Hình học xạ ảnh và một số ứng dụng trong hình học sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VĂN ĐỨC CHÍN

HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VĂN ĐỨC CHÍN

HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên - 2015


Mục lục
Mở đầu

5

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

7

1.1

1.2

1.3

Mặt phẳng xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Mục tiêu và tọa độ xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.4

Tỉ số kép trong P 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.5

Các đường bậc hai trong P 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Mục tiêu và tọa độ affine trong A2 . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

Đường thẳng trong A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.3

Tỉ số kép trong A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.4

Thể hiện affine của các đường cônic trong A2

. . . . . . . . . .

11

Phép chiếu xuyên tâm và tính đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1

Ánh xạ xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2

Phép chiếu xuyên tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.3

Tính đối ngẫu trong mặt phẳng xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.4

Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp
2.1

16

Một số kết quả hình học sơ cấp thu được từ các định lý trong mặt phẳng
xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.1

Định lý Papuýt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.2

Định lý Mênêlauýt và Định lý Xêva . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.3

Định lý Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3


2.1.4
2.2

2.3

Định lý Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Sáng tạo một số bài toán hình học sơ cấp từ các bài toán trong mặt
phẳng xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm và tính đối ngẫu . . . . . . . . . .

39

2.3.1

Bài toán đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3.2

Ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm . . . . . . . . . . . . . . .

40

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45

4


Mở đầu
Hình học xạ ảnh là một môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính. Nhiều
định lý hình học nổi tiếng cũng như nhiều bài toán hình học hay trở nên đơn giản dưới
góc nhìn của hình học xạ ảnh. Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh là công cụ hữu hiệu
trong việc giải và sáng tạo các bài toán hình học sơ cấp.
Mục đích của luận văn là trình bày một số khái niệm trong mặt xạ ảnh, mô hình
xạ ảnh của mặt phẳng affine và đặc biệt là ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và sáng
tạo một số định lý và bài toán trong hình học sơ cấp.
Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1 - Cơ sở lý
thuyết và Chương 2 - Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp.
Trong chương 1, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về mặt phẳng xạ ảnh và mô
hình xạ ảnh của mặt phẳng affine. Mục đầu tiên của chương này giới thiệu khái niệm
về mặt phẳng xạ ảnh P 2 liên kết với một không gian véc tơ thực 3 chiều V 3 ; mục tiêu
và tọa độ xạ ảnh; khái niệm và phương trình đường thẳng trong P 2 ; tỷ số kép trong
P 2 và đường bậc hai trong P 2 . Trong mục tiếp theo, chúng tôi trình bày mô hình xạ
ảnh của mặt phẳng affine. Mục cuối cùng của chương này giới thiệu về ánh xạ xạ ảnh,
đặc biệt là phép chiếu xuyên tâm, và trình bày về tính đối ngẫu trong không gian xạ
ảnh.
Chương 2 của luận văn trình bày về ứng dụng của mặt phẳng xạ ảnh và mô hình
xạ ảnh của mặt phẳng affine vào việc giải và sáng tạo một số định lý và bài toán hình
học sơ cấp.
Chọn trước một đường thẳng ∆ trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 . Khi đó trên tập hợp
A2 = P 2 \ ∆ có cấu trúc mặt phẳng affine. Các điểm nằm trên đường thẳng ∆ khi
đó được gọi là các điểm vô tận. Từ một định lý hoặc một bài toán trong mặt phẳng
xạ ảnh P 2 , bằng cách chọn đường thẳng ∆ thích hợp ta có thể sáng tạo ra nhiều bài
toán khác nhau trong mặt phẳng affine. Luận văn trình bày việc chuyển đổi này đối

5


với một số định lý nổi tiếng và một số bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh. Với cách làm
này, chúng ta thu được nhiều kết quả hay của hình học sơ cấp.
Trong phần cuối của chương 2, chúng tôi trình bày ứng dụng của tính đối ngẫu
trong không gian xạ ảnh để sáng tạo các bài toán mới từ một số bài toán cho trước.
Đồng thời, chúng tôi trình bày ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm trong một số bài
toán chứng minh hình học.
Do thời gian hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất
mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả

Văn Đức Chín

6


Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1

Mặt phẳng xạ ảnh

Ở mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về mặt phẳng xạ ảnh và một số yếu tố liên
quan được sử dụng trong các phần tiếp theo của luận văn.
1.1.1

