Tổng hợp đề thi lớp 11 học kì 2 môn toán năm 2013 (Phần 6)

Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1)

lim ( x3  x2  x  1)

x

2x  5x  2x  3
3

4)

2)

lim

3

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình
5).
Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau:

5x  3

2)

x  x 1
y  sin(sin x)
2

3x  2

x 1

5) lim

3)

lim

x2

x2 2
x73

4 5
n

2

x3 4x

y

x1

2

 13x  4x  3
 3 3x  2  2

x2

Bài 2. Cho hàm số: f ( x)  
ax  1

4

1)

lim 

n

2n  3.5n

khi x >2
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2.

khi x  2

x5  3x4  5x  2  0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (–2;

y  ( x  1) x2  x  1

3)

y  1 2tan x

4)

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có ABC vng tại A, góc B = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc
với đáy; SB = a. Hạ BH  SA (H  SA); BK  SC (K  SC).

1) Chứng minh: SB  (ABC)
2) Chứng minh: mp(BHK)  SC.
3) Chứng minh: BHK vng .
4) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).

x2  3x  2
(1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó
x 1
song song với đường thẳng d: y  5x  2 .

Bài 6. Cho hàm số

f ( x) 

Bài 7. Cho hàm số

y  cos2 2x .

1) Tính

y , y .

2) Tính giá trị của biểu thức:

A  y  16y  16y  8 .

Bài 1:


1 1

1
lim ( x3  x2  x  1)  lim x3  1 
   
x
x
x x2 x3 

 lim ( x  1)  0
 x1
3x  2
3x  2
lim 
 
2) lim
. Ta có:  lim (3x  1)  2  0 


x1 x  1
x1 x  1
 x1
 x  1  x  1  0
1)

3)

lim

x2

x22

x7 3

 lim

( x  2)  x  7  3

x2 ( x  2)



x  2  2

 lim

x2

x73
x22



3
2


4)

lim

2x3  5x2  2x  3

x3 4x3  13x2  4x  3

2x2  x  1 11

x3 4x2  x  1 17

 lim
n

 4
 5  1
n
n
4 5
1
5) lim
 lim  

n
n
n
3
2  3.5
 2

3
 5
 

 3 3x  2  2

x2
Bài 2: f ( x)  
ax  1

4


Ta có:


khi x >2
khi x  2

f (2)  2a 

lim f ( x)  lim

x2

3

x2

Hàm số liên tục tại x = 2 

1
4




1
1
lim f ( x)  lim  ax    2a 
4
4
x2
x2 

3x  2  2
 lim
x2
x2
( x  2)



3( x  2)
3

(3x  2)2  23 (3x  2)  4

f (2)  lim f ( x)  lim f ( x)  2a 
x2

x2





1
4

1 1
  a 0
4 4

f ( x)  x5  3x4  5x  2  f liên tục trên R.
Ta có:
f (0)  2, f (1)  1, f (2)  8, f (4)  16
 f (0). f (1)  0  PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1  (0;1)

Bài 3: Xét hàm số

f (1). f (2)  0  PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2  (1;2)
f (2). f (4)  0  PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3  (2; 4)
 PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).
Bài 4:

5x  3

5x2  6x  8
 y 
x2  x  1
( x2  x  1)2

1)

y

3)

y  1 2tan x  y ' 

1 2tan2 x
1 2tan x

2)

4x2  5x  3
y  ( x  1) x2  x  1  y 
2 x2  x  1

4)

y  sin(sin x)  y '  cos x.cos(sin x)

Bài 5:
1)

S
K

B

H
0

60

A

C

2)

 SAB   ABC  
 SBC    ABC    SB   ABC 
 SAB   SBC   SB
CA  AB, CA  SB  CA  (SAB)  CA  BH


3)
4)

Mặt khác: BH  SA  BH  (SAC)  BH  SC
Mà BK  SC  SC  (BHK)
Từ câu 2), BH  (SAC)  BH  HK  BHK vng tại H.
Vì SC  (BHK) nên KH là hình chiếu của SA trên (BHK)


 SA,(BHK )   SA, KH   SHK

Trong ABC, có:

AC  AB tan B  a 3; BC2  AB2  AC2  a2  3a2  4a2

SB2 a 5
Trong SBC, có: SC  SB  BC  a  4a  5a  SC  a 5 ; SK 

SC
5
2
SB
a 2
Trong SAB, có: SH 

SA
2
2

Trong BHK, có:




2

2

2

HK 2  SH 2  SK 2 



cos SA,( BHK )  cosBHK 

2

2

3a2
a 30
 HK 
10
10

HK
60
15


SH
10
5

x2  2 x  5
x2  3x  2

Bài 6: f ( x) 
 f ( x) 
x 1
( x  1)2
Tiếp tuyến song song với d: y  5x  2 nên tiếp tuyến có hệ số góc k  5 .
Gọi ( x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: f ( x0 )  5 
 Với

x0  0  y0  2  PTTT: y  5x  2

 Với

x0  2  y0  12  PTTT: y  5x  22

Bài 7:

y  cos2 2x =

1 cos4x

2
2

1)

y  2sin4x  y"  8cos4x  y '"  32sin4x

2)

A  y  16y  16y  8  8cos4x

x02  2x0  5
( x0  1)2

x  0
 5   0
 x0  2

I. Phần bắt buộc
Câu 1:
1) Tính các giới hạn sau:
1  2x
x  x2  2x  3

x3  3x2  9x  2
x 2
x3  x  6

a) lim

b) lim

lim  x2  x  3  x 

c)

2) Chứng minh phương trình x3  3x  1  0

x

có 3 nghiệm

phân biệt .
Câu 2:
1) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2

x



a) y    3x   x  1

b) y  x  sin x



c) y 

x2  2 x
x 1

2) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y  tan x
3) Tính vi phân của ham số y = sinx.cosx
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA  ( ABCD) và SA  a 6
.
1) Chứng minh : BD  SC, (SBD)  (SAC) .
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
3) Tính góc giữa SC và (ABCD)
II. Phần tự chọn
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 

1
tại giao điểm của nó với trục
x

hồnh .
60 64

 5 . Giải phương trình f ( x)  0 .
x x3
Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính AB.EG .

Câu 5a: Cho hàm số f ( x)  3x 

2. Theo chương trình nâng cao
Câu 4b: Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số y  sin2x.cos2x .
Câu 5b: Cho y 

x3 x2

 2x . Với giá trị nào của x thì y ( x)  2 .
3 2

Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định đường vng góc
chung và tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD và BC.

Câu 1:

1

2
1  2x
x
 lim x
0

1) a) lim
x x2  2x  3
x
2 3
1 
x x2
2

b) lim

x2

x3  3x2  9x  2
x  x6
3

 lim



( x  2)( x2  5x  1)

x2 ( x  2)( x

2

 2x  3)

 lim

x2  5x  1

x2 x2  2x  3



15
11


c) lim

x





3 x

x2  x  3  x  lim

x

 lim

x

x2  x  3  x


 


 lim

x

3 x

1 3 
 x  1 
 x
x x2 


3
1
1
x

 2
1 3
1 
 1
x x2


2) Xét hàm số f ( x)  x3  3x  1  f(x) liên tục trên R.

 f(–2) = –1, f(0) = 1  phuơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1   2; 0
 f(0) = 1, f(1) = –1  phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2   0;1
 f(1) = –1, f(2) = 3  phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c3  1;2

 Phương trình đã cho là phương trình bậc ba, mà c1, c2 , c3 phân biệt nên phương trình đã
cho có đúng ba nghiệm thực.
Câu 2:

2

1) a) y    3x 
x



2
x x



2
2

x





 2


x  1  y '     3
2
 x


 3 x  3

1
x x







2
 1 
x  1    3x  

x
 2 x 

3
9
1
2
x
x


3
2
2
x x x2

b) y  x  sin x  y '  1 cos x

x2  2x
x2  2 x  2
 y' 
c) y 
2
x 1
 x  1



2) y  tan x  y '  1 tan2 x  y "  2tan x 1 tan2 x



1
3) y = sinx . cosx  y  sin2x  dy  cos2xdx
2
Câu 3:
a) Chứng minh : BD  SC,(SBD)  (SAC) .
 ABCD là hình vng nên BD  AC, BD SA (SA  (ABCD))  BD  (SAC)  BD
SC
 (SBD) chứa BD  (SAC) nên (SBD)  (SAC)

b) Tính d(A,(SBD))
 Trong SAO hạ AH  SO, AH  BD (BD (SAC)) nên AH  (SBD)


