x2
2
Phần1
8
4
1 9 x 70 x 49
0, x 0
3.
2 2
4
3 x x 7
Suy ra f ( x ) đồng biến trên 0; mà: f (1) 0
Suy ra: (4) có nghiệm duy nhất x 1 y 2
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x; y 1; 2
x 2 y 2 xy x 3
Bài 2. Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
x 1 4 xy y 1 8 x
Giải
Bình phương 2 vế của phương trình (1): x 2 y 2 x 2 y 2 x 3
2
Hệ phương trình tương đương với:
xy x 3 0
xy x 3 0
2
2 2
2
2
2
2 2
x y x y x 3 x y x 3 0
2
2
2
3 2
2 2
2
2
2 2
x y x y x 3
x y 4 x y 8 x y
x 0
xy x 3 0
x 0; y 0
2 2
2
y 0
x y x 1 0
x 1
x 1; y 5
2
2
2
2 2
5
x y x y x 3
x 2 y 2 x 2 y 2 x 3 2
xy 2 y x 2 2
Bài 3. Giải hệ phương trình:
y 2 2 x 1 x 2 2 x 3 2 x 2 4 x
1
2
Giải
Nhận xét: từ phương trình (1) ta có thể rút y theo biến x và do
x 2 2 x x 2 x x x 0 x x 2 2 x 0 x
Trang 4
Nên ta có (1) y
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
x2 2 x 2 y
2
x 2x
2
Phần1
x2 2 x
Thế y x 2 2 x vào phương trình (2) ta có:
2
x 2 2 x 2 x 1 x 2 2 x 3 2 x 2 4 x
1 x x 2 2 2 x x 1 x 2 2 x 3 0
x 1 1
x 1
2
2 x 1
x
2
2 (*)
Xét hàm số f ( x) t 1 t 2 2 ta có:
f '(t ) 1 t 2 2
t2
t2 2
0, t f (t ) đồng biến trên
(*) f x 1 f x x 1 x x
1
2
1
1
x
x y 1 . Vậy hệ đã cho có nghiệm là
2
2
y 1
x3 4 y y 3 16 x (1)
Bài 4: Giải hệ phương trình:
2
2
1 y 5 1 x (2)
Giải
“Thế hằng số”
PT (2) y 2 5 x 2 4 (3)
Thay vào (1) ta được:
Trang 5
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Phần1
x 0
x 3 y 2 5 x 2 y y 3 16 x 3 5 x 2 y 16 x 0 2
x 5 xy 16 0
x 0 y2 4 y 2
x 2 5 xy 16 0 y
x 2 16
5x
2
x 2 16
2
4
2
2
5 x 4 124 x 132 x 256 0 x 1
5
x
x 1 y 3
x 1 y 3
2 x 2 y 3 xy 4 x 2 9 y
Bài 5. Giải hệ phương trình:
2
7 y 6 2 x 9 x
Giải
Ta có từ (2) suy ra: y
2 x2 9 x 6
(3)
7
Thay (3) vào (1) ta được:
2x2 9x 6
2 x 2 9 x 6 7.4 x 2
2x2 9x 6
2x2
3
x
9
7
7
7
7
2 x 2 9 x 6 2 x 2 3 x 9 28 x 2
4 x 4 24 x 3 31x 2 99 x 54 0
1
x 2
x 2
1
x x 2 4 x 2 18 x 54 0
x 9 3 33
2
4
x 9 3 33
4
Với x
1
1
y suy ra hệ phương trình có nghiệm
2
7
Với x 2 y
1 1
;
2 7
16
suy ra hệ phương trình có nghiệm
7
16
2;
7
Trang 6
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Với x
9 3 33
y 3 suy ra hệ phương trình có nghiệm
4
9 3 33
;3
4
Với x
9 3 33