Định nghĩa

Cho V 3 là một không gian vectơ thực 3- chiều. Ta ký hiệu [V 3 ] là tập hợp các
không gian vectơ con một chiều của V 3 . Một mặt phẳng xạ ảnh thực liên kết với không
gian V 3 là một bộ ba (P, p, V 3 ), trong đó P là một tập khác rỗng và p : [V 3 ] −→ P
là một song ánh, kí hiệu P 2 . Mỗi phần tử A ∈ P 2 được gọi là một điểm. Nếu điểm
M ∈ P 2 , M = p(V 1 ) và 0 = x ∈ V 3 , sao cho V 1 = x , khi đó ta gọi x là vectơ đại
diện cho điểm M .
Nhận xét: Hai véc tơ cùng đại diện cho một điểm thì cộng tuyến với nhau. Hai véc
tơ đại diện cho hai điểm phân biệt thì độc lập tuyến tính.
1.1.2

Mục tiêu và tọa độ xạ ảnh

Trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 hệ điểm {M1 , M2 , M3 } được gọi là hệ điểm độc lập nếu
hệ các vectơ đại diện tương ứng của chúng {x1 , x2 , x3 } độc lập tuyến tính.
Hệ điểm {A1 , A2 , A3 ; E} được gọi là một mục tiêu ứng với cơ sở đại diện {e1 , e2 , e3 }
trong P 2 nếu {A1 , A2 , A3 } độc lập và e = e1 + e2 + e3 , trong đó e = 0 là vectơ đại diện
của E và ei là vectơ đại diện cho Ai , với i = 1, 2, 3.
Giả sử {A1 , A2 , A3 ; E} là mục tiêu ứng với cơ sở {e1 , e2 , e3 } và M ∈ P 2 có vectơ đại
diện là x. Khi đó, nếu x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 thì bộ ba (x1 : x2 : x3 ) được gọi là tọa
7


độ điểm M đối với mục tiêu đã cho và ta viết M (x1 : x2 : x3 ).
1.1.3

Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh

Cho V 2 là một không gian véc tơ con 2 chiều của không gian véc tơ V 3 . Kí hiệu

[V 2 ] là tập tất cả các không gian véc tơ con 1 chiều của V 2 . Khi đó tập hợp p([V 2 ])
được gọi là đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 , ký hiệu là P 1 hoặc ∆.
Giả sử đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt M1 , M2 ∈ P 2 và điểm X(x1 , x2 , x3 ) ∈
∆. Khi đó ta có
[X] = t1 [M1 ] + t2 [M2 ],

(t21 + t22 = 0),

với [X], [M1 ], [M2 ] là các ma trận tọa độ cột của các điểm X, M1 , M2 . Từ đó ta có
phương trình của ∆ là a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = 0 (a1 , a2 , a3 không đồng thời bằng 0). Bộ
số (a1 , a2 , a3 ) được gọi là tọa độ của đường thẳng ∆ đối với mục tiêu đã chọn.
1.1.4

Tỉ số kép trong P 2

Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng: Trong P 2 với mục tiêu cho trước, cho bốn điểm
phân biệt A, B, C, D cùng thuộc một đường thẳng. Giả sử
[C] = k1 [A] + l1 [B]
và

[D] = k2 [A] + l2 [B].

Khi đó, tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D được ký hiệu là [A, B, C, D] và được xác
định bởi
l1 l2
: .
k1 k2
Nếu [A, B, C, D] = −1 ta nói A, B, C, D là một hàng điểm điều hòa (hay cặp C, D chia
[A, B, C, D] =

điều hòa cặp điểm A, B).
Tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng: Cho chùm bốn đường thẳng phân biệt α, β, γ, δ
trong P 2 . Với mục tiêu cho trước, giả sử bốn đường thẳng α, β, γ, δ có ma trận tọa độ
lần lượt là [α], [β[, [γ[, [δ[. Ta có
[γ] = µ1 [α] + λ1 [β],
[δ] = µ2 [α] + λ2 [β],
trong đó, µ1 , µ2 , λ1 , λ2 là các hệ số thực khác không. Tỉ số kép của chùm bốn đường
thẳng trên được xác định bởi
[α, β, γ, δ] =
8

λ1 λ2
: .
µ1 µ2


Nếu [α, β, γ, δ] = −1 ta nói α, β, γ, δ lập thành chùm đường thẳng điều hòa.
Nhận xét: nếu chùm bốn đường thẳng α, β, γ, δ bị cắt bởi một đường thẳng tương
ứng tại bốn điểm A, B, C, D thì ta có [α, β, γ, δ] = [A, B, C, D]. Đặc biệt, nếu chùm
bốn đường thẳng α, β, γ, δ điều hòa thì A, B, C, D là một hàng điểm điều hòa.
1.1.5

