NGHIÊN cứu xây DỰNG hệ PHƯƠNG TRÌNH xác ĐỊNH CHUYỂN vị đàn hồi của TAY máy CÔNG NGHIỆP BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN tử hữu hạn

Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ
ĐÀN HỒI CỦA TAY MÁY CÔNG NGHIỆP BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ
HỮU HẠN
RESEACH ON BUILDING DEFORMATIONS ELASTIC EQUATIONS OF
INDUSTRIAL MANIPULATOR BASE ON FINITE ELEMENT METHOD
Biên Dương Xuân1, Mỳ Chu Anh1, Dũng Nguyễn Trí2
1
Học viện Kỹ thuật Quân sự, Hà Nội, Việt Nam
2
Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội

TÓM TẮT
Khi giải quyết các bài toán cơ học và điều khiển robot, các nhà thiết kế vẫn coi các khâu
là rắn tuyệt đối và coi chuyển vị đàn hồi (CVDH) của các thành phần trong hệ thống là nhỏ,
ảnh hưởng ít đến độ chính xác hoạt động của robot. Tuy nhiên, việc nghiên cứu ảnh hưởng
của chuyển vị đàn hồi sẽ giúp cho hoạt động của tay máy chính xác hơn, thực tế hơn. Bài báo
tập trung trình bày việc xây dựng hệ phương trình chuyển vị đàn hồi và tính toán CVDH cho
hệ tay máy 2 khâu phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH). Kết quả của bài báo có
thể làm cơ sở phát triển hệ điều khiển tương ứng nhằm nâng cao độ chính xác định vị của hệ
tay máy 2 khâu phẳng nói riêng và hệ tay máy chuỗi hở nói chung khi có kể đến ảnh hưởng
của chuyển vị đàn hồi trong các khâu.
Từ khóa: robot công nghiệp, chuyển vị đàn hồi, tay máy 2 khâu phẳng.
ABSTRACT
Designers has considered links of robot are rigid bodies when they solve problems about
mechanic and control robot. They considered that deformations elastic of links are small and
don’t effect on accuracy of industrial robot. However, the study on influence of deformations
elastic will help actions of robot are more accuracy and reality. This paper focus on building
deformations elastic equations and calculation for two-link planar manipulator base on finite
element method. The results can be used to improve corresponding control system to advances

positioning accuracy of two-link planar manipulator and other open serial manipulators.
Keywords: industrials robot, deformation elastic, two-link planar manipulator.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Khi nghiên cứu về tay máy công nghiệp, chúng ta cần giải quyết nhiều bài toán như:
động học, động lực học, điều khiển và một số vấn đề khác (dư dẫn động, kì dị, độ bền cơ cấu,
khả năng tải, độ linh hoạt,…). Vấn đề đặt ra là đa số các công trình công bố trong và ngoài
nước đều lấy giả thuyết các khâu của robot là rắn tuyệt đối, mô hình động lực là lý tưởng, ứng
xử động lực xuyên suốt, liên tục theo thời gian và nội tại hệ không tồn tại biến dạng, chuyển
vị đàn hồi. Sai số sinh ra trong quá trình chuyển động đều được bù và hiệu chỉnh trong
chương trình điều khiển [5, 6, 7, 8]. Việc này dẫn đến sự phức tạp trong điều khiển và mô
hình chưa sát với thực tế.
Vấn đề ảnh hưởng của chuyển vị đàn hồi đến độ chính xác định vị của robot được xem
xét trên thế giới với nhiều góc cạnh khác nhau. Một số công trình mặc định chấp nhận chuyển
vị đàn hồi, tìm cách đo đạc sai số định vị trên thực tế bằng các phương pháp khác nhau và đề
xuất phương án bù sai số bằng điều khiển phản hồi tuyến tính hoặc phi tuyến [5, 6, 7, 8, 9].
Công trình [10] có liệt kê một số kỹ thuật được sử dụng để xét đến chuyển vị đàn hồi của
robot và kết quả bài báo chỉ ra phương pháp phần tử hữu hạn là phù hợp hơn cả. Tài liệu [11]
140


