Tổng hợp đề thi lớp 10 học kì 2 môn toán năm 2013 (Phần 3)

SỞ GD&ĐT TIỀN
GIANG

KỲ THI HỌC KỲ HAI
Môn thi: TOÁN  Khối 10
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ

I - PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
1) Cho a  0; b  0 . Chứng minh rằng : (a  b)(b  c)(c  a)  8abc
2) Giải bất phương trình:
a.

x  3
0
 x2  9 x2  4

b. 2x  3  x  1

Câu 2: (1.0 điểm) Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền được cho trong bảng sau:
Lớp chiều cao (cm)
[ 168 ; 172 )
[ 172 ; 176 )
[ 176 ; 180 )
[ 180 ; 184 )
[ 184 ; 188 )
[ 188 ; 192 ]
Cộng

Tần
s
ố
4
4
6
14
8
4
40

a) Tìm mốt, số trung vị
b) Tính số trung bình cộng, phương sai?
Câu 3 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC có BC = 5 ; AC = 8 ; C  600 Tính AB, diện tích tam giác
ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu 4(2,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(–1; 2), B(3; –5), C(4; 7).
1/ Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A và C, phương trình đường cao kẻ
từ đỉnh C của tam giác ABC
2/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần cho chương
trình chuẩn 4a,5a; phần cho chương trình nâng cao 4b,5b).
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu 5a (2,0 điểm).
3  3

1/ Cho sin    ;     2  . Tính các giá trị lượng giác của góc 
5  2

cos   sin 
2/ Chứng minh

 tan 3   tan 2   tan   1
3
cos 

Câu 6a (1,0 điểm). Cho elip (E ) :
dài các trục của (E )
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu 5b (2,0 điểm).

x2 y 2

 1 . Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ tiêu điểm của, độ
16 9


1/ Cho biết tan  3. Tính giá trị của biểu thức : A 

2/ Chứng minh

2sin2   1
sin2   2cos2 

sin 3a  sin 5a  sin 7a
 tan 5a
cos 3a  cos 5a  cos 7a

Câu 6b (1,0 điểm). Cho Elip (E )

x2 y 2


 1 và đường thẳng m thay đổi có phương trình tổng quát
25 9

Ax + By + C = 0 luôn thỏa mãn 25 A2  9B2  C 2 . Tính tích khoảng cách từ tiêu điểm F1 , F2 của Elip
đến đường thẳng m
----------------Hết--------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:......................................................

Số báo danh:...............................

Chữ kí của giám thị 1:......................................

Chữ kí của giám thị 2........................... .....


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN GIANG

KỲ THI HỌC KỲ HAI
Môn thi: TOÁN – Khối 10

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
I. Hướng dẫn chung
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần
như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch
hướng dẫn chấm và phải được thống nhất trong toàn Hội đồng chấm thi.
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,3, lẻ 0,75 làm tròn
thành 0,8 điểm).
II. Đáp án và thang điểm
CÂU

Câu 1

ĐÁP ÁN
I - PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
1 1) Cho a  0; b  0 . Chứng minh rằng : (a  b)(b  c)(c  a)  8abc

Ý

+ Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số a,b (1)
+ Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số b, c (2)
+ Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số c, a (3)
+ Nhân (1) , (2) và (3) ta có điều phải chứng minh

0,25
0,25
0,25
0,25

2 2) Giải bất phương trình:
a.

2.0
0,75

x  3
0
 x  9 x2  4
2

+ Tìm nghiệm các tam thức đúng : -2;,2;3

+ Bảng xét dấu đúng
+ Nghiệm Bpt đúng  ; 2   (2;3]

0,25
0,5
0,25

b. 2x  3  x  1

1,25

+ Trường hợp 1: x  1  0  x  (; 1) . BPT luôn thỏa mãn.

0,5

 x  1
 2
2
2  x   1;   (4; )
 3
(2x  3)  ( x  1)

+ Trường hợp 2 : 

0,5



2
3

+ Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S =  ;   (4; )
Câu 2

ĐIỂM
7.0
1,0

Câu 2: Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền được cho trong bảng
sau:
Lớp chiều cao (cm)

Tần số

[ 168 ; 172 )
[ 172 ; 176 )
[ 176 ; 180 )
[ 180 ; 184 )
[ 184 ; 188 )
[ 188 ; 192 ]

4
4
6
14
8
4

0,25
1.0

Cộng

40

a) Tìm mốt, số trung vị
b) Tính số trung bình cộng, phương sai?
+ Mốt
+ Số trung vị
+ Số trung bình cộng
+ Phương sai

0,25
0,25
0,25
0,25

Cho tam giác ABC có BC = 5 ; AC = 8 ; C  600 Tính AB, diện tích tam giác
ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 3

+ Công thức đúng
+ AB = 7
+ S  10 3
+ R
Câu 4

0,25

0,25
0,25

7 3
3

0,25

Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(–1; 2), B(3; –5), C(4; 7).
1 Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A và C, phương
trình đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác ABC
* Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A và C
+ Véc tơ chỉ phương hoặc véc tơ pháp tuyến đúng
+ Kết quả đúng : x + y -1 = 0
* phương trình đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác ABC
+ Vectơ pháp tuyến n  (4; 7)
+ Kết quả đúng: 4x – 7y + 33 = 0
2 Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
+ Phương trình đường tròn
+ Thay tọa độ A,B,C được hệ ba ẩn

113
19
130
;b  ;c 
22
22
11
+ Vậy pt đường tròn : 11x2  11y 2  113x  19 y  130  0

.