Các đường bậc hai trong P 2

Một đường bậc hai trong P 2 là tập hợp S các điểm X(x1 , x2 , x3 ) ∈ P 2 , thỏa mãn
phương trình
a11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + 2a12 x1 x2 + 2a12 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = 0,
trong đó, aij là các hệ số không đồng thời bằng 0 và aij = aji , với i, j = 1, 2, 3.
Bằng cách chọn mục tiêu thích hợp, ta có thể đưa phương trình của một đường bậc
hai trong P 2 về một trong năm dạng chuẩn tắc sau:

1. Đường Ôvan ảo x21 + x22 + x23 = 0.
2. Đường cônic x21 + x22 − x23 = 0.
3. Cặp đường thẳng ảo x21 + x22 = 0.
4. Cặp đường thẳng phân biệt −x1 + x22 = 0.
5. Cặp đường thẳng trùng nhau x21 = 0.

1.2

Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine

Cho (và cố định) đường thẳng ∆ trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 với nền là không gian
véc tơ thực 3 chiều V 3 . Đặt A2 = P 2 \∆. Chọn mục tiêu {A1 , A2 , A3 ; E} của P 2 sao
cho {A1 , A2 } ∈ ∆. Khi đó đường thẳng ∆ có phương trình x3 = 0.
x1
x2
Giả sử X(x1 , x2 , x3 ) ∈ A2 thì x3 = 0. Đặt X1 =
và X2 =
thì bộ số (X1 , X2 )
x3
x3
được gọi là tọa độ không thuần nhất của điểm X đối với mục tiêu xạ ảnh đã cho và
ta viết X = (X1 , X2 ). Khi đó có một song ánh từ tập A2 vào R2 bằng cách ta cho mỗi
điểm thuộc A2 tương ứng với tọa độ không thuần nhất của nó. Gọi V 2 là không gian
vectơ 2 chiều trên trường số thực R với cơ sở {a1 , a2 } và ta xét ánh xạ
ϕ:

A2 × A2 −→ V 2
−−→
(X, Y ) −→ ϕ(X, Y ) = XY = v = (Y1 − X1 )a1 + (Y2 − X2 )a2 .
9

Ta có
• ∀X = (X1 , X2 ) ∈ A2 và v = (v1 , v2 ) ∈ V 2 . Khi đó có duy nhất điểm Y (Y1 , Y2 ), với
Y1 = X1 + v1 , Y2 = X2 + v2 , thỏa mãn ϕ(X, Y ) = v.
• ∀X = (X1 , X2 ), Y = (Y1 , Y2 ), Z = (Z1 , Z2 ) ∈ A2 , ϕ(X, Z) = ϕ(Z, Y ) + ϕ(Y, X).
Điều này suy ra, A2 là một không gian affine liên kết với không gian véc tơ V 2 . Ta gọi
A2 là mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine.
1.2.1

Mục tiêu và tọa độ affine trong A2

Ta vẫn xét mục tiêu xạ ảnh {A1 , A2 , A3 ; E} trong P 2 như trên. Gọi E1 , E2 lần lượt
là giao điểm của đường thẳng A1 A3 , A2 A3 với đường thẳng ∆. Tọa độ không thuần
nhất của E1 , E2 và A3 là
E1 = (1, 0), E2 = (0, 1), A3 = (0, 0).
−−−→
−−−→
Đặt A3 E1 = e1 và A3 E2 = e2 thì {A3 ; E1 , E2 } là một mục tiêu affine trong A2 , được
gọi là mục tiêu affine sinh bởi mục tiêu xạ ảnh {A1 , A2 , A3 ; E}.
−−→
Khi đó, ∀X = (X1 , X2 ) ∈ A2 ta có A3 X = X1 e1 + X2 e2 , tức là (X1 , X2 ) là tọa độ
affine của X đối với mục tiêu affine {A3 ; E1 , E2 }.
1.2.2

Đường thẳng trong A2

Giả sử d1 là đường thẳng trong P 2 và không trùng với ∆. Khi đó, d1 = d1 \∆ là một
đường thẳng trong A2 . Thật vậy, với mục tiêu xạ ảnh đã chọn, giả sử đường thẳng d1
có phương trình

a1 x 1 + a2 x 2 + a3 x 3 = 0

(1.2.1)

Vì d1 là đường thẳng không trùng với ∆ nên mỗi X ∈ d1 , X = (x1 , x2 , x3 ) thì x3 = 0.
Ta chia hai vế (1.2.1) cho x3 thì tọa độ không thuần nhất của X thỏa mãn phương
trình
a1 X1 + a2 X2 + a3 = 0

