CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu .........................................................................................................2
Chương 1. Lý thuyết ........................................................................................3
I. Lí thuyết cơ sở ..............................................................................................3
I.1. Bảng các đạo hàm....................................................................................3
I.2. Bảng các vi phân .....................................................................................4
I.3. Các cơng thức về giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác .............7
I.4. Các cơng thức phân tích lượng giác ra thừa số đặc biệt..........................8
I.5. Các hằng đẳng thức .................................................................................8
I.6. Ngun hàm ...........................................................................................9
I.6.1. Định nghĩa ngun hàm .....................................................................9
I.6.2. Các tính chất cơ bản của ngun hàm ...............................................9
II. Tích phân ....................................................................................................10
II.1. Định nghĩa tích phân .............................................................................10
II.2. Các qui tắc tính tích phân......................................................................11
II.3. Các phương pháp tính tích phân ...........................................................11
II.3.1. Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản. ........................11
II.3.2. Phương pháp đổi biến .................................................................12
II.3.3. Phương pháp tích phân từng phần. ..............................................13
II.3.4. Tích phân hữu tỉ ..............................................................................14
II.4. Ứng dụng của tích phân ........................................................................22
II.4.1. Tính diện tích...................................................................................22
II.4.2. Tính thể tích .....................................................................................27
Chương 2. Bài tập ............................................................................................31
I.Bài tập ...........................................................................................................31
I.1. Tính tích phân ........................................................................................31
I.1.1. Tính tích phân các bài sau ................................................................31
I.1.2. Tính tích phân các bài sau ( trong các đề thi đại hoc, cao đẳng) .....44

I.2. Cơng thức Newton và các bài tốn chứng minh liên quan đến tích
phân........................................................................................................55
I.3. Tính diện tích và thể tích .......................................................................59
II. Tốn tự kiểm tra..........................................................................................64

Trịnh Thị Kim Phượng

1


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

LỜI NÓI ĐẦU
Nguyên hàm và tích phân là một nội dung mà tôi không thích học trong
thời gian học ở trường trung học phổ thông vì có rất nhiều kiến thức liên quan
đến tích phân, có rất nhiều dạng bài tập tích phân mà giáo viên đưa ra và yêu cầu
học để tính tích phân trong khi tôi không hiểu gì về những kiến thức đó. Mặc
khác tôi không hề biết tích phân có những ứng dụng gì trong cuộc sống mà chỉ
biết tìm cách nhận dạng bài tập tích phân và tính ra kết quả bài đó.
Tôi muốn tìm hiểu về tích phân để hiểu rõ hơn những kiến thức lí thuyết,
sự phân chia các dạng bài tập về nguyên hàm và tích phân đã được học; biết
được ứng dụng của nguyên hàm và tích phân; giúp học sinh hiểu rõ hơn về tích
phân trong chương trình dạy học ở phổ thông. Chính vì vậy, thông qua bài tiểu
luận này, tôi muốn tập hợp và cũng cố những kiến thức trọng tâm nhất về
nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của nó, tạo điều kiện thuận lợi để giúp tôi
công tác tốt sau này.
Để hoàn thành tốt bài tiểu luận này, tôi xin chân thành cảm ơn thạc sĩ
LÊ THỊ KIỀU NGA, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ trong suốt thời gian qua.

Trịnh Thị Kim Phượng

2


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

CHỦ ĐỀ 9

CÁC DẠNG TOÁN VỀ TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH
PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI


Chương 1. Lí thuyết
I. Lí thuyết cơ sở
I.1. Bảng các đạo hàm
Đổi x thành u , nhớ nhân thêm u’
1.(C)’=0

1.(C)’=0

2. (x)’=1

2. (u)’=u’

3.  x
4.



 x

'

 

3.  u

 1

1

'

x 



  u
'

 1

u'

   2 1u .u
'

4.

2 x

u

'

'

'

1
1
5.     2
x
x
'
1
6.  ln x  
,
x

 ln x 

'



1
x

1
1

5.     2 .u '
u
u
'
1
6.  ln u   .u ' ,
u

 ln u  
'

'

1 '
.u
u

'

1 1
1 1 '
'
 ln x 
 ln u 
.u , 0 < a  1
7.  log a x   
,0 < a  1 7.  log a u   
 
 
 ln a  ln a x

 ln a  ln a u
'

  e
 a   a .ln a

8. e

x

'

   e .u

x

x '

x

8. e

u

'

u

'

 a   a .ln a.u
u '

, 0
u

'

0 < a 1

9.  sin x   cos x

9.  sin u   cos u.u '

10.  cos x    sin x

10.  cos u    sin u. u '

'

'

'

'

11.  tgx   1  tg 2 x 
'

1
cos2 x

11.  tgu   (1  tg 2u)u ' 
'

12.  cotgx   (1  cotg 2 x)  
'