y 3 suy ra hệ phương trình có nghiệm
4
9 3 33
;3
4
Phần1
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm x; y là:
1 1
; ,
2 7
16
2;
,
7
9 3 33 9 3 33
;3 ,
;3
4
4
x 2 3 y 9
Bài 6. Giải hệ phương trình: 4
2
y 4 2 x 3 y 48 y 48 x 155 0
Giải
Ta có (1)
9 x2
y
3
Thay vào (2) ta có:
9 x2
y 4 4 2 x 3 y 2 48
48 x 155 0
3
y 4 4 2 x 3 y 2 16 x 2 48 x 11 0
y 2 4 x 11 y 2 4 x 1 0
y 2 4 x 11 (3)
2
y 4 x 1 (4)
9 x2
y 3
Từ (3) và (1) ta được
2 2
9 x 4 x 11 (*)
3
Trang 7
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Phần1
x 2 3 2 x 3 2 0 (6)
(*) x 18 x 36 x 18 x 18 x 1
2
x 3 2 x 3 2 0 (7)
3 2 18 12 2
12 2 6 36 24 2
x
y
2
12
Ta có (6)
x 3 2 18 12 2 y 12 2 6 36 24 2
2
12
3 2 18 12 2
12 2 6 36 24 2
x
y
2
12
(7)
x 3 2 18 12 2 y 12 2 6 36 24 2
2
12
4
2
2
4
9 x2
y
3
Thay (4) và (1) ta có:
2 2
9 x 4 x 1 (**)
3
(**) x 4 18 x 2 36 x 72 0
x 2 6 x 12 x 2 6 x 6 0
x 2 6 x 6 0 (do x 2 6 x 12 0, x)
x 3 3 y 1 2 3
x 3 3 y 1 2 3
x3 y 3 4 x 2 y
Bài 7. Giải hệ phương trình: 2
2
x 1 3 1 y
Giải
x 2 1 3 1 y 2 4 x 2 3 y 2
Xét 4 x 2 0 x 2, y 0 hoặc x 2, y 0 (cả hai đều thỏa mãn HPT)
Xét y 0 suy ra x 2 hoặc x 2 (thỏa mãn HPT)
Xét y 0 và x 2
Ta có:
Trang 8
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Phần1
4 x x3 y 3 2 y
x 4 x 2 y y 2 2
(*)
2
2
2
2
4
x
3
y
4 x 3 y
y 2 3 xy 2 (1)
Suy ra 3 xy y 2 . Vậy 2
x 10 9 xy (2)
2
Nhân (1) với 5 rồi + (2) ta được: 5 y 2 x 2 6 xy 5 y 2 x 2 6 xy 0 5
y2
y
6 1 0
2
x
x
y
y 1
đến đây các bạn tự làm tiếp.
1,
x
x 5
2
3
2
2 y x 2 x y y 1 7 y
Bài 8. Giải hệ phương trình: 2
2 y 2 xy 1 7 y
Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương:
y 2 y 2 2 y 1 2 x y 3 y 2 1 7 y
2
2 y 2 y 1 7 y
2 x y 3 6 y 2 8 y 1
2
2 y 2 xy 1 7 y
2 x y 3 6 y 2 8 y 1
2
3
2
2 y y y 6 y 8 y 1 1 7 y
2 x y 3 6 y 2 8 y 1
4
3
2
y 6 y 10 y 6 y 1 0
2 x y 3 6 y 2 8 y 1 x 2
4
y
1
0
y 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là x; y 2;1
x y 1 1 7 y 1 1
Bài 9. Giải hệ phương trình:
x 2 y x y 1 13 y x 2 12
Giải
Trang 9
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
ĐK: y 1
Phần1
Phương trình thứ hai của hệ đã cho, tương đương:
x
2
13 y 1 x y 1 1 0 (*)
Ta thấy x 7 không là nghiệm của hệ.
