CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

TRNG THPT NGUYN HNG O

GII HN CA HM S
A.TểM TT L THUYT:
Gii hn hu hn
1.Gii hn c bit:
lim x x0 ; lim c c (c: hng s)
x x0

x x0

Gii hn vụ cc, gii hn vụ cc
1.Gii hn c bit:
neỏu k chaỹn
lim x k ; lim x k
x
x
neỏu k leỷ

lim

x

x

1
;
x 0 x
1
1
lim lim

x 0 x
x 0 x
2.nh lớ:
Nu lim f ( x ) L 0 v lim g( x ) thỡ:
lim

2.nh lớ:
a) Nu lim f ( x ) L v lim g( x ) M
x x0

x x0

thỡ: lim f ( x ) g( x ) L M
x x0

lim f ( x ) g( x ) L M

x x0

lim f ( x ).g( x ) L.M

x x0

f (x) L

(nu M 0)
x x0 g( x )
M
b) Nu f(x) 0 v lim f ( x ) L
lim

x x0

x x0

f (x) L

c) Nu lim f ( x ) L thỡ lim f ( x ) L
x x0

x x0

x x0

lim f ( x )g( x ) . Bng sau:

x x0

lim f ( x )
+
+
-

lim f ( x )





lim f ( x ).g( x )

Nu lim f ( x ) L 0 v lim g( x ) 0 thỡ:
x x0

x x0

x x0

thỡ L 0 v lim

c

0
xk
1
lim
x 0 x

lim c c ;

lim

x x0

f (x)
. Bng sau:

g( x )

lim f ( x )
+
+
-

lim g( x )

Du ca
g( x )

0

+
+
-

f (x)
g( x )





lim

3.Gii hn mt bờn:
lim f ( x ) L

* Khi tớnh gii hn cú mt trong cỏc dng vụ nh:

lim f ( x ) lim f ( x) L


, , 0. thỡ phi tỡm cỏch kh dng vụ nh.


x x0

x x0

x x0

GV:NGUYN THNH HNG T:TON

0
,
0

Page 1


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

B.MỘT SỐ VẤN ĐỀ - DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:
Vấn đề

P( x )
x  x0 Q( x )

lim

P ( x0 )
=
Q( x 0 )
P ( x0 )
=
Q( x 0 )

Dạng toán

L
, M  0, L  0
M
0
,M0
M

Phương pháp giải
P( x )
P( x ) L

Thế x 0 vào
: lim
Q ( x ) x  x 0 Q( x ) M

P( x0 ).Q( x0 )  0.

P( x )
P( x )

0
: lim
Q ( x ) x  x 0 Q( x )
Áp dụng 2 quy tắc giới hạn vô cực:
- Quy tắc 1.
- Quy tắc 2.
- Nhóm nhân tử chung: x  x0 .
- Nhân thêm lượng liên hiệp.
- Thêm, bớt số hạng vắng.
- Ta cũng thường sử dụng các
phương pháp như các dạng ở trên.

P( x0 )  Q( x0 )    

- Ta thường sử dụng phương pháp
nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.

P ( x0 ) L
= ,L0
Q( x 0 ) 0
P ( x0 ) 0
=
Q( x 0 ) 0

P ( x0 )
=
Q( x 0 )
P ( x0 )
=
Q( x 0 )

L
, M  0, L  0
M
0
,M0
M

Thế x 0 vào

Thế x 0 vào

P( x )
P( x ) L

: lim
Q ( x ) x  x 0 Q( x ) M

P( x )
P( x )
0
: lim
Q ( x ) x  x 0 Q( x )
Áp dụng 2 quy tắc giới hạn vô cực:
P ( x0 ) L
= ,L0
- Quy tắc 1.
P( x )
P( x )
Q( x 0 ) 0

- Quy tắc 2.
lim
, lim
x  x0 Q( x ) x  x0 Q( x )
- Nhóm nhân tử chung: x  x0 .
P ( x0 ) 0
=
- Nhân thêm lượng liên hiệp.
Q( x 0 ) 0
- Thêm, bớt số hạng vắng.
- Ta cũng thường sử dụng các
P( x0 ).Q( x0 )  0.
phương pháp như các dạng ở trên.
- Ta thường sử dụng phương pháp
P( x0 )  Q( x0 )    
nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
- Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì
chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao
nhất của x.

