CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Chương 1
CƠ SỞ TOÁN HỌC
1.1 TENXƠ VÀ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC (CHMTLT)
Các đại lượng vật lý, hình học… đặc trưng cho tính chất của môi trường liên tục có
bản chất không phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ tọa độ. Trong mỗi hệ tọa độ, các đại
lượng này được biểu diễn qua một số các giá trị gọi là thành phần của các đại lượng.
Khi thay đổi hệ trục tọa độ, các thành phần này thay đổi, song theo một quy tắc nhất
định. Những đại lượng trong CHMTLT có thành phần thay đổi theo quy luật được gọi
là tenxơ. Như vậy, tenxơ như một đối tượng toán học, tồn tại độc lập với các hệ trục
tọa độ.
Các định luật vật lý của CHMTLT thường được biểu diễn bằng ngôn ngữ tenxơ, dưới
dạng các phương trình tenxơ. Quy luật biến đổi các thành phần tenxơ khi thay đổi hệ
tọa độ mang tính tuyến tính và đồng nhất nên các phương trình tenxơ đã đúng trong
hệ tọa độ này thì cũng đúng trong hệ tọa độ khác.
Sức mạnh của các phép tính tenxơ trong CHMTLT chính là ở tính bất biến của các hệ
thức tenxơ đối với phép biến đổi tọa độ.
Nếu phép biến đổi giới hạn chỉ ở những hệ tọa độ vuông góc thì tenxơ được gọi là
tenxơ đề các. Tenxơ đề các sử dụng khá nhiều trong CHMTLT nên thuật ngữ “tenxơ”
trong giáo trình này được hiểu là “tenxơ đề các” nếu không có chú thích gì thêm.
Tenxơ phân loại theo hạng hay cấp ứng với số thành phần của nó.
Ví dụ: Trong không gian Ơclít ba chiều, chẳng hạn không gian vật lý thông thường,
tenxơ hạng N có 3N thành phần.
* Tenxơ hạng không: 30 = 1 thành phần.
Tenxơ hạng không chỉ có một thành phần trong hệ tọa độ bất kỳ. Đó là đại lượng
vô hướng (scalar).
a

a’, song a = a’

Ví dụ: khối lượng, mật độ, nhiệt độ, chiều dài . . .
* Tenxơ hạng nhất:

31 = 3 thành phần

Tenxơ hạng nhất có 3 thành phần tọa độ trong không gian 3 chiều, gọi là véctơ.
Ví dụ: vận tốc, lực, gia tốc...
* Tenxơ hạng hai (còn gọi là điađic), rất cần thiết trong việc miêu tả các đặc trưng
trong CHMTLT, gồm 32 = 9 thành phần.
Ví dụ: ứng suất σij, biến dạng εij…
* Tenxơ hạng ba (triađic), tenxơ hạng bốn (têtrađic) v.v… cũng được định nghĩa và
sử dụng nhiều trong CHMTLT.

Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

1


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

1.2 VÔ HƯỚNG VÀ VÉCTƠ
1.2.1 Khái niệm
Vô hướng: Các đại lượng vật lý chỉ có độ lớn, như khối lượng, chiều dài, thời
gian… (tenxơ hạng 0)
Ký hiệu: vô hướng a, b, c (chữ thường, nét nghiêng)
Véctơ: Các đại lượng vật lý đặc trưng bởi trị số và hướng, như lực Fi, vận tốc vi, gia

tốc ai …
Ký hiệu: véctơ a, b, c (chữ in đậm) hoặc a , b, c (chữ thường, có gạch dưới)

Trị số véctơ a , ký hiệu là a hoặc a
Hai véctơ bằng nhau nếu cùng hướng và độ dài
Véctơ đơn vị: có độ dài đơn vị, ký hiệu là ê hoặc ˆi
Véctơ âm so với véctơ đã cho là véctơ có cùng môđun nhưng hướng ngược lại.
eâ
a

b

c

d

Hình 1.1. Các véctơ

1.2.2 Cộng và trừ véctơ
Quy tắc hình bình hành hay tam giác:

c = a+b
a

(1.1)
b

a+b

a

a+b

b
b

-b
a-b=d

a

a

a+b

b+g g

a+b+g

Hình 1.2. Caùc pheùp tính vector

Tính giao hoán:

a+b = b+a

(1.2)

Tính chất kết hợp (hình 2c)

(a+b) + g = a+(b+ g)

(1.3)

Nhân véctơ với vô hướng: có tính kết hợp và phân bố
Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

2


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Nhân véctơ với nghịch đảo môđun của nó sẽ nhận được véctơ đơn vị có cùng hướng:
b
bˆ 
b

Biểu diễn véctơ:

(1.4)
z, 3
a

k
O

i

j

y, 2

x, 1

Hình 1.3. Hệ vectơ cơ sở

Trong hệ tọa độ trực giao đề các (hệ tọa độ thuận), bất cứ véctơ nào cũng được biểu
diễn ở dạng tổ hợp tuyến tính của ba véctơ khác không, không đồng phẳng cho trước
của hệ, gọi là véctơ cơ sở.
Hệ véctơ cơ sở trực chuẩn: hệ véctơ đơn vị tạo nên tam diện thuận trong hệ tọa độ đề
các. Ví dụ: ˆi, ˆj, kˆ - hệ véctơ cơ sở trực chuẩn như trên hình 1.3
Véctơ a bất kỳ được biểu diễn theo hệ cơ sở trực chuẩn như sau:

a = ax i + ay j + azk

( 1.5)