=> x 7 , phương trình thứ nhất hệ đã cho tương đương:
x
y 1 1 7 y 1 1
7 x y 1 x 1
Thế
y 1
y 1
x 1
7x
x 1
vào (*) ta được:
7x
x 1 x x 1
13
1 0
7x
7x
x 4 x3 5 x 2 33x 36 0
x
Với x 1 , ta được
Với x 3 , ta được
2
x 1
x 1 x 3 x 2 5 x 12 0
x 3
1
9
y 1 y
3
8
y 1 1 y 0
8
Vậy hệ đã choc có 2 nghiệm x; y 1; , 3;0
9
16 x 3 y 3 9 x 3 2 xy y 4 xy 2 3
Bài 10. Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
4 x y 2 xy y 3
Giải
Với y 0 không là nghiệm hệ.
Với y 0 , ta chia phương trình thứ nhất cho y 3 , phương trình thứ hai cho y 2 ta được
Trang 10
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
3
3
16 x 9 2 x 1 4 x 2 (1)
y
4 x 2 2 x 1 3 (2)
y2
Phần1
Thế (2) vào (1) ta được:
16 x3 9 2 x 1 4 x 4 x 2 2 x 1 x 3 1 x 1
3
3 y 1
y2
Vậy nghiệm của hệ là: 1;1 , 1; 1
x
6 2 3 x y 3 y
Bài 11. Giải hệ phương trình: y
2 3x 3x y 6 x 3 y 4
Giải
Phương trình (1): 3 y 2 3 x y
3 y 2 3 x y 0 (3)
y 3x y 0
y 3x y 0 (4)
Thế phương trình (3) vào phương trình (2):
1
x 6
y 1
6 x 3 y 8
6
x
3
y
8
3
2
3 y 16 10 y 0
x 1
3 y 2 3 x y 0
6
y 1
3
13
73
5
73
13
73
5
73
Thế phương trình (4) vào phương trình (2)
tổng hợp 90 đề thi đại học môn toán kèm đáp án hay không nên bỏ qua
Trang 11
/>
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Phần1
x 4
y 4
y 3 x y 0
y 3 x y 0
x 1
2
4
6 x 5 y 4
2 y 4 7 y 0
1
y
2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
x; y
1
1
1
1
1 1
13 73 ; 5 73 ; 13 73 ; 5 73 ; 4; 4 ; ;
3
3
6
6
4 2
x 2 2xy y 0
Bài 12. Giải hệ phương trình:
3
x 3xy 2 y 1 x x 2y 2 4
(1)
(2)
Giải
Điều kiện: y 1; x 2y 2
Ta có: (1) x 2 y 2xy
Ta có: (2) x 3 xy 2xy 2x y 1 2 y 1 x 2y 2 4 0
x (x 2 y ) (x 2 y ) 2x y 1 2 y 1 x 2y 2 4 0
x (2xy ) x 2 y 2x y 1 2 y 1 x 2y 2 4 0
(x 2y 2 y 1 2 y 1 x 2y 2) x 2 (y 1) 2x y 1 1 0
2
2
2
x y 2 y 1 x y 1 1 0
x 2 (y 1) 1
x y 1 1
2
x 2y y 1 x 2 (y 1)(y 1) x 2y
x y 2 y 1
x 0
sơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy
Trang 12
/>
TH1: x 0 y 0 không thỏa mãn
TH2: y 2 y 1 0 y
1 5
x
2
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Phần1
5 1
2
5 1 1 5
là nghiệm của hệ.
;
Thử lại ta được: (x ; y )
2
2
x 2 y 1 6y 2
1
Bài 13. Giải hệ phương trình:
4 2
x y 2x 2y 2 y x 2 1 12y 2 1 2
Giải
Điều kiện : y 0; y 1
Khi đó : 1 x 2y y 1 6y 2 2y x 2 2
4y 4 2
9y 1
;x 3
.