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
đề cập đến hai giải pháp hiệu chỉnh robot để giảm bớt sai số do chuyển vị đàn hồi. Thứ nhất là
đơn giản hóa mô hình bằng cách thiết kế giảm chiều dài khâu, thêm vào các khâu kín song
song, tăng diện tích mặt cắt hoặc giảm tỷ số truyền của động cơ truyền động. Điển hình là
Robot KUKA 500-2 MT hay ABB IR7600-500. Tuy nhiên, các robot này rất đắt và kém linh
hoạt. Cách thứ 2 tác giả đề xuất là can thiệp vào phần điều khiển bằng cách sử dụng luật mờ
(Takagi Sugeno Fuzzy) để hiệu chỉnh robot. Dữ liệu đầu vào có được khi coi mô hình robot là
hệ gồm các khâu cứng liên kết với nhau thông qua các lò xo đại diện cho yếu tố chuyển vị đàn
hồi của các khớp và các khâu. Tuy nhiên, độ chính xác của phương pháp phụ thuộc nhiều vào
số lượng, kích cỡ và vị trí của các lò xo. Phương pháp này cũng được đề cập trong các tài liệu

[12,13]. Ngoài ra, tác giả cũng nhắc đến phương pháp ứng dụng mô đun CAE trong các phần
mềm thiết kế CAD/CAM để tính toán chuyển vị. Tuy nhiên, phương pháp này có nhược điểm
lớn là thời gian tính toán lâu không phù hợp với điều khiển robot trong thời gian thực [14].
Một số trường hợp, cơ hệ có cấu trúc không gian nhẹ (khâu đàn hồi-flexible links) và hoạt
động với tốc độ cao thì việc xem xét ảnh hưởng của chuyển vị đàn hồi đóng một vai trò vô
cùng quan trọng trong hoạt động của cơ hệ [15,16]. Nó tác động trực tiếp tới độ chính xác
trong hoạt động.
Như vậy, vấn đề đặt ra là nếu ta xây dựng thêm được hệ phương trình xác định chuyển
vị đàn hồi của các khâu thì kết quả của nó cho phép thiết lập hệ điều khiển tương ứng chính
xác hơn, thực tế hơn do đầu vào đã kể đến ảnh hưởng của chuyển vị đàn hồi.
2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1. Hệ phương trình động lực học tay máy
Xét mô hình robot phẳng hai khâu [1] như Hình 1:

Hình 1. Mô hình robot phẳng hai khâu
Trong đó: Ox 0 y0 z0 , Ox1 y1 z1 , Ox 2 y2 z2 lần lượt là hệ tọa độ cố định, hệ tọa độ địa phương
gắn với khớp 1 (tại O) và khớp 2 (tại A); q1, q2 , m1 , m2 , l1 , l2 , C1 , C2 : biến khớp, khối lượng,
chiều dài khâu và vị trí trọng tâm khâu 1, khâu 2. Px , Py : ngoại lực tác dụng tại điểm thao tác
cuối B. τ 1 ,τ 2 : mô men truyền động tại các khớp 1 và 2. Gọi khoảng cách OC 1  lC 1 ,
AC 2  lC 2 ; Véc tơ biến khớp q = [ q1 , q2 ] . Ta có bảng tham số động học D-H và động lực học
T

như Bảng 1 và Bảng 2.

Bảng 1. Bảng tham số động học D-H
Khâu

Θ

d

a

α

1

q1

0

l1

0

2

q2

0

l2

0

141


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Bảng 2. Tham số động lực học các khâu

Khâu

Vị trí trọng tâm

Ma trận mômen quán tính I

xC

yC

zC

Khối
lượng

1

l C1

0

0

m1

0

I 1y

I 1z

0

0

0

2

l C2

0

0

m2

0

I 2y

I 2z

0

0

0

I xx

I yy

I zz

I xy

I yz

I zx

Ta có tọa độ điểm thao tác cuối theo hệ tọa độ cố định:
xB =l1cosq1 + l2 cos ( q1 + q2 )

(1)

yB =l1 sin q1 + l2 sin ( q1 + q2 )

Tọa độ trọng tâm các khâu theo hệ tọa độ cố định:
l1 cos q1 + lC 2 cos ( q1 + q2 ) 
lC1 cos q1 




rC1 =  lC1 sin q1  ; rC 2 = l1 sin q1 + lC 2 sin ( q1 + q2 ) 


 0 
0

(2)

