Phương pháp giải tổng quát phương trình bậc 3 có đúng 1 nghiệm và phương pháp giải tổng quát phương trình bậc 4

Phương pháp giải phương trình bậc 3 (có
đúng 1 nghiệm) bằng Cadarno
• Tiểu sử:
Phương trình bậc ba được đề cập lần đầu tiên bởi nhà toán
học Ấn Độ cổ Jaina khoảng giữa năm 400 TCN và 200 CN.
Nhà toán học Ba-tư Omar Khayyám (1048–1123) đã công bố
việc giải phương trình bậc ba nhờ giao của một thiết diện conic với đường tròn. Ông công bố rằng lời y có thể dùng để cho các lời
giải số nhờ các bảng lượng giác.
Sau này vào thế kỷ 16, nhà toán học người Ý Scipione del
Ferro (1465-1526) tìm ra cách giải một lớp các phương trình bậc ba
dạng x3 + mx = n với m và n đều lớn hơn 0.[1]Thực ra, mọi phương trình
bậc ba có thể đưa về dạng này. Tuy nhiên có thể dẫn đến căn bậc hai của
những số âm, điều đó lúc này chưa giải quyết được. Del Ferro giữ kín
điều này cho đến trước khi ông chết mới nói cho học trò ông là sinh
viên Antonio Fiore về nó
Vào 1530, Niccolo Tartaglia (1500-1557) tiếp nhận hai bài toán
trong phương trình bậc ba từ Zuanne da Coi và công bố ông đã giải được
chúng. Ông nhận lời thách thức của Fiore, và từ đó dấy lên cuộc cãi vã
giữa hai người. Mỗi người hàng ngày đặt một số tiền và đưa ra một số
bài toán cho đối thủ giải. Ai giải được nhiều bài toán hơn trong 30 ngày
thì nhận tất cả số tiền.
Tartaglia khi giải quyết các vấn đề trong dạng x3 + mx = n, đã
đề xuất một phương pháp tổng quát hơn. Fiore giải quyết các vấn đề
trong dạng x3 + mx2 = n, khó hơn và Tartaglia đã thắng cuộc.
Sau này, Tartaglia được Gerolamo Cardano (1501-1576) thuyết
phục tiết lộ bí mật của cách giải phương trình bậc ba. Tartaglia đã đặt
điều kiện yêu cầu Cardano không tiết lộ nó. Ít năm sau, Cardano hiểu
được công trình của Ferro và vi phạm lời hứa khi công bố phương pháp
Tartaglia trong cuốn sách của ông nhan đề Ars Magna (1545) với lời ca
ngợi dành cho Tartaglia

Qua đoạn tiểu sử chắc hẳn chắc bạn cũng phần nào hiểu được
nguồn gốc ra đời của phương trình bậc 3. Sau đây chúng ta sẽ nghiên
cứu phương pháp giải phương trình bậc 3
**Dạng tổng quát của phương trình bậc 3:
x3  ax 2  bx  c  0 (1)

Các bạn cứ theo dõi qua từng bước của phương pháp ở phần
cuối phương pháp mình sẽ giải thích vì sao người ta làm như vậy
Cách giải tổng quát:
Đặt

x t 

a
3

(&)

a 3
a
a
)  a(t  ) 2  b(t  )  c  0
3
3
3
(1)
2
3
a

2a  9ab
 t 3  (b 
)t  c 
0
3
27
(t 

Bạn có thấy điều gì đặc biệt không? Vì sao người ta lại đặt
2
? Dễ dàng nhận ra phương trình bị mất đi t . Vậy mục đích

a
xt
3

2
để làm mất đi t là gì ?

Chắc hẳn những bạn học Toán dùng hằng đẳng thức lớp 8 còn

t  y  z  3tyz  (t  y  z)(t  y  z  ty  yz  zt ) .Sau
nhớ
đây là các bước tiếp theo của phương pháp.
3

3

3

2

2

2

Ta có 1 vài biến đổi :

t

3

a2
2a 3  9ab
 (b 
)t  c 
0
3
27

(2)


a 2
a
)  3 yz  3tyz  t (b  ) 2
3
3
Đặt
2a 3  9ab

c
 y3  z3
27
(b 

(2)  t 3  y3  z 3  3tyz  0
Như vậy ta đã biến đổi được về dạng chuẩn của bất đẳng thức
trên.
Vì:

t 3  y3  z3  3tyz  (t  y  z)(t 2  y 2  z 2  ty  yz  zt )
(t  y  z )(t 2  y 2  z 2  ty  yz  zt )  0
Nên
 t   y  z