II. PHẦN RIÊNG
1

3  3

Cho sin    ;     2  . Tính các giá trị lượng giác của góc 
5  2


+ Công thức

2.0
1.0
0,25
0,25

0,25
0,25
1.0
0,25
0,25
0,25

+ Giải hệ tìm được a 

Câu 5a

1.0

0,25
3.0
1.0
0,25

4
5
3
+ tan  
4
4
+ cot  
3

+ cos  

0,25
0,25
0,25
.

2

Chứng minh

cos   sin 
 tan 3   tan 2   tan   1
3
cos 

1.0


cos   sin 
cos3 
1

1  tan  
cos 2 
 (1  tan 2  ) 1  tan  

VT =

0,25x2
0,25
0,25

 tan 3   tan 2   tan   1

Câu 6a

Cho elip (E ) :

x2 y 2

 1 . Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ tiêu điểm , độ
16 9

1.0

dài các trục của (E )
+ Xác định đúng a, b, c
+ A1 (4;0); A2 (4;0); B1 (0; 3); B2 (0;3)

0,25
0,25
0,25
0,25

+ F1 ( 7;0); F2 ( 7;0) .
+ A1 A2  8; B1B2  6
Câu 5b 1

Cho biết tan  3. Tính giá trị của biểu thức : A 
A

2

2sin2   1
sin2   2cos2 

3tan2   1

4
tan2   2
sin 3a  sin 5a  sin 7a
Chứng minh
 tan 5a
cos 3a  cos 5a  cos 7a

sin 3a  sin 5a  sin 7 a
cos 3a  cos 5a  cos 7 a
2sin 5a.cos 2a  sin 5a

2 cos 5a.cos 2a  cos 5a
sin 5a(2 cos 2a  1)

 tan 5a
cos 5a(2 cos 2a  1)

VT 

Câu 6b

1.0

Cho Elip (E )

x2 y 2

 1 và đường thẳng m thay đổi có phương trình tổng quát
25 9

0,5 x 2
1.0
0,25
0,25

0,25x2
1.0

Ax + By + C = 0 luôn thỏa mãn 25 A2  9B2  C 2 . Tính tích khoảng cách từ
tiêu điểm F1 , F2 của Elip
(E)

x2 y 2

1
25 9

0,25

Ta có a = 5, b = 3, c = 4
Vậy (E) có hai tiêu điểm F1 (4;0); F2 (4;0) . Ta có
m1  d ( F1 , ) 
m2  d ( F2 , ) 

Suy ra m1.m2 

4 A  C
A B
4A  C
2

2

A2  B 2
C 2  16 A2

(1)

A2  B 2
Thay C 2  25 A2  9B2 vào (1)
Ta được m1.m2  9

0,25

0,25

0,25


TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2

Năm học 2012-2013

MÔN: Toán - LỚP 10

-----------------

(Thời gian: 90 phút)

Câu 1: (2,5 điểm) Giải các bất phương trình sau:
a). (1,0 điểm)

2x  3
1;
2x  4

2x 1  2  x .

b). (1,5 điểm)

Câu 2: (3,0 điểm)
3
4

a). (1,5 điểm) Cho 900<  <1800 và sin  = . Tính cos  , tan  , cot  .
b). (1,0 điểm) Chứng minh đẳng thức sau:

sin 4 x
cos 2 x
.
 tan x
1  cos 4 x 1  cos 2 x

c). (0,5 điểm) Chứng minh rằng nếu sin A 

sin B  sin C
thì tam giác ABC vuông ở A.
cos B  cos C

Câu 3: (4,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho A(-1; 2), B(3; 1) và đường thẳng (
a). (1,0 điểm) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b). (1,5 điểm) Viết phương trình đường thẳng qua B và vuông góc với ()
c). (1,0 điểm) Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng ().
d). (0,5 điểm) Tìm trên () điểm M sao cho MA2 +MB2 nhỏ nhất.

Câu 4: (0,5 điểm) Cho 2 số thực dương x, y thoả mãn: x+2y ≥ 8.
3
x

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x  y  

9
.
2y

---------------- Hết -----------------


H-íng dÉn chÊm to¸n 10 HKII n¨m häc 2012-2013
Nội dung

Câu
1.a.
1đ

Điểm Câu

0.25
Điều kiện x
Biến đổi BPT đã cho về BPT: 0.5

Giải đúng x< -2 và KL
0.25
Đk: x
và biến đổi BPT đã cho 0.25

1.b
1,5

3.b
1.5

về:
Nếu x < 2, KL đúng n0 của BPT: 0.5
Nếu x
2

giải đúng n0 của BPT:

3.c
1đ

0.5

KL: Tập n0 của BPT đã cho là: 0.25
2.a.
1.5

3.a
1đ

Viết đúng công thức:
sin2
=1
Tính đúng:

0.25

cos =

0.75

3.d
0.5

2.c
0.5

=VP

BC
B C
.cos
sin B  sin C
2
2 (1)
sin A 

cos B  cos C cos B  C .cos B  C
2
2

0.5

sin

0.25

Từ giả thiết, ta có:
cos

Tìm đúng vtcp của
Chỉ rõ đt cần tìm nhận

0.5

B C
BC
A
BC
A
 0,sin
 cos , cos
 sin
2
2
2
2
2

0.5
0.5

Ptđt cần tìm là: x+y - 4=0
Viết đúng pttq của

0.25

Viết đúng CT khoảng cách và tính 0.25
đúng R=
Viết đúng ptđtr:
0.5
(x+1)2 +(y – 2)2 = 2
M
Tính đúng:

0.25
2

+

0.25

0.5

Biến đổi biểu thức đã cho:
P=
(
Áp dụng BĐT cosi cho 2 số
dương, ta có
;

0.25

Theo gt:
x+2y

Thay vào (1) ta được:
A
A
A
2  2sin 2 A  1
2sin .cos 
2
2 sin A
2
2
 cos A  0  A  900  ĐPCM.