 AO 

S

a 2
, SA = a 6  gt  và SAO
2

vuông tại A
nên

1

H

B

A
O

tan SCA 

1
2



1

SA

2



1
2



2
2



13

SCA . Vậy ta có:

SC và (ABCD) là

C

D



AO
6a a
6a2
6a2
a 78
2
 AH 
 AH 
13
13
c) Tính góc giữa SC và (ABCD)
 Dế thấy do SA  (ABCD) nên hình
chiếu của SC trên (ABCD) là AC  góc giữa
AH

2

SA a 6

 3  SCA  600
AC a 2

1
1
 y  1 
x
x2
 Các giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là A 1; 0 , B 1; 0

Câu 4a: y  x 

 Tại A(–1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k1  2 nên PTTT: y = 2x +2
 Tại B(1; 0) tiếp tuyến cũng có hệ số góc k2  2 nên PTTT: y = 2x – 2
Câu 5a: f ( x)  3x 

60 64
60 128
  5  f ( x)  3 

3
x x
x2 x4


 x2  8
4 3
60
128
x


4
2




 0  3x  60x  128  0  2 16 
PT f ( x)  0  3 

3

x 
x2 x4
 x   8

3

Câu 6a:

F

G



 



 AB.EG  e1. EF  EH  e1 e1  e2  e1.e1  e1.e2  a2

E

H
B

A

Đặt AB  e1, AD  e2 , AE  e3

Cách khác:

C
D

AB.EG  EF.EG  EF . EG .cos EF, EG  a.a 2.cos450  a2


Câu 4b: y = sin2x.cos2x
1
 y = sin4x  y '  2cos4x  y "  8sin4x
2
Câu 5b: y 

x3 x2

 2x  y '  x2  x  2
3
2

x  0
 y  2  x2  x  2  2  x( x  1)  0  
 x  1

Câu 6b:
D’

C’

A’

B’
M
G
D

C
O

A

B

Gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của
ABC.
Vì D.ABC là hình chóp đều, có các cạnh bên có
độ dài a 2 , nên BD’ là đường cao của chóp này 
BD  (ABC)
 BD  GM.
Mặt khác ABC đều nên GM  BC
 GM là đoạn vng góc chung của BD’ và
B’C.
Tính
độ
dài
GM
=
1
3 1
3 a 6

AC
 a 2.

3
2 3
2
6


Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

3n1  4n
n1

4

b) lim

3

x3

x 1 2
x2  9

Bài 2: Chứng minh phương trình x3  3x  1  0 có 3 nghiệm thuộc

 2;2 .

Bài 3: Chứng minh hàm số sau không có đạo hàm tại x  3
 x2  9

khi x  3
f ( x)   x  3

khi x =  3
1
Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y  (2x  1) 2x  x2

b) y  x2 .cos x

x 1
có đồ thị (H).
x 1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại A(2; 3).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
1
y   x  5.
8
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA = a, SA vng góc với
(ABCD). Gọi I, K là hình chiếu vng góc của A lên SB, SD.
a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vng.
b) Chứng minh: (SAC) vng góc (AIK).
c) Tính góc giữa SC và (SAB).
d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
Bài 5: Cho hàm số y 

Bài 1: Tính giới hạn:

a) lim

b) lim

3n1  4n

x3

4n1  3
x 1  2
x2  9

 lim

 lim

9.3n1  4.4n1
4n1  3

x3 ( x  3)



1

 3
9.  
4
 lim  

x  1  2

1


n1

4
3

 4

4n1

1
24

Bài 2: Chứng minh phương trình x3  3x  1  0 có 3 nghiệm thuộc
Xem đề 11.
Bài 3: Chứng minh hàm số sau khơng có đạo hàm tại x  3

 2;2 .


 x2  9

khi x  3
f ( x)   x  3


khi x =  3
1
 Khi x  3  f ( x)  x  3

x4
x4
f ( x)  f (3)
x4
mà lim
 lim


;
lim
  nên hàm số không
x3
x3 x  3
x3
x3 x  3
x3 x  3
có đạo hàm tại x = –3.
Chú ý: Có thể chứng minh hàm số f(x) không liên tục tại x = –3  f(x) khơng có đạo hàm
tại x = –3.
 lim

Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y  (2x  1) 2x  x2  y'=2 2x  x2  (2x  1).