1
. u'
2
cos u

1
1
'
12.  cot gu   (1  cotg 2u).u '   2 . u '
2
sin x
sin u

Trịnh Thị Kim Phượng

3


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I.2. Bảng các vi phân

u = u(x) là hàm số theo biến x, u’ là đạo hàm của u, vi phân của u là:
du=u’dx
Bảng các vi phân giúp định hướng tốt trong các bài tích phân giải bằng
phương pháp đổi biến
d (2 x  3)
du
1. d(2x + 3) = 2 dx, suy ra dx =
, dx đã đổi thành
khi đặt u = 2x + 3.
2
2
du
d (ax  b)
1’. d(ax + b) = adx, suy ra dx =
, vậy dx đã đổi thành
khi đặt
2
a
u = ax + b (a  0), hay dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi u = ax + b.
1
1
1
1
1
1’’. d ( )   2 dx suy ra 2 dx  d ( ) , vậy biểu thức 2 dx đã đổi thành du
x
x
x
x
x

khi đặt u =

1
.
x

1
1
dx  2ad (a x  b) , vậy biểu thức
dx
2 x
x
x
đã đổi thành 2adu khi đặt u = a x + b.
d ( x 2  1)
du
2
2. d(x + 1) = 2xdx suy ra xdx =
, vậy biểu thức xdx đã đổi thành
2
2
2
khi đặt u = x + 1, hay biểu thức xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt
u = x2 + 1.
d ( x 2  1)
du
2
2’. d(ax + b) = 2axdx suy ra xdx =
, vậy biểu thức xdx đã đổi thành
2a

2a
2
khi đặt u = ax + b, hay biểu thức xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt
u = ax2 + b (a  0).
d ( x3  2)
du
3
2
2
3. d(x + 2) = 3x dx suy ra x dx =
, vậy biểu thức x2dx đã đổi thành
3
3
3
2
khi đặt u = x + 2, hay biểu thức x dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt
u = x3 + 2.
d (ax3  c)
3
2
2
3’. d(ax + c) = 3ax dx suy ra x dx =
,vậy biểu thức x2dx đã đổi thành
3a
du
khi đặt u = ax3 + c, hay biểu thức x2dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số,
3a
khi đặt u = ax3 + c.
d ( x 4  c)
4. d(x4 + c) = 4x3dx suy ra x3dx =

, vậy biểu thức x3dx đã đổi thành
4
1’’’. d (a x  b)  a

1

dx suy ra

Trịnh Thị Kim Phượng

4


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

du
khi đặt u = x4 + c, hay biểu thức x3dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số,
4
khi đặt u = x4 + c.
d (ax 4  c)
4’. d(ax4 + c) = 4ax3dx suy ra x3dx =
, vậy biểu thức x3dx đã đổi
4a
du
thành
khi đặt u = ax4 + c, hay biểu thức x3dx đồng nhất với du, lệch đi 1
4a
hằng số, khi đặt u = ax4 + c.
5. d(ex) = exdx suy ra biểu thức exdx = d(ex), hay biểu thức exdx đồng nhất với
du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = ex.

d (ae x  c)
x
x
x
5’. d(ae + c) = ae dx suy ra biểu thức e dx =
, hay biểu thức exdx
a
x
đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= ae + c.
d (me x  c)
5’. d(emx + c) = memxdx suy ra biểu thức emxdx =
, hay biểu thức
m
emxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = emx + c.
1
1
1
6. d(lnx) = dx suy ra biểu thức dx = d(lnx), hay biểu thức dx đồng nhất
x
x
x
với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= lnx.
1
1
d (a ln x  c)
1
6’. d(alnx + c) = a dx suy ra biểu thức dx =
hay biểu thức dx
x
x

x
a
đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = alnx + c.
7. d(sinx + c) = cosx dx suy ra biểu thức cosxdx = d(sinx + c)
hay biểu thức cosxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = sinx + c.
d (a sin x  c)
7’. d(asinx + c) = acosx dx suy ra biểu thức cosxdx =
hay biểu
a
thức cosxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= asinx+c.
d (sin mx  c)
7’’. d(sinmx + c) = mcosmx dx suy ra biểu thức cosmxdx =
hay
m
biểu thức cosmxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = sinmx+c.
8. d(cosx + c) = - sinx dx suy ra biểu thức sinxdx = - d(cosx + c) hay biểu thức
sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cosx+c.
d (a cos x  c)
8’. d(acosx + c) = - asinx dx suy ra biểu thức sinxdx = hay biểu
a
thức sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= acosx+c.
d (cos mx  c)
8’’. d(cosmx + c) = -msinx dx suy ra biểu thức sinmxdx = hay
m
Trịnh Thị Kim Phượng

5


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

biểu thức sinmxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cosmx+c.
1
1
9. dtgx =
dx = (1 + tg2x)dx suy ra biểu thức
dx = (1 + tg2x)dx = dtgx
2
2
cos x
cos x
1
hay biểu thức
dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= tgx.
cos2 x
1
9’. d(atgx + c) = a
dx = a(1 + tg2x)dx suy ra biểu thức
2
cos x
1
1
d (atgx  c)
hay biểu thức
dx = (1 + tg2x)dx =
dx đồng nhất với
2
cos x
cos2 x
a

du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= atgx+c.
1
1
d (tgmx  c)
9’’. d(tgmx) = m
hay biểu
dx suy ra biểu thức
dx =
2
2
cos mx
cos mx
m
1
thức
dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= tgmx.
cos2 mx
1
10. d(cotgx) = dx = - (1 + cotg2x)dx suy ra biểu thức
2
sin x
1
1
dx = - (1 + cotg2x)dx = d(cotgx) hay biểu thức
dx đồng nhất với
2
sin x
sin 2 x
du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cotgx.
1