0.5

IV

VT=
=

0.5

KL: MA2 +MB2 nhỏ nhất khi
t = và M(

0.5
0.5

Điểm

Tìm đúng tđộ:
Ptts của đt AB:

Tính và biến đổi đúng:
MA2 +MB2 = (2t +

Tính đúng:

2.b
1đ

Nội dung

Vậy: P 8
Kết luận đúng

cos

0.25

x= 2 và y = 3

Chú ý:
Mọi cách làm khác đúng và lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa và chia thang điểm tương ứng.

0.25


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM
TRƯỜNG THPT ĐÔNG Á

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2
Môn Toán – lớp 10
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 ( 3 điểm ) Giải các bất phương trình sau.
a) (x-2)( x 2 +5x +6 ) > 0
b)

 2x 2  7x  7
 1
x 2  3x  10

Câu 2 ( 1 điểm ).Tìm các giá trị của m để bất phương trình:
x2 – m x – 3m -1 > 0
Câu 3 (1,5 điểm ) Biết cos  = 

và (

<<

). Tính sin2α, cos2α.

Câu 4 (0.5 điểm) Chứng minh rằng.

cos a  cos 7a
 tan 4a
sin 7a  sin a
Câu 5 (3 điểm)Trong mặt phẳng tọa oxy cho ∆ ABC với A ( 6; 2), B (1 ; 4), C (3 ;-1)
a)
b)

c)
d)

Viết phương trình đường thẳng BC và trung tuyến BM
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua trọng tâm G và vuông góc với BC
Tính diện tích tam giác ABC
Viếtphương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B,C.

Câu 6 (1đ) Trong mặt phẳng tọa độ oxy. Lập phương trình chính tắc của elip (E). biết một tiêu
điểm của (E) là F2 (2;0) và điểm M(2; 3) thuộc (E).
---------------HẾT--------------

ĐÁP ÁN TOÁN10


CÂU

Ý

1 a

NỘI DUNG
(x-2)( x 2 +5x +6 ) > 0
x-2=0  x = 2

0.25đ

x 2 +5x +6 = 0  x = -2; x = -3

0.25đ

Lập bảng xét dấu đúng

0.5đ
0.5đ

S=(-3;-2)  ( 2;+∞)
b

ĐIỂM

 2x 2  7x  7
 x 2  4x  3


1
0

x 2  3x  10
x 2  3x  10
Lập bảng xét dấu đúng

0.5đ
0.5đ
0.5đ

S=( - ∞; -2)  [1;3]  (5; +∞)
2

x2 – m x – 3m -1 > 0 x  R

0.5đ

∆ = m 2 +4(3m+1) < 0

0.5đ

m  (-6- 32 ; -6+ 32 )
3

sin 2 α +cos 2 α=1  sin 2 α = 1- cos 2 α
2

 3  16
sin 2 α = 1-    =
25
 5
sin 2 α = 

vì (

4
5

)  sinα =

<<

0.25đ

4
5

0.25đ

24
4 3
sin2α = 2sinα cosα =2.    = 25
5 5

0.5đ

2

7
4
cos2α = 1 - 2 sin α = 1 – 2   = 25
5
2

4

0.5đ


a

cos a  cos 7a
 tan 4a
sin 7a  sin a

Chứng minh rằng:

5
VT =
b

2 sin 4a.sin 3a
 tan 4a ( VT=VP  đpcm)
2 cos 4a.sin 3a

BC (2;-5)  n

BC

= (5;2)
0.25đ

phương trình cạnh BC: 5x + 2y- 13 = 0
c

0.25đ+0.25đ

phương trình cạnh BM: x+ y – 5 = 0

0.25đ
0.25đ+025

Đường thẳng (d) đi qua trọng tâm G và vuông góc với BC ,
nhận BC làm véc tơ pháp tuyến BC (-2;5)

0.25đ

(d) :6x-15y + 5= 0

d

AH= d(A;BC)=

5.6  2.2  13
52  2 2

0.25đ

21

29

0. 5đ

BC= 29
0.5đ

1 21
21
S ∆ABC =
. 29 
2 29
2
6

phương trình đường tròn (c) đi qua 3 điểm A,B,C là.
43
27
32
(c) : x  y  x 
y
0
7
7
7
2

Phương trình chính tắc của elip (E):

x2 y2

1
a2 b2

F2 (2;0)  c =2 .

