Tổng hợp đề thi lớp 11 học kì 2 môn toán năm 2013 (Phần 7)

TRƯỜNG THPT HÀM
RỒNG

KIÊM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II
MƠN THI: TỐN - Khối 11.
Thời gian làm bài: 90’, khơng kể thời gian giao đề.

ĐỀ B

Câu 1: (2 điểm) Tìm các giới hạn sau
a/ lim

x 

x

2

 2x  2  x



b/ lim
x 0

cos 3x  cos 5 x
x2

3 x  6  x  2

Câu 2: (1 điểm) Cho hàm số f(x) = 

x2
ax


khi x  2
khi x  2

Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 2.
Câu 3: (1 điểm) Tìm đạo hàm của các hàm số sau
a/ y 

2x 2  x  1
x 1

b/ y  sin 3x  x. cos 3x

Câu 4: (2 điểm) Cho hàm số f(x) = -x3 + 3x + 1 (có đồ thị (C))
a/ Chứng minh: phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-2; 2).
b/ Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = -9x -15.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AC = a; SA  (ABC),
SA = 3a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên SB, SC.
a/ (2 điểm) Chứng minh: AK  (SBC), SB  (AHK).
b/ (1 điểm) Tính góc giữa đường thẳng AK và (SAB).
1
2
3
2010
 2.C2010
 3.C2010
 ...  2010.C2010

Câu 6: (1 điểm) Tính tổng S = C2010

Hế
t

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG
ĐÁP ÁN ĐỀ KTCL KÌ II - ĐỀ B
Mơn: tốn 11 NC
Câu
ý
Nội dung

Điểm


Câu 1
(2điểm)

a.

lim

x 

x

 lim

x  

b

Câu 2
(1điểm)

2



 2 x  2  x  lim

x 

2x  2

0,5

x2  x 1  x

2
x
1
1 1
1  2 1
x x
2

0,5

cos 3x  cos 5 x

2. sin x. sin 4 x
 lim
2
x 0
x 0
x
x2
 sin x sin 4 x 
 lim 8
  8.
x 0
4x 
 x

0,5

lim

lim f ( x)  lim
x 2

0,5

3 x6 2 2 x2 
x6  x2

 lim 


x 2

x2
x

2
x

2



3

x 2



x2
2 x
 lim 

x 2
 x  2 3 x  62  23 x  6  4  x  2 2  x  2
















1
1
  1
 lim 

2

x 2  3
3
6
 x  6  2 x  6  4 2  x  2 
1
1
Hàm số liên tục tại x0 = 2  lim f ( x)  f (2)  2a    a   .
x 2
6
12

Câu 3
(1điểm)

a

2 x
y' 
y' 

b.

y' 
y' 

Câu 4
(2điểm)

a

2







 x  1 x  1  2 x 2  x  1 x  1
/

x  12

/

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

4 x  1x  1  2 x 2  x  1  2 x 2  4 x  2
x  12
x  12

0,25

sin 3x  x. cos 3x /

0,25

2 sin 3x  x. cos 3x
3 cos 3x  cos 3x  3x. sin 3x 



4 cos 3x  3x. sin 3x

2 sin 3x  x. cos 3x
2 sin 3x  x. cos 3x
3

f(x) = -x + 3x + 1 là hàm số liên tục trên [-2; 2].
f(-2).f(-1) = -3< 0 => f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-2; -1)
f(-1).f(0) = -1 < 0 => f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1; 0)
f(0).f(2) = -1 < 0 => f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 2)
=> f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2)
=> f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2)

0,25
0,25

0,5

0,25


Câu 4
(2điểm)

Câu 5
(3điểm)

b

a

Tiếp tuyến // d: y = -9x -15 nên phương trình tiếp tuyến có dạng
y = -9x + m, m  -15.
3

 x  3x  1  9 x  m (1)

Điều kiện tiếp xúc: hệ 
có nghiệm.
2


3
x

3


9
(
2
)

 x  2  m  15
(2)  
 m  17
 x  2  m  17
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = -9x +17.
* SA  (ABC)  SA  BC. mà
AC  BC  BC  (SAC)
 BC  AK.
 AK  SC
Vậy: 
 AK  (SBC ).
 AK  BC