với lim p( x)   , lim Q( x)  
- Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có

x

x

P( x )
thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa
lim

cao nhất của x hoặc nhân lượng liên
x  Q( x )
hợp.
- Ta thường sử dụng phương pháp

nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
- Tổng hợp các phương pháp trên.
0.
s inx
1
Chú ý: Đối với hàm số lượng giác thì cũng có các dạng tương tự và vận dụng công thức: lim
x  x
GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TOÁN

Thế x 0 vào

Page 2


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

C.VÍ DỤ VẬN DỤNG:
P( x )
P( x )
P( x)
Vấn đề 1: lim
và lim
, lim 
x  x Q( x )
xx Q( x) x x0 Q( x )

0
0
P ( x0 ) L
, M  0, L  0 .
Dạng 1:
=
Q( x0 ) M
Phương pháp: Thế x 0 vào

P( x )
P( x ) L

: lim
Q ( x ) x  x 0 Q( x ) M

Ví dụ 1:
x 3  8 13  8 7 7
a) lim 2



x 1 x  4 12  4
3 3
2 4 x 2 43 1


b) lim
x 3
x
3

3
3
3
x 1  1 x
3  1  1  3 2  3 2
c) lim


x 3
x
3
3

sin



sin x
4 2 2


x

x
4
4
23
2 x
1



e) lim 2
2
x 3 2 x  5x  2 2.3  5.3  2 5
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
d) lim



2

1 x  x  x
x 0
1 x

a) lim

3

x 0

d)

1 x  x  x
1 x

lim

x ( 1)

x 1
x4  x  3

i) lim x 2 sin

x 2

x 8 3
x 1
x 2
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) lim

3x 2  4  3x  2
x 1

e) lim

g) lim

2

f) lim

x 1

x4  x  3

x 1

x2  x  1
x 1

b) lim

x 1

d) lim

3x  1  x
x 1



sin  x  

4
c) lim

x
x

2

h) lim

3

x 2

3

b)

lim



x ( 1)

e) lim

GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TOÁN

2

x 2

3x  1  x
x 1

x2  x  1
x 1

2

x2  2x  3
x 1

x 1

x 0

1
2



sin  x  

4
c) lim
 
x
x ( )
2

f) lim
x 1

x2  2x  3
x 1

Page 3


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO
3

3x 2  4  3x  2
x 1

x 8 3
x 2

h) lim

Phương pháp: Thế x 0 vào

P( x )
P( x ) 0

0
: lim
Q ( x ) x  x 0 Q( x ) M

g) lim
x 1

Dạng 2:

x 2

P ( x0 ) 0
, M  0.
=
Q( x0 ) M

i) lim x 2 sin

x 0

1
2

Ví dụ 2:
x 3  8 23  8 0
a) lim 2
 2
 0
x 2 x  4
2 4 8
2 4 x 2 40 0

 0
b) lim
x 0
x 1
0 1
1
3
3
x 1  1 x
0  1  1 0 0
c) lim

 0
x 0
x 1
0 1

1
sin x sin 0 0

 0
d) lim
x 0 x  1
0 1 1
22
2 x
0


0
e) lim 2
x 2 2 x  5x  1 2.22  5.2  1 1
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:

x  x2  x3
a) lim
x 0
1 x
d) lim

x 1

x 1
x4  x  3

x 8 2

g) lim
x 4
x 2
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) lim
x 0

d) lim
x 1

g)

x  x2  x3
1 x
x 1
x4  x  3

lim 
x  4 

Dạng 3:

x 8 2
x 2

3x 2  1  2 x
x 1

c) lim

x2  x  1  1
x 1

f) lim

b) lim

x 1

e) lim

x 2
3

3x 2  4  3x  2
h) lim
x 2
x 1

b)

lim



x ( 1)

e) lim
x 2

h) lim
x 2

3

3x 2  1  2 x
x 1

x


2

sin x
2x

x2  2x  2  1
x 1

x 1

x2
x 0 cosx

i) lim

c)

lim
x (



2

x2  x 1  1
x 1

f) lim

3x 2  4  3x  2
x 1

i) lim

x 1

x 0

sin x
) 2 x

x2  2x  2  1
x 1
x2
cosx

P ( x0 ) L
= , L  0.
Q( x0 ) 0

Phương pháp: Áp dụng 2 quy tắc giới hạn vô cực:
GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TOÁN