1.2.3 Tích vô hướng và tích véctơ:
a

b

Hình 1.4. Tích voâ höôùng veùc tô

Tích vô hướng:

a.b = a b cosθ = abcos θ
Tích vô hướng của các véctơ cơ sở trực chuẩn:
ˆi.ˆi = ˆj.ˆj= kˆ .kˆ = 1


ˆi.ˆj= ˆj.kˆ = kˆ .ˆi = 0

(1.6)

(1.7)

a = a x ˆi  a y ˆj  a z kˆ
b = bx ˆi  b y ˆj  bz kˆ
a.b = axbx + ayby + azbz

(1.8)

Tính chất của tích vô hướng
Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

3


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Giao hoán:

a.b = b.a

Phân bố:

a.(b+c) = a.b + b.c

z, 3

v




k
O

i



j

y, 2

x, 1

Hình 1.5. Phöông vector
v = v x ˆi  v y ˆj  v z kˆ
Trong đó:
vx = v.ˆi  v .1.cos 
Véctơ đơn vị theo hướng v
vˆ 

Vì :

v

= vˆ x ˆi  vˆ y ˆj  vˆ z kˆ = (cos )ˆi  (cos  )ˆj  (cos  )kˆ
v

(1.9)

vˆ x = vˆ .ˆi = cosα
vˆ y = vˆ .ˆj = cosβ

(cosα, cosβ , cosγ là cosin chỉ phương của vˆ )

vˆ z = vˆ .kˆ = cosγ

(1.10)

Góc giữa hai véctơ:
a.b = ab cosθ

cosθ =

a x bx  a y b y  a z bz
a.b
= 2
ab
(a x  a y2  a z2 )1 / 2 .(bx2  b y2  bz2 )1 / 2

Tích véctơ:(hình 1.6)
c =axb

c

b


a

Hình 1.6. Tích vector
Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

4


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

c trực giao với a và b sao cho a, b, c tạo thành hệ thuận
a x b = -b x a = (absin  ), ( 0     )

(1.11)

véctơ đơn vị c có hướng sao cho khi quay theo quy tắc bàn tay phải (quy tắc vặn nút
chai ) quanh c một góc  sẽ dẫn a đến b. Mođun c bằng diện tích hình bình hành.
Tích véctơ khơng giao hốn:
a x b = -b x a
i

Đối với hệ véctơ cơ sở trực chuẩn

ˆi x ˆi = ˆj x ˆj = kˆ x kˆ = 0
ˆi x ˆj = kˆ , ˆj x kˆ = ˆi , kˆ x ˆj = ˆi

k

j

ˆj x ˆi = - kˆ , kˆ x ˆj = - ˆi , ˆi x kˆ = - ˆj
Hình 1.7 Hoán vò chỉ số

Tích véctơ có tính phân bố
a x (b + c) = a x b + a x c

a x b = (aybz – azby) ˆi + (azbx – axbz) ˆj + (axby - aybx) kˆ

hay
ˆi

ˆj

kˆ

a x b = ax

ay

az

bx

by

bz

Tích véctơ khơng kết hợp, tích véctơ kép:
a x (b x c)  ( a x b) x c

Móc đơn ở biểu thức trên chỉ thứ tự nhân.
Biểu thức: a x b.c có nghĩa là (a x b).c ở đây khơng cần ngoặc đơn vì biểu thức này
chỉ có ý nghĩa khi ta tính tích véctơ trước.
Tích hỗn hợp:

c b
a

Hình 1.8. Biểu diễn tích hỗn hợp

[abc] = a x b.c = a.b x c =

ax

ay

az

bx

by

bz

cx

cy

cz

(1.13)

Có trị số bằng thể tích hình hộp xiên có cạnh a, b, c. Như vậy ở tích hỗn hợp, tích
véctơ và tích vơ hướng có thể đổi chỗ cho nhau.
Chương 1. CƠ SỞ TỐN HỌC

5


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Xác định véctơ đơn vị trực giao với hai hướng cho trước: phải xác định nˆ vuông góc
với a và b
nˆ

nˆ =

a và b

a.b
a.b

(1.14)

1.3 KÝ HIỆU CHỈ SỐ VÀ BIỂU TƯỢNG
Thành phần tenxơ hạng bất kỳ có thể biểu diễn rỏ và gọn nhờ ký hiệu chỉ số.

Ví dụ: ai, bj, Tij , εijk , Rpq …..
Chỉ số tự do (hoặc có nghĩa) là chỉ số gặp một lần trong biểu thức, có thể nhân các
giá trị từ 1, 2,…, n (n nguyên dương, xác định khoảng biến thiên của chỉ số).
Chỉ số tổng (hoặc câm) là chỉ số lặp lại hai lần trong biểu thức. Chỉ số câm mất đi khi
tổng được thực hiện và có thể thay nó bằng bất kỳ chữ khác mà không thay đổi giá trị
phần tử.
Quy ước phép lấy tổng: Chỉ số lặp hai lần có nghĩa chỉ số này lấy tất cả các giá trị
trong khoảng biến thiên của chỉ số và mọi thành phần tương ứng với mỗi một giá trị
của chỉ số được cộng lại.
Ví dụ 1 :

ai bi

= a1b1 + a2b2 + a3b3

akmbm = ak1b1 + ak2b2 + ak3b3
gss

= g11 + g22 + g33

Một chỉ số tự do được viết đúng nếu nó xuất hiện trong mỗi một phần tử của hệ thức
tenxơ.
Ví dụ 2:

cij cjkxk tổng theo j và k, viết đúng
cmj cmm xm chỉ số m lặp 4 lần, không hiểu được

xj = aij bi + dj đúng
xj = aij bi + dk không có nghĩa

Hạng tenxơ của phần tử đã cho bằng chỉ số tự do trong phần tử này.
p
, εijkujvk
+ Tenxơ hạng nhất (các véctơ): ai, ai, aijbj, Fikk, R qp