10’. d(acotgx + c) = -a 2 dx suy ra biểu thức
sin x
1
d (acotgx  c)
1
hay biểu thức
dx = -(1 + cotg2x)dx = dx đồng nhất
2
sin x
a
sin 2 x
với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = acotgx + c.
d (cotgmx)
1
1
10’’. d(cotgmx) = -m 2
hay
dx suy ra biểu thức
dx = 2
m
sin mx
sin mx
1
biểu thức
dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cotgmx.
sin 2 mx
d (cos2 x)
2
11. d(cos x) = -2cosx sinx dx suy biểu thức cosx sinxdx = hay biểu
2

thức cosx sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cos2x,
d(cos2x) = - 2cosx sinx dx = -sin2x dx suy ra biểu thức sin2xdx = - d(cox2x) hay
biểu thức sin2xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cos2x.
d (sin 2 x)
2
12. d(sin x) = 2 sinx cosx dx suy ra biểu thức cosxsinxdx =
hay biểu
2
thức cosx sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = sin2x,
Trịnh Thị Kim Phượng

6


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

d(sin2x) = 2cosx sinx dx = sin2x dx suy ra biểu thức sin2xdx = d(sin2x) hay biểu
thức sin2xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= sin2x.
I.3. Các công thức về giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

tan a.cot a  1

1. Công thức cơ bản:
2
2

sin a  1  cos a
sin a  cos a  1   2
2


cos a  1  sin a
sin a
sin a
tan a 
cot a 
cos a ,
cos a
2

2

2. Cung đối:  và -

1
cos 2 a
1
1  cot 2 a 
sin 2 a
1  tan 2 a 

4.Cung bù:

Hai cung a,b bù nhau nếu a + b = 
vậy b =  -a

y

y

O

x
O

cos(-a) = cosa
sin(-a) = - sina
tg(-a) = - tga
cotg(-a) = - cotga
(cos : đối)

3.Cung phụ:
Hai cung a, b phụ nhau nếu a + b =
vậy b =


-a
2


sin( - a) = cosa
2

cos( - a) = sina
2

tg( - a) = cotga
2

cotg( - a)= tga
2

(chéo phụ)


2

x

sin(- a) = sina
cos(- a) = - cosa
tg(- a) = - tga
cotg(- a) = - cotga
(sin: bù)
5. Trong 1 tam giác ABC:
(A + B) + C = , nên A + B bù C
A B C 
A B
C
nên
phụ
 
2
2 2
2
2

6. Chu kỳ:
*y = sinx, y = cosx có chu kỳ là 2 ,
Nên sin(a + k2 ) = sina, kZ
cos(a + k2 ) = cosa, kZ

*y = tgx, y = cotgx có chu kỳ là ,
Nên tg(a + k ) = tga, kZ
cotg(a + k ) = cotga, kZ
Trịnh Thị Kim Phượng

7


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I.4. Các công thức phân tích lượng giác ra thừa số đặc biệt

sin2x = 1 – cos2x = (1 – cos x).(1 + cosx)

cos2x = 1 – sin2x = (1 – sinx).(1 + sinx)

cos2x = cos2x – sin2x = (cosx – sinx).(cosx + sinx)

1+ sin2x = sin2x + cos2x + 2sinxcosx = (sinx + cosx)2
2
x
x
x
x 
2
2
 1 + sinx = sin x + cos x + 2sin cos =  sin  cos 
2
2
2  2


1 – sin2x = sin2x +cos2x - 2sinxcosx = (sinx – cosx)2
2
x
x
x
x 
2
2
 1 – sinx = sin x + cos x - 2sin cos =  sin  cos 
2
2
2
2 
cos 2 x
(cos x  sin x)(cos x  sin x) cos x  sin x



1  sin 2 x
(sin x  cos x) 2
cos x  sin x
cos 2 x
(cos x  sin x)(cos x  sin x) cos x  sin x



1  sin 2 x
(sin x  cos x)2
cos x  sin x

2
sin x cos x sin x  cos 2 x
2

tanx + cotx =
=
=

cos x.sinx
cos x sin x
sin 2x
2
2
sin x cos x sin x  cos x
 cos 2 x

tanx - cotx =
=
=

 2cot 2 x
cos x.sinx
cos x sin x
sin x cos x

sin3x = 3sinx – 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx
 sin3x + cos3x = 3sinx – 4sin3x + 4cos3x – 3cosx
= - 3(cosx – sinx) + 4(cos3x – sin3x)
= - 3(cosx – sinx) + 4(cosx – sinx)(cos2x + cosx sinx + sin2x)
= - 3(cosx – sinx) + 4(cosx – sinx)(1 + cosx sinx)

= (cosx – sinx)(1 + 4sinxcosx)
sin3x - cos3x = 3sinx – 4sin3x - 4cos3x + 3cosx
= 3(sinx + cosx) - 4(sin3x + cos3x)
= 3(sinx + cosx) - 4(sinx + cosx)(cos2x - cosx sinx + sin2x)
= 3(sinx + cosx) - 4(sinx + cosx)(1 - cosx sinx)
= (sinx + cosx)(-1 + 4sinxcosx)
I.5. Các hằng đẳng thức
1
2

1. sin4x + cos4x = (sin2x +cos2x)2 – 2sin2x.cos2x = 1 – 2( sin2x)2

1 2
3 cos4 x
sin 2x = 
(hạ bậc).
2
4
4
2. sin6x + cos6x = (sin2x +cos2x)3 – 3sin2x.cos2x(sin2x + cos2x)
=1-

