Phân rã một số bài toán biên của phương trình song điều hòa về dãy các bài toán cấp hai nhờ toán tử đối xứng, xác định dương, compact trên không gian Sobolev
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.29 MB, 51 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
VŨ QUỐC HUY
PHÂN RÃ MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƢƠNG TRÌNH
SONG ĐIỀU HÒA VỀ DÃY CÁC BÀI TOÁN CẤP HAI
NHỜ TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG, XÁC ĐỊNH DƢƠNG, COMPACT
TRÊN KHÔNG GIAN SOBOLEV
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
VŨ QUỐC HUY
PHÂN RÃ MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƢƠNG TRÌNH
SONG ĐIỀU HÒA VỀ DÃY CÁC BÀI TOÁN CẤP HAI
NHỜ TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG, XÁC ĐỊNH DƢƠNG, COMPACT
TRÊN KHÔNG GIAN SOBOLEV
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. LÊ TÙNG SƠN
THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả trình bày trong luận văn là trung thực và chưa từng
được công bố trong bất cứ công trình nào. Tài liệu tham khảo và nội dung
trích dẫn đảm bảo sự trung thực và chính xác, tuân thủ các quy định về
quyền sở hữu trí tuệ.
Tác giả
Vũ Quốc Huy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm - Đại
học Thái Nguyên dưới sự đề xuất hướng nghiên cứu, động viên thường xuyên
và tận tâm chỉ bảo nghiêm túc về chuyên môn của TS. Lê Tùng Sơn. Tôi xin bày
tỏ lòng biết ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các
thầy cô giáo trong tổ Giải tích, các thầy cô giáo trong trường Đại học sư phạm
- Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,
Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hòa Bình, trường THPT Lạc Sơn – Hòa Bình đã
tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và hoàn thành
bản luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp, gia đình và người
thân đã động viên khuyến khích và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Học viên
Vũ Quốc Huy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................iii
BẢNG KÍ HIỆU ................................................................................................... iv
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................... 5
1.1. Không gian Sobolev ..................................................................................... 5
1.2. Tổng quan ngắn về bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính cấp hai và cấp bốn .................................................................... 11
Chƣơng 2: SỰ PHÂN RÃ MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƢƠNG
TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA VỀ DÃY CÁC BÀI TOÁN CẤP HAI NHỜ
TOÁN TỬ .......................................................................................................... 21
2.1. Lược đồ chung ............................................................................................ 21
2.2. Sự phân rã của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình song điều
hòa về dãy các bài toán các bài toán cấp hai ............................................. 22
2.3. Sự phân rã của bài toán biên thứ hai đối với phương trình song điều
hòa về dãy các bài toán các bài toán cấp hai ............................................. 34
KẾT LUẬN CHUNG ......................................................................................... 43
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................ 44
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
iv
BẢNG KÍ HIỆU
Rn
- Không gian Euclide n chiều.
Ω
- Miền giới nội trong không gian R n .
- Biên trơn Lipschitz.
Ck ( )
- Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục.
C0 ( )
- Không gian các hàm khả vi vô hạn lần có giá compact.
L2 ( )
- Không gian các hàm đo được bình phương khả tích.
H s( )
- Không gian Sobolev với chỉ số s.
1
2
H (
)
- Không gian Sobolev với chỉ số
1
- Không gian đối ngẫu với H0 ( ) .
H 1( )
1
2
H (
H01( )
V
.,.
V
1
.
2
)
1
2
0
- Không gian đối ngẫu với H (
).
- Không gian các hàm có vết bằng không trên
.
- Chuẩn xác định trên không gian V.
- Tích vô hướng xác định trên không gian V.
C( )
- Hằng số vết.
C( )
- Hằng số Poincare.
E
- Ma trận đơn vị.
I
- Toán tử đơn vị.
P1
- Toán tử chiếu lên thành phần thứ nhất.
P2
- Toán tử chiếu lên thành phần thứ hai.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
1
MỞ ĐẦU
Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu là phương trình song
điều hòa và phương trình kiểu song điều hòa là các lớp phương trình mô tả
nhiều bài toán trong cơ học, vật lý, kỹ thuật,…
Nhiều bài toán cơ học, chẳng hạn như bài toán về độ võng của bản mỏng
dưới tác động của tỉ trọng (xem [ 24], [25]), các bài toán về lý thuyết đàn hồi
phẳng (xem [11]), các bài toán về dòng chảy (xem [15], [21])… dẫn đến việc
giải phương trình song điều hòa
∆2u = f ,
(1)
trong đó ∆ là toán tử Laplace trên một miền nào đó với các điều kiện biên.