+ Tenxơ hạng hai: Được viết dưới dạng Dij , D ij hoặc D ij , Dij …
Trong hệ trục tọa độ đề các không có sự phân biệt chỉ số trên và dưới của tenxơ
(thành phần phản biến và hợp biến). Điều này khác với hệ tọa độ cong.
+ Còn tenxơ hạng không (vô hướng) λ, εkk
Trong không gian vật lý thông thường: véctơ a bất kỳ hoàn toàn được cho bởi ba
thành phần ai (xem §1.2)
(ai) = (a1, a2, a3) hay

Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

 ai 

 a1 
 
=  a2 
a 
 3

6


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Tenxơ hạng 2 (điađic) Aij ( i,j = 1,2,3) có 9 thành phần:
 A11
[ Aij] =  A21
 A31

A12
A22
A32

A13 
A23 
A33 

Tổng quát, tenxơ hạng N trong không gian n chiều có nN thành phần.
Ký hiệu chỉ số (hay biểu tượng Gibbs) thật thuận tiện để viết các hệ phương trình rút
gọn.
Ví dụ:

1) vi = σij nj ( i = 1,2,3)

có dạng khai triển
v1 =σ11 n1 + σ12 n2 +σ13 n3
.

. . . . .

. .

. .

v3 = σ31 n1 + σ32 n2 + σ33 n3

2) i, j = 1, 2 thì biểu thức
Aij = Bip Cjq Dpq

Có dạng khai triển là 4 hệ thức
A11 = B11 C11 D11 + B11 C12 D12 + B12 C11 D21 + B12 C12 D22
A12 = B11 C21 D11 + B11 C22 D12 + B12 C21 D21 + B12 C22 D22
A21 = B21 C11 D11 + B21 C12 D12 + B22 C11 D21 + B22 C12 D22
A22 = B21 C21 D11 + B21 C22 D12 + B22 C21 D21 + B22 C22 D22
Một số ký hiệu đặc biệt:

Ký hiệu Kronecker delta δij (tenxơ đơn vị hạng hai)
1 ,
δij = 
0 ,

i j
i j

(1.15)

δ11 = δ22 = δ33 =1; δ12 = δ23 =δ31 =δ21 = δ32 =δ13 = 0

Ký hiệu hoán vịεijk (tenxơ hạng ba Levi-Chivit)
1
εijk =

nếu i, j, k = 1, 2, 3 hoặc lập thành hoán vị chẵn từ 1, 2, 3

-1 nếu lập thành hoán vị lẻ từ 1, 2,3
0 nếu hai chỉ số bất kỳ bằng nhau

(1.16)

Ví dụ: εii = ε11 + ε22 +ε33 = 3

1.4 ĐẠI SỐ TENXƠ ĐỀ-CÁC
1.4.1 Quy luật biến đổi thành phần tenxơ
Cho xi và xi' là hai hệ tọa độ đề các trực giao có chung gốc tọa độ 0
aij = cos( xi , x 'j )

(1.17)

Xác định hệ số aij như sau:
Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

7


C HC VT RN BIN DNG

PGS.TS. LNG VN HI

x1'

x 2'

x3'

x1

a11

a12

a13

x2

a21

a22

a23

x3

a31

a32

a33

Theo nh ngha ca cosin ch phng (1.10) ta cú:
x3

x3

v
x2

-1

cos a13
cos-1a31

x1

x2

x1
Hỡnh 1.9. Xoay heọ truùc toaù ủoọ

Núi chung, aij a ji (Xem Hỡnh 1.9)
Biu din vộct n v i j trong h ta xi'

i = a11 i ' + a12 i ' + a13 i '
1
1
2
3
. ....... ..................
i = a31 i ' + a32 i ' + a33 i '
1
2
3

3

Hay

i = aik i '
i
k

V

i ' = a11 i + a21 i + a31 i
1
1
2
3

( 1.18)

. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .

i

'
3

Hay

= a13 i1 + a23 i 2 + a33 i3

i ' = aki i

i
k

(1.19)

Vộct v cú th biu din nh sau:
v v1i1 v2 i 2 v3i3
v v ' i ' v ' i ' v ' i '
1 1

Hay
Theo (1.19)
Hay

2 2

3 3





v =
= v j i 'j
'


vk i k

= v 'j akj i k

( v k v 'j a kj ) i k = 0

Chng 1. C S TON HC

8


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Suy ra:

v k = akj v 'j

(chỉ số thứ nhất k của akj là chỉ số tự do)

(1.20)

Đây là quy luật biến đổi thành phần véctơ khi quay trục tọa độ.
Tương tự:

v 'j ˆi 'j = v m ˆi m
Theo (1.18)

v 'j ˆi 'j = v m a mk ˆi k'
( v k' – v m a mk ) ˆi k' = 0

v k' = a mk v m

Hay

(1.21)
(chỉ số 2 tự do)



Do tính chất của hệ véctơ cơ sở trục chuẩn:



ˆi ' . ˆi ' = δ pq và
p
q

ˆi . ˆi = δ nm
n
m

Ta có:
akp ˆi k . alq. ˆil = δpq

ank ˆi k' . aml. ˆil' = δnm

akp . alq. ˆi k . ˆil = δpq

ank aml. δkl =

δnm

Suy ra:

akp. akq = δpq và ank amk =δnm

(1.22)

