Bài giảng toán học cao cấp c1 đại học

Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP C1 ĐẠI HỌC
(Số đvhp: 2 – số tiết: 30)
Chương 0. Bổ túc kiến thức cơ bản
Chương 1. Tích phân suy rộng và chuỗi số
Chương 2. Hàm số nhiều biến số
Chương 3. Một số bài toán kinh tế
Chương 4. Phương trình vi phân cấp 1 và tích phân bội hai cơ bản

Biên soạn: Đoàn Vương Nguyên

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1 – C1 – ĐH Công nghiệp TP. HCM.
2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2, 3) – NXB Giáo dục.
3. Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2 – ĐH Kinh tế TP. HCM.
4. Lê Quang Hoàng Nhân – Toán cao cấp – ĐH Kinh tế - Tài chính TP. HCM – NXB Thống kê.
5. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 3, 4) – NXBĐHQG TP.HCM.
6. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1, 2) – NXB Giáo dục.
7. James Stewart, Calculus Early Transcendentals, Sixth Edition – Copyright © 2008,
2003 Thomson Brooks
8. Robert Wrede, Murray. R. Spiegel, Theory and Problems of Advanced Calculus, Second Edition –
Copyright © 2002, 1963 by The McGraw-Hill Companies, Inc
………………………………………………

Chương 0. BỔ TÚC KIẾN THỨC CƠ BẢN
0.1. Bổ túc về hàm số
0.1.1. Định nghĩa
Xét hai tập con khác rỗng D và Y của ℝ . Hàm số f là

một quy tắc (hay ánh xạ) cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ D
với duy nhất một phần tử y ∈ Y , ký hiệu là f (x )
f : ℝ ⊃ D →Y ⊂ ℝ
x ֏ y = f (x )
• Tập D được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm số f , ký hiệu là Df .
• Tập f (Df ) = {f (x ) | x ∈ Df } được gọi là miền giá trị của hàm f .
• Đồ thị của hàm f có MXĐ D là tập hợp điểm

{(x, f (x )) x ∈ D } trên mặt phẳng Oxy .

• Nếu hàm f thỏa mãn f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df thì f được gọi là hàm số chẵn.
• Nếu hàm f thỏa mãn f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df thì f được gọi là hàm số lẻ.
Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 1

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

• Hàm f được gọi là đồng biến trên (a;b ) nếu f (x 1 ) < f (x 2 ) khi x 1 < x 2 với x 1, x 2 ∈ (a;b) ; f được gọi
là nghịch biến trên (a;b ) nếu f (x 1 ) > f (x 2 ) khi x 1 < x 2 với x 1, x 2 ∈ (a;b) .
0.1.2. Hàm số hợp
Giả sử hai hàm số f và g thỏa mãn Gg ⊂ Df . Khi đó, hàm số h(x ) = ( f

g )(x ) = f (g (x )) được gọi là

hàm số hợp của f và g .
VD. Xét f (x ) = 3x 2 và g (x ) = x − 1 , ta có:
• Hàm số hợp của f và g là f (g (x )) = 3(g (x ))2 = 3x 2 − 6x + 3 .
• Hàm số hợp của g và f là g ( f (x )) = f (x ) − 1 = 3x 2 − 1 .
0.1.3. Hàm số ngược
• Hàm số f được gọi là song ánh nếu x 1 ≠ x 2 ⇔ f (x 1 ) ≠ f (x 2 ) .
• Xét hàm song ánh f có MXĐ D và miền giá trị G . Khi đó, hàm số ngược của f , ký hiệu là f −1 , có
MXĐ G và miền giá trị D được định nghĩa

f −1(y ) = x ⇔ f (x ) = y (x ∈ D, y ∈ G ) .
VD. Nếu f (x ) = 2x thì f −1(x ) = log2 x (x > 0) .
Chú ý
• MXĐ của f −1 = miền giá trị của f , và
miền giá trị của f −1 = MXĐ của f .
• Đồ thị của hàm y = f −1(x ) đối xứng với đồ thị của hàm
y = f (x ) qua đường thẳng y = x .

0.1.4. Hàm số Lượng giác ngược
0.1.4.1. Hàm số y = arcsin x

 π π
arcsin x = y ⇔ sin y = x , y ∈ − ; 
 2 2



 1

1
VD. Tính arcsin −  và cot arcsin  .

4 
 2 

Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 2

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

Giải.

 1
 π
π
1
π  π π
• Ta có arcsin −  = − , vì sin −  = − và − ∈ − ;  .
 2 
 6 
6
2
6  2 2 
 π π
1
1

• Đặt arcsin = ϕ , ta được sin ϕ = và ϕ ∈ − ;  .
 2 2
4
4



1
cos ϕ
1
15
=
, và cot arcsin  = cot ϕ =
= 15 .
Vậy, ta có cos ϕ = 1 −
16
4
4 
sin ϕ

0.1.4.2. Hàm số y = arccos x

arccos x = y ⇔ cos y = x , y ∈  0;


VD. arccos 0 =

π
;
2

arccos(−1) = π ; arccos

3
π
= ;
2
6

π 


 1  2π
arccos −  =
.
3
 2 

0.1.4.3. Hàm số y = arctan x

 π π
arctan x = y ⇔ tan y = x , y ∈ − ; 
 2 2 

Quy ước
arctan(+∞) =

VD. arctan(−1) = −

π

π
, arctan(−∞) = −
2
2

π
π
; arctan 3 = .
4
3

0.1.4.4. Hàm số y = arccot x

( )

arccot x = y ⇔ cot y = x , y ∈ 0; π
Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 3

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

Quy ước

arccot(+∞) = 0, arccot(−∞) = π

VD. arccot(−1) =

3π
π
; arccot 3 = .
4
6

0.2. Giới hạn của hàm số
Quy tắc tính giới hạn
Giả sử k là hằng số và lim f (x ) , lim g(x ) tồn tại. Khi đó
x →a

x →a

1) lim[k .f (x )] = k . lim f (x )