Page 4


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO
- Quy tắc 1.
- Quy tắc 2.
Ví dụ 3:
 lim ( x  8)  6
 x 2
x 8
  Do:  lim ( x  2)  0
a) lim
x 2 x  2
 x 2
 x  2  0, x  2
 lim ( x  8)  6
 x 2
x 8

b) lim
  Do:  lim ( x  2)2  0
2
x 2  x  2 
 x 2 2
 x  2   0, x
Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) lim

1  x  x2  x3
x

x 0

d) lim

x 1

2

g) lim

x 2

2

x2 2

 x  2

 x  1

x 1

x 1

 x4  x  2

3x 2  1  2 x

b) lim

4

 x  12

x 1

h) lim

x 0 2 x 2

x2  x  1  1

e) lim

3

f) lim

x 1

3x 2  4  3x  2

 x  2

x 2

cosx

c) lim

2

6

1

x2  2x  2  1

 x  14
i) lim

cosx

x 0

x4

Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a)

lim

x ( 1)

d) lim
x 1

x  x2  x3
1 x
x 1

x4  2x  3

g) lim

x6 2
x 2

Dạng 4:

P ( x0 ) 0
= .
Q( x0 ) 0

x 2

b) lim

3x 2  1  2 x
x 1

c) lim

e) lim

x2  x  1  1
x 1

f) lim

3x 2  4  3x  2
2 x

i) lim

x 1

x 1

h) lim
x 2

3

1 x
x 0 sin x

x 1

x 0

x2  2x  2  1
x 1

cosx
x

Phương pháp:
- Nhóm nhân tử chung: x  x0 .
- Nhân thêm lượng liên hiệp.
- Thêm, bớt số hạng vắng.
Ví dụ 4:
P( x )
a) L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0.
x  x0 Q( x )
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TOÁN

Page 5


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO
Ví dụ: lim

x3  8

( x  2)( x 2  2 x  4)
x 2  2 x  4 12
 lim

3
x 2
x 2

( x  2)( x  2)
x2
4

 lim

x2  4
P( x )
b) L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc.
x  x0 Q( x )
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
x 2

 2  4  x  2  4  x 
2 4 x
1
1
 lim
 lim

x 0
x 0
x 0 2  4  x
x
4
x 2  4  x 
P( x )
c) L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn không đồng bậc

x  x0 Q( x )
Ví dụ: lim

Giả sử: P(x) =

m u( x )  n

Ta phân tích P(x) =

v( x) vôùi

m u( x

0)

 n v( x0 )  a .

 m u(x)  a   a  n v(x)  .

 3 x 1 1 1 1 x 
x 1  1 x
 lim 


x 0
x 0 
x
x
x



 1 1 5
1
1
= lim 

  
x 0  3
2 3
 3 2 6
1

1

x
 ( x  1)  x  1  1

Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:

Ví dụ: lim

a) lim

3

x3  x2  x  1

x 1

d) lim

x 3

x 2  3x  2
x 3  5x 2  3x  9
x 4  8x 2  9

(1  x )(1  2 x )(1  3 x )  1
x 0
x
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
x3  x2  x  1
a) lim
x 1
x 2  3x  2
x 3  5x 2  3x  9
d) lim
x 3
x 4  8x 2  9

g) lim

(1  x )(1  2 x )(1  3 x )  1
x 0
x
Bài tập 3: Tìm các giới hạn sau:

g) lim

a) lim

x 2

d) lim

x 2

4x  1  3
x2  4

x 2 2
x 7 3

GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TOÁN

b) lim

x 1

e) lim

x4 1
x3  2 x2  1
x  5x 5  4 x 6

(1  x )2

x 1

x  x 2  ...  x n  n
x 1
x 1

x 1

e) lim

x4 1
x3  2 x2  1
x  5x 5  4 x 6

(1  x )2

x 1

h) lim
x 1

b) lim

x  x 2  ...  x n  n
x 1

x 1 3

e) lim

x 1

3

x 1

4x  4  2

.