Đây là điều kiện trực giao của ma trận quay gồm 9 phương trình. Ma trận chuyển đổi
hệ tọa độ [aij]– là ma trận quay trực giao
Phép biến đổi tuyến tính dạng (1.20) hay (1.21) chính là qui luật biến đổi thành phần
tenxơ đề các bậc nhất khi xoay hệ trục tọa độ.
Theo quy tắc biến đổi véctơ (1.21) của ui’ vj’ ta có:
ui’vj' = ( api up ) ( aqj vq ) = api aqj up vq
Mở rộng công thức (1.23), ta có qui tắc biến đổi tenxơ đề các bất kỳ hạng hai:

(1.23)

Tij’ = api aqj Tpq

(1.24)

Nhân (1.24) với aki alj, sử dụng điều kiện trực giao (1.22), thu được
Tij = aip ajq T’pq

(1.25)

Tổng quát hóa cho tenxơ đề các hạng N
T’ijk… = api aqj ark … Tpqr …

(1.26)

Tijk… = aip ajq akr … T’pqr…

(1.27)

Và ngược lại:
Khái niệm tenxơ đề các

Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

9


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Tenxơ đề các là đại lượng có các thành phần khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa
độ khác thì biến đổi theo qui luật (1.26) và (1.27)
Ví dụ: Cho véctơ a = (2,1,1) xác định trong hệ trục xi. Tìm ai’ khi quay x1, x2 quanh
x3 một góc 300.
Lời giải:
x1’

x2’

x3’

x1

0

0

cos30

cos120

cos900

x2

cos600

cos300

cos900

x3

cos900

cos900

cos00

x2

x2 ’

x1 ’

300

300

x1

O

x3, x3’

Hình 1.10. Ví dụ

a 
ij

 3

 2
1
= 
2
0



 


= aij

T



1
2
3
2
0


=

0
0
1

 3

 2
 1

 2
 0














1
2
3
2
0

0
0
1











2 2,232 
1  =  1,344
  

1   1 

1.4.2 Các phép tính tenxơ

Cộng tenxơ đềcác (tenxơ cùng hạng): Tổng hoặc hiệu hai tenxơ A và B cùng hạng là
tenxơ T cùng hạng, mỗi thành phần của T là tổng hoặc hiệu hai thành phần tương
ứng cùng chỉ số của hai tenxơ A và B.
Aijk… ±Bijk… = Tijk…

(1.28)

Tích vô hướng với tenxơ cho tenxơ mới cùng hạng
bi = λai

hoặc b =  a

Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

10


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Bij = λAij hoặc B = λA

Nhân tenxơ (nhân ngoài)
Tích ngoài của hai tenxơ hạng tùy ý là một tenxơ mới mà mỗi thành phần của nó được
biểu diễn bằng tích có thể có của từng thành phần tenxơ này với từng thành phần
tenxơ kia theo đúng thứ tự chỉ số. Tổng hạng các tenxơ thành phần là hạng của tenxơ
nhận được.

Ví dụ:

aibj = Tij

,

γi Fjk = αijk

,

Dij Tkm =

ijkm

εijk vm = θijkm

Ví dụ: a (1, 2, 3), b (2, 2, 3)
Cij = ai bj
C11 = a1b1 = 1.2 = 2 , c12 = a1b2 = 2
C21 = a2b1 = 2.2 = 4 , c22 = a2b2 = 4
C31 = a3b1= 3.2 = 6 , c32 = a3b2 = 6
C13 = a1b3 = 1.3 =3
C23 = a2b3 = 2.3 = 6
C33 = a3b3 = 3.3 = 9
2
Tc = 4
6

3
6 
9

2
4
6

Phép cuộn hay co tenxơ (phép lấy tổng) cho ta tenxơ mới (tích chập) có hạng giảm 2
đơn vị so với tenxơ ban đầu.
Ví dụ:

Tii , uivi
Eij aj , Eii ak

Phép nhân trong: kết hợp đồng thời phép nhân ngoài và phép cuộn tenxơ.

Ví dụ: tích vô hướng aibi hay a b
Tích véctơ:

εijk ajbk = a x b

Nhân ngoài

Nhân trong

Ký hiệu biểu tượng

aibj

aibi

ab

aiEjk

aiEik = bk

aE = b

Eij Ekm

EijFjm = Gim

EF = G

1.5 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.5.1 Định nghĩa
Bảng chữ nhật các phần tử đặt trong dấu ngoặc vuông và tuân theo một quy tắc kết
hợp nhất định, được gọi là ma trận.

Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

11


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

 A11 A12 ... A1N 
A
A22 ... A2 N 

[ Aij] =  21




 AM 1 AM 2 ... AMN 

M hàng, N cột

(1.29)

Ma trận [Aij]: i - số thứ tự hàng, j - số thứ tự cột


Nếu M=N: ma trận vuông



Ma trận hàng 1xN
[A1k] = [A11, A12, …



(1.30)

Ma trận cột Mx1

[Ak1] =



A1N] hay (A1k)

 A11 
A 
 21 


 
 AM 1 

(hay ak 1 )

(1.31)

Tenxơ có thể biểu diễn bằng ma trận:

Ví dụ: [σij], (vi) hay {vi}


Các khái niệm

-

Ma trận không: các phần tử bằng không

-

Ma trận chéo: ma trận vuông có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính
bằng không

-


0


0



Ma trận đơn vị I: nếu các phần tử trên đường chéo bằng đơn vị
1
I= 

0

0
1







-

Ma trận chuyển vị: [Aij]T (nhận từ ma trận [Aij] bằng cách đổi hàng thành cột)

-

Ma trận đối xứng:[ Aij]T= [Aij]