0.25đ

0.25đ+0.25đ
0.25đ

MF1  MF2  2 a 

4 2  32 + 32 =2a  a = 4

a 2 +b 2 = c 2  b 2 = a 2 - c 2  b 2 =16 -4 =12
phương trình ( E) :

0.25đ

2

x2 y2

1
16 12

0.25đ
0.25đ

0.25đ


Câu I: (5 điểm)

2
1. Giải bất phương trình:  x  1 x  2  x  4  x  8  4 x
2. Cho các số thực a, b, c (với a ≠ 0) sao cho: phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai

nghiệm thuộc đoạn  0; 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 

 a  b  2a  b 
.
a a  b  c

Câu II: (5 điểm)
1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: ( x  1)( x  2)( x  8)( x  9)  y

2

2. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:

1
 1
x  x  y  y  5


 x3  1  y 3  1 15 m 10

x3
y3

Câu III: (3 điểm) Trong m t ph ng, cho góc xOy  60 . M, N l hai điểm l n lư t thay đ i
1
1
2012
trên hai tia Ox v Oy sao cho:
. Chứng minh đường th ng MN luôn đi qua


OM ON 2013
điểm cố định.
17
Câu IV: (2 điểm) Cho x, y l hai số dương thay đ i, có t ng bằng
. Tìm giá trị nhỏ nhất của

4
0

biểu thức:

P  x 2  11x 

1 2 x  11
3y


.
2
y
xy  1
y

Câu V: (5 điểm)
1. Trên m t ph ng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường th ng d1 : 2 x  3 y  3  0 và

d 2 : 5x  2 y  17  0 . Đường th ng d đi qua giao điểm của d 1 và d 2 cắt hai tia Ox, Oy l n lư t
tại A v B. Viết phương trình đường th ng d sao cho

AB 2
nhỏ nhất.
S 2OAB

2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A1, B1, C1 l n lư t l hình chiếu vuông góc của G
xuống cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng:

a 2 .GA1  b2 .GB1  c 2 .GC1  0 . (với a=BC, b=AC, c=AB).


Cõu
I

Ni dung
2
1. Gii bt phng trỡnh: x 1 x 2 x 4 x 8 4 x

bpt 2 x 2 6 x 8 x 2 9 x 8 4 x 2 (2)

x 0 không phải là nghiệm
8
8



x 0 , ph-ơng trình (2) x 6 x 9 4
x
x



8
Đặt x t , điều kiện t 4 2 (*)
x
Bpt trở thành: t 2 15t 50 0 5 t 10 , kết hợp (*) ta đ-ợc:
8
4 2 t 10 4 2 x 10 5 17 x 5 17

x
KL: nghiệm của BPT là: x 5 17;5 17
a b 2a b .
2. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: P
a a b c

b

x1 x2 a
Gi x1, x2 l 2 nghim ca PT ó cho. Theo Vi-et:
x x c
1 2 a
Do a 0 nờn ta cú :
b
b
1 2 1 x x 2 x x
x 2 x22 x1 x2
a
a
1
2
1
2
P

2 1
1 x1 x2 x1 x2
1 x1 x2 x1 x2
b c
1

a a
Khụng mt tớnh t ng quỏt gi s x1 x2 do 2 nghim thuc [0; 1] nờn
x12 x1 x2 ; x22 1 v 1 x1 x2 x1 x2 > 0 nờn ta cú:

x12 x22 x1 x2 x1 x2 1 x1 x2

1 P 3
1 x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 x1 x2
x1 0
c 0


x1 x1 x2
x 2 = 1
b a 0

Du ng thc xy ra khi: 2



x 1
b
x2 1
1
a c 0

2
x 2 = 1
Vy giỏ tr ln nht ca P bng 3
II

Thang
im
5.0
2.5
0,5
0,5

1,0

2.5

0,5

0,75

0,75

0,5

5.0


1.Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: ( x  1)( x  2)( x  8)( x  9)  y 2
Đ t t  x  5 , ta đư c:
( x  1)( x  2)( x  8)( x  9)  y 2  (t 2  9)(t 2  16)  y 2 (1)
25
Đ t u  t2 
( 2u  Z ) (1)  (2u  2y)(2u  2y)  49
2

2u  2 y  49  2u  2 y  1
2u  25  2u  25



Trường hợp 1:

2u  2 y  49
 y  12
 2u  2 y  1
 y  12
2u  25  t  5  x  0 hay x  10
Từ đó ( x, y)  (0 ;  12) , (10 ;  12)

2u  2 y  49  2u  2 y  1
2u  25 2u  25




 2u  2 y  1 2u  2 y  49
 y  12  y  12
2u  25  t  0  x  5 Từ đó ( x, y)  (5 ;  12)

Trường hợp 2:

2u  2 y  7 2u  2 y  7
2u  7 2u  7





2u  2 y  7 2u  2 y  7
 y0  y0
2u  7  t  4  x  1 hay x  9
2u  7  t  3  x  2 hay x  8
Từ đó ( x, y)  (1 ; 0) , (2 ; 0) , (8 ; 0) , (9 ; 0)
Tóm lại phương trình có 10 nghiệm nguyên (x, y) l :
(1; 0) , (2 ; 0) , (8 ; 0) , (9 ; 0) , (0 ; 12) ,
(0 ;  12) , (5 ; 12) , (5 ;  12) , (10 ; 12) , (10 ;  12)
2. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm
1
1
Đ t u = x  và v = y  với u  2, v  2
x
y

u  v  5
u  v  5
Hệ đã cho trở th nh:  3 3


u v  8  m
u  v  3  u  v  15m 10
2
u, v l các nghiệm của PT : t – 5 t + 8 = m (1)
Hệ đã cho có nghiệm khi v chỉ khi PT (1) có nghiệm t1, t2 thoả mãn t1  2, t2  2
(t1, t2 không nhất thiết phân biệt)
Xét h m số y = t2 – 5 t + 8 với t (;  2   2;   

2.5đ

0, 5

0,5

0,5

Trường hợp 3:

t

-

-2

2

+

y

5
2

0,5

0,5
2.5đ

1.0

+
+

22
2
1.0


7
4

7
 m 2
Từ bảng biến thiên suy ra hệ đã cho có nghiệm khi  4

 m  22
0.5
III.