Tiến hành tính toán các ma trận Jacobi tịnh tiến J T 1 , J T 2 , ma trận Jacobi quay J R1 , J R 2 ,
thế năng trọng lực g1 (q), g 2 (q) cho các khâu, ma trận khối lượng suy rộng M (q) , biểu thức
động năng T, thế năng Π , ngoại lực tác dụng vào hệ và áp dụng hệ phương trình vi phân
Lagrange loại II:
d  ∂T

dt  ∂qi

 ∂T
∂Π
=
−
+ Qi* ,
−
q
q
∂
∂
i
i


i=1,2

(3)

Ta có hệ phương trình vi phân động lực học của hệ:

τ=
( m1lC21 + m2 (l12 + lC2 2 + 2l1lC 2 cos q2 ) + I 2 z + I1z ) q1 + ( m2 (lC2 2 + l1lC 2 cos q2 ) + I 2 z ) q2
1


− 2m2l1lC 2 sin q2 q1q2 − m2l1lC 2 sin q2 q22 + (m1lC1 + m2l1 ) g cos q1 + m2lC 2 g cos(q1 + q2 )

− Px l1 sin q1 + l2 sin ( q1 + q2 )  + Py l1cosq1 + l2 cos ( q1 + q2 ) 


2
2
2
τ 2 = ( m2 (lC 2 + l1lC 2 cos q2 ) + I 2 z ) q1 + ( m2lC 2 + I 2 z ) q2 + m2l1lC 2 q1 sin q2

+ m2lC 2 g cos(q1 + q2 ) − Px l2 sin ( q1 + q2 ) + Py l2 cos ( q1 + q2 )


(4)

Dễ nhận thấy rằng, các thành phần cấu thành hệ phương trình vi phân động lực học
chưa kể đến ảnh hưởng của chuyển vị đàn hồi. Khi sử dụng hệ phương trình (4) trong giải bài
toán điều khiển sẽ xuất hiện sai số. Nếu ta xây dựng thêm hệ phương trình xác định chuyển vị
đàn hồi theo các giá trị biến khớp và có kể đến các yếu tố nội tại của các khâu như mô đun
đàn hồi (đặc trưng cho biến dạng của vật thể khi chịu tác động của ngoại lực), khối lượng
riêng (đặc trưng cho mật độ của vật chất) để đưa thêm dữ liệu cho bài toán điều khiển thì hoàn
toàn có thể làm giảm bớt sai số định vị khi tay máy hoạt động.
2.2. Xây dựng hệ phương trình xác định chuyển vị đàn hồi
Để xác định chuyển vị của các phần tử, ta có thể sử dụng một số phương pháp khác
nhau như phương pháp lực, phương pháp chuyển vị và phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH)

[4]. Với sự phát triển không ngừng của ngành công nghệ thông tin thì ngày nay giải các bài
toán PTHH trở nên dễ dàng. Đây là phương pháp phù hợp để xác định chuyển vị trên tay máy
công nghiệp. Trong nội dung bài báo này, tác giả tập trung vào phương pháp PTHH mô hình
chuyển vị, ẩn số là các chuyển vị nút cho hệ tay máy 2 khâu phẳng.

142


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Rời rạc hóa kết cấu tay máy 2 khâu phẳng thành 2 phần tử liên kết với nhau và với đất
tại các nút O1 , O2 , E

Hình 2. Mô hình các phần tử của tay máy 2 khâu phẳng
Trong đó: Ox 0 y0 z0 , Ox1 y1 z1 , Ox 2 y2 z2 , Ox 3 y3 z3 lần lượt là hệ tọa độ cố định và các hệ tọa
độ

địa

phương

gắn

với

nút

O1 , O2 , E ;

{d } = {d1 , d 2 , d3 , d 4 , d5 , d6 , d7 , d8 , d9 } ,

{R} = {R1 , R2 , R3 , R4 , R5 , R6 , R7 , R8 , R9 }

là véc tơ chuyển vị đàn hồi tại các nút O1 , O2 , E (chuyển
vị nút) và lực nút ứng với các hệ tọa độ địa phương. (d 1 , d 4 , d 7 ) là chuyển vị dọc trục dầm
(theo trục x). (d 2 , d 5 , d 8 ) là chuyển vị theo trục y và (d 3 , d 6 , d 9 ) là chuyển vị thẳng theo trục
z. E , l1 , J1 , ρ1 , l2 , J 2 , ρ 2 lần lượt là mô đun đàn hồi, chiều dài, mô men quán tính và khối lượng
riêng

các khâu,

biến

khớp

q = [ q1 , q2 ] .
T

Gọi

{d } = {d , d , d , d , d , d , d , d , d } ,
'