Các bài toán dẫn đến phương trình (1) đã và đang thu hút sự quan tâm của
nhiều nhà nghiên cứu. Đã có nhiều hướng tiếp cận khác nhau tới việc giải các bài
toán biên cho các phương trình trên. Năm 2003, một bài tổng quan lớn của
Meleshko (xem [20]) đã được đăng tải trên “ Applied Mechanics Review” của
Hội kỹ sư cơ học Mỹ, trong đó tác giả đã hệ thống, tổng kết khá nhiều phương
pháp mà các nhà nghiên cứu cơ học đã sử dụng để giải bài toán song điều hòa
hai chiều như phương pháp hàm Green, phương pháp hàm phức và một số
phương pháp gần đúng giải tích như phương pháp chuỗi Fourier, phương pháp
Ritz, phương pháp Bubnov – Galerkin với các hàm cơ sở được chọn là các hàm
trơn đối với một số miền đặc biệt như hình chữ nhật, hình ellip,…
Trong khoảng thời gian gần ba chục năm trở lại đây, nhiều phương pháp
mới hữu hiệu hơn cho việc giải phương trình (1) đã được nghiên cứu và phát
triển trong các công trình của nhiều nhà toán học như phương pháp phần tử hữu
hạn (xem [5]), phương pháp sai phân (xem [13], [14], [18], [25]).
Các phương trình kiểu song điều hòa
∆2u + bu = f , (b>0),
∆2u -a∆u + bu = f , (a>0, b>0),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
(2)
(3)
/>
2
mô tả sự uốn của bản trên nền đàn hồi cũng đã được Benzine (1988) (xem [3]),
Katsikadelis và Kallivokas (1988) giải bằng phương pháp tích phân biên (xem
[17]), Bjorstad và Bjorn (1997) trong [4] sau khi rời rạc hóa (3) với điều kiện
u
= 0 bằng phương pháp phổ Galerkin dựa trên đa thức được sự phát
n
biên u =
triển từ Shen, đã xây dựng được thuật toán O(N3).
Ý tưởng đưa việc giải bài toán Dirichlet cho phương trình song điều hòa
về dãy các bài toán đối với phương trình Poisson được thực hiện đầu tiên bởi
Palsev (1966), Meller (1968) và Dorodnitsyn (1971) (xem [21], [22], [23]).
Trong [16], Glowinski (1979) khi nghiên cứu việc giải lặp bài toán biên
Dirichlet đối với phương trình song điều hòa
∆2ψ= f, (x,y)
g1 ,
n
Ω
g2 ,
trên miền giới nội Ω R 2 với biên
mô tả sự uốn của bản đàn hồi,
=
đã đưa bài toán trên về dãy các bài toán cấp hai. Năm 1994, trong [8], Đặng
Quang Á khi nghiên cứu bài toán biên Dirichlet đối với phương trình kiểu song
điều hòa
2
Lu
u
g1,
u a u bu
u
n
f ,x
,
(4)
g 2,
trong đó Ω là miền giới nội trong n với biên
0, a
0, b
0, a 2
4b
0
=
đủ trơn,
đã đưa được bài toán trên về dãy các bài toán cấp hai
đối với phương trình elliptic
L2 v
v
v b
,
v, x
,
v0,
L1u
u
f ,x
u u
u0 ,
1
a
a 2 4b ,
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
trong đó
/>
3
Năm 1999, trong [11], Đặng Quang Á cũng đã có được những kết quả
tương tự khi nghiên cứu các bài toán biên của phương trình song điều hòa với
điều kiện biên hỗn hợp
2
u
u
f ,x
0,
,
u
n
trong đó Ω là miền giới nội trong ¡
1
m
0, u
2
0,
với biên đủ trơn, Γ1 và Γ2 là hai phần
biên không giao nhau của Γ , Γ = Γ1 U Γ2 .
Gần đây hơn là các kết quả nghiên cứu của Đặng Quang Á, Lê Tùng Sơn
năm 2006 đối với bài toán biên của phương trình kiểu song điều hòa với điều
kiện biên không hỗn hợp
2
u a u bu f , x
u
u
g0 ,
g1 ,
n
,
năm 2007 [12] đối với bài toán biên của phương trình kiểu song điều hòa với
điều kiện biên hỗn hợp
2
u
u bu
f ,x
,
u
g0 ,
g1 , u
n 1
2
g2 ,
vv,…
Theo hướng nghiên cứu các bài toán trên tôi chọn đề tài ‘‘Phân rã một
số bài toán biên của phƣơng trình song điều hòa về dãy các bài toán cấp
hai nhờ toán tử đối xứng, xác định dƣơng, compact trên không gian
Sobolev”.
Nội dung luận văn gồm 2 chương:
Chương 1 trình bày hệ thống các kiến thức chuẩn bị, các kết quả bổ trợ
bao gồm một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev, định tính của bài toán
biên đối với phương trình elliptic cấp hai, định tính của bài toán biên đối với
phương trình kiểu song điều hòa. Khối kiến thức cơ bản và các kết quả trong
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
4
chương 1 được sử dụng và làm cơ sở cho các kết quả nghiên cứu trình bày
trong chương 2.
Chương 2 đưa ra các kết quả nghiên cứu về việc phân rã hai bài toán cụ
thể về dãy các bài toán cấp hai mà quan hệ nghiệm của bài toán gốc và nghiệm
của bài toán phân rã được thông qua phương trình toán tử.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
5
Chng 1
CC KIN THC CHUN B
Cỏc kin thc trỡnh by trong chng ny s dng trong cỏc chng
sau c tham kho t cỏc ti liu [1], [2], [6].