(1.2.2)

Từ (1.2.2) suy ra d1 là đường thẳng trong A2 .
Cho d1 , d2 là hai đường thẳng phân biệt trong P 2 khác ∆, I = d1 ∩ d2 và trong
A2 = P 2 \∆ gọi d1 , d2 là các đường thẳng tương ứng với d1 , d2 . Khi đó:
• nếu I ∈ ∆ thì d1 d2 ;
10


• nếu I ∈
/ ∆ thì d1 ∩ d2 = I.
1.2.3

Tỉ số kép trong A2

Trong không gian P 2 lấy bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng với A(a1 , a2 , 1), B(b1 , b2 , 1).
Khi đó tọa độ C và D lần lượt có dạng
C(k1 a1 + l1 b1 , k1 a2 + l1 b2 , k1 + l1 ), D(k2 a1 + l2 b1 , k2 a2 + l2 b2 , k2 + l2 ),
trong đó, k1 , k2 , l1 , l2 là các hệ số khác không. Tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D trong
P 2 là
[ABCD] =

l1 l2
: .
k1 k2

Trong A2 = P 2 \∆ thì tọa độ của bốn điểm trên là: A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ), C(c1 , c2 ) và
D(d1 , d2 ). Trong đó
ci =

k1 ai + l1 bi
k1 + l1

và di =

k2 ai + l2 bi
,
k2 + l2

(i = 1, 2).

k1 (bi − ai )
l1 (ai − bi )
và bi − ci =
.
k1 + l1
k1 + l1
−→
l1 −−→
l1
Do đó CA = − CB nên tỉ số đơn của ba điểm A, B, C là [ABC] = − . Tương tự

k1
k1
l2
[ABC]
ta có [ABD] = − . Vậy [ABCD] =
.
k2
[ABD]
Đặc biệt nếu C hoặc D nằm trên ∆, giả sử là D thì ta có
Suy ra ai − ci =

[ABCD] = [ABC∞] = [ABC] =

l1
.
k1

Tương tự ta cũng có thể tính được tỉ số kép trên trong trường hợp C ∈ ∆.
1.2.4

Thể hiện affine của các đường cônic trong A2

Trong P 2 cho đường cônic S và đường thẳng ∆ sao cho S ∩ ∆ = ∅. Khi đó thể hiện
của S trong mô hình affine A2 = P 2 \∆ là một elip (E). Thật vậy, giả sử cônic S có
phương trình chuẩn tắc x21 + x22 − x23 = 0 (1) và đường thẳng ∆ có phương trình x3 = 0
thì ta có S ∩ ∆ = ∅. Với điểm X(x1 , x2 , x3 ) ∈ S và X ∈
/ ∆ thì x3 = 0 nên ta chia hai
vế (1) cho X32 sẽ thu được phương trình
x1
x3

2

+

x2
x3

2

− 1 = 0 hay X12 + X22 = 1.

11


Trong P 2 cho đường cônic S và đường thẳng ∆ sao cho S ∩ ∆ = I. Khi đó trong
mô hình affine A2 = P 2 \∆ ta sẽ thu được một Parabol (P ). Thật vậy, giả sử cônic S
có phương trình x21 − x2 x3 = 0(2) và đường thẳng ∆ có phương trình x3 = 0. Khi đó
S ∩ ∆ = {0; 1; 0}. Chia hai vế (2) cho x23 ta thu được phương trình
x1
x3

2

−

x2
= 0 hay X12 − X2 = 0.
x3

Trong P 2 cho đường bậc hai S và đường thẳng ∆ sao cho S ∩ ∆ = {I; J}. Khi đó
trong mô hình affine A2 = P 2 \∆ ta sẽ thu được một Hypebol (H). Thật vậy, giả sử
cônic S có phương trình là
x21 − x22 − x23 = 0

(1.2.3)

và đường thẳng ∆ có phương trình là x3 − = 0 thì ta có S ∩∆ = {I(1, 1, 0), J(1, −1, 0)}.
Chia hai vế (1.2.3) cho x23 ta thu được phương trình
x1
x3

2

−

x2
x3

2

= 0 hay X12 − X22 = 0.

Đây là phương trình của một Hypebol (H) trong mô hình A2 = P 2 \∆. Hơn nữa, các
12


đường tiệm cận của (H) là các tiếp tuyến với cônic S tại I và J nên ta tìm được phương
trình các đường tiệm cận lần lượt là Y1 − Y2 = 0 và Y1 + Y2 = 0.