IV

Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định.
Gọi Ot l tia phân giác của góc xOy
uy ra Ot cố định. Gọi I l giao điểm MN với tia Ot.
Ta chứng minh I cố định.
1
* SOMN  OM .ON.sin MON
2

1
3
= OM .ON. sin 600 
OM .ON (1)
2
4
1
1
* SOMN  SOMI  SONI  OM .OI . sin MOI  ON.OI .sin NOI
2
2
1
1
= (OM  ON ).OI. sin 300  (OM  ON ).OI (2)
2
4
1
OM  ON
Từ (1) v (2) suy ra:

OI
3OM .ON
1
1
1
2012
 I cố định.

(


)
3 OM ON
2013 3
1 2 x  11
3y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 2  11x  2 
.

y
xy  1
y
Ta có: P = ( x +

1 2
1
) + 11( x + ) +
y
y

3
x

1
y

. Đ t: t = x +

1
> 0. Ta có:
y

3
3
1
3
1
1
47
= ( t – )2 + (12 t + ) –  2 12t. –
=
.
t
t
2
t
4
4
4
1
Đ ng thức xảy ra khi t = .
2
17

 x  y  4
1
Giải hệ: 
đư c: x = và y = 4.
4
x  1  1
y

2

47
1
Vậy: Min P =
đạt đư c khi x = và y = 4.
4
4

3.0đ
0.5

0.5

1.0

1.0

2.0đ

0.5

P = t 2 + 11 t +

V

1.0

0.5

5.0đ


1. Viết phương trình đường thẳng d sao cho

AB 2
nhỏ nhất.
S 2OAB

2.5đ

0.5








giao điểm của hai
Gọi I là
đường
th ng d 1 và
d 2  I (3 ; 1) .
Giả sử A(a ; 0) và B(0 ; b) với a, b  0 thì đường th ng d có phương
x y
3 1
trình   1 . Vì I  d    1
a b

a b

AB 2
OA2  OB 2
1 
1 
 1
 1

4
.
 4.

 4 2  2 
2
2
2
2
2 
S OAB
OA .OB
OB 
b 
 OA
a
Áp dụng bất đ ng thức Bunhiacôpski ta có
Ta có

0.5

0.5

2

1
1
1
1  3 1
 1
(3  1 ) 2  2       1  2  2 
10
a
b
b  a b
a
2

0.5

2

10
3 1

AB 2
2
   1 a 
 Min 2
khi  a b



3
S OAB 5
 3a  b
 b  10
Khi đó đường th ng d có phương trình 3x  y  10  0 .

0.5

2
2
2
2. Chứng minh rằng: a .GA1  b .GB1  c .GC1  0 . (Với a=BC, b=AC, c=AB).

2.5đ

a2 .GA1  b2 .GB1  a 2 .GC1  0  (a 2 .GA1  b2 .GB1  a 2 .GC1 )2  0
 a 4 .GA12  b4 .GB12  c4 .Gc12  2a 2b2 GA1.GB1  2a 2c2 GA1.GC1  2b2c2 GB1.GC1  0 (*)
ha
h
h
, GB1  b , GC1  c , aha  bhb  chc  2S ,
3
3
3
0
GA1.GB1  GA1.GB1.cos(180  C )  GA1.GB1.cosC , -2ab.cos C  c 2  a 2  b 2

0.75

Ta có: GA1 

GA1.GC1  GA1.GC1.cos(180  B)  GA1.GC1.cosB, -2ac.cos B  b  a  c
0

2

2

2

GC1.GB1  GC1.GB1.cos(1800  A)  GC1.GB1.cosA, -2cb.cos A  a 2  b 2  c 2

1.0


VT(*) 

4S 2 .a 2 4S 2 .b 2 4S 2 .c 2 4S 2 .(c 2  a 2  b 2 ) 4S 2 .(b 2  a 2  c 2 ) 4S 2 .(a 2  c 2  b 2 )





0
9
9
9
9
9

9

0.75

L điều phải chứng minh.

1.

Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh sau:

 x 1  y  x   2 y 2  y


x 2 y  2  y x 1  2





 

x  1
®k: 
(**)
y  0
 x 2  x 1  y   2 y 2  2 y  0(4)

HPT  
x 2 y  2  y x  1  2 (5)



Gi¶i (4) xem nh- ph-¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi Èn x ta ®-îc:
x   y
x  1 2 y

Víi x=-y lo¹i do (**)
Thay x=1+2y vµo (5) ta cã:
y  2  x  5
kÕt hîp (**) nghiÖm cña
1  2 y  2 y  2  y 2 y  2  
 y  1  x  1
HPT lµ: (x;y) = ( 5;2)



 





 




0,5

1,0

0,5
1,0

A
M
N

0,25

C

B

Ta có: BN 

CA  kCB BA   k  1 BC
BC  2 BA

, CM 
1 k
k 1
3







Do BN  CM  BN .CM  0  BC  2BA BA  1  k  BC  0

1
1
 1  k  a  2a   2k  1 BA.BC  0  1  k  2  k   0  k 
2
4
1
a
Với k   AM 
4
5
2

0,5

2

0,25


BC l đường th ng đi qua B v vuông góc với đường cao hạ từ A nên có PT:
4  x  2  3 y  1  0  4 x  3 y  5  0 .

0,5

Tọa độ điểm C l nghiệm của hệ:

0,5

4 x  3 y  5  0  x  1


 C  1;3

x  2 y  5  0
y  3

Gọi d l đường th ng đi qua B v vuông góc với đường phân giác góc C, d có phương
trình:
2  x  2   y  1  0  2 x  y  5  0 .