0,25

0,25
0,25
0,25

S

0,5
0,5
H

0,5

* Vì AK  (SBC)  AK  SB.
SB  AH
Vậy: 
 SB  (AHK ).
SB  AK

0,5
B

A

K

C

b

Câu 6

(1điểm)

* Vì SB  (AHK)  (AHK)  (SAB). Do đó hình chiếu của AK lên
(SAB) là AH.
 Góc giữa AK và (SAB) là góc (AK, AH).
Theo chứng minh trên, AK  (SBC)  AK  KH.
góc (AK, AH) = góc KAH.
1
1
1
3a 10
*
 2
 AK 
2
2
10
AK
SA
AC
1
1
1
3a 22


 AH 
2
2
2

11
AH
SA
AB
AK
55
55
 cosKAH  

 KAH  arccos
.
AH
10
10
0
1
2
3
2010
1  x2010  C2010
 xC 2010
 x 2 C2010
 x 3C2010
 ...  x 2010C2010
x  R.
Lấy đạo hàm 2 vế ta có:
2009
1
2
3

2010
2010.1  x 
 C2010
 2 xC 2010
 3x 2 C2010
 ...  2010 x 2009C2010
x  R.
Thay x = 1 ta được:
1
2
3
2010
S  C2010
 2C2010
 3C2010
 ...  2010C2010
 2010.2 2009

Chú ý:
Học sinh làm theo cách khác và đúng thì cho điểm tương ứng với từng phần như đáp án.
Người ra đề
Nguyễn Hữu Thận

0,25

0,25

0,25
0,25

0,5

0,5


A. Bắt buộc:
Bài 1:
1/Tính giới hạn:
a/ lim

n4  2n  2
n2  1

x3  8
x2 x  2

b/ lim

c/ lim

x 1

3x  2
.
x 1

2/ cho y=f(x)= x3 - 3x2 +2. Chứng minh rằng f(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt.
 x2  x  2
;x  2


3/ Cho f(x)=  x  2
. Tìm A để hàm số liên tục tại x=2.
5a  3x; x  2


Bài 2: Cho y

’

x2  1 . Giải bất phương trình y .y <2x -1.
2

ˆ  AOC
ˆ  600 , BOC
ˆ  900 .
Bài 3: Cho tứ diện OABC. Có OA=OB=OC =a , AOB

a/ CMR: ABC là tam giác vng.
b/ CM: OA vng góc BC.
c/ Gọi I, J là trung điểm OA và BC. Chứng minh IJ là đoạn vng góc chung OA vàw BC.
B. Tự chọn:
Bài 4: Cho f(x)= x3 – 3x2 +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) biết tiếp
tuyến song song với d: y = 3x + 2008.
Bài 5: cho f (x) =

x2  1 ( n)
.f  ?
x

I.

PHẦN BẮT BUỘC:

x3
( x  1)3  1
x2  5  3
:

lim

lim
x3 x2  2x  3
x0
x2
x
x2
CÀU 2: a) Cmr phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm : 2x3  10x  7  0
x3
, x  1

b) Xét tính liên tục của hàm số f ( x)   x  1
trên tập xác định .

, x  1
2

CÂU 1: Tính các giới hạn sau  lim

CÂU 3: a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số y = x3 tại điểm có hồnh độ là -1

.
b) Tính đạo hàm y  x 1 x2
 y  (2  x2 )cosx  2x sin x
CÂU 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc (ABCD) và ABCD là hình thang vng
tại A,B . AB=BC=a , ADC  450 , SA  a 2 .
a) Cmr các mặt bên là các tam giác vng.
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC
II.
PHẦN TỰ CHỌN:
1.BAN CƠ BẢN:
1
1

)
x 2 x  4
x2
CÂU 1: Tính
8
 Cho f ( x)  . Cmr f ' (2)  f ' (2)
x
 lim(


2

CÀU 2: Cho y = x3- 3x2 + 2 .Tìm x để y’< 3
CÂU 3: Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB  a, AD  b, AE  c . Gọi I là trung điểm của đoạn
BG. Hãy biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a, b, c
2.BAN NÂNG CAO:

CÂU 1: a) Tính gần đúng giá trị 4,04
b) Tính vi phân của y  x.cot 2 x
CÀU 2: Tính lim
x 3

x2  3x  1
x3

CÂU 3: Cho tứ diện đều cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện .


I.
PHẦN BẮT BUỘC :
CÂU 1:
1  2x
x3  3x2  9x  2

lim
 lim ( x2  x  3  x)
x x2  2x  3
x 2
x
x3  x  6

a)Tính  lim

b) Chứng minh phương trình x3 - 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt .

CÀU 2: a) Tính đạo hàm của các hàm số sau:





x2  2 x
x 1
b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y  tan x

2

y    3x 
x


x 1

 y  x  sin x  y 

c) Tính vi phân của ham số y = sinx . cosx
CÂU 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vng cạnh a . SA  ( ABCD) và
SA  a 6 .
a) Chứng minh : BD  SC,(SBD)  (SAC) .
b) Tính d(A,(SBD))
c) Tính góc giữa SC và (ABCD)
II.
PHẦN TỰ CHỌN:
1.BAN CƠ BẢN:
CÂU 1: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y  x 

1

tại giao điểm của nó với trục
x

hồnh .
60 64

 5 , giải phương trình f’(x) = 0
x x3
CÂU 3: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a . Tính AB.EG

CÀU 2: Cho hàm số f ( x)  3x 

2.BAN NÂNG CAO:
CÂU 1: Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số
y = sin2x .cos2x
CÀU 2: Cho y 

x3 x2

 2x . Với giá trị nào của x thì y’(x) = -2
3 2

CÂU 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a . Xác định đường vng góc
chung và tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD’ và B’C



Bài 1: Tính giới hạn:
a)lim

3n1  4n
4n1  3

b)lim

x+1  2
x2  9

Bài 2: Chứng minh phương trình x3  3x  1  0 có 3 nghiệm thuộc
Bài 3: Chứng minh hàm số sau khơng có đạo hàm tại x  3
 x2  9

f ( x)   x  3
1


 2;2 .

khi x  3
khi x =  3

Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)y  (2x  1) 2x  x2

b) y  x2 .cos x
x 1
Bài 5: Cho hàm số y 
có đồ thị (H).
x 1

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại A(2;3).
1
8

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến với đường thẳng y   x  5 .
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vng cạnh a, SA=a, SA vng góc với (ABCD).
Gọi I, K là hình chiếu vng góc của A lên SB, SD.
a) Chứng minh: Các mặt bên hình chóp là các tam giác vng.
b) Chứng minh: (SAC) vng góc (AIK).
c) Tính góc giữa SC và (SAB).
d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).



Bài 1: Tính giới hạn:
x3  x  1
x 1
Bài 2: Chứng minh phương trình x3  2mx2  x  m  0 có nghiệm với mọi m.
a)lim

2x2  3x  5
x2  1

b)lim

Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục tại x=1.
 x3  x2  2x  2

f ( x)  
3x  a

3x  a


khi x  1
khi x = 1

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số:
cos x
x

x
sin x
3
2
Bài 5: Cho đường cong (C) y  x  3x  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) y 

2
3 1
 3x  1  2  4
x
x
x

b) y 

a) Tại điểm có hồnh độ bằng 2.
1
3

b) Biết tiếp tuyến vng góc đường thẳng y   x  1 .
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,
a 3
, SO  ( ABCD), SB  a.
3
a) Chứng minh: SAC vng và SC vng góc SC vng góc BD.
b) Chứng minh: (SAD)  (SAB), (SCB)  (SCD).

OB 

c) Tính khoảng cách giữa SA và BD.