Trịnh Thị Kim Phượng

8


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1

2

= 1 – 3sin2x.cos2x = 1 – 3( sin2x)2 = 1 -

3
sin22x
4

5 3cos 4 x

8
8
(Nhờ a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3 – 3PS)
3. sin8x + cos8x = (sin4x + cos4x)2 – 2sin4xcos4x
1
1
= (1 - sin2x)2 – 2( sin2x ) = …
2
2
3
1


4. 3 cosx + sinx = 2(
cos x  sin x ) = 2cos(x - ) = 2sin(x + )
2
2
6
3
I.6. Nguyên hàm

I.6.1. Định nghĩa nguyên hàm
=

Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm
của hàm số f(x) trên (a; b) nếu với mọi x thuộc (a; b) ta có
F’(x) = f(x) )
Ví dụ: a) Hàm số F(x) = x2 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R vì
F’(x) = (x2)’ = 2x với mọi x thuộc R.
b) Hàm số F(x) = sin x là nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên
’
R vì F (x) = (sin x)’ = cos x với mọi x thuộc R.
I.6.2. Các tính chất cơ bản của nguyên hàm
- Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên (a; b) thì tập hợp tất cả các
nguyên hàm của f(x ) là F(x)+C, C là hằng số thực thay đổi trong R, ghi là
 f ( x)dx  F ( x)  C

 f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)

Vậy
-

  f ( x)dx   f ( x)

-  kf ( x)dx  k  f ( x)dx

với mọi số thực k  0

-  [f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx
-  f ( x)dx  F ( x)  C   f (t )dt  F (t )  C
Chú ý: Mọi hàm số liên tục trên (a; b) đều có nguyên hàm trên (a; b)

Bảng các nguyên hàm
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
thường gặp
(u = u(x))
1.  dx  1dx  x  C
1.  du  1du u  C
Trịnh Thị Kim Phượng

9


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

x 1
2.  x dx 
C
 1
1
3.  dx  ln x  C
x
4.  e x dx  e x  C





ax
5.  a dx 

C
ln a
6.  cos xdx  sin x
x

u 1
2.  u du 
C
 1
1
3.  du  ln u  C
u
4.  eu du  eu  C

0
  -1



 -1

au
5.  a du 
C
ln a
6.  cos udu  sin u

1

0
u

+C

7.  sin xdx   cos x  C

+C

7.  sin udu   cos u  C

1
1
dx  tan x  C 8.  (1  tan 2 u)dx   2 du  tan u  C
2
cos x
cos u
1
1
9.  (1  cot 2 x)dx   2 dx   cot x  C 9.  (1  cot 2 u)dx   2 du   cot u  C
sin x
sin u
cos kx
1
10.  sin kxdx  
k  0 10.  sin(kx  b)dx   cos(kx  b)  C ,
C
k
k

k 0
sin kx
1
11.  cos kxdx 
k  0 11.  cos(kx  b)dx  sin(kx  b)  C ,
C
k
k
k 0
1 kxb
ekx
kx b
k 0
12.  ekx dx 
k  0 12.  e dx  e  C
C
k
k
1
1
 kx  b dx  k ln kx  b  C k  0
8.  (1  tan 2 x)dx  

II. Tích phân
II.1. Định nghĩa tích phân
Cho hàm số f liên tục trên [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)
trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích
phân xác định trên [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là
b

 f ( x)dx
a
b

Công thức NEWTON-LEIBNITZ:



f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a)
b

a

Trịnh Thị Kim Phượng

10


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
b

 f ( x)dx chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu

Chú ý:

a

biến số tích phân. Vì vậy ta có thể viết
b

b

b

a

a

a

F (b)  F (a)  F ( x)   f ( x)dx   f (t )dt   f (u )du  ...
b
a

II.2. Các qui tắc tính tích phân
a/ Đặt thừa số chung ra ngoài dấu tích phân , Đặt thừa số chung ra ngoài
cả khi thay cận lấy tích phân.
b/ Tích phân của tổng 2 hàm số bằng tổng 2 tích phân, có cùng cận, do đó
có xu hướng phân tích thành tổng các tích phân nếu được.
a

b

d/  f ( x)dx 0

c/  cdx  c(b  a)
a
b

a

a

a

e/  f ( x)dx    f ( x)dx
a

f/

b

a

 f ( x)dx  f (u)du
a

g/ Phân chia cận lấy tích phân :

b

c

a

a

a

b

 f ( x)dx  f ( x)dx   f ( x)dx .

h/ Nếu f(x)  g(x), với mọi x thuộc [a; b], thì

c
b

b

a

a

 f ( x)dx  g ( x)dx , tức là

dấu  còn được bảo toàn sau khi lấy tích phân 2 hàm số.
II.3. Các phương pháp tính tích phân
II.3.1. Tra bảng nguyên hàm để tìm 1 nguyên hàm F(x), sau đó thay cận
vào (đối với tích phân dễ, đơn giản).


Ví dụ 1: Tính  ecos x sin xdx
0

Do d  cos x    sin xdx  sin xdx 




0

0

cos x
nên  e sin xdx =  ecos x

d(cos x)
1

d (cos x)  cos x
= -  e d (cos x) (tra bảng  eu du  eu  C )
1
0

cos 
cos0
= - e cos x 0 = - ( e e ).