2 x  2  3x  1
x 1

x3  1

x 1

f) lim

xm 1

x 1

h) lim

b) lim

x5  1

c) lim

xn 1

i) lim

x 2

c)

x 4  16
x3  2 x2

x5  1

lim

x (1) x 3
m

1
x 1
f) lim n
x 1 x  1
i)

lim

x 4  16

x ( 2)

c) lim

x 0

f) lim

x 0

x3  2 x 2

1  x2 1
x

x2  1 1
x 2  16  4
Page 6


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO
g) lim

1 x 1

x 0 3 1 

x 1
Bài tập 4: Tìm các giới hạn sau:
a) lim
x 2

d) lim

x 2

x 1
b) lim 3
.
x 1
4x  4  2

x2  4

x2 2
x  7 3

x 1

d) lim

h)

1 x  3 1 x
x

e) lim

x2
1 4x . 1 6x 1
g) lim
x 0
x
Bài tập 6: Tìm các giới hạn sau:

1 x  3 1 x
a) lim
x 0
x
x 0

g) lim
x 0

x 0

2 1 x  3 8  x
x 0
x

c) lim

8x  11  x  7

2 x 2  5x  2
1  2 x .3 1  4 x  1
h) lim
x 0
x
3

x 1

1 4x  3 1 6x

e) lim

x2
1  4x . 1  6x 1
x

x 2

h) lim
x 0

i) lim

c) lim

x 2  3x  2
3

3

x 0

8x  11  x  7

x 2

3

5  x3  x2  7

f) lim

x 2

b) lim

x  9  x  16  7
x

i) lim

x 2  3x  2
3

x 2  16  4

x 0

8x  11  x  7

x 2

x 0

d) lim

3

x2  1  1

f) lim

x 2  3x

x (3)

b) lim

1 4x  3 1 6x

x 0

x  3  2x

lim

1  x2  1
x

c) lim

2 x  2  3x  1
x 1

e) lim

1 x 1
x 0 3 1  x  1
Bài tập 5: Tìm các giới hạn sau:
x 0

x 0

3

4x  1  3

x  9  x  16  7
x

i) lim

x 2  3x

x 3

g) lim

a) lim

x  3  2x

h) lim

x 0

8 x  11  x  7

f) lim

x2  1
x 1  1 x
x

2 1 x  3 8  x
x
3

5  x3  x2  7

x2  1
3
x 1  1 x
i) lim
x 0
x

2 x 2  5x  2
1  2 x .3 1  4 x  1
x

x 1

Dạng 5: P( x0 ).Q( x0 )  0. ( lim P( x ).Q( x ) )
xx
0

Phương pháp: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
Ví dụ 5:
x

x  2. x 0. 2
a) lim( x  2) 2
 lim

0
x 2
2
x2
x  4 x2
b) lim ( x  2)

x

 lim

x  2. x



0. 2
0
2

x2
x 2  4 x 2
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
x
x
a) lim( x  3) 2

b) lim( x  4) 2
x 3
x 4
x 9
x  16
x
x
d) lim ( x  2) 2
e) lim ( x  3) 2
x 2
x 3
x 2
x 3
x 2

GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TOÁN

c) lim( x  1)
x 1

e) lim( x  5)
x 5

x
2

x 1
x
x 2  25
Page 7

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
x
a) lim ( x  3) 2
x 3
x 9
x
d) lim  ( x  2) 2
x 2
x  2 

b) lim ( x  4)

x

x 2  16
x
e) lim  ( x  3) 2
x 3
x  3 
x 4

c) lim ( x  1)
x 1

e) lim ( x  5)
x 5

x
x2  1
x
x 2  25

Dạng 6: P( x0 )  Q( x0 )     ( lim  P( x )  Q( x)  )
xx
0

Phương pháp: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
Ví dụ 6:
2 
x 1
1
1
 1
a) lim 

 lim
 lim


2
2
x 1  1  x 1  x  x 1 1  x
x 1 1  x
2
2 
x 1
1

1
 1
b) lim 

 lim
 lim


2
2
x 1  1  x 1  x  x 1 1  x
x 1 1  x
2
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
4 
6 
8 
 1
 1
 1
a) lim 
b) lim 
c) lim 