-

Ma trận phản đối xứng:Aij = -Aji

Suy ra, đối với ma trận phản đối xứng, Aii = 0.
1.5.2 Các phép tính ma trận

Cộng ma trận: ma trận cùng cấu trúc có thể cộng (hay trừ) phần tử với phần tử
A
Ví dụ:
A2 x 3   11
 A21

A12
A22

Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

A13 
 ,
A23 

 B11
B2 x 3  
 B21

B12

B13

B22

B23




12


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

 A11  B11  A13  B13 
C 2 x 3  A2 x 3  B2 x 3  

 A21  B21  A23  B23 

Nhân ma trận và vô hướng
kA11  kA13 
kA2 x 3  

kA21  kA23 

Nhân hai ma trận A, B: chỉ xác định trong trường hợp hai ma trận tương thích
(comformable) có nghĩa là số cột của A bằng số hàng của B

VD:

ALxM BMxN : tương thích
BMxN ALxM : không tương thích

Ma trận nhân với nhau không có tính giao hoán.
Ký hiệu: C=AB
Hoặc

[Cik] = [Aij] . [Bij]
(MxN)

(1.32)

(MxP) (PxN)

Quy tắc: tổng lấy từ 1 đến P cho chỉ số câm (chỉ số lặp).

Tính chất:
T

  Aij   B jk  Ckl   Ckl T  B jk   Aij 


T

T

(1.33)

Trong không gian Euclid 3 chiều, quytắc biến đổi véctơ và tenxơ bậc 2 có thể biểu
diễn ở dạng ma trận:

v 'i    aij  vi 

(1.34)

vi    aij  v 'i 

(1.35)

T

T

T

T 'ij    a pi  T pq   aqj 
Tij    aip  T ' pq   a jq 

T

(1.36)
(1.37)

1.5.3 Định thức ma trận vuông

Ký hiệu:

Aij hay det [Aij ]

Định thức con của phần tử Aij: ký hiệu Mij là định thức còn lại của ma trận vuông [Aij]
sau khi loại bỏ hàng và cột chứa Aij
Phần phụ đại số:
Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

13


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Aij*  ( 1) i  j M ij

Định nghĩa định thức của [Aij]: tổng các tích số của phần tử theo hàng (hoặc cột bất
kỳ) nhân với phần phụ đại số tương ứng:

 

N

det Aij   Aij Aij* (i là hàng bất kỳ , không lấy tổng theo i)
j 1

 

N

det Aij   Aij Aij* (j là cột bất kỳ , không lấy tổng theo j)

(1.38)

i 1

Định lý 5.1
Giá trị định thức không thay đổi nếu ta đổi hàng với cột
det [Aij] = det [Aij]T

(1.39)

Định lý 5.2
Nếu thay đổi hai hàng (hay hai cột) bất kỳ, định thức sẽ đổi dấu.

Định lý 5.3
Nếu hai hàng (hai cột) giống nhau hoặc tỷ lệ, định thức bằng 0.

Định lý 5.4
Nếu [Aij] và [Bij] là hai ma trận vuông cùng bậc, thì:
det [[Aij] [Bjk]]= det [Aij]det [Bjk]

(1.40)

+ Ma trận suy biến: [Aij] suy biến nếu Aij = 0
+ Định thức ma trận vuông [Tij] có thể biểu diễn bằng chỉ số theo nhiều cách:
det [Tij]=  ijk Ti1 Tj2 Tk3

(1.41)

=  ijk T1i T2j T3k

(1.42)

 ijk det [T ] =  lmn T T T
ij
li mj nk

(1.43)

=  lmn Til Tjm Tkn

(1.44)

det [Tij] = 1/6  ijk  lmn Tli Tmj Tnk

(1.45)

= 1/6  ijk  lmn Til Tjm Tkn

(1.46)

+ Ma trận liên hợp: thu được bằng cách thay mỗi phần tử bằng phần phụ đại số sau đó
đổi hàng và cột.
+ Ma trận nghịch đảo: Nếu ma trận vuông [Aij] không suy biến thì sẽ tồn tại ma trận
nghịch đảo [Aij]-1, xác định như sau:
 Aij* 
1
 Aij    
Aij

(1.47)

Tính chất
Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

14


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

[Aij]-1[Aij] = [Aij][Aij]-1= I (ma trận đơn vị)

1.6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH & BÀI TOÁN TRỊ RIÊNG
1.6.1 Hệ phương trình tuyến tính:
  11 x1  ....   1n x n  b1

 
  x  ....   x  b
nn n
n
 n1 1
[  ij ] x j  

bi 

(1.48)
hay

σij xj = bi

(n x n)

bi, σij - những số hạng đã biết, xi - ẩn số
Nếu

bi   0

Nếu

bi   0 hệ được gọi là không thuần nhất

hệ được gọi là thuần nhất

Nghiệm hệ phương trình (1.48)
Cramer:

xi  

x     b  )
1

j

ij

j

 i 

det[ ij ]

được xác định theo quy tắc
(1.49)

Hay ở dạng chỉ số:
xi 

i
det[ ij ]

(1.50)

Trong đó i, i = 1, 2,…, n là định thức nhận được từ [ij] bằng cách bỏ đi cột i
thay vào đó là cột ma trận bi .

Có 4 trường hợp:
Trường hợp 1: det [σij]#0, {bi } # 0
Nghiệm duy nhất và không tầm thường
Trường hợp 2: det [σij]#0, {bi } =0
Nghiệm duy nhất và là nghiệm tầm thường
Trường hợp 3: det [σij]=0, {bi } =0
Có vô số nghiệm. Các phương trình của hệ phụ thuộc tuyến tính. Đây là
trường hợp có liên quan tới bài toán trị riêng.
Trường hợp 4: det [σij]=0, {bi } # 0
có nghiệm.