1.1. Khụng gian Sobolev
1.1.1. Khụng gian W1, p ([6])
nh ngha 1.1.1.1. Cho l mt min gii ni trong R n , p
R,1
p
,
ta
nh ngha
Lp ( ) =
{f : đ
R f o c v
ũ
p
f (x) dx < + Ơ }
LƠ ()= {f : đ Ă f o c v tn ti C ẻ Ă
*
+
Sao cho f (x) < C vi hu ht x ẻ }.
p
Lloc
()=
{f : đ Ă
f ẻ Lp (U ) vi bt k tp m U m U è }.
nh lý 1.1.1.2. Cho p ẻ Ă ,1 Ê p Ê + Ơ , LP ( ) l mt khụng gian Banach
vi chun
1
ớù
p
ùù
ổ
ử
ỗỗ f x p dx ữ
ùù
ữ
, p<+Ơ
(
)
ữ
ỗỗũ
ữ
f LP () = ỡ
,
ữ
ố
ứ
ùù
ùù
ùùợ inf {C, f (x ) Ê C,x ẻ }, p=+Ơ
vi p = 2, L2() l mt khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng
( f ,g )=
ũ f (x)g (x)dx.
nh lý 1.1.1.3. Khụng gian L2() l tỏch c vi 1 Ê p < + Ơ ,li u vi
1
p, ngha l
1
1
= 1pÂ
p
S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN
nu 1 < p < + Ơ ,
/>
6
p ¢= 1 nếu p = + ¥ ,
nếu p = 1.
p¢= + ¥
Khi đó
ò
f (x)g (x) dx £ f
Lp (Ω)
.g
¢
Lp (Ω )
, " f Î Lp (Ω),g Î Lp¢(Ω ).
Ω
Với p = 2 ta có bất đẳng thức Cauchy – Schwartz.
Hệ quả 1.1.1.5. Với 1 £ p £ q £ + ¥
thì Lq (Ω )Ì Lp (Ω ) và
f
Lp (Ω )
£ C f
Lq (Ω )
,
trong đó hằng số C phụ thuộc vào p, q.
*,
Định lý 1.1.1.6. Cho 1 £ p £ + ¥ , và p ¢ là số liên hợp với p, f Î éëêLp (Ω )ùúû khi đó
tồn tại duy nhất g Î Lp¢(Ω) sao cho
( f ,φ)éêL (Ω)ùú ,L (Ω) =
ë
hơn nữa g
¢
Lp (Ω )
= f
p
*
p
û
ò g (x)φ(x)dx , " φ Î
Lp (Ω ),
Ω
[Lp (Ω )]*
1.1.2. Đạo hàm suy rộng và không gian Wm,p(Ω) ([2],[19])
Cho Ω là một miền giới nội trong ¡ n , (n=1,2,…), kí hiệu
Dα =
là đa chỉ số với các thành phần
¶ α1 + α2 + ...+ αn
, α = (α1 ,α2 ,...,αn )
¶ x1α1 x2α2 ...xnαn
αi
là các số nguyên không âm,
α = α1 + α2 + ... + αn , p ³ 1, f Î Lp (U ) với mọi tập con mở U Ì Ω, U Ì Ω và C0¥ (Ω )
là tập các hàm f khả vi vô hạn lần trên Ω sao cho supp f Ì Ω trong đó suppf là
giá của hàm f.
Cho u,ω Î L1loc (Ω ) thì ω được gọi là đạo hàm suy rộng của u bậc α nếu
α
ò uD φdx = (- 1) ò ωφdx, với φ Î
α
Ω
C ¥ (Ω ) .
Ω
Kí hiệu ω = Dαu .
Định nghĩa 1.1.2.1. Không gian Sobolev W m,p (Ω ), trong đó m là một số
nguyên dương, được xác định bởi
W m,p (Ω)= u u Î Lp (Ω),Dαu Î Lp (Ω ), " α, α £ m ,
{
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
}
/>
7
vi m = 0, t W 0,p ( ) = Lp ( ), vi p=2, kớ hiu W m,2 ( ) = H m ( ).
nh lý 1.1.2.2. Khụng gianW m,p ( ) l khụng gian Banach tng ng vi chun
ổ
f W m ,p () = ỗỗỗồ D f
ỗố Ê m
1
p
ử
p
ữ
ữ
,1 Ê p < + Ơ .
ữ
Lp ( ) ữ
ữ
ứ
Khụng gian H m () l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng
( f ,g )H
m
()
=
ồ (D
f ,D g ) 2
L ()
Ê m
, " f ,g ẻ H m ( ).
nh lý 1.1.2.3. (The Sobolev imbedding Theorem) Cho l mt min gii
ni trong Ă n cú biờn kh vi lp C1. Khi ú
ộ 2n ự
ỳ,
ờở n - 2 ỳ
ỷ
a)Nu n 3 thỡ H 1 ( )è Lq (), q ẻ ờ1,
b)Nu n = 2 thỡ H 1 ( )è Lq ( ), q 1,
c) H ( )è C
m
ộ n ự
ờm- - ỳ
ờở 2 ỳỷ
( ), > 0,
trong ú cỏc toỏn t nhỳng trong a), b), c) l compact.