2

Ví dụ 2: Tính  (1  3x)3 dx
0

Ta có d (1  3x)  3dx  dx  

d (1  3x)
3

Trịnh Thị Kim Phượng

11


CC DNG TON TCH PHN - NG DNG TCH PHN V PHNG PHP GII

d (1 3x)
12
(1 3x)3 d (1 3x)
nờn (1 3x) dx (1 3x)
3
30
0
0
2

2

3

3

(tra bng u du
4
1 1 3x

3 4


u 1
C )

1


1
4
4
52 .

1

3.2

(1

3.0)



3.4

0
2

II.3.2. Phng phỏp i bin, nh s dng bng cỏc vi phõn, nh kốm
i cn
Ngoi cỏch i bin nh vo bng cỏc vi phõn, chỳ ý 2 cỏch i bin sau õy:

b

dx

1 dx
dx


, t x = tgt, vi t ( ; ) 2
,

2
2
2 2
a 1 ( x )2
a x
a 1 x
a

x
t = tgt vi t ( ; ) .
2 2
a
a
a
1
a 0
x

1 x 2 dx , t x = sint, vi t [ ; ] a 2 x 2 dx a 1 ( ) 2 dx
2 2
a
0
0

0

x
, t = sint, vi t [ ; ] .
2 2
a
2

1

Vớ d 1: Tớnh I 2 x 3 e



x 2 3 x 2

dx



0

Do d x 2 3x 2 (2x 3) dx
ẹaởt t x 2 3x 2 dt 2x 3 dx
x 1 t 0
Khi
x 0 t 2
0

2

I e dt e t dt tra baỷng e u du e u C
t

2

0



2





e t e2 e 0 1 e2 .
0

1

Vớ d 2: Tớnh

dx
0 (1 x2 )2
Trnh Th Kim Phng

12

CC DNG TON TCH PHN - NG DNG TCH PHN V PHNG PHP GII

ẹaởt x tgt d(x)

dt
(1 tg2 t)dt
2
cos t



x 1 t
Khi
4
x 0 t 0


4


4


4

(1 tg t)dt
1

dt cos2 t dt

2 2
2
0 (1 tg t)
0 1 tg t
0
2

Do ủoự I


4

4
1
1

(1+cos2t) dt dt+ cos2t dt
20
2 0
0





4

tra baỷng du u C,

4
1
d(2t)



dt+ cos2t


2 0
2
cos udu sin u C
0







1 1 2

1 4 1
t 0 sin 2t 04 sin
sin 2.0
2
2
4

2 4 2

1 1 1
.
2 4 2 8 4

4

II.3.3. Phng phỏp tớch phõn tng phn:
b

udv uv

b
a

a

b

b

vdu , vi tớch phõn sau vdu phi tớnh d hn tớch phõn trc
a

a

b

Chng minh:

udv uv

b
a

b

vdu

a

a

/

Ta coự: uv u/ v uv/
b

b





b

b

uv dx u v uv dx u vdx uv/ dx
/

a

a

b

b

/

/

/

a

a

b

uv dx uv dx u/ vdx
a

/

a

/

a

Trnh Th Kim Phng

13


CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
b

b

b

  udv  uv a   vdu
a

a

 điều phải chứng minh 

Các dạng sử dụng tích phân từng phần:
b



 p( x).cos mxdx ,  p( x).sin mxdx ,  p( x).e
a

b

 p( x).
a

b

b

mx

dx ,

a

a

b

1
1
p
(
x
).
dx , với p(x) là đa thức, đều đặt u = p(x), suy
dx
,

2
2
sin x

cos x
a

du = p’(x)dx nhằm hạ bậc được đa thức, dv là nhân tử còn lại.
b
1
  p( x).ln xdx , đặt u = lnx, suy ra du = dx nhằm mất ln, dv là nhân
x
a
tử còn lại, (trong bảng ngun hàm, khơng có hàm số nào dưới dấu tích phân có
chứa ln cả).
ra


2



b



Ví dụ 1: I  x sin xdx (có dạng P(x).sin xdx)
2

0

a

 u  x  du  2xdx

Đặt 
dv  sin xdx  v   cos x
2


2


2

 I   x 2 cos x  2  x cos xdx
0

0





2
2
   2


2
     cos  0 cos0   2  x cos xdx  2  x cos xdx
 2 

2
0

0


u1  x  du1  dx

Đặt 
dv1  cos xdx  v1   sin x


2





 I  2x sin x  2  sin xdx  2  sin  0sin 0   2 cos x 02
2
2

0

2
0




   2  cos  cos0     2.
2



Trịnh Thị Kim Phượng

14


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
3

Ví dụ 2: Tính

I   4x ln xdx
1


1
 u  ln x  du = dx
Ñaët 
x
 dv  4xdx  v  2x 2


2

3

1
 I   ln x.2x  2  x dx  2 32.ln 3  12.ln1  2  xdx
1
x

0
1
2

3



2





x2
tra
baû
n
g
xdx


C



2


3

x2
 18ln 3  2.
 18ln 3  32  12  18ln 3  8.
2 1





b

P(x)
dx
Q(x)
a

II.3.4. Tích phân hữu tỉ: I  

P(x)
1 1
1
1
n
, n  u n thì áp
có 1 trong các dạng , n  x ,
Q(x)
x x
kx  b u
dụng bảng nguyên hàm để tính.