1.3
1.3.1

Phép chiếu xuyên tâm và tính đối ngẫu
Ánh xạ xạ ảnh

Cho V và W là hai không gian véc tơ thực 2 hoặc 3 chiều. Gọi P (V ) và P (W ) lần
lượt là không gian xạ ảnh liên kết với V và W . Giả sử T : V −→ W là một ánh xạ
tuyến tính. Khi đó, T biến một không gian véc tơ con U của V thành một không gian
véc tơ con T (U ) của W . Hơn nữa, nếu T là một đơn cấu thì dim T (U ) = dim U . Đặc
biệt, khi đó T biến không gian con 1 chiều của V thành không gian con 1 chiều của W
và do đó T hoàn toàn xác định một ánh xạ
τ : P (V ) −→ P (W ).
Định nghĩa 1.3.1. Một ánh xạ xạ ảnh từ P (V ) vào P (W ) là ánh xạ τ được sinh bởi
một đẳng cấu tuyến tính T : V −→ W .
Chú ý: Nếu λ là một hằng số khác không thì hai ánh xạ tuyến tính λT và T xác
định cùng một ánh xạ xạ ảnh. Ngược lại, nếu hai ánh xạ tuyến tính T và T cùng xác
định một ánh xạ xạ ảnh τ thì tồn tại hằng số λ = 0 sao cho T = λT .
1.3.2

Phép chiếu xuyên tâm

Định nghĩa 1.3.2. Trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 cho 2 đường thẳng α và β và điểm
C ∈ P 2 \{α ∪ β}. Ánh xạ pc : α −→ β cho tương ứng X ∈ α với pc (X) = X sao cho
CX ∩ β = X được gọi là phép chiếu xuyên tâm từ α lên β với tâm C.
13


Nhận xét:
- Phép chiếu xuyên tâm hoàn toàn xác định bởi cặp đường thẳng α, β và tâm chiếu

C.
- Phép chiếu xuyên tâm giữ bất động tất cả những điểm giao của hai đường thẳng
α và β.
Phép chiếu xuyên tâm trong mặt phẳng P 2 có một số tính chất sau:
Định lý 1.3.3. Nếu coi 2 đường thẳng α và β là hai không gian xạ ảnh 1 chiều thì
phép chiếu xuyên tâm là một ánh xạ xạ ảnh.
Định lý 1.3.4. Cho hai đường thẳng α, α trong P 2 . Một ánh xạ xạ ảnh f : α −→ α
là một phép chiếu xuyên tâm khi và chỉ khi mọi phần tử của α ∩ α là tự ứng, tức là
f (M ) = M, ∀M ∈ α ∩ α .
1.3.3

Tính đối ngẫu trong mặt phẳng xạ ảnh

Cho trước không gian véc tơ thực 3 chiều V . Kí hiệu V ∗ là không gian véc tơ các
dạng tuyến tính f : V −→ R trên V . Không gian véc tơ V ∗ được gọi là không gian véc
tơ đối ngẫu với của V . Không gian véc tơ đối ngẫu V ∗ có một số tính chất sau:
1. dim V ∗ = dim V và nếu v1 , v2 , v3 là một cơ sở của V thì tồn tại một cơ sở f1 , f2 , f3
của V ∗ thỏa mãn
fi (vj ) = δij =



1 nếu i = j,

0 nếu i = j.

2. Cho U là một không gian véc tơ con của V . Khi đó,
U 0 = {f ∈ V ∗ |f (v) = 0, ∀v ∈ U }
là một không gian véc tơ con của V ∗ và dim U + dim U 0 = dim V .
Tính chất [2] ở trên cho ta một tương ứng 1 − 1 tự nhiên giữa các điểm trong mặt

phẳng xạ ảnh P (V ∗ ) liên kết với V ∗ và các đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh P (V )
liên kết với V . Từ tương ứng 1 − 1 này, mỗi kết quả trong mặt phẳng xạ ảnh P (V ∗ )
có thể được thể hiện dưới dạng khác trong mặt phẳng xạ ảnh P (V ). Đó chính là tính
đối ngẫu của mặt phẳng xạ ảnh.