Mình không giải phương trình q  y  z  qy  yz  zq  0 vì
như tiêu đề ( phương trình bậc 3 có 1 nghiệm nên phương trình đó chắc
chắn vô nghiệm, các bạn có thể giải sau khi tìm được y,z)
2

2

2

Như vậy như ta đã có được mối liên hệ giữa t=-y-z. Vậy để tìm
được t thì ta phải tìm y và z.
Chúng ta hãy nhìn lại cách đặt này đã có tổng của
a 2
a 6


(
b

)
(
b

)
3
3
3 3
2
a

9
ab
3
2
y + z = c
 y z  
và có tích yz 
,
3
27
27
3

tổng

và

tích

nó

làm

X  SX  P  0(S  y  z ; P  y z )
2

3

3

3 3

chứng nhớ đến định lý vi-et
từ phương trình này dễ dàng tìm được

y 3 và z 3 , từ đó => được y và z.
Để các bạn có thể nắm vững phương pháp chúng ta hãy sang các ví
dụ!


Giải phương trình:
a) x3  3x 2  9 x  2  0
b)2 x3  3x 2  4 x  5  0
c) x 3  5 x 2  7 x  9  0
d ) x3  8 x 2  5 x  10  0
e) x3  3x 2  2 x  12  0

Giải
a ) x 3  3 x 2  9 x  2  0  ( x 3  ax 2  bx  c  0)
a  3; b  9; c  2
a
Dat : x  t 
 t  1(1)
3
 (t  1)3  3(t  1) 2  9(t  1)  2  0
 t 3  3t 2  3t  1  3t 2  6t  3  9t  11  0
 t 3  6t  9  0(*)

Ta đã làm mất đi t 2 như phương pháp ở trên vì vậy bước tiếp
theo là đi đặt ẩn và ta có cách làm như sau:
Dat : b3  c3  9
(*)  t 3  b3  c3  3bct  0
 (t  b  c)(t 2  b 2  c 2  bt  ct  bc)  0(2)
3bc  6  b3c3  8
b3 ; c3 : la  nghiem  cua  pt
x2  9 x  8  0
x

9   113
2

 b 

3

9  113

;c 
2

3

9  113
(**)
2

9  113 3 9  113

2
2
2
2
2
t  b  c  bt  ct  bc  0(vn)
Theo(1) x  t  1
Thay(**) vao(2)  t   3

 x   3

9  113 3 9  113

1
2
2


b)2 x3  3x 2  4 x  5  0

1
Dat : x  t 
2
1
1
1
 2(t  )3  3(t  ) 2  4(t  )  5  0
2
2
2
5
7
 2t 3  t   0
2
2
5
7
 t 3  t   0
4
4
7
5
5
Dat : a 3  b3  ; 3ab   a 3b3  ( )3
4
4
12
3
3
a ; b la  nghiem  cua  pt :

7
5
X 2  x  ( )3  0
4
12
7
181

54
x 4
2
 b 

7

4

3

 t  

2
3

 x  

181
54 ; c 

7


4
2

3

181
54 

7

4
2

181
54 

3

3

7
181

4
54
2

7


4

181
54
2

3

7

4

181
54  1
2
2

Còn 3 ví dụ còn lại là bài tập tự luyện dành cho các bạn!


Cách giải tổng quát phương trình bậc 4
Sau khi kết thúc cách giải tổng quát cho phương trình bậc 3 ta
hãy cùng đến cách giải tổng quát cho phương trình bậc 4. Các bạn hãy
nhớ là chỉ học được cách giải phương trình bậc 4 khi ta biết giải tổng
quát phương trình bậc 3
Mục đích của các bước dưới đâu nhằm để tạo ra

( A( x ) )2  ( B( x) )2
ax 4  bx3  cx 2  dx  e  0  (a  0)
b2

b2
)  cx 2  x 2  dx  e
a
a
b 2
b
b2
b
 x 2 ( ax 
)  2 x( ax 
) y y2  cx 2  x 2  dx  e  2 x( ax 
) y y 2
a
a
a
a
2
b
b
b
 ( x 2 a 
x  y)2  x 2 (c   2 a y)  x(d  2
y)  y 2  e
a
a
a
 x 2 (ax 2  bx 