1 x
2x  x2

 y' 

4x2  6x  1
2x  x2

b) y  x2.cos x  y '  2x.cos x  x2 sin x

2
x 1
 y 
x 1
( x  1)2
a) Tại A(2; 3)  k  y (2)  2  PTTT : y  2x  1

Bài 5: y 

1
b) Vì tiếp tuyến song song với đường thằng y   x  5 nên hệ số góc của tiếp tuyến là
8
1
k
8
( x0; y0 )
Gọi
là
toạ
độ
của
tiếp

điểm

y ( x0 )  k  

 x  3
1
   ( x0  1)2  16   0
8
( x0  1)2
 x0  5
2

1
1
1
 PTTT : y    x  3 
2
8
2
3
1
3
 Với x0  5  y0   PTTT : y    x  5 
2
8
2
 Với x0  3  y0 

Bài 6:
a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác

vng.
 SA (ABCD) nên SA BC, AB  BC (gt)

S

I
K

H
B
A
O

D

C


 BC  (SAB)  BC  SB  SBC vuông tại B.
 SA  (ABCD)  SA  CD, CD  AD (gt)
 CD  (SAD)  CD  SD  SCD vuông tại D
 SA  (ABCD) nên SA  AB, SA  AD
 các tam giác SAB và SAD đều vuông tại A.
b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK).
 SA  (ABCD)  SA  BD, BD  AC  BD  (SAC)
 SAB và SAD vuông cân tại A, AK  SA và AI  SB
nên I và K là các trung điểm của AB và AD  IK//BD
mà BD  (SAC) nên IK  (SAC)  (AIK)  (SAC)
c) Tính góc giữa SC và (SAB).
 CB  AB (từ gt),CB  SA (SA  (ABCD)) nên CB  (SAB)  hình chiếu của SC trên

(SAB) là SB   SC,(SAB)    SC, SB  CSB

 Tam giác SAB vng cân có AB = SA = a  SB  a 2  tan CSB 
d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
Hạ AH  SO , AH  BD do BD  (SAC)  AH  (SBD)
1
1
1
1 2
3
a





 AH 

3
AH 2 SA2 AO2 a2 a2 a2





 d A,  SBD  

a 3
3

BC
 2
SB


Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

x1

x3  x  1
b) lim
x 1
x1

2x2  3x  5
x2  1

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x3  2mx2  x  m  0 ln có nghiệm với mọi m.
Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1.
 x3  x2  2x  2

khi x  1
f ( x)  
3x  a

khi x = 1
3x  a
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số:
cos x

x
2
3
1
a) y   3x  1 
b) y 


2
4
x
sin x
x
x
x
Bài 5: Cho đường cong (C): y  x3  3x2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có hồnh độ bằng 2.
1
b) Biết tiếp tuyến vng góc đường thẳng y   x  1.
3
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, OB 
SO  ( ABCD ) , SB  a .
a) Chứng minh: SAC vng và SC vng góc với BD.
b) Chứng minh: (SAD)  (SAB), (SCB)  (SCD).
c) Tính khoảng cách giữa SA và BD.

a 3
,
3

Bài 1:
a) lim

2x2  3x  5

2x  5 7

x1 x  1
2

= lim

x2  1
x3  x  1
b) lim
x 1
x1
 lim ( x  1)  0
 x1
x3  x  1
 lim
 
Ta có  x  1  0
x 1
 lim ( x3  x  1)  3  0 x1
 x1
x1

Bài 2: Xét hàm số f ( x)  x3  2mx2  x  m  f(x) liên tục trên R.
 f (m)  m3, f (0)  m  f (0). f (m)  m4

 Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0
 Nếu m  0 thì f (0). f (m)  0, m  0  phương trình ln có ít nhát một nghiệm thuộc
(0; m) hoặc (m; 0).


Vậy phương trình x3  2mx2  x  m  0 ln có nghiệm.
 x3  x2  2x  2

khi x  1
Bài 3:
f ( x)  
3x  a

khi x = 1
3x  a


Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

x



x2  x  3  2x



b) lim

x



4x2  x  1  2x



Bài 2: Chứng minh rằng phương trình 2x3  10x  7  0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài 3: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1
 x2  1

f ( x)   x  1 khi x  1

mx  2 khi x  1
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3x  2
a) y 
b) y  ( x2  3x  1).sin x
2x  5
1
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  :
x
1
a) Tại điểm có tung độ bằng
.
2
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y   4x  3 .