Tồn tại vô số nghiệm, nếu mọi Δi trong (6.2) bằng 0. Nếu không sẽ không

Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

15


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Ví dụ 1: (trường hợp 1)
 x1  2 x 2  x3  8

2 x1  x 2  x3  7
x  x  x  6
2
3
 1
1
[ Aij ]  2
1

1
1
1 

2
1
1

Tìm nghiệm bằng hai cách:

[ Aij ] 1 

(i )

adj[ Aij ]
[ Aij ]

adj[ Aij ]  ?
* Ma trận phần phụ đại số C:
 0
C   1
 1
* Định thức

 0
adjA  C   1
 1








1
1
3

(a)

{A}=(0)1+2(-1) +1(1)= -1

T



1
0
1

 0
[ Aij ]   1
 1
1

 

 xi   Aij

1

1
0
1

1
1 
 3
 1

 1
3

1
0
1

 0
b j    1
 1

(b)

1
0
1

 1
 1
3

8  1 
   
7   2
6  3 
   

(c)

(ii ) Cramer :

8
1  7
6

2
1
1

Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

1
1  1
1

, x1 

1
1
1

det[ A]  1

16


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

1

2  2

8
7

1
1  2

1

6

1

1
3  2
1

2
1
1

8
7  3
6

Ví dụ 2:

, x2 

2
2

2
det[ A]  1

, x3 

3
3

3
det[ A]  1

det[ ij ]  0 , b j   0

xi   Aij 

1

 0
b j    1
 1

 1 0 0
   
 1 0  0
3 0 0

1

0
1

Ví dụ 3:
det[ ij ]  0 , bi   0
 x1  2 x2  x3  0

 2 x1  x2  x3  0
 3x  3x  2 x  0
2
3
 1

(a )
(b)
(c )

1
det A  2

2
1

1
1 0

3

3

2

Phương trình (c) =phương trình (a) + phương trình (b) suy ra ta có 2 phương trình, 3
ẩn số:
 x1  2 x 2  x3  0

2 x1  x 2  x3  0
 x1  x 2  0

không phụ thuộc tuyến tính

Vô số nghiệm
x1 = x2 = 0 ,

x3 = 0 (nghiệm tầm thường)

x1 = x2 = 1 ,

x3 = -3

x1 = x2 = 10 ,

x3 = -30

Đây là bài toán trị riêng
Trường hợp 4:

 ij  0 ,

b   0

j

Từ công thức Cramer, ta suy ra nghiệm bất định, với mọi (i = 0
Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

17


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Nếu không, hệ phương trình sẽ vô nghiệm
 x1  2 x 2  x3  1

2 x1  x 2  x3  2
3 x  3 x  2 x  3
2
3
 1

(a)
(b)
(c )

Dễ thấy Δ1=Δ2=Δ3 = 0
Vì phương trình (c) =phương trình (a) + phương trình (b) cho nên chỉ có (a) và (b) độc
lập tuyến tính
x1 – x2 = 1
Vô số nghiệm:

x1 =1 , x2 = 0 , x3 = 0
x1 =2 , x2 = 1 , x3 = -3 v.v….
1.6.2 Bài toán trị riêng
1. Khái niệm:
Xét hệ n phương trình thuần nhất:
[σ ij] {xj } – λ{xi } = 0

(1.51a)

(σij - λδij) xj = 0

(1.51b)

Hay ở dạng chỉ số:
Với λ là một số, δij – ký hiệu Kronecker.
(1.51a) hay (1.51b) sẽ có nghiệp không tầm thường nếu phương trình:
Det[σij - λδij] = 0

(1.52)

là phương trình đa thức bậc n đối với λ.
Bài toán biểu thị dẫn đến phương trình dạng (1.51) được gọi là bài toán trị riêng.
+ Phương trình đa thức bậc n (1.52) được gọi là phương trình đặc trưng, nghiệm
của nó được gọi là trị riêng của ma trận [σij].
+ Ứng với mỗi trị riêng có một nghiệm {xj}#0, tức là nghiệm không tầm thường
của (1.51), được gọi là vectơ riêng hay vectơ đặc trưng.
+ λk là trị riêng. Khi đó, theo (1.51)
[σij] {xj (k)}= λk {xj (k)}

( ) , không lấy tổng theo k

(1.53a)

( )

(1.53b)

k

hay

σij xj (k)= λk xj (k)

k

Các phương trình (1.53a) là phụ thuộc tuyến tính, cho nên các véc tơ riêng
x1(k) , x2(k) , … , xn(k) không xác định được một cách tường minh mà được xác định
dưới dạng thừa số của một các vec tơ trên, chẳng hạn xl(k) và phải khác 0.
Có thể chứng minh tính chất sau:

Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

18


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Ma trận đối xứng thực có trị riêng thực và các vectơ riêng trực giao

0 ,  k  l 
xj(k) xj(l) = 
1 ,  k  l 

(1.54)

Chứng minh: ????
2. Chuyển đổi ma trận về dạng đường chéo
Xét ma trận thực, đối xứng (trường hợp M=N=3)
Xây dựng ma trận P có cột là những vectơ riêng đã được chuẩn hóa thành véctơ đơn
vị:
( x (jk )  xˆ (jk ) - vectơ riêng đơn vị)
 xˆ1(1)

P   xˆ2(1)
 xˆ (1)
 3

xˆ1(3) 

xˆ2(3) 
xˆ3(3) 

xˆ1(2)
xˆ2(2)
xˆ3(2)