H qu 1.1.2.4. Vi m1 > m > 0, ta cú
H m1 ( )è H m ( )è L2 ( ) = H 0 ( ).
nh lý 1.1.2.5. (V tớnh trự mt) Cho 1 Ê p < + Ơ , D (Ă
compact trong Ă
n
khi ú D (Ă
n
n
) l tp cỏc hm cú giỏ
)trự mt trong W 1,p (Ă n ),hn na nu
ả l
liờn
tc Lipschitz thỡ D () trự mt trong W 1,p ( ) .
nh lý 1.1.2.6. (nh lý v s thỏc trin) Gi s ả l liờn tc Lipschitz, khi
ú tn ti mt toỏn t thỏc trin tuyn tớnh liờn tc P t H 1 ( ) vo H 1 (Ă
tha món
i)
Pu = u trờn
ii)
Pu L2 (Ă n ) Ê C u
iii)
Pu
( n)
H1 Ă
ÊC u
L2 ( )
,
H 1()
.
S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN
/>
n
)
8
1.1.3. Không gian H s (Ω ), s Î ¡ .
Trong mục này, ta đưa ra định nghĩa các không gian H s (Ω ) với s không
nguyên. Xét không gian
S (¡
n
)= {u Î
C ¥ (¡
n
}
x α D β u £ Cα ,β ,
) " α, β, $Cα ,β > 0,
trong đó x = (x1 ,x2 ,...,xn )Î ¡ n , x α = x1α x2α ...xnα . Trong S (¡
2
u S (¡ n ) =
1
2
ò (1 +
ξ
¡
$u
n
2 s
) $u (ξ )
2
dξ ,
n
) xét chuẩn sau
(*)
n
là biến đổi Fourier của u tại điểm ξ ,
n
$u (ξ ) = (2π )- 2 e- i(x,ξ )u (x)dx.
ò
¡
n
Định nghĩa 1.1.3.1. Không gian Sobolev H s (¡
H s (¡
n
n
) với
s Î ¡ được xác định bởi
)= S (¡ n ),
trong đó bao đóng được lấy theo chuẩn (*).
Định nghĩa 1.1.3.2. Không gian Sobolev H 0s (Ω ), trong đó Ω là một miền giới
nội nào đó trong ¡
n
được xác định bởi
H 0s (Ω )= C0¥ (Ω ),
trong đó C0¥ (Ω ) là tập các hàm khả vi vô hạn lần có giá compact trên Ω và bao
đóng được lấy theo chuẩn (*).
Định nghĩa 1.1.3.3. Không gian Sobolev H s (Ω ) với s Î ¡ được xác định bởi
{
H s (Ω ) = u $u%Î H s (¡
trong đó
u
H s (Ω )
n
= °inf u%
u
Ω=
u
% ) = (u,φ), " φ Î
),u% Ω = u,(u,φ
}
C0¥ (Ω )
( n)
Hs ¡
1.1.4. Vết của hàm trên biên ([6])
Định lý 1.1.4.1. (Định lý Vết) Giả sử Ω là một miền mở trong ¡
n
có biên ¶ Ω
là liên tục Lipschitz, khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục
γ : H 1 (Ω ) ® L2 (¶ Ω )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
9
sao cho với bất kỳ u Î H 1 (Ω)Ç C 0 (Ω) ta có γ (u ) = u
¶Ω
.
Hàm γ (u ) được gọi là Vết của u trên ¶ Ω .
Định lý 1.1.4.2. Giả sử ¶ Ω là liên tục Lipschitz, khi đó
1
i) H 2 (¶ Ω ) là một không gian Banach với chuẩn
u
2
2
=
1
H 2 (¶ Ω )
ò u (x) ds + ò ò
u (x)- u ( y )
x
¶Ω
¶Ω ¶Ω
2
x- y
ds x ds y .
ii) Tồn tại một hằng số Cγ (Ω ) sao cho
γ (u ) H 12
(¶ Ω )
£ cγ (Ω ) u
H 1(Ω )
, " u Î H 1 (Ω ) .
Cγ (Ω ) được gọi là hằng số Vết.
1
iii) Nhúng H 2 (¶ Ω )Ì L2 (¶ Ω ) là compact.
iv) Tập {u
1
¥
¶ Ω ,u Î C (¡
n
)}
trù mật trong H 2 (¶ Ω )
v)Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
1
g Î H 2 (¶ Ω ) ® u g Î H 1 (Ω ),
với γ (ug ) = g và tồn tại một hằng số C1 (Ω ) chỉ phụ thuộc và miền Ω sao cho
1
ug
£ C1 (Ω ) g
H 1(Ω )
1
H2
, " g Î H 2 (¶ Ω ) .
(¶ Ω )
Định lý 1.1.4.3. (Công thức Green) Giả sử ¶ Ω liên tục Lipschitz, cho
u,v Î H 1 (Ω ) ,
khi đó
¶v
¶u
i
i
ò u ¶ x dx = - ò v ¶ x
Ω
Ω
dx +
ò γ (u )γ (v)n ds,
i
¶Ω
với 1 £ i £ N , trong đó n = (n1 ,n2 ,...,nN ) là vectơ pháp tuyến ngoài của Ω.