II.3.4.1. Nếu

P(x)
chưa có dạng nói trên (II.3.4.1) và bậc của P(x) < bậc
Q(x)
của Q(x) thì tiến hành các bước sau:

II.3.4.2. Nếu

Bước 1: Phân tích mẫu số Q(x) về dạng tích số.
Bước 2:
P(x)

Phân tích
về dạng tổng.
Q(x)
Dạng 1:

P(x)
A
B
C


 ... 
n
2
x  x0 (x  x 0 )
(x  x0 )

(x  x 0 )n

3x2  5x  2
A
B
C



Ví dụ:
3
2
x  1 (x  1) (x  1)3
(x  1)

Trịnh Thị Kim Phượng

15


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 2:

P(x)
A
B
C




 ...
(x  x1 )(x  x2 )(x  x3 )... x  x1 x  x2 x  x3

2x 2  x
A
B
C



Ví dụ:
(x  1)(x  3)(x  8) x  1 x  3 x  8

Tổng quát:

P(x)
A
B
C



...

(x  x 0 )n (x  x1 )(x  x 2 )... x  x 0 (x  x 0 )2
(x  x 0 )n


D

E

 ...
x  x1 x  x2

x3
A
B
C
D




Ví dụ:
2
2
(x  2) (x  1)(x  3) x  2 (x  2) x  1 x  3
 Tính các hệ số A, B, C, …
Tính bằng cách dùng phương pháp đồng nhất các hệ số cùng bậc.
2x2  9x  10 2x2  9x  10

Ví dụ: 2
x  3x  2
(x  1)2 (x  2)
2x 2  9x  10
A
B
C





2
2
(x  1) (x  2) x  1 (x  1) x  2
 2x 2  9x  10  A(x  1)(x  2)  B(x  2)  C(x  1)2
 2x 2  9x  10  (A  C)x 2  (A  B  2C)x  2A  2B  C

A  2
AC2


  A  B  2C  9   B  1
2A  2B  C  10
 C4


Bước 3: Áp dụng tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng hai tích phân
có cùng cận rồi áp dụng bảng công thức nguyên hàm để tính.
S(x)
Chú ý: Nếu gặp hàm số hữu tỉ y 
mà bậc của S(x)  bậc của
Q(x)
Q(x) thì ta phải thực hiện phép chia đa thức để biến đổi hàm số y về dạng
P(x)
y  T(x) 
(trong đó bậc của P(x) < bậc của Q(x) rồi tiếp tục làm như đã
Q(x)
nói ở mục II.3.4.2 trên).

Trịnh Thị Kim Phượng

16


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

3x 4  x3  7x 2  8
Ví dụ: y 
x3  3x  2

Thực hiện phép chia đa thức, ta có:
2x 2  9x  10
y  3x  1  3
x  3x  2
2
1
4
 y  3x  1 


x  1 (x  1)2 x  2

(do maãu x3  3x  2  (x  1)2 (x  2))
Đặc biệt:
b

a. Dạng

f (x)

 g(x)dx

với f(x) = g’(x)  đặt u = g(x), nguyên hàm là

a

ln g ( x) .

1
1
m(x  a)  n(x  b)
dx


k
,
 (x  a)(x  b)
(x  a)(x  b)
(x  a)(x  b)


b. Dạng cơ bản 1:

cần tìm hai số thực m, n để mất x ở tử, sau đó tìm số thực k để cân bằng hai vế

1
dx .
 tổng các tích phân có dạng 
 x a


 
dx

(

; )
c. Dạng cơ bản 2: 
,
đặt
x
=
tgt,
với
t
2
2
2
1

x





dx
 
x
 x 2 , đặt a = tgt với t  ( 2 , 2 ) .

1 ( )
a

1
d. Dạng 
dx, f (x)  ax 2  bx  c,   0 , phân tích mẫu
f (x)

2
ax + bx + c = a (x - x1) (x - x2)  dạng cơ bản 1.

1
e. Dạng 
dx,f (x)  ax 2  bx  c,   0 , phân tích mẫu ax2 + bx + c
f (x)

dx
1

 a 2  x 2 a 2

b
b
về dạng a [x2 + b’x + c’]  dạng cơ bản 2 nhờ x 2  bx  ( x  ) 2  ( ) 2 .
2
2

1
f. Dạng 
dx,f (x)  ax 2  bx  c,   0 , phân tích mẫu ax2 + bx + c

f (x)


Trịnh Thị Kim Phượng

17


CC DNG TON TCH PHN - NG DNG TCH PHN V PHNG PHP GII


v dng a(x + b)2 dng
Vớ d 1: Tớnh I

1
u 2 du .

1

2x 6
0 x2 2x 3 dx
Gii

2
Ta cú: x 2x 3 (x 1)(x 3)

2x 6
2x 6
A
B

x 2 2x 3 (x 1)(x 3) x 1 x 3
2x 6
A(x 3) B(x 1) (A B)x 3A B
2


(x

1)(x

3)
(x 1)(x 3)
x 2x 3
2x 6 (A B)x 3A B


AB2
A 1


B 3A 6
B3
2x 6
1
3
2

x 2x 3 x 1 x 3
1
1
3
I

dx
x

1
x

3

0
1

1
1
1
1
3
1
1

dx

dx

dx

3
dx






x

1
x

3
x

1
x

3




0
0
0

0
1

1

1
1

d(x 1) 3
d(x 3)
x

1
x

3
0
0


d(x 1) dx
do


d(x

3)

dx

du
Tra baỷng nguyeõn haứm
ln u C

u

1

1

0

0

ln x 1 3ln x 3

(ln 2 ln1) 3(ln 2 ln 3) 2 ln 2 3ln 3.
Trnh Th Kim Phng

18


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
2

2x2  x  1

dx
Ví dụ 2: Tính A  
x

1
0
Giải
2
Ta có: 2x  x  1  (2x  3)(x  1)  2
nên

2

1
1
1

2 
2
A    2x  3 
dx
 dx   2xdx   3dx  
x

1
x

1

0

0
0
0
1

1

0

0

1

1
dx
x

1
0

 2  xdx  3 dx  2 



do d(x+1)=dx
d(x  1) 