, Pij  xˆi( j )   ij

(1.55)

Pji  xˆ (ji )   ji
Ma trận chuyển trí PT có dạng:
 xˆ1(1)

PT =  xˆ1( 2 )
 xˆ (3)
 1

xˆ 2(1)
xˆ 2( 2)
xˆ 2(3)

xˆ 3(1) 

xˆ 3( 2) 
xˆ 3(3) 

, PT P = I ( ma trận đơn vị)

P là ma trận trực giao. Thật vậy, từ (1.54) ta có:
χij χik = δik
Ta xét:

(1.56)

 ij xˆ (jk )   ij  jk

(1.57)

Mặt khác, từ (1.53a):
ˆ (1)
 ij xˆ (1)
j  1 xi
ˆ (2)
 ij xˆ (2)
j  2 xi
ˆ (3)
 ij xˆ (3)
j  3 xi
Từ đó, ta xây dựng

 ij xˆ (jk )   k xˆ i( k ) , (không lấy tổng theo k)
Hay:

 ij  ik   k  ik , (không lấy tổng theo k)

Từ (1.57) và (1.58):

 ij  jk  k  ik



 
 k 

(1.58)
(1.59)

Nhân cả hai vế (1.59) với χil :

Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

19


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI



 
 k 

σijχjkχil = λkχikχil
hay :



 
 k 

σijχjkχil= λkδlk

(1.60)
(1.61)

Có thể viết dưới dạng ma trận

 il   ij  jk 
T

1
  0
 0

0

2
0

0
0 
3 

(1.62)

(3  3)
Có thể mở rộng cho trường hợp n bất kỳ
3. Tọa độ chuẩn và tọa độ mở rộng

Hệ n phương trình tuyến tính:
 ij x j  bi

(1.63a)

 ij   x j   bi 
Đưa ra phép biến đổi tuyến tính:
x j   jk yk

(1.63b)
(1.64a)

 x       y 
j

jk

(1.64b)

k

Đặt (1.64a) vào (1.63a):

 ij  jk yk  bi

(1.65)

Nhân hai vế với χil, sử dụng (1.65), tìm được

l yl   il bi

( )

(1.66)

( )

(1.67)

l

yl 

Hay

 il bi
l

l

Như vậy, phương trình (1.48) có thể tách ra bằng phép biến đổi (1.64a)
Ta gọi y là tọa độ chuẩn, x - tọa độ suy rộng.
4. Dạng toàn phương

Dạng toàn phương của tọa độ suy rộng xi:
V   xi   ij   x j    ij xi x j
Với phép biến đổi (1.64a), V có dạng chính tắc của tọa độ chuẩn yl:
T

n

V  k yk yk  1 y12  2 y22  ...  n yn2

(1.68)

(1.69)

k 1

Tính xác định dương:
(i)Với V xác định theo (1.68): Ma trận thực, đối xứng [σij] và dạng toàn phương
(1.68) được xem là xác định dương nếu V>0 với mọi {σxi} thực #{0}.
Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

20


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Điều kiện cần và đủ để [σij] và V xác định dương là (theo Frazer, Duncan và Collar,
1938):
 11  12  13 
 11  12 


 11  0, 
  0 ,  21  22  23   0 , , det  ij   0


 21
22 
 31  32  33 

(1.70)

(ii) Với dạng chính tắc (1.69), tính xác định dương được thỏa khi và chỉ khi mọi λI>0

Một số trường hợp riêng

+Xét phương trình đặc trưng (1.52), khi n=2

 11    12
0,
 21
 22  


 ij   ji

(1.71)

  ( 11   22 )  ( 11 22   12 )  0
2

2

Nghiệm:
1 
2 

1



1,2   11   22   11   22   4 122  2 



2

(1.72)



+Xét phương trình đặc trưng (1.52), khi n=3
σ3- I1σ2 + I2σ -I3 = 0

(1.73)

Với
I1= σii

(1.74a)

 11  12   22  23   11  13 
I2  


 
 21  22   32  33   31  33 

(1.74b)

I 3  det[ ij ]

(1.74c)

I1, I2, I3 là bất biến.

1
Thật vậy, với [σii] trùng với ma trận chính tắc: 
0

2

0 


3 

Ta có: det  ij   ij  (1   )(2   )(3   )

Khi λ= 0:  ij = λ1λ2λ3
Phương trình đặc trưng (1.52) có dạng:

 3  (1  2  3 ) 2  (12  2 3  31 )  12 3  0

(1.75)

So sánh (1.73), và (1.75), rút ra Ik (k=1, 2, 3) – bất biến.
Nghiệm của phương trình (1.73):
Đưa ra ký hiệu:
Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

21


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

1 2

a  3 ( I1  3I 2 )

b  1 (2 I 3  9 I I  27 I )
1
1 2
3

27

(1.76)

Ta có thể chỉ ra 27b2 – 4a3  0
(i)Nếu 27b2 – 4a3= 0 có 3 nghiệm thực, trong đó ít nhất 2 nghiệm bằng nhau
1

1  (4b) 3 

I1
3

(1.77a)

1

 b 3 I
2  3      1

3
2
2
3
(ii) Nếu 27b -4a < 0, có 3 nghiệm thực khác nhau

(1.77b,c)

1

 a 2
  I
1  2   cos    1
3
3 3

(1.78a)

1

 a 2
 2    I1
2  2   cos 

3
 3  3

(1.78b)