Định lý 1.1.4.4. (Bất đẳng thức Poincare) Tồn tại một hằng số
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
CΩ
sao cho
/>
10
u
L2 ( )
Ê C ẹ u
L2 ( )
, " u ẻ H 01 ( )
ổả u ả u
ử
ảu ữ
ữ
,
,...,
,C l hng s ph thuc vo ng kớnh ca ,
ữ
ả xn ữ
ốỗả x1 ả x2
ứ
trong ú ẹ u = ỗỗỗ
c gi l hng s Poincare v
{
}
H 01 ()= u u ẻ H 1 ( ), (u )= 0 .
Bt ng thc Poincare cú ý ngha: u = ẹ u
L2 ( )
l mt chun trờn
H 01 ( ) tng ng vi chun ca H 1 ( ) ó c xỏc nh.
1
-
1.1.5. Khụng gian H - 1 ( ) v H 2 (ả )([6]).
nh ngha 1.1.5.1. Ta kớ hiu H - 1 ( ) l mt khụng gian Banach c xỏc
nh bi H - 1 ( ) = (H 01 ( ))Â vi chun
u
L2 ( )
Ê C ẹ u
L2 ( )
nh lý 1.1.5.2. Cho F ẻ H - 1 ( ) thỡ tn ti (n+1) hm
n
sao cho
F = f0 +
ồ
i= 1
trong L2 ( )
f 0 , f1 ,..., f n
ả fi
ả xi
theo ngha phõn b v ng thi
F
n
2
H
- 1
= inf
( )
ồ
fi
2
L2 ( )
,
i= 0
n+ 1.
trong ú infimum ly trờn tt c cỏc vect ( f0 , f1 ,..., f n ) ẻ ộờởL2 ( )ựỳỷ .
-
1
nh ngha 1.1.5.3. Gi s ả liờn tc Lipschitz, ta ký hiu H 2 (ả )l mt
khụng gian Banach c xỏc nh bi
H
-
1
2
(ả ) =
ổ 1
ửÂ
ỗỗH 2 (ả )ữ
ữ
ữ
ỗỗố
ữ
ứ
vi chun tng ng
S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN
/>
11
F ,u
F
1
H 2
(¶ Ω )
=
sup
1
H2
\ 0}
(¶ Ω ){
H
u
-
1
2
1
(Ω),H 2 (Ω)
1
H2
.
(Ω)
1.2. Tổng quan ngắn về bài toán biên đối với phƣơng trình đạo hàm riêng
tuyến tính cấp hai và cấp bốn
Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2m của ẩn hàm
u (x),x = (x1 ,x2 ,...,xn )Î Ω Ì ¡ n , trong đó Ω là miền giới nội với biên Γ = ¶ Ω
Au =
å
aα (x)D α u = f (x ),
(1.1)
α £ 2m
trong đó α = (α1 ,...,αn ),α j Î ¥ , α = α1 + ... + αn , j = 1, 2,...,n.
Dα =
¶
α
¶ αx11 ¶ αx 22 ...¶ αxnn
,
aα (x), f (x ) là các hàm cho trước, A là một toán tử vi phân tuyến tính. Với
m = 1 , (1.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, với m = 2 , (1.1) là phương
trình đạo hàm riêng cấp 4.
Giả thiết nghiệm của (1.1) được xét trong Ω Ì ¡ n . Bài toán tìm nghiệm
của (1.1) sao cho trên biên Γ = ¶ Ω của Ω, nghiệm u(x) thỏa mãn một số điều
kiện biên sau đây
B j (u ) Γ = g j , j = 0,1,...,m - 1,
(1.2)
được gọi là bài toán biên (1.1), (1.2).
Định lý 1.2.1. (Định lý Lax – Milgram) ([6]). Giả sử V là không gian Hilbert,
dạng song tuyến tính a(.,.): V ´ V ® ¡
liên tục và V - elliptic theo nghĩa
2
$ α > 0, " v Î V ,a (v,v)³ α v , và f :V a ¡ là dạng tuyến tính liên tục. Khi đó bài
toán biến phân trừu tượng: tìm u Î V sao cho
a (u,v) = f (v), " v Î V
có nghiệm duy nhất.
1.2.2. Bài toán biên đối với phƣơng trình elliptic cấp hai ([6])
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
12
Bài toán 1.2.2.1. (Bài toán Dirichlet) Giả sử A(x) = (aij (x ))n´ n , f Î H 1 (Ω ) xét bài
toán sau, gọi là bài toán Dirichlet thuần nhất
íï - div (A(x )Ñ u (x)) = f (x ),x Î Ω
ï
ì
ïï
u (x) = 0,x Î ¶ Ω
ïî
(1.3)
Dạng biến phân của bài toán trên là tìm u Î H 01 (Ω ) thỏa mãn
a (u,v ) = f ,v
H 1 (Ω ),H 01
, " v Î H 01 (Ω ),
(1.4)
trong đó
n
a (u,v) =
¶u ¶v
dx =
i ¶ xj
å ò a (x)¶ x
ij
i , j= 1 Ω
ò AÑ uÑ vdx , " u,v Î
H 1 (Ω).