0,5

Tọa độ điểm H l giao điểm của d v phân giác góc C l nghiệm của hệ:
x  2 y  5  0
x  3

 H  3;1

2
x

y

5

0

y 1

Gọi B’ l điểm đối xứng với B qua đường phân giác góc C, khi đó B` thuộc AC v H
l trung điểm BB` nên ta có:

xB '  2 xH  xB  4; yB '  2 yH  yB  3  B '  4;3 AC l đường th ng đi qua C v có vectơ chỉ

0,5

phương CB '  5;0  nên có PT là:
0,5

0  x  1  5  y  3  0  y  3  0 .

Tọa độ điểm A l nghiệm của hệ:
y  3  0
 x  5

 A  5;3

3x  4 y  27  0
y  3

0,5

Vậy A 5;3 , C  1;3 .
Thay tọa độ A, B l n lư t v o vế trái phương trình đường phân giác góc C ta đư c các
số: 4;  5 , do đó đường phân giác góc C đó l phân giác ngo i.

0,5

Kí hiệu N chỉ tập h p các số tự nhiên. Giả sử f : N  N l h m số thỏa mãn các điều kiện





f 1  0 và f m2  2n2   f  m    2  f  n   với mọi m, n  N . Tính các giá trị của f  2 
2

2

và f  2013 .
Đ t f  2   a . Cho m  n  0  f  0   3  f  0    f  0   0 .
2

Cho m  1; n  0  f 1   f 1   f 1  1 . Cho m  n  1  f  3  3.
2

 

0,25

Cho n  0  f m2   f  m   , m  N nên f  4   a 2 .
2

M t khác với mỗi số tự nhiên

0,25


k  3   k  1  2  k  2    k  3  2k 2
2

2

2

  f  k  1   2  f  k  2     f  k  3   2  f  k  
2

2

2

2

1

Từ (1) cho k  3 ta có

 f  4

2

 2  f 1    f  0    2  f 3   a 4  16  a  2  f  2   2 .
2

2

2

Theo trên ta chứng minh đư c f  n   n với n  0; 1; 2; 3; 4 . Ta chứng minh bằng quy nạp

f  n   n . Thật vậy, với n  3 từ đ ng thức (1) ta có:

 f  n  1  2  f  n  2    f  n  3   2  f  n 
  f  n  1    n  3  2n  2  n  2    n  1  f  n  1  n  1
2

2

2

2

2

2

2

2

Do đó f  n   n, n  N  f  2013  2013.

2

0,5


Câu 1: Giải các bất phương trình sau: a)

2x  5
1


x  6x  7 x  3
2

b) 5x  1  3x  1

c)

3x 2  2 x  5
0
x 2  8 x  15

Câu 2: Cho phương trình (m  2) x2  2(2m  3) x  5m  6  0 (1)
a)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thõa mãn : x1  x2  x1.x2  2
Câu 3:
a) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm: A(1;5), B(1;4) và có tâm nằm trên đường
thẳng  : x  y  2  0 .
b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) :  x  1   y  2   4 và điểm A(3;4) .Hãy viết
phương trình tiếp tuyến của (C ) đi qua A .
2

Câu 4: a) Giải bất phương trình:
c)

a)

2

x2  5x  6  2 x 2  10 x  15

b) x2  x  4 x  6  0

x2  x  3  x2  x  1

2

1  cos x  1  cos x 
b) Chứng minh rằng :

1
(sin x  0) .

  2cot x
sin x  sin 2 x

Câu 5: Cho đường tròn  C  : x2  y 2  4 x  4 y  1  0 và đường thẳng  : 3x – 4y – 2 = 0. Viết

phương trình đường thẳng  ' song song với  cắt  C  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho
AB  2 5
1
3
. Tính A  2
sin a  sin a cos a  cos 2 a
3
b) Cho tan   3 . Tính giá trị biểu thức A  sin 2   5cos2 

Câu 6: a) Cho cota =

Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC với A(1; 2), B(2; –3), C(3; 5).

a) Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A.
b) Viết phương trình đường tròn tâm B và tiếp xúc với đường thẳng AC.
c) Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với AB và tạo với 2 trục toạ độ một tam giác
có diện tích bằng 10.
Câu 8: Lập chính tắc của elip (E), biết một tiêu điểm của (E) là F1(–8; 0) và điểm M(5; –3 3 )
thuộc elip.
Câu 9: Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(-1;-2), B(2;1) và tiếp xúc với đường
thẳng () : 2x – y + 2 =0
Câu 10: Trong mp Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2);C(4;-2). Gọi H là chân đg cao hạ
từ B và M, N là trung điểm của AB, BC. Viết phương trình đường tròn qua H, M, N


Câu 1: 1. Giải BPT và hệ BPT sau: a.  x2  7 x  6  3  2 x

b. 2 x2  11x  12  x  4

2 x 2  5 x  2  0

c.   x  3
0

 x 1

2. Giải phương trình sau: a)
Câu 2: a) Cho sin   

6 x2  5x  4  2 x  1

( x  1)( x  2)  x 2  3x  4

b)