14


1.3.4

Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm

Bằng cách sử dụng tính đối ngẫu của mặt phẳng xạ ảnh, ta có thể thể hiện phép
chiếu xuyên tâm dưới dạng sau đây:
Định nghĩa 1.3.5. Trong không gian xạ ảnh P 2 cho 2 điểm O, O và đường thẳng α
không đi qua O và O . Gọi B là bó đường thẳng qua O và B là bó đường thẳng qua
O . Ánh xạ pα : B −→ B cho tương ứng m ∈ B với pα (m) = m sao cho (α ∩ m) ∈ m
được gọi là phép chiếu xuyên trục từ B lên B với trục α.
Các tính chất của phép chiếu xuyên tâm kéo theo các tính chất của phép chiếu
xuyên trục. Chẳng hạn, ta có hai tính chất dưới đây:
Định lý 1.3.6. Phép chiếu xuyên trục là một ánh xạ xạ ảnh.
Định lý 1.3.7. Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh là phép chiếu xuyên trục
là đường nối hai tâm phải tự ứng.

15


Chương 2

Ứng dụng hình học xạ ảnh trong

hình học sơ cấp
Từ mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine, ta có thể đưa một số bài toán trong mặt
phẳng xạ ảnh về những bài toán sơ cấp bằng cách chọn một đường thẳng thích hợp
trong mặt phẳng xạ ảnh làm đường thẳng vô tận. Do đó từ một bài toán xạ ảnh ban
đầu ta có thể có nhiều bài toán sơ cấp khác nhau.
Các bước thực hiện chuyển đổi như sau:
1. Chọn đường thẳng vô tận thích hợp (thường là đường đi qua nhiều giao điểm
nhất).
2. Biểu diễn lại các khái niệm, tính chất trong bài toán cũ sang hình sơ cấp.
3. Phát biểu bài toán sơ cấp vừa chuyển.

2.1

Một số kết quả hình học sơ cấp thu được từ các định lý
trong mặt phẳng xạ ảnh

Trước tiên, chúng tôi trình bày một số định lý trong mặt phẳng affine thu được
bằng cách chuyển từ các định lý quan trọng trong mặt phẳng xạ ảnh.
2.1.1

Định lý Papuýt

Trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 , định lý Papuýt được phát biểu như sau:

16


Định lý 2.1.1 (Định lý Papuýt). Trong mặt phẳng P 2 , cho ba điểm phân biệt A, B, C
cùng nằm trên đường thẳng a và ba điểm phân biệt A , B , C cùng nằm trên đường
thẳng b khác a. Đặt M = AB ∩ BA , N = AC ∩ CA , P = BC ∩ CB . Khi đó ba điểm

M, N, P thẳng hàng.

Từ định lý này, ta thu được một số kết quả trong hình học sơ cấp bằng cách chuyển
vào mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine.
Cách chuyển 1:
• Ta chọn ∆ là đường M N và xét A2 = P 2 \M N .
• Khi ta xét trong A2 thì BC B C, CA C A và định lý Papuýt trong P 2 trở thành
định lý sau.
Định lý 2.1.2. Cho sáu điểm phân biệt A, B, C, A , B , C , trong đó A, B, C ∈ d và
A , B , C ∈ d . Nếu BC B C và CA C A thì AB A B.
Chứng minh:

• Trường hợp 1: d ∩ d = I
IB
IC
Ta có BC B C nên
=
= λ. Hay
IC
IB
−→
−→
IB = λIC

(2.1.1)

−→
−→
IC = λIB

(2.1.2)

IC
IA
=
= µ hay
IA
IC
−→
−
→
IC = µIA,

(2.1.3)

Ta có CA C A nên

17


−→
−→
IA = µIC

(2.1.4)

−→
−
→
Từ (2.1.1) và (2.1.2) ta có IB = λµIA.

−→
−→
Từ (2.1.3) và (2.1.4) ta có IA = µλIB .
−−→
−−→
−→ −→
−
→ −→
Do đó IB − IA = λµ(IA − IB ) hay A B = λµAB . Mà lại có A = B nên
AB A B
• Trường hợp 2 d d

Từ giả thiết BC B C và d d nên suy ra BC = C B .
−−→ −−→
−→ −−→
−−→ −→ −−→ −−→
Suy ra CA = A C , nên BC + CA = C B + A C hayBA = AB mà A = B nên
−−→ −−→
AB A B.