Ω
n´ n
Bổ đề 1.2.2.2. Giả sử ¶ Ω khả vi lớp C1. Cho A Î (C1 (Ω )) , f Î C 0 (Ω ) và
u Î C 2 (Ω). Khi đó u là nghiệm của bài toán (1.3) nếu u là nghiệm của (1.4).
n´ n
Kí hiệu M (α, β,Ω ) là tập hợp các ma trận (aij (x))n´ n Î (L¥ (Ω)) với
α, β Î ¡ ,0 < α < β
thỏa mãn
íï (A(x) λ,λ)³ α λ 2 ,
ï
ì
ïï A(x) λ £ β λ ,
ïî
trong đó λ Î ¡ .
Định lý 1.2.2.3. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet thuần nhất)
Giả sử ma trận A Î M (α, β,Ω ) thì với bất kỳ f Î H - 1 (Ω), tồn tại duy nhất
nghiệm u Î H 01 (Ω ) của bài toán (1.4). Hơn nữa
u
H 01 (Ω)
£
1
f
α
H - 1(Ω)
,
trong đó
u
H 01 (Ω )
= Ñu
L2 (Ω )
,
nếu f Î L2 (Ω ) thì nghiệm này thỏa mãn ước lượng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
13
u
H 01 (Ω)
£
CΩ
f
α
L2 (Ω)
,
trong đó CΩ hằng số Poincare.
1
Cho f Î H - 1 (Ω ),g Î H 2 (¶ Ω ). Xét bài toán sau, gọi là bài toán Dirichlet
không thuần nhất
íï - div (A(x)Ñ (x)) = f (x ),x Î Ω
ï
ì
ïï
u (x) = g (x),x Î ¶ Ω.
ïî
(1.5)
Định lý 1.2.2.4. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet không thuần
nhất) Giả sử ¶ Ω liên tục Lipschitz và ma trận A Î M (α, β,Ω ). Cho
1
f Î H - 1 (Ω ),g Î H 2 (¶ Ω )
thì bài toán (1.5) tồn tại duy nhất nghiệm u Î H 1 (Ω ).
Hơn nữa
u
H 1 (Ω )
£ C1 f
H - 1(Ω )
+ C2 g
,
1
H 2 (¶ Ω )
trong đó
C1 =
2(1+ CΩ )
1+ CΩ
,C2 =
βC1 (Ω)
α
α
là hai hằng số dương phụ thuộc vào α, β,Ω .
Bài toán 1.2.2.5. (Bài toán Neumann) Cho f Î (H 1 (Ω ))¢, xét bài toán sau, gọi là
bài toán Neumann thuần nhất
íï - div (A(x)Ñ (x))+ u (x) = f (x ), x Î Ω
ïï
ïì
¶ u (x)
ïï
= 0, x Î ¶ Ω.
ïï
¶
v
A
î
¶
=
trong đó
¶ vA
n
å
i , j= 1
a ij (x)ni
(1.6)
¶
,n = (n1 ,...,nn ) là vectơ pháp tuyến ngoài tới biên
¶ xi
¶Ω .
Dạng biến phân của bài toán trên là tìm u Î H 1 (Ω ) thỏa mãn
a (u,v)= f ,v (H 1(Ω))¢,H 1(Ω) , " v Î H 1 (Ω),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
(1.7)
/>
14
trong đó
a (u,v)=
ò AÑ uÑ vdx + ò uvdx , " u,v Î
Ω
H 1 (Ω).
Ω
Định lý 1.2.2.6. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Neumann thuần nhất)
Giả sử ma trận A Î M (α, β,Ω )thì với bất kì f Î (H - 1 (Ω ))¢, tồn tại duy nhất
nghiệm u Î H 1 (Ω ) của bài toán (1.7). Hơn nữa
u
£
H 1(Ω )
1
f (H 1(Ω))¢ ,
α0
trong đó α0 = min {1,α}. Nếu f Î L2 (Ω ) thì nghiệm này thỏa mãn ước lượng
u
H 1(Ω )
£
1
f
α0
L2 (Ω )
.
1
-
Giả sử ¶ Ω liên tục Lipschitz, cho f Î L2 (Ω ),g Î H 2 (¶ Ω ). Xét bài toán
sau, gọi là bài toán Neumann không thuần nhất
íï - div (A(x)Ñ (x))+ u (x) = f (x),x Î Ω
ïï
ïì
¶ u (x)
ïï
= g (x),x Î ¶ Ω.
ïï
¶
v
A
î
(1.8)
Dạng biến phân của bài toán trên là tìm u Î H 1 (Ω ) thỏa mãn
a (u,v)=
ò fvdx +
g,v
H
-
1
2
1
(¶ Ω),H 2 (¶ Ω)
, " v Î H 1 (Ω) .