3

Bài 6: Cho tứ diện S.ABC có ABC đều cạnh a, SA  ( ABC), SA  a . Gọi I là trung điểm BC.
2
a) Chứng minh: (SBC) vng góc (SAI).
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

Bài 1:
a) lim

x



x2  x  3  2x







1 3
1 3
= lim  x . 1 
 2x   lim   x. 1  
 2x 

x 
x x2
x x2

 xx 



1 3
= lim ( x)  1  
 2   


x
x x2



b) lim

x





4x  x  1  2x  lim
2

x

x 1
4 x2  x  1  2 x

 lim

x

1
1
x

4
1 1
4 
2
x x2
1

Bài 2: Xét hàm số f ( x)  2x3  10x  7  f(x) liên tục trên R.
 f (1)  1, f (0)  7  f (1). f (0)  0  PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm

c1  (1; 0) .
 f (0)  7, f (3)  17  f (0). f (3)  0  PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm c2  (0;3) .
 c1  c2 nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực.


Bài 3:

Ta có:

 x2  1

f ( x)   x  1 khi x  1


mx  2 khi x  1
 lim  f ( x)  lim 

 f (1)  m  2

x1

x1

x2  1
 lim ( x  1)  2
x  1 x1

 lim  f ( x)  lim  (mx  2)  m  2
x1

x1

Hàm số f ( x) liên tục tại x = –1  m 2  2  m  4
Bài 4:
2
3 2x  5 
6x  13
3x  2
2x  5  3(2x  5)  2 
a) y 
 y'=
2x  5
2x  5

(2x  5) 2x  5 (2x  5) 2x  5
b) y  ( x2  3x  1).sin x  y '  (2x  3)sin x  ( x2  3x  1) cos x
1
1
 y  
( x  0)
x
x2
1
1
1
1 1
a) Với y0  ta có
  x0  2 ; y (2)    PTTT: y   x  1
2
4
4
x0 2
b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y  4x  3 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = –4

Bài 5: y 


1
 x0  2
 4  
Gọi ( x0; y0 ) là toạ độ của tiếp  y ( x0 )  4  
x02
x   1
 0

2
1
 Với x0   y0  2  PTTT : y  4x  4
2
1
 Với x0    y0  2  PTTT : y  4x  4
2
1

S

H
B

A
I
C

c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

Bài 6:
a) Chứng minh: (SBC) vng góc (SAI).
 SA  (ABC)  SA  BC, AI BC  BC 
(SAI)
 (SBC)  (SAI)
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
 Vẽ AH  SI (1) . BC  (SAI)  BC  AH (2)
Từ (1) và (2) AH  (SBC) nên d( A,(SBC)) =
AH


1
1
1
4
4
16
3a





 AH 
2
2
2
2
2
2
4
AH
AI
SA
9a 3a
9a


 (SBC)  ( ABC)  BC, AI  BC , SI  BC
  (SBC),( ABC)   SIA

3
a
SA 2

 3  SIA  600
 tan SIA 
IA a 3
2


Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

x



x2  x  3  2x



b) lim

x



4x2  x  1  2x



Bài 2: Chứng minh rằng phương trình 2x3  10x  7  0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài 3: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1
 x2  1

f ( x)   x  1 khi x  1

mx  2 khi x  1
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3x  2
a) y 
b) y  ( x2  3x  1).sin x
2x  5
1
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  :
x
1
a) Tại điểm có tung độ bằng
.
2
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y   4x  3 .

3
Bài 6: Cho tứ diện S.ABC có ABC đều cạnh a, SA  ( ABC), SA  a . Gọi I là trung điểm BC.
2
a) Chứng minh: (SBC) vng góc (SAI).
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

Bài 1:

a) lim

x



x2  x  3  2x







1 3
1 3
= lim  x . 1 
 2x   lim   x. 1  
 2x 

x 
x x2
x x2
 xx 



1 3
= lim ( x)  1  
 2   



x
x x2



b) lim

x





4x  x  1  2x  lim
2

x

x 1
4 x2  x  1  2 x

 lim

x

1
1
x


4
1 1
4 
2
x x2
1

Bài 2: Xét hàm số f ( x)  2x3  10x  7  f(x) liên tục trên R.
 f (1)  1, f (0)  7  f (1). f (0)  0  PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm

c1  (1; 0) .
 f (0)  7, f (3)  17  f (0). f (3)  0  PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm c2  (0;3) .
 c1  c2 nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực.