 2  xdx  3 dx  2 
du
x  1  tra baûng 

 ln u  C 
0
0
0

u

1

1

1

2

2
2
x2
2
 3 x 0  2 ln x  1
0
2 0
2

 22  02  3(2  0)  2 ln x  1  2  2 ln 3.
0

Ví dụ 3: Tính B 

0

1  3x
1 2  x dx
Giải

1  3x
7
 3 
2x
2x
0
0
0
0
0

7 
7
1
 B    3 
dx  3  dx  7 
dx
dx   (3)dx  
2

x
2

x
2


x

1 
1
1
1
1
Ta coù:


d(2  x) 
do
d(2

x)


dx

dx


1 d(2  x) 
1 

 3  dx  7 
2  x 1
du



1
1
 ln u  C
 tra baûng 


u

0

0

0

 3x 1  7 ln 2  x

0
1



 3  0  (1)   7 ln 2  0  ln 2  (1)

 3  7  ln 2  ln 3  7  ln 3  ln 2   3.
Trịnh Thị Kim Phượng



19

CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ví dụ 4: Tính I 

1
2

1
0 x2  1 dx

Giải
1
1
A
B



Ta có: 2
x  1 (x  1)(x  1) x  1 x  1


A(x  1)  B(x  1) x(A  B)  A  B

(x  1)(x  1)
(x  1)(x  1)



1
A

A  B  0

2


A  B 1
B   1

2



1
1 1
1 




x2  1 2  x  1 x  1

1
 12

2
1  1
1 

1 1
1

 I  

dx   
dx  
dx 

2 0  x  1 x  1
2 0 x 1
x 1
0




1
 12
  do d(x  1)  dx vaø d(x  1)  dx 
1  d(x  1) 2 d(x  1)  

 

du


2 0 x 1
x  1 
tra baûng 

 ln u  C
0


u



1
2

1
1

1
2
  ln x  1  ln x  1 2 
0
0
2 




  1

1  1
 ln  1  ln 0  1    ln  1  ln 0  1  
2  2
  2

 



1 1
3
1
ln

ln


ln 3.
2  2
2 
2
12

2x  1
I

Ví dụ 5: Tính
10 x2  x  2 dx
Giải
Ta có: d(x  x  2)  (2x  1)dx
2

Trịnh Thị Kim Phượng

20

CC DNG TON TCH PHN - NG DNG TCH PHN V PHNG PHP GII
12


d(x2 x 2)
du
I 2
tra
baỷ
n
g

ln
u

C


u


10 x x 2
ln x 2 x 2

12
10

ln 122 12 2 ln 102 10 2

ln154 ln108 ln
Vớ d 6: Tớnh I

154
77
ln
ln 77 ln 54.
108
54

0

dx
2
1 x 2x 5
Gii

2
Nhn xột: f(x) x 2x 5 coự 4 15 1 0
2







2

2

2
2
Ta cú: x 2x 5 x 1 1 5 x 1 4
1

1

dx


dx
I

2
4 1 x 1 2
1 x 1 4
2 1


x 1
dx
ẹaởt
tgt
1 tg2 t dt dx 2 1 tg 2 t dt
2
2

x 1 tgt 1 t
Khi
4
x 1 tgt 0 t 0





4








4


1 2(1 tg t)dt 1
1 4 1
I
2dt t 0 0 .
2
4 0 tg t 1
40

2
2 4
8
2

II.4. ng dng ca tớch phõn
II.4.1. Tớnh din tớch
II.4.1.1. S l hỡnh thang cong: cú 2 ỏy song song l 2 ng thng x = a,
x = b, b a,
2 ỏy cong l 2 th y = f(x), y = g(x), cú din
y
tớch cng t l S, thỡ
y = f(x)
b

O a

b
S
y = g(x)

x

S f (x) g(x) dx
a

yờu cu: din tớch S 0
Trnh Th Kim Phng

21

CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

II.4.1.2. Chú ý 1: không thể tra bảng nguyên hàm khi còn trị tuyệt đối cho
hàm số dưới dấu tích phân, phải xóa dấu trị tuyệt đổi hoặc biến đổi sau cho tra
được bảng nguyên hàm để tính được tích phân.
Có các cách xoá trị tuyệt đối như sau: (dựa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối

 a neáu a  0
a 
)

a
neá
u
a
<
0


Cách 1: Xét dấu biểu thức f(x) - g(x), trong miền a  x  b.
Cách 2: Dựa vào tính chất: (không được SGK giới thiệu)
Nếu ở bên trong miền giữa 2 đường thẳng x = a, x = b, 2 đường cong
y = f(x), y = g(x) không có giao điểm nào, thì đưa được ttrị tuyệt đối ra ngoài
b

dấu tích phân: S =



f ( x)  g ( x) dx =

b

 ( f ( x)  g ( x))dx

(tính tích phân

a

a

trước rồi lấy trị tuyệt đối sau).
b

Cách 3: Vẽ hình miền tính diện tích  S =



f ( x)  g ( x) dx  nhìn vào

a

hình vẽ xoá trị tuyệt đối:

 f ( x)  g( x) neáu ñoà thò y  f ( x ) treân ñoà thò y  g( x )
f ( x)  g( x)  
g( x)  f ( x) neáu ñoà thò y  g( x ) treân ñoà thò y  f ( x )
(do a  b = số lớn hơn trừ số nhỏ hơn)