'
1

'
2

'
3

'
4

'
5

'
6

'
7

'
8

'
9

{R } = {R , R , R , R , R , R , R , R , R } là véc tơ chuyển vị nút và véc tơ tải trọng nút gắn với
'

'
1

'
2

'
3

'
4

'
5

'
6

'
7

'
8

'
9

hệ tọa độ cố định Ox 0 y0 z0 . Việc chuyển đổi giữa các hệ tọa độ được thực hiện qua công thức:
−1
T
=
{di } = [T ]i {di' } hay
]i {di } [T ]i {di }
{di'} [T=

(5)

Trong đó: [T ]i là ma trận chuyển đổi hệ tọa độ và trực giao [2] nên [T ]i = [T ]i

−1

[T ]i

0
0
0
 cos(q i ) sin(qi ) 0
 − sin(q ) cos(q ) 0

0
0
0
i
i



0
0
1
0
0
0
T
=
[T ]i


0

0
0
c
os(q
)
sin(
q
)
0
i
i



0
0
0 − sin(qi ) cos(q i ) 0 


0
0
0
0
0
1


cos(q i )

 sin(qi )

 0

 0
 0

 0

− sin(qi ) 0
0
cos(q i ) 0
0
0
1
0
0
0 cos(q i )
0
0 sin(qi )
0
0
0

0
0
0
0 
0
0

− sin(qi ) 0 

cos(q i ) 0 

0
1

T

(6)

Hệ phương trình cân bằng của hệ trong hệ cố định theo lý thuyết PTHH:

{R } =  K  {d }
'

'

'

(7)

Trong đó:  K '  là ma trận độ cứng của hệ trong hệ tọa độ cố định. Đưa vào các điều
kiện biên tại nút O 1 nối đất thì phương trình cân bằng có dạng mới [2]:

{R } =  K  {d }
*

*

*

143

(8)


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
'
'
'
Tại nút O 1 có thể coi là liên kết dạng ngàm nên d=
d=
d=
0 . Do vậy, véc tơ chuyển
1
2
3
*
*
*
*
*
*
*
vị nút cần tìm là: {d } = {d 4 , d5 , d 6 , d 7 , d8 , d9 } . Cụ thể:

* Xác định ma trận độ cứng
Ma trận độ cứng trong hệ tọa độ địa phương theo [2]:
 EF
 l


 0

 0
[K ]i =  EF
−
 l
 0


 0


0

0

12 EJ
l3
6 EJ
l2

6 EJ
l2
4 EJ
l

0

0

−

12 EJ
l3
6 EJ
l2

−

EF
l
0
0

EF
l

6 EJ
l2
2 EJ
l

−

0
0

0
−

12 EJ
l3
6 EJ
l2
0

12 EJ
l3
6 EJ
− 2
l



6 EJ 

l2 
2 EJ 
l 

0 

6 EJ 
− 2
l 
4 EJ 

l 
0

(9)

Áp dụng công thức chuyển đổi hệ tọa độ: [ K ]i' = [T ]Ti [ K ]i [T ]i , ta có kết quả như sau:
 Di Sqi2 + N i Cqi2

 − Di Sqi Cqi + N i Sqi Cqi

−Ci Sqi
'
 K i  = 
2
2
−
D
Sq

i
i − N i Cqi
 D Sq Cq − N Sq Cq
i
i
i
 i i i
−Ci Sqi


− Di Sqi Cqi + N i Sqi Cqi
Di Cqi2 + N i Sqi2
Ci Cqi
Di Sqi Cqi − N i Sqi Cqi

− Di Cqi2 − N i Sqi2
Ci Cqi

−Ci Sqi
Ci Cqi
Ai
Ci Sqi
−Ci Cqi
Bi

− Di Sqi2 − N i Cqi2
Di Sqi Cqi − N i Sqi Cqi
Ci Sqi
Di Sqi2 + N i Cqi2
− Di Sqi Cqi + N i Sqi Cqi
Ci Sqi

Di Sqi Cqi − N i Sqi Cqi
− Di Cqi2 − N i Sqi2
−Ci Cqi
− Di Sqi Cqi + N i Sqi Cqi
Di Cqi2 + N i Sqi2
Ci Cqi

−Ci Sqi 

Ci Cqi 
Bi 

Ci Sqi 

−Ci Cqi 

Ai 

(10)