y 1
y 1
Thay vào (2) , ta có :
x 4y 2 x 2y 2 y 6y 2 2y 12y 2 1 x 2 2 x 2 3 y 2 y 1 0
4 y 19y 1 y 2
2
y 1
y 1 x 2
y 1
y 1
2
y 1 x 0
4 9y 1 y 2 y 1
3
1.2 BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
x 4 y 4 240
Bài 1. Giải hệ phương trình: 3
3
2
2
x 2 y 3 x 4 y 4 x 8 y
Giải
Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được:
(tại sao lại có -8 các bạn tham khảo thêm về phương pháp hệ số bất đinh UTC ở bên dưới)
x 4 8 x3 24 x 2 32 x 16 y 4 16 y 3 96 y 2 256 y 256
x 2 y 4 x 2 y 4 x 2 4 y x y 2 x 6 y
4
4
Tổng hợp tuyệt kỹ bấm máy casio giải phương trình hệ phương trình bất phương trình
Trang 13
/>
Thay vào phương trình đầu ta được:
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Phần1
1 8 y 3 24 y 2 32 y 16 240
y 3 3 y 2 4 y 28 0
y 2 y 2 5 y 14 0
y 2 x 4
2 24 y 3 216 y 2 864 y 1296 240
y 3 9 y 2 36 y 44 0
y 2 y 2 7 y 22 0
y 2 x4
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x; y 4; 2 , 4; 2
4
x 5 y 6 (1)
Bài 2. Giải hệ phương trình: 2 2
x y 5 x 6 (2)
Giải
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
x4 x2 y 2 5 y x 0
x2 x2 y 2 5 x y 0
x 2 x y x y 5 x y 0
x y x 2 x y 5 0
x y
2
x x y 5 0
Nếu x = y, thay vào (1) ta được:
x 2 y 2
x 4 5 x 6 x 3 x 3 x 2 x 1 0
x 1 y 1
Nếu x 2 x y 5 0 y
5
x thay vào (1) ta được:
x2
5
x 4 5 2 6 x 6 5 x 3 6 x 2 25 0
x
Trang 14
Tài liệu tinh giảm, ngắn gọn để đạt 7 điểm môn toán trong ký thi THPT quốc gia 2015
/>
Từ (2) ta có: 5 x 6 x 2 y 2 6 x
3
6
5
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Phần1
2
432
6
6
Do đó: 5 x 3 6 x 2 5. 6.
25 x 6 5 x 3 6 x 2 25 0
25
5
5
Suy ra trường hợp này hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x; y 2; 2 , 1;1
x x y 1 1 (1)
Bài 3. Giải hệ phương trình:
2
2
y x 2 y x y x 0 (2)
Giải
x 0
ĐK:
x y 1 0
(1) x x y 1 1
x x y 1 2 x y 1 1
y 2 x y 1
y 2 4 x y 1
y 2 4x
2
y22 x
(2) y x
2
xy 2 y x y x
1
y 2 2 x
x 4
y 2 2 x
y 2 2 x
x
(I )
2
4
y y 2 0
2 y y 2 y y 2
y 1 y 2
y x y x
y xy 2 3 x 2 (1)
Bài 4. Giải hệ phương trình: 2
2
y x y 2 x 0 (2)
Giải
y xy 2 3 x 2 (1)
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
2
y y x 2 x (2)
Tổng hợp tuyệt kỹ bấm máy casio giải phương trình hệ phương trình bất phương trình
Trang 15
/>
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Suy ra:
Phần1
xy 2 3x
4 3x3
y
(3)
y x2
2
5x
Thế (3) vào (1), ta được
4 3x3 4 3x3
2 3x 2
x.