1

 a 2
 4    I1
3  2   cos 

3
 3  3
3 3b
cos  
3
2a 2
1.7. Trường tenxơ. Các định lý
1.7.1. Trường tenxơ

(1.78c)
(1.79)

x3
xi,t
0

x2

x1

Hình 1.11 Khoâng gian xi, t
Định nghĩa:
Ứng với mỗi điểm x của không gian và mỗi thời điểm thời gian t, tenxơ T (x,t)
có một giá trị. Tập hợp mọi giá trị tạo thành trường tenxơ: (x,t) (T (x,t)
Bán kính véctơ x (hay xi) biến đổi trong miền đã cho của không gian,

t thay đổi trong khoảng thời gian đã cho.
Trường tenxơ liên tục (hay khả vi) nếu thành phần của trường là liên tục (khả vi)
theo xi và t.
Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

22


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Nếu các thành phần là hàm số chỉ phụ thuộc vào x thì trường tenxơ được gọi là
dừng.
Trong hệ tọa độ đề các trực giao, bán kính véctơ của điểm bất kỳ được biểu diễn:
x = xi ˆi
i

Các trường tenxơ có hạng khác nhau có thể viết dưới dạng chỉ số và biểu tượng:
= (xi , t) hay
= (x,t )
 Trường vô hướng
vi = vi(xi , t) hay v = v(x,t)
 Trường véctơ
Tij = Tij(xk , t) hay T = T(x,t)
 Trường tenxơ hạng 2

1.7.2. Vi phân trường tenxơ
Vi phân các thành phần tenxơ theo tọa độ xi được ký hiệu bằng toán tử vi phân


(hay (i).
xi
Có thể chỉ ra rằng đây là một toán tử tenxơ hạng nhất:
'
()
() () x j () x k
 '
 ' a kj
 aij '
x i x j xi x j
xi
x j

(1.80)

Có thể dùng ký hiệu nabla (để viết toán tử này dưới dạng tenxơ:
 ˆ
 = ˆii
 ii  i
x i
Vi phân theo biến xi có thể viết bằng chỉ số dưới sau dấu phẩy:
φ
  ,i

x i


v i
 v i,i
x i



vi
 vi,j
x j



 2 vi
 v i, jk
x j x k




Tij
x k

 Tij, k

 2 Tij
x k x m

 Tij, km

Ta nhận thấy khi vi phân sẽ nhận được tenxơ có hạng cao hơn một bậc nếu i là
chỉ số tự do và thấp hơn một bậc nếu i là chỉ số lấy tổng.

1.7.3. Một vài toán tử vi phân quan trọng trong CHMTLT:

Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

23


CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

 grad  =   =

PGS.TS. LƯƠNG VĂN HẢI

 ˆ
ii
x i

hay  i  ,i

(1.81a)

 div v = .v

hay  i v i  v i,i

(1.81b)

 rot v =  x v

hay ε ijk  i v k  ε ijk v k, j

(1.81c)

ˆi

rot v 
x
vx

ˆj

y
vy

kˆ

z
vz

trong hệ tọa độ đề-các

 Toán tử Laplace:
2
= .
(1.81d)

hay

 ii =

,ii

1.7.4. Các định lý trong trường tenxơ
1.7.4.1 Định lý phân kỳ Gauss chuyển từ tích phân khối sang tích phân mặt.
Công thức thường dùng của định lý: đối với trường véctơ v = v(x),
(1.82)
 div v dV   nˆ. v dS
V

S

Với nˆ là véctơ đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt S giới hạn thể tích V mà trong đó v
được xác định. Công thức được viết dưới dạng chỉ số:

v

i,i

V

dV   vi n i dS

(1.83)

S

Mở rộng định lý trên cho trường hợp tenxơ hạng bất kỳ:

T

ijk

V

..., p dV   Tijk ...n p dS

(1.84)

S

1.7.4.2 Định lý Green (trong mặt phẳng) chuyển từ tích phân đường sang tích
phân mặt.
S – miền phẳng kín giới hạn bởi chu tuyến kín C (không tự cắt chính nó) trên mặt
phẳng x1, x2. Cho hàm M(x1,x2), N(x1, x2) liên tục và có đạo hàm liên tục trong miền
S. Khi đó:

 N M 
dx1dx 2
(1.85)

 Ndx 2    
x
x


1
2


C
S

Có thể tổng quát hóa định lý trên thành định lý Xtốc (n =3)
1.7.4.3 Định lý Xtốc
Đối với mọi hàm F = Fi ˆi liên tục và khả vi, tích phân của hàm F dọc theo chu tuyến

 Mdx

1

i

kín C có thể chuyển sang tích phân theo mặt S có biên là chu tuyến C (xem hình vẽ):

Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

24


C HC VT RN BIN DNG

PGS.TS. LNG VN HI

Hỡnh 1.12 Maởt S vaứ bieõn laứ ủửụứng cong C



C

F d x n .rotFdS

(1.86)

S

Cú th vit di dng ch s hoc khai trin:

F dx
(*)
i

C

i



(rotF)
S

n

dS


S

F 3 F 2
F
F3
cos n , x 1 1

x 3 x 1
x 2 x 3
F
2 F1 cos n , x 3
x 1 x 2



cos( n , x 2 )

dS




1.8. Hỡnh hc vi phõn
1.8.1. ng cong v mt khụng gian

x3

xi(u+u)
xi = xi(u + u) xi(u)
xi(u)

x2

x1

Hỡnh 1.13 ng cong khụng gian

Trong khụng gian vt lý thụng thng, cho bỏn kớnh vộct x l hm ca vụ hng u:
xi = xi(u) vi u - thụng s. im cui xi v nờn mt ng cong khụng gian khi thụng
s u thay i.

Chng 1. C S TON HC

25