2) lim[ f (x ) ± g(x )] = lim f (x ) ± lim g(x )

3) lim[ f (x )g(x )] = lim f (x ).lim g(x )

4) lim

x →a

x →a

x →a

x →a

x →a

x →a

x →a

x →a

x →a

f (x )
f (x ) lim
= x →a
nếu lim g(x ) ≠ 0
x →a
g(x ) lim g(x )
x →a

Định lý
Nếu f (x ) ≤ g (x ) khi x tiến đến a ( x ≠ a ) và lim f (x ) , lim g(x ) tồn tại thì lim f (x ) ≤ lim g(x ) .
x →a

x →a

x →a

x →a

Định lý kẹp giữa

Nếu f (x ) ≤ h(x ) ≤ g (x ) khi x tiến đến a ( x ≠ a ) và lim f (x ) = lim g(x ) = L thì lim h(x ) = L .
x →a

x →a

x →a

Chú ý
1
1
1
= +∞, − = −∞,
=0
+
±∞
0
0

Một số kết quả giới hạn cần nhớ
1) lim

α (x )→ 0

sin α(x )
tan α(x )
= lim
=1
α
(
x

)
→
0
α(x )
α(x )

1

1 

x
2) lim 1 +  = lim (1 + x ) = e
x →±∞ 
x →0
x 
x

3) lim[ f (x )]n =  lim f (x ) , n ∈ ℤ+
x →a
 x →a

n

Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 4

01-09-2014

Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

{

}

x →a
4) lim [ f (x )]g (x ) =  lim f (x )
x →a
 x →a


lim g (x )

nếu lim f (x ) > 0
x →a

5) lim n f (x ) = n lim f (x ) , n ∈ ℤ+ (nếu n lẻ, ta giả sử rằng lim f (x ) > 0 )
x →a

x →a

x →a

α

6) lim

x →+∞

ln x
x
= lim x = 0 nếu α ≥ 1, β > 1 .
α
x
→+∞
x
β

0.3. Hàm số liên tục
Định nghĩa
• Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm a nếu lim f (x ) = f (a ) .
x →a

• Hàm số f được gọi là liên tục bên trái tại điểm a nếu lim− f (x ) = f (a ) .
x →a

• Hàm số f được gọi là liên tục bên phải tại điểm a nếu lim+ f (x ) = f (a ) .
x →a

• Hàm số f được gọi là liên tục trên khoảng (a;b ) nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc (a;b ) . (Nếu f liên
tục phải tại a và liên tục trái tại b thì f liên tục trên đoạn [a;b ] ).
Chú ý
• Mọi đa thức đều liên tục trên ℝ = (−∞; +∞) .
• Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trên miền xác định của nó.

0.4. Đạo hàm và vi phân
Định nghĩa vi phân

Đại lượng dy = f ′(x )dx được gọi là vi phân của hàm số y = f (x ) .
Chú ý
dy = f ′(x )dx ⇔ f ′(x ) =

dy
dx

Các quy tắc tính đạo hàm
Giả sử f , g và h là các hàm số khả vi, ta có:
1) [ f (x ) ± g(x )]′ = f ′(x ) ± g ′(x ) ;
2) [Cf (x )]′ = C .f ′(x ) (C ∈ ℝ) ;
3) [ f (x )g(x )]′ = f ′(x )g(x ) + f (x )g ′(x ) ;

 f (x ) ′
′
′
 = f (x )g(x ) − f (x )g (x ) (g(x ) ≠ 0) ;
4) 
2
 g(x ) 
[g(x )]


5) Nếu y = f (u ) với u = g (x ) thì y ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ) ;
6) Nếu y = f (x ) và x = f −1(y ) thì y ′(x ) =
Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 5

1

;
x ′(y )
01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

7) Nếu y = f (x ) cho bởi x = ϕ(t ) và y = ψ(t ) thì y ′(x ) =

y ′(t )
.
x ′(t )

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp
(u α )′ = α.u ′.u α−1

1) (x α )′ = α.x α−1
2)

( u )′ = 2u ′u

( x )′ = 2 1x

3) (sin x )′ = cos x

(sin u )′ = u ′.cos u

4) (cos x )′ = − sin x

(cos u )′ = −u ′.sin u

5) (tan x )′ =

1
= 1 + tan2 x
2
cos x
1
6) (cot x )′ = − 2 = −(1 + cot2 x )
sin x

(tan u )′ =

7) (e x )′ = e x

(e u )′ = u ′e u

8) (a x )′ = a x . ln a

(a u )′ = u ′.a u .ln a

9) (ln | x |)′ =

1
x

10) (loga | x |)′ =
11) (arcsin x )′ =

u′
= u ′(1 + tan2 u )
2
cos u
u′
(cot u )′ = − 2 = −u ′(1 + cot2 u )
sin u

(ln | u |)′ =
1
x .ln a
1

(log

a

u′
u

| u |)′ =

(arcsin u )′ =

1 − x2
1
12) (arccos x )′ = −
1− x2
1

13) (arctan x )′ =
1 + x2
1
14) (arccot x )′ = −
1 + x2

u′
u.ln a
u′

1 − u2
u′
(arccos u )′ = −
1 − u2
u′
(arctan u )′ =
1 + u2
u′
(arccot u )′ = −
1 + u2

0.5. Quy tắc L’Hospital
f (x )
được gọi là dạng vô định
g(x )
0 / 0 (hoặc ∞ / ∞ ). Các dạng giới hạn này được giải quyết nhờ quy tắc L’Hospital sau

Nếu lim f (x ) và lim g(x ) đồng thời bằng 0 (hoặc bằng vô cùng) thì lim
x →x 0

x →x 0

x →x 0

Nếu f (x ) và g (x ) khả vi trên (a, b ) (có thể không khả vi tại x 0 ) và g ′(x ) ≠ 0 với x ≠ x 0 thì
f (x )
f ′(x )
= lim
x →x 0 g (x )
x →x 0 g ′(x )
lim