2
2
x 3  3  x 9  x 
x 4  4  x 16  x 2 
x 2  2  x 4  x 
 1


3 
1
1
10 
 1
d) lim 
e) lim 
f) lim 






2
3
2
2
x 5  5  x 25  x 
x 1  1  x 1  x 
x 2  x  3x  2 x  5x  6 
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:

4 
6 
8 
 1
 1
 1
a) lim 
b) lim 
c) lim 






2
2
x 3  3  x 9  x 
x 4  4  x 16  x 2 
x 2  2  x 4  x 
10 
3 
1
1
 1
 1


d) lim 
e)

f)

lim

lim








2
3
2
2
x 5  5  x 25  x 
x 1  1  x 1  x 
x 2  x  3 x  2 x  5 x  6 

Vấn đề 2:

P( x )
lim
.
x Q( x )


với lim p( x)   , lim Q( x)   .


x
x
Phương pháp:
- Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
- Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
Chú ý:
k
khi deg( P( x))  deg(Q( x))
P( x) 
lim
 0
khi deg( P( x))  deg(Q( x))
x  Q( x)


khi deg( P( x))  deg(Q( x))
 
Ví dụ 1:

Dạng 1:

GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TOÁN

Page 8


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

5 3


2 x  5x  3
x x2
 lim
2
a) lim
x  x 2  6 x  3
x 
6 3
1 
x x2
5 3
2  2
2
2 x  5x  3
x x
 lim
2
b) lim 2
6 3
x  x  6 x  3
x 
1  2
x x
3
2
2x  3
2
x
 lim


c) lim
x  4 x 2  1  x
x 
3
1
 4  2 1
x
3
2
2x  3
x
 lim
2
d) lim
2
x  4 x  1  x
x 
1
4  2 1
x
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
2x2  x  1
x2  1
a) lim
b) lim
x  2 x 2  x  1
x 
x 2

2

2

d) lim

x 

g) lim

x 

x2  2x  3  4x  1
4x2  1  2  x
(2 x  1) x 2  3
x  5x 2

e) lim

x 

h) lim

x 

Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) lim

x 

d) lim

x 

g) lim

x 

x2  1
2x2  x  1

x2  2x  3  4x  1
4x2  1  2  x
(2 x  1) x 2  3
x  5x 2

b) lim

x 

e) lim

x 

h) lim

x 

4x2  2x  1  2  x
9 x 2  3x  2 x

x 2  2 x  3x
4x2  1  x  2

2x2  x  1
x 2
4x2  2x  1  2  x
9 x 2  3x  2 x
x 2  2 x  3x
4x2  1  x  2

c) lim

x 

f) lim

x 

2x2  1
x 3  3x 2  2
x x 1
x2  x  1

x 2  5x  2
x  2 x  1

i) lim

c) lim

x 

f) lim

x 

2x2  1
x 3  3x 2  2
x x 1
x2  x  1

x 2  5x  2
x  2 x  1

i) lim

Dạng 2:    ( lim  P( x )  Q( x )  với lim P( x)   , lim Q( x)   và giới hạn này
x
x
x
thường có chứa căn)
Phương pháp: Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
Ví dụ 2:

GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TOÁN

Page 9

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO
a) lim



b) lim

 3 1  x2  x3  x  

x 

x 



1  x  x   lim

1  x  x  1  x  x 
1 x  x
1  x2

x 

lim



x  3

1  x2  x3

 lim

x 

  x 1 x  x
2

3

2

3

1
1 x  x

0

 x2

1
1
1
x2
 lim

2
x  
3


1 1
1 1
 3 2  1   3 2  1 1
x
x
x
 x


Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) lim  x 2  x  x 
x  



d) lim  x  x  x  x 
x  

Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) lim



x2  x  5  x

d) lim



x 4  x 2  10  x 2

x 

x 

b) lim  2 x  1  4 x 2  4 x  3 
x  


 3 2x  1  3 2x  1

e) lim

x 





b) lim 2 x  1  4 x 2  4 x  2
x 



e) lim

x 

3
c) lim  x 2  1  x 3  1 
x  


f) lim

 3 x3  x2  1 

c) lim



f) lim

 3 x3  x2  1 

x 



 3 2x 1  3 2x  1

x 

x 

x2  x  2



3

x2  x  1  x3  2 x2  1
x2  x  2





Dạng 3: 0. ( lim  P( x).Q( x)  với lim P( x)  0 , lim Q( x)   và giới hạn này thường
x
x
x
có chứa căn)
Phương pháp: Tổng hợp các phương pháp trên.
Ví dụ 2:
2