(1.9)
Ω
Định lý 1.2.2.7. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Neumann không thuần nhất)
Giả sử ¶ Ω liên tục Lipschitz và ma trận A Î M (α, β,Ω )thì với bất kì
f Î L (Ω ),g Î H
2
-
1
2
1
(¶ Ω ), bài toán (1.9) tồn tại duy nhất nghiệm u Î H (Ω ). Hơn nữa
u
£
H (Ω )
1
1
α0
(f
L2 (Ω )
+ Cγ (Ω ) g
H
-
1
2
(¶ Ω )
),
trong đó α0 = min {1,α}và Cγ (Ω ) là hằng số vết.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
15
Giả sử ¶ Ω liên tục Lipschitz,
Bài toán 1.2.2.8. (Bài toán Robin)
-
1
cho f Î L1 (Ω ),g Î H 2 (¶ Ω ) . Xét bài toán sau, gọi là bài toán Robin không
thuần nhất
íï - div (A(x)Ñ (x))+ u (x)= f (x),x Î Ω
ïï
ïì
¶ u (x)
ïï
+ du (x) = g (x),x Î ¶ Ω.
ïï
¶ vA
î
(1.10)
trong đó d Î ¡ , d ³ 0 . Dạng biến phân của bài toán trên là tìm u Î H 1 (Ω )
thỏa mãn
a (u,v)=
ò fvdx +
g,v
H
-
1
2
1
(¶ Ω),H 2 (¶ Ω)
, " v Î H 1 (Ω)
(1.11)
Ω
trong đó
a (u,v)=
ò AÑ uÑ vdx + ò uvdx +ò uvds, " u,v Î
Ω
Ω
H 1 (Ω).
¶Ω
Định lý 1.2.2.9. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Robin không thuần nhất)
Giả sử ¶ Ω liên tục Lipschitz và ma trận A Î M (α, β,Ω )thì với bất kì
f Î L2 (Ω ),g Î H
-
1
2
1
(¶ Ω ), bài toán (1.10) tồn tại duy nhất nghiệm u Î H (Ω ).
Hơn nữa
u
H 1(Ω )
£
1
α0
(f
L2 (Ω )
+ Cγ (Ω ) g
H
-
1
2
(¶ Ω )
),
trong đó α0 = min {1,α}và Cγ (Ω ) là hằng số vết.
Cho Ω là liên thông, giả sử ¶ Ω là liên tục Lipschitz, sao cho
trong đó
Γ1
và
Γ2
là hai biên rời nhau của
Ω , Γ1
¶ Ω = Γ1 È Γ2
có độ đo dương. Xét bài toán sau
gọi là bài toán Robin-Dirichlet hỗn hợp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
16
íï
ïï
ïï - div (A(x)Ñ (x)) = f (x ), x Î Ω
ïï
u (x) = 0, x Î Γ1
ì
ïï
ïï ¶ u (x)
+ du (x) = 0, x Î Γ2 .
ïï
¶ vA
ïî
(1.12)
trong đó d ³ 0 . Xét không gian
V = {u Î H 1 (Ω) γ (u )= 0,x Î Γ1 }.
Không gian này được trang bị chuẩn
u
V
= Ñu
L2 (Ω )
Cho f Î L2 (Ω ) , khi đó dạng biến phân của bài toán trên là tìm u Î V
thỏa mãn
a (u,v)=
ò fvdx , " v Î V ,
(1.13)
Ω
trong đó
a (u,v)=
ò AÑ uÑ vdx + d ò uvds, " u,v Î V .
Ω
¶Ω
Định lý 1.2.2.10. (Sự duy nhất nghiệm của bài toán Robin-Dirichlet hỗn hợp)
Cho Ω là liên thông, giả sử ¶ Ω là liên tục Lipschitz, sao cho
trong đó
Γ1
và
Γ2
là hai biên rời nhau của
Ω , Γ1
¶ Ω = Γ1 È Γ2
có độ đo dương. Cho ma trận
A Î M (α, β,Ω ), khi đó bài toán (1.13)tồn tại duy nhất nghiệm u Î V . Hơn nữa
uV£
trong đó
CΩ
CΩ
f
α
L2 (Ω)
,
là hằng số Poincare.
(Các chứng minh của các Bổ đề, Định lý trong mục 1.2.2 [6])
1.2.3. Bài toán biên đối với phƣơng trình kiểu song điều hòa ([1])
Cho V là một không gian Hilbert, ký hiệu không gian đối ngẫu của nó là
V ¢ và đặt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
17
( f ,v)= ( f ,v)V = f (v); f Î V ¢,v Î V ,
là giá trị của hàm tuyến tính liên tục f tại v . Dạng song tuyến tính ( f,v ) được
gọi là cặp đối ngẫu trên V ¢´ V . Nếu u là chuẩn trên V thì chuẩn V ¢ sẽ là
f
= Sup
*
( f ,v)
vÎ V
v
; ( f ,v ) £ f
*
v .
Theo định lý Riesz, tồn tại một đẳng cấu J :V ® V ¢. Ký hiệu ((u,v)) là
tích vô hướng trên V , đẳng cấu J được xác định bởi
((u,v))= (Ju;v), " u,v Î V
và V ¢là không gian Hilbert với tích vô hướng
((u,v))= (Ju;v), " u,v Î V .