Chú ý
Các dạng vô định: 0.∞ , ∞0 , 00 , 1∞ , và ∞ − ∞ đều có thể biến đổi để áp dụng quy tắc L’Hospital.
Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 6

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

0.6. Tích phân
Công thức đổi biến số

∫ f (x )dx = F (x ) + C

Nếu

và hàm số x = ϕ(t ) khả vi thì

∫ f (ϕ(t ))ϕ ′(t )dt = F (ϕ(t )) + C
Công thức tích phân từng phần

∫ udv = uv − ∫ vdu
Các dạng tích phân từng phần thường gặp

∫ P(x )e dx thì ta đặt u = P(x ), dv = e dx .
• Đối với dạng tích phân ∫ P (x ) ln x dx thì ta đặt u = ln x , dv = P (x )dx .
αx

αx

• Đối với dạng tích phân

α

α

MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ
1)

∫ a.dx = ax + C ,

3)

∫

a ∈ ℝ;

dx
= ln | x | + C ;
x

2)

∫

4)

∫

x α+1
x dx =
+ C , α ≠ −1 ;
α +1
α

dx

= 2 x +C ;

x
ax
+C ;
ln a

5)

x
x
∫ e dx = e + C ;

6)

x
∫ a dx =

7)

∫ cos x dx = sin x + C ;

8)

∫ sin x dx = − cos x + C ;

9)

∫ cos

dx

dx

10)

∫ sin

dx
1
x
= arctan + C ;
2
a
a
+a

12)

∫

dx
1
x −a
=
ln
+C ;
2
2a
x +a
−a

14)

∫ sin x

x π 

dx
= ln tan  +  + C ;
cos x
 2 4 

16)

∫

11)

∫x

2

13)

∫x

2

2

x

= tan x + C ;

2

= − cot x + C ;

x

dx
a2 − x 2

dx

= arcsin

= ln tan

dx

x
+ C, a > 0 ;
a

x
+C ;
2

15)

∫

17)

∫

x 2 + a dx =

∫

x
a2
x
2
2
a − x dx =
a − x + arcsin
+C .
2
2
|a |
…………………………………………………………………………….

18)

2

x2 + a

= ln x + x 2 + a + C ;

x
a
x 2 + a + ln x + x 2 + a +C ;
2
2

2

Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 7

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

Chương 1. TÍCH PHÂN SUY RỘNG VÀ CHUỖI SỐ
Bài 1. Tích phân suy rộng
Bài 2. Khái niệm cơ bản về chuỗi số
Bài 3. Chuỗi số dương
Bài 4. Chuỗi số có dấu tùy ý

Bài 1. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Khái niệm mở đầu
• Cho hàm số f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b ] . Khi đó, diện
tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f (x ) và trục hoành là
b

S=

∫ f (x )dx .

a

• Cho hàm số f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a; +∞) ( b → +∞ ).
Khi đó, diện tích S có thể tính được cũng có thể
không tính được. Trong trường hợp tính được hữu
hạn thì
+∞

S=

∫

b

f (x )dx = lim

a

b →+∞

∫ f (x )dx .
a

1.1. Tích phân suy rộng loại 1
1.1.1. Định nghĩa
b

Cho hàm số f (x ) xác định trên [a; +∞) , khả tích trên mọi đoạn [a;b ] . Giới hạn (nếu có) lim

b →+∞

∫ f (x )dx
a

được gọi là tích phân suy rộng loại 1 của f (x ) trên [a; +∞) , ký hiệu là
+∞

∫

b

f (x )dx = lim

b →+∞

a

∫ f (x )dx
a

Định nghĩa tương tự:
b

∫

−∞

b

f (x )dx = lim

a →−∞

a

+∞

∫

−∞

∫ f (x )dx
b

f (x )dx = lim

∫ f (x )dx

b →+∞
a →−∞ a

Chú ý
• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn, ta nói tích phân hội tụ; ngược lại là tích phân phân kỳ.
• Nghiên cứu về tích phân suy rộng là khảo sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (nếu được).
Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 8

01-09-2014

Đồn Vương Ngun

Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học
+∞

VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =

∫
1

b

• Trường hợp α = 1: I = lim

b →+∞

∫
1

b
dx

= lim ln x  = +∞ (phân kỳ).
1
b →+∞ 
x
b

• Trường hợp α khác 1: I = lim

dx
.
xα

b →+∞

∫
1

 1

 1−α b 
dx
1
1
1−α
 α − 1 , α > 1
x
=
lim
=
lim
−
1
=
b

1
 1 − α b →+∞


1 − α b →+∞ 
xα
 + ∞, α < 1.

(

)

Vậy
α > 1 : tích phân hội tụ và I =

1
α −1

α ≤ 1 : tích phân phân kỳ và I = +∞
0

VD 2. Tính tích phân I =

dx
.
2
(1
x
)
−
−∞

∫

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Chú ý
+∞

• Nếu tồn tại lim F (x ) = F (+∞) , ta dùng cơng thức
x →+∞

∫

f (x )dx = F (x )

+∞
a

.

a
b

• Nếu tồn tại lim F (x ) = F (−∞) , ta dùng cơng thức
x →−∞

−∞

+∞

• Tương tự:

∫

∫

f (x )dx = F (x )

−∞

+∞
−∞

f (x )dx = F (x )

b
−∞

.

.

+∞

VD 3. Tính tích phân I =

dx
.
2
+
1
x

−∞

∫

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
1.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ
1.1.2.1. Tiêu chuẩn 1
0 ≤ f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a; +∞)
+∞

+∞

⇒ ∫ f (x )dx hội tụ

∫ g(x )dx hội tụ
a

a


Các trường hợp khác tương tự.
+∞

VD 4. Xét sự hội tụ của tích phân I =

∫e

−x 10

dx .

1

………………………………………………………………………………………………
Đại học Cơng nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 9

01-09-2014


Đồn Vương Ngun

Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
1.1.2.2. Tiêu chuẩn 2
+∞

∫

+∞

f (x ) dx hội tụ ⇒

∫

a

f (x )dx hội tụ

a

Các trường hợp khác tương tự.
+∞

∫e

VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân I =

−x

cos 3x dx .