Bài 3:

Ta có:

 x2  1

f ( x)   x  1 khi x  1

mx  2 khi x  1
 lim  f ( x)  lim 

 f (1)  m  2

x1

x1

x2  1
 lim ( x  1)  2
x  1 x1

 lim  f ( x)  lim  (mx  2)  m  2
x1

x1

Hàm số f ( x) liên tục tại x = –1  m 2  2  m  4
Bài 4:
2
3 2x  5 
6x  13
3x  2
2x  5  3(2x  5)  2 
a) y 
 y'=
2x  5
2x  5
(2x  5) 2x  5 (2x  5) 2x  5
b) y  ( x2  3x  1).sin x  y '  (2x  3)sin x  ( x2  3x  1) cos x
1
1
 y  
( x  0)
x

x2
1
1
1
1 1
a) Với y0  ta có
  x0  2 ; y (2)    PTTT: y   x  1
2
4
4
x0 2
b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y  4x  3 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = –4

Bài 5: y 


1
 x0  2
 4  
Gọi ( x0; y0 ) là toạ độ của tiếp  y ( x0 )  4  
x02
x   1
 0
2
1
 Với x0   y0  2  PTTT : y  4x  4
2
1
 Với x0    y0  2  PTTT : y  4x  4
2

1

S

H
B

A
I
C

c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

Bài 6:
a) Chứng minh: (SBC) vng góc (SAI).
 SA  (ABC)  SA  BC, AI BC  BC 
(SAI)
 (SBC)  (SAI)
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
 Vẽ AH  SI (1) . BC  (SAI)  BC  AH (2)
Từ (1) và (2) AH  (SBC) nên d( A,(SBC)) =
AH

1
1
1
4
4
16
3a






 AH 
2
2
2
2
2
2
4
AH
AI
SA
9a 3a
9a


 (SBC)  ( ABC)  BC, AI  BC , SI  BC
  (SBC),( ABC)   SIA

3
a
SA 2

 3  SIA  600
 tan SIA 
IA a 3

2


Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

2 x 3

x 2  3

b) lim

x

x

x2  5x  3
x2

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x4  x3  3x2  x  1  0 có nghiệm thuộc (1;1) .
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 x2  3x  2

khi x  2
f ( x)   x  2

khi x  2
3
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
sin x  cos x

a) y 
b) y  (2x  3).cos(2x  3)
sin x  cos x
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y 

2x2  2x  1
x 1

a) Tại giao điểm của đồ thị và trục tung.
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  2011.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BAD  600 , SO 
(ABCD),

a 13
. Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE.
4
a) Chứng minh: (SOF) vng góc (SBC).
b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
c) Gọi (  ) là mặt phẳng qua AD và vng góc (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp bị
cắt bởi (  ). Tính góc giữa (  ) và (ABCD).
SB  SD 

Bài 1:
a) lim

2 x 3

x 2  3

x

= lim

x

3

x  3
2
2
3
x

x  5x  3
 lim
x
x2
2

b) lim

x

2

5 3

x x 1
2
1

x

1

Bài 2: Xét hàm số f ( x)  x4  x3  3x2  x  1  f ( x) liên tục trên R.
 f (1)  3, f (1)  1  f (1). f (1)  0 nên PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc (–1;
1).


 x2  3x  2

khi x  2
Bài 3:
f ( x)   x  2

khi x  2
3
 Tập xác định: D = R.
( x  1)( x  2)
 Tại x  2  f ( x) 
 x  1  f ( x) liên tục tại x  –2.
x2
 Tại x = –2 ta có f (2)  3, lim f ( x)  lim ( x  1)  1  f (2)  f ( x) không liên tục
x2

x2

tại x = –2.
Bài 4:

sin x  cos x
sin x  cos x
(cos x  sin x)(sin x  cos x)  (sin x  cos x)(cos x  sin x)
2
 y 
=
2
(sin x  cos x)
(sin x  cos x)2
a) y 

b) y  (2x  3).cos(2x  3)  y '  2 cos(2x  3)  (2x  3)sin(2x  3)
Bài 5: y 

2 x2  4 x  1
2x2  2x  1
 y 
x 1
( x  1)2

a) Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 1); y (0)  1  PTTT: y  x  1.
b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  2011 nên tiếp tuyến có hệ số góc là k =
1.
( x0; y0 )
Gọi
là
toạ
độ
của
tiếp