Bài 1: Tính giới hạn:
a) lim ( x2  x  3  2x)
x

b) lim ( 4x2  x  1  2x)
x

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình 2x3  10x  7  0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài 3: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = 2
 x2  1
khi x  1

f ( x)   x  1
mx  2 khi x  1


Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y 

3x  2
2x  5

b) y  ( x2  3x  1).sin x

Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y 
a) Tại điểm có tung độ bằng

1
x

1
.
2

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  4x  3 .
3
2

Bài 6: Cho tứ diện S.ABC có ABC đều cạnh a, SA  ( ABC), SA  a . Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh: (SBC) vng góc (SAI).
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).



Bài 1: Tính giới hạn:
a) lim

x

2 x 3
23 x

b) lim

x

x2  5x  3
x2

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x4  x3  3x2  x  1  0 có nghiệm thuộc (1;1) .
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số:
 x2  3x  2

f ( x)   x  2
3


khi x  2
khi x  2

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y 

sin x  x
cos x  x

b) y  (2x  3).cox(2x  3)

Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y 

2 x2  2 x  1
x 1

a) Tại giao điểm của đồ thị và trục tung.
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  2009 .
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,
BAD  600 , SA  SB  SC  SD 

a 13
. Gọi E lần lượt là trung điểm BC, F lần lượt là trung điểm
4

BE.
a) Chứng minh: (SOF) vng góc (SBC).
b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
c) Gọi (  ) là mặt phẳng qua AD và vng góc (SBC). Xác định thiết diện hình chóp với
(  ).
d) Tính góc giữa (  ) và (ABCD).


I/.phần chung( 7- điểm )
Bài 1(2đ)
1
 x5  7x3  11
Câu 1:Tìm a) L im 3
x 

3 5
x  x4  2
4
x 1  2
c)
b)lim
x 5
x5
x4 5 3
f ( x) 
 x  2x  1 .
2 3

4  x2
x 2 2( x2  5x  6)

lim

Câu 2:

Cho hàm số :

Tính f ’(1)
Bài 2 ( 3đ)
Câu 1:
 x2  x
a.x + 1

Cho hàm số f ( x)  

khi x<1
khi x  1

Hãy tìm a để f ( x) liên tục tại x = 1
Câu 2.

Cho f ( x) 

x2  2 x  3
.
x 1

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x) tại điểm có hồnh độ bằng 1.
Bài 3: (2 điểm )
Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a ,AD vng góc với BC , AD = a
và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm
AH.
a) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH bằng a.
b) Chứng minh rằng đường thẳng DI vng góc với mặt phẳng (ABC).
c) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
II/. Phần tự chọn (3đ)
A.Dành cho chương trình chuẩn
9x2  1  4x
x 
3  2x
sin 3x
b/Tìm lim
x 0 sin 5x

Bài 4 : a/ Tìm lim

Bài 5: a/ CMR phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt.
6x3 – 3x2 - 6x + 2 = 0
b/.Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a, Tính:
Chiều cao hình chóp.
B. Dành cho chương trình nâng cao


Bài 4: Tìm lim
x

6

1  2sin x
2cos x  3

Bài 5:
a/ CMR phương trình sau ln ln có nghiệm
( m2 – 2m + 2) x3 + 3x – 3 = 0
b/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc (ABCD)
và SA = a 3 . Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vng góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và
hình chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó.


I.
Phân chung: ( 7đ)
Bài 1: (2đ)
3n 2  3.5n1
4.5n  5.3n1
cos x  x

b/ Tính đạo hàm của hàm số: y 
sin x  x
x2  x  2
x 1 2x  2

a/. Tìm lim

lim

Bài 2: (2đ)
Câu 1:

Cho hàm số: y  x3  x2  x  5

(C).

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết: tiếp tuyến song song với đường thẳng
5x  y  2008  0 .
Câu 2:

Tìm a, b để hàm số:

5x2  6x  7 (x  2)
f ( x)   2
( x  2)
ax  3a

liên tục tại x = 2.