1

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
1.1.2.3. Tiêu chuẩn 3
Giả sử f (x ), g (x ) liên tục, dương trên [a; +∞) và lim

x →+∞

+∞

• Nếu 0 < k < +∞ thì

∫

+∞

∫ g(x )dx

f (x )dx và

a

∫ g(x )dx

cùng hội tụ hoặc phân kỳ.

a

+∞

• Nếu k = 0 và

f (x )
=k.
g (x )

+∞

hội tụ thì

a

 k = +∞

• Nếu +∞
thì
 ∫ g(x )dx phân kỳ
 a


∫

f (x )dx hội tụ.

a
+∞

∫

f (x )dx phân kỳ.

a

• Các trường hợp khác tương tự.
+∞

VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân I =

∫
1

dx

.
1 + x 2 + 2x 3

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Chú ý
+∞

Nếu f (x ) ∼ g (x ) khi x → +∞ thì

∫

+∞

f (x )dx và

a
+∞

VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân I =

∫
1

∫ g(x )dx

có cùng tính chất.

a

dx
.
1 + sin x + x

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Đại học Cơng nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 10

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học
+∞

VD 8. Điều kiện của α để I =

∫
1

A. α > 3 ;

dx
x . ln x + 1

3
B. α > ;
2
3

hội tụ là:

α

C. α > 2 ;

D. α >

1
.
2

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
+∞

VD 9. Tìm điều kiện của α để I =

∫
1

(x 2 + 1)dx
hội tụ ?

2x α + x 4 − 3

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
1.2. Tích phân suy rộng loại 2
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử hàm số f (x ) xác định trên [a; b) , lim− f (x ) = ∞ và khả tích trên mọi đoạn [a; b − ε ] (ε > 0) .
x →b

b −ε

Giới hạn (nếu có) lim ∫ f (x )dx được gọi là tích phân suy rộng loại 2 của f (x ) trên [a; b) , ký hiệu là
ε→ 0

a
b −ε

b

∫ f (x )dx = lim ∫
ε→ 0

a

f (x )dx

a

Định nghĩa tương tự:
b

∫ f (x )dx = lim ∫
ε →0

a

(

b

)

∫ f (x )dx = lim ∫

f (x )dx lim+ = ∞ ;

a +ε

x →a

b −ε

b
ε→ 0

a

(

)

f (x )dx lim+ = ∞, lim− = ∞

a +ε

x →a

x →b

Chú ý
Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ; ngược lại là tích phân phân kỳ.
b

VD 10. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =

dx

∫x

α

, b > 0.

0

b

• Trường hợp α = 1: I = lim+ ∫
ε →0

ε

b
dx

= lim+ ln x  = ln b − lim+ ln ε = +∞ .
ε
ε→ 0 
ε→0
x
b

• Trường hợp α khác 1: I = lim ∫
ε→0

ε

b

 1−α b 
dx
1
−α
x
=
lim
x

dx
=
lim

∫
ε→ 0
ε→ 0 
ε

1
−
α
xα
ε
=

Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 11

(

1
lim b 1−α − ε1−α
1 − α ε →0

)

 b 1−α


, α <1
= 1 − α

 + ∞, α > 1.
01-09-2014


Đồn Vương Ngun

Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học

Vậy

b1−α
α < 1 : tích phân hội tụ và I =
1−α
α ≥ 1 : tích phân phân kỳ và I = +∞
1/3

VD 11. Tính tích phân suy rộng I =

3

∫

dx .

1 − 9x 2

1/6

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
e

VD 12. Tính tích phân suy rộng I =

∫ x.

dx
3

1

ln2 x

.

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
2

VD 13. Tính tích phân suy rộng I =

∫x
1

dx

.
−x

2

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
1.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ
Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1.
Chú ý
b

Nếu f (x ) ∼ g (x ) khi x → b (với b là cận suy rộng) thì

b

∫ f (x )dx

và

a
1

VD 14. Tích phân suy rộng I =

∫
0

xα

x (x + 1)(2 − x )

có cùng tính chất.

a

dx hội tụ khi và chỉ khi:

1
B. α < − ;
2

A. α < −1 ;

∫ g(x )dx

1
C. α > − ;
2

D. α ∈ ℝ .

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
1

VD 15. Tích phân suy rộng I =

∫
0

A. α ≤ −1

xα + 1
(x 2 + 1)sin x

B. α ≤ −

Đại học Cơng nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

dx phân kỳ khi và chỉ khi:

1
2

C. α ≥ −
Page 12

1
2

D. α ∈ ℝ .
01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Chú ý
Giả sử I = I 1 + I 2 với I , I 1, I 2 là các tích phân suy rộng ta có:
1) I 1 và I 2 hội tụ ⇒ I hội tụ.
I → −∞ ( phaân kyø)
I → +∞ ( phaân kyø)
2)  1
hoặc  1
thì I phân kỳ.
I 2 ≤ 0
I 2 ≥ 0


I → −∞ ( phaân kyø)
I → +∞ ( phaân kyø)
hoặc  1
thì ta chưa thể kết luận I phân kỳ.
3)  1
I 2 > 0
I 2 < 0



1

VD 16. Tích phân I =

∫
0

A. α ≤

xα +1
x 2 sin x

1
4

dx phân kỳ khi và chỉ khi:
B. α ≤ −

1
4

C. α ≤ −

1
2

D. α ∈ ℝ .

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
+∞

VD. Xét tích phân I =

∫
1

cos x
•−
x
+∞

•

∫
1

+∞

sin x
cos x
dx , ta có: I = −
x

x

cos x
+ cos1 = cos1
x →+∞
x

= − lim
1

sin x
dx ≤
x2

+∞

∫
1

dx
⇒
x2

+∞

∫
1

sin x
dx hội tụ

x2

+∞

+∞

+
1

∫
1

sin x
dx .
x2

(1).

