Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Mét sè bµi to¸n liªn quan ®Õn
kh¶o s¸t hµm sè


Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đờng
Giả sử hàm số y= f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y=g(x) có
đồ thị là (C1) . Hãy tìm các giao điểm của (C)và (C1).
Giải : M0(x0 ;y0) là giao điểm của (C) và (C1) khi và chỉ khi
y = f(x)
(x0 ;y0) là nghiệm của hệ

y = g(x)
Do đó để tìm hoành độ các giao điểm của (C) và
(C1) ta giải phơng trình : f(x) = g(x)
(1)

Nếu x0, x1là nghiệm của (1) thì các điểm M0(x0; f(x0)) ;
M1(x1; f(x1)) là các giao điểm của (C) và (C1)


ví dụ 1 : Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm

Và y= x- m
Giải :
Xét phơng trình :



Biện luận

số y =

x 2 6x + 3
x+2

x 2 6x + 3
= x m
x+2

x2-6x+3 = (x-m)(x+2)
x2-6x+3 = x2+ (2-m)x-2m
(8-m)x-3-2m = 0
(2)

* m=8 : (2) có dạng 0x-19 = 0
(2) vô nghiệm

Không có giao điểm

( X- 2)

(x - 2 )
(x - 2 )
(x - 2 )


( 8 - m ) x -2m -3 = 0
*

(2)

m ≠ 8 : ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm duy nhÊt

3 + 2m
x =
8−m
3 + 2m
= −2
nghiÖm nµy kh¸c -2 , v× nÕu
8−m
⇔ 3+2m =-16 +2m ⇔ 3= -16 (v« lý )
VËy trong trêng hîp nµy , cã mét giao ®iÓm lµ (x;y)
víi :

3 + 2m
x=
8−m

; y = x- m


Ví dụ 2

Giải

a, Khảo sát hàm số : y =x3 + 3x2 - 4
b, Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của
phơng trình : x3 + 3x2 - 4 =m (*)
a, Ta có đồ thị sau (C)
b, Số nghiệm của phơng trình (*) chính là số
giao điểm của (C) và đyờng thẳng y = m

y =m

1
-3

-2

-1

1

0
-2

-4

2

3

x


y

1
-3

-2

-1

1

2

0

y=m
-2

-4

3


m>0
+
KÕt luËn :
⇒ Cã 1 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 1 nghiÖm
m < -4
+

m=0
m=-4

⇒ Cã 2 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 2 nghiÖm

+ -4

⇒ Cã 3 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 3 nghiÖm
y
1

-3

-2

-1

1

0
-2

-4

2

y= m

3

x


Bài toán 2 : Viết phơng trình tiếp tuyến
Cho hàm số y = f(x) . Gọi (C) là đồ thị , viết phơng trình tiếp
tuyến của (C) biết :
Trờng hợp 1 : Tiếp điểm M0(x0 ; y0) (C)

Giải : Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M0(x0 ; y0) là :
y - y0 = f (x0) (x -x0)
(y0= f(x0) )
+ x0 y0 ; f(x0)
(Gpt : f(x) =y0 x0.. ..)
+ y0 x0 ; f(x0)
+ f(x0) x0 ; y0
( Gpt : f(x) = f(x0) x0 ..)
Trờng hợp 2 : Đi qua điểm M1(x1; y1 )
Giải : - Đờng thẳng d đi qua M1(x1; y1 ) và có hệ số góc k có ph
ơng trình : y-y1 = k(x-x1) y= k (x-x1) + y1
- Để cho d là tiếp tuyến của (C) hệ sau có nghiệm :
f(x) = k(x-x1) + y1
f (x) = k


VÝ dô 3 : Cho ®êng cong y=x3 . ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn
cña ®êng cong ®ã :
a, T¹i ®iÓm (-1 ;-1 )
b, BiÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn b»ng 3
Gi¶i : a,
y’=3x2 ⇒ y’ (-1) = 3
Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ : y+1 =3(x+1)
⇔ y = 3x +2
b , Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3x2 = 3 ⇔ x = ± 1
x= 1 ⇒
y(1) = 1 ⇒ pttt : y- 1 =3(x -1 )
⇔ y = 3x -2
x =-1 ⇒ pttt : y =3x +2

Củng cố
Có thể mở rộng xét vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại
một điểm chung : Cho hai hàm số y =f(x) và y =g(x) có
đồ thị tơng ứng là (C) và(C)
Hai đồ thị (C) và (C) đợc gọi là tiếp xúc với nhau tại một
điểm chung ,nếu tại điểm đó chúng có cùng một tiếp
tuyến, khi đó diểm chung đợc gọi là tiếp điểm
Nh vậy ,hai đồ thị (C ) và (C) tiếp xúc với nhau nếu và
chỉ nếu hệ phơng trình sau có nghiệm :
f(x)=g(x)
f(x) =g(x)


VÝ dô 4 : Cho hµm sè : y=x4 -2x2 +1

§å thÞ lµ (C)

T×m b ®Ó Parabol : y =2x2 +b tiÕp xóc víi (C)

Bµi tËp vÒ nhµ : 3 ;4 ; «n tËp ch¬ng 2