Để tìm y với y là 1 số sao cho ta sẽ đưa phương ta cần lập delta
2

2
của trình về dạng ( A( x ) )  ( B( x ) )

x2 (c 

b2
b
 2 a y)  x(d  2
y)  y 2  e
a
a

sau đó giải theo phương

trình bậc 3 đã có cách giải như trên.
B) Ví dụ minh họạ
a) x 4  4 x3  2 x 2  9 x  7  0
 x2 ( x2  4 x)  2 x2  9 x  7
 x2 ( x2  4 x  4)  2 x2  9 x  7
 x2 ( x  2)2  2 x2  9 x  7
 x2 ( x  2)2  2 x( x  2) y y2  2 x2  9 x  7  2 x( x  2) y y 2
 ( x2  2 x  y)2  2 x2 ( y  1)  x(4 y  9)  y 2  7
Lap  delta : 2 x2 ( y  1)  x(4 y  9)  y 2  7
 (4 y 9)2  8( y 2  7)( y  1)  0
 8y3  8 y 2  16 y  25  0

Các bạn tự giải tiếp nhé, mình đã chỉ phương trình bậc 3 rồi,
nếu delta nó ra xấp xỉ thì các bạn dùng công thức delta rồi cho vào căn.

Ví dụ 2:
x 4  4 x3  7 x 2  6 x  3  0
 x 2 ( x 2  4 x  4)  3x 2  6 x  3
 x 2 ( x  2)2  2 x( x  2) y  y 2  3x 2  6 x  3  2 x( x  2) y  y 2
 ( x 2  2 x  y)2  (2 y  3) x 2  2 x(3  2 y)  y 2  3(1)
delta  of _(2 y  3) x 2  2 x(3  2 y )  y 2  3
 (2 y  3)2  ( y 2  3)(2 y  3)
 (2 y  3)(2 y  3  y 2  3)  0
3
 y  ; y  0; y  2
2
Chon : y  2;(1)  ( x 2  2 x  2) 2  x 2  2 x  1
 ( x 2  2 x  2)2  ( x  1) 2  (( A( x ) ) 2  ( B( x ) ) 2 )
 ( x 2  3x  3)( x 2  x  1)  0(VN )

Mục đích của mình giới thiệu ví dụ này là đối với 1 số bạn không biết
cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm bằng đạo hàm hay các phương
pháp khác thì các bạn cũng có thể sử dụng cách này của mình, từ 1 phương trình
bậc 4 ta quy về tích của 2 phương bậc 2, và dễ dàng chứng minh nó vô nghiệm
Ví dụ 3: ( Ở bài tập này cách bạn sẽ phải nhóm sao cho về dạng)

(a1x2  b1x  c1 )2  (a2 x2  b2 x  c2 )2

16 x 4  36 x3  22 x 2 4 x  39  0
Ví dụ 4:
3x 2  8 x  3  4 x x  1

(4)

Ta nhận ra ở phương trình bày việc đặt ẩn, hàm số, liên hợp ,…

là không khả thi. Sau khi nháp mình nhận thấy phương trình này có 4
2
nghiệm, 2 nghiệm bị loại do điều kiện x(3x  8x  3)  0 . Vậy các bạn có
thể dùng bình phương có thể giải quyết nhanh gọn thông qua phương
pháp đã được giới thiệu


(4)  9 x 4  64 x3  30 x 2  48x  9  0
1024 754 2
 x 2 (9 x 2  64 x 
)
x  48x  9
9
9
32
32
754 2
32
 x 2 (3x  )2  2 x(3x  ) y  y 2 
x  48x  9  2 x(3x  ) y  y 2
3
3
9
3
32
754
32
 (3x 2  x  y)2  (
 6 y) x 2  2 x(24  y)  y 2  9(5)
3

9
3
754
32
delta  of _(
 6 y) x 2  2 x(24  y)  y 2  9
9
3
32
754
 (24  y)2  ( y 2  9)(
 6 y)  0
3
9
 y  5
32
754
160
(5)  (3x 2  x  5)2  (
 30) x 2  2 x(24 
)  25  9
3
9
3
32
22
 (3x 2  x  5)2  ( x  4)2
3
3
2

2
 ( x  6 x  3)(9 x  10 x  3)  0
 x  3  2 3
x

5  2 13
9

Vì giải theo phương trình hệ quả nên ta phải thế lại nghiệm và
có 2 nghiệm thỏa mãn:
x  3 2 3
x

5  2 13
9

Bài tập tự luyện:
a) x4  2 x3  3x2  9 x  16  0
b)36 x 4  25x3  15x2  20 x  13  0

Tài liệu này được tham khảo từ wiki.
Made by Bùi Minh Nguyên
-----***-----