Bài 3: (3đ) Cho hình chóp S.ABC có (SAB), (SAC) cùng vng góc với (ABC), tam giác

ABC vuông cân tại C. AC = a; SA = x.
a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).
b) Chứng minh (SAC)  (SBC) . Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB).
d) Xác định đường vng góc chung của SB và AC
II/.Phần tự chọn ( 3đ):
A.Dành cho ban cơ bản
Bài 4
a. Cho f(x) = x2 sin (x – 2) . Tìm f ‘ (2)
1
b. Viết thêm 3 số vào giữa hai số và 8 để được câp số cộng có 5 số hạng, tính tổng các số
2
hạng của cấp số cộng đó
Bài 5
a. CMR phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2x3 - 10x = 7
b. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 300. Tính
chiều cao hình chóp.
B. Dành cho ban nâng cao
Bài 4:
a. Cho f(x) = sin 2x – 2 sinx – 5, giải phương trình f ‘ (x) = 0
b. Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân.
CMR: (a2 + b2 )( b2 + c2) = (ab+bc)2
Bài 5:
a.CMR: Với mọi m phương trình sau ln có ít nhất 2 nghiệm :
(m2 +1)x4 – x3 = 1


b.Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ , có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
Tính góc giữa 2 mặt phẳng (A’BC) và (ABC). Khoảng cách từ A đến (A’BC)

a
2


I. Phần chung cho cả hai ban
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1)

2  x  x2
x1
x 1

lim

lim

x3

2)

lim

x

2x4  3x  12

3)

7x  1
x3  x  3

lim

4)

x 1 2
9  x2

Bài 2.
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

 x2  5x  6

f ( x)   x  3

2 x  1

khi x  3
khi x  3

2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)

2) Cho hàm số

y  x x2  1
y

b)

y

2x3  5x2  x  1  0 .

3
(2x  5)2

x 1
.
x 1

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ x = – 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d:

y

x2
.
2

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA =
1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vng.
2) Chứng minh rằng: (SAC)  (SBD) .
3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)
II . Phần tự chọn.
1 . Theo chương trình chuẩn.

Bài 6a. Cho

x3  8

lim

Bài 5a. Tính

x 2 x2

y

 11x  18

.

1 3
x  2x2  6x  8 . Giải bất phương trình y /  0 .
3

2. Theo chương trình nâng cao.
Bài 5b. Tính

lim

x  2x  1

.

 12x  11
2

x  3x  3
/
Bài 6b. Cho y 
. Giải bất phương trình y  0 .
x 1
x1 x2

Bài 1.
1)

2  x  x2
( x  2)( x  1)
 lim( x  2)  3
= lim
x1
x1
x1
x 1
( x  1)

lim

a 2.


2)

3)

x

x

3 12

 
x x4

7x  1
x3  x  3
lim

Ta có:

4)

2x4  3x  12 = lim x2 2 

lim

lim ( x  3)  0, lim (7x  1)  20  0; x  3  0 khi x  3 nên I  

x3

lim

x3

x 1 2
9 x

2

x3

=

x3

lim

x3 (3  x)(3  x)(

x  1  2)

1

 lim

x3 ( x  3)(

x  1  2)



1
24

Bài 2.

 x2  5x  6

1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: f ( x)  
x3

2
x

1


khi x  3
khi x  3

 Hàm số liên tục với mọi x  3.
 Tại x = 3, ta có:
+ f (3)  7
+

lim f ( x)  lim (2x  1)  7

x3

x3

 Hàm số không liên tục tại x = 3.
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng

+

( x  2)( x  3)
 lim ( x  2)  1
( x  3)
x3
x3

lim f ( x)  lim

x3

(;3), (3; ) .

2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :
Xét hàm số:
Ta có:

2x3  5x2  x  1  0 .

f ( x)  2x3  5x2  x  1  Hàm số f liên tục trên R.