(2).

Từ (1) và (2) ta suy ra I hội tụ.

Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 13

01-09-2014


on Vng Nguyờn

Bi ging Toỏn Cao cp C1 i hc

Bi 2. KHI NIM C BN V CHUI S
2.1. nh ngha
Cho dóy s cú vụ hn cỏc s hng u1, u2 ,..., un ,... . Biu thc


u1 + u2 + ... + un + ... = un
n =1

c gi l chui s.
Cỏc s u1, u2 ,..., un ,... l cỏc s hng v un c gi l s hng tng quỏt ca chui s.
Tng n s hng u tiờn Sn = u1 + u2 + ... + un c gi l tng riờng th n ca chui s.
Nu dóy {Sn }

n

hi t n s S hu hn thỡ ta núi chui s hi t v cú tng l S , ta ghi l


u
n =1

n

=S.

Ngc li, ta núi chui s phõn k.

VD 1. Xột s hi t ca chui s

aq

n 1

( a 0 ).

n =1

Trng hp q = 1 : Sn = na + chui phõn k.
1 qn
1 qn
= a.
.
Trng hp q 1 : Sn = u1 .
1q
1q
a
Nu | q | < 1 thỡ Sn
chui hi t; nu | q | > 1 thỡ Sn + chui phõn k.
1q
Vy


aq

n 1

hoọi tuù | q | < 1

n =1



VD 2. Xột s hi t ca chui s

1

n(n + 1) .
n =1








1 + 1 .
ln

n
n =1


VD 3. Xột s hi t ca chui s

i hc Cụng nghip Tp. H Chớ Minh (IUH)

Page 14

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học
∞

∑

VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số

1

n =1

.

n

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
2.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ
∞

Nếu chuỗi

∑ un hội tụ thì lim un = 0 , ngược lại nếu lim un ≠ 0 thì
n →∞

n =1

n →∞

∞

∑u
n =1

n

phân kỳ.

∞

n4
∑ 3n 4 + n + 2 .
n =1

VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
∞

n5
∑ n4 + 1 .
n =1

VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
2.3. Tính chất
∞

1) Nếu

∞

∞

∑u , ∑v
n =1

n

n =1

hội tụ thì

n

n =1

∞

2) Nếu

∑ (u

∑ un hội tụ thì
n =1

n

∞

∞

n =1

n =1

+ vn ) = ∑ un + ∑ vn .

∞

∞

n =1

n =1

∑ αun = α∑ un .

3) Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng.

Bài 3. CHUỖI SỐ DƯƠNG
3.1. Định nghĩa
∞

Chuỗi số

∑u
n =1

n

được gọi là chuỗi số dương nếu un ≥ 0, ∀n .

Khi un > 0, ∀n thì chuỗi số là dương thực sự.

3.2. Các định lý so sánh
Định lý 1
∞

Giả sử hai chuỗi số

∑ un ,
n =1

∞

∑v
n =1

n

thỏa 0 ≤ un ≤ vn , ∀n ≥ n 0 . Khi đó:

Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 15

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

∞

• Nếu

∞

∑v
n =1

n

∑u

hội tụ thì

n =1

∞

• Nếu

∑ un phân kỳ thì
n =1

hội tụ.

n

∞

∑v
n =1

phân kỳ.

n

∞

1

∑ n.2

VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số

n

n =1

.

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
∞

1

∑n

VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa



∞

bằng cách so sánh với

1

∑ ln 1 + n  .
n =1

n =1

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Định lý 2
∞

Giả sử hai chuỗi số

∑ un ,
n =1

• k =0:

∞

∑u
n =1

• k = +∞ :

∞

∑v

n

n =1

thỏa mãn un > 0 và vn > 0 với n đủ lớn và lim

n →∞

un
vn

=k.

∞

n

phân kỳ ⇒ ∑ vn phân kỳ.
n =1

∞

∞

∑ un hội tụ ⇒ ∑ vn hội tụ.

n =1

• 0 < k < +∞ :

n =1

∞

∑u
n =1

∞

n

và

∑v

n

n =1

cùng tính chất.

∞

2n (n + 1)
VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi ∑
bằng cách so sánh với

n.3n +1
n =1

 2 
  .
∑
 
n =1  3 
∞

n

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Chú ý
∞

Chuỗi số

n =1
∞

VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số

1

∑n
∑

n =1

α

hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1 .

n +1
2n 5 + 3

.

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 16

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
3.3. Các tiêu chuẩn hội tụ
3.3.1. Tiêu chuẩn D’Alembert
∞

Cho chuỗi số dương

∑u
n =1

n

và lim

un +1

n →∞

un

= D . Ta có:

• Nếu D < 1 thì chuỗi số hội tụ;
• Nếu D > 1 thì chuỗi số phân kỳ;
• Nếu D = 1 thì ta chưa thể kết luận.
∞

1
VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n
n =1 3


1
1 +  .
n 


n

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
∞

VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số

5n (n !)2
∑ (2n )! .
n =1

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
3.3.2. Tiêu chuẩn Cauchy
∞

Cho chuỗi số dương

∑u
n =1

n

và lim n un = C . Ta có:

n →∞

• Nếu C < 1 thì chuỗi số hội tụ;
• Nếu C > 1 thì chuỗi số phân kỳ;
• Nếu C = 1 thì ta chưa thể kết luận.
n2

1
VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑   .

n =1  2 
∞

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
∞

VD 8. Xét sự hội tụ của chuỗi số

nn
∑ 3n .
n =1

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 17

01-09-2014


on Vng Nguyờn

Bi ging Toỏn Cao cp C1 i hc

3.3.3. Tiờu chun Tớch phõn Maclaurin Cauchy
Gi s hm s f (x ) liờn tc, f (x ) 0 v gim trờn [k ; +), k . Ta cú:


f (n ) hoọi tuù
n =k


n =1



f (x )dx hoọi tuù

k



VD 9. Xột s hi t ca chui s

+

1
3

n + 2n
2

.