4 EJ i
2 EJ i
6 EJ i
12 EJ i
EFi
; E:
Trong đó:
=
Sqi sin(=
qi ); Cqi cos(
=
qi ); Ai =
; Bi =
; Ci
=
; Di
=
; Ni
li

li

li

li

li

Mô đun đàn hồi của vật liệu khâu (coi các khâu có cùng thành phần vật liệu); J i : Mô men
quán tính của các khâu; Fi : tiết diện từng khâu. Căn cứ theo (10) ta dễ dàng xác định được
 K1'  ,  K 2'  và ta kí hiệu các phần tử của chúng như công thức (11) dưới đây:

(11)

144


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Ma trận độ cứng toàn hệ [ K ] có dạng ma trận vuông 9x9 ứng với các chuyển vị nút.
Tuy nhiên, khi xét đến điều kiện biên ta có thể loại bỏ hàng thứ j và cột thứ j tương ứng với
chuyển vị nút q}j = 0 . Suy ra ma trận toàn hệ suy biến về dạng:

{

*
 K 44
 *
 K 54
 .
 K *  = 
 .
K*
 84
*

 K94

*
K 45
*
K 55

.
.

.
.

*
K 48
*
K 58

.
.

*
K 66
.

.

.
.

K85*

.
.

*
K95

*
77

K
.
.

K88*
*
K98

*

K 49
* 
K 59

. 

. 
K89* 


*
K99


(12)

Theo [2], các phần tử K *j ,k của  K *  (các chỉ số j , k được lấy theo chỉ số cột dọc và
ngang bên ngoài của các ma trận của ma trận  K1'  và  K 2'  trong (11)) được tính như sau:
2

K *j ,k = ∑ K '(j ,ik)

(13)

i =1

Cụ thể
*
'(1)
'(2)
*
*
*
*
*
K 44
=
K 44
+ K 44
; K 55

=
K 55'(1) + K 55'(2) ; K 66
=
K 66'(1) + K 66'(2) ; K 77
=
K 77'(2) ; K88
=
K88'(2) ; K 99
=
K 99'(2)

Tương tự, ta có thể tính được các phần tử khác của  K *  .
* Xác định véc tơ tải trọng quy nút { R*}
Lấy giả thiết vật liệu trên các khâu có tính liên tục và đẳng hướng nên có thể coi là phân
bố đều về mặt khối lượng. Gọi lực phân bố do khối lượng khâu gây ra là p (kN / cm) . Mô
hình tính tải nút có thể xét như Hình 3.

Hình 3. Mô hình tính lực nút với tải trọng phân bố
Để tính

{R } cần tính được {R} , {R} . Gọi
'

*

i

i

x là giá trị biến chiều dài có giới hạn

0 ≤ x ≤ l . Do ta xét tay máy 2 khâu phẳng nên có thể coi tải xoắn τ ( x ) = 0 và tải phân bố đều
p( x=
p= const . Ta có:
)
l

l

i
i
pl
i
=
=
R1i =
H
τ
dx
R
0;
2
∫0 1( x ) ( x )
∫0 H 2( x ) p( x ) dx =2 i ;

l

l

li

li

x
x2
x3
H1( x ) =
1 − ; H 2( x ) =
1− 3 2 + 2 3
l
l
l

i
pli2 i i
x 2 x3
x
=
=
τ
=
=
−
+ 2 ; H 4( x ) =
R3i =
H
p
dx
R
H

dx
H
x
;
0;
2
x
x
x
x
x
3(
)
(
)
4
4(
)
(
)
3(
)
∫0
∫
l
l
l
12
0

R5i =

∫H
0

5( x )

p( x ) dx =

pli i
; R6 =
2

∫H
0

6( x )

p( x ) dx = −

pli2
;
12

x2
x3
x 2 x3
H 5( x ) =
3 2 − 2 3 ; H 6( x ) =
− + 2

l
l
l
l

Trong đó H1( x ) ; H 2( x ) ; H 3( x ) ; H 4( x ) ; H 5( x ) ; H 6( x ) là các hàm dạng của các phần tử [2]

145

(14)


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Lúc này:

Cqi R1i − Sqi R2i 


i
i
 Sqi R1 − Cqi R2 


R3i
T


{R}i 
[T ]i=
i

i
Cqi R4 − Sqi R5 
 Sq R i − Cq R i 
i 5
 i 4
i


R6



 R1'(i ) 
 '(i ) 
 R2 
 R '(i ) 
'
3 
=
{R}i =
'( i ) 
 R4 
 R '(i ) 
 5 
 R6'(i ) 

(15)

Cụ thể:

(16)

Mỗi phần tử của véc tơ { R*} được xác định:
2

R*j = ∑ R '(j i )

(17)

i =1

Chỉ số j lấy theo cột chỉ số bên cạnh phải tương ứng mỗi véc tơ lực nút. Cụ thể:
R4* =
R4'(1) + R4'(2) ; R5* =
R5'(1) + R5'(2) ; R6* =
R6'(1) + R6'(2) ; R7* =
R7'(2) ; R8* =
R8'(2) ; R9* =
R9'(2)

Vậy ta có:

{R } = {R
*

*
1

R2*

R3*

R4*

R5*

R6*}

T

(18)

Thay (12) và (18) vào (8) ta có thể tính được chuyển vị nút:

{d } =  K
*

*



−1

{R }

(19)

*

2.3. Mô phỏng kết quả tính toán chuyển vị đàn hồi

Áp dụng tính toán chuyển vị cho mô hình tay máy 2 khâu phẳng (Hình 2) với các tham
số cụ thể như Bảng 3.
Bảng 3. Giá trị các tham số của tay máy 2 khâu phẳng

Khâu

Mô đun
đàn hồi E
(Kg/cm2)

Khối
lượng
riêng ρ

Tải tập
trung
P x (N)

Tải tập
trung
P y (N)

3

(Kg/cm )

Bề
Bề
rộng
ngang

khâu B khâu
(cm) H(cm)

Chiều
dài
khâu
(cm)

Biến khớp
(rad)
0≤t ≤π

1

2,1.106

7850.10-6

0

0

3

3

20

π +t
6

2

2,1.106

7850.10-6

0

0

3

3

10

t

146

3


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Sử dụng phần mềm Maple và Matlab để tính toán các ma trận độ cứng, tải trọng nút và
chuyển vị nút, ta có các kết quả như sau:
* Xét vị trí tay máy với các giá trị cố định:
;q 0
q1 π=

=
6 2

Dễ thấy, chuyển vị tại nút O 2 lần lượt theo các trục X, Y, Z là: 0.012 mm, -0.02 mm, 0.0018 mm; tại nút E (điểm thao tác cuối): 0.012 mm, -0.04 mm, -0.0019 mm. Các giá trị này
rất nhỏ và giá trị có dấu (-) thể hiện ngược chiều so với chiều trục ứng với các nút. Vì xét tay
máy phẳng nên ta chưa xét đến chuyển vị theo chiều trục Z. Các giá trị chuyển vị này có thể
sẽ lớn nếu chịu thêm các ngoại lực tác dụng (tải trọng bên ngoài). Lúc này, vị trí điểm thao tác
cuối được mô tả như Bảng 4.
Bảng 4. Tọa độ điểm thao tác cuối
Tọa độ điểm thao tác cuối (E)

X E (mm)

YE (mm)

Khi chưa kể đến chuyển vị đàn hồi

150 3

150

150 3 + 0.012

150 − 0.04

Khi đã kể đến chuyển vị đàn hồi

* Xét vị trí tay máy với các biến khớp thay đổi theo thời gian t(s):
π
q1=

+ t ; q2 = t ;0 ≤ t ≤ π
6
3
Với các giá trị biến khớp thay đổi, ta có thể so sánh quỹ đạo chuyển động (1) trong hai
trường hợp là chưa kể đến chuyển vị đàn hồi và có kể đến chuyển vị đàn hồi như Hình 4.

Hình 4. Tọa độ điểm thao tác cuối ở hai trường hợp
Đồ thị Hình 4 cho ta thấy sự sai lệch vị trí của điểm thao tác cuối khi có kể đến ảnh
hưởng của CVDH. Do giá trị chuyển vị là rất nhỏ nên khó nhận ra sai lệch trên Hình 4, ta có
thể mô tả sai lệch theo Hình 5.