+

f (0)  1  0
  PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1  (0;1) .
f (1)  1 

+

f (2)  1  0
  PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2  (2;3) .

f (3)  13  0 

Mà c1  c2 nên PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
Bài 3.
1) a)

2)

y  x x2  1  y ' 

2 x2  1
x2  1

b)

y

3
(2x  5)2

 y'  

12
(2x  5)3

2
x 1
( x  1)
 y 
x 1

( x  1)2
a) Với x = –2 ta có: y = –3 và y (2)  2  PTTT: y  3  2( x  2)  y  2x  1.

y

x2
1
1
có hệ số góc k 
 TT có hệ số góc k  .
2
2
2
x  1
1
2
1
  0
Gọi ( x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có y ( x0 )  
2
2
2
( x0  1)
 x0  3
b) d:

y


1

1
x .
2
2
1
7
+ Với x0  3  y0  2  PTTT: y  x  .
2
2
+ Với

S

Bài 4.
1)

A

2)

 SA  (ABCD)  SA  AB, SA  AD
 Các tam giác SAB, SAD vuông tại A.
 BC  SA, BC  AB  BC  SB  SBC vuông tại B.
 CD  SA, CD  AD  CD  SD  SCD vuông tại D.
BD  AC, BD  SA  BD  (SAC)  (SBD)  (SAC).

3)

 BC  (SAB) 

D
O
C

B

x0  1  y0  0  PTTT: y 

 SC,(SAB)  BSC

SB2  SA2  AB2  3a2  SB = a 3
BC 1
0

 SBC vuông tại B  tan BSC 
 BSC  60
SB
3
 SAB vuông tại A 

4) Gọi O là tâm của hình vng ABCD.
 Ta có:

 SAO vng tại A 

Bài 5a.



tan SOA 

SA
2
AO

x2  8

I  lim

x2 x2  11x  18

lim ( x  11x  18)  0 ,
2

Ta có:

x2

Từ (1) và (*)  I 1 
Từ (2) và (*)  I 2
Bài 6a.



(SBD)  ( ABCD)  BD , SO  BD, AO  BD  (SBD),( ABCD)  SOA

lim 

x2

 lim 
x2

 x2  11x  18  ( x  2)( x  9)  0,
 2
 x  11x  18  ( x  2)( x  9)  0,
 lim ( x2  8)  12  0
(* )
 x2

x2  8
x2  11x  18
x2  8

x2  11x  18

khi x  2
khi x  2

  .

 

1
y  x3  2x2  6x  18  y '  x2  4x  6
3

BPT

y '  0  x2  4x  6  0  2  10  x  2  10

Bài 5b.

lim

Bài 6b.

y

x  2x  1

x1 x2  12x  11

BPT

 lim

( x  2x  1)  x  2x  11

x1 ( x2  12x  11)

x

2 x  1

x2  3x  3
x2  2 x
 y' 
x 1
( x  1)2

 2
x2  2x
x  0
y  0 
 0   x  2x  0  
.
x  2
( x  1)2
x  1

=

lim

( x  1)

x1 ( x  11)

x

2x  1

0

(1)
(2)

I .Phần chung cho cả hai ban
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
2  x  x2
x 1
x 1
7x  1
3. lim
x 3 x  3

2. lim 2x4  3x  12

1. lim

x

x 1 2
9  x2

4. lim
x 3

Bài 2.
1. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó.
 x2  5x  6
khi x  3

f ( x)   x  3
2 x  1
khi x  3


2. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2x3  5x2  x  1  0 .
Bài 3 .
1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
b . y

a . y  x x2  1
2 . Cho hàm số y 

3
(2x  5)2

x 1
.
x 1

a . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ x = - 2.
b . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d : y =

x2
.
2

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy ,
SA = a 2 .
1. Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
2. CMR (SAC)  (SBD) .
3. Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) .
4. Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD ) .
II . Phần tự chọn.

1 . Theo chương trình chuẩn .
x3  8
.
x  2 x  11x  18
1
Bài 6a . Cho y  x3  2x2  6x  8 . Giải bất phương trình y /  0 .
3

Bài 5a . Tính lim

2

2. Theo chương trình nâng cao .
x  2x  1
.
x 1 x2  12x  11
x2  3x  3
Bài 6b. Cho y 
. Giải bất phương trình y /  0 .
x 1

Bài 5b . Tính lim



I . Phần chung cho cả hai ban.
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1)

lim

x

lim

x 0

x2  x  1  3x
3
2) lim (2x  5x  1)
x 
2x  7

x3  1  1
x2  x

3)

lim

x 5



2x  11
5 x

4)

.