điểm

y ( x0 )  1 

2x02  4x0  1

 x0  1

2

 x  2
 1  x02  2x0  0   0
 x0  0

 Với x0  0  y0  1  PTTT: y  x  1.
 Với x0  2  y0  5  PTTT: y  x  3

S

C'
B'
D

H

K

C

O

E
F

A

B

Bài 6:
a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC).
 CBD đều, E là trung điểm BC nên DE 
BC
 BED có OF là đường trung bình nên
OF//DE,
DE  BC  OF  BC
(1)


 SO  (ABCD)  SO  BC (2)
Từ (1) và (2)  BC  (SOF)
Mà BC  (SBC) nên (SOF) (SBC).
b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
 Vẽ OH  SF; (SOF)  (SBC),
(SOF)  (SBC)  SF, OH  SF
 OH  (SBC)  d(O,(SBC))  OH

1 3
a 3
3a
, SO2  SB2  OB2  SO 

.
a
2 2
4
4
1
1
1
3a



 OH 
2
2
2
8
OH
SO OF
 Trong mặt phẳng (ACH), vẽ AK// OH với K  CH  AK  (SBC)  d( A,(SBC))  AK
 OF =

3a
3a
 d( A,(SBC)) 
4
4
c)  AD  ( ), ( )  (SBC)  ( )  ( AKD)
 Xác định thiết diện
Dễ thấy K  ( ), K  (SBC)  K  ()  (SBC).

Mặt khác AD // BC, AD  (SBC) nên ( )  (SBC)    K  ,  BC
Gọi B'    SB,C '    SC  BC // BC  BC // AD
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bời () là hình thang AB’C’D
 SO  (ABCD), OF là hình chiếu của SF trên (ABCD) nên SF  BC  SF  AD
(*)
 SF  OH , OH AK  SF  AK
(**)
 Từ (*) và (**) ta có SF  ()
AK  2OH  AK 

 SF  (), SO  (ABCD)   ( ),( ABCD)   (SF, SO)  OSF

a 3
OF
1
 4 
 tan OSF 
  ( ),( ABCD)   300
3a
SO
3
4


I. Phần chung
Bài 1:
1) Tìm các giới hạn sau:
1
 x5  7x3  11
4  x2

x 1  2
lim 3
a)
b) lim
c) lim
x 3 5
x2 2( x2  5x  6)
x5
x5
x  x4  2
4
x4 5 3
2) Cho hàm số : f ( x) 
 x  2x  1 . Tính f (1) .
2 3
Bài 2:
 2
khi x  1. Hãy tìm a để f ( x) liên tục tại x = 1
1) Cho hàm số f ( x)   x  x
ax

1
khi x  1


x2  2x  3
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x)
x 1
tại điểm có hồnh độ bằng 1.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vng góc với BC, AD

= a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là
trung điểm AH.
1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vng góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vng góc với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
II. Phần tự chọn
A. Theo chương trình chuẩn
Bài 4a: Tính các giới hạn sau:
2) Cho hàm số f ( x) 

1)

lim

x

9x2  1  4x
3  2x

2)

lim

x


x2

x  5x  6
2

Bài 5a:
1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 6x3  3x2  6x  2  0 .
2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Tính chiều cao hình chóp.
B. Theo chương trình nâng cao
Bài 4b: Tính giới hạn:

lim

x



x 1  x 

Bài 5b:
1) Chứng minh phương trình sau ln ln có nghiệm:

(m2  2m  2) x3  3x  3  0
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc (ABCD) và
SA = a 3 . Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vng góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và
hình chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó.