5 3

;
   2 . Tính cos  ; tan  ; sin     ; tan 2 .
4
3 2


4 3

, 0  a  . Tính sin2a, cos 2a, tan2a
3
4
a. Hãy tính góc giữa 2 đường thẳng d1 và d 2 biết: (d1 ) : 2 x  3 y  1  0 và

b) Cho tan a  cot a 
Câu 3:

 x  2  4t
(d 2 ) : 
(t  R)
y 1 t

* b. Cho đường tròn (C): x2  y 2  4 x  8 y  5  0 . Viết phương trình tổng quát của đường
thẳng (d) biết (d) song song với (  ): 4x – 3y + 5 = 0 và chắn trên đường tròn (C) một dây cung
có độ dài bằng 8.
Câu 4: a) Cho elip (E): 16 x2  49 y 2  784. Hãy xác định độ dài trục lớn; độ dài trục nhỏ; tiêu cự;

tâm sai; tọa độ các tiêu điểm và tọa độ các đỉnh của (E) đó.


b) Lập ptct của (E) có một tiêu điểm là F ( 3;0) và đi qua điểm M 1;


3

2 

Câu 5: Cho phương trình: x  2(m  3) x  2m  14  0 . Định m để pt trên có 2 nghiệm pb x1 ; x2
thỏa điều kiện x12  x22  8
Câu 6:
a. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau: (tan 2 x  tan x)(sin 2 x  tan x)  tan 2 x






 3

b. Chứng minh biểu thức A  cos   x  cos   x   cos   x  cos   x  không phụ thuộc
2

3



4



6



 4



vào x
Câu 7: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng : cos A  cos B  cos C 

3
2

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của m làm cho bất phương trình
f ( x)  (m  1) x2  2(m  2) x  m  6  0 có tập nghiệm T  
Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng, (d1 ) : x  y  2  0;(d2 ) : 2 x  y  5  0 và điểm
M(-1;4)
a) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm M và tiếp xúc với đường thẳng (d1)
b) Viết phương trình đường thẳng () cắt (d1) ; (d2) lần lượt tại A và B sao cho M là trung
điểm của đoạn thẳng AB
Câu 10: Cho phương trình: x4  2mx2  3m  2  0 . Tìm m để phương trình cho có 4 nghiệm phân
biệt


Câu 1 : Giải phương trình : a.

3x2  24 x  22  2 x  1

b.

8  2 x  x 2  36  36 x  9 x 2

Câu 2 : Giải bất phương trình sau:
a) x2  3x  2  x  2

b)

2
3
1


x  3 x 1 x

c)

2 x 2  3x  15  2 x 2  8 x  6

Câu 3 : Định m để phương trình :  x2  2(m  1) x  m2  8m  15  0 có hai nghiệm cùng âm phân
biệt.
Câu 4 : Định m để bất phương trình : (1  m) x2  2mx  5  9m  0 vô nghiệm
Câu 5 : a) Cho a và b là 2 góc nhọn dương thỏa điều kiện: (1 + tana) (1 + tanb) = 2. Chứng

minh: a  b 
4

b) Rút gọn biểu thức A =

1+ 2sinxcosx
(1+ tanx)(1+ cotx)

c) Chứng minh biểu thức C  cos2 (a  x)  cos2 x  2cos a.cos x.cos(a  x) độc lập đối với x
Câu 6: Chứng minh đẳng thức sau :
cos a  cos3a  cos5a
 cot 3a
sin a  sin 3a  sin 5a



 1
c) sin a.sin   a  .sin   a   sin 3a
3

3
 4

a)

e) 96 3 sin


48

cos



48

cos


24

cos


12

cos


6

b) cot a  tan a  tan 2a  4tan 4a  8cot 4a
d)

1  cos x  cos 2 x  cos3x
 2cos x
2cos 2 x  cos x  1

9
 x  2  2t
và
y  3 t

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng (d) có phương trình : 

một điểm A(0; 1).
a. Viết PTTQ của đường thẳng (d’) qua A và song song với (d) .
b. Tìm điểm M thuộc d sao cho AM ngắn nhất.
Câu 8 :Viết phương trình chính tắc của elip (E) , biết elip (E) đi qua hai điểm

 2
3
7 
M 1;
;
 ; N 

 2 
 2 2 2

Câu 9:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2  y 2  2 biết tiếp tuyến có hệ số góc là
1
b) Viết ptrình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2  ( y  1)2  25 biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng 3x – 4y +1 = 0
Câu 10 :
a) Cho đường thẳng (d): x – 2y + 15 = 0. Tìm trên (d) những điểm M (xM ; yM ) sao cho x2M
+ y2M nhỏ nhất--b) Cho đường tròn (C): x2  y 2  2 x  4 y  1  0 và đường thẳng (d): 4x – 3y + m = 0. Tìm m
để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AIB  1200 , với I là tâm của đường tròn (C)



Câu 1 : Giải phương trình : a) 3 – 5x +

x2  x  2 = 0

Câu 2 : Giải bất phương trình : a) x 2  2 x  3  3x  3

b) x 2  20 x  9  3x 2  10 x  21
b)

3x2  7 x  4  2( x  1)

c)

x  2  x2  x  6

Câu 3 : Tìm m để phương trình : x2   m  2 x  2m  3  0 có 2 nghiệm cùng dương phân biệt.
Câu 4 : Định m để bất phương trình : (m  1) x2  2(m  1) x  3(m  2)  0 vô nghiệm
Câu 5 : a) Cho sin a  