Bài 2 .

 x3  1

khi x  1 . Xác định m để hàm số liên tục trên R..
1) Cho hàm số f(x) = f ( x)   x  1

2m  1 khi x  1
2) Chứng minh rằng phương trình:
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số:
a)

y

(1 m2 ) x5  3x  1  0 ln có nghiệm với mọi m.

2  2x  x2

b)

x2  1

y  1 2tan x .

2) Cho hàm số y  x  x  3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có tung độ bằng 3 .
b) Vng góc với d: x  2y  3  0 .
Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đơi một vng góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC 1) Chứng

minh rằng: (OAI)  (ABC).
2) Chứng minh rằng: BC  (AOI).
3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
II . Phần tự chọn.
1 . Theo chương trình chuẩn .
4

Bài 5a. Tính

lim(

1

2



2

n 1 n 1
2

2

 .... 

n 1

).

n2  1

Bài 6a. Cho y  sin2x  2cos x . Giải phương trình
2 . Theo chương trình nâng cao .
Bài 5b. Cho

y/=0.

y  2x  x2 . Chứng minh rằng: y3.y //  1  0 .

Bài 6b . Cho f( x ) =

f ( x) 

64 60
  3x  16 . Giải phương trình f  ( x)  0 .
x3 x
ĐÁP ÁN ĐỀ 2

Bài 1:



1 1
1 1
x   1 
 3


3

x


x x2
x x2
x2  x  1  3x

 1
 lim
 lim
1) lim
x
x
x
2x  7


7
7
x 2 
x 2 
x
x


5 1
3
3
   
2) lim  2x  5x  1  lim x  2 

x
x
x2 x3 

x 1


2x  11
x5 5  x
 lim  5  x   0
 x5
Ta có:  lim  2x  11  1  0

 x5
 x  5  5  x  0
3)

4)

lim

x3  1  1

lim

x2  x

x0

 lim

x0

2x  11
 
x5 5  x

 lim

x3

x  x  1  x3  1  1

 lim

x0

x2

 x  1  x3  1  1

0

Bài 2:

x3  1
1)  Khi x  1 ta có f ( x) 
 x2  x  1  f(x) liên tục  x  1.
x 1
 Khi x = 1, ta có:


f (1)  2m  1


2
lim f ( x)  lim( x  x  1)  3

x1
x1

f (1)  lim f ( x)  2m  1  3  m  1

liên

f(x)

tục

tại

x

=

1

x1

Vậy: f(x) liên tục trên R khi m = 1.

f ( x)  (1 m2 ) x5  3x  1  f(x) liên tục trên R.

2) Xét hàm số

f (1)  m2  1  0,  m; f (0)  1  0,  m  f (0). f (1)  0, m
 Phương trình có ít nhất một nghiệm c  (0;1) , m
Ta có:
Bài 3:
1) a)

y

2) (C):

2  2x  x2
x2  1

 y' 

2x2  2x  2
( x2  1)2

b)

y  1 2tan x  y ' 

1 tan2 x
1 2tan x

y  x  x  3  y  4x  2x
4

2

3

x  0
a) Với y  3  x  x  3  3   x  1

 x  1
4

2

 Với

x  0  k  y (0)  0  PTTT : y  3

 Với

x  1  k  y (1)  2  PTTT : y  2( x  1)  3  y  2x  1

 Với

x  1  k  y (1)  2  PTTT : y  2( x  1)  3  y  2x  1

1
 Tiếp tuyến có hệ số góc k  2 .
2

3
Gọi ( x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: y ( x0 )  2  4x0  2x0  2  x0  1 ( y0  3 )
 PTTT: y  2( x  1)  3  y  2x  1.
b) d:

Bài 4:

x  2y  3  0 có hệ số góc kd  

