Khảo sát hàm số

Kh¶o s¸t hµm sè


1) y = ax + bx + cx + d
3

2

2) y = ax + bx + c
4

2

ax + b
3) y =
cx + d
2
ax + bx + c
4) y =
dx + e


I.Sơ đồ khảo sát hàm số
1,

Tìm TXĐ của hàm số
(Xét tính chẵn lẻ,tính tuần hoàn nếu có )
2, Khảo sát sự biến thiên của hàm số
a, Xét chiều biến thiên của hàm số
* Tính đạo hàm
* Tìm các điểm tới hạn

* Xét dấu của đạo hàm
* Suy ra chiều biến thiên của hàm số
b, Tính các cực trị
c, Tìm các giới hạn của hàm số
* Khi x dần tới vô cực
* Khi x dần tới,bên trái và bên phải , các giá trị của x
tại đó hàm số không xác định
* Tìm các tiệm cận (nếu có )


Đ6 Khảo sát hàm số
I.Sơ đồ khảo sát hàm số
d)Xét tính lồi, lõm ,và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số
* Tính đạo hàm cấp 2
* Xét dấu của đạo hàm cấp2
* Suy ra tính lồi , lõm và điểm uốn của đồ thị
e) Lập bảng biến thiên
*ghi tất cả các kết quả đã tìm được vào
bảng biến thiên
3 ) Vẽ đồ thị
* Giao với các trục toạ độ
* Các điểm đặc biệt (điểm cực trị , điểm uốn ...)
* Chính xác hoá đồ thị
* Vẽ đồ thị


Đ6 Khảo sát hàm số
3) Hàm phân thức: y =
Bài giải:

ax + b
cx + d

(c 0 , D = ad - cb 0)

Ví dụ 1:Khảo sát hàm số: y =

x +2
x +1

1)Tập xác định: D = R \ -1
2)Sự biến thiên:
a)Chiều biến thiên
(-1)(x+1)-(-x+2)
-x-1+x-2
-3 < 0 x -1
y =
=
=
2
2
(x+1)
(x+1)
(x+1)2
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-;-1) (-1; +)



x
+

2
Ví dụ 1:Khảo sát hàm số: y =
x +1
b)Cực trị
Hàm số không có cực trị
c)Giới hạn, tiệm cận:
x +2
= -.
lim
lim
y=
x ( 1)
x ( 1)
x +1




lim y= lim
( )

x ( 1) +

x 1

+

x +2
= +.
x +1

x +2
y
=
=-1
lim
lim
x
x
x +1

x = -1 là tiệm cận đứng

y = -1 là tiệm cận ngang


Ví dụ 1:Khảo sát hàm số: y =
e, Bảng biến thiên:
x

-

-

y'
y

-1

+

+

-1

x +2
x +1

-

-1

3 )Đồ thị
Giao với trục o x: y = 0 x=2
Giao với trục o y: x = 0 y =2
Đồ thị nhận giao hai tiệm cận I(-1;-1) làm tâm đối xứng
Vẽ đồ thị :


x -
y'
y

-1

x +2
Ví dụ 1:Khảo sát hàm số: y =
x +1
-1

-

+

-

+

y

2

3 )Đồ thị

-

-1
-1
o

Giao với ox: y = 0 x=2

0 y =2

Giao với oy: x =

Tiệm cận đứng: x = -1
Tiệm cận ngang: y = -1
Đồ thị nhận giao hai tiệm cận

I

-1

2

x


Hàm số: y =

ax + b
cx + d

(c 0 , D = ad - cb 0)

Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y =
Bài giải:

x3
x+2

1)Tập xác định: D = R \ -2
2)Sự biến thiên:
a)Chiều biến thiên
y =

(x+2)-(x-3)
(x+2)

2

=

x+2-x+3
(x+2)2

5 > 0 x -2
=
(x+2)2

Hàm số đồng biến trên khoảng (-;-2) (-2; +)


Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y =

x3
x+2

b)Cực trị
Hàm số không có cực trị
c)Giới hạn
x3
lim y = lim
= +
x ( 2 )
x ( 2)
x+2
lim y = lim x 3 = -
x ( 2 )
x ( 2 )
x+2

+

limy =
x


x = -2 là tiệm cận đứng

+

lim x 3
x

x+2

=1

y = 1 là tiệm cận ngang


Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y =
e, Bảng biến thiên:
x

-

y'
y
1
3 )Đồ thị

-2

x3
x+2
+

+

+
+

1
-

Giao với trục o x: y = 0 x=3
y =-3/2

Giao với trục o y: x = 0

Đồ thị nhận giao hai tiệm cận I(-2;1) làm tâm đối xứng
Vẽ đồ thị :


Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y =
x -

y'

+

y
1

-2

+

+

x3
x+2

+

y

1

-

3 )Đồ thị

I

y = 0 x=3

-2

1
o

3
-3/2

y =-3/2
Tiệm cận đứng: x = -2
Tiệm cận ngang: y = 1

x=0

x


Một số lưu ý khi ksát hsố:

ax + b
y=
cx + d

(c 0 , D = ad - cb 0)

1)Tập xác định:D = R/ -d/c
ad bc
2)Đạo hàm y' =
;
D = ad-bc

2
( cx + d )
D > o y> o x D ; D < o y< o x D
3)Tiệm cận:Tiệm cận đứng:x=-d/c
D = ad - bc< 0

D = ad - bc > 0

y

o

; Tiệm cận ngang:y= a/c
y

x
o

x


D¸ng ®iÖu ®å thÞ hµm sè y = ax + b (c ≠ 0 , D = ad - cb ≠ 0)
cx + d
D = ad - bc< 0

D = ad - bc > 0

y

o

y

x

o

x


1

2

3

4


1


2


3


4

1

2

3

4


Ví dụ3:
Cho hàm số y =

x+ 2
x+1

; Đồ thị là (C)

a)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)tại
các điểm A(0;2),B(-2;-4) ;vẽ các tiếp tuyến.
b)Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số sau:
y=

x+ 2
x+1


x +2
Ví dụ 1:Khảo sát hàm số: y =
x +1

y
a)Các tiếp tuyến :
Tại A: y=-3x+2(d1)
2

Tại B: y=-3x-10(d2)
(d1)// (d2)

-2

-3

-1

1

o

2

I
-1

*)Nhận xét:
Trên đồ thị hàm số (C)luôn
tồn tại một cặp điểm mà tại
đóhai tiếp tuyến của (C)song
song với nhau

A

B

-4

x


Ví dụ3:b)Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số sau: y =
Đồ thị hàm số
y=

x+ 2
x+1

y

Gồm:
-Phần đồ thị phía trên
trục ox của đồ thị (C)
-Đối xứng phần đồ thị
phía dưới ox của đồ thị
(C) qua ox

x+ 2
x+1

2

-1

o
I
-1

2

x


§6 Kh¶o s¸t hµm sè
Hµm sè: y =

ax + b
cx + d

(c ≠ 0 , D = ad - cb ≠ 0)

Bµi tËp vÒ nhµ:
*Bµi 2:(Trang 103) ý:a);b);c)
*Bµi 4: (Trang 104)