1 
3 
 a
 . Tính cosa, sin2a, cos2a, tan
3 2
2 



a   .
4


sin 2   tan 2 

cos 2   cot 2 
 x  2  2t
Câu 7: a) Cho đường thẳng (d) : 
và điểm A(3; 1). Lập ptrình tổng quát của đường thẳng ()
 y  1  2t
qua A và (d).
 x  1  2t
b) Tính góc giữa 2 đường thẳng sau : () : 2x  3 y  1  0 và ( ') : 
(t  R)
 y  1  t

b) Rút gọn biểu thức sau : M =

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : x2  y 2  4 x  2 y  4  0 biết tiếp tuyến qua
A(-1 ; 2)
Câu 8: a) Lập chính tắc của elip (E), biết một tiêu điểm của (E) là F1(–8; 0) và điểm M(5; –3 3 ) thuộc
elip.
5
b) Lập phương trình chính tắc của (E) có tâm sai e 
và hình chữ nhật cơ sở có chu vi là 20.
3
Câu 9: Viết phương trình đường tròn (C) biết:
a. (C) qua A(0, 2); B(-1, 1) và có tâm I nằm trên đường thẳng 2x + 3y = 0
b. (C) qua A(5, 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: x + 3y + 2 = 0 tại điểm M (1, -1).
Câu 10 : Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1 ;-3) và đường thẳng (d ) : x  2 y  2  0 . Tìm tọa độ của B, C
tren (d) sao cho tam giác ABC vuông cân tại B


Câu 1 : Giải các bất phương trình và hệ bất phương trình sau :
2

5
a) 2
 2
x  5 x  4 x  7 x  10

b) 2 x  5 x  2  x  5 x  6
2

2

 x2  2 x  1  0

c)  2 x  1
0

 2x  3

Câu 2 : Giải phương trình sau : a) 3 – 5x + x 2  x  2 = 0
b) x2  2 x  4  2  x
Câu 3: a) Tìm m để bất phương trình (m 2 1) x2  2(m  1) x  3  0 có nghiệm đúng x  R
b) Tìm các giá trị của m để các phương trình : (m2  6m  16) x2  (m  1) x  5  0 có 2 nghiệm
trái dấu.
4
Câu 4: a) Cho tan a  4 . Tính cos 2a,sin 2a, tan 2a
b) Cho sina + cosa = . Tính sin2a và
7
tana + cota.
 5

 3


c) Rút gọn biểu thức: B  sin(  x)  cos 
 x   tan 
 x   cot(2  x)
2
2




d) Chứng minh biểu thức M = cos6x + 2sin6x + sin4x.cos2x + 4sin2x.cos2x – sin2x không phụ
thuộc vào x.
Câu 5: Chứng minh các đẳng thức sau:
1  sin 2 x
tan x  1
a)
b)

2
2
sin x  cos x tan x  1
sin3 x(1  cot x)  cos3 x(1  tan x)  sin x  cos x

 
 3
c) cos 2 x  sin   x  sin   x  
6
 6
 4

d) cos 4a  8cos4 a  8cos2 a  1

Câu 6 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1,4), B(4,6), C(7,

3
)
2

a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B
b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại B.
Câu 7: a) Cho đường thẳng d: 2x  y  3  0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc trục hoành sao cho khoảng cách
từ M đến d bằng 4.
b) Viết phương trình đường tròn tâm I(2; 0) và tiếp xúc với trục tung.
x +3 y 5
Câu 8 : Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(1 ; 2) và tạo với đường thẳng (D):
một
=
1
2
góc 450 .
Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E): 9x2 + 16y2 = 144. Hãy xác định độ dài trục
lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tâm sai, tọa độ các tiêu điểm và tọa độ các đỉnh của (E).
Câu 10 : Viết phương trình đường thẳng (d) qua M (1; 3) và cách đều hai điểm A(1;-2), B(3;6).


Câu 1: Giải bất phương trình sau:

a)

x
1

2
( x  3)
x3

b)  x2  6 x  5  4 x 2  32 x  64
Câu 2: Giải các phương trình sau:
a. 21  4 x  x2  x  3
b. x2  3x  2  2 x 2  4 x
Câu 3: Tìm điều kiện của m để bất phương trình sau : mx2 – 2(m – 2 )x + m – 9 > 0 có nghiệm đúng với
mọi x thuộc R.
Câu 4: a) Tìm các giá trị lượng giác của cung  biết: sin  
b) Rút gọn biểu thức sau: B=

1
5

và


2

  .

1  2sin 2 
2cos 2   1

cos   sin  cos   sin 

1
Câu 5 : CMR : a) cos3 a sin a  sin 3 a cos a  sin 4a
4
cos   sin 
 1  cot   cot 2   cot 3    k , k 
sin 3 



 sin2a
c) sin 2   a   sin 2   a  
2
8

8


b)

.
d)

1  cos x 1  cos x 4cot x


1  cos x 1  cos x sin x

Câu 6 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho A(1; 3) và đường thẳng: d: x – 2y + 4 = 0
a) Viết phương trình tham số đường thẳng d.

b) Tìm tọa độ điểm N trên d sao cho tam giác AON vuông tại A.
c) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và cách điểm B(– 1 ; 5) một khoảng cách là 2 .
Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ABC với A(1; 2), B(2; –3), C(3; 5).
a) Viết phương trình đường tròn tâm B và tiếp xúc với đường thẳng AC.
b) Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với AB và tạo với 2 trục toạ độ một tam giác có
diện tích bằng 10.
1
Câu 8: Viết phương trình chính tắc của elip  E  biết (E) có tiêu cự là 8 , tâm sai e 
2
Câu 9 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC với B(2; -7), phương trình đường cao AA’: 3x +
y + 11 = 0 ; phương trình trung tuyến CM : x + 2y + 7 = 0 . Viết phương trình tổng quát của đường
thẳng AB và AC.
Câu 10 : Viết pt đường tròn đi qua điểm A(1;3) và tiếp xúc với hai đường thẳng 1: x + 2y + 2 = 0 và 2
: 2x – y + 9 = 0