VD 10. Xột s hi t ca chui s

1

n ln
n =2

3

n

.

Bi 4. CHUI S Cể DU TY í
4.1. Chui s an du
4.1.1. nh ngha


Chui s

(1) u
n

n =1



VD.

(1)n
n v
n =1



n

c gi l chui s an du nu un > 0, n .

(1)n +1
n =1

2n + 1

l cỏc chui s an du.
2n +1

4.1.2. nh lý Leibnitz
Nu dóy {un }n gim v lim un = 0 thỡ chui s
n



(1) u
n

n =1

n

hi t.

Khi ú, ta gi chui s l chui Leibnitz.


(1)n
VD 1. Xột s hi t ca chui s
.
n
n =1

2n + 1
VD 2. Xột s hi t ca chui s (1)
.
2n +1
n =1
n







i hc Cụng nghip Tp. H Chớ Minh (IUH)

Page 18

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học
∞

VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số

∑
n =2

(−1)n

.

n + (−1)n

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
4.2. Chuỗi số có dấu tùy ý
4.2.1. Định nghĩa
∞

• Chuỗi số

∑u
n =1

n

(un ∈ ℝ) được gọi là chuỗi có dấu tùy ý.

∞

• Chuỗi số

∑ un được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số

n =1
∞

• Chuỗi số

∑ un được gọi là bán hội tụ nếu chuỗi
n =1

∞

(−1)n
VD. Chuỗi số ∑
là bán hội tụ vì
n
n =1

∞

∑| u
n =1

n

| hội tụ.

∞

∑ un hội tụ và chuỗi
n =1

∞

(−1)n
∑ n hội tụ (VD 1) và
n =1

∞

∑
n =1

∞

∑| u
n =1

n

| phân kỳ.

∞
(−1)n
1
= ∑ phân kỳ.
n
n =1 n

4.2.2. Định lý
∞

Nếu chuỗi số

∑ | un | hội tụ thì chuỗi có dấu tùy ý
n =1

∞

∑u
n =1

n

hội tụ.

∞

VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số

cos(n n )
∑ n2 .
n =1

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
(−1)n + (−2)n +1
.

∑
3n
n =1
∞

VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 19

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

Chương 2. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
Bài 1. Khái niệm cơ bản
Bài 2. Đạo hàm riêng – Vi phân
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số

Bài 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Tập hợp trong Rn
Xét không gian Euclide n chiều ℝ n ( n ≥ 2 ) và tập hợp D ⊂ ℝn .
• Một phần tử x ∈ ℝn là một bộ n số thực (x 1, x 2 ,..., x n ) . Điểm M biểu diễn phần tử x được gọi là có
tọa độ (x 1, x 2 ,..., x n ) , ký hiệu là M (x 1, x 2 ,..., x n ) . Khoảng cách giữa M (x 1, x 2 ,..., x n ) , N (y1, y2 ,..., yn )
được ký hiệu và định nghĩa là
d (M , N ) = (x 1 − y1 )2 + (x 2 − y2 )2 + ... + (x n − yn )2 .

• Xét điểm M 0 ∈ ℝn và số thực ε > 0 bé tùy ý, ta gọi ε − lân cận (gọi tắt là lân cận) của điểm M 0 là tập
hợp tất cả các điểm M ∈ ℝn sao cho d(M 0 , M ) < ε .
• Điểm M ∈ D được gọi là điểm trong của D nếu tồn tại một lân cận của điểm M nằm hoàn toàn trong
D . Tập hợp D được gọi là tập mở nếu mọi điểm M ∈ D đều là điểm trong của D .
• Điểm M ∈ D được gọi là điểm biên của D nếu mọi lân cận
của điểm M vừa chứa điểm thuộc D vừa chứa điểm không
thuộc D (điểm biên của D có thể không thuộc D ). Tập hợp
tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D , ký hiệu
là ∂D (xem H.1.1.1). Tập hợp D được gọi là tập đóng, ký
hiệu là D , nếu ∂D ⊂ D .
• Xét điểm M 0 cố định và số thực r > 0 . Tập hợp tất cả các điểm M sao cho d(M 0 , M ) < r được gọi là
quả cầu mở tâm M 0 , bán kính r ; tập hợp các điểm M thỏa d(M 0 , M ) ≤ r được gọi là quả cầu đóng
tâm M 0 , bán kính r ; tập hợp các điểm M thỏa d(M 0 , M ) = r được gọi là mặt cầu tâm M 0 , bán kính
r . Tập hợp D được gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu đóng chứa D .
• Tập hợp D được gọi là tập liên thông nếu ta có thể nối hai
điểm bất kỳ thuộc D bởi một đường cong liên tục nằm hoàn
toàn trong D (H.1.1.2). Tập liên thông D được gọi là đơn
liên nếu D có biên là một mặt cong kín (H.1.1.3); tập liên
thông D có biên là hợp của nhiều mặt cong kín rời nhau
được gọi là đa liên (H.1.1.4).

Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 20

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

1.2. Hàm số nhiều biến
• Trong ℝ n cho tập D ≠ φ . Ánh xạ f : D → ℝ xác định bởi

D ⊃ (x 1, x 2 ,..., x n ) ֏ u = f (x 1, x 2 ,..., x n ) ∈ ℝ
được gọi là hàm số n biến số. Tập D được gọi là miền xác định của hàm số f , ký hiệu là Df . Các biến

x 1, x 2 ,..., x n là các biến độc lập. Nếu M (x 1, x 2 ,..., x n ) thì ta có thể viết u = f (M ) .
Khi n = 3 , ta được hàm số ba biến số và thường được viết là u = f (x , y, z ) .
• Khi n = 2 , ta được hàm số hai biến số và thường được viết là
z = f (x , y ) . Giá trị z = f (x , y ) được gọi là giá trị của f tại
(x , y ) và miền giá trị của hàm f là
G = {z ∈ ℝ | z = f (x , y ),(x , y ) ∈ Df } .
Đồ thị của hàm z = f (x , y ) là tập hợp tất cả các điểm
N (x , y, f (M )) trong không gian Oxyz , với M (x , y ) ∈ Df

(H.1.1.5).
Chú ý
• Trong trường hợp khi xét hàm số f (M ) mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền xác định của hàm số là
tập tất cả các điểm M ∈ ℝn sao cho f (M ) có nghĩa. Miền xác định của hàm f thường là tập liên thông.