5x
5x
4 3 x 3 10. 4 3 x 3 75 x 3 0
2
9 x 6 69 x 3 24 0
t 8
Đặt x t , ta được 9t 69t 24 0
t 1
3
2
3
Với t 8 suy ra x 2 dẫn đến y 2
Với t
1
suy ra x
3
3
1
1
1
dẫn đến y 2 3 y 2 3 0
3
9
3
2
1
1
Phương trình này vô nghiệm do 3 8. 3 0
3
9
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y duy nhất là 2; 2
2
4
3
4 x y 4 xy 1 (1)
Bài 5. Giải hệ phương trình: 2
2
4 x 2 y 4 xy 2 (2)
Giải
Trừ vế theo vế được:
y 4 2 y 2 4 xy 1 y 2 1
y 2 1 4 xy y 2 1
2
y 2 1 y 2 1 4 xy 0
Với y 2 1 y 1 . Ta có 4 nghiệm (0; 1) và (1; 1) và (-1; -1) và (0; -1)
Với y 2 1 4 xy , thay vào (2), ta được 4 x 2 y 2 1 y 2 1 4 x 2 (3)
Lại thay (3) vào (1) ta có: 1 4 x 2 4 xy 1 4 x 2 1 4 x 2
2
/>
Trang 16
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Phần1
Nếu 1 4 x 2 0 thì y 0 không thỏa hệ. Vậy 1 4 x 2 4 xy 1 x 2 xy 0
Với x 0 y 1
Với x y thay vào hệ được x
1
5
1 1 1
1
Vậy hệ đã cho có các nghiệm (x; y) là: (0; 1), (0; -1), (1; 1), (-1; -1),
;
;
,
5
5 5
5
x y 4 13 x 4
(1)
Bài 6. Giải hệ phương trình:
x y 3 x y 2 (2)
Giải
Ta có:
x y 3x y 2
x y 3x y 2
x y 3x y 2
4 x 2 4 x 1 3 x 2 2 xy y 2 , x
1
2
x y 4x 1
2
5
x
Thay vào (1) ta được: 4 x 1 13x 4
16
x 1
2
Do x 1
1
5
3
nên loại nghiệm này. Vậy x . Suy ra y
.
2
16
16
5 3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: ;
16 16
y 3 x3 9 x3 (1)
Bài 7. Giải hệ phương trình:
2
2
x y y 6 x (2)
Giải
Xét trường hợp x 0 dẫn đến y 0
Xét trường hợp x, y 0 , ta viết lại hệ phương trình dưới dạng:
/>
Trang 17
x 2 y x 4 x 2 y 2 9 x 3 (1)
2
6x
(2)
x y
y
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Phần1
Lấy (2) thế vào (1), ta được:
(1) 2 x 4 x 2 y y 2 3x 2 y
2 x4 2x2 y y 2 9x2 y
x2 y
9 2
x y (3)
2
2
Bình phương 2 vế phương trình (2), ta có:
(2) x y
2
2
36 x 2
2 (4)
y
Từ (3) và (4), ta có được phân tích sau: y 3 8 y 2
Với y 2 đem thế vào (2), ta được nghiệm x 2 và x 1
Vậy nên hệ phương trình đã cho có 2 bộ nghiệm (x, y) = (1; 2), (2; 2)
x 2 y 2 xy 2 3 y 3 4 x y 0
Bài 8. Giải hệ phương trình:
2
2
2
xy x y 1 3 xy x y
Giải
+Phương trình thứ nhất tương đương:
x 2 y xy 2 3xy 2 3 y 3 4 x y 0
x y 3 y 2 xy 4 0
y x
2
3 y xy 4 0 (*)
Thế y x vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được:
x 1
2x x 1 0
x 2
2
4
2
Trang 18
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Phần1
2 2 2 2
Suy ra x; y 1;1 , 1; 1 ,
;
;
,
là bốn nghiệm của hệ đã cho.
2 2 2 2
+ Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương:
xy 1
xy 1 x 2 y 2 1 0
2
2
x y 1 0 (**)
Thế xy 1 vào (*), ta được: y 2 1 y 1 .
Suy ra x; y 1;1 , 1; 1 là hai nghiệm của hệ đã cho.