x  x 2
 x 2 
 lim
 lim
a) lim  x  1  2

x 
x 
 x  1  x  x 2  1

b) lim

x 





1 2

x x2
1
1
1 2
x

1

 x2  2  1 
x2  1 x2  2  x2  1
  lim
 x 2  1  x 
x2  1


1 
2 1 1

 1  2  1  2   3
x x
x

 lim  x 
 
1
1
x 

x x3

 x 2  1 

GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TOÁN

Page 10


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

1 
2 1 1

 lim   1  2  1  2   3  1
x x
x
 x   x 

1 1 
Do:  lim   3   0
 x   x x 
 1  1  0, x  0
 x x3



Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:

 x 3 
a) lim  x  1  2

x 
 x 1

 x2  2 
b) lim x  1  4
 x  1 
x 


 x2  2  1 

e) lim x 2  1 
 x3  1 
x 



 x2  2 
c) lim  x  1  3
 x  1 
x 



 x4  2  x2 

f) lim  x  1 
3


x 
x

1



 x2  2 
b) lim x 2  1  4
 x  1 
x 


 x2  2  1 

e) lim x 2  1 
 x3  1 
x 



 x2  2 
c) lim  x  1  3

 x  1 
x 


 4x4  2  x2 

f) lim  x  1 
3


x 
x

1





 x2 
d) lim  x  1  3 
x 
 x 1



2





Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:

 x 3 
a) lim  x  1  2

x 
 x 1
 x2 
d) lim  x  1  3 
x 
 x 1









Vấn đề 3: Mối quan hệ giữa giới hạn một bên và giới hạn tại một điểm.
Phương pháp:
- lim f ( x )  L  lim  f ( x )  lim  f ( x)  L .
x  x0

x x0

x  x0

- Sử dụng các cách tính giới hạn của hàm số.
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
 x 1 1
khi x  0

x
f ( x)  
taïi x  0
1
khi x  0
 2
Giải:
 x 1 1 
1
1
lim f ( x )  lim 

  lim
x 0
x 0 
x
 x 0 x  1  1 2
1 1
lim f ( x )  lim   
x 0
x 0  2  2
1
1
Do: lim f ( x )  lim f ( x )  nên lim f ( x ) 

x 0
x 0
x 0
2
2
Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:
 3x  3

khi x  1
f (x)   x  2
taïi x  1
mx  2
khi x  1
GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TOÁN

Page 11


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

 3x  3 
lim f ( x )  lim 
2
x 1
x 1  x  2 
lim f ( x )  lim  mx  2   m  2
x 1

Giải:

x 1

Do: lim f ( x )  lim f ( x ) nên m  2  2  m  0
x 1

x 1

Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
 1 x 1
 9  x2
khi x  0
 3

taïi x  0
a) f ( x )   1  x  1
b) f ( x )   x  3 khi x  3
taïi x  3
3

khi x  0
1  x khi x  3
 2
 x2  2x
 x 2  3x  2
khi x  2

khi x  1

3


2
taïi x  1
taïi x  2
c) f ( x )   8  x
d) f ( x )   x  1
4
 x
 x  16
khi x  1
khi x  2
 2
 x  2
Bài tập 2: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:
 1
3
 x3  1

khi x  1


khi
x

1
a) f ( x )   x  1
b) f ( x )   x  1 x 3  1
taïi x  1
taïi x  1
2

2

m x  3mx  3 khi x  1
mx  2 khi x  1

x  m
khi x  0
 x  3m
khi x  1

taïi x  1
c) f ( x )   x 2  100 x  3
taïi x  0 d) f ( x )   2
x

x

m

3
khi
x


1
khi
x

0



x 3


GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TOÁN

Page 12