Bài 1:


1 7 11


4

3 x2 x5

3 1 2
9
 
5
4 x x

1
 x5  7x3  11
1) a) lim 3
 lim
x 3 5
x
4
x x 2
4

x 1  2
x5
1
1
 lim
 lim

x5 ( x  5)  x  1  2 x5 x  1  2 4
x5

b) lim

x5

4  x2

c) lim

x2 2( x2  5x  6)

2) f ( x) 

(2  x)(2  x)
( x  2)
2
 lim

x2 2( x  2)( x  3) x2 2( x  3)
5

 lim

x4 5 3
1
1
.
 x  2x  1  f ( x)  2x3  5x2 
 f (1)  5 
2 3
2 2x
2 2

Bài 2:
1)

 2
f ( x)   x  x
ax  1

 f (1)  a  1

khi x  1
khi x  1

 lim f ( x)  lim ( x2  x)  2, lim f ( x)  a  1  f (1)
x1

x1

x1

 f ( x) liên tục tại x = 1  lim f ( x)  lim f ( x)  f (1)  a  1  2  a  1
x1

x1

x  2x  5
x  2x  3
 f ( x) 
x 1
( x  1)2
1

1
3
Với x0  1  y0  1 , f (1)    PTTT: y   x 
2
2
2
Bài 3:
1) CMR: BC  (ADH) và DH = a.
D
ABC đều, H là trung điểm BC nên AH  BC, AD
 BC
 BC  (ADH)  BC  DH  DH = d(D, BC) =
a
2) CMR: DI  (ABC).
K
 AD = a, DH = a  DAH cân tại D, mặt khác I là
trung điểm
AH nên DI  AH
 BC  (ADH)  BC  DI
 DI  (ABC)
A
B
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
I
H
 Trong ADH vẽ đường cao HK tức là HK  AD
C
(1)
Mặt khác BC  (ADH) nên BC  HK
(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra d( AD, BC)  HK
 Xét DIA vng tại I ta có:
2)

f ( x) 

2

2


2

a 3
a2 a
DI  AD  AI  a  

 
 2 
4
2


2



Xét

2

2

DAH

ta

có:

S

=

1
AH .DI
2

1
AD.HK
2

=



a 3 a
.
AH .DI
a 3
d( AD, BC)  HK 

 2 2
AD
a
4

Bài 4a:

9x  1  4x
 lim
x
3  2x
2

1) lim

x

2) lim

x2

x
x2  5x  6

.

 x. 9 

1

x2
3  2x

 4x

 9
 lim

x

1
x2

3
2
x

4


7
2

 lim x  2  0
 x2
x

Vì  lim  ( x2  5x  6)  0  lim 
 
2

x

2
x

2
x

5
x

6
 2
 x  5x  6  0,  x  2

Bài 5a:
1) Xét hàm số f ( x)  6x3  3x2  6x  2  f ( x) liên tục trên R.
 f (1)  1, f (0)  2  f (1). f (0)  0  PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm c1  (1; 0)
 f (0)  2, f (1)  1  f (0). f (1)  0  PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm c2  (0;1)
 f (1)  1, f (2)  26  f (1). f (2)  0  PT f ( x)  0 có một nghiệm c3  (1;2)
 Vì c1  c2  c3 và PT f ( x)  0 là phương trình bậc ba nên phương trình có đúng ba
nghiệm thực.
2)
1
Bài 4b: lim  x  1  x   lim
0
x
x x  1  x
Bài 5b:
1) Xét hàm số f(x) = f ( x)  (m2  2m  2) x3  3x  3  f ( x) liên tục trên R.


Có
g(m)
S
2
m2  2m  2   m  1  1  0, m R

I

H

B
A
O
D

C

=

f (0)  3, f (1)  m2  2m  2  0  f (0). f (1)  0
 PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm c  (0;1)
2)

Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH  AH 
SD
(1)







SA  (ABCD)  CD  SA
CD AD  CD  (SAD)  CD  AH
(2)
Từ (1) và (2)  AH  (SCD)
 (ABH)  (SCD)  (P)  (ABH)
Vì AB//CD  AB // (SCD), (P)  AB nên (P)  (SCD) = HI
 HI // CD  thiết diện là hình thang AHIB.
Hơn nữa AB  (SAD)  AB  HA
Vậy thiết diện là hình thang vng AHIB.



SD  SA2  AD2  3a2  a2  2a



SAD có SA2  SH .SD  SH 

SA2 3a2
3a

 SH 
SD
2a
2

3a

HI SH
3
3
3a


 2   HI  CD 
CD SD 2a 4
4
4
1
AH 2



1
SA2



1
AD 2



 Từ (3) và (4) ta có:

1



1



4

 AH 

(3)

a 3
2

(4)
3a2
( AB  HI ) AH 1 
3a  a 3 7a2 3
.
SAHIB 
  a  .

2
2
4 2
16

3a2

a2