• Trong chương trình, chủ yếu ta chỉ xét hàm số f (x , y ) và f (x , y, z ) .
VD 1. Hàm số f (x , y ) = 3x 2y − cos xy có D f = ℝ 2 .
VD 2. Hàm số z = 4 − x 2 − y 2 có miền xác định (MXĐ) là hình tròn đóng tâm O(0, 0) , bán kính
R = 2 nằm trong mặt phẳng Oxy . Vì M (x , y ) ∈ Dz ⇔ 4 − x 2 − y 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 ≤ 4 .

VD 3. Hàm số z =

xy
1−x + y

có MXĐ là nửa mặt phẳng trong Oxy , nằm phía trên đường thẳng

y = x − 1 . Vì M (x , y ) ∈ Dz ⇔ 1 − x + y > 0 ⇔ y > x − 1 .

Bài 2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN
2.1. Đạo hàm riêng
2.1.1. Đạo hàm riêng cấp 1
Định nghĩa
Giả sử hàm số f (x , y ) xác định trên miền mở D ⊂ ℝ 2 chứa điểm M 0 (x 0 , y 0 ) . Cố định y = y 0 , nếu hàm
số một biến f (x , y 0 ) có đạo hàm tại x 0 thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm số
f (x , y ) tại (x 0 , y 0 ) , ký hiệu là:

fx′(x 0 , y 0 ) hay
Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

∂f
(x , y ) hay fx (x 0 , y 0 ) .
∂x 0 0
Page 21

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

Vậy

fx′(x 0 , y 0 ) = lim

f (x , y 0 ) − f (x 0 , y 0 )
x − x0

x →x 0

Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại (x 0 , y 0 ) là

fy′(x 0 , y 0 ) = lim

f (x 0 , y ) − f (x 0 , y 0 )
y − y0

y →y 0

Chú ý
• Các quy tắc tính đạo hàm của hàm số một biến đều đúng cho đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến.
• Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự, chẳng hạn
f (x , y 0 , z 0 ) − f (x 0 , y 0 , z 0 )
fx′(x 0 , y 0 , z 0 ) = lim

.
x →x 0
x − x0
VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số f (x , y ) = x 4y 5 − 4x 3y 2 − 3x 2 + y 3 tại (1; −1) .

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
x 3 + y3
VD 2. Tính các đạo hàm riêng của hàm số z = 2
.
x − y2

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
VD 3. Tính các đạo hàm riêng của hàm số z = arctan

y2
.
x

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
VD 4. Tính các đạo hàm riêng tại (1, −1, −2) của hàm số f (x , y, z ) = ln(xy 2 + z 2 ) .

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
2.1.2. Đạo hàm riêng cấp cao
• Các đạo hàm riêng (nếu có) của các hàm số fx′(x , y ) , fy′(x , y ) được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của
hàm số f (x , y ) , ký hiệu là:
fx′′2 = ( fx′)x′ hay
Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

∂2 f
∂  ∂f 
=
  hay fxx = (fx )x ,
∂x  ∂x 
∂x 2
Page 22

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

∂2 f
∂  ∂f 
=
  hay fyy = ( fy )y ,
∂y  ∂y 
∂y 2
∂2 f

∂  ∂f 
′′
′
′
fxy = ( fx )y hay
=
  hay fxy = ( fx )y ,
∂y ∂x
∂y  ∂x 
fy′′2 = ( fy′)y′ hay

fyx′′ = ( fy′)x′ hay

∂2 f
∂  ∂f 
=
  hay fyx = ( fy )x .
∂x ∂y
∂x  ∂y 

• Các hàm số nhiều hơn hai biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn hai có định nghĩa tương tự, chẳng hạn:

′
′ ′ ′ ′
′′
′′′ (6) 2 (x , y, z ) = (((f ′′2 (x, y, z ))y′ )x′ )′′2 .
fx(5)
2 3 (x , y ) = (((( fx (x , y ))x )y )y )y = ( f 2 (x , y )) 3 , f 2
y
x

y
x yxz
x
z
VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số f (x , y ) = x 3y 4 − 2x 2y 3 .

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
VD 6. Cho hàm số f (x , y ) = x 5y 2 + x 2y 3 − x 4 + y 5 . Tính đạo hàm riêng cấp năm fx(5)
3 2 (1, −1) .
y

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Định lý Schwarz
Nếu hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng cấp hai fxy′′(x , y ) và fyx′′(x , y ) liên tục trong miền mở D ⊂ ℝ 2
thì fxy′′(x , y ) = fyx′′(x , y ) .
Chú ý
• Định lý Schwarz còn được phát biểu cho đạo hàm cấp n của hàm số n biến f (x 1, x 2 ,..., x n ) . Chẳng hạn,
′′′ , fxzy
′′′ , fyxz
′′′ , fyzx
′′′ , fzxy
′′′ và fzyx
′′′ liên tục trong miền mở
hàm số f (x , y, z ) có các đạo hàm riêng cấp ba fxyz

V ⊂ ℝ 3 thì chúng bằng nhau.
• Ứng dụng của định lý là, khi hàm nhiều biến có các đạo hàm riêng liên tục thì ta có thể thay đổi thứ tự
lấy đạo hàm theo các biến một cách tùy ý.
VD 7. Cho hàm số z = e 3x −2y . Tính z x(n5y+n5)(x , y ) .