Cách chuyển 2:
• Ta chọn ∆ là CC , gọi I là giao điểm của d và d và xét A2 = P 2 \CC .
18


• Trong A2 thì ta có IB B N, AP IB , BN IB, IA A P nên IBN B , IAP A là
các hình bình hành. Định lí trên trở thành định lí sau.
Định lý 2.1.3. Cho hai hình bình hành IBN B ,IAP A với A, A tương ướng thuộc
IB,IB . Gọi M = AB ∩ BA . Khi đó M, N, P thẳng hàng.
Chứng minh:

Để chứng minh M, N, P thẳng hàng ta dùng phương pháp vectơ, nghĩa là chứng minh
−−→
−−→
N P = aM B.
Vì I, A, B thẳng hàng và I, A , B thẳng hàng và M = AB ∩ BA nên M, B , A và
M, B, A cũng là các bộ ba điểm thẳng hàng. Do vậy ta đặt:
−→
−
→
IB = tIA
−→
−→
IB = k IA
−−→
−−→
AM = αAB
−−→
−−→
BM = β A B
−−→
−→ −
−−→
−−→ −
→
→
Từ (2.1.5): AM = αAB ⇔ IM − IA = α(IB − IA)
−→
−→
−−→

⇔ IM = αIB + (1 − α)IA
(theo(2))
−→
−−→
−
→
⇔ IM = αk IA + (1 − α)IA

(2.1.5)
(2.1.6)
(2.1.7)
(2.1.8)

(2.1.9)

Tương tự từ (2.1.6) ta có :
−→
−−→
−
→
IM = βtIA + (1 − β)IA
19

(2.1.10)


−→
−
→ −→
−−→

−
→
Vì IA, IA không cộng tuyến nên IM biểu diễn qua IA và IA là duy nhất nên từ
(5), (6) ta có hệ:


1 − α = βt

1 − β

⇔






= αk
1−k

α =



β

(2.1.11)

1 − αk

= 1 − αk

Thay (2.1.7) vào(2.1.8) ta đươc:




1 − t −→
1−t −
−−→
→
 IA
IM =
k IA + 1 −
1 − kt
1 − kt
1 − t −→ t(1 − k)−
→
−−→
k IA +
IA
⇔ IM =
1 − kt
1 − kt

(2.1.12)

Mặt khác ta lại có :
−→ −→ −→
IN = IB + IB

(quy tắc hình bình hành)

−→
−→
−
→
⇔ IN = tIA + k IA

(2.1.13)

−→ −
→ −→
IP = IA + IA

(2.1.14)

Và

Trừ vế với vế của (2.1.13) cho (2.1.14) ta được
−→
−−→
−
→
P N = (t − 1)IA + (k − 1)IA .

(2.1.15)

Trừ vế với vế của (2.1.12) cho (2.1.14) ta được:
−→

1−t
t(1 − k) −→
k − 1 IA +
IA
1 − kt
1 − kt




1−t
t(1 − k) −
−→
→
 IA.
= 
k − 1 IA + 
1 − kt
1 − kt

−−→
PM =

−−→
−−→
−−→
−−→
Từ (2.1.15),(2.1.16) ta có P N = aP M hay N P = aM P với a = 1 − k.
Vậy ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Cách chuyển 3:
20

(2.1.16)


• Ta chọn AC là đường thẳng ∆ và xét A2 = P 2 \AC .
• Trong A2 ta có BCM B , BN A B . Khi đó ta có định lý sau trong hình học sơ
cấp.
Định lý 2.1.4. Tứ giác BCB A (BC không song song với A B ). Từ B kẻ song song
với BC giao BA tại M , từ B kẻ song song với A B giao CB tại N thì M N A C.

Cách chuyển 4:
• Ta chọn đường thẳng ∆ là đường thẳng không chứa bất kỳ điểm nào của bài toán
và xét trong A2 = P 2 \∆.
• Trong A2 các quan hệ giữa các cặp cạnh trong định lý trên được giữ nguyên và ta
có định lý Papuýt trong hình sơ cấp phát biểu như sau.
Định lý 2.1.5. Ba điểm phân biệt A, B, C nằm trên đường thẳng a và ba điểm phân
biệt A , B , C nằm trên đường thẳng b.M = AB ∩BA , N = AC ∩CA , P = BC ∩CB
thì ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Nhận xét: Từ định lý ban đầu trong hình học xạ ảnh, chúng ta có thể chọn các
đường thẳng ∆ khác nhau nên ta có thể chuyển định lý đó thành nhiều định lý khác
nhau trong hình sơ cấp mà các định lý này nói về quan hệ song song hoặc tính thẳng
hàng của hệ điểm. Ví dụ như định lý 3, 4 trên được nhắc đến trong Nâng cao và phát
triển 7 - tập 1, 2 NXB GD, 2004. Mặt khác, định lý 1,2 được chứng minh bằng phương
21


pháp vectơ được học trong chương trình hình học 10, tức là từ một bài toán xạ ảnh ta
có thể chuyển thành các bài toán sơ cấp phù hợp với các cấp học khác nhau.