II.4.1.3. Chú ý 2:
1. Miền S giới hạn không đủ 4 đường: x = a, x = b, y = f(x), y = g(x),
chưa thể đưa ra công thức tích phân.
2. Miền S giới hạn bởi 3 đường: x = a, y = f(x), y = g(x)  Tìm phương
trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) và giải  vẽ hình miền S  cắt S làm
b

vài hình thang cong  S bằng tổng các tích phân có dạng



f ( x)  g ( x) dx ,

a

 nhìn hình vẽ xoá từng trị tuyệt đối.
3. Miền S giới hạn bởi 2 đường: y = f(x), y = g(x)  Tìm phương trình
hoành độ giao điểm f(x) = g(x) và giải  vẽ hình miền S  cắt S làm vài hình
b

thang cong  S bằng tổng các tích phân có dạng



f ( x)  g ( x) dx ,  nhìn

a

hình vẽ xoá từng trị tuyệt đối.
Trịnh Thị Kim Phượng

22


CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

4. Miền S giới hạn bởi 3 đường: y = f(x), y = g(x), y = h(x), hay nhiều
đường  vẽ hình miền S  tìm các giao điểm khi có nhu cầu  cắt S làm vài
b



hình thang cong  S bằng tổng các tích phân có dạng

f ( x)  g ( x) dx ,

a

 nhìn hình vẽ xố từng trị tuyệt đối.
II.1.4. Chú ý 3: S là hình thang cong: có 2 đáy song song là 2 đường
thẳng y = c, y = d,
2 đáy cong là 2 đồ thị x = f(y), x = g(y), d > c
x = f(y)
x = g(y)
,có diện tích cũng đặt là S, thì
d

d

S   f (y)  g(y)dy

S

c

c

(xem y là biến số, x là hàm số )

O

Ví dụ 1: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

x  0, x  1, y  x  1, y  3x 2  9 là
1

1

S   (3x  9)  (x  1)dx   3x 2  x  10dx
2

0

0

Xét dấu 3x  x  10 trên [0; 1]
2

2
2

Ta có:   b  4ac  (1)  4.3.10  119  0

 f(x) cùng dấu với a x  R
mà a  3  0
 f(x)  0x  R  f(x)  0x  [0;1]
1



1



1

1

0

0

 S   3x  x  10 dx   3x dx    xdx   10dx
0

1

2

1

2

0

1

x3
 3 x dx   xdx  10  dx  3
3
0
0
0
 1

2

1

x2

2
0

1

 10 x
0

1
0

1
21
 10 
(đơn vò diện tích).
2
2

Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

x  0, y  2 x , y  3  x.
Trịnh Thị Kim Phượng

23


CC DNG TON TCH PHN - NG DNG TCH PHN V PHNG PHP GII

Gii
x
Phng trỡnh honh giao im gia y 2 v y 3 x l

2x 3 x

(1)

x
Ta cú: y 2 laứ haứm taờng

y 3 x laứ haứm giaỷm

x
nờn 2 3 x cú 1 nghim duy nht
1
Mt khỏc: 2 3 1 1 l nghim ca phng trỡnh (1)
phng trỡnh (1) cú 1 nghim duy nht l x = 1

x
din tớch ca hỡnh phng gii hn bi cỏc ng x 0 , y 2 ,
y 3 x l

1

1

S (3 x) 2 dx 3 x 2 x dx
x

0

0

Hỡnh v
y
y = 2x

3

2
y=3-x

1
x
O

1

1

2

3

1

1

1

0

0

0

S (3 x 2 )dx 3dx xdx 2 x dx
x

0

x 1

tra
baỷ
n
g
x
dx


C
1
1
1





1
x


3 dx xdx 2 dx
x


a
0

0
0
x
a
dx


C



ln a


x2
3x
0
2
1

1

1

2x
1
1

3(1 0) (12 0 2 )
(21 2 0 )

ln 2 0
2
ln 2
0
Trnh Th Kim Phng

24


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 3

1
1
5
1

 
2 ln 2 2 ln 2

(ñôn vò dieän tích).

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

y  x  x và y   x 2  x.
3

Giải
Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đường cong là

x3  x   x 2  x
 x3  x 2  2 x  0  x( x 2  x  2)  0

x  0
 2

x

x

2

0


x  0
x  1

 x  2

1

x

Vậy diện tích hình phẳng đã cho là S 

3

 x 2  2x dx

2

Hình vẽ
y
x
-2

-1

1

O

-1
y = x3 - x

y = x - x2

-2
-3
-4
-5
-6

S

0

 (x

2
0



1

 x  2x)dx   (x 3  x 2  2x)dx
2

0

0

0

1

2

0

1

1

 x dx   x dx   2xdx   x dx   x dx   2xdx
3

2
0



3

2

2
0

0

1

2

0

3

2

0

1

0

1

 x dx   x dx  2  xdx   x dx   x dx  2  xdx

2

3

2

2

3

Trịnh Thị Kim Phượng

0

2

0

25