147


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

Hình 5. Giá trị chuyển vị đàn hồi theo trục X và Y tại nút E
Về bản chất, đây chính là giá trị chuyển vị đàn hồi theo chiều X và Y ứng với hệ tọa độ
địa phương tại nút E. Để điều khiển được tay máy đúng theo quỹ đạo mong muốn thì cần phải
xác định quy luật biến khớp (bài toán động học ngược) và tính toán mô men điều khiển các
khớp (bài toán động lực học). Tuy nhiên, do có ảnh hưởng của chuyển vị đàn hồi, với các giá
trị mô men tính toán cũ thì quỹ đạo chuyển động sẽ có sai lệch không như mong muốn và cần
phải bù các sai lệch này. Như vậy, đầu vào của hệ điều khiển ngoài hệ phương trình động lực
học (11) còn có thêm hệ phương trình xác định chuyển vị đàn hồi (26) tại các nút nhằm điều
khiển tay máy hoạt động chính xác hơn.
3. KẾT LUẬN
Bài báo đã trình bày cơ bản về việc xây dựng hệ phương trình vi phân động lực học theo
phương trình Lagrange loại II và hệ phương trình tính chuyển vị đàn hồi tại các nút của các
phần tử theo phương pháp phần tử hữu hạn cho hệ tay máy 2 khâu phẳng. Bài báo cũng thể
hiện tính toán cụ thể chuyển vị nút của các phần tử tại một vị trí cố định và trong khoảng giá

trị biến khớp thay đổi nhằm so sánh, đánh giá sai lệch vị trí điểm thao tác cuối khi có kể đến
ảnh hưởng của chuyển vị đàn hồi và làm cơ sở xây dựng các thông số đầu vào khi thiết lập hệ
điều khiển sau này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Văn Khang, Chu Anh Mỳ, Cơ sở robot công nghiệp, Nhà xuất bản Giáo dục,
2010.
[2]. Vũ Khắc Bảy, Bài giảng phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn), Bộ môn
Toán, Đại học Lâm nghiệp, 2012.
[3]. Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa, Phương pháp phần tử hữu hạn, Đại học Kỹ thuật Công
nghiệp - Đại học Thái Nguyên, 2007.
[4]. Nguyễn Công Trí, Nguyễn Thị Hiền Lương, Tính toán khung phẳng bằng phương pháp
phần tử rời rạc biến thể sử dụng mô hình chuyển vị, Tạp chí KH&PT công nghệ, 2006.
[5]. Wisama Khalil, Philippe Lemoine, Autonomous calibration of robot using planar
points, International Symposium on Robotics and Manufacturing, Montpellier, France,
2009.
[6]. A. Watanabe, S. Sakakibara, A kinematic calibration method for industrial robots using
autonomous visual measurement, Annals of the CIRP vol 55/1/2006.
[7]. Ali Nahvi, John M Hollerbach, Cablration of a parallel robot using multiple kinematics
closed loops, IEEE 1994.

148


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
[8]. Andrew B Lintott, Geometric modeling and accuracy enhancement of parallel
manipulators, University of Canterbury Christchurch New Zealand, 2000.
[9]. In-chul Ha, Kinematic parameter calibration method for industrial robot manipulator
using the relative position, Journal of mechanical science and technology, 2008.
[10]. Mathieu Rognant, A systematic proceduce for the elasto-dynamic modeling and
identification of robot manipulator, IEEE Transaction on Robotics 1085-1093, 2010.

[11]. Stephane Marie, Eric Courteille, Patrick Maurine, Elasto – Geometrical modeling and
calibration of robot manipulator: Application to machining and forming applications,
Mechanism and Machine theory 69, P. 13-43. 2013.
[12]. Ivan J Baiges–Valentin, Dynamic modeling of parallel manipulators, University of
Florida, 1996.
[13]. Claire Dumas, Stephane Caro, Joint stiffness identification of industrial serial robot,
Robotica, Cambridge University, 2011.
[14]. T. T. Mon, F. R. Mohd Romlay, Role of Finite Element Analysis in designing multi-axes
positioning for Robotic Manipulators, Advances in Robot manipulators, Malaysia,
2010.
[15]. D. Wang and M. Vidyasagar, Transfer functions for a single flexible link, Proceeding of
the 28th IEEE conference on Decision and Control,1989.
[16]. G. Hastings and W. Book, Verification of a linear dynamic model for flexible robotic
manipulators,
Proceedings. IEEE International Conference on Robotics and
Automation.Vol. 3, P. 1024 – 1029, 1986.
THÔNG TIN TÁC GIẢ
Dương Xuân Biên
Email: , ĐT: 01667193567

149