2.1.2

Định lý Mênêlauýt và Định lý Xêva

Chúng ta tiếp tục xét với định lý Mênêlauýt:
Định lý 2.1.6 (Định lý Mênêlauýt). Trong P 2 cho ba điểm không thẳng hàng A1 , A2 , A3
và một đường thẳng d không đi qua ba điểm đó cắt các đường thẳng A2 A3 , A3 A1 , A1 A2
tương ứng tại K1 , K2 , K3 . Gọi L1 , L2 , L3 lần lượt là các điểm tương ứng trên các đường
thẳng A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 (khác A1 , A2 , A3 ). Điều kiện cần và đủ để ba điểm L1 , L2 , L3
thẳng hàng là:
[A2 A3 K1 L1 ].[A3 A1 K2 L2 ].[A1 A2 K3 L3 ] = 1
Cách chuyển:
• Ta chọn d là đường thẳng vô tận và xét A2 = P 2 \d.

22


• Lúc đó trong A2 thì K1 , K2 , K3 là các điểm vô tận và ta có
1
[A2 A3 K1 L1 ] =

[A2 A3 L1 ]

=

1
[A3 A1 K2 L2 ] =

[A3 A1 L2 ]

=

1
[A1 A2 K3 L3 ] =

[A1 A2 L3 ]

=

L1 A2
L1 A3
L2 A3
L2 A1
L3 A1
L3 A2

,

,

.

• Định lý Mênêlauýt trong hình học sơ cấp được phát biểu lại như sau.
Định lý 2.1.7. Cho tam giác ABC, ba điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB.
MB NC P A
Ba điểm M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi

MC NAP B

= 1.

Chứng minh:

Điều kiện cần:
∆ABC; M ∈ BC, N ∈ CA, P ∈ AB; M, N, P thẳng hàng. Chứng minh:
MB NC P A
MC NAP B

23

=1


Từ A kẻ AQ BC, Q ∈ M N , ta có:
AN

AQ
MC

=

NC

AQ
MB

⇒
⇒

AP

=

AP N C
P B NA

PB

AQ M C
=

M B AQ

MC
=

MB

M B N C AP
MC NAP B

= 1.

Điều kiện đủ:
∆ABC; M ∈ BC, N ∈ CA, P ∈ AB;

MB NC P A
MC NAP B

= 1.

Chứng minh M, N, P thẳng hàng.
Giả sử P N ∩ BC = M , theo định lý Mênêlauýt phần thuận ta có:

M B NC P A
M C NAP B

= 1.

M B N C AP
Theo giả thiết phần đảo ta có :

MC NAP B
⇒ M ≡ M hay M, N, P thẳng hàng.

= 1.

Định lý được chứng minh.

Bây giờ, chúng ta sẽ chuyển định lý Xêva sang mặt phẳng affine. Định lý Xêva trong
mặt phẳng xạ ảnh được phát biểu như sau:
Định lý 2.1.8 (Định lý Xêva). Trong P 2 cho ba điểm không thẳng hàng A1 , A2 , A3
và một đường thẳng d không đi qua ba điểm đó cắt các đường A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 tương
24


ứng tại K1 , K2 , K3 . Gọi L1 , L2 , L3 lần lượt là các điểm tương ứng trên các đường thẳng
A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 (khác A1 , A2 , A3 ). Điều kiện cần và đủ A1 L1 , A2 L2 , A3 L3 đồng quy
tại một điểm là:
[A2 A3 K1 L1 ].[A3 A1 K2 L2 ].[A1 A2 K3 L3 ] = −1
.

Cách chuyển:
• Ta chọn d là đường thẳng vô tận và xét A2 = P 2 \d.
• Lúc đó trong A2 thì K1 , K2 , K3 là các điểm vô tận và ta có
[A2 A3 K1 L1 ] =

L1 A2
1
=
,
[A2 A3 L1 ]
L1 A3

[A3 A1 K2 L2 ] =

1
L2 A3
=
,
[A3 A1 L2 ]
L2 A1

[A1 A2 K3 L3 ] =

1
L3 A1
=
.
A1 A2 L3
L3 A2

Định lý Xêva trong hình sơ cấp phát biểu như sau.
Định lý 2.1.9. Cho tam giác ABC, ba điểm E, F, G lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB.
Khi đó ba đường thẳng AE, BF, CG đồng quy khi và chỉ khi
EB F C GA
EC F A GB

= −1.

Chứng minh:
Ta chứng minh định lý này bằng phương pháp đại số.

Điều kiện cần: ∆ABC; E ∈ BC, F ∈ CA, G ∈ AB; AE, BF, CG đồng quy.
25