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 23

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

2.2. Vi phân
2.2.1. Vi phân cấp 1
Giả sử hàm số f (x , y ) liên tục trong lân cận của điểm M 0 (x 0 , y 0 ) . Cho x một số gia ∆x và y một số gia
∆y , khi đó hàm số f (x , y ) có tương ứng số gia là:

∆f = f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) − f (x 0 , y 0 )
= [ f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) − f (x 0 , y 0 + ∆y )] + [ f (x 0 , y 0 + ∆y ) − f (x 0 , y 0 )] = ∆x f + ∆y f .

Giả sử hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng tại điểm M 0 , áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm số
một biến ta có:
∆x f = ∆x .fx′(x 0 + θ1∆x , y 0 + ∆y ) và ∆y f = ∆y.fy′(x 0 , y 0 + θ2∆y )

(trong đó 0 < θ1 < 1 và 0 < θ2 < 1 ).
Bây giờ, nếu giả sử thêm fx′ và fy′ liên tục tại điểm M 0 thì:
 lim fx′(x 0 + θ1∆x , y 0 + ∆y ) = fx′(x 0 , y 0 ) ∆ f = f ′(x , y )∆x + ε ∆x
x
0
0
1
(∆x ,∆y )→(0,0)
⇒  x
′
′
′
 lim f (x , y + θ2∆y ) = fy (x 0 , y 0 )
∆
 y f = fy (x 0 , y 0 )∆y + ε2∆y
(∆x ,∆y )→(0,0) y 0 0
(trong đó ε1 → 0 , ε2 → 0 khi ∆x → 0 và ∆y → 0 ).

Suy ra
∆f = fx′(x 0 , y 0 )∆x + fy′(x 0 , y 0 )∆y + ε1∆x + ε2∆y .

Mặt khác, đặt ρ = (∆x )2 + (∆y )2 , ta có:

lim

(∆x ,∆y )→(0,0)

ε1∆x + ε2∆y
(∆x )2 + (∆y )2

= 0 ⇒ ε1∆x + ε2∆y = O(ρ) .

Vậy
∆f = fx′(x 0 , y 0 )∆x + fy′(x 0 , y 0 )∆y + O(ρ)

(∗) .

Định nghĩa
• Nếu khi ∆x → 0 và ∆y → 0 mà ∆f có thể viết được dưới dạng (∗) thì ta nói rằng hàm số f (x , y ) khả
vi tại điểm (x 0 , y 0 ) .
Đại lượng
fx′(x 0 , y 0 )∆x + fy′(x 0 , y 0 )∆y

ký hiệu df (x 0 , y 0 ) , được gọi là vi phân toàn phần (gọi tắt là vi phân) của hàm số f (x , y ) tại điểm (x 0 , y 0 ) .
• Tương tự như hàm số một biến, nếu x và y là biến độc lập thì dx = ∆x và dy = ∆y .
Vậy, ta có công thức vi phân của f (x , y ) tại (x , y ) là
df (x, y ) = fx′(x , y )dx + fy′(x , y )dy

• Vi phân của hàm số nhiều hơn hai biến số có định nghĩa tương tự, chẳng hạn
df (x , y, z ) = fx′(x , y, z )dx + fy′(x , y, z )dy + fz′(x , y, z )dz

• Hàm số f được gọi là khả vi trong miền V ⊂ ℝ n nếu f khả vi tại mọi điểm thuộc V .
Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 24

01-09-2014


Đoàn Vương Nguyên

Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học

VD 8. Tính df (x , y ) của hàm số f (x , y ) = sin(x 2y ) .

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
VD 9. Cho f (x , y, z ) = z 3e x −3y . Tính df (3, 1, −1) .

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
2.2.2. Vi phân cấp cao
2.2.2.1. Định nghĩa
• Giả sử f (x , y ) là hàm khả vi với x , y là hai biến độc lập và
df (x, y ) = fx′(x , y )dx + fy′(x , y )dy .
Giả sử df (x , y ) cũng khả vi, khi đó vi phân của df (x , y ) , ký hiệu là d 2 f (x , y ) = d (df (x , y )) , được gọi là
vi phân toàn phần cấp hai (gọi tắt là vi phân cấp hai) của hàm số f (x , y ) .
• Tiếp tục định nghĩa như trên, ta được vi phân cấp ba của hàm số f (x , y ) là
d 3 f (x , y ) = d (d 2 f (x , y )) ,

……………………….,

vi phân cấp n của hàm số f (x , y ) là d n f (x , y ) = d (d n −1 f (x , y )) .
2.2.2.2. Công thức tính
• Do x , y là hai biến độc lập nên các số gia dx = ∆x , dy = ∆y là hằng số đối với x và y .
Ký hiệu (dx )n = dx n và (dy )n = dy n , ta có:
d 2 f (x , y ) = d ( fx′(x , y )dx + fy′(x , y )dy )
= [ fx′(x , y )dx + fy′(x , y )dy ]x′ dx + [ fx′(x , y )dx + fy′(x , y )dy ]y′ dy
= [ fx′′2 (x , y )dx + fxy′′(x , y )dy ]dx + [ fxy′′(x , y )dx + fy′′2 (x , y )dy ]dy

= fx′′2 (x , y )(dx )2 + 2 fxy′′(x , y )dxdy + fy′′2 (x , y )(dy )2 .
Vậy ta có công thức vi phân cấp hai của f (x , y ) là

d 2 f (x , y ) = fx′′2 (x , y )dx 2 + 2 fxy′′(x , y )dxdy + fy′′2 (x , y )dy 2
• Tương tự, ta có công thức vi phân cấp ba của f (x , y ) là
3
2
2
3
′′′
d 3 f = fx′′′
+ 3 fx′′′
+ fy′′′
3 dx
2 dx dy + 3 f 2 dxdy
3 dy
y
xy

Chú ý

Nếu x và y là các biến trung gian phụ thuộc vào biến s và t thì d n x ≠ dx n , d n y ≠ dy n nên các công
thức trên không còn đúng nữa. Các ví dụ sau đây ta chỉ xét trường hợp các biến x và y độc lập.
Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH)

Page 25

01-09-2014