3y2 4
Từ x y 1 ta được y 0 . Do đó (*) x
y
2
2
3y2 4
Thế x
vào (**), ta được: 10 y 4 25 y 2 16 0 (vô nghiệm)
y
2 2 2
2
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm x; y 1;1 , 1; 1 ,
;
;
,
2
2 2 2
x
x 2y 6y 2
Bài 9. Giải hệ phương trình: y
x x 2 y x 3y 2
Giải
Điều kiện: y 0
Phương trình thứ nhất tương đương:
2
x 2 y 3y
y
25 y 2
x
2
y
2
4
x 2 y 2 y
+ Với
x 2 y 3 y thay vào PT(2) ta được:
x 3y x 3y 2
x 3y 1
x 3y 2
x 3y 2
x 3 y 4
4 5 y 3 y y
4
8
x
9
3
hướng dẫn giải 6 dạng tích phân thường gặp ôn điểm 10 môn toán
Trang 19
/>
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
+ Với
Phần1
x 2 y 2 y y 0 thay vào PT(2) ta được:
x 2 y x 3y 2 x 2 y x 2 y 5y 2
y 2
2 y 2 y 5 y 2
y 2 x 12
y 1 L
4
2
8 4
Vậy hệ đã cho có nghiệm: ; , 12; 2 .
3 9
x x2 y 2 9x
(1)
5
x x2 y 2
Bài 10. Giải hệ phương trình:
5 3x
x
y 6 5 y (2)
Giải
y 0
Điều kiện: x 2 y 2 0
(*)
2
2
x x y 0
Ta biến đổi phương trình (2):
(2) 30 x 6 xy 5 y 3 xy
x 5 9x
10 x 5
x
(**)
y
30
3y 9
Trục căn thức ở (1) ta được:
x
(1)
2
2
2
x
9x
x
9x
1
2
y
y
5
5
y
2
2
2
x
x
x x
9x
x
xx
0
2 2
1
1
6
1
1
3
y
y
y
5
y
y
y
y
x
y 0
2
x
x
1 3 0
y
y
x2 y 2
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG- ÔN THI ĐIỂM 10 MÔN TOÁN
/>
Trang 20
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
x 0
x
Với: 0
5 (vô nghiệm)
y
x 9
Phần1
2
x
x
Với: 1 3 0
y
y
2
x
x
1 3
y
y
x
y 3
2
2
x 1 9 6 x x
y
y y
x 5
y 3
Từ
x 5
x 5
thay vào (**) ta được
. Thử lại điều kiện (*) ta thấy thỏa.
y 3
y 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 5;3
( x y )( x 4 y 2 y ) 3 y 4 0
Bài 11. Giải hệ phương trình:
2
2
x 2 y 1 y y 1 0
HD
Từ phương trình (1) ta chỉ thấy có các cụm x y , y 2 xuất hiện => để quan sát PT dễ hơn ta
đặt tạm a x y, b y 2 (1) : a a b 3b 2 0 đây là PT đẳng cấp bậc 2 => dễ dàng tìm
được mối liên hệ giữa a và b đó là a 3b 0, a b 0 . Vậy ta có lời giải sau:
PT 1 ( x y ) 2 y 4 x y 4 y 2 4 y 4 0
x y y 4 y x y y 0
x y 3 y x y y 0
x y y2
2
2
2
2
2
x y 3y2
2
x y y
Trang 21
Tài liệu tinh giảm, ngắn gọn để đạt 7 điểm môn toán trong ký thi THPT quốc gia 2015
/>
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
) x y 3 y 2
Phần1
PT 2 : y 3 y 2 2 y 2 1 y 2 y 1 0
y y 2 1 y 2 y 1 *
y y 2 1 y 4 y 2 1 2 y 3 2 y 2 y 2
y 4 2 y3 y 0
y y 1 y 2 y 1 0
y 0, y 1
y 1 5 , y 1 5
2
2
L
) x y y 2
PT 2 : y y 2 2 y 2 1 y 2 y 1 0
y y2 1 y2 y 1
y y 2 1 y 4 y 2 1 2 y 3 2 y 2 y 2
y 4 2 y3 2 y 2 3 y 0
y 0 L
y 1
y 1 13
2
y 1 13
2
1 13
ĐS : 4 13;
2
1 13
4 13;
; ( 2; 1)
2