Khi đó V là không gian Hilbert với tích vô hướng
(( f ,g ))* = (J - 1 f ; J - 1g ) = ( f ; J - 1g ), f ,g Î V ¢.
Nếu J = I là toán tử đơn vị hoặc đồng nhất ((u,v)) với các cặp đối ngẫu
( f ,v)= (( f ,v)) trên V ´ V thì V đồng nhất với
V ¢.
Trong trường hợp này ta nói
V là một không gian lõi.
Nếu H là một không gian lõi, T là một không gian Hilbert, γ Î L (V ,T )
thỏa mãn
(i) Ánh xạ γ :V ® T là toàn ánh.
(ii) V là một tập con của T với một tôpô mạnh.
(iii)Nhân V0 của γ trù mật trong H ,
thì ta có các bao hàm thức sau
(a)
(b)
V Ì H = H ¢Ì V ¢,
V0 Ì H = H ¢Ì V0¢,
trong đó các toán tử nhúng là liên tục và trù mật.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
18
Xét toán tử D 2 + λ với dạng song tuyến tính tương ứng là
a (u,v ) =
ò
Ω
D uD vdx + λ ò uvdx .
Ω
Phải chọn một không gian Hilbert V sao cho
(1) a (u,v) là liên tục và V -elliptic.
(2) Tồn tại các không gian H và T và γ Î L (V ,T ) sao cho các điều kiện
trong (i),(ii),(iii) nói trên được thỏa mãn.
Khi đó, ta có:
+ (Bài toán Neumann) Nếu chọn
V = H (Ω,D )= {u Î L2 (Ω ) D u Î L2 (Ω )}
thì a (u,v) là V -elliptic với λ > 0 .
+ Dạng a (u,v) liên tục trên H 2 (Ω ) nhưng a (u,v) không H 2 (Ω )- elliptic.
Ký hiệu
{
}
H (Ω,D ,D 2 ) = u Î L2 (Ω ) D u,D 2u Î L2 (Ω ) ,
ta có định lý
Định lý 1.2.3.1. Giả sử Ω là miền trơn và λ > 0 hoặc là λ £ 0 mà không là giá
trị riêng. Cho f Î L2 (Ω ),t0 Î H 3 2 (Γ ),t1 Î H 1 2 (Γ ). Khi đó, tồn tại duy nhất nghiệm
của một trong hai bài toán dưới đây:
1. Bài toán Neumann đối với toán tử D 2 + λ
Tìm u Î H (Ω,D ,D 2 ) thỏa mãn
D 2u + λu = f ,
γ0D u = t0 ,
γ1D u = t1 .
2. Bài toán Neumann biến phân đối với toán tử D 2 + λ
Tìm u Î H (Ω,D ) thỏa mãn
a (u,v) = ( f ,v)+ < t1 ,γ0v > - < t0 ,γ1v > , " v Î H (Ω,D ) .
Xét không gian H 2 (Ω,D 2 ) được xã định bởi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
19
{
}
H 2 (Ω,D 2 ) = u Î H 2 (Ω) D 2u Î L2 (Ω )
Định lý 1.2.3.2. Giả sử Ω là miền trơn và λ > 0 , cho
f Î L2 (Ω ) ,
t0 Î H 1 2 (Γ ), t1 Î H - 3 2 (Γ ) . Khi đó, tồn tại duy nhất nghiệm u Î H 2 (Ω,D 2 ) của bài
toán sau
D 2u + λu = f ,
γ1D u = t0 ,
γ1D u = t1 .
Chú ý: Toán tử D 2 - D + 1 có dạng song tuyến tính tương ứng được xác định bởi
a (u,v) =
ò
Ω
D uVvdx +
ò
Ω
Ñ u.Ñ vdx +
ò
Ω
uvdx .
Nếu chọn V = H 1 (Ω,D ) = {u Î H 1 (Ω) D u Î L2 (Ω)} thì a (u,v) là liên tục V
- elliptic.
Với
γ0 ,γ1
là các toán tử Vết
γ0 : H 1 (Ω,D ) ® H 1 2 (Γ )
γ1 : H 1 (Ω,D ) ® H - 1 2 (Γ ) ,
thì nhân của γ = (γ0 ,γ1 ) là H 02 (Ω ) trù mật trong L2 (Ω ).
Gọi S là ảnh của H 1 (Ω,D ) qua γ thì
H 3 2 (Γ )´ H 1 2 (Γ )Ì S Ì H 1 2 (Γ )´ H - 1 2 (Γ ) .
Khi đó, toán tử tương ứng với a (u,v) là D 2 - D + 1 có miền xác định
H 1 (Ω,D ,D 2 ) được xác định bởi
{
}
H 1 (Ω,D ,D 2 ) = u Î H 1 (Ω) D u,D 2u Î L2 (Ω) .
trong trường hợp riêng, nếu f Î L2 (Ω ),t0 Î H 1 2 (Γ ),t1 Î H - 1 2 (Γ )
thì tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Neumann sau
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