8x 2 18y 2 36xy 5(2x 3y ) 6xy 0
Bài 12. Giải hệ phương trình: 2
2x 3y 2 30
(1)
(2)
Giải
Điều kiện: xy 0
Ta có: (1) 2(2x 3y )2 12xy 5(2x 3y ) 6xy 0
Trang 22
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Phần1
(khi ta đặt: a 2x 3y, b xy dễ thấy PT trên là ở dạng đẳng cấp bậc 2)
(2x 3y 2 6xy )(4x 6y 6xy ) 0
2x 3y 2 6xy
4x 6y 6xy
TH1:
2x 3y 0
2x 3y
2x 3y 2 6xy 2
4x 12xy 9y 2 24xy
Thay vào (2) ta được:
y 2 x 3
9y 2
3y 2 30
2
y 2 x 3
So sánh điều kiện ta được: (3;2) là nghiệm của hệ
4x 6y 0
4x 6y 0
2
TH2: 4x 6y 6xy 2
2
16x 48xy 36y 6xy
8x 21xy 18y 2 0 VN
x 2 4 3x 2 10 2y
Bài 13. Giải hệ phương trình: 2
y 6 4y 3 11 x
(1)
(2)
Giải
2
3
Điềukiện: x ; y
3
4
Cộng 2 vế của phương trình với nhau ta được:
x 2 4 3x 2 10 y 2 6 4y 3 11 2y x
(3x 2 4 3x 2 4) (x 2 4x 4) (4y 3 6 4y 3 9) (y 2 6y 9) 0
2
2
3x 2 2 (x 2)
x 2
4y 3 3 (y 3) 0
y 3
2
2
Trang 23
Tài liệu tinh giảm, ngắn gọn để đạt 7 điểm môn toán trong ký thi THPT quốc gia 2015
/>
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Thử lại ta được (2; 3) là nghiệm của hệ.
Phần1
1.3 Quy 1 phương trình về dạng phương trình bậc 2
1
y 2 x
2 (1)
y
Bài 1. Giải hệ phương trình: x x
y x 2 1 1 = 3 x 2 3 (2)
Giải
x 0
ĐK:
y 0
(1) y x y 2 2 x x 2 xy
y2
=
x 2 x y 2 x 0 (3)
2
x 2 x 8x x
x 2x
2
0
y x
(3)
y 2x
Nếu y x , thay vào (2) ta được: x
Ta có: x
x 2 1 1 3x 2 3
x 2 1 1 0 3 x 2 3 nên phương trình này vô nghiệm
Nếu y 2 x , thay vào (2) ta được:
2x
x 2 1 1 3x 2 3
x2 1 2x 3 2x
x2 1
(vì x
2x
2x 3
3
không thỏa phương trình)
2
Xét 2 hàm số: f ( x) x 2 1, x 0; và g ( x)
f '( x)
x
x 1
2
0, x 0; ; g '( x)
2x
, x 0;
2x 3
2 3
, x 0;
2x 3
Trang 24
Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i
Phần1
Suy ra f(x) đồng biến trên 0; và g(x) nghịch biến trên 0;
Ta thấy x 3 là nghiệm của (4)
Suy ra (4) có nghiệm duy nhất x 3 y 2 3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y
3; 2 3
xy x y x 2 2 y 2 (1)
Bài 2. Giải hệ phương trình x 2 y y x 1 2 x 2 y (2)
Giải
Điều kiện: x 1; y 0 . Phương trình (1) x 2 x y 1 2 y 2 y 0
Ta coi PT trên là pt bậc 2 với ẩn x và y là tham số khi đó ta có
y 1 4 2 y 2 y 3 y 1
2
2
x y
x 2 y 1
Do có x + y > 0, nên tâ được: x 2 y 1
Thay vào phương trình (2) ta được:
(2 y 1) 2 y y 2 y 2(2 y 1) 2 y
2 y ( y 1) 2( y 1)
( y 1)( 2 y 2) 0 y 2
( Do y 0)
Với y = 2 ta có x = 2y + 1 = 5
Hệ có nghiệm (x,y) = (5,2)
2
y (5 x 4)(4 x)
Bài 3. Giải hệ phương trình: 2
2
y 5 x 4 xy 16 x 8 y 16 0
(1)
(2)
Giải
Biến đổi phương trình (2) về dạng:
Trang 25
